Ejercicios de R-t- De Angulos Notables

I.E 10214 LA RAMADA SALAS Matemtica 4 de Secundaria

Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz

RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS NOTABLES

Ejercicios Resueltos

Son aquellos tringulos rectngulos donde

conociendo las medidas de sus ngulos

agudos, se puede saber la proporcin

existente entre sus lados.

Como por ejemplo:

1. Tringulo Notable de 45

2. Tringulo Notable de 30 y 60

3. Tringulo Notables Aproximados

a) Tringulo de 37 y 53

b) Tringulo de 16 y 74

c) Tringulo de 8 y 82

1. Calcular: E = Sen230 + Tg37

Solucin:

Reemplazando valores:

1E4

3

4

1

4

3

2

1E

2

2. Evaluar: csc30

cos6045senE

2

Solucin:

Reemplazando:

2

1

2

2

1

4

2

2

2

1

2

22

E = 2

1

k k

k

k

45

45

2k 2k

60 60

30 30

k k k

2k 3 k

60

30

k

8

82

7k

k25



Prctica dirigida N 01

53sec345sec30tg6E

01. Calcular: E = (sen30 + cos60)tg37

a) 1 b) 2 c) 1/4

d) 3/4 e) 4/3

02. Calcular

45sec.237cos.10

60.330.

tgsenF

a) 1 b) 1/2 c) -1/3

d) 2 e) 2/3

03. Calcular:

a) 3 b) 5 c) 7

d) 9 e) 11

04. Calcular: E = sec37 + ctg53 - 2sen30

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

05. Resolver:

5xsen53 - 2sec60 = xtg45 + sec245

a) 1 b) 2 c) 3

d) 1/2 e) 1/4

06. Indicar el valor de x en:

tg(2x - 5) = sen230 + sen260

a) 15 b) 20 c) 25

d) 30 e) 35

07. Determine el valor de m para que x sea

30. 1m

1mx2cos

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

08. Sea:

2

9CotSec6.Tg3

2

9Csc.Cos6.en3

F

S

Para evaluar: = 10

a) 13 b) 6 / 8 c) 15

d) 15 / 7 e) 17

09. Del grfico hallar: ctg

a) 1,6

b) 1,7

c) 0,4

d) 0,6

e) 1,4

10. Del grfico, hallar Ctg

a) 5

4

b) 4

7

c) 5

2

d) 5

7

e) 1

11. Del grfico calcular: seny

senxE

a) 5

24

b) 5

4

c) 5

2

d) 24

e) 1

x + 3

2x + 1 5x - 3

45

x y

53 45

53

10

5



Tarea N 01

1. Calcular:

E = (sec245 + tg45) ctg37 - 2cos60

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

2. Calcular: x

3xsec53 - tg45 = sec60(sec45 + sen45)csc30

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3. Calcular: E = (tg60 + sec30 - sen60)sec60

a) 25/12 b) 25/24 c) 49/12

d) 49/24 e) 7/18

4. Calcular:

45Sen

Cos30Sen37Sec60Tg30E

2

a) 5

3 b)

5

311 c)

5

33

d) 3

35 e)

5

32

5. Calcular:

2

45tg

a) 2 b) 12 c) 12

d) 21 e) 22

6. Hallar x.

Siendo: Csc30

145xCsc

a) 1 b) 2 c) 1

d) 2 e) 3

7. Determine tg en el grfico.

a) 3

b) 3

3

c) 2

3

d) 6

3

e) 2

33

8. De la figura calcular a/b

a) 1

b) 2

c) 5

d) 7

e) 8

9. Del grfico hallar x

y

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 6

30

37

x y y

a + b

a - b

53



PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS

Ejercicios Resueltos

1. Razones Trigonomtricas Recprocas

PPaarraa uunn mmiissmmoo nngguulloo,, ssiieemmpprree ssee ccuummppllee::

EEjjeemmppllooss::

SSeenn 1100 .. CCsscc1100 == 11

TTgg AA .. CCttgg AA == 11

CCooss((xx++yy))..SSeecc((xx++yy)) == 11

CCsscc((xx ++ yy zz)).. SSeenn((xx ++ yy zz)) == 11

22.. RRaazzoonneess ttrriiggoonnoommttrriiccaass ddee nngguullooss

CCoommpplleemmeennttaarriiooss

SSii:: yy ssoonn ddooss nngguullooss ccoommpplleemmeennttaarriiooss,,

ssiieemmpprree ssee ccuummppllee qquuee::

Es decir: + = 90

Ejemplos:

Sen20 = Cos 70

Tg 50 = Ctg 40

Sec 80 = Csc10

1. Resolver el menor valor positivo de x verifique:

Sen5x = Cosx

Solucin:

Dada la ecuacin: Sen5x = Cosx

Luego los ngulos deben sumar 90, entonces:

5x + x = 90

6x = 90

.x = 15.

2. Resolver x el menor positivo que verifique:

Sen3x Cosy = 0

Tg 2y . Ctg30 1 = 0

Solucin:

Ntese que el sistema planteado es

equivalente a:

Sen3x = Cosy 3x + y = 90 (R.T. complementarios)

Tg2y . Ctg30 = 1 2y = 30

(R.T. recprocas)

.y = 15.

Reemplazando en la primera igualdad:

3x + 15 = 90

3x = 75

.x = 25.

33.. SSii:: SSeenn 99xx CCooss 44xx == 00,,

ccaallccuullaarr:: Ctg6x

Tg7xP

SSoolluucciinn::

DDeell DDaattoo:: SSeenn 99xx == CCooss 44xx

99xx ++ 44xx == 9900

1133xx == 9900

Sen . Csc = 1

Cos . Sec = 1

Tg . Ctg = 1

sen = cos

tg = ctg

sec = csc

a

b

c



Prctica Dirigida N 02

PPeerroo:: 77xx ++ 66xx == 1133xx

77xx ++ 66xx == 9900

EEnnttoonncceess:: RR..TT..((77xx)) == CCooRR..TT..((66xx))

LLuueeggoo:: 1Ctg6x

Tg7x

P = 1

1. Poner V o F segn convenga:

a) sen20 = cos70 ( )

b) tg10 . ctg10 = 1 ( )

c) sec(x + 40) = csc(50 - x) ( )

d) tg(x + y) . ctg(x + y) = 1 ( )

e) tg20 = ctg20 ( )

2. Seale el valor de x

Si: Sen2x . Csc40 = 1

a) 10 b) 5 c) 15

d) 20 e) 40

3. Sabiendo que: Tg 5x . Ctg(x + 40) = 1 Calcular: Cos3x

a) 1 b) 2

1 c)

2

2

d) 3 e) 3

2

4. Hallar x

Si: Cos(3x 12) . Sec(x + 36) = 1 a) 12 b) 24 c) 36 d) 48 e) 8

5. Determine x en: Sen(3x + 25) . Csc(x + 35) = 1

a) 5 b) 8 c) 10 d) 15 e) 20

6. Calcular: E = (7tg10 - 2ctg80) (ctg10 + tg80)

a) 5 b) 14 c) 10 d) 12 e) 8

7. Calcular: csc50

3sec40

ctg70

2tg20

cos80

sen10E

a) 1 b) 2 c) 0 d) -1 e) -2

8. Si: Sec7x = Csc4x

Calcular: Ctg8x

Tg3x

Cos10x

2SenxE

a) 0 b) 1 c) 2 d) -1 e) -2

9. Calcular: cos(x + y)

Si: Sen(x 5) . Csc(25 - x) = 1

Sen(y + 10) = Cos(y + 20)

a) 2 b) 2

2 c)

2

1

d) 5

3 e)

2

3

10. Simplificar:

Ctg80........Ctg30Ctg20Ctg10

Tg80........Tg30Tg20Tg10E

a) 1 b) 2

1 c)

3

1

d) 2

3 e)

2

2

11. Determine x :

sec(2x - 8) = sen 40 csc 40 + 75ctg

15tg

a) 17 b) 20 c) 28 d) 30 e) 34



Tarea N 02

1. Seale el valor de x Si: Sen3x . Csc54 = 1 a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

2. Sabiendo que: Tg3x . Ctg(x + 40) = 1

Calcular: cos3x

a) 1 b) 2

1 c)

2

2

d) 5

3 e)

5

4

3. Seale el valor de x

Si: Cos(2x 10) . Sec(x + 30) = 1

a) 10 b) 20 c) 30

d) 40 e) 50

4. Si: Sen(3x 10) . Csc(x + 10) = 1

Calcular:

E = Sec6x . Tg8x . Tgx

a) 1 b) 2 c) 3

d) 2

3 e)

3

32

5. Calcular:

E = (4Sen2 + 3Cos88) Csc2

a) 14 b) 13 c) 11

d) 9 e) 7

6. Simplificar:

70csc

20sec5

60ctg

30tg3

80cos

10sen2E

a) 4 b) 6 c) 8

d) 10 e) 12

7. Si: Sen3x = Cos14x

Calcular:

x16csc

xsec2x12tgx5tgE

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

8. Si: Sec(4x 10) = Csc(40 - x)

Calcular: 2

x3cscx3tgE 2

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

9. Determine el valor de x en :

Tg(x 10) = Tg1 Tg2 Tg3 . Tg89

a) 30 b) 45 c) 55

d) 65 e) 75

10. Si: sen(x 20) = cos(y - 30)

Calcular:

)120ySen(x)85yCos(x

)2

yxCos()

4

yxSen(

a) 1/2 b) 2 c) -1

d) 0 e) 1

11. Calcular :

)x8

(ctg

)x8

3(tg

)x10

3cos(

)x5

(senE

a) 2 b) 3 c) 1

d) 0 e) 1/2

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