Ejercicios de Mecánica de Fluidos 1

Universidad Técnica Federico Santa María CIV – 241 Mecánica de Fluidos

Departamento de Obras Civiles 2do Semestre 2013

UTFSM, Vivian Aranda 1 Ayudantes: Joaquín Meza – Álvaro Ossandón

Ayudantía N°2

Mecánica de Fluidos

Jueves 10 de octubre de 2013

1. La temperatura T del agua de un lago en el sur de Chile disminuye linealmente en profundidad, según la ecuación:

0 T z T z

donde T0 denota la temperatura superficial (z= 0), α es un coeficiente constante positivo y z es una coordenada

vertical hacia arriba. Suponga una ecuación de estado para la densidad del agua en función de la temperatura de la

forma:

0 1 T T

donde denota una densidad de referencia y β es un coeficiente constante positivo.

a) Determine una expresión para la variación de la presión del agua con z considerando el efecto de la

temperatura en la densidad. Determine el error que se comete en la estimación de la presión al despreciar la

variación de la densidad del agua. Evalúe el error a una profundidad de 30 [m].

b) Considere un buzo que nada a una profundidad h bajo la superficie. Si el buzo genera burbujas de gas de radio

r0, determine una ecuación que permita calcular la variación del radio de las burbujas con z, r(z), a medida

que ellas se elevan hacia la superficie. Para este análisis suponga que el agua tiene una tensión superficial

constante y que la temperatura del gas al interior de las burbujas es en todo momento igual a la temperatura

del agua externa (es decir el flujo de calor necesario para equilibrar las temperaturas se ajusta para que dicho

equilibrio sea instantáneo).

c) Si en la superficie del lago se observan burbujas de radio R, a qué profundidad h se encuentra el buzo?

Datos:

3

0 0

0

0.2[ / ]; 0.00013 [1/17[ ]; 1001 [ / ]; 10C]; 1293 [ ];

5[mm]1.63[N/ m] ; ]; R 8[

atmT C kg m Pa

m

C m p

mr

Indicación: Recuerde que en la ecuación de estado del gas tanto la presión como la temperatura deben ser absolutas

( 273)Kelvin C

Solución:

a) Del enunciado se tienen las siguientes relaciones

Variación de la temperatura con la profundidad: 0 T z T z (1)

Variación de la densidad con la temperatura: 0 1 , 0T T (2)

Remplazando (1) en (2)




0 0

0 0 0

(z) (T )(1 )

(1 )

z

T z

(3)

Además, recordando que la presión satisface

bp f

En este caso, (0,0, g)p , así considerando el gradiente de presión en profundidad y usando la variación de

(z) descrita en (3):

0 0 0(1 )dp

g T z gdz

0 0 0g(1 )T g z (4)

Luego, integrando (4) entre la superficie y un valor z cualquiera:

0 0 0

20

0 0

( )

0

(1 )

( ) (1 )2

atm

P z z

P

atm

dp g g dz

gP z g

T

P z

z

T z

20

0 0( ) (1 )2

atm

gP z P Tg zz

(5)

Por otro lado, si se desprecia la variación de la densidad 0( )z

0(z) atmP P gz (6)

Así, el error queda definido por:

20

0 0 0

20

0 0

( ) ( )

(1 )2

2

a atmtm T z

P variable P constante

gP g z P gz

gg zT z

2

0 02

g T zz

(7)

A 30 m de profundidad (z=-30):

( ) [ ] ( ) [ ]

535.6 [ ]

P variable 395062.5 Pa P constante 395598.6 Pa

Pa




b)

Figura N° 1. Esquema burbuja.

Por un lado, se tiene la ecuación de estado del gas contenido en la burbuja:

0intP V nR T

3

0

4( ) (

3)int intr z nP TR z (8)

Supuesto:

int 0 0[ ] 273 [ ]( )T T z T z C T zz K (9)

Así, despejando Pint en (8):

0 int

3

( )3

4 ()

)(intP

nR T z

r zz

(10)

Evaluando (10) en z=-h y usando (9):

0 0

0 3

( 273 )3

4int

o

nR T

rP

h

(11)

Por otra parte, se tiene la ecuación de Young-Laplace:

int ( )2

( )( )

extz

P z P zr

(12)

Evaluando (12) en z=-h:

0

0

2( )int ext h

rP P

20

int 0 0 0

0

(12

)2

atm

gP TP g hh

r

(13)

(11)=13:

20 0 0

0 03

0

( 2(1

3)

7 )3 2

4 2atm

o

gnR T h g

rhP T h

r

r(z) Pint

Pext=P(z)




3

20

0 0 0

0 0

(13 2

4 2 ( 273 )) o

atm g hg r

nR P T hr T h

(14)

Reemplazando (14) en (10), se obtiene:

3

20 int int

0 0 3 3

0 0

(1 )( ) ( )2

( )2 ( 273 ) ( ) ( )

o

int atm

g r T z T zz P T h A

r T h r z r zP g h

(15)

Pero dado que conocemos a través de la ecuación (5) de la presión afuera de la burbuja, podemos obtener de (12)

que:

int ( )2

( )( )

extz

P z P zr

20

int 0 0( ) (1 )2

2 ( )atm

gP T zP z g z

r z

(16)

Así, igualando (15) y (16)

2int 0

0 03(1 )

( ) 2

2 ( )( )atm

T z gA P T z

rz

zzg

r

(17)

La constante A depende de h, pero si evaluamos (17) en z=0, donde ( )r z R :

3

0

2

273atm

RP

T RA

(18)

Finalmente, remplazando (18) en (17), se obtiene:

32int 0

0 03

0

( )2 2

273 2 ( )((1 ) (

))atm atm g z r

T z gRP P T z

T R rz

zr z

(19)

c) Calcular h

Evaluando la ecuación (19) en z=-h y r=r0: 3

20 0

3

0

0 0

0 0

( 273 )(1 )

2 2

273 2atm atm

Tg h

r

h gRP P T h

T R r

(20)

Reordenando (20):

3 320

0 0 3 3

00 0 0

2(1

2 20

27)

2 3atm atm atm

a cb

g R Rh T P h P P

R r RT rg

r

2 0ah bh c (21)

(21) es una ecuación de segundo grado, con soluciones:

2 4

2

b b ach

a

(22)

Así, considerando:




0 0

3

2

0

17[ ]; 1001[ / ]; 101293 [0.2[ / ]; 0.00013 [1/ C];

1.63[N

];

5[mm] 0.005[m]; R 8[ ] 0.008[m]; 9.81[m/ s ]/ m];

atmT C kg m Pa

r m g

C

m

m p

se evalúan los coeficientes a, b y c

0

3 3

0 0 3 3

0 0

3

3

0 0

(1 ) (1 0.0001 )

1001 9.81 0.2 0.000130.1277

2 2

2 2 1.63 0.1012

2 (0.008)1001 9.81 17 10085

0.008273 17 273 0.005

2 2 2 1.10129

9

3

3atm

atm atm

ga

Rb T P

R T r

Rc P P

r R

g

r

3

3101293 -314620

0.005

63 0.008 2 1.63

0.0080.005

Asi, evaluando (22) y considerando que h>0, se obtiene:

2 24 10085 1008 314620 0.1277

0.1

5 431

277.18 [m]

2 2

b b ach

a

Para finalizar, se presentan gráficos esquemáticos de la evolución de la presión, densidad, temperatura y radio de

las burbujas.

Figura N° 2. Gráficos esquemáticos.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-50

-40

-30

-20

-10

0

Temperatura [°C]

Pro

fundid

ad [

m]

998 998.5 999 999.5 1000 1000.5 1001 1001.5 1002-50

-40

-30

-20

-10

0

Densidad [kg/m3]

Pro

fundid

ad [

m]

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000-50

-40

-30

-20

-10

0

Presión [HPa]

Pro

fundid

ad [

m]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-50

-40

-30

-20

-10

0

Radio Burbuja [mm]

Pro

fundid

ad [

m]

Densidad Variable

Densidad Constante

Densidad Variable

Densidad Constante




2. Considere una esfera de radio unitario, sumergida parcialmente en agua. Se conoce que, en la posición de equilibrio,

el punto de tangencia del casquete esférico que sobresale del líquido con el eje de abscisas (eje x) que pasa por el

centro de la esfera forman un ángulo de 45 grados. Determine:

a) La densidad del material del que está compuesta la esfera.

b) Si la esfera se sumerge en mercurio (2

13.6Hg H O ), determine el nivel de mercurio respecto al eje central de

la esfera.

Figura N° 3. Esquema de la esfera parcialmente sumergida.

Solución:

a)

El elemento diferencial de superficie empleado para determinar el empuje queda esquematizado en la figura

Figura N° 4. Esquema elemento diferencial empleado.

De esta forma, el empuje queda definido por:

( ) ( ) ((y) 2 )s s s

y

s

E dF dF sen sen seP dA gy r R nd




Puesto que: cos )(

( )

r R

y h Rsen

2

2 3 2

2 2

2 32 3

2 2

( ) cos( ( )

co

2 )

2 ) 2 )

2 2

s( ( ) ( )cos(

( ) ( )

2 3

g R d

gh d g d

E gh g

E h Rsen R sen

E R sen R sen

sen senR R

2 2 2 3 3 31 1( )2 2 ( )

2 2 3 2E g R sen sen R sen seg nh

(1)

para 454

;

4h Rsen

2 2 2 3 3 3

2 3

2 2

3

1 1

2 4 2 3 4 2

1 1 11

2 2

2 2

/

0.353553 ( 1)2 2 3

1.353553 1.353553

4 3 4 3

0

42 2

2 .6

R sen sen R sen sen

R R

Rse

E gh g

E gh g

E gnh

R R R Rg

E g R

32796 1.2559 Rg

El peso de la esfera debe ser igual a su empuje, por lo que se debe cumplir:

2

2

33

3

41.2559

3

1.2559 1000 1.2559 kg941.93

4 4

3 3

H O

H

e

e

O

W g R

m

R E g

Como era de esperar, la densidad de la esfera es inferior a la del agua. b) Si la esfera se sumerge en el mercurio, y dado que la densidad del mercurio es 13.6 veces la densidad del agua, se

puede realizar una estimación inicial calculando si la mitad de la esfera quedará o no cubierta por el mercurio. Para

ello, se debe comparar el peso de la esfera con el empuje producido para esa situación:

3

3

4

13

1 4 2

2 3

e Hg

Hg

eW g

g

R

E R

Por lo tanto, seguro que únicamente un pequeño casquete esférico quedará sumergido en el mercurio.

Dado que el elemento diferencial de empuje es el mismo que en a), se llega a la misma expresión

(1), aunque ahora la densidad de fluido es la del mercurio.




2 32 3

2 2

( ) ( )

22

32Hg HgE gh

se eR g

n s nR

de donde:

2 3 3 2 2( ) ( )3 2 2 2

2HgE gR h

R sen sen sen sen

(2)

Con el fin de comprobar la bondad de la ecuación encontrada, se comprueba que para θ=0 y h= 0 el empuje debería

sea el equivalente al de media esfera.

2

2

33

2

2

(0 1)

2

(0 1)3 2

3 2

4 1

3 3 2

Hg

Hg

Hg Hg

R hR

R h

E g

g

g g

E R

RE R

La determinación de θ se obtendrá de igualar el peso de la esfera a la ecuación del empuje en función de dicho ángulo.

El peso de la esfera viene dado por:

3 3941.93 9.84 4

38666.77[N]3 3

1e RW g (3)

Considerando además, que para el ángulo de tangencia se cumple que:

( )h Rsen

Se tiene que:

2 3 3 2 2

2 3 3 2 2

( )38666.77[N] ( ) ( )

3 2 2 2

1 1 ( )38666.

2

1000 9.8 2 177[N] ( ) ( )3 2 2 2

42

Hg

R RsenR sen sen sen sen

sense

W E

g

n sen sen sen

.7

Por lo tanto, el nivel de mercurio respecto al eje central de la esfera es:

1 (42.7) -0.6784[m]h sen

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