Ejercicios de R-t- De Angulos Notables
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I.E 10214 LA RAMADA SALAS Matemtica 4 de Secundaria
Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz
RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS NOTABLES
Ejercicios Resueltos
Son aquellos tringulos rectngulos donde
conociendo las medidas de sus ngulos
agudos, se puede saber la proporcin
existente entre sus lados.
Como por ejemplo:
1. Tringulo Notable de 45
2. Tringulo Notable de 30 y 60
3. Tringulo Notables Aproximados
a) Tringulo de 37 y 53
b) Tringulo de 16 y 74
c) Tringulo de 8 y 82
1. Calcular: E = Sen230 + Tg37
Solucin:
Reemplazando valores:
1E4
3
4
1
4
3
2
1E
2
2. Evaluar: csc30
cos6045senE
2
Solucin:
Reemplazando:
2
1
2
2
1
4
2
2
2
1
2
22
E = 2
1
k k
k
k
45
45
2k 2k
60 60
30 30
k k k
2k 3 k
60
30
k
8
82
7k
k25
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I.E 10214 LA RAMADA SALAS Matemtica 4 de Secundaria
Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz
Prctica dirigida N 01
53sec345sec30tg6E
01. Calcular: E = (sen30 + cos60)tg37
a) 1 b) 2 c) 1/4
d) 3/4 e) 4/3
02. Calcular
45sec.237cos.10
60.330.
tgsenF
a) 1 b) 1/2 c) -1/3
d) 2 e) 2/3
03. Calcular:
a) 3 b) 5 c) 7
d) 9 e) 11
04. Calcular: E = sec37 + ctg53 - 2sen30
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
05. Resolver:
5xsen53 - 2sec60 = xtg45 + sec245
a) 1 b) 2 c) 3
d) 1/2 e) 1/4
06. Indicar el valor de x en:
tg(2x - 5) = sen230 + sen260
a) 15 b) 20 c) 25
d) 30 e) 35
07. Determine el valor de m para que x sea
30. 1m
1mx2cos
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
08. Sea:
2
9CotSec6.Tg3
2
9Csc.Cos6.en3
F
S
Para evaluar: = 10
a) 13 b) 6 / 8 c) 15
d) 15 / 7 e) 17
09. Del grfico hallar: ctg
a) 1,6
b) 1,7
c) 0,4
d) 0,6
e) 1,4
10. Del grfico, hallar Ctg
a) 5
4
b) 4
7
c) 5
2
d) 5
7
e) 1
11. Del grfico calcular: seny
senxE
a) 5
24
b) 5
4
c) 5
2
d) 24
e) 1
x + 3
2x + 1 5x - 3
45
x y
53 45
53
10
5
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I.E 10214 LA RAMADA SALAS Matemtica 4 de Secundaria
Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz
Tarea N 01
1. Calcular:
E = (sec245 + tg45) ctg37 - 2cos60
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
2. Calcular: x
3xsec53 - tg45 = sec60(sec45 + sen45)csc30
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
3. Calcular: E = (tg60 + sec30 - sen60)sec60
a) 25/12 b) 25/24 c) 49/12
d) 49/24 e) 7/18
4. Calcular:
45Sen
Cos30Sen37Sec60Tg30E
2
a) 5
3 b)
5
311 c)
5
33
d) 3
35 e)
5
32
5. Calcular:
2
45tg
a) 2 b) 12 c) 12
d) 21 e) 22
6. Hallar x.
Siendo: Csc30
145xCsc
a) 1 b) 2 c) 1
d) 2 e) 3
7. Determine tg en el grfico.
a) 3
b) 3
3
c) 2
3
d) 6
3
e) 2
33
8. De la figura calcular a/b
a) 1
b) 2
c) 5
d) 7
e) 8
9. Del grfico hallar x
y
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 6
30
37
x y y
a + b
a - b
53
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I.E 10214 LA RAMADA SALAS Matemtica 4 de Secundaria
Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz
PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS
Ejercicios Resueltos
1. Razones Trigonomtricas Recprocas
PPaarraa uunn mmiissmmoo nngguulloo,, ssiieemmpprree ssee ccuummppllee::
EEjjeemmppllooss::
SSeenn 1100 .. CCsscc1100 == 11
TTgg AA .. CCttgg AA == 11
CCooss((xx++yy))..SSeecc((xx++yy)) == 11
CCsscc((xx ++ yy zz)).. SSeenn((xx ++ yy zz)) == 11
22.. RRaazzoonneess ttrriiggoonnoommttrriiccaass ddee nngguullooss
CCoommpplleemmeennttaarriiooss
SSii:: yy ssoonn ddooss nngguullooss ccoommpplleemmeennttaarriiooss,,
ssiieemmpprree ssee ccuummppllee qquuee::
Es decir: + = 90
Ejemplos:
Sen20 = Cos 70
Tg 50 = Ctg 40
Sec 80 = Csc10
1. Resolver el menor valor positivo de x verifique:
Sen5x = Cosx
Solucin:
Dada la ecuacin: Sen5x = Cosx
Luego los ngulos deben sumar 90, entonces:
5x + x = 90
6x = 90
.x = 15.
2. Resolver x el menor positivo que verifique:
Sen3x Cosy = 0
Tg 2y . Ctg30 1 = 0
Solucin:
Ntese que el sistema planteado es
equivalente a:
Sen3x = Cosy 3x + y = 90 (R.T. complementarios)
Tg2y . Ctg30 = 1 2y = 30
(R.T. recprocas)
.y = 15.
Reemplazando en la primera igualdad:
3x + 15 = 90
3x = 75
.x = 25.
33.. SSii:: SSeenn 99xx CCooss 44xx == 00,,
ccaallccuullaarr:: Ctg6x
Tg7xP
SSoolluucciinn::
DDeell DDaattoo:: SSeenn 99xx == CCooss 44xx
99xx ++ 44xx == 9900
1133xx == 9900
Sen . Csc = 1
Cos . Sec = 1
Tg . Ctg = 1
sen = cos
tg = ctg
sec = csc
a
b
c
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I.E 10214 LA RAMADA SALAS Matemtica 4 de Secundaria
Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz
Prctica Dirigida N 02
PPeerroo:: 77xx ++ 66xx == 1133xx
77xx ++ 66xx == 9900
EEnnttoonncceess:: RR..TT..((77xx)) == CCooRR..TT..((66xx))
LLuueeggoo:: 1Ctg6x
Tg7x
P = 1
1. Poner V o F segn convenga:
a) sen20 = cos70 ( )
b) tg10 . ctg10 = 1 ( )
c) sec(x + 40) = csc(50 - x) ( )
d) tg(x + y) . ctg(x + y) = 1 ( )
e) tg20 = ctg20 ( )
2. Seale el valor de x
Si: Sen2x . Csc40 = 1
a) 10 b) 5 c) 15
d) 20 e) 40
3. Sabiendo que: Tg 5x . Ctg(x + 40) = 1 Calcular: Cos3x
a) 1 b) 2
1 c)
2
2
d) 3 e) 3
2
4. Hallar x
Si: Cos(3x 12) . Sec(x + 36) = 1 a) 12 b) 24 c) 36 d) 48 e) 8
5. Determine x en: Sen(3x + 25) . Csc(x + 35) = 1
a) 5 b) 8 c) 10 d) 15 e) 20
6. Calcular: E = (7tg10 - 2ctg80) (ctg10 + tg80)
a) 5 b) 14 c) 10 d) 12 e) 8
7. Calcular: csc50
3sec40
ctg70
2tg20
cos80
sen10E
a) 1 b) 2 c) 0 d) -1 e) -2
8. Si: Sec7x = Csc4x
Calcular: Ctg8x
Tg3x
Cos10x
2SenxE
a) 0 b) 1 c) 2 d) -1 e) -2
9. Calcular: cos(x + y)
Si: Sen(x 5) . Csc(25 - x) = 1
Sen(y + 10) = Cos(y + 20)
a) 2 b) 2
2 c)
2
1
d) 5
3 e)
2
3
10. Simplificar:
Ctg80........Ctg30Ctg20Ctg10
Tg80........Tg30Tg20Tg10E
a) 1 b) 2
1 c)
3
1
d) 2
3 e)
2
2
11. Determine x :
sec(2x - 8) = sen 40 csc 40 + 75ctg
15tg
a) 17 b) 20 c) 28 d) 30 e) 34
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I.E 10214 LA RAMADA SALAS Matemtica 4 de Secundaria
Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz
Tarea N 02
1. Seale el valor de x Si: Sen3x . Csc54 = 1 a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
2. Sabiendo que: Tg3x . Ctg(x + 40) = 1
Calcular: cos3x
a) 1 b) 2
1 c)
2
2
d) 5
3 e)
5
4
3. Seale el valor de x
Si: Cos(2x 10) . Sec(x + 30) = 1
a) 10 b) 20 c) 30
d) 40 e) 50
4. Si: Sen(3x 10) . Csc(x + 10) = 1
Calcular:
E = Sec6x . Tg8x . Tgx
a) 1 b) 2 c) 3
d) 2
3 e)
3
32
5. Calcular:
E = (4Sen2 + 3Cos88) Csc2
a) 14 b) 13 c) 11
d) 9 e) 7
6. Simplificar:
70csc
20sec5
60ctg
30tg3
80cos
10sen2E
a) 4 b) 6 c) 8
d) 10 e) 12
7. Si: Sen3x = Cos14x
Calcular:
x16csc
xsec2x12tgx5tgE
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
8. Si: Sec(4x 10) = Csc(40 - x)
Calcular: 2
x3cscx3tgE 2
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
9. Determine el valor de x en :
Tg(x 10) = Tg1 Tg2 Tg3 . Tg89
a) 30 b) 45 c) 55
d) 65 e) 75
10. Si: sen(x 20) = cos(y - 30)
Calcular:
)120ySen(x)85yCos(x
)2
yxCos()
4
yxSen(
a) 1/2 b) 2 c) -1
d) 0 e) 1
11. Calcular :
)x8
(ctg
)x8
3(tg
)x10
3cos(
)x5
(senE
a) 2 b) 3 c) 1
d) 0 e) 1/2