EJERCICIOS DE

SERIES DE FOURIER

Judith Montilla

C.I.: 18.263.657

Análisis de Señales

Prof: Francisco Olivares

Saia A

2016

EJERCICIOS DE SERIES DE FOURIER

1

Autor: Judith Montilla

Tarea #3 Ejercicios

Realice la serie exponencial de fourier donde se muestren los tres primeros términos de la

serie para un tren de pulso rectangular de altura 5 unidades y de ancho 7 unidades cuyo

periodo sea 8 unidades.

𝒇(𝒕) = {𝟎 − 𝟒 < 𝒕 < −𝟑. 𝟓𝟓 − 𝟑. 𝟓 < 𝒕 < 𝟑. 𝟓

𝟎 𝟑. 𝟓 < 𝒕 < 𝟒

La serie exponencial de Fourier:

𝐹(𝑡) = 𝐶0 + ∑ 𝐶𝑚𝑒−𝑖𝑚𝑤0𝑡

∝

𝑚=0

𝐶0 =1

𝑇∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑇+𝑇0

𝑇

𝐶𝑚 =1

𝑇∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑖𝑚𝑤0𝑡𝑑𝑡

𝑇+𝑇0

𝑇

tomamos el intervalo −3.5 < 𝑡 < 3.5, ya que en los otros intervalos la función 𝑓(𝑡) es cero.

𝐶0 =1

8∫ 5𝑑𝑡

3.5

−3.5

=1

8[(5 × 3.5) − (5 × (−3.5))] = 4.375

𝑪𝟎 = 𝟒. 𝟑𝟕𝟓

EJERCICIOS DE SERIES DE FOURIER

2

Autor: Judith Montilla

Se calcula el termino 𝐶𝑚, para el cual sabemos que

𝑤0 =2𝜋

𝑇=

2𝜋

8=

𝜋

4

𝐶𝑚 =1

8∫ 5𝑒−𝑖

𝑚𝜋4

𝑡𝑑𝑡 =5

8∫ (cos

𝑚𝜋

4− sin

𝑚𝜋

4) 𝑑𝑡

3.5

−3.5

3.5

−3.5

5

8∫ cos

𝑚𝜋

4𝑡 𝑑𝑡 =

5

𝜋𝑚sin (

𝑚𝜋7

8)

3.5

−3.5

5

8∫ −sin (

𝑚𝜋

4𝑡) 𝑑𝑡 = 0

3.5

−3.5

𝑪𝒎 =𝟓

𝝅𝒎𝐬𝐢𝐧 (

𝒎𝝅𝟕

𝟖)

Para m=1, -1, 2, -2, 3, -3:

𝑪𝟏 = 𝑪−𝟏 =𝟓

𝝅𝐬𝐢𝐧 (

𝟕𝝅

𝟖) = 𝟎, 𝟎𝟕𝟔𝟑𝟑

𝑪𝟐 = 𝑪−𝟐 =𝟓

𝟐𝝅𝐬𝐢𝐧 (

𝟕𝝅

𝟒) = 𝟎, 𝟎𝟕𝟔𝟐

𝑪𝟑 = 𝑪−𝟑 =𝟓

𝟑𝝅𝐬𝐢𝐧 (

𝟐𝟏𝝅

𝟖) = 𝟎, 𝟎𝟕𝟔𝟏

Entonces la ecuación para los 3 primeros términos es:

𝑓(𝑡) = ∑ 𝐶𝑚𝑒𝑖𝑤0𝑡

3.5

−3.5

𝑓(𝑡) = 0,07633𝑒𝑖𝜋4

𝑡 + 0,07633𝑒−𝑖𝜋4

𝑡 + 0,0762𝑒𝑖𝜋2

𝑡 + 0,0762𝑒−𝑖𝜋2

𝑡 + 0,0761𝑒𝑖3𝜋4

𝑡 + 0,0761𝑒−𝑖3𝜋4

𝑡

+ 4.375

EJERCICIOS DE SERIES DE FOURIER

3

Autor: Judith Montilla

Conocemos que las ecuaciones de Euler son:

𝑒−𝑖𝜔𝑡 = cos 𝑤𝑡 − 𝑗 sin 𝑤𝑡

𝑒𝑖𝜔𝑡 = cos 𝑤𝑡 + 𝑗 sin 𝑤𝑡

Entonces:

𝒇(𝒕) = 𝟎, 𝟏𝟓𝟐𝟕 𝐜𝐨𝐬𝝅𝒕

𝟒+ 𝟎, 𝟏𝟓𝟐𝟒 𝐜𝐨𝐬

𝝅𝒕

𝟐+ 𝟎, 𝟏𝟓𝟐𝟐 𝐜𝐨𝐬

𝟑𝝅𝒕

𝟒+ 𝟒. 𝟑𝟕𝟓