Ejercicios: determine dominio y recorrido:

a)

b)

xy

1

3

3

x

xy

f(x) = 2x + 1

f(x) = x2 + 1

f(x) =

f(x) =

f(x) =

x

31

2 x

3x

Dado f(x) = x2 - 2x, determina:

a) f(-1)

b) f(4)

c) f(-1/2)

d) f(a - 1)

Si f(x) = , determina:

a) f(1/2)

b) f(2)

c) f(-2)

d) f(1 - a)

x

x

2

23

; sif(x) = ; si

; si

entonces: f(-2) = f( ) = f(-4) = f(7) =

13 x 3x22 x32 x 32 x

2x

21

Representa gráficamente:

a) y = 2x + 1

b) y = - x + 2

c) y=

d) y = -2

4

2x

En general, el recorrido es un subconjunto del codominio (o conjunto de llegada).

Definir dominio (Dom) y recorrido (Rec) de la función f(x) =

Primero buscamos en el conjunto de números solución, aquellos elementos reales de x, para los cuales es un número real.

de otro modo sería la raíz cuadrada de un número negativo, que no es número real.

2x

2x

022 xx 2x

Por lo tanto, el dominio es el conjunto de todos los números reales que satisfacen:

O bien

Podemos escribir este resultado comoDom =

02 x

2x

}2/{ xx

Este conjunto o intervalo de números reales se escribe como:

[-2, +∞)

Expresión analítica de una función:

Como veíamos en los ejemplos anteriores, a veces una función, se puede expresar mediante una fórmula que permite calcular las imágenes de los elementos del primer conjunto o las preimágenes de los elementos del segundo.

Por ejemplo la función f: que asigna a cada número real x, el triple de su cuadrado, disminuido en 3, la escribimos:

Usamos esta expresión analítica de la función para encontrar la imagen de y la preimagen de 0.

33)( 2 xxf

2

1

Para calcular la imagen de reemplazamos x por en la expresión analítica:

3)(3)( 221

21 f

2

1x

2

1

33 41

49

Para calcular la imagen de , debemos reemplazar por 0 y despejar en la expresión analítica. Se tiene:

0y)(xfy

330 2 x

233 x21 x

x1

El 0 tiene dos preimágenes (1 y -1) por medio de esta función.

Ejercicio: dada la función real

Determine: A) Dom(g) B) Rec(g)

14

1)(

:

xxg

Ag

Solución:a) Buscamos el conjunto de todos los números reales x para los cuales es un número real. Numerador y denominador deben ser reales, lo que en este caso es cierto para todo valor real de x. además como una fracción representa una división, el denominador que corresponde al divisor no puede ser cero, porque la división por cero no está definida.

14

1

x

Entonces se tiene:

Resolviendo tenemos , que es el único número para el cual denominador de la fracción es cero.

01414

1

x

x

014 x 41x

Por lo tanto, el dominio de la función es el conjunto de todos los números reales sin .

Dom(g) =

4

1

}{41

b) para el recorrido, buscamos el conjunto de todos los números reales y que son la imagen de algún x en el dominio de g.

Como regla, para determinar el recorrido de una función, despejaremos x de su expresión analítica:

y

yx

yxy

yxy

xy

xy

4

1

14

14

1)14(

14

1

En este caso, x también resulta ser un cuociente, que es número real si el divisor es distinto de cero:

Como 4y = 0 si y = 0, entonces diremos que el recorrido de g son los números reales sin el cero:

Rec(g)

044

1

y

y

y

}0{