EJERCICIOS DE EXTENSIONES DE CUERPOS Y TEOR´IA DE...

EJERCICIOS DE

EXTENSIONES DE CUERPOS Y TEORIA DE

GALOIS

Jose Antonio Cuenca Mira

Departamento de Algebra Geometrıa y TopologıaUniversidad de Malaga

26 de mayo de 2021

Indice general

Prologo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

1. Extensiones de cuerpos 1

1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Extensiones finitas y algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Construcciones con regla y compas . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4. Extension de inmersiones. Consecuencias . . . . . . . . . . . . . . 171.5. Clausura algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6. Extensiones normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.7. Extensiones separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.8. Cuerpos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.9. Teorema del elemento primitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2. Teorıa de Galois 37

2.1. Teorema fundamental de la teorıa de Galois . . . . . . . . . . . . 372.2. Teorema fundamental del algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.3. Extensioes ciclotomicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.4. Extensiones cıclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.5. Teoremas de Abel y Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.6. Solubilidad de ecuaciones por radicales . . . . . . . . . . . . . . . 512.7. Ejemplo de polinomio de Q[X ] de ecuacion insoluble . . . . . . . 54

A. Dcpos y axioma de eleccion 57

B. Trascendencia de e y π 61

iii

iv INDICE GENERAL

Prologo

To know mathematics means to be able to do mathema-tics: to use mathematical language with some fluency,to do problems, to critize arguments, to find proofs . . .

On the Mathematics Curriculum ofthe High School

Las paginas que siguen son una recopilacion de ejercicios de teorıa de cuerpos.Incorporan, corregidas y aumentadas, relaciones previas que fueron utilizadaspara complementar la asignatura de Algebra Clasica, que formaba parte delanterior plan de estudios vigente en la Universidad de Malaga. La necesidadde adaptar los ejercicios al contenido de la asignatura de Teorıa de Cuerposdel plan de estudios actualmente vigente, unido al deseo de corregir algunaserratas que se habıan deslizado en las anteriores relaciones, me llevan hoy, a larealizacion de esta nueva seleccion. Con el mismo espıritu que antano, espero queresulte util como importante material complementario, habida cuenta el papelfundamental que en cualquier proceso de aprendizaje de matematicas juega eltrabajo personal dedicado a la resolucion de ejercicios.

El propio origen de estas paginas se manifiesta en algunos de los enunciadosque contienen, donde en ciertos lugares se encontraran referencias a resultadoscontenidos en las notas, aun provisionales y no disponibles, que desarrollan elcontenido del referido curso de Teorıa de Cuerpos. No obstante, creo que podrıanser tambien de utilidad a quienes se inician en el estudio de las extensiones decuerpos y teorıa de Galois, o a aquellos profesores que ensenan estos temas. Conese deseo las pongo a disposicion de todos ellos.

Los ejercicios seleccionados pasan los cuatrocientos y tienen procedencia va-riada, inclyendose algunos que podrıan ser originales. Se usan a veces algunasnotaciones habituales. Este es el caso de Z, Q, R o C para designar al anillo deenteros Z, o a los cuerpos de numeros racionales, reales o complejos Q, R y C.

Malaga, 5 de mayo de 2020.

Jose Antonio Cuenca Mira

v

vi INDICE GENERAL

Capıtulo 1

Extensiones de cuerpos

L’algegre est a proprement parler, l’Analyse des equa-tions; les diverses theories partielles qu’elle comprendse rattachent toutes, plus ou moins, a cet object princi-pal.

J.-A. Serret

1.1. Introduccion

1.1 Mostrar que, para todo entero n ≥ 1, el conjunto de las raıces n-esimasde la unidad que hay en un cuerpo dado F constituyen un subgrupo delgrupo multiplicativo F ⋆ del cuerpo F . ¿Cuantas raıces n-esimas de la unidadhay en F en el caso en que n es un numero primo que coincide con lacaracterıstica de F?

1.2 Sea p un primo positivo. Demostrar que un cuerpo F contiene p raıcesp-esimas de la unidad distintas si y solo si F contiene alguna raız de Xp− 1que sea distinta de 1.

1.3 Sea p un primo positivo. Cualquiera de las raıces p-esimas de la unidaddistintas de 1 que pertenecen a un cuerpo C delos numeros complejos, ¿ge-nera el subgrupo Wp de todas las raıces p-esimas de la unidad del cuerpoC?

1.4 Sea C el punto medio del segmento AB de la figura que se da continuaciony D el punto del segmento AB elegido de manera que el rectangulo de ladosBD y DE tiene area conocida c. Por otra parte, el rectangulo superior dela figura contiene en su parte izquierda un cuadrado de lado AD. La parte

1

2 CAPITULO 1. EXTENSIONES DE CUERPOS

derecha de la figura lo constituye un cuadrado de lado CB, que contiene ensu parte inferior izquierda otro cuadrado cuyo lado tiene longitud CD.

A CD

E

B

G

F

Hacer AD = x y elegir de modo adecuado BC para justificar a la manera deAl-Khwarizmi que x es solucion de la ecuacion de segundo grado x2+c = bx(b, c > 0) y que

x =−b−

√b2 − 4c

2.

1.5 Sea F un cuerpo de caracterıstica distinta de 2, f el polinomio de F [X ]siguiente

f(X) = X2 + bX + c,

y x una raız de f contenida en un cuerpo L que contiene a F como sub-cuerpo. Sean α, β ∈ F . Establecer condiciones sobre α y β para que α+βxtenga su cuadrado en F y mostrar la existencia de algun α, determinadode forma unica, tal que (α+ x)2 ∈ F . A partir de aquı, justificar la validezde la formula de resolucion de la ecuacion de segundo grado.

1.6 Sea q un numero racional dado. Mostrar que los numeros complejos que seescriben en la forma α+ β

√q, (α, β ∈ Q) constituyen un subcuerpo de C y

que toda ecuacion de segundo grado con coeficientes en Q tiene sus raıces enun cuerpo de este tipo para un numero racional q convenientemente elegido.

1.7 Sea F un cuerpo de caracterıstica distinta de 2 y 3 y f = X3 + pX + q,(p 6= 0), un polinomio de F [X ]. Mostrar que la resolucion de la ecuacionf(x) = 0 puede reducirse a la de una ecuacion de grado a lo sumo 2 eny3 introduciendo una nueva variable y relacionada con x por la igualdadp/3 = y(y + x).

1.8 En las condiciones del ejercicio 1.7 con F = Q, mostrar que un numerocomplejo y, relacionado con una raız compleja x del polinomio f por laigualdad p/3 = y(y + x), no pertenece necesariamente al menor subcuerpode C que contiene a todas las raıces de f .

1.9 Sea F un cuerpo de caracterıstica distinta de 2 y L un cuerpo extension deF que contiene tres raıces x1, x2, x3, distintas o no, del polinomio f(X) =X3 − bX + c, (b, c ∈ F ). Demostrar que para cada dos de ellas, xi y xj ,(i 6= j), se tiene x2i + x2j + xixj = b y x2ixj + xix

2j = c.

1.1. INTRODUCCION 3

1.10 Sea el polinomio de tercer grado f con coeficientes en el cuerpo F y definidopor la igualdad f(X) = X3+pX+q. Suponer que L es un cuerpo extensionde F en el que f tiene las tres raıces x1, x2 y x3. Comprobar que si i 6= jentonces

(xi − xj)2 = x2k − 4xixj = −3x2k − 4p,

siendo k 6= i, j. Mostrar que si ∆ ∈ F [X1, X2, X3] es el polinomio discrimi-nante en tres indeterminadas definido por la igualdad

∆ =

3∏

i<j; i,j=1

(Xi −Xj)2

se tiene entonces

∆(x1, x2, x3) = −(27q2 + 4p3).

1.11 Sea F un cuerpo, L un cuerpo extension de F y f un polinomio monicodel anillo de polinomios F [X ] tal que f se descompone como producto defactores lineales de L[X ].

1. Determinar el numero de factorizaciones en producto de polinomiosmonicos de grado 2 que tiene f en L[X ], si dicho polinomio tienegrado n > 1.

2. Suponer que F tiene caracterıstica 6= 2 y que f es el polinomio degrado 4

f(X) = X4 + pX2 + qX + r, (p, q, r ∈ F ).

Considerar una factorizacion de f como producto de polinomios moni-cos de segundo grado del tipo

X4 + pX2 + qX + r = (X2 + αX + β)(X2 + γX + δ). (1.1)

A la manera de R. Descartes, identificando coeficientes, mostrar que siα es no nulo entonces α2 es raız de una ecuacion de tercer grado concoeficientes en F y que los restantes coeficientes de los polinomios queaparecen en la factorizacion dada quedan completamente determinadospor α y los coeficientes p, q, r del polinomio f . Mostrar que la resolucionde la ecuacion polinomica f(x) = 0 se reduce a resolver a lo sumo unaecuacion de grado 3 y dos de segundo grado.

1.12 Sea F un cuerpo, f un polinomio monico de F [X ] de grado n, que tieneraıces x1, . . . , xn, distintas o no, en un cuerpo L extension de F . Usar elteorema fundamental de los polinomios simetricos para demostrar que, siϕ ∈ F [X1, . . . , Xn] es un polinomio simetrico, entonces ϕ(x1, . . . , xn) per-tenece a F

1.13 Sea F un cuerpo que contiene alguna raız cubica de la unidad ε 6= 1.Sean h1 y h2 los polinomios de F [X1, X2, X3] definidos por las igualdadessiguientes:

h1 = (X1 + εX2 + ε2X3)3, h2 = (X1 + ε2X2 + εX3)

3.


Mostrar que h1 6= h2. Demostrar que toda permutacion de las indetermi-nadas X1, X2, X3, o bien deja invariantes a los dos polinomios h1 y h2, otransforma uno en el otro.

1.14 Sea f un polinomio monico de grado n con coeficientes en el cuerpo F ycon n raıces x1, . . . , xn en un cuerpo L extension de F . Sean h1, . . . , , hkpolinomios de F [X1, . . . , Xn] tales que, para cada i ∈ 1, . . . , k y todapermutacion σ del conjunto 1, . . . , n, el polinomio hσi obtenido de hi apli-cando σ a cada uno de los subındices de las indeterminadas pertenece alconjunto h1, . . . , hk. Demostrar que el polinomio

ψ(X) =k∏

i=1

(X − hi(x1, . . . , xn))

tiene coeficientes en F y tiene por raıces a los elementos hi(x1, . . . , xn),(i = 1, . . . , k) del cuerpo L.

1.15 Sea f ∈ R[X ] un polinomio monico de tercer grado. Mostrar que f tienealguna raız real y que, si x1, x2 y x3 son las raıces de f en C y ∆ ∈R[X1, X2, X3] denota al polinomio discriminante definido como en la pagina17, se tiene entonces que ∆(x1, x2, x3) es un numero real que se anula encaso de que alguna de dichas raıces sea raız multiple de f . Justifıquese quepara f se presentan unicamente dos posibilidades: (i) f tiene una unica raızreal, o (ii) f tiene todas sus rıces reales. Demostrar ∆(x1, x2, x3) > 0 si ysolo si f tiene tres raıces reales distintas.

1.2. Extensiones finitas y algebraicas

2.1 Comprobar que Q( 3√2) ∩Q(

√5) = Q.

2.2 Sea Kii∈A una familia de subcuerpos de un cuerpo L, todos ellos ex-tensiones de un cuerpo F. Para cada i ∈ A, sea Ai el subcuerpo de loselementos de Ki que son algebraicos sobre F. Comprobar que el cuerpo delos elementos de

⋂

Ki que son algebraicos sobre F coincide con⋂

Ai.

2.3 Encontrar el polinomio irreducible sobre Q del numero complejo x =√

2−√3.

2.4 Sea K/F una extension de cuerpos de grado n y x un elemento de K talque x3 ∈ F. Demostrar:

1. Si n no es divisible por 2 ni por 3 entonces x ∈ F.

2. Si n no es divisible por 3, existe entonces c ∈ F tal que x3 = c3.

1.2. EXTENSIONES FINITAS Y ALGEBRAICAS 5

2.5 Sea y ∈ C un numero algebraico cuyo polinomio irreducible irr(y,X,Q)tiene grado 3. Mostrar que si irr(y,X,Q) = X3 + αX2 + βX + γ entoncesirr(−y,X,Q) tiene tambien grado 3 y irr(−y,X,Q) = X3−αX2+βX− γ,siendo en particular irr(y,X,Q) 6= irr(−y,X,Q).

2.6 Sea K/F una extension de cuerpos y x un elemento de K que es raız delpolinomio X8 + 2X4 + 1. Demostrar que [F (x) : F ] ≤ 4. ¿Puede darse ladesigualdad estricta?

2.7 Sea x un elemento algebraico de la extension K/F y n un entero estricta-mente positivo. Comprobar que

[F (xn) : F ] ≥ 1

n[F (x) : F ].

2.8 Sea K/F una extension de cuerpos, L un cuerpo y g : K −→ L un ho-momorfismo. Mostrar que g(K)/g(F ) es una extension de cuerpos tal que[g(K) : g(F )] = [K : F ]. Suponer L = K y g suprayectivo tal que g(F ) ⊂ F.Demostrar que si K/F es extension finita entonces g induce un automorfis-mo de F.

2.9 Sean K/F y L/F extensiones de cuerpos y g : K −→ L un isomorfismo decuerpos tal que g(F ) ⊂ F. Si K/F y L/F son extensiones finitas, ¿induceg necesariamente un automorfismo de F?

2.10 Sea K/F una extension cuadratica. Supongase K = F (z), donde z2 ∈ F.Determinar los elementos de K que tienen cuadrado en F.

2.11 Sea K/F una extension de cuerpos, x un elemento de K y f un polinomiode grado ≥ 1 de F [X ] tal que y = f(x) es algebraico. ¿Es x un elementoalgebraico de la extension?

2.12 Determinar el polinomio irreducible de√2 +

√5 sobre Q(

√2).

2.13 Sea x una raız del polinomioX3+X2+1 de Q[X ] e y una raız del polinomioX2+X− 8. Los numeros x+ y y xy, ¿son algebraicos sobre Q? Determinarel grado de la extension Q(x, y)/Q.

2.14 Demostrar que el cuerpo A de los numeros algebraicos coincide con(A ∩ R)(i).

2.15 Sea u =√2 3√5. Demostrar que Q(

√2, 3√5) = Q(u). ¿Sera irreducible sobre

Q el polinomio X6 − 200?

2.16 Demostrar que el numero complejo x =

√

2−√

5√3 es tal que Q(x2) =

Q( 4√75) y que [Q(x) : Q] = 8. Determinar irr(x,X,Q).

2.17 Determinar el grado de la extension Q(x)/Q cuando x es un numero com-plejo raız del polinomio X6 − 6X4 +X3 + 9X2 − 1.


2.18 Sea x un elemento algebraico sobre un cuerpo F cuyo polinomio irreducibletiene grado impar. Demostrar que F (x) = F (x2).

2.19 Sean m y n enteros positivos primos relativos. Comprobar que, si x e y sonnumeros complejos tales que xm = 2, yn = 3, entonces Q(x, y) = Q(xy).¿Cual es el polinomio irreducible de xy sobre Q?

2.20 Sea K/F una extension de cuerpos. Supongase que x e y son elementos deK y a lo menos uno de ellos trascendente sobre F. Mostrar que x+ y o xyson trascendentes sobre F.

2.21 Sea K/F una extension de cuerpos, t y w elementos de K trascendentessobre F. Demostrar que w es algebraico sobre F (t) si y solo si t es algebraicosobre F (w).

2.22 Sea K/F una extension de cuerpos y x1, . . . , xn elementos algebraicos dela extension. Demostrar que F (x1, . . . , xn) = F [x1, . . . , xn]. Si S es un sub-conjunto de elementos algebraicos de K, ¿se tiene F (S) = F [S]?

2.23 Sea K/F una extension algebraica de generacion finita. Mostrar que existealgun entero n ≥ 1 y algun ideal un maximal m de un anillo de polinomiosF [X1, . . . , Xn] tal que K ∼= F [X1, . . . , Xn]/m.

2.24 Sea F un cuerpo de caracterıstica distinta de 2, K/F una extension decuerpos y x e y dos elementos deK que no estan en F, pero cuyos cuadradossı lo estan. Demostrar que F (x) = F (y) si y solo si x2/y2 es un cuadradode F.

2.25 Sean p y q primos positivos. Mostrar que Q(√p) = Q(

√q) si y solo si

p = q.

2.26 Sean x e y dos numeros complejos para los que se satisfacen las igualdadessiguientes:

x3 + 6x2 + 1 = 0, y = x7 + 6x6 + x4 + x3 + 7x2 + 2.

Determinar [Q(x) : Q], mostrar que y 6= 0 y que y−1 = −(x2 + x− 31)/26.

2.27 Dar el grado de la extension Q(x)/Q cuando x es un numero complejo quees raız de X4 + 1, y cuando lo es de X6 +X3 + 1.

2.28 Sea K/F una extension de cuerpos, x un elemento de K y f y g polino-mios de F [X ] tales que g(x) 6= 0 y f(x)/g(x) es un elemento algebraicode la extension que no pertenece a F. ¿Es x un elemento algebraico de laextension?

2.29 Sea t un elemento trascendente de la extension K/F. ¿Es F (t)/F necesa-riamente una extension totalmente trascendente?

2.30 Sea t un numero complejo trascendente, x e y elementos de C tales quex2 = 2t, y2 = 3. Hagase K = Q(t, x, y). Determinar [K : Q(t)]. ¿Es K =Q(

√t,√2,√3)?


2.31 Demostrar que todo subcuerpo de C, que no esta contenido en R, es densoen C.

2.32 Sea F un cuerpo de caracterıstica distinta de 2, K un cuerpo que es exten-sion del cuerpo F , x e y elementos de K con sus cuadrados en F , pero cony /∈ F y x /∈ F (y). Demostrar que F (x + y) = F (x, y) y que el polinomioirreducible de x+ y sobre F es del tipo X4 + aX2 + b.

2.33 Sea F un cuerpo de caracterıstica distinta de 2 y K/F una extension degrado 4. Demostrar la equivalencia de las dos afirmaciones siguientes:

1. La extension K/F tiene algun cuerpo intermedio distinto de K y deF.

2. Existe algun x ∈ K tal que K = F (x) con polinomio irreducible sobreF del tipo X4 + aX2 + b.

2.34 Si n > 0 es un entero y z un elemento dado de un anillo A, se dira quez es una raız n-esima de la unidad si se satisface la igualdad zn = 1. Seap un primo positivo y ε 6= 1 un numero complejo que es raız p-esima de launidad. Determinar [Q(ε) : Q].

2.35 Sea p > 0 un numero primo impar. Demostrar que x = cos(2π/p) es unnumero algebraico y que [Q(x) : Q] = (p− 1)/2.

2.36 Sea p un numero primo y x un numero complejo que es raız del poli-nomio Xn − p. Sea m un entero positivo tal que m | n. Demostrar que[Q(xm) : Q] = n/m. Determinar el polinomio irr

(

x,X,Q(xm))

.

2.37 SeaK un subcuerpo de C que es extension finita de grado impar del cuerpoQ. Mostrar que las unicas raıces de la unidad en K son 1 y −1.

2.38 Sea K/F una extension finita de cuerpos en la que el conjunto de los cuer-pos intermedios es totalmente ordenado respecto a la inclusion. Demostrarque K/F es monogena.

2.39 Sea K = Q(x) donde x es un numero complejo para el que se verificax3− 2x2+4x+2 = 0. Expresar (x3+x+1)(x2+x) y (x− 3)−1 en la formaax2 + bx+ c, con a, b, c ∈ Q.

2.40 Sea K/F una extesion de cuerpos. Supongase que existe un entero positivon para el que todo cuerpo intermedio E estrictamente contenido en K estal que se verifica [E : F ] < n. Demostrar que K es una extension finita deF. [Indicacion. Comprobar primero que K/F es una extension algebraica].

2.41 Mostrar que toda extension algebraica infinita tiene cuerpos intermediosque son extensiones finitas del cuerpo base de grado suficientemente grande.

2.42 Para cada entero n ≥ 1 sea Kn el subcuerpo de R definido por la igualdadKn = Q( n

√2).

1. Mostrar que [Kn : Q] = n.


2. Comprobar que si m|n entonces Km ⊂ Kn. Determinar [Kn : Km].

3. Demostrar que, en el caso en que m y n sean primos relativos, se tieneentonces Kmn = Q( n

√2, m

√2).

2.43 Sea K/F una extension de cuerpos, x e y elementos de K algebraicossobre F. Demostrar que irr(x,X, F ) es irreducible sobre F (y) si y solo siirr(y,X, F ) es irreducible sobre F (x).

2.44 Sean K y L subcuerpos de un cuerpo comun, ambos extensiones de unmismo cuerpo F . Supongase que K/F es extension algebraica. Demostrarque el mınimo subcuerpo L∨K que contiene a L y K esta formado por lassumas finitas

∑

xiyi, donde los elementos xi estan en K y los yi en L.

2.45 Sea C una clase de extensiones de cuerpos. Se dira que C es una clasedistinguida de extensiones si se satisfacen las dos condiciones siguientes: 1)C es una clase transitiva de extensiones; 2) si F,K,E,Ω son cuerpos, con Fsubcuerpo de K y E, con estos ultimos siendo subcuerpos de Ω, y si ademasK/F esta en C, entonces el menor subcuepo K∨E de Ω que contiene a K yE es tal que la extension (K ∨E)/E tambien pertenece a C. Demostrar quesi C es una clase distinguida de extensiones, F,K,E,Ω son cuerpos, con Ky E subcuerpos de Ω, F subcuerpo de K y E, y si se verifica ademas queK/F y E/F estan en C entonces tambien lo esta (K ∨ E)/F.

2.46 Demostrar que, tanto la clase de las extensiones finitas, como la de las ex-tensiones algebraicas, son clases distinguidas de extensiones (Ver el ejercicio2.45 para la definicion de clase distinguida).

2.47 Sea K/F una extension finita de cuerpos, L un cuerpo que es exten-sion de K y t un elemento de L que es trascendente sobre K. Demos-trar que K(t)/F (t) es tambien una extension finita y que se tiene ademas[K(t) : F (t)] = [K : F ].

2.48 Sea K/F una extension de cuerpos. Demostrar que dicha extension esalgebraica si y solo si todo subanilloA deK tal que F ⊂ A es necesariamenteun cuerpo.

2.49 Hacer x1 = 2 y definir xn+1 =√xn para todo entero n > 1. Demostrar

que[Q(xn+1) : Q] = 2n

y que el polinomio X2n − 2 es un polinomio irreducible de Q[X ].

2.50 Sea K = F (X) el cuerpo de funciones racionales en una indeterminadasobre el cuerpo F y E un cuerpo intermedio de la extensionK/F. Demostrarque E 6= F si y solo si K/E es una extension finita. Determinar el grado deesta extension cuando E = F (X3/(X + 1)).

2.51 Sea K/F una extension de cuerpos. Supongase:

1. La union de cualquier cadena, respecto a la inclusion, de subcuerposintermedios y distintos de K es distinto de K.


2. Todo cuerpo intermedio y distinto de K es una extension finita de F.

Demostrar que K es una extension finita de F.

2.52 Sea K/F una extension de grado 2, f ∈ K[X ] un polinomio irreduciblede grado 3 y x un elemento en un cuerpo extension de K que es raız def. Supongase que el termino constante de f es un elemento de K que noesta en F y que el resto de los coeficientes de f estan en F . Demostrar que[F (x) : F ] = 6.

2.53 Comprobar que el polinomio

f(X) = 4X3 − 3X − −1 +√5

4

es reducible en Q(√5)[X ].

2.54 Supongamos que el numero complejo x tiene por polinomio irreduciblesobre Q a X3 + aX2 + bX + c. Demostrar que la condicion necesaria ysuficiente para que exista algun y ∈ Q(x) tal que y2 = x es que existanα, β, γ ∈ Q tales que

a = 2β − α2, b = β2 − 2αγ, c = −γ2

[Indicacion: Considerar el polinomio irreducible de y sobre Q].

2.55 1. Mostrar que si u es un numero complejo raız del polinomioX3+X2−1entonces u no tiene ninguna raız cuadrada en Q(u).

2. Dar 3√28− 3 como un cuadrado de Q( 3

√28).

2.56 Sea K/F una extension de cuerpos y S un subconjunto de K que no cortaa F. Mostrar la existencia de algun cuerpo intermedio M de la extensionK/F que es maximal respecto a la inclusion en la familia de los subcuerposde K que contienen a F y no cortan a S. Demostrar que si S es finitoentonces K/M es una extension algebraica.

2.57 Demostrar que, si m1, . . . ,mn son enteros positivos primos relativos y nin-guno de ellos cuadrado perfecto, entonces se tiene

[Q(√m1, . . . ,

√mn) : Q] = 2n.

2.58 Sea t un elemento trascendente sobre el cuerpo F y K = F (t). Escrıbasecada elemento no nulo de K como u = f(t)/g(t) donde f y g son polinomiosen una indeterminada, con g 6= 0, y tales que m.c.d.(f, g) = 1. Al maximode los grados de f y g se llama grado de u y se denota por deg u. Demostrarque si X e Y son dos indeterminadas distintas entonces f(X)− Y g(X) esirreducible tanto en F [X,Y ] como en F (Y )[X ]. Demostrar que si u /∈ Fentonces t es algebraico sobre F (u) y el polinomio irreducible de t sobreF (u) coincide con el unico polinomio monico que puede obtenerse de f(X)−ug(X) multiplicandolo por una constante no nula de F (u). Concluir ası que[F (t) : F (u)] = deg u, cuando u /∈ F y, en particular, se verifica F (t) = F (u)si y solo si u = (at+ b)/(ct+ d), donde ad− bc 6= 0.


2.59 SeaK/F una extension de cuerpos, t y w elementos deK tales que t es tras-cendente sobre F y w es trascendente sobre F (t). Demostrar que para cua-lesquiera enteros positivos n y m se tiene entonces [F (t, w) : F (tn, wm)] =nm.

2.60 Sea F un cuerpo, K y L cuerpos extensiones algebraicas de F que estancontenidos como subcuerpos de un mismo cuerpo M. Sea K ∨ L el mıni-mo subcuerpo de M que contiene a K y a L. Establecer la desigualdad[K ∨ L : F ] ≤ [K : F ][L : F ], caracterizando los casos en que se da laigualdad mediante una propiedad de las bases del F -espacio vectorial K.

2.61 Sean F,K,L,M y K ∨L cuerpos en las condiciones del ejercicio anterior.Supongase ademas queK/F y L/F son ambas finitas. Caracterizar los casosen que se da la igualdad [K ∨ L : F ] = [K : F ][L : F ] en terminos de lospolinomios irreducibles de los elementos de los subconjuntos finitos S talesque K = F (S).

1. Demostrar que si [K ∨ L : F ] = [K : F ][L : F ], entonces K ∩ L = F.

2. Mostrar que en el caso en que [K : F ] y [L : F ] sean primos relativosse verifica entonces [K ∨ L : F ] = [K : F ][L : F ].

3. Supongase que [M : F ] = 4, [K : F ] = 2 = [L : F ], K = F (x), L =F (y).Demostrar la equivalencia de las propiedades siguientes: i)K 6= L,ii) K ∨ L =M, iii) 1, x, y, xy es una base del F -espacio vectorialK ∨ L.

2.62 Sea K/F una extension algebraica de cuerpos tal que K = F (x, y) con xe y elementos de K tales que p = deg irr(x,X, F ) y q = deg irr(y,X, F ) sonprimos positivos distintos. Mostrar que todo elemento z de K se escribe demanera unica en la forma

z =

p−1∑

i=0

q−1∑

j=0

cijxiyj , (cij ∈ F ). (1.2)

Demostrar que, si p < q entonces F (x) es el unico cuerpo intermedio en laextension K/F que es extension de grado p del cuerpo F .

2.63 (Este ejercicio requiere cierta familiaridad con los rudimentos de la teorıade modulos). Sea K un cuerpo y A un subanillo de K.Mostrar que el cuerpode cocientes F de A puede identificarse a un subcuerpo de K. Supongaseque K es finitamente generado como A-modulo. Descomponiendo K comosuma directa de F y un cierto F -subespacio suplementarioW,muestrese queF es finitamente generado como A-modulo. Pruebese la igualdad A = F.

1.3. CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPAS 11

1.3. Construcciones con regla y compas

3.1 ¿Es posible construir con regla y compas un triangulo isosceles con verticesen la circunferencia unidad y de superficie unidad?

3.2 ¿Son todos los triangulos isosceles con vertices en la circunferencia unidady de superficie unidad construibles con regla y compas?

3.3 Sea A un subconjunto del plano euclıdeo con al menos 2 puntos distintosy Q(S) el subcuerpo de R asociado a el como en la pagina 65. Comprobarque el cuerpo Q(S) es independiente de la unidad de medida elegida.

3.4 Sea A el conjunto (0, 0), (1, 0) de puntos del plano euclıdeo y R unsistema de referencia apropiado para el mismo. Mostrar que si x es algunade las raıces del polinomio X4 − 6X2+2 entonces el punto de coordenadas(x,

√7) respecto a R es construible con regla y compas a partir de A.

3.5 ¿Puede construirse con regla y compas el eneagono regular?

3.6 Demostrar que el angulo θ puede trisecarse con regla y compas si y solo siel polinomio

f(X) = 4X3 − 3X − cos θ

es reducible sobre Q(cos θ).

3.7 Suponer n y m enteros positivos tales quem | n.Mostrar que si el polıgonoregular de n lados es construible con regla y compas, entonces tambien loes el de m lados.

3.8 Sean n ym enteros positivos primos relativos. Mostrar que, si los polıgonosregulares de n y m lados son construibles con regla y compas, entonces elpolıgono regular de nm lados es tambien construible con regla y compas.

3.9 La cisoide de Diocles es la curva algebraica definida por la ecuaciony2(1 − x) − x3 = 0. Sea P el punto de interseccion de la cisoide con larecta y = 2(−x+ 1). Mostrar que la recta que une el punto P al origen decoordenadas corta a la recta x = 1 en el punto (1, 3

√2) y, en consecuencia,

determina un segmento que puede tomarse como arista de un cubo dobledel cubo unidad.

3.10 Mostrar que, para todo entero n ≥ 2, el polıgono regular de 2n lados esconstruible con regla y compas y dar explıcitamente la longitud del lado dedichos polıgonos cuando se consideran inscritos en la circunferencia unidad.Demostrar que

2

π=

√

1

2

√

1

2+

1

2

√

1

2

√

√

√

√1

2+

1

2

√

1

2+

1

2

√

1

2· · ·


3.11 ¿Puede construirse con regla y compas el pentagono regular? Estudiar laexactitud de la siguiente construccion geometrica: sea OA un segmento delongitud unidad; trazar la circunferencia unidad de centro O y radio OA;construir el diametro BB′ perpendicular a OA, ası como el punto medio Idel segmento OB′; trazar la circunferencia de centro I y radio IA; si D es elpunto de interseccion de dicha circunferencia con el segmento OB, entoncesAD es el lado del pentagono regular inscrito en la circunferencia de radiounidad y centro O.

3.12 ¿Puede trisecarse con regla y compas el angulo 2π/5?

3.13 ¿Es posible la quintiseccion del angulo π/3 con regla y compas?

3.14 Comprobar que el angulo θ no puede ser trisecado con regla y compas enlos casos en que cos θ sea un numero real trascendente.

3.15 Mostrar que en el caso en que cos θ = −5/6 el angulo θ no puede dividirseen cinco partes iguales con regla y compas.

3.16 ¿Cual es el menor entero estrictamente positivo n para el que el angulo den grados puede ser construido con regla y compas?

3.17 Caracterizar los enteros n para los que el angulo de n grados es construiblecon regla y compas.

3.18 Mostrar que para el angulo de 3 grados se satisface la igualdad

cos 30 =1

8(√3 + 1)

√

5 +√5 +

1

16(√6−

√2)(

√5− 1).

Dar explıcitamente una cadena de subcuerpos como la del teorema 1.3.2que permita garantizar la constructibilidad con regla y compas del punto(cos 30, sen 30).

3.19 Tomese un cuadrado OABC. Supongase que el lado OB se mueve uni-formemente girando alrededor de O y que durante el mismo intervalo detiempo BC se traslada paralelamente a sı mismo con movimiento unifor-me hasta hacer coincidir los segmentos OB y BC con OA. La interseccionde los dos segmentos moviles determina en cada instante un punto X. Ellugar geometico de los puntos X constituye una curva a la que se denomi-na cuadratriz de Hipias. Dar las ecuaciones en coordenadas polares y encoordenadas cartesianas de dicha curva.


O B

CA

M

N N ′ N ′′

E

Figura 1.1: Triseccion con cuadratriz

Supongase dado un angulo agudo en el que uno de sus lados se hacecoincidir con OB y el otro esta dentro l cuadrado OABC. Sea M el puntode interseccion del ultimo de los lados del angulo con la cuadratriz, N laproyeccion ortogonal del punto M sobre el segmento OB y N ′′ el puntodel segmento OB tal que N ′′B = 1

3NB. Comprobar que la paralela a OAtrazada desde N ′′ corta a la cuadratriz en un punto E tal que BOE esel angulo tercio del angulo dado. Comprobar que, si el cuadrado OABCtiene lado unidad, entonces el punto Q0 del segmento OA al que tienden lospuntos de la cuadratriz es tal que el segmento OQ0 es de longitud 2

π, con

lo que con auxilio de la cuadratriz puede construirse un cuadrado de igualarea que el cırculo unidad.

3.20 En la proposicion 8 del Libro de los Lemas, Arquımedes da la siguiente

construccion para trisecar angulos: Sea ABC un angulo agudo que se deseatrisecar. Con centro en B y radio arbitrario se traza una circunferenciaC, la cual corta a la semirrecta BC en el punto Q. Sea R el otro punto deinterseccion de la rectaBC con la circunferencia y P el punto de interseccionde la semirrecta BA con C. Trazar una recta que pase por P, que corte aC en un punto T y a la semirrecta BR en un punto S, de modo que lossegmentos ST y TB sean de igual longitud. Justifıquese cada una de lasafirmaciones siguientes:

1. BST es el angulo tercio de ABC.

2. La construccion precedente no es una construccion con regla y compas.

3. Es posible trisecar cualquier angulo con compas y una regla en la quese hayan marcado dos puntos que determinan un segmento de longitudunidad.


CQBR

S

P

A

T

Figura 1.2: Construccion del Libro de los Lemas

3.21 (J. H. Conway) Sea k un numero real estrictamente comprendido entre 0 y1. Supongase dado un sitema de referencia ortogonal en el plano eucıdeo conorigen en el punto O. Con radio unidad y haciendo centro en el punto A =(k, 0) se traza una circunferenica cuya interseccion con el semieje positivode ordenadas es un punto B. Construir el punto P del semieje negativo deordenadas tal que OP = 1

3OB. Determinar el punto C sobre la recta PA,y el punto D en la interseccion de las rectas BC y OA, de manera queCD = 1. Demostrar que AD = 2 3

√k. Mostrar que es posible construir el

punto D con compas y una regla en la que se han hecho dos marcas, peroque hay valores de k para los que dicho punto no puede construirse conregla y compas.

DA

O

P

B

C

Figura 1.3: Construccion de segmento de longitud 2 3√k

3.22 Se define la espiral de Arquımedes como el lugar geometrico descrito porun punto que se mueve uniformemente sobre una semirrecta partiendo desu origen mientras esta gira uniformemente en torno a dicho punto.


0 1 2−1−2−30

−1

−2

1

2

Figura 1.4: Espiral de Arquımedes

¿De que modo puede utilizarse la espiral de Arquımedes para trisecarangulos?

3.23 (Pappus). Sea

AOH un triangulo con OHA angulo recto y HOA el anguloa trisecar. Sea a la longitud del segmento OA. Se traza la paralela r aOH que pasa por A. Sea s una recta que corta al segmento HA en elpunto B, a la recta r en el punto C y de manera que el segmento BC

tiene longitud 2a. Demostrar que BOH = 13 AOH. Justificar por que la

construccion precedente no es una construccion con regla y compas.

3.24 (Descartes). Supongase dados un segmento de longitud q y una parabolaΓ de vertice A, y parametro p. Sea C 6= A un punto del eje e de la parabolaque esta a distancia p/2 del foco de Γ. Trazar una perpendicular a e quepase por C. Determinar sobre esta recta un punto E cuya distancia a Ces 1

2q y trazar con centro en E y radio EA una circunferencia. Si F 6= Aes punto de interseccion de Γ con la circunferencia y si L es su proyeccionortogonal sobre e, pruebese que FL y LA son dos medias proporcionalesentre segmentos de longitudes 2p y q.

3.25 Sea A, S y K0 como en el teorema 1.3.2. Un numero real se dira A-construible si es alguna de las coordenadas de un punto construible conregla y compas a partir de A. Comprobar que el conjunto de los numerosA-constuibles C constituye un subcuerpo de R que contiene a K0 y con lapropiedad de que c ∈ C y c > 0 implican ±√

c ∈ C. Comprobar que C es elmenor subcuerpo de R que contiene a K0 y que goza de dicha propiedad.

3.26 Sea p ≥ 3 un numero primo. Demostrar que, si el polıgono regular de plados es construible con regla y compas, entonces p = 2r + 1, para algunentero r > 1.

3.27 Sea r > 0 un entero y p = 2r + 1 un primo positivo. Comprobar que pse escribe en la forma 22

n

+ 1 para cierto entero n ≥ 0. Mostrar que siel polıgono regular de p lados es constuible con regla y compas entonces


p = 22n

+1 para algun entero n ≥ 0. [A los numeros Fn = 22n

+ 1 se llamanumeros de Fermat. P. Fermat conjeturo que todos ellos debıan ser primos.Euler mostro que esto no ocurre en el caso de F5. A dıa de hoy los unicosnumeros de Fermat que se sabe que son primos son F0, F1, F2, F3 y F4].

3.28 Demostrar que el heptagono regular no es construible con regla y compas.¿Como puede utilizarse el teorema 1.3.2 para caracterizar este hecho?

3.29 (Triseccion con papiroflexia). Supongase dada una hoja de papel rectan-

gular de vertices O, A, B y C. Sea θ = AOD un angulo agudo de verticeO que esta totalmente contenido en la referida hoja de papel. Efectuar dospliegues sucesivos de una misma anchura arbitraria para obtener dos rectasℓ1 y ℓ2 paralelas al lado OA. Desplegar completamente el papel y volver aplegar de modo que O se lleva sobre un punto O′ de la recta ℓ1 mientrasque el punto O2 de interseccion de ℓ2 con el lado OB de la hoja se lleva aun punto de la semirrecta OD. Si O′

1 es el punto correspondiente a O1 en

el ultimo pliegue, mostrar que entonces DOO′1 = 1

3θ.

3.30 Sea θ un angulo arbitrario y f(X) el polinomio de R[X ] definido por laigualdad siguiente:

f(X) = 4X3 − 3X − cos θ.

Mostrar que todas las raıces de f(X) estan en el intervalo [−1, 1] y, enconsecuencia, pueden verse como cosenos de angulos. ¿Cuales son estosangulos?

3.31 Dados un punto P y un subconjunto A del plano euclıdeo con al menosdos puntos distintos, se define la constructibilidad con regla, compas y tri-sector de angulos de P a partir de A de modo semejante a como se definiola constructibilidad con regla y compas sin mas que anadir entre las posibi-lidades de constructibilidades atomicas el que P pueda tambien ser puntode interseccion de una recta r que triseca algun angulo subtendido por dossemirrectas, cada una de las cuales pasa por dos puntos distintos de A, conalguna de las figuras geometricas siguientes: (i) una circunferencia que tie-ne su centro en un punto de A y cuyo radio es la distancia existente entredos puntos de A, (ii) una recta que pasa por dos puntos distintos de A yque es distinta de r, (iii) una recta distinta de r que triseca algun angulosubtendido por semirrectas distintas, cada una de las cuales pasa por dospuntos distintos de A. Sea S el conjunto de coordenadas de puntos de Arespecto a un sistema de referencia apropiado para A. Denotese por K0 alsubcuerpo Q(S). Supongase que x es algun numero complejo raız del poli-nomio f(X) = X3−pX+ q de coeficientes en K0. Demostrar que si p > 0 y|q√

27/p3| < 2 entonces x es real y el punto (x, 0) es construible con regla,compas y trisector de angulos a partir de A. [Indicacion. Buscar raıces def del tipo 2

√

p3 cos

θ3 .]

3.32 Probar la constructibilidad con regla, compas y trisector de angulos delpolıgono regular de 7 lados.

1.4. EXTENSION DE INMERSIONES. CONSECUENCIAS 17

3.33 Sea A un subconjunto de puntos del plano euclıdeo, S el subconjunto delas coordenadas de los puntos de A respecto a un sistema de referenciaapropiado. Hagase K0 = Q(S). Demostrar que el punto P = (x, y) esconstruible con regla, compas y trisector de angulos a partir de A si y solosi existe una cadena de subcuerpos de R

K0 ⊂ K1 ⊂ · · · ⊂ Kn, (1.3)

eventualmente reducida a K0, y para la que se satisfacen las dos condicionesdadas a continuacion:

1. Cada Ki es una extension cuadratica de Ki−1 o una extension cubicadel tipo Ki = Ki−1(ui) donde ui es raız de un polinomio fi(X) =X3−piX+qi con coeficientes enKi−1 y tal que pi > 0, |qi

√

27/p3i | < 2.

2. x, y ∈ Kn.

3.34 ¿Puede resolverse el problema de la cuadratura del cırculo con la ayudaadicional de un trisector de angulos?

3.35 1. Sea f(X) = X3 − pX + q un polinomio con coeficientes reales. De-mostrar que el polinomio f tiene tres raıces reales distintas si y solo sip > 0 y |q

√

27/p3| < 2.

2. Sea K/F una extension de cuerpos de grado 3, con K subcuerpo de Cy F subcuerpo de R. Sea x ∈ K tal que x /∈ F . Mostrar que irr(x,X, F )tiene tres raıces reales distintas si y solo si existe algun elemento u deK tal que K = F (u), con irr(u,X, F ) = X3 − pX + q y de maneraque para los coeficientes de irr(u,X, F ) se satisfacen las desigualdadesp > 0 y |q

√

27/p3| < 2. [Indicacion. Considerar el polinomio f(X− a3 ),

siendo a el coeficiente de X2 en el polinomio irr(x,X, F )].

3.36 ¿De que manera puede usarse el ejercicio 3.35 para reformular la carac-terizacion de la constructibilidad con regla, compas y trisector de angulosdada en el ejercicio 3.33?

1.4. Extension de inmersiones. Consecuencias

4.1 Dar algun numero real x, con x /∈ Q, para el que se tenga:

1. Q(x) y Q(ix) son isomorfos.

2. Q(x) y Q(ix) no son isomorfos.

4.2 Sea F un subcuerpo de R y K uno de C. Suponer K una extension degrado primo p del cuerpo F . Demostrar que, si existe algun x ∈ K talque irr(x,X, F ) tiene p raıces reales distintas, entonces esto ocurre para elpolinomio irreducible irr(y,X, F ) de todo elemento y ∈ K que no pertenecea F .


4.3 Mostrar que no es posible la duplicacion del cubo con regla, compas ytrisector de angulos.

4.4 Usar induccion para demostrar el teorema 1.4.2 en el caso en que S es unsubconjunto finito de K.

4.5 Sea F = Q(√2),K = Q( 4

√2) y σ : F −→ F el automorfismo σ : α+β

√2 7→

α− β√2. ¿Puede σ extenderse a un automorfismo de K?

4.6 Mostrar que la identidad es el unico automorfismo del cuerpo R de losnumero reales.

4.7 SeaK un subcuerpo de C, siendoK/Q una extension finita. Mostrar que elconjunto de las inmersiones σ : K −→ C tales que σ(K) 6⊂ R tiene cardinalpar.

4.8 Sea a un numero racional y x una raız del polinomio X4 + a. Demostrarque el numero de inmersiones de Q(x) en C es distinto de 4 si y solo si severifica alguna de las dos alternativas siguientes: (i) −a es el cuadrado deun numero racional, (ii) 4a es potencia cuarta de algun racional.

4.9 SeaK/F una extension de cuerpos, t un elemento trascendente de la exten-sion, L un cuerpo y σ : F −→ L una inmersion. Comprobar que el conjuntode las inmersiones τ : F (t) −→ L que extienden a σ esta en biyeccion conel conjunto de los elementos de L que son trascendentes sobre σ(F ).

4.10 Demostrar que todo cuerpo algebraicamente cerrado es infinito.

1.5. Clausura algebraica

5.1 Sea x una raız del polinomio X2 +X + 1 de Z/(2)[X ]. Dar las tablas desumar y multiplicar del cuerpo [Z/(2)](x).

5.2 ¿Cual es el cardinal de la clausura algebraica de un cuerpo finito?

5.3 Mostrar que el cuerpo A de los numeros algebraicos es una clausura alge-braica de Q.

5.4 Sea x ∈ C una raız del polinomio f(X) = X3 − 2 de Q[X ]. ¿Es Q(x)cuerpo de descomposicion de f(X) sobre Q?

5.5 Dar el cuerpo de descomposicion de X6 + 1 sobre Z/(2).

1.5. CLAUSURA ALGEBRAICA 19

5.6 Mostrar que cualquier extension algebraica de un cuerpo F puede sumer-girse en la clausura algebraica de dicho cuerpo, y que cualquier extensionalgebraica de F con la propiedad de contener alguna copia F -isomorfa decada uno de los cuerpos que son extension algebraica de F coincide, salvoF -isomorfismos, con la clausura algebraica de F.

5.7 Demostrar que la extension de cuerpos K/F es algebraica si y solo si paratodo cuerpo intermedio E se verifica que cualquier inmersion de E en sı mis-mo que induce la identidad sobre F es necesariamente un F -automorfismode E.

5.8 Sea f el polinomio de Q[X ] definido por la igualdad f(X) = X4−4X2+1y K el cuerpo de descomposicion de f sobre Q. Mostrar que

√3 ∈ K.

Determinar el el grado de la extension K/Q, ası como las Q-inmersiones deK en C.

5.9 Sea K/F una extension de cuerpos, x un elemento algebraico de la exten-sion y E un cuerpo intermedio. Mostrar que los coeficientes de irr(x,X,E)son algebraicos sobre F.

5.10 Demostrar que, sobre cualquier cuerpo F, el cuerpo de descomposicion delpolinomio f(X) = X3− 3X+1 coincide con el propio F o es una extensionde grado 3 del mismo. [Indicacion: Mostrar que si x es raız de f entoncesx2 − 2 tambien lo es].

5.11 Si el conjunto de polinomios no constantes F es finito, ¿puede darse al-guna demostracion del teorema 1.5.6 que no dependa de ninguna de lasequivalencias del axioma de eleccion?

5.12 Sea K/F una extension algebraica. Mostrar que para todo polinomiof(X) de K[X ] existe siempre algun polinomio no nulo h ∈ K[X ] tal quefh ∈ F [X ].

5.13 Sea F un cuerpo, f y g polinomios de F [X ]. Suponer f irreducible y g noconstante. Mostrar que si h ∈ F [X ] es un factor irreducible del polinomiof(g(X)) entonces el grado de f divide al grado de h.

5.14 Sea f un polinomio de grado n ≥ 1 del anillo de polinomios F [X ] y K elcuerpo de descomposicion de f sobre F. Sea f =

∏ri=1 p

tii la factorizacion

de f en polinomios irreducibles de F [X ]. Demostrar que [K : F ] divide a(deg p1)! · · · (deg pr)!

5.15 Sea K/F una extension finita de cuerpos cuyo grado n es primo con elgrado del polinomio f(X) ∈ F [X ]. Demostrar que, si f es irreducible sobreF , lo es tambien sobre K.

5.16 Sea F un cuerpo, F una clausura algebraica de F , y x e y elementos de Ftales que [F (x) : F ] = n y [F (y) : F ] = m, con n y m primos relativos. Seanx′, y′ ∈ F tales que x′ es raız de irr(x,X, F ) e y′ es raız de irr(y,X, F ).¿Existe algun F -automorfismo σ de F tal que σ(x) = x′ y σ(y) = y′?


5.17 Sea K/F una extension cuadratica y f ∈ F [X ] un polinomio irreduciblede grado 6. Comprobar que f es irreducible en K[X ] o se descompone endicho anillo de polinomios como producto de dos polinomios irreducibles degrado 3.

5.18 Sean n, m > 0 enteros primos relativos, F un cuerpo yXn−a un polinomioirreducible en F [X ]. Demostrar que Xn − am es tambien irreducible.

5.19 Sea K el cuerpo de descomposicion sobre Q de un polinomio de grado 8que es reducible sobre Q, pero que no admite raıces en Q. Demostrar que[K : Q] ≤ 1.440.

5.20 Sea p un primo positivo y K el cuerpo de descomposicion del polinomioXp − 2 sobre Q. Calcular [K : Q].

5.21 Sea F un cuerpo de caracterıstica 2, K un cuerpo que es extension cua-dratica de F. Demostrar que existe algun a ∈ F de modo que K es cuerpode descomposicion sobre F de algun polinomio irreducible que es del tipoX2 − a o del tipo X2 −X − a.

5.22 Sea F un cuerpo de caracterıstica distinta de 2 y a, b elementos dis-tintos de F. Sea K el cuerpo de descomposicion sobre F del polinomioX4− (a+ b)X2+ ab. Demostrar que [K : F ] = 4 si y solo si a, b y ab no soncuadrados en F.

5.23 ¿Existen automorfismos del cuerpo C de los numeros complejos distintosde la identidad y la conjugacion?

5.24 Comprobar que los unicos automorfismos continuos de C son la identidady la conjugacion

5.25 Sea K/F una extension algebraica de cuerpos. Demostrar que K es alge-braicamente cerrado si y solo si todo polinomio no constante de F [X ] tienetodas sus raıces en K.

5.26 Sea F un cuerpo de cardinal numerable. Mostrar directamente, sin usar elteorema 1.5.4, que F tiene una clausura algebraica.

5.27 Sea F un cuerpo de caracterıstica p, con p primo positivo. Considerese elpolinomio f(X) = Xp −X − a de F [X ].

1. Comprobar que si f tiene alguna raız en el cuerpo F entonces las tienetodas.

2. Mostrar que, en el caso en que f no tiene ninguna raız en F, el polino-mio f es entonces irreducible en F [X ] [Indicacion. Suponer la existen-cia de una factorizacion f(X) = g(X)h(X) con r = deg g < p, siendor ≥ 1, y llegar a una contradiccion tras estudiar el coeficiente de Xr−1

en g.]

3. Mostrar que el cuerpo de descomposicion K de f sobre F tiene grado1 o p. Dar explıcitamente ejemplos de ambas posibilidades.

1.5. CLAUSURA ALGEBRAICA 21

4. Si x es un numero complejo raız del polinomio Xp −X − a y a es unentero tal que a 6≡ 0(mod p), demuestrese que [Q(x) : Q] = p.

5.28 Sea F un cuerpo de caracterısitica p. Demostrar que el conjunto A =cp−c : c ∈ F es un subgrupo aditivo de F y que el polinomio Xp−X−a,(a ∈ F ), es un polinomio irreducible de F [X ] si y solo si a /∈ A.

5.29 Sea f(X) = Xp −X − a un polinomio con coeficientes en un cuerpo F decaracterıstica el primo positivo p. Supongase K una extension del cuerpo Fy x ∈ K una raız de f(X) tal que x /∈ F. Si y ∈ K es una raız del polinomioXp −X − axp−1, determınese el grado de la extension F (x, y)/F.

5.30 Sea p un primo positivo y F un cuerpo de caracterıstica p. Mostrar que elpolinomio Xp−a de F [X ] es, o bien, irreducible sobre F, o bien, la potenciade un polinomio lineal de F [X ].

5.31 Sea F un cuerpo de caracterıstica p, Ω una clausura algebraica de F y xun elemento de Ω, que no esta en F , tal que xp ∈ F . Hacer y1 = x. Paracada entero s > 1 defınase ys como el unico elemento de Ω para el que setiene la igualdad yps = ys−1. Mostrar que [F (ys) : F ] = ps.

5.32 Sea F un cuerpo, m y n enteros positivos primos relativos. Demostrar queel polinomio Xmn − a de F [X ] es irreducible si y solo si los polinomiosXm − a y Xn − a lo son.

5.33 Sea F un cuerpo y f(X) ∈ F [X ] un polinomio de grado n estrictamentemayor que 1. Comprobar que f es irreducible si y solo si f no tiene raıcesen ningun cuerpo K extension de F tal que [K : F ] ≤ n/2.

5.34 Mostrar que un anillo es dominio de integridad si y solo si puede sumergirseen un cuerpo algebraicamente cerrado.

5.35 (E. Artin ). Sea F un cuerpo y S el conjunto de todos los polinomiosno constantes de F [X ]. Sea A = F [Xf ]f∈S el anillo de polinomios concoeficientes en F y cuyo conjunto de indeterminadas tiene una y solo unaindeterminada distinta Xf por cada polinomio f ∈ S. Demostrar que elideal de A generado por el conjunto f(Xf) : f ∈ S es distinto de A.Sea m un ideal maximal de A que contiene al ideal anterior. Demostrar queF1 = A/m es una extension de un cuerpo F0 isomorfo a F en la que todopolinomio no constante de F0[X ] tiene alguna raız y mostrar a partir deaquı la existencia de alguna clausura algebraica del cuerpo F.

5.36 Sea F un cuerpo, F0 el subconjunto de F [X ]×N formado por los elementos(X − a, 0), a ∈ F. Mostrar que F0 es un cuerpo respecto a la suma y elproducto definidos de la manera siguiente

(X − a, 0) + (X − b, 0) = (X − (a+ b), 0),

(X − a, 0)(X − b, 0) = (X − ab, 0),

y que la aplicacion θ : F −→ F0 que a cada a ∈ F asocia (X − a, 0) esun isomorfismo de cuerpos. Sea D el conjunto de las extensiones E de F0


cuyo conjunto subyacente esta contenido en F [X ] × N y que gozan de lasiguiente propiedad: si (f, n) ∈ E entonces (f, n) es una raız del polinomiofθ. Ordenar parcialmente D respecto a la relacion de extension. Demostrarque existe en D algun elemento maximalM y queM es clausura algebraicade F0. Obtener de aquı la existencia de clausura una algebraica F del cuerpoF y de un isomorfismo ρ : F −→M tal que ρ(a) = θ(a) para todo a ∈ F .

1.6. Extensiones normales

6.1 Sea K/F una extension de cuerpos tal que K = F (S) y siendo[F (x) : F ] ≤ 2 para todo x ∈ S. Demostrar que K/F es una extensionnormal.

6.2 Sea K/F una extension de cuerpos y Eii∈I una familia de cuerpos in-termedios de dicha extension tal que cada una de las extensiones Ei/F esnormal. Demostrar que la interseccion

⋂

i∈I Ei es una extension normal deF.

6.3 Sean F , K y L cuerpos, cada uno de ellos extension algebraica del pre-cedente. Demostrar que la clausura normal nc(L/F ) de L/F contiene unsubcuerpo que contiene a L y que es K-isomorfo a la clausura normal deL/K.

6.4 Sea Ω una clausura algebraica del cuerpo F . Supongase K un subcuerpode Ω que es extension de F y sea Nii∈I la familia de los subcuerpos de Ωque contienen a K y son extension normal de F . Mostrar que L =

⋂

i∈I Ni

es clausura normal de K.

6.5 Sea K/F una extension normal y E un cuerpo intermedio de dicha ex-tension. Demostrar que E/F es normal si y solo si σ(E) ⊂ E para todoF -automorfismo σ de K.

6.6 Sean L/K y K/F extensiones normales. Supongase que todo F -auto-morfismo de K se extiende a un automorfismo de L. Demostrar que laextension L/F es normal.

6.7 Sean K/F y E/F extensionnes normales con K y E contenidos en uncuerpo Ω que es clausura algebraica del cuerpo F . SiK y E son F -isomorfos,¿se tiene necesariamente K = E?

6.8 Sea K/F una extension de grado 5 y f ∈ F [X ] un polinomio irreduciblede F [X ] de grado 5. Suponer que el cuerpo de descomposicion de f sobre Ftiene grado 120. Demostrar que f es irreducible sobre K o tiene alguna raızen K. Mostrar que en el caso en que K/F es extension normal la segundaposibilidad no puede presentarse

1.6. EXTENSIONES NORMALES 23

6.9 Sea L/F una extension de cuerpos, x e y elementos algebraicos de L.Supongase que K (resp. E) es cuerpo de descomposicion de irr(x,X, F )(resp. irr(y,X, F )) contenido en L. Mostrar que si F (x) ⊂ F (y) entoncesK ⊂ E. ¿Se satisface el recıproco?

6.10 Sea F un subcuerpo de R y K una extension normal de F de grado primop. Demostrar que si p > 2 entonces K es F -isomorfo a algun subcuerpo deR.

6.11 Demostrar que Q(√2, i) es una extension normal de Q y que cada una de

las raıces del polinomio irreducible X4 − 2X2 + 9 genera a Q(√2, i) sobre

Q.

6.12 Mostrar que el cuerpo generado sobre Q por alguna de las raıces del poli-nomio f(X) = X3 −X + 1 no es extension normal de Q.

6.13 Sea K/F una extension de cuerpos, x e y elementos algebraicos de laextension. Suponer que F (y)/F es extension normal y que F (x)∩F (y) = F .Demostrar que irr(y,X, F (x)) = irr(y,X, F ).

6.14 Sea L/F una extension de cuerpos, K y E cuerpos intermedios de laextension tales que [K : F ] = 3 = [E : F ], K 6= E. Si K ∨ E es el menorsubcuerpo de L que contiene a K y E, mostrar que entonces [K∨E : F ] = 6o 9 y que se presenta el primer caso si y solo si existe algun F -automorfismoσ : K ∨ E −→ K ∨ E tal que σ(K) = E.

6.15 Sean K/F y L/F extensiones normales y finitas. Comprobar que existealguna F -inmersion σ : K −→ L si y solo si hay dos polinomios no cons-tantes f y g de F [X ] con f | g tal que K es cuerpo de descomposicion de fy L cuerpo de descomposicion de g.

6.16 ¿Existe algun automorfismo del cuerpo A de los numeros algebraicos quetransforma

√2 en −

√2 y

√5 en −

√5?

6.17 Sea K/F una extension algebraica. Demostrar que K/F es una extensionnormal si y solo si para todo x ∈ K existe algun subcuerpo E de K quecontiene a x y que constituye una extension finita y normal de F.

6.18 Sean K/F y L/K extensiones de cuerpos. Suponer que L/F es cuerpo dedescomposicion de algun polinomio no constante f ∈ F [X ] con la propiedadde que cada uno de los factores irreducibles de f en F [X ] tiene alguna raızen K. ¿Es necesariamente L/K una clausura normal de K/F?

6.19 Demostrar que la clase de las extensiones normales satisface la segunda delas condiciones exigidas en la definicion de clase distinguida de extensiones(ver el ejercicio 2.45).

6.20 Sea Ω una clausura algebraica del cuerpo F , L un cuerpo intermedio de laextension Ω/F y

K = x ∈ Ω : L contiene todas las raıces de irr(x,X, F ).Demostrar queK es un subcuerpo de L y queK/F es una extension normal.


6.21 Sea f(X) un polinomio irreducible de Q[X ] que tiene raıces reales y noreales y K el subcuerpo de C que es cuerpo de descomposicion de f sobreQ.

1. Demostrar que el grupo de Galois de la extension K/Q no es abelianoy comprobar que la hipotesis de irreducibilidad no puede suprimirse.

2. Comprobar que si f tiene una unica raız real entonces la parte real decada una de sus raıces complejas no reales no puede ser un numeroracional.

6.22 Sea K/F una extension normal y f(X) un polinomio irreducible de F [X ].Supongase que g y h son polinomios monicos irreducibles de K[X ] que sonfactores de f. Demostrar que existe algun F -automorfismo σ de K tal quegσ = h. Dar un ejemplo de una extension que no sea normal y en la que nose tenga un resultado de este tipo.

6.23 Sea K/F una extension algebraica de cuerpos. Demostrar que la extensiones normal si y solo si los factores irreducibles en K[X ] de cada polinomioirreducible de F [X ] tienen el mismo grado.

1.7. Extensiones separables

7.1 Sea a un elemento de una extension de Z/(3). Demostrar que el polinomioX3 − 2a de coeficientes en (Z/(3))(a) no es separable.

7.2 Sea F un cuerpo de caracterıstica distinta de 2 y 3. Mostrar que un poli-nomio f ∈ F [X ] del tipo f(X) = 4X3 − 3X − a tiene alguna raız multipleen una clausura algebraica de F si y solo si a = ±1. Determinar en amboscasos todas las raıces de f . ¿Estan dichas raıces en F?

7.3 La hipotesis de ser en el ejercicio 4.2 distintas todas las raıces del polinomioirr(x,X, F ), ¿puede suprimirse?

7.4 Sea F un cuerpo de caracterıstica el primo positivo p y f un polinomio deF [X ] que tiene alguna raız multiple. Demostrar que si p no divide al gradode f entonces f no puede ser irreducible.

7.5 Sea F un cuerpo de caracterıstica 2. Demostrar que los cuerpos que son ex-tension cuadratica y separable de F coinciden con los cuerpos del tipo F (x)para x raız de un polinomio irreducible de F [X ] que se escribe en la formaX2 +X + a.

1.7. EXTENSIONES SEPARABLES 25

7.6 Sea m un entero mayor o igual que 2, F un cuerpo de caracterıstica cero,f 6= 0 un polinomio de F [X ] y x una raız de f en F . Demostrar que x esraız multiple de multiplicidad m si y solo si x es raız de multiplicidad m−1del polinomio f ′.

7.7 Sea F un cuerpo de caracterıstica cero. Demostrar que un polinomio moni-co f de F [X ] es divisible por su derivada formal si y solo si f es potenciade un polinomio de F [X ] del tipo X − x.

7.8 Sea K/F una extension de cuerpos y f y g polinomios irreducibles enF [X ]. Supongase que K es cuerpo de descomposicion sobre F tanto de fcomo de g. Mostrar que f es separable sobre F si y solo si lo es g.

7.9 Sea K un subcuerpo de C, siendo K/Q una extension normal y finita degrado impar. Mostrar que K es un subcuerpo de R.

7.10 Sea K/F una extension normal y separable, f ∈ F [X ] un polinomio degrado primo p, con todas sus raıces en K y alguna de ellas no perteneciendoa F . SeaG el grupo de Galois de la extensionK/F y E un cuerpo intermediode la extension K/F , que es extension finita de F , que contiene al conjuntoS de las raıces de f y tal que [E : F ] divide a p−1. Suponer que el conjuntoS de las raıces de f en el cuerpo K goza de las dos propiedades siguientes:

1. Para todo y ∈ S, cuya orbita Gy = σ(y) : σ ∈ G es de cardinalestrictamente mayor que 1, se tiene F (y) = E.

2. Si S contiene al menos dos elementos distintos que pertenecen a Fentonces E = F .

Demostrar que f tiene una unica raız en F y las restantes raıces de f enE tienen polinomio irreducible sobre F de un mismo grado d > 1, siendoademas E cuerpo de descomposicion de f sobre F y [E : F ] = d.

7.11 (Formula de Taylor para polinomios). Sea F un cuerpo de caracterısticacero, f un polinomio de F [X ] de grado n. Para cada entero positivo k,denotese por f (k) al polinomio obtenido a partir de f aplicandole k veces eloperador de derivada formal. Convengase que f(0)= f. Demostrar que paratodo a ∈ F se tiene

f(X + a) =

n∑

k=0

f (k)(a)

k!Xk.

7.12 Sea F un cuerpo de caracterıstica cero y f un polinomio de F [X ]. Demos-trar que las sucesivas derivadas formales de f se anulan en un punto dado asi y solo si f es un polinomio constante. La hipotesis sobre la caracterısticadel cuerpo, ¿puede suprimirse?

7.13 SeaA un anillo no necesariamente conmutativo. Una aplicacionD : A −→ Ase dice que es una derivacion de A si D es un endomomorfismo del grupoabeliano subyacente a A y se tiene ademas que D(xy) = D(x)y + xD(y)para cualesquiera x, y ∈ A. Si C es un subanillo de A y D se anula en


cada uno de los elementos de C se dice entonces que D es una C-derivacionde A. Mostrar que si 1/2 ∈ C, entonces una derivacion D de A es unaC-derivacion si y solo si es C-lineal (i. e. D(cx) = cD(x) para cualesquierax, y ∈ A y c ∈ C). Dadas dos derivaciones (resp. C-derivaciones) D1 y D2

de A, comprobar que la aplicacion [D1, D2] definida mediante la igualdad

[D1, D2] = D1 D2 −D2 D1

es tambien una derivacion (resp. C-derivacion) de A.Mostrar que para cadax ∈ A la aplicacion Dx : A −→ A definida de manera que Dx : y 7→ xy− yxes una derivacion de A. [De las derivaciones Dx se dice que son derivacionesinteriores de A].

7.14 Sea A un anillo conmutativo y con unidad. Mostrar que el anillo de poli-nomios A[X ] tiene una unica A-derivacion que transforma X en 0. ¿Cuales esa A-derivacion? Comprobar que para toda A-derivacion D de A[X ] ytodo polinomio f de A[X ] se satisface la igualdad

D(f) = f ′D(X).

7.15 Sea F un cuerpo yD una F -derivacion de F [X ]. Mostrar queD se extiendede manera unica a una F -derivacion de F (X).

7.16 Sea x un elemento algebraico de la extension de cuerpos K/F . Demos-trar que x es separable sobre F si y solo si la derivacion nula es la unicaF -derivacion de F (x).

7.17 Demostrar que no existen extensiones separables de grado de separabilidadnumerable.

7.18 Si K/F es una extension separable, ¿se satisface siempre la igualdad[K : F ]s = [K : F ]?

7.19 La clausura normal de una extension separable, ¿es necesariamente sepa-rable?

7.20 Demostrar que un cuerpo F de caracterıstica p es perfecto si y solo si suendomorfismo de Frobenius ϕ : x 7→ xp es suprayectivo.

7.21 Sea K/F una extension algebraica de cuerpos. Comprobar que si F esperfecto entonces K tambien lo es. Demostrar que, en el caso en que K/Fes una extension finita, el cuerpo F es perfecto si y solo si lo es el cuerpoK.

7.22 Dar un ejemplo de un cuerpo no perfecto y de una extension algebraicasuya que sea cuerpo perfecto

7.23 Sea p un primo positivo y F un cuerpo de caracterıstica p. Supongase queϕ : F −→ F es el endomorfismo de Frobenius. Hagase F0 =

⋂

n≥0 Imϕn.Compruebese que F0 es un cuerpo perfecto y que cualquier subcuerpo per-fecto de F esta contenido en F0.

1.7. EXTENSIONES SEPARABLES 27

7.24 Sea p un primo positivo, F un cuerpo de caracterıstica p y K un cuerpoque es extension de F. Demostrar que para todo elemento x de K que seaalgebraico sobre F existe algun entero n ≥ 0 tal que xp

n

es separable sobreF.

7.25 Sea F un cuerpo de caracterıstica p, K/F una extension separable y x unelemento de K tal que xn ∈ F para algun entero n > 0. Demostrar queexiste algun entero m, que divide a n y no es divisible por p, para el que setiene xm ∈ F.

7.26 Sea F un cuerpo cuya caracterıstica es un primo positivo p. Sea a unelemento no nulo de F y K una extension de F que es cuerpo de descom-posicion del polinomio Xn−a. Supongase K/F extension separable. Sea mel mayor entero positivo que divide a n y que no es divisible por p. Mostrarque K contiene todas las raıces m-esimas de la unidad.

7.27 Sea F un cuerpo y K un cuerpo de descomposicion sobre F de un polino-mio irreducible y separable f ∈ F [X ]. Supoongase que el grupo de GaloisG(K/F ) es abeliano. Demostrar que K = F (x) para cualquier raız x ∈ Kque sea raız de f .

7.28 Sea F un cuerpo de caracterıstica prima p,K/F una extension de cuerpos yx ∈ K un elemento algebraico de la extension. Demostrar que x es separablesobre F si y solo si F (x) = F (xp).

7.29 Demostrar que la clase de las extensiones separables es una clase distin-guida de extensiones.

7.30 SeaK/F una extension algebraica. Comprobar que los elementos de K queson separables sobre F constituyen un subcuerpo Ks de K tal que Ks/Fes una extension separable. A Ks se llama clausura separable de F en K.Mostrar que para todo cuerpo intermedio E de la extension K/F tal queE/F sea separable se tiene E ⊂ Ks.

7.31 Demostrar que para todo cuerpo F existe algun cuerpo Ω, que es extensionseparable de F y esta determinado de manera unica salvo F -isomorfismospor la propiedad de que para todo cuerpo K tal que K/F sea separableexista siempre alguna F -inmersion de K en Ω.

7.32 Sea Ω una clausura algebraica de un cuerpo F y Ωs la clausura separablede F en Ω. Demostrar que se da alguna de las dos alternativas siguientes:(1) Ω = Ωs; (2) Ω/Ωs es una extension infinita.

7.33 Sea F un cuerpo y f un polinomio monico irreducible de F [X ], de gradoestrictamente mayor que 1, que tiene todas sus raıces coincidentes en unaclausura algebraica de F. Demostrar que la caracterıstica de F es un primop > 0 y que f(X) = Xpn − a para algun a ∈ F y cierto entero n ≥ 0.

7.34 Sea K/F una extension de cuerpos y p un primo estrictamente positivo.Supongase que F tiene caracterıstica p y que x es un elemento algebraicode la extension. Demostrar la equivalencia de las siguientes afirmaciones:


1. [F (x) : F ]s = 1.

2. Existe algun entero n ≥ 0 tal que xpn ∈ F.

3. El polinomio irreducible de x sobre F es del tipo Xpn − a para algunentero n ≥ 0 y a ∈ F.

De un elemento algebraico x para el que se satisfacen las condiciones an-teriores se dice que es un elemento puramente inseparable de la extension.Una extension algebraica se dice que es puramente inseparable si lo son cadauno de sus elementos.

7.35 Sea F un cuerpo de caracterıstica prima, K/F una extension algebraica yKs la clausura separable de F en K. Muestrese que K/Ks es una extensionpuramente inseparable.

7.36 Sea K/F una extension de cuerpos, x e y elementos algebraicos de K.Suponer que x es separable e y puramente inseparable. Demostrar queF (x, y) = F (x+ y).

7.37 Sea F un cuerpo de caracterıstica no nula, K/F una extension algebraicay S es un subconjunto de K tal que K = F (S). Demostrar que la extensionK/F es puramente inseparable si y solo si cada uno de los elementos de Ses puramente inseparable sobre F.

7.38 Comprobar que la clase de las extensiones puramente inseparables es unaclase distinguida de extensiones.

7.39 Sea K/F una extension algebraica monogena y S un subconjunto no vacıode elementos puramente inseparables de la extension tal que K = F (S).Mostrar que existe algun x ∈ S tal que K = F (x).

7.40 Sea K/F una extension de cuerpos y D : K −→ K una F -derivacion.Mostrar que el conjunto E de puntos en los que se anula D constituye unsubcuerpo intermedio E de la extension K/F y que en el caso en que K/Fsea algebraica se tiene entonces que K/E es puramente inseparable.

7.41 Sea K/E una extension normal y E/F una extension puramente insepa-rable. Mostrar que K/F es normal.

7.42 Comprobar que para la clausura separableKs de una extension finita K/Fse satisface la igualdad [Ks : F ] = [K : F ]s.

7.43 Sea F un cuerpo de caracterıstica prima y K/F una extension algebraica.Comprobar la existencia de un cuerpo intermedio Ki de la extension K/Ftal que Ki/F es puramente inseparable y contiene a cualquier otro cuerpointermedio E que sea extension puramente inseparable de F. Mostrar quela interseccion de Ki con la clausura separable de F en K coincide con elcuerpo F. Comprobar que K/Ki es una extension separable si y solo si elcuerpo K coincide con el menor subcuerpo Ks ∨ Ki que contiene a Ks yKi.

Nota. Del cuerpo Ki se dice que es la clausura inseparable de la extensionK/F .

1.8. CUERPOS FINITOS 29

1.8. Cuerpos finitos

8.1 ¿Puede un cuerpo finito de 27 elementos contener algun subcuerpo decardinal 9?

8.2 Hallar el polinomio irreducible de una raız 7-esima primitiva de la unidadsobre Z/(2).

8.3 Mostrar que todo cuerpo F cuyo grupo multiplicativo es cıclico es necesa-riamente finito.

8.4 Sea F un cuerpo finito y p su caracterıstica. Usar el teorema de Cauchypara demostrar que el cardinal de F es una potencia de p.

8.5 Sea D un anillo, no necesariamente conmutativo, que no tiene divisores decero no nulos, ni por la derecha, ni por la izquierda. Suponer que D contienecomo subanillo a un cuerpo F y queD tiene dimension finita como F -espaciovectorial por la izquierda. ¿Es D necesariamente de division?

8.6 Mostrar que todo subgrupo abeliano finito del grupo multiplicativo D⋆ deun anillo de division D es cıclico.

8.7 Sea F un cuerpo y f 6= 0 un polinomio de F [X ]. Supongase que el conjuntode las raıces de f en una clausura algebraica de F constituyen un subcuerpoque es extension de F . Demostrar que F es finito de cardinal q y que f esdivisible por un polinomio del tipo Xqn −X.

8.8 Sea G un grupo cıclico finito de orden n. Comprobar que para todo enteropositivo d que divide a n existe un unico subgrupo de G de orden d. De-mostrar que hay exactamente ϕ(d) elementos de G cuyo orden es d, dondeϕ : N> −→ N> es la funcion ϕ de Euler definida por ϕ(1) = 1 y siendo,para cada entero n ≥ 2, ϕ(n) el numero de enteros positivos menores quen y primos relativos con el. Mostrar finalmente que

∑

d|n

ϕ(d) = n.

8.9 Sea G un grupo abeliano multiplicativo de orden n con la propiedad deque para todo entero positivo d que divide a n existen a lo mas d elementospara los que se satisface la igualdad xd = 1. Generalizar el ejercicio 8.8,demostrando ademas que G es entonces cıclico.

8.10 ¿Como puede usarse el ejercicio precedente para demostrar que si F es uncuerpo entonces todo subgrupo multiplicativo finito G de F ⋆ es cıclico?

8.11 Sea n un entero estrictamente positivo dado. Demostrar que una clausu-ra algebraica Ω de un cuerpo finito de q elementos Fq contiene un unicosubcuerpo Fqn de qn elementos y que Ω =

⋃

n≥1 Fqn .


8.12 Sea p un primo positivo. Demostrar que el cuerpo de descomposicion deXp − 1 sobre cualquier cuerpo F tiene un grado que divide a p− 1.

8.13 Sea F un cuerpo finito de q elementos. Demostrar que toda aplicacionχ : F −→ F esta representada por un unico polinomio de grado estrictamen-te menor que q y que dicho polinomio es f(X) =

∑

a∈F χ(a)(

1−(X−a)q−1)

.

8.14 Sean p y n enteros positivos, con p primo y n dividiendo a p−1. Demostrarque la congruencia xn ≡ 1(mod p) tiene exactamente n soluciones en Z/(p).

8.15 ¿Como puede generalizarse el ejercicio anterior en el caso de los cuerposfinitos?

8.16 Sea p un primo positivo que es congruente con 3 modulo 4. Demostrar quela congruencia x2 ≡ −1(mod p) no tiene soluciones en Z/(p).

8.17 Demostrar que en un cuerpo finito F todo elemento es suma de dos cuadra-dos. [Indicacion. Considerar separadamente los casos en que F tiene tieneo no caracterıstica 2].

8.18 Supongase que el cuerpo F goza de la propiedad siguiente: si f ∈ F [X ]tiene dos raıces distintas en F entonces su derivada formal f ′ tiene tambienalguna raız en F. Mostrar que F tiene caracterıstica cero y que el cuerpo Rde los numero reales tiene dicha propiedad.

8.19 Sea F un cuerpo con la misma propiedad que el cuerpo F del ejercicioanterior. Sean a, b ∈ F. Considerando el polinomio

f(X) = X3 − 3(a2 + b2)X + 2a3 − 6ab2,

demostrar que cada suma de cuadrados de elementos de F es un cuadradoen F.

8.20 Para todo entero r > 0, se denota por Sr a la suma de las potenciasr-esimas de los elementos de un cuerpo finito dado de q elementos. Demos-trar que

Sr =

−1 si q − 1 | r0 en otros casos

[Indicacion. En el caso que q − 1 6| r, tomese un generador z del grupomultiplicativo del cuerpo finito dado].

8.21 Sea F un cuerpo finito de q elementos, p la caracterıstica de F y n ≥ 1un entero. Supongase f1, . . . , fr ∈ F [X1, . . . , Xn] tales que

∑

deg fj < n.Sea V el subconjunto de Fn que consta de todas las raıces comunes quetienen los polinomios f1, . . . , fr en Fn. Comprobar que el polinomio h =∏r

j=1(1− f q−1j ) es tal que para todo x = (x1, . . . , xn) ∈ Fn se tiene

h(x) =

1 si x ∈ V

0 si x /∈ V


Para todo f ∈ F [X1, . . . , Xn], denotese por S(f) a la suma∑

x∈Fn f(x).Demostrar que S(h) es un elemento del cuerpo primo de F que coincidecon la clase de |V |1 modulo p. Expresando h como combinacion lineal demonomios de grado estrictamente menor que n(q − 1) y usando el ejercicioprecedente, demostrar que S(h) = 0 y que, en consecuencia, se obtiene elteorema de Chevalley-Warning que asegura que el numero de puntos de Ves divisible por p.

8.22 Sea F un cuerpo finito. Demostrar que toda forma cuadratica sobre F dea lo menos tres variables se anula en algun punto no nulo y, en particular,toda conica del plano proyectivo P2(F ) es no vacıa.

8.23 Sea F un cuerpo, Ω una clausura algebraica suya y f(X) un polinomiomonico de F [X ] que no tiene raıces multiples. Demostrar que si las raıcesde f(X) constituyen un subcuerpo de Ω entonces F tiene caracterıstica p yexiste algun entero r ≥ 1 tal que f(X) = Xpr −X.

8.24 Mostrar que el producto de los elementos no nulos de un cuerpo finitocoincide con −1.

8.25 (Wilson). Comprobar que si p es un numero primo entonces (p − 1)! ≡−1(mod p).

8.26 ¿Es verdad el recıproco del teorema de Wilson enunciado en el ejercicioanterior.

8.27 Demostrar que si p es un primo positivo impar entonces

(

(p− 1

2

)

!

)2

≡ (−1)p+1

2 (mod p).

8.28 Sea n un entero positivo y F un cuerpo cuya caracterıstica es cero o un pri-mo p distinto de 2 que no divide a 2n+1. SeaK el cuerpo de descomposiciondel polinomio X2n+1 − 1 sobre el cuerpo F. Demostrar que K coincide conel cuerpo de descomposicion de X4n+2 − 1 sobre F. [Indicacion. Pruebeseque si ε es una raız (2n+1)-esima primitiva de la unidad, entonces η = −εnes una raız (4n+ 2)-esima primitiva de la unidad].

8.29 Comprobar que sobre cualquier cuerpo F el polinomio X5−1 tiene cuerpode descomposicion de grado 1, 2 o 4. Sea K/F una extension de grado 5para la que existe algun elemento y ∈ K tal que y5 ∈ F y para el que setiene K = F (y).

1. Mostrar que el cuerpo de descomposicion de irr(y,X, F ) es extensionde grado 5, 10 o 20 del cuerpo F .

2. Demostrar que, si f ∈ F [X ] es un polinomio irreducible de grado 5que tiene cuerpo de descomposicion de grado 120 sobre F , entonces fes tambien irreducible sobre K.


8.30 Sea p un primo positivo y s > 0 un entero. Demostrar que el grupo aditivode un cuerpo finito F de ps elementos es isomorfo a una suma directa de scopias de Z/(p).

8.31 Demostrar que sobre un cuerpo finito polinomios irreducibles del mismogrado tienen el mismo cuerpo de descomposicion.

8.32 Sean Fq y Fq′ cuerpos finitos de cardinales q y q′. Comprobar que Fq′ tiene

un subcuerpo isomorfo a Fq si y solo si existe un primo positivo p tal queq = pd, q′ = pn con d|n.

8.33 Sea Fq0 un cuerpo finito de q0 elementos y Ω una clausura algebraica de

Fq0 . Sea Fq (resp. Fq′ ) un subcuerpo finito de Ω de q = q0nq (resp. q′ = q0

n′

q )elementos. Demostrar que Fq es un subcuerpo de Fq′ si y solo si nq | nq′ .

8.34 Sea Ω una clausura algebraica de un cuerpo finito Fq. Sea S un subconjuntode numero enteros estrictamente positivos con la propiedad de que cada vezque n y m sean elementos de S entonces el mınimo comun multiplo de estosenteros tambien pertenece a S. Mostrar que entonces

⋃

m∈S

Fqm (1.4)

es un cuerpo intermedio de la extension Ω/Fq. Demostrar que cualquiercuerpo intermedio de la extension Ω/Fq se puede escribir como una unionde este tipo para un cierto suconjunto S convenientemente elegido gozandode la referida propiedad.

8.35 Sea Ω una clausura algebraica de un cuerpo finito F. Demostrar que todocuerpo intermedio E de la extension Ω/F que esta estrictamente contenidoen Ω es tal que [Ω : E] = ∞.

8.36 Sea F un cuerpo de 81 elementos. Determinar el numero de raıces distintasque los polinomios X80 − 1, X81 − 1 y X88 − 1 tienen en F.

8.37 Demostrar que Φn(0) = 1 para todo entero n > 1.

8.38 Calcular Φ15(X).

8.39 Sean n y p enteros estrictamente positivos, con p primo que no divide an. Demostrar que si hay algun entero k tal que p | Φn(k) entonces p ≡1(modn). Justificar la existencia de infinitos numeros primos congruentescon 1 modulo n.

8.40 Sea F un cuerpo finito de q elementos. Demostrar que los factores irre-ducibles de Xq −X − 1 en F [X ] tienen todos el mismo grado y que dichogrado coincide con la caracterıstica de F.

8.41 Suponer p y n enteros estrictamente positivos, siendo p primo. Demostrarque el polinomio Xpn −X+1 de (Z/(p))[X ] es irreducible si y solo si n = 1o n = 2 = p.


8.42 Sea F un cuerpo finito de q elementos, n ≥ 1 un entero y f(X) un po-linomio irreducible de F [X ]. Demostrar que el polinomio f(X) divide aXqn −X si y solo si deg f divide a n.

8.43 Sea F un cuerpo finito de q elementos,K una extension finita de F y x 6= 0un elemento de K cuyo polinomio irreducible sobre F es p(X). Mostrar que

los elementos x, xq, . . . , xqdeg p−1

son todos distintos y que el conjunto queconstituyen coincide con el de las raıces de p(X) en K.

8.44 Sea K/F una extension finita de un cuerpo finito de q elementos. Sea xun elemento de K que genera al grupo multiplicativo K⋆. Demostrar quelas restantes raıces del polinomio irreducible de x sobre F generan tambiena K⋆ y que el grado m de este divide a ϕ(qm − 1), donde ϕ es el indicadorde Euler.

8.45 Demostrar que el polinomio X4 + 1 es irreducible sobre Z pero no lo essobre ningun cuerpo Z/(p). [Indicacion. Comenzar comprobando que paratodo primo p > 2 el numero p2 − 1 es divisible por 8. Utilizar el ejercicio5.33 en el caso en que p > 2.]

8.46 Sea K/F una extension finita de cuerpos y K = F (x). Supongase que Fcontiene alguna raız primitiva n-esima de la unidad y que xn ∈ F. Demos-trar que entonces x[K:F ] ∈ F.

8.47 Sean p y ℓ dos primos positivos distintos. Demostrar que el polinomiof(X) = Xp − 1 se descompone en factores lineales de Fℓ[X ] si y solo siℓ ≡ 1(mod p).

8.48 Supongase dado un entero n ≥ 1. Pruebese que en un cuerpo finito de qelementos F se tiene

Xqn −X =∏

d|n

∏

fd

fd(X) (1.5)

donde el producto mas interno se toma sobre todos los polinomios irredu-cibles de grado d cuyo coeficiente lıder es 1. Por comparacion de grados,demuestrese que

qn =∑

d|n

dψ(d), (1.6)

donde ψ(d) es el cardinal del conjunto de los polinomios irreducibles degrado d de F [X ].

8.49 Determinar el numero de polinomios monicos irreducibles de grado 3 quehay en F81[X ].

8.50 Sea K un cuerpo de caracterıstica distinta de 2, n un entero impar mayoro igual que 1 y ε ∈ K una raız n-esima primitiva de la unidad. Probar queK contiene alguna raız 2n-esima primitiva de la unidad.


8.51 Sea p un primo positivo que no divide al entero positivo n. Demostrar queel polinomio ciclotomico Φn es irreducible sobre Fp si y solo si la clase dep modulo n tiene orden ϕ(n) en el grupo multiplicativo de los elementosinversibles de Z/(n). [Indicacion: Demostrar que, si Φn es irreducible y ε esuna raız n-esima primitiva de la unidad en una clausura algebraica de Fp,entonces el menor entero positivo m para el que se tiene εp

m−1 = 1 coincidecon ϕ(n), en el caso en que Φn sea irreducible sobre Fp.]

1.9. Teorema del elemento primitivo

9.1 Sea F un cuerpo infinito y K/F una extension finita y propia del cuerpoF. Demostrar que el grupo K⋆/F ⋆ es infinito.

9.2 Sea K/F una extension separable de grado finito n. Demostrar que siσ1, . . . , σn son las distintas inmersiones de K en una clausura algebraica dedicho cuerpo que inducen la identidad sobre F y si x ∈ K es tal que σi(x) 6=σj(x) para i 6= j, entonces x es un elemento primitivo de la extension.

9.3 Sea K/F una extension finita y separable de un cuerpo no perfecto F decaracterıstica p. Mostrar que existe algun elemento primitivo de la extensionque no es raız p-esima de ningun elemento de K. [Indicacion. Sea ϕ elendomorfismo de Frobenious de K. Estudiar separadamente los casos enque F ⊂ ϕ(K) y cuando esto no ocurra.

9.4 Sea F un cuerpo de caracterıstica p y K/F una extension de cuerposmonogena y puramente inseparable tal que [K : F ] = pn. Mostrar que K/Ftiene exactamente n+ 1 cuerpos intermedios.

9.5 Sea K/F una extension separable tal que K 6= F. Suponer que para todox ∈ K, con x /∈ F, el grado de la extension F (x)/F es un numero primo.¿Es K/F una extension finita de grado primo?

9.6 Sea K/F una extension de cuerpos tal que K = F (x1, . . . , xn) y concada xi con cuadrado en F. Suponer F de caracterıstica distinta de 2 y[K : F ] = 2n. Demostrar que x = x1 + · · ·+ xn es un elemento primitivo dela extension.

9.7 Sea F un cuerpo de caracterıstica p y F (X,Y ) el correspondiente cuerposde funciones racionales en dos indeterminadas. Mostrar queF (X,Y )/F (Xp, Y p) es una extension finita de grado p2 que contiene unnumero infinito de cuerpos intermedios.

9.8 SeaK/F una extension algebraica de cuerpos tal queK = F (x1, . . . , xn, y),con cada xi separable sobre F. Comprobar que la extensionK/F es monoge-na.

1.9. TEOREMA DEL ELEMENTO PRIMITIVO 35

9.9 Sea F un cuerpo y n un entero estrictamente positivo. Demostrar queexiste alguna extension K/F de grado n si y solo si hay algun polinomioirreducible de F [X ] con grado n.

9.10 SeaK/F una extension algebraica de cuerpos tal queK = F (x1, . . . , xn, y),con cada xi separable sobre F (y). Comprobar que la extension K/F esmonogena.

9.11 Sea Ω/F una extension separable. Supongase que cualquier polinomio irre-ducible h ∈ F [X ] tiene alguna raız en Ω. Demostrar que Ω es una clausuraalgebraica de F.

9.12 Sea K/F una extension finita y separable de un cuerpo infinito. Supon-gamos que x, y ∈ K son tales que K = F (x, y). Sean f(X) y g(X) lospolinomios irreducibles de x e y. Supongamos que

f(X) =

n∏

i=1

(X − xi), x1 = x,

g(X) =

m∏

j=1

(X − yj), y1 = y,

son descomposiciones de f y g en una clausura algebraica de K. Tomesec ∈ F , distinto de cada uno de los elementos (yj − y)/(x− xi), (i 6= 1). Seaz = y + cx y h(X) = g(z − cX). Demostrar que el maximo comun divisorde f y h en F (z)[X ] es X − x. Obtener de aquı el teorema del elementoprimitivo.

9.13 Sea K/F una extension separable y Kn∞n=0 una sucesion estrictamentecreciente de subcuerpos de K que son extensiones finitas de F y tales queK0 = F y

⋃∞n=0Kn = K. Demostrar que [K : F ]s = 2ℵ0 .

Capıtulo 2

Teorıa de Galois

Modern algebra begins with Evariste Galois. With Ga-lois the character of algebra changed radically. BeforeGalois, the efforts of algebraists were mainly directedtowards the solution of algebraic equations. [· · ·] . If onewants to know wherther an equation can be solved byradicals, one has to analyse the structure of its Galoisgroup. After Galois, the efforts of the leading algebraistswere mainly directed torwards the investigation of thestructure of rings, fields, algebras, and the like.

B. L. van der Waerden

2.1. Teorema fundamental de la teorıa de Galois

1.1 Sea K = Q(x). Determinar los casos en que K/Q es una extension deGalois, siendo x:

1. raız del polinomio X2 + bX + c, (b, c ∈ Q).

2. raız del polinomio X3 − d, (d ∈ Z, d > 0).

1.2 Sea K/F una extension de Galois finita. Mostrar que si n es el grado de laextension entonces el numero de cuerpos intermedios no puede ser mayorque 2n.

1.3 La familia de cuerpos intermedios de una extension de Galois de gradoprimo p, ¿tiene cardinal exactamente p?

37

38 CAPITULO 2. TEORIA DE GALOIS

1.4 Sean L y L′ conjuntos parcialmente ordenados.

ϕ : L −→ L′, ψ : L′ −→ Laplicaciones que constituyen una conexion de Galois. Sean a y b elementoscerrados de L que tienen un ınfimo a ∧ b y tales que ϕ(a) y ϕ(b) tienenun supremo ϕ(a) ∨ ϕ(b). Supongase que los elementos de L′ que son cotassuperiores simultaneas de ϕ(a) y ϕ(b) son todos ellos cerrados de la conexionde Galois. Demostrar que

ϕ(a ∧ b) = ϕ(a) ∨ ϕ(b).

1.5 Sea K/F una extension de Galois de grupo de Galois G. Demostrar que siH1 y H2 son subgrupos finitos de G entonces KH1∩H2 = KH1 ∨KH2 y que,si la extension K/F es ademas finita, se tiene entonces G(K/(E1 ∩ E2)) =G(K/E1)G(K/E2) para cualesquiera dos subcuerpos intermedios E1 y E2

de la extension K/F .

1.6 Sea K/F una extension de Galois, G su grupo de Galois y E1 y E2 cuerposintermedios tales que G(K/E1)∩G(K/E2) es un subgrupo finito. Demostrarque G(K/(E1 ∨ E2)) = G(K/E1) ∩ G(K/E2). Imponer condiciones sobrelos subgrupos H1 y H2 del grupo de Galois G que permitan garantizar queKH1H2 = KH1 ∩KH2 .

1.7 SeaK/F una extension finita de cuerpos yG un grupo de F -automorfismosde K. Mostrar que G es finito y su orden |G| divide a [K : F ]. Comprobarque se da la igualdad |G| = [K : F ] si y solo si K/F es de Galois yG(K/F ) = G.

1.8 Sean p y s enteros positivos con p primo y K/F una extension de Galoisde grado ps. Suponer que los cuerpos intermedios de la extension K/Fconstituyen una cadena

F = F0 ⊂ F1 ⊂ · · · ⊂ Fs = K,

en la que cada uno de los subcuerpos Fi es extension de F de grado pi.Demostrar que el grupo de Galois de la extension K/F es cıclico.

1.9 Sea K/F una extension de Galois y G su grupo de Galois. Mostrar que,si H es un grupo para el que existe algun epimorfismo θ : G −→ H , existeentonces algun cuerpo intermedio E de la extension K/F que es extensionnormal de F tal que G(E/F ) ∼= H

1.10 Sea K/F una extension de Galois finita de grado n = rs, siendo r y s ente-ros positivos primos relativos. Suponer que K/F tiene cuerpos intermediosE1 y E2 que son extensiones de F tales que [E1 : F ] = r, [E2 : F ] = s.

1. Mostrar que K = E1 ∨ E2 y E1 ∩ E2 = F .

2. Demostrar que si E1/F y E2/F son extensiones normales entonces elgrupo de Galois G de la extension K/F es isomorfo a un productodirecto de dos subgrupos de G de ordenes respectivos r y s. Mostrarque si G(K/E1) y G(K/E2) son conmutativos (resp. cıclicos), entoncesel grupo de Galois de la extension K/F es conmutativo (resp, cıclico)

2.1. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA TEORIA DE GALOIS 39

1.11 Sea F (X) el cuerpo de funciones racionales en una indeterminada concoeficientes en el cuerpo de caracterıstica cero F . Mostrar que F (X)/F (X2)y F (X)/F (X2 − X) son extensiones cuadraticas y que se tiene ademasF (X2) ∩ F (X2 −X) = F .

1.12 Sea f ∈ R(X,Y ) una funcion racional para la que se tiene f(−X,Y ) =−f(X,Y ). Demostrar que el cambio de variable x = cos t reduce la integral∫

f(senx, cosx)dx a una integral de funcion racional; esto es, existe algunafuncion racional g ∈ R(X) tal que

∫

f(senx, cos x)dx =

∫

g(t)dt.

1.13 Sea K/F una extension normal y G su grupo de Galois. Si Ki es el cuerpointermedio de K/F caracterizado como en el ejercicio 1.7.43, demostrar queentonces Ki = KG.

1.14 Sea Ω/F una extension algebraica de cuerpos. Supongase que todo polino-mio irreducible h ∈ F [X ] tiene alguna raız en Ω. Demostrar que Ω es unaclausura algebraica de F.

1.15 Demostrar que todos los cuerpos intermedios de la extension Q(√2, i) son

extensiones normales de Q. Dar para cada uno de ellos un polinomio delque sea cuerpo de descomposicion sobre Q.

1.16 Dar el cuerpo de descomposicion sobre Q de cada uno de los polinomiossiguientes:

(X3 − 1)(X2 − 3)(X4 − 1), (X2 − 3)(X2 + 1), (X3 − 2)(X2 + 3).

Dar en cada uno de los casos el grado de las extensiones correspondientes yestablecer explicitamente las biyecciones subgrupo-subcuerpo del teoremafundamental de la teorıa de Galois.

1.17 Sea K = Q(√3,√5, x) donde x2 = (1 −

√3)(2 +

√5).

1. Mostrar que x es un elemento primitivo de la extension K/Q.

2. Determinar el grupo de los Q-automorfismos de K.

3. Demostrar que K/Q no es una extension de Galois.

1.18 Suponer que K/F es una extension de Galois cuyo grupo de Galois Gpuede darse por generadores y relaciones por

G = 〈ξ, η, ρ : ξ2 = η2 = ρ2 = Id, ηρ = ξρη, ξη = ηξ, ξρ = ρξ〉.

Mostrar que el grupo G tiene 8 elementos y es isomorfo al grupo diedricoD4. Dar los enteros n para los que existe algun cuerpo intermedio de gradon sobre F y determinar el numero de ellos que son extension de grado 4 delcuerpo F .


1.19 Sea K/F una extension de Galois finita, E1 y E2 cuerpos intermedios dela extension tales que el menor subcuerpo E1 ∨ E2 que contiene a E1 y E2

coincide con K. Suponer que E1/F es una extension normal. Demostrarque la igualdad F = E1 ∩E2 se da si y solo si [K : F ] = [K : E1][K : E2].

1.20 Dar el grupo de Galois del cuerpo de descomposion del polinomio X4 − 5sobre cada uno de los cuerpos siguientes:

Q, Q(√5), Q(

√−5), Q(i).

1.21 Sea z un numero algebraico y F un subcuerpo de C. Mostrar que[F (z) : F ] ≤ [Q(z) : Q] y que, en el caso en que Q(z)/Q sea normal, tam-bien lo es la extension F (z)/F, teniendose entonces que [F (z) : F ] divide a[Q(z) : Q].

1.22 Sea K un subcuerpo de C y E = K ∩ R. Demostrar que si K/Q es unaextension normal entonces [K : E] ≤ 2. Mostrar que dicha afirmacion nose satisface necesariamente en el caso de que K/Q sea extension finita nonormal.

1.23 Sea K un subcuerpo de C, que es extension normal de Q, y E = K∩R. Seaτ el automorfismo de K obtenido por restriccion de la conjugacion compleja−. Demostrar que E/Q es extension de Galois si y solo si τ conmuta contodo σ ∈ G(K/Q).

1.24 Sea F un cuerpo de caracterıstica cero yK/F una extension de grado 3 queno es normal. Sea L una clausura normal de dicha extension. Demostrar que[L : F ] = 6 y que L/F es una extension de Galois. Comprobar la existenciade un unico cuerpo intermedio E de la extension L/F tal que [E : F ] = 2.

1.25 Sea F un cuerpo finito de q elementos y K/F una extension finita. Com-probar que la aplicacion ψ : K −→ K dada por ψ : x 7→ xq es unF -automorfismo de K y que todo elemento del grupo de Galois G(K/F )es una potencia de ψ. Mostrar, en particular, que los automorfismos de uncuerpo finito son potencia de su automorfismo de Frobenius.

1.26 Sea f el polinomio con coeficientes en Z/(2) dado por la igualdad siguientef(X) = X6 +X + 1.

1. Demostrar que f(X) es un polinomio irreducible de [Z/(2)][X ].

2. Sea x una raız de f en una clausura algebraica de Z/(2) y K =(Z/(2))(x). ¿ Es K un cuerpo de descomposicion de f(X)?

3. Determinar el grado del cuerpo de descomposicion de f sobre Z/(2) ydar el retıculo de cuerpos intermedios de dicha extension.

1.27 Sea Ω una clausura algebraica de un cuerpo finito F . Demostrar que laidentidad es el unico automorfismo de Ω que tiene orden finito.


1.28 Sea K/F una extension de Galois finita, p un primo positivo y s ≥ 1 unentero tal que ps|[K : F ] pero ps+1 6 |[K : F ]. Demostrar que existe unacadena de subcuerpos

F = F0 ⊂ F1 ⊂ · · · ⊂ Fs+1 = K

tal que p 6 |[F1 : F ] y de manera que para cada i ∈ 1, . . . , s la extensionFi+1/Fi es normal de grado p.

1.29 Sea A un subconjunto del plano euclıdeo con a lo menos dos puntos dis-tintos, S el conjunto de las coordenadas de los puntos de A respecto a unsistema de referencia apropiado para A y F = Q(S). Sea P = (x, y) unpunto dado del plano cuyas coordenadas estan dadas en dicho sistema dereferencia. Suponer que x e y pertenecen a un subcuerpo K de R que esextension normal de grado potencia de 2 del cuerpo F . Demostrar que Pes construible con regla y compas a partir de A. Mostrar que los factoresde composicion de cada una de las sucesiones de composicion del grupo deGalois G de la extension K/F son todos ellos isomorfos a Z/(2) (ver elapendice C para las definiciones). ¿Puede alternativamente utilizarse estopara demostrar la constructibilidad de P?

1.30 Sean A, S, F y P = (x, y) como en el ejercicio anterior. Suponer que x ey pertenecen a un subcuerpo K de R que es extension de Galois finita delcuerpo F tal que [K : F ] = 2s3t, (s, t ≥ 0). Si el grupo de Galois G de laextension K/F tiene algun subgrupo de Sylow normal en G, demostrar queP es entonces construible con regla, compas y trisector de angulos a partirdel conjunto de puntos A

1.31 Sea K/F una extension de Galois finita de grado n y grupo de Galois Gpara la que se satisface la siguiente propiedad: para todo primo positivo pque divide a |G|, existe algun p-subgrupo de Sylow que es subgrupo normalde G, y el cuerpo intermedio E del correspondiente subgrupo de Sylow estal que para cada potencia positiva de p que divida a [E : F ] existe un unicosubcuerpo de E/F que tiene por grado dicha potencia de p. Demostrar queG es entonces un grupo cıclico.

1.32 Sea K = C(t) donde t es trascendente sobre C y ω un numero complejotal que ω3 = 1, ω 6= 1. Sean σ y τ los automorfismos de K que dejan fijocada elemento de C y para los que se satisfacen las igualdades σ(t) = ωt yτ(t) = t−1. Demostrar que

σ3 = Id = τ2, τ σ = σ−1 τ

Comprobar que el grupo G de los automorfismos generado por σ y τ tieneorden 6. Demostrar que el cuerpo fijo de G es C(u), donde u = t3 + t−3.

1.33 Sea K/F una extension de Galois de grado 4 cuyo grupo de Galois esisomorfo a Z/(2)× Z/(2). Supongase F de caracterıstica distinta de 2. De-mostrar queK = F (x, y), siendo x e y elementos con cuadrados en el cuerpoF.


1.34 Sea K/F una extension de cuerpos, E1 y E2 subcuerpos estrictamentecomprendidos entre K y F y tales que K coincide con el menor subcuerpoE1 ∨E2 que contiene tanto a E1 como a E2. Demostrar que si E1/F es unaextension de Galois entonces tambien lo es K/E2, pudiendose identificarG(K/E2) con un subgrupo de G(E1/F ). Mostrar que si ademas K/F es deGalois finita y E1 ∩E2 = F entonces G(K/E2) ∼= G(E1/F ).

1.35 Sea K/F una extension de cuerpos, E1 y E2 subcuerpos de K tales queK = E1 ∨ E2. Supongase que K/E1 y K/E2 son de Galois. Demostrarque K/F es tambien de Galois y que si la extension K/F es finita y F =E1 ∩ E2 entonces el grupo de Galois G de la extension K/F es isomorfo aG(E1/F )×G(E2/F ).

1.36 Sea F un cuerpo finito y K el cuerpo de descomposicion sobre F de unpolinomio irreducible de grado 3. Demostrar que el grupo de Galois de laextension K/F es isomorfo al grupo alternado A3.

1.37 Sea F un cuerpo que contiene todas las raıces n-esimas de la unidad yXn − a, Xn − b dos polinomios irreducibles de F [X ]. Demostrar que estosdos polinomios tienen cuerpos de descomposicion F -isomorfos si existe algunentero positivo r primo relativo con n tal que b = arcn para algun c ∈ F.

1.38 Sea F un cuerpo y F (X) el cuerpo de funciones racionales en la indeter-minada X. Considerese el conjunto de los automorfismos de F (X) dadospor

f(X) 7→ f(X), f(X) 7→ f(1−X), f(X) 7→ f(

1X

)

f(X) 7→ f(

1− 1X

)

, f(X) 7→ f(

11−X

)

, f(X) 7→ f(

XX−1

)

.

Demostrar que estos automorfismos constituyen un subgrupoG del grupo detodos los automorfismos de F (X) que dejan fijo a cada uno de los elementosde F y que el cuerpo fijo de G coincide con F (T ), siendo T el elemento deF (X) definido por la igualdad siguiente:

T (X) =(X2 −X + 1)3

X2(X − 1)2.

1.39 Sea F un cuerpo y K = F (X) el cuerpo de funciones racionales sobre F.Demostrar que las aplicaciones dadas por

f(X) 7→ f(X), f(X) 7→ f

(

1

1−X

)

, f(X) 7→ f

(

1− 1

X

)

constituyen un subgrupo del grupo de automorfismos del ejercicio anterior.Sea E su cuerpo fijo. Determinar [K : E] y dar un elemento que genere Ksobre E y otro que genere E sobre F.

1.40 Sea F un cuerpo de caracterıstica prima p y K = F (t) un cuerpo extensiondel cuerpo dado con t trascendente sobre F. Sean σ y τ los F -automorfismosde K que actuan sobre t del modo siguiente

σ : t 7→ −t τ : t 7→ 1− t.


Demostrar que el subgrupo de los F -automorfismos generado por σ y τ esfinito. Determinar el cuerpo fijo del mismo.

1.41 Sea K/F una extension normal. Mostrar la existencia de un cuerpo in-termedio I de la extension K/F tal que I/F es una extension puramenteinseparable y K/I es extension separable. Comprobar que, si Ks es la clau-sura separable de la extension K/F, entonces Ks ∩ I = F.

1.42 Sea K/F una extension normal finita, E1 y E2 cuerpos intermedios de laextension tales que K/E1 y K/E2 son extensiones separables. Demostrarque la extesnsion K/(E1 ∩ E2) es tambien separable

1.43 Sea F (t)/F una extension de cuerpos en la que t es trascendente sobreF. Sea G el grupo de Galois de dicha extension. Demostrar que existe unantihomomorfismo de grupos

ϕ : GL2(F ) −→ G

cuyo dominio GL2(F ) es el grupo de todas las matrices no singulares 2× 2con coeficientes en F y que esta definido del siguiente modo

ϕ :

(

a bc d

)

=

a bc d

.

Aquı se denota por

a bc d

al F -automorfismo de F (t) que transforma el elemento t en at+bct+d

. Demostrarque

kerϕ =

(

a 00 a

)

: 0 6= a ∈ F

(2.1)

y que G es isomorfo al grupo lineal proyectivo general PGL2(F ).

1.44 Sea F un cuerpo finito con q elementos y K = F (X). Sea G el grupo delos F -automorfismos de K. Demostrar:

1. El orden de G es q3 − q.

2. Mostrar que si

U =(Xq2 −X)q+1

(Xq −X)q2+1

entonces U ∈ KG. Observando que

U =

(

(Xq(q−1) · · ·+Xq−1 + 1))q+1

(Xq −X)q2−q, (2.2)

demostrar que F (U) es el cuerpo fijo de G.

3. SeaH1 el subgrupo de los F -automorfismos deK tales queX 7→ aX+bcon a 6= 0 y H2 el subgrupo de H1 formado por los F -automorfismosque tansforman X en X + b. Comprobar que los cuerpos fijos de H1 yH2 son F (T ) y F (Z), donde T = (Xq −X)q−1 y Z = Xq −X.


1.45 Sea F un cuerpo y F una clausura algebraica de F. Supongase que τ esun automorfismo de F que deja fijo a cada elemento de F. Sea E el cuerpofijo del subgrupo generado por τ. Demostrar que cualquier extension finitade E es cıclica.

1.46 Un cuerpo F se dice cuasi-finito si es perfecto y para cada entero n > 0existe una unica extension de F de grado n contenida en una clausuraalgebraica F de F. Demostrar que si F es un cuerpo cuasi-finito cualquierextension finita K/F es de Galois y cıclica.

2.2. Teorema fundamental del algebra

2.1 ¿Cuales son las extensiones algebraicas del cuerpo R de los numeros reales?

2.2 Mostrar que los polinomios irreducibles de R[X ] son a lo sumo de grado 2.

2.3 Sea F un cuerpo perfecto de caracterıstica distinta de 2 y Ω un cuerpoalgebraicamente cerrado que es extension de F . Sea S0 el conjunto de loselementos de Ω que son raız de algun polinomio irreducible de F [X ] degrado impar y L0 el subcuerpo de Ω dado por la igualdad L0 = F (S0).Para cada entero i > 0 defınase el subcuerpo Li = Li−1(Si) siendo Si elsubconjunto de los elementos de Ω que son raıces cuadradas de elementosde Li−1. Demostrar que

L =∞⋃

i=0

Li

es un subcuerpo de Ω que es clausura algebraica de F .

2.4 (Lema de d’Alembert). Sea f ∈ C[X ] un polinomio no constante. Usar elejercicio I.7.11 para demostrar que si z0 es un numero complejo tal quef(z0) 6= 0 existe entonces en todo entorno de z0 algun punto z1 tal que|f(z1)| < |f(z0)|.

2.5 Sea f(X) =∑m

i=0 aiXi un polinomio no constante de grado m con coefi-

cientes en C y M > 0 un numero real. Utilizando el ejercicio precedente yobservando que para todo z ∈ C tal que

|z| ≥ max

1,M +

∑m−1i=0 |ai|

|am|

(2.3)

se tiene |f(z)| ≥M , mostrar que f tiene alguna raız en C y que consecuen-temente C es algebraicamente cerrado.

2.3. EXTENSIOES CICLOTOMICAS 45

2.3. Extensioes ciclotomicas

3.1 Sea K/Q una extension finita de grado impar. Mostrar que si ε es una raızn-esima primitiva de la unidad contenida en K entonces n = 1 o 2 y que,en consecuencia, 1 y −1 son las unicas raıces de la unidad contenidas en K(ver el ejercicio I.2.37).

3.2 Sea p > 1 un numero primo y a un racional tal que el polinomio Xp − aes irreducible sobre Q. Demostrar que el grupo de Galois de Xp − a sobreQ es isomorfo al grupo de las afinidades de la recta vectorial Z/(p).

3.3 Sea p > 0 un primo impar y ε ∈ C una raız p-esima primitiva de la unidad.Sea p − 1 = qr11 · · · qrss la factorizacion de p − 1 en producto de potenciasde primos. Demostrar que los cuerpos intermedios de la extension Q(ε)/Qconstituyen un conjunto de (r1 + 1) · · · (rs + 1) elementos.

3.4 Sean n ym enteros positivos, x un numero real tal que x3 = m yK = Q(ε),siendo ε una raız n-esima primitiva de la unidad. Demostrar la equivalenciade las dos afirmaciones siguientes:

1. x ∈ Z.

2. x ∈ K.

3.5 Sea ε una raız primitiva n-esima de la unidad. Determinar los valores den para los que Q(ε) es una extension cuadratica de Q.

3.6 Sea K una extension finita del cuerpo Q. Demostrar que K contiene uni-camente un numero finito de raıces de la unidad.

3.7 Sea F un cuerpo de caracterıstica distinta de 2 y n un entero impar ≥ 1.Supongase que ε es una raız n-esima primitiva de la unidad y η es una raız2n-esima primitiva de la unidad, ambas en en una clausura algebraica Ω deF. Demostrar que F (ε) = F (η).

3.8 Sea p un primo positivo distinto de 2, ε una raız p-esima primitiva de launidad y K = Q(ε). Demostrar que en la extension K/Q existe un unicocuerpo intermedio que es extension cuadratica de Q y que dicho cuerpo esreal o no, segun que p sea de la forma 4n+ 1 o 4n+ 3.

3.9 Sea ε (resp. η) un numero complejo que es raız n-eima (resp. m-esima) pri-mitiva de la unidad. Supongase que n y m son primos relativos. Demostrarque Q(ε)∩Q(η) = Q y que el menor subcuerpo Q(ε)∨Q(η) que contiene aQ(ε) y Q(η) coincide con Q(εη)

3.10 Sea n un entero mayor o igual que 2 y K/Q una extension de grado n.Demostrar que si K contiene una raız n-esima primitiva de la unidad en-tonces n se factoriza en factores primos en la forma n = 2r13r2 , con r1 ≥ 1y r2 ≥ 0.


3.11 Utilizar el ejercicio I.8.39 para demostrar que para todo grupo cıclico finitoC existe siempre algun primo positivo p, una raız p-esima primitiva de launidad ε ∈ C y un cuerpo intermedio E de la extension Q(ε)/Q tal queG(E/Q) ∼= C.

3.12 Generalizar la afirmacion del ejercicio anterior demostrando que para to-do grupo abeliano finito G existe algun subcuerpo E de una extensionciclotomica Q(ε) de Q tal que G(E/Q) ∼= G.

3.13 Sea ε ∈ C una raız primitiva n-esima de la unidad. Suponer que m es unentero positivo primo relativo con n. Demostrar que el polinomio Φm(X)es irreducible sobre Q(ε).

3.14 Sean p y k enteros estrictamente positivos con p primo y F un cuerpo decaracterıstica distinta de p. Mostrar que las raıces primitivas de la unidadde orden pk de una clausura algebraica F de F coinciden con las raıces

del polinomio Xpk − 1 en F que no son raıces pk−1-esimas de la unidad.Demostrar que el polinomio

X(p−1)pk−1

+X(p−2)pk−1

+ · · ·+Xpk−1

+ 1

es irreducible sobre Q.

3.15 Sea ε ∈ C una raız primitiva n-esima de la unidad, m ≥ 1 un enteropositivo y y ∈ Q(ε) tal que ym ∈ Q. Demostrar que (Q(ε) ∩ R)/Q es unaextension normal y que si y ∈ Q(ε) ∩ R entonces y2 ∈ Q.

3.16 Sea ε una raız primitiva n-esima de la unidad. Mostrar que el polıgonoregular de n lados es construible con regla y compas si y solo si [Q(ε) : Q]es potencia de 2.

3.17 (Gauss/Wantzel). Mostrar que el polıgono regular de n lados es construiblecon regla y compas si y solo si n tiene una factorizacion en producto deprimos del tipo n = 2rp1 · · · ps, siendo r ≥ 0 y siendo los pi primos deFermat distintos dos a a dos.

2.4. Extensiones cıclicas

4.1 Sean F , K y Xn − a como en el lema 2.4.1. Suponer ademas n primo y ano siendo potencia n-esima de ningun elemento de F . ¿Es Xn−a polinomioirreducible de F [X ]?

4.2 Usar los ejercicios I.5.30 y I.7.10 para generalizar el ejercicio anterior,demostrando que si p es primo y Xp−a es un polinomio con coeficientes enel cuerpo F , que no tiene raıces en F , entonces Xp − a es irreducible sobreF .

2.4. EXTENSIONES CICLICAS 47

4.3 Sea ω 6= 1 un numero complejo que es raız cubica de la unidad, F = Q(ω)y K un subcuerpo de C tal que K/F es extension de Galois cuyo grupo deGalois es isomorfo a Z/6Z. Demostrar que existen entonces x, y ∈ K conx2 ∈ F , y3 ∈ F (x) tales que K = F (x, y).

4.4 Sea K/F una extension de cuerpos, p un primo positivo y x y β elementosde K tales que xp = β. Suponer que F contiene una raız p-esima de launidad ε 6= 1. Demostrar que si σ es un F -automorfsimo de K de ordenfinito no divisible por p y que deja fijo a β, entonces deja tambien fijo a x.

4.5 Sea K cuerpo de descomposicion sobre el cuerpo F de un polinomio f degrado n ≥ 5. Sea p un primo positivo y z y β elementos de K tales quezp = β. Supongase que F contiene alguna raız p-esima de la unidad ε 6= 1y que f tiene al menos 5 raıces distintas x1, . . . , x5. Mostrar que si el grupode Galois G de la extension K/F contiene a los F -automorfismos σ y τ queactuan sobre las raıces x1, . . . , xn de f del modo siguiente

σ : x1 7→ x2 7→ x3 7→ x1, σ(xi) = xi si i > 3,

y

τ : x3 7→ x4 7→ x5 7→ x3, σ(xi) = xi si i 6= 3, 4, , 5,

y que si ambos fijan β, entonces dejan fijo tambien a z.

4.6 Sean n p enteros positivos con n ≥ 5 y p ≥ 3 primo, y F un cuerpo quecontiene alguna raız p-esima de la unidad distinta de 1. Mostrar que si K escuerpo de descomposicion sobre F de un polinomio irreducible y separablef ∈ F [X ] y si el grupo de Galois G(K/F ) es isomorfo a Sn entonces K nocontiene elementos con potencias p-esimas en F , salvo aquellos que estanen F .

4.7 Sea F un cuerpo que contiene alguna raız primitiva n-esima de la unidady Xn − a, Xn − b dos polinomios irreducibles de F [X ]. Comprobar que silos cuerpos de descomposicion coinciden y F tiene caracterıstica cero o unprimo que no divide a n, existe entonces algun entero positivo r < n, primorelativo con n, tal que b = arcn para algun c ∈ F.

4.8 Sea n un entero estrictamente positivo, p y q primos positivos y n√p (resp.

n√q) la raız n-esima positiva de p (resp. q). Demostrar que Q( n

√p) = Q( n

√q)

si y solo si p = q.

4.9 Sea n un entero estrictamente mayor que 1, P el conjunto de todos losprimos positivos y S = x ∈ R : xn ∈ P. Demostrar que Q(S)/Q tienegrado infinito.

4.10 Sea p un primo positivo y F un cuerpo de caracterıstica distinta de p,con cuerpo primo P y conteniendo una raız p-esima primitiva de la unidadε. Sea K/F una extension de cuerpos tal que K = F (x), donde x ∈ Kes tal que x /∈ F pero xp ∈ F . Mostrar que si y ∈ K no pertenece a Fentonces irr(y,X, F ) tiene p raıces distintas y0, . . . , yp−1 en el cuerpo K y


si y = y0 =∑p−1

j=0 bjxj , (bj ∈ F ), entonces, tras una reordenacion si fuera

necesario, las restantes raıces y1, . . . , yp−1 de irr(y,X, F ) son

y1 =

p−1∑

j=0

bjεjxj (2.4)

y2 =

p−1∑

j=0

bjε2jxj (2.5)

... =... (2.6)

yp−1 =

p−1∑

j=0

bjε(p−1)jxj . (2.7)

Comprobar que para cada k ∈ 0, . . . , p− 1 se tiene

p−1∑

i=0

ε−ikyi = pbkxk

y que, en consecuencia, existe algun k0 tal que xk0 ∈ P (ε, bk0, y0, . . . , yp−1).

Mostrar que existe algun elemento no nulo z en alguna de las rectas vecto-riales Fx, Fx2, . . . , Fxp−1 tal que K = F (z), zp ∈ F y pudiendose escribir

y = c0 + z +

p−1∑

j=2

cjzj ,

siendo los cj elementos de F determinados de manera unica. Mostrar quetanto x como los cj estan en el subcuerpo P (ε, y0, . . . , yp−1).

4.11 Suponer n, F , x yK como en el lema 2.4.1. Demostrar que [K : F ] coincidecon el menor entero positivo d para el que se tiene xd ∈ F.

4.12 Dado un primo positivo p, demostrar que el cuerpo de descomposicion Kde Xn − p sobre Q es tal que [K : Q] = nϕ(n) o nϕ(n)/2. (Indicacion. Seax ∈ R tal que xn = p. Usar los ejercicios 3.15 y 4.11 para demostrar que sid = [K : Q(ε)] entonces d|n y x2d ∈ Q).

4.13 Sea F un cuerpo de caracterıstica p, a un elemento de F y f el polinomiode F [X ] definido por la igualdad

f(X) = Xp −X − a.

Mostrar que si K es el cuerpo de descomposicion de f sobre F entoncesK/F es una extension cıclica.

4.14 Sea F un cuerpo de caracterıstica p, A el subgrupo del grupo aditivo Fdefinido como en el ejercicio I.5.28, Ω una clausura algebraica de F y f y glos siguientes polinomios de F [X ]:

f(X) = Xp −X − a, g(X) = Xp −X − b, (a, b ∈ F ).

2.5. TEOREMAS DE ABEL Y GALOIS 49

Sean K y E subcuerpos de Ω, el primero de los cuales es cuerpo de descom-posicion de f sobre F , mientras el segundo lo es del polinomio g. Suponer firreducible. Demostrar que K = E si y solo si a− rb ∈ A para algun r ∈ Z.

4.15 Sea K/F una extension de Galois tal que K = F (x), con xn ∈ F paraalgun entero n > 0. SeaG su grupo de Galois. Mostrar que el grupo derivadoG′ es cıclico y que, en el caso que n sea primo, tambien el grupo G es cıclico.

4.16 Sea K/F una extension de Galois abeliana, cuyo grupo de Galois G tienen elementos. Supongase que F contiene alguna raız n-esima primitiva dela unidad. Demostrar que K es cuerpo de descomposicion sobre F de unpolinomio del tipo

(Xn1 − a1)(Xn2 − a2) · · · (Xns − as).

4.17 Sea F un cuerpo de caracterıstica el primo positivo p. Sea K/F una exten-sion cıclica de grado p y σ un automorfsmo generador del grupo de Galois.Demostrar que la aplicacion lineal S : K −→ K dada por S : u 7→ u− σ(u)es nilpotente y, en consecuencia, kerS 6= kerS2. Mostrar que, si x estaen el nucleo de S2 y no en el de S, entonces y = x(σ(x) − x)−1 satisfaceσ(y) = y + 1. Obtener de aquı que K es cuerpo de descomposicion sobreF de un polinomio irreducible del tipo Xp − X − a (Teorema de Artin yScrhreier).

2.5. Teoremas de Abel y Galois

5.1 Mostrar que A4 no es un grupo simple.

5.2 Mostrar que S4 no tiene elementos de orden 6. Demostrar que todo sub-grupo de S4 de ındice 4 es isomorfo al grupo simetrico S3.

5.3 Mostrar que A4 no contiene ningun subgrupo de orden 6.

5.4 Sean n y m enteros positivos. Mostrar que si m es impar y mayor o igualque 3 entonces losm-ciclos de Sn generan An. Usar esto para demostrar quesi p es el mayor primo positivo que es menor o igual que n y Sn actua sobreun conjunto no vacio dado T entonces la orbita de un elemento arbitrariot de T tiene a los menos p elementos o cardinal ≤ 2. (Indicacion: Para lasegunda parte del ejercicio tomar un p-ciclo arbitrario σ ∈ Sn y considerarla accion inducida del subgrupo generado por σ sobre el conjunto T .)

5.5 Sea G un subgrupo del grupo simetrico Sn. Supongase que G contienealguna permutacion impar. Demostrar que existe algun subgrupo normalde G cuyo ındice es 2.


5.6 Demostrar que si n ≥ 5 entonces los unicos subgrupos normales de Sn sonAn, Id y Sn.

5.7 Mostrar que para todo entero n ≥ 2 el grupo simetrico Sn tiene un unicosubgrupo de ındice 2.

5.8 Usar el ejercicio 5.6 para comprobar la afirmacion del ejercicio 4.6.

5.9 Sea F un cuerpo, f un polinomio irreducible y separable de F [X ] de gradon, y K el cuerpo de descomposicion de f sobre F . Demostrar que si [K :F ] = n! entonces, para cualquier x ∈ K que sea raız de f , la extensionF (x)/F no contiene ningun cuerpo intermedio estrictamente comprendidoentre F y F (x) que sea extension normal de F .

5.10 Sea n un entero mayor o igual que 4, N un subgrupo normal de An o Sn,que contiene alguna permutacion que es producto de dos transposicionesdisjuntas. Supongase que |N | ≤ 4. Mostrar que N no puede ser de orden2, y que si |N | = 4 entonces n = 4 y N es isomorfo al grupo de Klein.¿Puede darse alguna demostracion de este hecho que sea independiente dela simplicidad de los grupos alternados An (n ≥ 5)?

5.11 Determinar el numero de elementos de A5 que tienen ordenes 2, 3 y 5.

5.12 (J. Gallian). Usar el ejercicio anterior para demostrar que A5 es un gruposimple. [Indicacion. Tener en cuenta que si G es un grupo, N un subgruponormal de G tal que |G/N | <∞, entonces para todo elemento x de G cuyoorden sea finito y primo relativo con |G/N | se tiene necesariamente x ∈ N ].

5.13 Sea Ω = 1, 2, 3, . . .. Denotese por Gn al subgrupo del grupo de permu-taciones de Ω que deja fijo a todo elemento j > n. Sea Nn el subgrupo delos elementos de Gn que actuan como permutaciones pares de 1, . . . , n.Hagase G =

⋃

n≥1Gn y N =⋃

n≥1Nn. Demostrar que G es un subgrupodel grupo de permutaciones de Ω y que N =

⋃

Nn es un subgrupo normalde G cuyo ındice es 2. Comprobar que todo subgrupo normal de G distintode G y de Id coincide con N.

5.14 Demostrar que si n ≥ 2 entonces todo subgrupo H de ındice n del gruposimetrico Sn es isomorfo a Sn−1. [Indicacion. Estudiar separadamente loscasos n < 5 y n ≥ 5. En el primero de ellos tener en cuenta el ejercicio 5.2. SiH es un subgrupo de ındice n de Sn y n ≥ 5 considerese el homomorfismo ϕde Sn al grupo S(Sn/H) de las permutaciones del conjunto Sn/H , que estadefinido por ϕ(σ) = ϕσ donde ϕσ : Sn/H −→ Sn/H es tal que ϕσ(τH) =στH para cada σ ∈ Sn y τH ∈ Sn/H. Tengase ahora en cuenta el resultadodel ejercicio 5.6].

2.6. SOLUBILIDAD DE ECUACIONES POR RADICALES 51

2.6. Solubilidad de ecuaciones por radicales

6.1 Sea f un polinomio irreducible con coeficientes en un cuerpo F . Si f tienealguna raız en un cuerpo L que es extension radical de F, ¿es la ecuacionpolinomica f(x) = 0 soluble por radicales?

6.2 Sean K/F y L/K extensiones de cuerpos. Mostrar que si K/F y L/Kson extensiones radicales entonces L/F es tambien una extension radical.Si L/F es radical, ¿es entonces L/K radical?

6.3 Mostrar que la clase de las extensiones radicales no es una clase distinguidade extensionnes pero que, sin embargo, satisface la condicion 2 del ejercicioI.2.45.

6.4 Sea F un cuerpo conteniendo todas las raıces de la unidad, K/F y L/Kextensiones de cuerpos. Mostrar que para todo subcuerpo R de L que esextension radical de F existe siempre alguna extension radical R′ de K quecontiene a R y esta contenida en L.

6.5 Sea F un cuerpo de caracterıstica cero. Demostrar que para todo enteropositivo n el polinomio de F [X ] dado por la igualdad

f(X) = X4n + aX3n + bX2n + cXn + d

tiene grupo de Galois soluble.

6.6 Mostrar que toda extension finita de un cuerpo finito es una extensionradical.

6.7 Mostrar que si F es un cuerpo finito y f ∈ F [X ] un polinomio no constante,entonces la ecuacion f(x) = 0 es soluble por radicales, aunque tales radicalespueden ser de orden mayor que el grado del polinomio.

6.8 Sea K cuerpo de descomposicion sobre el cuerpo F de un polinomio f degrado n ≥ 5 y con a lo menos 5 raıces distintas x1, . . . , x5. Suponer que Fcontiene raıces p-esimas de la unidad distintas de 1 para cada primo p quedivide a n y que el grupo de Galois G de la extension K/F contiene a losF -automorfismos σ y τ del ejercicio 4.5. Demostrar que K/F no puede seruna extension radical.

6.9 Demostrar que la clase S de las extensiones separables K/F cuya clausuranormal tiene grupo de Galois sobre F soluble es una clase transitiva deextensiones.

6.10 Sea K/F una extension finita. Suponer que F tiene caracterıstica nula oun primo p > [K : F ]. Demostrar que K/F esta en la clase S del ejercicio6.9 si y solo si existe alguna extension radical L de F que contiene a Kcomo cuerpo intermedio.


6.11 Sea K/F una extension de Galois de un cuerpo F de caracterıstica ceroque contiene a todas las raıces de la unidadd. Usar el ejercicio 4.10 parademostrar que si el elemento y de K pertenece a alguna extension radicalde F entonces y pertenece tambien a una extension radical de F que estacontenida en K.

6.12 Sea F un cuerpo f y g polinomios de F [X ] con f irreducible de gradoprimo p. Suponer 1 ≤ deg g < p y que existe algun entero r ≥ 1 tal quef divide a g(Xr). Demostrar que si K es cuerpo de descomposicion de fsobre F entonces K/F es una extension radical.

6.13 Sea K/F una extension normal de grado 3 y

F = F0 ⊂ F1 ⊂ · · · ⊂ Fm = L

una torre radical tal que K ⊂ L. Supongase que el grado [Fm : Fm−1] esun numero primo pm y que K no esta contenido en Fm−1. Demostrar queentonces pm = 3 y Fm/Fm−1 es una extension normal.

6.14 Sea f ∈ Q[X ] un polinomio irreducible de grado 3 que tiene todas susraıces reales. Sea K el cuerpo de descomposicion de f sobre Q. Demostrarque la ecuacion f(x) = 0 no es resoluble por radicales reales; esto es, noexiste ninguna extension radical R de Q tal que K ⊂ R ⊂ R.

6.15 Sea K/F una extension de Galois finita. Suponer F de caracterıstica dis-tinta de 2. Mostrar que existe entonces algun cuerpo intermedio E de laextension K/F que es extension de grado impar de F y tal que K/E esextension radical que tiene alguna torre radical en la que cada uno de lossubcuerpos es extension cuadratica del precedente.

6.16 Mostrar que si en el ejercicio anterior K ⊂ C y F = Q entonces puedeelegirse E siendo un subcuerpo de R que es extension de grado impar de Q

6.17 Sea Ω de una clausura algebraica de un cuerpo F0 de caracterıstica ceroy S un subconjunto de Ω que contiene todas las raıces de cada uno de lospolinomios irreducibles de grado impar del anillo de polinomios F0[X ]. SeaF = F0(S). Demostrar que todo polinomio no nulo de F [X ] es tal quela ecuacion f(x) = 0 es soluble por radicales. ¿Puede siempre resolversela correspondiente ecuacion polinomica utilizando radicales a lo sumo degrado dos?

Los ejercicios siguientes tienen por objetivo caracterizar los subgrupossolubles y transitivos de los grupos simetricos Sp (p primo positivo). Dichacaracterizacion es importante para resolver el ejercicio 6.23 que trata unbonito resultado de Galois.

6.18 Sea H 6= Id un subgrupo normal de un grupo transitivo G de permuta-ciones del conjunto 1, . . . , n. Comprobar que todas las H-orbitas tienenel mismo numero de elementos, y por consiguiente, si n = p es un numeroprimo entonces H es transitivo.

2.6. SOLUBILIDAD DE ECUACIONES POR RADICALES 53

6.19 Sea p un primo positivo y GA(Z/(p)) el subgrupo del grupo de premuta-ciones del conjunto Z/(p) cuyos elementos son las permutaciones de Z/(p)de la forma x 7→ ax + b, a 6= 0. A GA(Z/(p)) se denomina grupo afın deZ/(p) y a sus elementos afinidades de Z/(p). De las afinidades de Z/(p) deltipo x 7→ x+ b se dice que son traslaciones del grupo afın.

1. Mostrar que el conjunto de las traslaciones distintas de la identidadcoincide con el de las unicas permutaciones pertenecientes a GA(Z/(p))que no tienen punto fijo y, consiguientemente, son los unicos elementosde GA(Z/(p)) que son p-ciclos.

2. Comprobar que si un subgrupo del grupo de permutaciones de Z/(p)contiene alguna traslacion distinta de la identidad entonces necesaria-mente debe contenerlas todas.

3. Demostrar que todo subgrupo H de GA(Z/(p)) es un grupo soluble.

6.20 Sea G un subgrupo del grupo de permutaciones de Z/(p). Sea H un sub-grupo de GA(Z/(p) que contiene al subgrupo de traslaciones y que estacontenido en G como subgrupo normal. Demostrar que G es un subgrupodel grupo afın de Z/(p). [Indicacion. Sea τ : x 7→ x + 1 y η ∈ G. Por elejercicio anterior, η τ η−1 : x 7→ x+ k. Ası, η(x+1) = η(x)+ k, de dondese obtiene η : x 7→ kx+ b. ]

6.21 Sea p un primo positivo, G un subgrupo del grupo simetrico Sp. Se diraque G es permutacion isomorfo a un subgrupo G de GA(Z/(p)) si existenuna biyeccion b : 1, . . . , p −→ Z/(p) y un isomorfismo θ : G −→ G talesque b σ(i) = θ(σ)(b(i)) para cualesquiera σ ∈ G y i ∈ 1, . . . p.

1. Sea H un subgrupo normal de G y θ : H −→ H un permutacionisomorfismo sobre un subgrupo H de GA(Z/(p)). Mostrar que, si Hcontiene algun p-ciclo, entonces H contiene todas las traslaciones yexiste algun permutacion isomorfismo ϕ de G sobre un subgrupo deGA(Z/(p)) tal que ϕ(h) = θ(h) para todo h ∈ H .

2. Demostrar que si p divide a |G| y |G| ≤ p(p − 1) entonces G es per-mutacion isomorfo a algun subgrupo de GA(Z/(p)) que contiene alsubgrupo de las traslaciones como subgrupo normal.

6.22 Usar induccion y los ejercicios 6.21 y 6.18 para demostrar que cada sub-grupo soluble y transitivo de Sp (p primo) es permutacion isomorfo a unsubgrupo de GA(Z/(p)) conteniendo al subgrupo de las traslaciones.

6.23 (Galois). Sea f(X) ∈ F [X ] un polinomio irreducible de grado un primop, con coeficientes en un cuerpo F de caracterıstica cero, y K el cuerpo dedescomposicion de f(X) sobre F. Demostrar que f(x) = 0 es soluble porradicales si y solo si K = F (xi, xj) para cualesquiera dos raıces distintas xiy xj de f(X).


2.7. Ejemplo de polinomio de Q[X] de ecuacion

insoluble

7.1 Sea ε una raız octava primitiva de la unidad. Mostrar que Q(ε)/Q es unejemplo de una extension de Galois de grado 4 que no contiene ningun4-ciclo.

7.2 Mostrar que para todo entero n ≥ 5 existe siempre algun polinomio f(X) ∈Q[X ] tal que la ecuacion f(x) = 0 no es soluble por radicales.

7.3 Sea p un primo mayor que 11. Demostrar que f(X) = X5 − pX + p es unpolinomio de Q[X ] tal que la ecuacion f(x) = 0 no es soluble por radicales.

7.4 Sea f un polinomio de grado 5 con coeficientes en el cuerpo F y cuyogrupo de Galois es isomorfo al grupo simetrico S5.

1. Mostrar que si L es el cuerpo de descomposicion de f sobre F se tieneentonces que L/F es extension de Galois, que [L : F ] = 120 y que fes irreducible sobre F .

2. Utilizar el ejercicio I.8.29 para dar una demostracion directa, sin uti-lizar la insolubilidad de S5 ni el teorema 2.6.6, de que la ecuacionpolinomica f(x) = 0 no es soluble por radicales.

7.5 (Kronecker). Sea f(X) ∈ Q[X ] un polinomio irreducible de grado primoe impar p. Mostrar que si f(x) = 0 es soluble por radicales entonces elnumero de raıces reales de f(X) es 1 o p. [Indicacion. Utilizar el ejercicio6.23].

7.6 ¿Puede utilizarse el ejercicio 7.5 en lugar del lema 2.7.2 para demostrar laproposicion 2.7.3?

7.7 Sea p un numero primo mayor o igual que 5 y f el polinomio de Q[X ]definnido por la igualdad

f(X) = Xp − 4X + 2.

Demostrar que la ecuacion polinomica f(x) = 0 no es soluble por radicacles.

7.8 Sean f y p como en el ejecicio 7.5. Suponer ademas que p ≡ 3(mod 4).Mos-trar que las raıces reales de f son 1 o p dependiendo de que su discriminantesea negativo o positivo.

7.9 Demostrar que para N un entero suficientemente grande, y p un primopositivo dado, la ecuacion polinomica correspondiente al polinomio

f(X) = X(X −Np2)(X +Np2)(X2 +N2p4) + p

no puede resolverse por radicales.

2.7. EJEMPLO DE POLINOMIO DE Q[X ] DE ECUACION INSOLUBLE 55

7.10 (R. Brauer). Sea k un impar estrictamente mayor que 3,m un entero imparpositivo y n1 < · · · < nk−2 una sucesion estrictamente creciente de k − 2numeros pares. Sean

g(X) = (X2 +m)(X − n1)(X − n2) · · · (X − nk−2), f(X) = g(X)− 2.

Mostrar que la funcion polinomica x 7→ g(x) tiene (k−3)/2 maximos relati-vos en [n1, nk−2] cuyos valores son todos mayores que 2, y (k−3)/2 mınimosrelativos menores que −2. Demostrar que f(X) tiene (k − 3) raıces realesen [n1, nk−2]. Considerando los coeficientes de los terminos de f de gradosk − 1 y k − 2, comprobar que f tiene exactamente k− 2 raıces reales, en elcaso en que se elija m suficientemente grande. Demostrar que, si ademas kes un primo p, entonces el grupo de Galois de f es Sp.

7.11 Sea G un grupo finito arbitrario. Mostrar que puede elegirse algun primopositivo p tal que Sp contiene algun subgrupo isomorfo a G. Demostrarla existencia de alguna extension finita K/Q y un cuerpo intermedio E dedicha extension tal queK/E es extension de Galois finita de grupo de Galoisisomorfo a G.

Apendice A

Dcpos y axioma de eleccion

1.1 Sea S un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado L. Mostrarque si S esta bien ordenado entonces S es una cadena y que si S 6= ∅es cadena entonces S es dirigido. ¿Que puede decirse de las afirmacionesrecıprocas?

1.2 Sea L un conjunto parcialmente ordenado Supongase que Aii∈I y Bjj∈J

son familias de subconjuntos de L tales que Ai ∩ Bj 6= ∅ para cualesquierai ∈ I y j ∈ J. Suponer que existen los supremos de los conjuntos Bj y losınfimos de los conjuntos Ai, al igual que el ınfimo de ∨Bj : j ∈ J y elsupremo de ∧Ai : i ∈ I. Mostrar que

∨

∧

Ai : i ∈ I ≤∧

∨

Bj : j ∈ J.

1.3 Sea A un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado L. Suponerque A tiene ınfimo en L. Comprobar que

⋂

x∈A

↓ x =↓(

∧

A)

.

1.4 Justificar los detalles de las afirmaciones hechas respecto a los ejemplos dedcpos dados en este apendice.

1.5 Un conjunto parcialmente ordenado L se dice que satisface la condicion decadena ascendente si cada vez que x1, x2, . . . son elementos de L tales que

x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn ≤ · · · ,

existe entonces algun entero positivo n0 tal que xn0= xn0+1 = xn0+2 = · · · .

Mostrar que si L es un conjunto parcialmente ordenado que satisface lacondicion de cadena ascendente entonces los subconjuntos dirigidos de Lson los subconjuntos no vacıos de L que tienen un mayor elemento y que Les entonces un dcpo.

57

58 APENDICE A. DCPOS Y AXIOMA DE ELECCION

1.6 De los conjuntos parcialmente ordenados que se dan a continuacion deter-minar aquellos que son dcpos.

1. El conjunto P(N) respecto a la relacion de inclusion.

2. La familia de los subconjuntos finitos de N respecto a la inclusion.

3. La familia de los subconjuntos cofinitos de N ordenados respecto a lainclusion.

4. El conjunto 1/n : n = 1, 2, 3, . . . respecto al orden usual ≤ .

5. El conjunto 1/n : n = 1, 2, 3, . . . respecto al orden ≥ .

¿Cuales son dcpos punteados?

1.7 Un subconjunto I de un conjunto parcialmente ordenado se dice que esun ideal si es dirigido y para todo x ∈ I el subconjunto ↓ x esta contenidoen I. Demostrar que un conjunto parcialmente ordenado D es un dcpo si ysolo si todo ideal de D tiene un supremo.

1.8 Sea D un dcpo. Demostrar que las dos afirmaciones siguientes son equiva-lentes: (i) cada subconjunto de D acotado superiormente tiene un supremo;(ii) todo subconjunto no vacıo de D tiene un ınfimo.

1.9 Mostrar que existen subconjuntos S de dcpos que son dcpos respecto alorden inducido por D y que, sin embargo, no son sub-dcpos.

1.10 Sea S un conjunto arbitrario y W la familia formada por todos los pa-res (W,≤W ), donde W es subconjunto de S y ≤W un buen orden en W .Defınase en W un orden parcial del siguiente modo: W1 W2 si y solosi W1 ⊂ W2, con el buen orden de W2 extendiendo al de W1, y de maneraque los elementos de ∁W2

W1 son todos ellos posteriores respecto a W2a

cada uno de los de W1. Mostrar que W tiene elementos maximales respectoal orden parcial . Obtener de aquı que S puede bien ordenarse. Demos-trar que el principio de buena ordenacion enunciado en la pagina 288 esequivalente al axioma de eleccion.

1.11 Una familia no vacıa L de conjuntos se dice que es de caracter finito sila condicion necesaria y suficiente para que un conjunto X pertenezca aL es que cada uno de sus subconjuntos finitos este en L. Demostrar laequivalencia de las afirmaciones siguientes y su equivalencia con el axiomade eleccion.

1. Todo conjunto ordenado L contiene alguna cadena maximal.

2. Si L es un conjunto ordenado no vacıo en el que cualquier subconjuntobien ordenado tiene una cota superior, entonces L tiene algun elementomaximal.

3. Lema de Teichmuller-Tuckey-Bourbaki. Toda familia L de caracter fi-nito de subconjuntos de un conjunto S tiene algun elemento maximalrespecto a la inclusion.

59

[Indicacion. Para demostrar que 1⇒2 puede procederse de la manerasiguiente: Sea ≤ el orden parcial en L y T la familia de los subconjuntosbien ordenados de L respecto a la restriccion de ≤. Definir en T un ordenparcial ≤T haciendo A ≤T B si y solo si A ⊂ B y A es segmento inicial deB (i. e. existe b ∈ B tal que A = x ∈ B : x ≤ b). Sea M maximal en Ty N =

⋃

R∈MR. Comprobar: (a)N ∈ T ; (b) N es maximal en T ; (c) lascotas superiores de N pertenecen a N y son elementos maximales de L.]

60 APENDICE A. DCPOS Y AXIOMA DE ELECCION

Apendice B

Trascendencia de e y π

2.1 Sea f(X) un polinomio de Z[X ] de grado n. Comprobar que si p, q ∈ Z,q 6= 0 y f(p/q) 6= 0, entonces se verifica

|f(p/q)| ≥ 1

|qn| .

2.2 Sean p, q ∈ Z, q 6= 0 tal que f(p/q) 6= 0. Supongase que x es un numero realraız del polinomio f ∈ Z[X ] y que x − 1 < p/q < x + 1 y que f(p/q) 6= 0.Comprobar que existe un numero real estrictamente positivo M tal que|f ′(y)| < M si x − 1 < y < x + 1. Usar el teorema del valor medio parademostrar que

∣

∣

∣

∣

p

q− x

∣

∣

∣

∣

>1

M |q|ny consecuentemente

∣

∣

∣

∣

p

q− x

∣

∣

∣

∣

>1

qn+1

si q ≥M.

2.3 Un numero de Liouville es un numero real del tipo

x =∞∑

n=1

an10n!

,

donde los an son todos enteros tales que 0 ≤ an ≤ 9 y un numero infinito deellos siendo no nulos. Considerar los enteros qm = 10m! y usar el ejercicioanterior para demostrar que los numeros de Liouville son trascendentes.

2.4 Demostrar que el conjunto de numeros de Liouville tiene la potencia delcontinuo.

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EJERCICIOS DE EXTENSIONES DE CUERPOS Y TEOR´IA DE...

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