Ejercicios matematicos Mat2001

Programa de MatemáticaDirección de Formación General

GUÍA DE EJERCICIOS RESUMEN PRUEBA Nº 3 ALGEBRA

1. Se añade una cierta cantidad de sal a 1 litro de agua, la cantidad Q(t) de sal que no

se disuelve después de t minutos, está dada por

Q( t )=10⋅( 45 )t

en gramos.a. ¿Cuánta sal se añadió al agua inicialmente? (2 puntos) b. Después de 5 minutos. ¿Cuánta sal no se disuelve aún? (2 puntos)

DESARROLLO

a. Para t=0 se tiene

Q(0 )=10⋅( 45 )

0

=10⋅1=10

Respuesta: 10 gramos

b. Para t=5 se tiene

Q(5 )=10⋅( 45 )5=10⋅(1024

3125 )=3 ,2768

Respuesta: 3,3 gramos aproximadamente

2. Un medicamento se elimina del organismo a través de la orina. La cantidad de medicamento en el cuerpo t horas después de haberlo administrado está dada por

N ( t )=10⋅0,8t en milígramos.

a. Calcule la cantidad de fármaco inicial en el organismo. b. Calcule la cantidad del fármaco restante en el organismo 8 horas después de

la ingesta inicial.

DESARROLLO:

a. Para t=0 se tiene N ( t )=10⋅0,80=10

Respuesta: 10 gramos

b. Para t=8 se tiene N (8 )=10⋅0,88=1 ,6777

Respuesta: 1,7 gramos aproximadamente

ALGEBRA PEV MAT2001 2012-2

1 PUNTO

1 PUNTO

1 PUNTO

1 PUNTO

1 PUNTO

1 PUNTO

1 PUNTO

1 PUNTO

1


3. De acuerdo con la ley del enfriamiento de Newton, un objeto se enfría en forma directamente proporcional a la diferencia de temperatura entre el objeto y el medio que lo rodea. Así puede mostrarse que su temperatura f(t) después de t horas de un objeto está dada por

f ( t )=C⋅e−0 ,04 t+T a donde C=20 ,5 y la temperatura ambiental es de

T a=16 °C.

a. Determine la función que modela dicha situación. (1 punto)b. Determine la temperatura a las 5 horas (1 punto)c. ¿Después de cuánto tiempo la temperatura es de 30,8ºC? (2 puntos)

DESARROLLO:

a. Se tiene C=20 ,5y T a=16 °C

Asi f ( t )=20 ,5⋅e−0 ,04 t+16

b. Para t=5 se tiene f ( t )=20 ,5⋅e−0 ,04⋅¿ 5+16=32 ,78

Respuesta: 32,8°C

c. f ( t )=20 ,5⋅e−0 ,04 t+16

30 ,8=20 ,5⋅e−0,04 t+16

30 ,8−16=20 ,5⋅e−0 ,04 t

30 ,8−1620 ,5

=e−0 ,04 t

/ln

ln (0 ,72 )=−0 ,04 t

ln (0 ,72 )−0 ,04

=t⇒ t=8 ,14

Respuesta: Después de 8 horas aproximadamente

4. Si el valor de los bienes raíces se incrementa a razón del 5% por año, entonces, después de t

años, el valor V ( t ) de una cierta casa comprada, en UF, está dada por V ( t )=C⋅A t , donde

C=2 .300 y A=1 ,05 .a. Determine la función que modela dicha situación. (1 punto)b. Determine el valor inicial de la propiedad (1 punto)c. ¿Después de cuánto tiempo el valor de la propiedad es 2.663 UF? (1 punto)

DESARROLLO:


1 PUNTO

1 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

2


a. Se tiene C=2 .300 y A=1 ,05

Así V ( t )=2. 300⋅(1 ,05 )t

b. Para t=0 se tiene V (0 )=2 .300⋅(1 ,05)0=2 . 300⋅(1 )=2 .300

Respuesta: El valor inicial de la propiedad es de 2.300 UFde

c. V ( t )=2. 300⋅(1 ,05 )t

2 .663=2 .300⋅(1 ,05)t

2.6632300

=(1 ,05 )t

/log

log( 2 . 6632300 )=log(1 ,05 )t

log( 2 . 663

2300 )=t⋅log(1 ,05 )

log ( 2 . 6632300 )

log (1 ,05 )=t⇒t=3

Respuesta: A los 3 años

5. En twitter se esparce un rumor, de modo que cada minuto se duplica la cantidad de personas que se enteran del mismo. Si la cantidad de personas que saben del rumor

está dado por la función: P( t )=2t , donde t son los minutos desde que se originó dicho rumor. Identifique la gráfica que modela dicha situación. (2 puntos)


1 PUNTO

1 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

3


DESARROLLO:

Evaluamos en x=0

y tenemos P(0 )=20=1

Se descarta el modelo 2 pues en x=0 pasa por 1

Evaluamos x=1 para ver cuál de los modelos es el correcto,

P(1)=21=2Se descarta el modelo 3 pues en x=1 pasa por 3

Respuesta: El modelo 1.6. La cantidad de virus que tiene un computador en mal estado al cabo de t horas

puede ser modelada por V=4⋅2t4

. Identifique la gráfica que modela dicha situación.

DESARROLLO:

Evaluamos en x=0 y tenemos V (0 )=4⋅2

04=4

Se descarta el modelo 3 pues en x=0 pasa por 1

Evaluamos x=2 para ver cuál de los modelos es el correcto,

V (2 )=4⋅224=4⋅1 ,41=5 ,6568

Se descarta el modelo 1 pues en x=2

pasa por aproximadamente 7

Respuesta: El modelo 2.

7. La intensidad del sonido que percibe el oído humano tiene diferentes niveles. Una fórmula para hallar el nivel de intensidad α , en decibeles, que corresponde a

intensidad de sonido I es:

α=10⋅log( II 0) donde I0 es un valor especial de I que


0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

4


corresponde al sonido más débil que puede ser detectado por el oído bajo ciertas condiciones. Encuentre α en los casos siguientes considerando I0 = 1a. I es 10 veces I0 (1 punto)b. I es 10.000 veces I0 (este es el nivel de intensidad promedio de la voz

humana) (1 punto)

c. I es 1014 ,1veces I0 (este nivel de intensidad produce dolor en un oído humano

común) (2 punto)

DESARROLLO:

a.

α=10⋅log( II 0)

α=10⋅log(10 I 0

I0)⇒α=10⋅log (10 )

⇒α=10

Respuesta: 10 decibeles.

b.

α=10⋅log( II 0)

α=10⋅log( 1.000 I 0

I 0)⇒α=10⋅log (1 .000 )

⇒α=10⋅4⇒α=40


c.

α=10⋅log( II 0)

α=10⋅log(1014 ,1 I 0

I 0)⇒α=10⋅log ( 1014 ,1)

⇒α=10⋅14 ,1⇒α=141


8. El crecimiento (altura=h) de árboles enanos en un vivero esta dado por

h=2,5⋅log(0 ,75 t+1 )+10,5 donde t es el tiempo en meses y h en centímetros. a. ¿Inicialmente, cuál es la altura de los árboles? (2 punto)


1 PUNTO

1 PUNTO

1 PUNTO

5


b. ¿Qué altura tendrán los árboles después del año? (2 punto)

DESARROLLO

a. h=2,5⋅log(0 ,75 t+1 )+10,5

h( 0)=2,5⋅log(0 ,75 0+1)+10,5h( 0)=2,5⋅log(1 )+10,5h( 0)=2,5⋅0+10,5⇒h(0)=10,5

Respuesta: La altura será 10,5 cm.

b. h(12 )=2,5⋅log(0 ,75 12+1 )+10,5

h(12 )=2,5⋅log(9+1 )+10,5h(12 )=2,5⋅log(10)+10,5h(12 )=2,5⋅1+10,5⇒h(12)=13

Respuesta: La altura será 13 cm.

9. En un laboratorio se estudia la cantidad de bacterias (en miles) al reproducirse después de x segundos, la que está dada por una función logarítmica de la forma y=logb ax . Si b=10 y a=1.000.

a. Determine la función que modela dicha situación. (1 punto)b. Determine la cantidad de bacterias después de 1 minuto y 40 segundos. (1

punto)c. ¿Después de cuánto tiempo hay 9.000 de bacterias? (2 punto)

DESARROLLOa) Se tiene que b=10 y a=1.000.

Respuesta: Por lo tanto la función es y = log10 1.000 x

b) y(100)= log10 (1.000⋅100 ) = 5Respuesta: Al cabo de un minuto y cuarenta segundos hay 5.000 bacterias.

c) y =

log10 1.000 x

9 = log10 1.000 x

1 .000 x=109

x=109

1.000 ⇒ x=1. 000 . 000Respuesta: Al cabo de 1.000.000 segundos, equivalente a 11 días, con 13 horas, 46 minutos y 40 segundos.


1 PUNTO

1 PUNTO

1 PUNTO

1 PUNTO

1 PUNTO

0,5 PUNTO

1 PUNTO

1 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

6


10. En una tienda que se dedica a la venta de repuestos automotrices el valor a pagar (en ciento de miles de pesos) de x cantidad de neumáticos está dado por una

función logarítmica de la forma y=logb ax , donde b=3 y a=243.

a. Determine la función que modela dicha situación. (1 punto)b. Determine el valor a pagar si se compran 12 neumáticos (1 punto)c. Si el valor a pagar es de $663.093. ¿Cuántos neumáticos se compraron? (2

punto)

DESARROLLOa) Se tiene que b=3 y a=243.

Respuesta: Por lo tanto la función es y = log 3243x

b) y(12) =

log 3(243⋅12 )=7,261859

Respuesta: El valor a pagar es de $726.186.

c) y =

log 3243x

log 3243x=6 ,63093

36 ,63093=243 x

36 ,63093

243=x

⇒ x=6Respuesta: Se compraron 6 neumáticos.

11. Un analista de programación necesita crear un programa que calcule el t en la

siguiente función: 100=5⋅(1+x )t

, el recordó sus conocimientos de logaritmo y

creó la siguiente fórmula:

t=log(20 )log(1+x )

. ¿Cuál es el gráfico que representa la fórmula que programó el analista? (2 puntos)


0,5 PUNTO

1 PUNTO

1 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

7


DESARROLLO:

Evaluamos x=0 ,04 para ver cuál de los modelos es el correcto

t=log (20 )log (1+0 ,04 )

=log (20 )log (1 ,04 )

=76 ,3814

Se descarta el modelo 1 pues en x=0 ,04 pasa aproximadamente por 180

Se descarta el modelo 3 pues en x=0,04 pasa por 100



0,5 PUNTO

0,5 PUNTO0,5 PUNTO

8


12. La escala de decibeles está dada por la siguiente fórmula:dB=10⋅log(1012W )

, donde W es la potencia . ¿Cuál es el gráfico que modela la situación? .

DESARROLLO

Evaluamos W=3 para ver cuál de los modelos es el correcto

dB=10⋅log (1012¿ 3)=124 ,77

Se descarta el modelo 1 pues en W=3

pasa por 100

Se descarta el modelo 2 pues en W=3 pasa por aproximadamente 62


13. Un capital de $1.500.000 se invierte a un interés del 2% anual. Considere que la

cantidad final está dada por:

C f ( t )=C i⋅(1+ r100 )

t

.a. ¿Cuál es la función que modela esta situación? (2 punto)b. ¿Cuánto dinero se ganará si invierten el dinero en 7 años? (1 punto)c. ¿Cuánto tiempo deben invertir el dinero para obtener $5.000.000? (1

punto)

DESARROLLO

a. Se tiene C i=1. 500 .000

Luego con r=2%

C f ( t )=1 .500 .000⋅(1+ 2100 )

t

⇒C f ( t )=1. 500 .000⋅(1 ,02 )t


0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

9


Respuesta: La función esC f ( t )=1 .500 .000⋅(1 ,02 )t

b.C f (7 )=1. 500 .000⋅(1 ,02 )7=1 .500 . 000⋅1 ,15=1723028 ,50

Respuesta: Se tendrá $1.723.029, por lo que se ganara $223.029.-

c.

C f ( t )=1 .500 .000⋅(1 ,02 )t

5 .000. 000=1. 500 . 000⋅(1 ,02 )t5. 000 .0001. 500 .000

=(1 .02 )t /log

log( 5 .000 .0001 .500.000 )

log (1 ,02)=t ⇒t=60 ,7986

Respuesta: Se obtendrá $5.000.000 a los 61 años.

14. La temperatura de una enfierradura de hierro al soldarse decae al pasar el tiempo.

Esta temperatura está dada por la función: T ( t )=21+Ae−kt

. Si después de 2

minutos la temperatura del hierro será de 600oC

, además inicialmente la

temperatura era de 900oC

.a. ¿Cuál es la función que modela esta situación? (2 puntos)b. ¿Qué temperatura tendrá pasados unos 10 minutos? (1 punto)

c. ¿En cuántos minutos su temperatura será de 30oC

? (1punto)

DESARROLLO:

a. En t=0 , se tiene T (0)=21+Ae−k⋅0

900=21+A⋅1⇒ A=879

En t=2 , se tiene T (2)=21+879e−2 k

600=21+879e−2k

579=879e−2 k


0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

10


579879

=e−2k /ln

ln (579879 )=−2k

−0 ,417−2

=k⇒ k=0 ,21

Respuesta: Luego la función es T ( t )=21+879e−0 , 21 t

b. T (10)=21+879e−0 ,21⋅10=21+879e−2,1=21+107 ,64=129

Respuesta: Tendrá una temperatura de 129°C

c.

T ( t )=21+879e−0 , 21 t

30=21+879e−0,21 t

30−21879

=e−0 ,21 t

30−21879

=e−0 ,21 t /ln

ln (0 ,01024 )=−0 ,21 tln (0 ,01024 )

−0 ,21=t⇒ t=21 ,82

Respuesta: Aproximadamente a los 22 minutos.

15. El valor de un automóvil se deprecia cierto porcentaje cada año. El gráfico siguiente representa esta situación, donde “x” representa los años e “y” representa el valor del vehículo.


0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

11


a. Determine la función exponencial que modela la situación anterior. (3 puntos)b. ¿Cuál será el valor del automóvil al séptimo año? (1 punto)c. ¿Cuántos años habrán pasado si el valor del auto es de $1.555.622?(2 punto)

DESARROLLO:

a) S e consideran dos puntos de la grafica y la función de la forma f ( x )=T⋅ax

Se tiene que en x=2 , f (2)=T⋅a2

5 .508 . 000=T⋅a2⇒T=5 .508 . 000

a2

Luego en x=3 , f (3)=T⋅a3

4 . 957. 200=T⋅a3

Reemplazando T en 4 . 957. 200=T⋅a3, tenemos

4 . 957. 200=5 . 508 .000

a2⋅a3

4 . 957. 200=5 .508 . 000⋅a⇒a= 4 . 957 .2005. 508 .000

=0,9

Asi con a=0,9 se tiene

⇒T=5 .508 .000

(0,9 )2=6 .800 .000


1 PUNTO

1 PUNTO

1 PUNTO

12


Respuesta: f ( x )=6.800.000 ∙(0,9)x

a) f (7 )=6.800 .000 ∙(0,9)7=3.252 .418,92

Respuesta: $3.252.419 será el valor del automóvil al séptimo año

b) f ( x )=6.800.000 ∙(0,9)x

1.555 .622=6.800 .000 ∙(0,9)x

1.555 .6226.800.000

=(0,9)x / log

log ( 1.555.6226.800.000 )=log (0,9)x

log ( 1.555 .6226.800 .000 )

log (0,9)=x

14≈ x Respuesta: Si el valor del auto es de $1.555.622 habrán pasado 14 años.


0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

13


16. El tamaño de un cultivo de bacterias crece cada 30 minutos. Esta situación la representa el siguiente gráfico, donde x representa el tiempo en horas e “y” representa la cantidad de bacterias (en millones).

a. Determine la función exponencial que modela la situación anterior. (3 punto)b. ¿Cuántas bacterias habrán al cabo de 300 minutos? (1 punto)c. ¿Dentro de cuántas horas, el cultivo tendrá 320 millones de bacterias? (2 punto)

DESARROLLO:

a) S e consideran dos puntos de la grafica y la función de la forma f ( x )=T⋅akx

Se tiene que en x=1 , f (1)=T⋅a1

20=T⋅a1⇒T=20a

Luego en x=2 , f (2)=T⋅a2

80=T⋅a2

Reemplazando T en 80=T⋅a2, tenemos

80=20a⋅a2

80=20⋅a⇒a=8020

=4

Asi con a=4 se tiene

⇒T=20( 4 )

=5


1 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

14


Respuesta: f ( x )=5 ∙4x=5∙(2)2x

b) 300minutos=5h oras , entonces f (5 )=5 ∙45=5.120

Respuesta: 5.120 millones de bacterias

c) f ( x )=5 ∙4x

320=5∙4 x

3205

=(4)x/ log

log (64)=log(4)x

log (64 )=xlog(4)❑

log (64 )log (4)

=x

3=x Respuesta: Habrán 320 millones de bacterias a las 3 horas


0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

0,5 PUNTO

15

Ejercicios matematicos Mat2001

Documents

Transcript of Ejercicios matematicos Mat2001