Ejercicios Distribuciones multivariantes

7/22/2019 Ejercicios Distribuciones multivariantes

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Distribuciones Multivariantes

Distribucin conjunta de un vector aleatorio

Distribuciones marginales y condicionadas

Independencia entre variables aleatorias

Caractersticas de un vector aleatorio

Esperanza

Varianza, Covarianza, Correlacin

Transformaciones de vectores aleatorios

Distribucin Normal multivariante

Estadstica. Profesora: Mara Durbn

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Objetivos del tema:

Al final del tema el alumno ser capaz de:

Utilizar la funcin de probabilidad o densidad conjunta para el clculo deprobabilidades

Calcular distribuciones marginales y condicionadas a partir de lasconjuntas

Interpretar y calcular covarianzas y correlaciones entre variables aleatorias

Calcular medias y varianzas de transformaciones lineales de vectoresaleatorios

Comprender las propiedades de la distribucin Normal bivariante



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1. Distribucin conjunta de un vector aleatorio

2. Distribuciones marginales y condicionadas

3. Independencia entre variables aleatorias

4. Caractersticas de un vector aleatorio

EsperanzaVarianza, Covarianza, Correlacin

5. Transformaciones de vectores aleatorios

6. Distribucin Normal multivariante



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En el tema anterior estudiamos distribuciones de probabilidad para unavariable aleatoria. Sin embargo, a menudo nos interesa estudiar ms deuna variable en un experimento aleatorio.

Por ejemplo, en la clasificacin de seales emitidas y recibidas, cada sealse clasifica como de baja, media o alta calidad.Podemos definir:X=nmero de seales de baja calidad recibidas, eY=nmero de seales de alta calidad.

En general, si X e Y son dos variables aleatorias, la distribucin deprobabilidad que define simultneamente su comportamiento sellama distribucin de probabilidad conjunta.


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Variables discretas

Dadas dos v.a. discretas, , definimos su funcin distribucin deprobabilidad mediante la funcin de probabilidad conjunta:

( , ) Pr( , )p x y X x Y y= = =

,X Y

Como en el caso unidimensional est funcin debe verificar:

( , ) 0

( , ) 1x y

p x y

p x y

=

La funcin de distribucin conjunta:

0 0

0 0 0 0( , ) Pr( , ) Pr( , )x x y y

F x y X x Y y X x Y y

= = = =


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Ejemplo

En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisin de informacindigital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o noaceptable, dependiendo de la calidad de la seal recibida.Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:

X = Nmero de bits aceptablesY = Nmero de bits sospechosos


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Ejemplo


0 1 2 3 4

4 4.1x10-5

3 4.1x10-5 1.84x10-3

2 1.54x10-5 1.38x10-3 3.11x10-2

1 2.56x10-6 3.46x10-4 1.56x10-2 0.2333

0 1.6x10-7 2.88x10-5 1.94x10-3 7.83x10-2 0.6561

( , ) 0

( , ) 1x y

p x y

p x y

=

X

Y


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Ejemplo


0 1 2 3 4

4 4.1x10-5

3 4.1x10-5 1.84x10-3

2 1.54x10-5 1.38x10-3 3.11x10-2

1 2.56x10-6 3.46x10-4 1.56x10-2 0.2333

0 1.6x10-7 2.88x10-5 1.94x10-3 7.83x10-2 0.6561

Pr( 1, 2)X Y

X

Y


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Distribucin Multinomial

Un experimento se repite n veces de forma independiente:

1. El experimento tiene k posibles resultados

2. La probabilidad de cada resultado, se mantiene constante

La variable = el nmero de veces que ocurre el resultado i-simo

1 2, , kp p pK

1 2, , kX X XK

iX

siguen una distribucin multinomial con funcin de probabilidad

conjunta:

1 2

1 1 2 2 1 2

1 2

1 2 1 2

!Pr( , , , )

! ! !

1

kxx x

k k k

k

k k

nX x X x X x p p p

x x x

x x x n p p p

= = = =

+ + + = + + + =

K KK

K K


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Ejemplo

Las probabilidades de que cierta lmpara de un modelo de proyector duremenos de 40 horas, entre 40 y 80 horas, y ms de 80 horas de uso son0.3 ; 0.5 y 0.2 respectivamente.

Calcular la probabilidad de que entre 8 de tales lmparas, 2 duren menos de40 horas; cinco duren entre 40 y 80 horas, y una dure ms de 80 horas.

Hay 3 resultados posibles: 1 1

2 2

3 3

40 0.3

40 80 0.5

80 0.2

X dura p

X dura p

X dura p

= < =

= =

= > =

2 5

1 2 3

8!Pr( 2, 5, 1) 0.3 0.5 0.2 0.095

2!5!1!X X X= = = = =


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Variables continuas

Dadas dos v.a. continuas, definimos su funcin distribucin deprobabilidad mediante la funcin de densidad conjunta:

( , )f x y

,X Y

Como en el caso unidimensional est funcin debe verificar:

( , ) 0

( , ) 1

f x y

f x y dxdy+ +

=

La funcin de distribucin conjunta:

0 0

0 0 0 0( , ) Pr( , ) ( , )y x

F x y X x Y y f x y dxdy

= =

2 ( , )( , ) d F x yf x ydxdy

=


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Variables continuas

La probabilidad ahora se calcula como un volumen:

Pr( , ) ( , )b d

a ca X b c Y d f x y dxdy =

Pr( 1 1, 1.5 1.5)X Y


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Variables continuas

La probabilidad ahora se calcula como un volumen:

Pr( , ) ( , )b d

a ca X b c Y d f x y dxdy =

Pr( 1 1, 1.5 1.5)X Y


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Ejemplo

Sea X la variable aleatoria que representa el tiempo hasta que un servidorse conecta con tu ordenador (en milisegundos) e Y el tiempo hasta que elservidor te autoriza como usuario.

La funcin de densidad conjunta viene dada por:

6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y=

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