MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA

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Trabajo Práctico No. 9: Estimación de parámetros por intervalos Contenido: Estimación de parámetros poblacionales a través de Intervalos: media poblacional,

diferencia de medias poblacionales; cálculos e interpretación. Cálculo del tamaño muestral para obtener

un intervalo de confianza para con una amplitud determinada.

Lecturas recomendadas: Merodio, 1986. Cap.2: 26-29.; Zar, J,H., 1984. Cap.8: 115-116. Cap. 9:

131-132. ; Koch y Link, 1980. Cap.4: 79-121.

Idea principal

Las estimas de parámetros poblacionales a través de intervalos son uno de los conceptos estadísticos más útiles en geología porque los datos geológicos están caracterizados por una variabilidad grande y cambiante. Con los intervalos de confianza se incorporan, en una relación numérica la variabilidad, el tamaño de la muestra y el promedio muestral para inferir el parámetro poblacional.

Para el desarrollo del TP se requiere el uso de las tablas de probabilidades”t”

9.1) Con el objeto de evaluar la responsabilidad en la contaminación del Riachuelo de una industria de biomateriales se efectuaron durante los 20 días hábiles de un mes muestreos del efluente industrial. Las muestras se analizaron químicamente. A continuación se presenta el contenido de plomo medido en ng/l. Sabiendo que el contenido de metal es una variable normalmente distribuida, interesa caracterizar el contenido promedio y la variabilidad que presenta el metal en la veta.

a) Con los datos adjuntos calcule el promedio y desvío estándar de las 5 primeras muestras. Complete la tabla con la información obtenida.

b) Determine, con un grado de confianza de 0,90, los intervalos para las muestras de los

20 días suponiendo que se conoce que la variabilidad poblacional (, desviación estándar poblacional) del plomo es igual a 900 ng/l.

c) Ubique en un gráfico los intervalos calculados en el punto anterior d) Suponiendo que la concentración media de Pb fuera 9000 ng/l, ubique dicho valor

en el gráfico. Calcule la proporción de intervalos de confianza que lo cubren. Comente la relación existente entre dicha proporción y el grado de confianza utilizado.

e) Suponiendo que la desviación estándar poblacional fuera desconocida, proceda a responder los puntos a, b, y c. Compare el gráfico obtenido con el anterior.

f) Si se trabaja con un grado de confianza del 95%, - ¿Cómo se modificaría la amplitud de los intervalos? - ¿Qué número de intervalos esperaría que contuvieran al valor verdadero?

g) ¿Cómo se modificaría la amplitud de los intervalos si la distancia de muestreo disminuyera y se aumentara el número de muestras de cada perforación?

Muestra día Nº

1 8415 8100 8820 10215 7875 10800 8235 10305

2 8235 11430 9630 9180 9990 9765 9495 9270

3 8280 9225 10440 9135 8190 7695 9810 8820

4 8460 9495 7290 6255 9675 7650 8955 8775

5 9675 8955 8370 10170 11025 9900 9450 9495

Muestra día Nº Promedio X

Desvío estándar (s)

σ2=900 Utilizando “s”

Lim. inf. Lim. Sup. Lim. inf. Lim. Sup.

1

2

3

4

5

6 9131 1022

7 8721 1035

8 8802 1080

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9 9365 707

10 9018 563

11 8996 1040 8468 9568 8674 9362

12 8937 995 8446 9545 8360 9631

13 8550 1022 8387 9487 8329 9545

14 8892 1013 8000 9100 7926 9174

15 8600 617 8342 9442 8273 9511

16 8726 621 8050 9149 8223 8976

17 9257 702 8176 9275 8346 9105

18 8978 644 8707 9806 8828 9685

19 8681 981 8428 9527 8584 9371

20 8879 1283 8131 9230 8081 9280

Pb

ng

/l

Muestra día Nº

Pb

ng

/l

Muestra día Nº

9.2) Un grupo de muestras de una de las perforaciones también se analizó por su posible contenido de mercurio. Los resultados expresados en partes por millón (ppm) son los siguientes:

0,0140 0,0120 0,0130 0,0127 0,0117 0,0133 0,0123 0,0123 0,0110

a) Suponiendo que la variable “concentración de Hg” se distribuye normalmente, estime con un 90% de confianza, la concentración media del agua.

b) Si para tomar la decisión de multar la industria por contaminación hubiera que aumentar la precisión de la estimación lograda en a deseando reducir la amplitud del intervalo a la mitad pero manteniendo constante el grado de confianza, calcule la extensión de la muestra con que debería trabajar.

9.3) En los Andes mendocinos se halla Los Baños del Volcán Peteroa-Azufre. Asociadas a la actividad geotermal se producen emisiones difusas de dióxido de carbono (flujo de CO2). Se realizó un muestreo en el valle del arroyo en donde se encuentran construidas piletas individuales de agua termal de uso público. Se desea estimar el valor promedio diario de dióxido de carbono en el aire del área de las piletas.

a) ¿Cómo procedería experimentalmente para obtener los datos necesarios que le permitiesen cumplir con dicha finalidad?

b) Suponga que los valores obtenidos de CO2 (en log g/m2 día), al extraer 15 muestras de aire durante 15 días consecutivos son los siguientes:

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1,5 4,35 2,55 3,65 2,35 2,65 3,1 1,95 1,85 4,15 2,25 2,8 1,6 3,1 2,5

Proceda a realizar una estimación por intervalos de la media de CO2. Si va a utilizar su estima para comparar con el valor máximo permitido, ¿debe construir de intervalos de 2 colas o de 1 sola cola?

9.4) Se llevó a cabo un estudio de prospección geoquímica minera de metales base y metales preciosos en la región de Aysén (Patagonia Chilena). Se tomaron muestras de las andesitas de la Fm. Ibañez. A continuación se presentan los resultados hallados para Ag y Cu.

Metal Nº de muestras

Promedio (ppm)

Desvío estándar (ppm)

Contenido Medio global para esta roca (ppm)

Ag 31 0,09 0,08 0,07-0,10

Cu 31 16,6 15,7 30-72

Interesa saber (con una certeza del 90% y del 95% en ambos casos) si la región puede considerarse de interés minero para alguno de los metales y merece que se realicen más campañas de exploración ¿Debe construir de intervalos de 2 colas o de 1 sola cola? 9.5) Con el objetivo de evaluar la aptitud para el riego se tomaron 6 valores de conductividad del agua en la laguna Cildáñez ubicada en el departamento de Chascomús. El criterio de peligro de salinidad del U.S. Salinity Laboratory Staff (Richards, 1974) utiliza la concentración total de sales solubles expresada mediante la conductividad eléctrica (C.E.) en microsiemens por cm (mS/cm) a 25 ºC. Las aguas para riego se dividen en cuatro clases cuyos límites son:

Categoría Salinidad (mS/cm)

Baja salinidad <250

Mediana salinidad 250-750

Altamente salina 750-2.225

Muy altamente salina > 2250

Los datos obtenidos fueron: 1733 – 1220 – 1370 – 1518 – 1425 – 1005 - 1984

Interesa conocer con un 95% de confianza en que categoria se encuentra el agua de la laguna Cildañez.