Ejercicios para integrales
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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICA HPV/ Práctica 1. 527147. 1. Considere la función f (x)= x 2 definida sobre el intervalo [0, 2]. Mediante el cálculo de sumas inferiores y superiores dé valores aproximados de la integral 2 0 f (x) dx, correspondientes a las representaciones siguientes: 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0 1 2 3 4 x y 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0 1 2 3 4 x y suma inferior con 10 subintervalos de igual longitud y suma superior con 10 subin- tervalos de igual longitud,respectivamente. 2. Aproximar b a f (x) dx calculando sumas superiores e inferiores, considerando las particiones indicadas. (a) 3 −1 |x| dx; P = −1, − 1 2 , 0, 1 2 , 1, 3 2 , 2, 5 2 , 3 (b) π 4 − π 4 3 sin x dx; P = − π 4 , 0, π 4 3. Usando la definición de integral demuestre que, para 0 <a<b: b a x 2 dx = 1 3 ( b 3 − a 3 ) Indicación.- Use la condición: x k−1 <x k ⇒ x 2 k−1 < 1 3 ( x 2 k + x k−1 x k + x 2 k−1 ) <x 2 k . 4. Evalue la integral 2 0 x 2 dx. Encuentre el valor de c ∈ [0, 2] que satisface la igualdad del teorema del valor medio para integrales b a f (x) dx = f (c)(b − a) ¿Cuál es el valor promedio de f en el intervalo [0, 2]? 1 b−a b a f (x) dx 5. Usando el teorema del valor medio para integrales, calcule lim n→∞ a n , donde a) a n =2n 2/n 1/n ( 1 − cos ( x 2 )) dx b) a n = 2n n 1 2n sin x x+1 dx
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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
HPV/
Práctica 1. 527147.
1. Considere la función f(x) = x2 definida sobre el intervalo [0, 2]. Mediante el cálculode sumas inferiores y superiores dé valores aproximados de la integral
∫2
0f (x) dx,
correspondientes a las representaciones siguientes:
0.0 0.5 1.0 1.5 2.00
1
2
3
4
x
y
0.0 0.5 1.0 1.5 2.00
1
2
3
4
x
y
suma inferior con 10 subintervalos de igual longitud y suma superior con 10 subin-tervalos de igual longitud,respectivamente.
2. Aproximar∫ ba f (x) dx calculando sumas superiores e inferiores, considerando las
particiones indicadas.
(a)
∫ 3
−1
|x| dx; P ={−1,−1
2, 0, 1
2, 1, 3
2, 2, 5
2, 3}
(b)
∫ π
4
−π
4
3 sinx dx; P ={−π4, 0, π
4
}
3. Usando la definición de integral demuestre que, para 0 < a < b:∫ b
ax2 dx =
1
3
(b3 − a3
)
Indicación.- Use la condición: xk−1 < xk ⇒ x2k−1 <1
3
(x2k + xk−1xk + x
2k−1
)< x2k.
4. Evalue la integral∫ 20x2 dx. Encuentre el valor de c ∈ [0, 2] que satisface la igualdad
del teorema del valor medio para integrales∫ b
af (x) dx = f (c) (b− a)
¿Cuál es el valor promedio de f en el intervalo [0, 2]?(
1
b−a
∫ ba f (x) dx
)
5. Usando el teorema del valor medio para integrales, calcule limn→∞
an, donde
a) an = 2n
∫ 2/n
1/n
(1− cos
(x2))dx b) an =
∫ 2n
n
1
2nsinxx+1 dx
