Ejercicios Prácticos de Matemática

Prctica 10Formula de Cauchy

ySeries de potencias.

1

Problema 1.

15.1 Ejercicios Resueltos

Problema 1

Dada la sucesin , con , demuestre que es convergente utilizando

la definicin 4, con

Solucin

Primero, vamos a identificar algunos trminos de la sucesin dada:

No sabemos a priori cual es el posible lmite; sin embargo, pareciera que la parte real del mismo es aproxi-

madamente 2 y la parte imaginaria aproximadamente 1, pero esto sera induccin mal empleada. Por tal motivo,

acudiremos al teorema 23, segn el cual si el lmite existe debe ser .

Demostremos entonces que mediante la definicin 4:

Queremos probar que, escogido un (real) tan pequeo como se quiera, existe (real) funcin detal que a partir de cierto valor del subndice, , , se tiene que .

Ahora bien, y

Por tanto, si y , entonces

Problema 2Demuestre que si una sucesin es convergente entonces su lmite es nico.

SolucinSi es convergente a, digamos , el teorema 23 nos afirma que converge a y converge a

pero como es nico (propiedad de unicidad del lmite para sucesiones reales) y (por la misma razn)

tambin es nico entonces se tiene que es nico

Problema 3

Estudiar el carcter de la serie1

Solucin

Vamos a utilizar el criterio del cociente: , , y

la serie dada es Abs. (C) y por el teorema 12: Serie Abs. (C) serie convergente.

Obsrvese que con el criterio de la raiz: , . Aqu es ms difcil estudiar ; sin

embargo, vamos a introducir un recurso til para algunos ejercicios:FACTORIAL DE STIRLING PARA INFINITOS EQUIVALENTES:

Cuando en alguna expresin en donde aparezca como factor, se puede reemplazar por ,

es decir,

infinito equivalente

Por lo tanto, Serie

Abs. (C) Serie (C), ya que y .

Problema 4

Estudiar el carcter de la serie ,

SolucinSi aplicamos el criterio del cociente:

y .

1Estudiar el carcter de una serie significa determinar si la serie dada es (C) o (D)

176


Problema 1


la definicin 4, con

Solucin







Ahora bien, y






Problema 3


Solucin






es decir,


Por lo tanto, Serie


Problema 4



y .


176 2

Problema 2.


Problema 1


la definicin 4, con

Solucin







Ahora bien, y






Problema 3


Solucin






es decir,


Por lo tanto, Serie


Problema 4



y .


176


Problema 1


la definicin 4, con

Solucin







Ahora bien, y






Problema 3


Solucin






es decir,


Por lo tanto, Serie


Problema 4



y .


176Entonces?

3

Problema 3.

Por lo tanto, la serie es Abs. (C) y, por teorema 12, la serie es (C).

Se deja al alumno la aplicacin del criterio de la raiz. El camino ser ms largo y tendr que aplicar el factorial

de Stirling.

Problema 5

Demostrar que la serie geomtrica :

(a) converge a para todo en el interior del crculo unitario

(b) diverge fuera de , es decir, para y para

Solucin

Empecemos con (a). Criterio del cociente: , luego serie Abs. (C) si y, por

teorema 12 serie (C) si . Al mismo tiempo, tenemos demostrado (b), puesto que si entonces, por el

criterio del cociente se deduce que la serie (D).

Resta probar que con , la serie converge precisamente a .

En efecto, sea . Ahora, recordando que

, tenemos que , de donde

puesto que y como y son funciones acotadas, entonces se tiene que

acotado acotadosi , es decir, si

en el caso

En el segundo, resulta

Resta el caso . Si , entonces , luego el trmino general de la serie de los valores

absolutos no tiende a cero y por tanto la serie diverge (Contra-recproco del teorema 13).

CONCLUSION: La serie geomtrica

(a) converge a para todo con

(b) diverge para todo con

Problema 6

En el ejercicio 4 se demostr que la serie es convergente . Demuestre que si entonces

existe y es igual a

Solucin

Por el ejercicio 4 y el teorema 17, se cumple que existe convergente y como

entonces .

Ms adelante veremos que

Problema 7

Demuestre que , (fijo) es convergente y halle su dominio y radio de convergencia

Solucin

y, por el criterio del cociente, la serie dada es convergente

177



de Stirling.

Problema 5




Solucin









en el caso







Problema 6


existe y es igual a

Solucin


entonces .


Problema 7


Solucin


177si , es decir, si . Luego, la serie es convergente en el crculo y el

radio de convergencia es precisamente

Observacin 9 Si nos aseguran que la serie es (C) y slo queremos conocer el radio de (C), utilizamos slo la

definicin 16: con

Problema 8

Sabemos, de captulos anteriores, que son analticas en todo (es decir, son enteras) las funciones definidas por, , , , . Adems, es trivial demostrar, utilizando las

definiciones respectivas (como funciones de exponenciales) que las correspondientes derivadas, son continuas

Halle entonces los desarrollos en serie de Taylor de los alrededor de y demuestre que tales desa-rrollos son convergentes. Halle dominio y radio de convergencia en cada caso.

Solucin

(a) , Luego, . As, la serie de

Taylor es y,

por el teorema 18, es convergente.

Vamos a hallar crculo y radio de convergencia: ,

radio de convergencia Dom. de Conv.

De manera anloga puede ud. demostrar que

(b) con y Dom. de (C)

(c) , y Dom. de (C)

(d) , y Dom. (C)

(e) , y Dom. (C)

Problema 9

Hallar desarrollo en serie de Taylor en vecindad de para . Dar radio y dominio de (C)

Solucin

Sabemos que es analtica en

Luego, es desarrollable en serie de Taylor en si est en el mayor disco donde la serie converge:

es el mayor disco en donde la serie converge y

,

,

,

178

4

Ejercicio 1.

Ejercicio 2.



de Stirling.

Problema 5




Solucin









en el caso







Problema 6


existe y es igual a

Solucin


entonces .


Problema 7


Solucin


177



de Stirling.

Problema 5




Solucin









en el caso







Problema 6


existe y es igual a

Solucin


entonces .


Problema 7


Solucin


177

5

Problema 4.

si , es decir, si . Luego, la serie es convergente en el crculo y el



definicin 16: con

Problema 8




Solucin


Taylor es y,






(c) , y Dom. de (C)

(d) , y Dom. (C)

(e) , y Dom. (C)

Problema 9


Solucin




,

,

,

178




definicin 16: con

Problema 8




Solucin


Taylor es y,






(c) , y Dom. de (C)

(d) , y Dom. (C)

(e) , y Dom. (C)

Problema 9


Solucin




,

,

,

178

Recuerde Problema 2 y Ejercicio 2

6

Problema 4.




definicin 16: con

Problema 8




Solucin


Taylor es y,






(c) , y Dom. de (C)

(d) , y Dom. (C)

(e) , y Dom. (C)

Problema 9


Solucin




,

,

,

178




definicin 16: con

Problema 8




Solucin


Taylor es y,






(c) , y Dom. de (C)

(d) , y Dom. (C)

(e) , y Dom. (C)

Problema 9


Solucin




,

,

,

178




definicin 16: con

Problema 8




Solucin


Taylor es y,






(c) , y Dom. de (C)

(d) , y Dom. (C)

(e) , y Dom. (C)

Problema 9


Solucin




,

,

,

178

7




definicin 16: con

Problema 8




Solucin


Taylor es y,






(c) , y Dom. de (C)

(d) , y Dom. (C)

(e) , y Dom. (C)

Problema 9


Solucin




,

,

,

178




definicin 16: con

Problema 8




Solucin


Taylor es y,






(c) , y Dom. de (C)

(d) , y Dom. (C)

(e) , y Dom. (C)

Problema 9


Solucin




,

,

,

178

Solucin

Si , con circunferencia de centro y radio donde, es entera, aplique la frmula

integral de Cauchy (complete las condiciones del teorema).

Si .

(Complete las condiciones del teorema de la frmula integral de Cauchy para derivadas)y como y se concluye el resultado.

Problema 17

Demostrar que , con en sentido negativo.

Solucin

Poner es entera . Verifique condiciones de la frmula integral de Cauchy

Figura 14.7:

para concluir que la integral vale de all se sigue el resultado.

Problema 18

Calcular , donde es el borde del cuadrado en sentido positivo.

Solucin

Los puntos donde no es analtica son , los cuales no pertenecen

al cuadrado. Verifique que se cumplen las condiciones de la frmula integral de Cauchy para las derivadas con

de donde,

166

Solucin

Si , con circunferencia de centro y radio donde, es entera, aplique la frmula

integral de Cauchy (complete las condiciones del teorema).

Si .

(Complete las condiciones del teorema de la frmula integral de Cauchy para derivadas)y como y se concluye el resultado.

Problema 17

Demostrar que , con en sentido negativo.

Solucin

Poner es entera . Verifique condiciones de la frmula integral de Cauchy

Figura 14.7:

para concluir que la integral vale de all se sigue el resultado.

Problema 18

Calcular , donde es el borde del cuadrado en sentido positivo.

Solucin

Los puntos donde no es analtica son , los cuales no pertenecen

al cuadrado. Verifique que se cumplen las condiciones de la frmula integral de Cauchy para las derivadas con

de donde,

166

8

Problema 5.




definicin 16: con

Problema 8




Solucin


Taylor es y,






(c) , y Dom. de (C)

(d) , y Dom. (C)

(e) , y Dom. (C)

Problema 9


Solucin




,

,

,

178




definicin 16: con

Problema 8




Solucin


Taylor es y,






(c) , y Dom. de (C)

(d) , y Dom. (C)

(e) , y Dom. (C)

Problema 9


Solucin




,

,

,

178

9

Figura 15.1:

Por induccin sobre se demuestra que , de donde ,

As,

Es obvio que el radio de (C) es y el dominio de (C) es . Ver figura 15.1

Problema 10

Demuestre que:

(a)

(b) ,

Problema 11

Hallar el desarrollo en serie de Mc Laurin (Taylor con ) de

Solucin

Es obvio que el desarrollo existe puesto que y son funciones elementales y, por tanto, es

analtica en (lo que incluye a ). El presente ejercicio nos servir para mostrarnos que, a veces,

no es necesario el clculo de las derivadas para usar la frmula de Mc Laurin. En efecto,

puesto que representa a una

serie geomtrica convergente si .

Ahora, utilizamos el teorema 22 (Producto de Cauchy) con , , , , . . . , ,

. . . y , , , , . . . , ,. . .

Luego, con

...

179

10

Figura 15.1:


As,


Problema 10

Demuestre que:

(a)

(b) ,

Problema 11


Solucin







. . . y , , , , . . . , ,. . .

Luego, con

...

179

Figura 15.1:


As,


Problema 10

Demuestre que:

(a)

(b) ,

Problema 11


Solucin







. . . y , , , , . . . , ,. . .

Luego, con

...

179

11

Problema 6.

As, convergente en

Problema 12

Demuestre que es convergente en .

Problema 13

(a) Hallar la serie de Taylor de alrededor de sin utilizar el teorema 18

(b) Dibujar el disco de convergencia,

(c) Estudiar la convergencia en un punto del borde (a su eleccin)

Solucin

(a) Primero, obsrvese que

Ahora, es una serie geomtrica convergente si (esto

no sabemos si es cierto en nuestro caso) pero converge si

. Luego, es cierto Crculo de centro -1 y radio 2.

Por lo tanto, tenemos que

(b)

Figura 15.2:

(c) Por ejemplo, si elegimos , , luego, el trmino general de la serie,

no tiende a cero y, por tanto, la serie dada diverge.

(En general, para en el borde del disco, , ,

)

180

As, convergente en

Problema 12


Problema 13




Solucin






(b)

Figura 15.2:




)

180

12

As, convergente en

Problema 12


Problema 13




Solucin






(b)

Figura 15.2:




)

180

13

As, convergente en

Problema 12


Problema 13




Solucin






(b)

Figura 15.2:




)

180

14

Ejercicio 3.

Ejercicio 4.Problema 30

Hallar cuatro trminos del desarrollo de Taylor alrededor de y el mayor disco de convergencia para

Solucin

Emplee el desarrollo de y trate de calcular los cuatro primeros trminos del producto. As obtendr

Problema 31

Hallar cuatro trminos del desarrollo de Taylor alrededor de y el mayor disco de convergencia para

Solucin

en el disco

187

Problema 14

Hallar serie de Taylor de alrededor de . Hallar dominio y radio de convergencia sin utilizar el

teorema 18.Solucin

(15.1)

Veamos si la serie geomtrica converge. Esto suceder si y solamente si

(15.2)

Luego, por (15.1),

Crculo de convergencia: , ( )

Problema 15

Demostrar que las series dadas a continuacin son convergentes y hallar los radios de convergencia respectivos

(a)

(b)

(c)

Solucin

(a) Criterio del cociente: . As, la serie es (C) si , es decir, si .

Dom. de (C): , . Adems, si entonces la serie (D). Si entonces

y, por tanto, la serie (D).

(b)

Por lo tanto, la serie (C) si

Dom. de (C): , .

La serie (D) si ; si entonces (D)

181

15

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