Jesus´ Montejo G´amez - UGRjmontejo/TesisJMG.pdf · rodillera siempre ha sido mi ´ıdolo. A...

Jesus Montejo Gamez

Estudio de procesos cuanticos

disipativos mediante ecuaciones

en derivadas parciales en la

formulacion de Schrodinger

Tesis doctoral

La presente memoria, titulada “Estudio de procesos cuanticos disipativos me-diante ecuaciones en derivadas parciales en la formulacion de Schrodinger”ha sidorealizada bajo la direccion del doctor Jose Luis Lopez Fernandez del Departamentode Matematica Aplicada de la Universidad de Granada, para obtener el tıtulo deDoctor por la Universidad de Granada.

V.B. El director El doctorando

Fdo: Jose Luis Lopez Fernandez Fdo: Jesus Montejo Gamez

Universidad de Granada

A MIS PADRES

Quiero expresar desde estas lıneas mi mas profundo agradecimiento a aquellaspersonas que me han apoyado en la elaboracion de esta tesis doctoral.

Muchas gracias a mis padres por dedicar su vida a hacer que la mıa sea masfacil, dandome siempre apoyo, amor y comprension. Gracias tambien a mis herma-nos por estar siempre ahı y constituir, cada uno a su manera, dos referencias en lavida.

Muchas gracias a mi director de tesis por iniciarme en el mundo de la investiga-cion, por estar cuando lo he necesitado, por confiar en mi trabajo y por ensenarmeque en Matematicas 1 + 1 es, casi siempre, mucho mayor que 2.

Gracias a Juan Soler porque sin el esta tesis no serıa posible.

Gracias a mis companeros de despacho, por hacer la soledad del doctorandomas llevadera, y a todo el grupo por lo que he aprendido trabajando con ellos.

Gracias al Departamento de Matematica Aplicada por darme soporte y permi-tirme entrar en el mundo de la docencia universitaria.

Muchas gracias a los miembros del tribunal de tesis, por concederme el honorde evaluar mi trabajo.

Gracias a Antonio Canada y a Aurelio Montero, que me dieron mi primeraoportunidad en la investigacion.

Gracias a Pablo Blanco y a Manuel Sutil porque, desde talantes totalmenteopuestos, despertaron mi amor por las Matematicas. Igualmente, gracias a RafaelPaya, Manuel Barros, Angel Rodrıguez, Armando Villena, Antonio Canada, Sebas-tian Montiel y otros grandes matematicos que ahora mismo olvido, por hacermesonreir en clase pensando en una buena idea.

Gracias a Gabri, Javi, Jose, Juan, Magda, Manolın, Marıa Jose y Pilar, porquehan servido de ideologos para muchos detalles del texto. Y por supuesto, muchasgracias a Oscar por el magnıfico trabajo que ha realizado en el diseno y ejecucionde la portada de esta tesis.

Y como realmente soy deuda, solo (con tilde, te echare de menos) puedo desha-cerme en agradecimientos hacia las personas que me importan. Algunas me habeisayudado con la tesis, otras con la vida. Y la mayorıa ni lo uno ni lo otro, perosoy lo que soy gracias a vosotros y no me da la gana de no deciros que os quiero.Infinitas Gracias:

A Manuel y Magdalena, por veintimuchos anos de estar ahı dandolo todo. Portanto trabajo y esfuerzo, alguno con mas cabeza y otra todo corazon, con el unicoobjetivo de hacernos felices. Por preocuparos por todo, a veces en exceso, perosiempre con razon (y con razones). Porque si algun dıa soy padre, tengo el mejormodelo del mundo para imitarlo.

A Manolın, porque luchando por parecerme a ti he llegado a donde estoy.

A Alvaro, porque piensas lo que te da la gana y actuas en consecuencia. Yaunque muchas veces te equivocas, yo quisiera ser tan valiente.

A Jose Luis, porque solo tu sabes hasta que punto puedo ser una pejigueray nunca he recibido ningun reproche. Por aguantar el timon cuando lo facil eraabandonar el barco. Y sobre todo por la confianza que demuestras en ti mismo yen nuestro trabajo, que tantas veces ha sido la gasolina que me ha hecho seguiradelante.

A Fernando Cornet, no tengo muy claro por que, pero muchas gracias.

A Mar.ia y Simone, mis dos modelos cientıficos a imitar, ejemplos de coherenciay sentido comun en un mundillo dominado por egos desbocados, buenos cientıficosy mejores personas. Por dejarme aprender de vosotros.

A Mar.ia y a Pili, porque ayudasteis a corregir lo que otros simplemente borra-ron.

A Gabri, Magda, Mar.ia, Oscar, Pili e Yvonne porque a base de hipocondria,humor dudoso, tertulianismo, supermanager, chachara variada y cargo de concien-cia por el vendedor de la papelerıa habeis conseguido que a las 10.. ¡me apetezca ira tomar cafe! Y a Blanca, Pilar y Simone por todas esas cervezas, mojitos y demasjarabes nocturnos. Somos unos puretas, pero todavıa sabemos pasarlo ¡pi-ra-ta!

A Ale, por seguir siendo mi amigo aunque no te cojo el telefono. A Fran, porqueno perdemos la esperanza de que algun dıa el Madrid juegue a algo. A JuanMa,porque ademas de ser Super Guapo no tienes medida. A Oscar, porque el de larodillera siempre ha sido mi ıdolo. A Santi, por tu asertividad, que ya sabes comome pone. A todos vosotros y algun otro matao adicional, por horas y horas dearrastrarnos en las pistas de futbol.

A Fran, JuanMa y Oscar, porque juntos (y con el permiso de Mariano) estamospagando la casa de Miguel el del Van Gogh. Y a Vera e Yvonne que, haciendogala de un acopio inmenso de dignidad, nos acompanan finde tras finde sonrientes.Como unas senoras.

A Patri, porque no tienes ni un minuto libre pero siempre has estado ahı cuandohe necesitado a alguien. A Ana, por esos vergeles de conversacion e irnos de tien-das (mirarte, quiero decir) que tenemos entre estres y estres. A Patriana, porquetodavıa me parto de risa cuando recuerdo el dıa que me reganasteis.

A Francisco, porque siempre haces lo que te sale de los huevos, porque juntosnos hemos hecho doctores honoris causa en mugre. Y porque eres un cebollero. ADani, porque llevo 5 anos de carrera y otros tantos de tesis y sigo sin entender tuscuentas. A Javo y a Patri, porque da igual que no os vea porque os quiero. A FranMontoro, Javi, Jesus y todos los talegas, porque tengo cerca de treinta tacos y mehace ilusion echar un litro o hacer botellon en el auditorio. Y no me gusta beber.Es verdad. Lo prometo.

A Laura, porque ser buena gente es el peor insulto que se te puede hacer. APaco Romero, porque eres mi patero malo favorito. A Juancho, porque son ellas lasque tienen que llamar. A Nono, porque eres un papa frita pero no veas que bocasatienes. A Juan, por lo rico que esta el pan pa hoy. A todos los miserables, por todolo que he aprendido con vosotros. Siempre hay alguien peor que uno jugando alpro, claro.

A Thais, Raquel, Marıa, Rocıo, Miguel Angel, Irene y Angela porque un ratitode chachara con vosotros hace que el dıa merezca la pena. A Dilyara, Alberto, Luis,Elena, Patri, Diego y muchos otros, porque habitualmente no estais, pero cuandolo haceis todo es como siempre.

Por supuesto muchas gracias a aquellas personas que, a veces por las circunstan-cias de la vida y otras por mi deseo explıcito, unas por accion y otras por omision,algunas por ser ejemplo a seguir y la gran mayorıa por mostrarme el camino aevitar, se han convertido en innombrables.

Y como no gracias a Dioni, paradigma de los mas bellos deseos y de la vilezamas miserable. Manipulador de contrastada categorıa pero el amigo mas fiel quehe conocido. Porque me has machacado cuando lo he pedido a gritos y lo hasdado todo por mi, incluso cuando no me lo merecıa. Porque has conseguido que mehaga ilusion el dıa de mi cumpleanos. Porque podemos pasar tres horas discutiendosi 2.2 es un numero y semanas intercambiando marcas de coche. Porque me hasensenado las cosas importantes de la vida: el capicua en Zp, donde esta el centrodel universo, que es el cero absoluto o que pasa si isomorfo es isomorfo a patata1.Porque has conseguido que todo el mundo me inspire compasion, ya que ellos nisiquiera pueden sospechar lo que es un amigo.

1Demasiado profundo, no lo entenderıais

Indice

Introduccion y resultados principales 1

1. Preliminares 171.1. Notacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2. Comentarios y resultados utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2. Derivacion de una ecuacion de Schrodinger multidimensional querepresenta la misma hidrodinamica de Wigner–Fokker–Planck 252.1. Desde la ecuacion maestra hasta el sistema hidrodinamico asociado

a la ecuacion de Wigner–Fokker–Planck . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2. Analisis del tensor de esfuerzos y relaciones de clausura . . . . . . . 322.3. Construccion de una funcion de onda que reproduce el comporta-

miento de la funcion de Wigner: la ecuacion de Schrodinger–Langevindifusiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4. Casos particulares y discusion acerca de las hipotesis . . . . . . . . . 402.4.1. Casos particulares destacados de la ecuacion de Schrodinger–

Langevin con difusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4.2. Discusion sobre la consistencia de P cv y F . . . . . . . . . . . 41

3. Validacion numerica de la ecuacion de Schrodinger–Langevin condifusion 473.1. Soluciones particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.1. J = Dqq∇n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.1.2. Densidad de corriente nula (J = 0) . . . . . . . . . . . . . . . 523.1.3. J = −Dqq∇n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2. Comparativa con Wigner–Fokker–Planck vıa potenciales linealizados 553.2.1. Soluciones exactas de la ecuacion de Wigner–Fokker–Planck:

partıcula libre y oscilador armonico . . . . . . . . . . . . . . . 563.2.2. Linealizacion de SLD y resultados numericos . . . . . . . . . 59

4. Existencia de argumento de una funcion de onda 654.1. Sobre el problema del argumento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2. Argumento de una funcion compleja independiente del tiempo . . . . 69

xii Indice

4.3. Argumento de la solucion de una ecuacion de Schrodinger . . . . . . 74

5. Buen planteamiento de una ecuacion de Schrodinger disipativacon difusion en dominios acotados 815.1. Planteamiento e hipotesis del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.2. Sobre la derivacion del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.3. Equivalencia entre las ecuaciones de Schrodinger difusiva y pura-

mente logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.4. Buen planteamiento de la ecuacion logarıtmica . . . . . . . . . . . . 915.5. Existencia y unicidad de solucion en dominios acotados . . . . . . . 98

6. Interpretacion rigurosa y buen planteamiento local de la ecuacionde Schrodinger–Langevin 1016.1. Sobre la interpretacion unıvoca de la ecuacion Schrodinger–Langevin 1026.2. Existencia y unicidad de solucion local para la ecuacion de Schrodinger–

Langevin generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.3. Aplicacion: Sistema de Schrodinger–Langevin–Poisson con entalpıa . 115

A. Distintas formulaciones de un sistema cuantico 121A.1. El operador de densidad y la ecuacion de Liouville Von Neumann . . 121A.2. Interpretacion cinetica. La ecuacion de Wigner . . . . . . . . . . . . 123A.3. Enfoque hidrodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124A.4. Formulacion de onda y ecuacion de Schrodinger . . . . . . . . . . . . 126

B. Soluciones exactas de la ecuacion de Wigner–Fokker–Planck 129B.1. Solucion del problema de valores iniciales asociado a la ecuacion de

Wigner–Fokker–Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129B.1.1. La partıcula libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131B.1.2. El oscilador armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

B.2. Densidad local asociada a la ecuacion de Wigner–Fokker–Planck . . 137B.3. Densidad de corriente asociada a la solucion de la ecuacion de Wigner–

Fokker–Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Indice alfabetico 147

Bibliografıa 149

Introduccion y resultadosprincipales

El modelado de procesos en los que resulta relevante la perdida de alguna mag-nitud observable es un campo de gran interes en Fısica e Ingenierıa, ya que granparte de los problemas que aparecen en dichas areas puede plantearse de forma rea-lista en el marco teorico de un sistema disipativo. A escalas meso y macroscopicasla teorıa cinetica proporciona una herramienta poderosa para representar, simularnumericamente y analizar matematicamente una gran variedad de fenomenos deesta ındole en campos tan variados que van desde la Astronomıa hasta la Biologıa.A escalas pequenas los efectos cuanticos se tornan esenciales y se hace necesa-rio obtener una descripcion matematica fiel de los factores que pueden generardisipacion en este contexto. Encontrar una formulacion adecuada para englobarfenomenos cuanticos disipativos constituye una cuestion de interes creciente por sugran aplicabilidad en multiples ramas de la Fısica y la Tecnologıa como dinamicabrowniana, dispersion de iones pesados, optica cuantica, estudio del efecto tunel omicroelectronica, especialmente a traves del modelado de transporte cuantico decarga en dispositivos semiconductores.

El objetivo de esta tesis es el estudio de fenomenos disipativos en el ambi-to de la mecanica cuantica mediante modelos basados en ecuaciones en derivadasparciales. Nos centraremos en la formulacion de onda adaptada a este tipo de me-canismos, estudiando que terminos no lineales pueden tener cabida en una ecuacionde Schrodinger disipativa y analizando el buen planteamiento del problema de Cau-chy asociado a algunas ecuaciones de Schrodinger que contienen dichos terminos.Prestaremos especial atencion a los efectos de friccion y difusion, estudiando gene-ralizaciones cuanticas de la ecuacion de Langevin para el movimiento brownianoclasico. Este analisis esta estrechamente relacionado con el problema de la existen-cia de un argumento suficientemente regular para una funcion de onda dada, al queprestaremos atencion especıfica.

El problema de la representacion de procesos cuanticos disipativos puede enfo-carse de forma natural desde dos perspectivas. La primera de ellas consiste en partirde un sistema clasico y aplicarle un procedimiento de cuantizacion, idea que se ba-sa en la existencia de una funcion de Hamilton o de Lagrange (independiente deltiempo) que describe la dinamica de dicho sistema. Sin embargo si consideramos,

2 Introduccion y resultados principales

por ejemplo, la ecuacion de Langevin

md2x

dt2+ η

dx

dt+ V ′(x) = F (t), (1)

que gobierna el movimiento browniano de una partıcula clasica de masa efectiva minmersa en un fluido viscoso con coeficiente de friccion η y sujeta a la accion delpotencial V y a la fuerza aleatoria F , tenemos una ecuacion disipativa sencilla queno se puede derivar a partir de las ecuaciones de Hamilton (o de Lagrange) aplicadasa una funcion independiente del tiempo. Como consecuencia existen fenomenos queexhiben disipacion y no admiten cuantizacion, por lo que parece que este enfoque noresulta lo suficientemente general. No obstante, podemos encontrar en la literaturaalgunos modelos fenomenologicos basados en reglas de cuantizacion no estandar quehan sido validados posteriormente mediante tecnicas mas aceptadas. Por ejemplo,en 1.977 H. Dekker aplica un metodo de cuantizacion basado en variables complejasal oscilador armonico amortiguado [39], dando lugar a un modelo con terminosdifusivos que posteriormente ha ido apareciendo en otros contextos mas generales.

El segundo enfoque natural en la busqueda de una descripcion adecuada defenomenos cuanticos disipativos consiste en razonar de forma inversa: se parte deun sistema cuantico y se intentan explicar las diversas causas que puedan ser germende los efectos de disipacion observados. Este planteamiento puede materializarsede distintas maneras, dependiendo de la formulacion de la mecanica cuantica queutilicemos (en el apendice A presentamos un breve resumen de aquellas que nosseran de utilidad y la relacion que existe entre ellas). Desde el punto de vista delmodelado, sin embargo, el formalismo de operadores de densidad constituye el mar-co teorico mas apropiado para la inclusion de efectos de disipacion en un procesomecano–cuantico, ya que permite trabajar de forma sencilla con los denominadossistemas cuanticos abiertos. En ellos se respeta la idea basica de que todo sistemafısico aislado es siempre hamiltoniano y se interpreta cualquier disipacion obser-vable en el sistema objeto de estudio S como resultado de la interaccion con elentorno E que lo rodea. Interpretando S y E como sistemas cuanticos que se influ-yen mutuamente, descomponiendo la funcion de Hamilton del sistema compuestoS ⊗ E como suma del hamiltoniano de S, el de E y un tercero de interaccion yobservando solo el comportamiento de S (operacion que se puede llevar a cabo deforma simple si trabajamos con operadores de densidad) se obtiene la denominadaecuacion maestra, que consiste en la ley de evolucion temporal del operador de den-sidad reducido de S y constituye una descripcion completa de un proceso cuanticodisipativo. Existen muchos modelos basados en una ecuacion maestra provenientede un sistema abierto que son aceptados y ampliamente estudiados en la literaturafısica , por ejemplo [21, 41, 42, 48, 66, 108]. Uno de los mas relevantes fue introdu-cido en 1.983 por A. O. Caldeira y A. J. Leggett (CL) en [21], donde proponen unageneralizacion de la ecuacion de Langevin (1) para el caso cuantico que se obtienebajo hipotesis de altas temperaturas:

d

dtR = − i

~[Hr, R] − i

~λ[q, p,R] − 1

~2D[q, [q,R]], (2)


donde R es el operador de densidad reducido del sistema a estudiar, q y p sonlos operadores cuanticos de posicion y momento respectivamente, y donde denota-mos [·, ·] y ·, · al conmutador y anticonmutador de operadores respectivamente.Ademas Hr es el hamiltoniano renormalizado [68] y ~ es la constante de Planckreducida. Los parametros que modelan la interaccion con el ambiente son λ = η

2m yD = ηkBT0, donde η > 0 y T0 > 0 son la constante de acoplamiento y la tempera-tura del entorno respectivamente, m es la masa del sistema y kB es la constante deBoltzmann. La ecuacion (2) se deduce interpretando el sistema E como un conjuntoinfinito de osciladores armonicos de frecuencia muy alta en equilibrio termico (alque se denomina bano termico o reservorio) y utilizando el funcional de influenciade Vernon y Feynmann [46] para tratar los efectos de la interaccion. Este es unmodelo disipativo muy aceptado en mecanica cuantica debido a su simplicidad (setrata de una ecuacion lineal que puede resolverse de forma exacta) y porque de else derivan aproximaciones numericas fiables. Ademas, la interpretacion del entornocomo bano termico ha dado lugar a modelos mas completos que generalizan el deCaldeira y Legget. En 1.993, L. Diosi estudio una aproximacion markoviana delmismo proceso (no markoviano) que describen Caldeira y Leggett para temperatu-ras medias y altas, obteniendo la siguiente ecuacion maestra:

A(R) = − iλ~

[q, p,R] − 1

~2

(Dpp[q, [q,R]] + 2Dpq[q, [p,R]] +Dqq[p, [p,R]]

), (3)

donde A(R) := ddtR + i

~[Hr, R] y se ha usado la misma notacion que en (2) y

Dpp, Dpq y Dqq son constantes que dependen de la interaccion con el bano termico.Pueden verse las definiciones precisas y una descripcion mas detallada de estemodelo en el Capıtulo 2. La ecuacion (3) incorpora a la ecuacion maestra de CLdos terminos que ya habıa obtenido Dekker [39] mediante su metodo de cuantizaciony que permiten escribir (3) en la llamada forma de Lindblad (veanse [78, 11]). Sedice que la ecuacion

d

dtR = − i

~[H,R] + A(R)

esta en la forma de Lindblad si H es un operador autoadjunto (un hamiltoniano)y existe una familia de operadores lineales Ljj∈N tales que

A(R) =∑

j∈N

LjRL∗j −

1

2(LR+RL), con L =

∑

j∈N

L∗jLj ,

donde A∗ denota el adjunto del operadorA. Son necesarias, ademas, algunas hipote-sis adicionales sobre H y A (vease [28] para mas detalles). Las ecuaciones en laforma de Lindblad tienen propiedades convenientes como disipatividad (en el senti-do de los operadores) [78], entropıa monotona bajo hipotesis sobre Ljj∈N (vease[15]), y conservacion de la positividad del operador de densidad [28, 78]. Se pue-den encontar modelos en la literatura obtenidos partiendo de este esquema (porejemplo en [48]). La ecuacion maestra de CL no se puede escribir en la forma deLindblad; de hecho no puede garantizarse la positividad del operador de densidaden todo tiempo (vease [2]), por lo que podemos entender la ecuacion (3) como una


mejora de dicho modelo y nos basaremos en ella para describir el movimiento deun sistema cuantico que sufre disipacion.

El formalismo de operadores de densidad resulta adecuado para incorporar losefectos del ambiente sobre un sistema cuantico, pero no es una representacion ope-rativa a la hora de estudiar las propiedades de un modelo, ya que desde el puntode vista computacional resulta demasiado costoso (requiere 2d variables para unproblema de dimension d) y matematicamente es difıcil de tratar, pues R es unoperador sobre un espacio de Hilbert y no esta claro en que marco funcional debeencuadrarse su estudio. Esta interpretacion de la mecanica cuantica, sin embargo,se puede reformular en terminos de una funcion de densidad de probabilidad de-finida en el espacio de fases gracias a una transformacion W, que fue introducidaen 1.932 por E. Wigner para instaurar una version cuantica de la distribucion deBoltzmann [114]. La transformada que propone Wigner consiste esencialmente enla transformada de Fourier del nucleo integral de R (cf. (2.5)), estableciendo deeste modo, en virtud del Teorema de Plancherel, una correspondencia biyectiva eisometrica entre los operadores de densidad (definidos positivos, autoadjuntos, declase traza sobre L2(Rd)) y cierto subconjunto de L2(Rd). De esta manera, paraestudiar el movimiento de un sistema cuantico (que se puede considerar abiertoo aislado) en el espacio d-dimensional se define la funcion de Wigner de dichosistema W : R

2d × [0,∞) −→ R como W := W(R) con una interpetacion biendefinida: W (x, ξ, t) debe ser la densidad de probabilidad asociada al sistema en laposicion x ∈ R

d, a la velocidad ξ ∈ Rd y el instante t ≥ 0. La transformada de

Wigner, por tanto, establece una representacion canonica de un sistema cuanticocontemplandolo desde el punto de vista cinetico, lo que nos permite conocer pro-piedades de cada modelo a traves de W(R), cuyo tratamiento presenta multiplesventajas. Como ya hemos comentado, la funcion de Wigner de un sistema es unafuncion real definida en el espacio de fases, lo que simplifica la interpretacion delos calculos asociados al sistema objeto de estudio y permite establecer analogıascon el caso clasico. De hecho existen diversos modelos disipativos, por ejemploWigner–BGK y Wigner–Boltmann en el estudio de dispositivos semiconductores[38, 70, 88], que se formulan de modo natural en terminos de W en analogıa con elcaso clasico. Es resenable, por otra parte, que la representacion de Wigner de unsistema cuantico permite describir sistemas de muchas partıculas y conserva todala informacion que contiene el operador de densidad convirtiendo a R y W(R) enequivalentes, de manera que cualquier modelo derivado en el ambito de los sistemascuanticos abiertos puede describirse en la formulacion cinetica respetando todas laspropiedades fısicas. En particular la ecuacion (3), en terminos de W , da lugar a laecuacion de Wigner–Fokker–Planck (WFP):

∂tW + (ξ · ∇)W + Θ~[V ]W = LWFP [W ], (4)

que constituye un modelo disipativo ampliamente aceptado y muy estudiado enla literatura (veanse [8, 9, 10, 11, 22, 47, 84, 98, 103, 106]) y describe los efectosdisipativos mediante el nucleo de interaccion lineal LWFP (cf. (2.7)). Notese queeste queda determinado por las mismas constantes que el modelo de Diosi (cf. (3))y puede resolverse de forma exacta en casos sencillos, dependiendo del operador


pseudo–diferencial Θ~, que consiste en la transformada de Wigner del potencialexterno V . En la formulacion cinetica, este nucleo representa efectos de friccion ydifusion. Ademas, eliminando en (4) los terminos con coeficientes Dpq y Dqq, quemodelan difusiones anomala y en posicion respectivamente, obtenemos la reescri-tura del modelo de CL en funcion de W (que denominaremos tambien como CLaprovechando la equivalencia entre las formulaciones de Wigner y de operadoresde densidad). Este hecho implica que la incorporacion de efectos difusivos permiteescribir el modelo de Caldeira–Leggett en la forma de Lindblad. Debe tenerse encuenta, por ultimo, que la difusion de la que hablamos es de naturaleza cuanticay por tanto en el lımite semiclasico tanto CL como WFP conducen a la ecua-cion de Vlasov–Fokker–Planck, lo que permite interpretar ambos como una versioncuantica de un modelo clasico de gran aceptacion.

A pesar de las ventajas que proporciona la descripcion cinetica de un procesocuantico, la representacion que proporciona la funcion de Wigner tambien presentacarencias. De entrada la interpretacion de W como densidad de probabilidad re-sulta ficticia, ya que puede tomar valores negativos incluso en casos muy sencillos.Desde el punto de vista computacional, ademas, la representacion en el espaciode fases resulta bastante costosa ya que, al igual que ocurrıa con el operador dedensidad, el tratamiento de W requiere el doble de variables que la dimension denuestro problema. Esto se debe a la complejidad que acompana la representacionmediante W (o R), por lo que en las aplicaciones practicas resulta util simplificarlos modelos utilizando los momentos (respecto de la velocidad) de la funcion deWigner, que describen propiedades hidrodinamicas macroscopicas de un sistemacuantico. Multiplicando la ecuacion cinetica por la k–esima potencia de ξ e inte-grando respecto de dicha variable, se puede deducir la ecuacion de evolucion parael momento de orden k, lo que permite obtener una jerarquıa de ecuaciones para losmomentos asociados a W y establecer en particular un sistema para los de ordenmas bajo. En el caso no disipativo el sistema hidrodinamico formado por los dosprimeros momentos n y J (que se interpretan como densidad local y densidad decorriente) es cerrado y el estudio de dicho sistema es equivalente a la ecuacion deWigner, con lo que las propiedades fısicas derivadas de aquel contienen la mismainformacion que las deducidas de esta. En dichas condiciones se puede obtener laformulacion de De Broglie–Bohm [34, 18] de la mecanica cuantica en terminos den y u, donde u = J/n es el campo de velocidades asociado asociado al sistemahidrodinamico que forman las evoluciones temporales de n y J . En este contexto,ademas, se demuestra (formalmente) que u admite un potencial escalar S al me-nos localmente, lo que permite establecer el denominado sistema hidrodinamico deflujo potencial, que describe el sistema en terminos de n y S. Al introducir efectosdisipativos a nivel de W , sin embargo, no cabe esperar que el sistema de momen-tos de algun orden permanezca cerrado, por lo que es imposible retener todas laspropiedades fısicas de la funcion de Wigner y se hace necesario suplir esta perdidade informacion imponiendo ad hoc ciertas condiciones de cierre basadas en algunconocimiento adicional o en hipotesis razonables sobre la fısica del sistema. Esteprocedimiento, que es usual tambien en la teorıa disipativa clasica, permite obte-ner modelos hidrodinamicos con friccion basados en n y J . Ademas, el campo de


velocidades u genera vorticidad tıpicamente, por lo que es imposible que admitaun potencial (ni siquiera localmente) y no se puede establecer la formulacion deflujo potencial. No obstante, imponiendo la existencia de S tal que J = n∇S sededucen sistemas hidrodinamicos de flujo potencial que representan efectos de fric-cion. Observese que dicha hipotesis supone una perdida adicional de informacion,ya que supone describir la hidrodinamica de un sistema disipativo mediante unarepresentacion irrotacional, eliminando todos los efectos de vorticidad que pudieranderivarse de interacciones disipativas.

Como vemos, tanto la formulacion cinetica como las hidrodinamicas constituyenherramientas poderosas para describir procesos disipativos en mecanica cuanticay darles un tratamiento mas operativo. En cuanto a la formulacion de onda, esdestacable que la introduccion de cualquier efecto que pueda generar perdida oganancia de alguna magnitud observable debe dar lugar a un hamiltoniano efectivodependiente del tiempo en la ecuacion de Schrodinger o a la aparicion de terminosno lineales en la misma, que deben interpretarse como operadores de disipacion.Ambas consecuencias resultan en principio indeseables, pues conducen a propie-dades que no admiten interpretacion en la teorıa estandar como la violacion delprincipio de superposicion. El conocimiento profundo y la interpretacion de losterminos no lineales que modelan efectos disipativos en la ecuacion de Schrodingerresulta de gran interes, ya que la descripcion mediante funciones de onda es basicaen mecanica cuantica. Ademas, el analisis matematico de la ecuacion de ondas esa todas luces mas simple que cualquier sistema hidrodinamico cuantico, y no soloporque se trata de una unica ecuacion frente a un sistema. El efecto de deslocali-zacion habitual en mecanica cuantica se describe en la formulacion de Schrodingercomo un operador lineal, mientras que en el sistema de arrastre–difusion apareceel el tensor J⊗J

n y en el hidrodinamico de flujo potencial se obtiene una ecuacionde Hamilton–Jacobi. Este hecho senala la funcion de onda como privilegiada pararepresentar cualquier fenomeno que sea sensible a los efectos cuanticos y focalizanuestro trabajo hacia el estudio de la evolucion de una funcion de onda adecuada acada problema disipativo, que abordaremos desde el punto de vista del modelado ya traves de un enfoque matematico exhaustivo. Respecto a lo primero, es destaca-ble que hoy en dıa no existe todavıa un conocimiento profundo sobre como debenentenderse las interacciones disipativas en la ecuacion de Schrodinger, aunque haydiversos modelos basados en diferentes interpretaciones. En 1.981 N. Gisin intro-duce una familia de ecuaciones de Schrodinger disipativas partiendo de un sistemacuantico abierto muy general [53] y usando un operador de proyeccion que permiterecuperar un unico estado en el sistema objeto de estudio. Este modelo resultainteresante porque admite una amplia generalidad en la interpretacion de los ha-miltonianos de cada uno de los sistemas y de la interaccion, pero resulta difıcil detratar y se construye en un contexto poco realista, ya que es de sobra conocido quela evolucion temporal de un sistema cuantico compuesto por dos subsistemas generaentrelazamiento entre ambos, lo que causa decoherencia cuantica y hace imposiblematerializar el estado de Gisin. De hecho, hace imposible cualquier representacionde un sistema abierto (y por tanto de cualquiera que sufra efectos de disipacion)mediante una unica funcion de onda, ya que el sistema objeto de estudio no se


puede representar como tal. Una posible solucion a este problema consiste en con-siderar un sistema de Schrodinger de estado mixto, aunque este planteamiento solomejora el modelo si tenemos informacion sobre los estados que conforman la mezclaen cada tiempo. Esta cuestion esta relacionada con el fenomeno de einseleccion (delingles Environment Induced Superselection), que se fundamenta en la idea de queel ambiente determina de algun modo los estados del sistema que vamos a poderobservar. No obstante, esta lınea de pensamiento escapa de nuestros intereses, porlo que no tendremos en cuenta este punto de vista.

Debemos ser conscientes, por tanto, de que cualquier representacion de un pro-ceso disipativo mediante una ecuacion de Schrodinger conlleva una perdida intrınse-ca de informacion. Sin embargo, como hemos visto, hay tambien descripciones hi-drodinamicas que tampoco contienen todas las propiedades fısicas del sistema ob-jeto de estudio pero que resultan adecuadas y constituyen buenas aproximaciones.Bajo esta consideracion podemos buscar ecuaciones de onda que describan fenome-nologimente procesos con disipacion observable. M. D. Kostin puso en practica estaidea en [73] para descibrir la dinamica de Langevin en terminos de una ecuacionde Schrodinger con friccion:

i~∂tψ = − ~2

2m∆ψ + V ψ + VR(t)ψ + 2λSψ, (5)

donde ψ = ψ(t, x) es la funcion de onda, λ > 0 es el coeficiente de friccion, V es elpotencial externo y VR es un potencial aleatorio dependiente solo del tiempo querepresenta la interaccion del sistema cuantico con el entorno. En la ecuacion (5) losefectos de friccion quedan descritos, tras algunas simplificaciones, por el terminoλSψ donde S representa el argumento de la funcion de onda, lo que significa quese verifica la descomposicion modulo–argumento de ψ (tambien conocida comodescomposicion de Madelung [85] o perfil WKB):

ψ(t, x) =√n(t, x) exp

i

αS(t, x)

, (6)

donde α denota la constante de Planck o una constante que desempena el mismopapel. Es claro que la formula (6) no determina unıvocamente S, lo que generagraves problemas a la hora de llevar a cabo un estudio matematico riguroso de laecuacion de Kostin, cuestion que nos ocupara mas adelante. Desde el punto de vistadel modelado, sin embargo, la ecuacion (5) tiene propiedades deseables, como disi-pacion de energıa ([74]), y desprende aproximaciones numericas fieles a la dinamicade Langevin ([102]). Ademas este modelo es equivalente a la ecuacion maestra deCL salvo por la perdida de informacion descrita anteriormente. Esto significa quepartiendo de la ecuacion (2), calculando el sistema hidrodinamico de flujo poten-cial asociado a las variables n y S y construyendo la funcion de onda ψ segun laformula (6), obtenemos que la evolucion de ψ esta gobernada por (5). Este hecho,ademas de corroborar la ecuacion de Kostin como modelo (formalmente) valido,nos marca una pauta para construir una ecuacion de Schrodinger asociada a cadaecuacion maestra. En particular podemos aplicar este esquema a la ecuacion maes-tra de Diosi (3), o equivalentemente a la ecuacion de Wigner–Fokker–Planck, para


obtener una familia de ecuaciones de Schrodinger disipativas cuya hidrodinamicacoincide con la de aquellas, estableciendo ası nuestro primer resultado de interes(puede consultarse el enunciado preciso en el Teorema 2.3.2 del Capıtulo 2).

Teorema 1Sea W = W (x, ξ, t) una solucion de la ecuacion de WFP suficientemente regularcon densidad local n =

∫W dξ > 0 y densidad de corriente J =

∫ξ W dξ. Si existen

campos escalares S, F y U tales que

J

n=

~

mα∇S, ∇U =

1

ndivP cv , y ∇F =

(∇nn

· ∇)∇S,

donde P cv = P cv (n) es un tensor de rango 2 que surge como consecuencia de lamezcla de estados que conforman W , entonces existe una funcion de onda ψ(t, x)que es solucion de la siguiente ecuacion de Schrodinger–Langevin logarıtmica condifusion (SLD)

i~∂tψ = − ~2

2m∆ψ +

(V +mU +

~λ

mDqqS + 2Dpqlog(n)

)ψ

+i~Dqq

2

(∆n

n

)ψ − ~

mFψ −mDqqdiv

(J

n

)ψ (7)

y describe la misma dinamica que W , en el sentido de que

|ψ(t, x)|2 = n(t, x),~

mIm(ψ(t, x)∇ψ(t, x)) = J(t, x).

La ecuacion SLD constituye una generalizacion de (5), ya que contiene un terminode friccion proporcional a la fase S ademas de algunos otros que mejoran el mo-delo en dos sentidos. En primer lugar, senalamos que la presencia del potencialefectivo U permite incorporar informacion adicional sobre la mezcla de estados queconforman la funcion de Wigner mediante un termino eventualmente no lineal quedepende exclusivamente de la densidad local n y, por tanto, deja libertad para es-tablecer relaciones de clausura concretas, lo que supone una optimizacion respectoal potencial aleatorio VR en la ecuacion de Kostin. Por otra parte debemos obser-var que tanto el logarıtmico (que fue introducido en la formulacion de Schrodingerpor Bialynicki–Birula y Mycielski en [16]) como el resto de terminos que aparecenen (7) describen al nivel de Schrodinger los efectos difusivos extra que contiene laecuacion de WFP respecto del modelo de CL. Comentamos previamente que estadifusion observable altera muy poco el comportamiento observable del sistema pe-ro confiere propiedades deseables a la ecuacion (4) que no tiene (2), por lo que suinfluencia en SLD debe entenderse como una propiedad adicional de este modelorespecto de (5). Observese, ademas, que la ecuacion de continuidad asociada a SLDes de tipo Fokker–Planck, luego la difusion de naturaleza cuantica que representael coeficiente Dqq es de hecho observable. Estos efectos de difusion en la formula-cion de onda de la mecanica cuantica fueron estudiados originariamente por H-D.


Doebner y G. A. Goldin ([43, 44]) dando lugar a una clase de modelos no linealescuya forma mas general viene dada por

i~∂tψ = − ~2

2m∆ψ +

i~D

2

(∆n

n

)ψ + V ψ +mD′µ1

(div(J)

n

)ψ

+m2

~D′µ3

( |J |n

)2

ψ +mD′µ4

(J · ∇nn2

)ψ + ~D′

(µ2

∆n

n+ µ5

|∇n|2n2

)ψ ,

donde D,D′ > 0 son coeficientes de difusion y µj , j = 1, . . . , 5 son numeros realesarbitrarios. La familia de ecuaciones de Schrodinger (no lineales) de tipo Doebner–Goldin se caracterizan porque determinan una ecuacion de continuidad de Fokker–Planck, lo que permite interpretar la ecuacion (7) dentro de este contexto. Porultimo, la influencia del campo escalar F surge tambien como consecuencia deltermino de difusion en posicion de la ecuacion de WFP, si bien no esta clara lainterpretacion que debemos darle. Dedicaremos el final del Capıtulo 2 a discutirhipotesis razonables que permitan eliminarlo o incluirlo en la familia de Doebner–Goldin.

El modelo SLD constituye una familia de ecuaciones de Schrodinger disipativasbasadas en el sistema hidrodinamico asociado a la ecuacion de Wigner–Fokker–Planck, al que se han impuesto relaciones de cierre para establecer despues laevolucion temporal de una funcion de onda que resume el sistema en el sentido deque las densidades local y de corriente asociadas a dicha funcion de onda coinciden(bajo las hipotesis que permiten cerrar el sistema) con las de la funcion de Wigner.En [62] se deriva otro modelo a partir de la hidrodinamica asociada a la ecuacionde WFP siguiendo las mismas premisas basicas a la hora de construir la funcionde onda. En este caso, sin embargo, la clausura del sistema de momentos surgede manera natural por medio de una interpretacion microscopica clasica de lasvelocidades de difusion y aplicando al caso disipativo las tecnicas de E. Nelson paraderivar la mecanica cuantica a partir de la newtoniana ([92, 93]) . El resultadoes la siguiente ecuacion de Schrodinger no lineal de tipo logarıtmico (a la quedenominaremos SLC en futuras referencias):

iα∂tψ = − α2

2m∆ψ +

α2

~2Qψ + Λ log(n)ψ +

α

2m

(iα

2

∆n

n+mdiv

(J

n

))ψ, (8)

donde se mantiene la simbologıa que hemos utilizado hasta ahora y se introduce lanotacion

α = 2mDqq , Λ = 2Dpq + ηDqq .

Observese que el termino de friccion de Kostin queda reemplazado en (8) porel logarıtmico como resultado de la aproximacion realizada para la clausura delos momentos. Ademas, este modelo contiene terminos no lineales de la familia deDoebner–Goldin que describen efectos difusivos. En este sentido es destacable queaparece el potencial cuantico de Bohm (que surge de forma natural en la descrip-cion hidrodinamica) en la formulacion de onda, dando lugar a un termino no linealde tipo modular con coeficiente menor que uno, cuya interpretacion puede consul-tarse en [12, 49]. Sin embargo, la caracterıstica mas destacable de los elementos de


la clase de Doebner–Goldin en la ecuacion SLC es que se pueden simplificar porcompleto. En efecto, bajo ciertas hipotesis sobre los parametros que son verifica-dos en este caso (cf. (5.6)), existen relaciones sobre los coeficientes de difusion y losparametros numericos (cf. (5.7)) que permiten construir una transformacion Gaugepara eliminar los efectos de difusion en la ecuacion de ondas y reducir esta ultimaa la ecuacion de Schrodinger puramente logarıtmica. Esta propiedad nos permi-tira tratar de forma rigurosa la ecuacion singular (8) trabajando con la ecuacionlogarıtmica y transformando de forma adecuada las soluciones de una en solucionesde la otra. De este modo seremos capaces de demostrar existencia y unicidad desolucion local para el problema de Cauchy asociado a SLC en el espacio H2

δ (Ω),que esta constituido por funciones separadas de cero (consultese la definicion con-creta en el Capıtulo 1), estableciendo ası el Teorema 5.5.1, que constituye otro denuestros resultados principales.

Teorema 2Sean Ω ⊂ R

d (1 ≤ d ≤ 3) un dominio acotado, simplemente conexo y con frontera

de clase C2 y ψI ∈ H2(Ω), ψB ∈ H3/2(∂Ω) funciones separadas de cero y compa-tibles en la frontera del dominio. Entonces se verifican las siguientes afirmaciones:

(i) Existe T > 0 tal que el problema de tipo mixto asociado a la ecuacion deSchrodinger no lineal SLC con condiciones inicial y de frontera ψI y ψB , res-pectivamente, tiene solucion unica ψ ∈ C([0, T ], H2

δ (Ω)) ∩ C1([0, T ], L2(Ω)).

(ii) La dinamica asociada a dicho problema es equivalente a la subyacente al pro-blema de tipo mixto para la ecuacion de Schrodinger puramente logarıtmica,en el sentido de que existe un homeomorfismo de C

([0, T ];H2

δ (Ω))

que conser-va la densidad local n = |ψ|2 y lleva soluciones de un problema en solucionesdel otro.

La prueba de este resultado requiere la definicion del homeomorfismo mencio-nado, que no es mas que la transformacion Gauge que simplifica formalmente losterminos de la familia de Doebner–Goldin en (8), y su tratamiento matematico.Ademas, el transporte riguroso de soluciones de un problema a otro se puede efec-tuar a traves de los sistemas hidrodinamicos de flujo potencial asociados a ambasecuaciones de Schrodinger, ya que entre estos el cambio de fase que define el ho-meomorfismo no es mas que una traslacion. Para poder establecer dicho sistemahidrodinamico partiendo de la ecuacion de onda y viceversa necesitamos utilizarpropiedades que se derivan de la formula de Madelung (6). Este hecho nos conducea formular de forma precisa la conexion entre el problema de la existencia de ar-gumento para una funcion de onda dada y el de la derivacion rigurosa del sistemahidrodinamico asociado a una ecuacion de Schrodinger. De hecho, comenzaremoscentrando nuestra atencion sobre el primero y el flujo de trabajo nos lleva a resolverel segundo de forma paralela.

El problema de encontrar el argumento de una funcion compleja resulta de graninteres desde el punto de vista puramente matematico y tiene entidad propia fueradel contexto en el que trabajamos, ya que conlleva dificultades intrınsecas que re-sultan difıciles de tratar. La principal se plantea cuando trabajamos cerca de zonas


de vacıo (|ψ| = 0), ya que no se puede definir de forma razonable el argumentode cero. Este problema solo se puede evitar trabajando con funciones de moduloestrictamente positivo, lo que nos situa en el marco funcional del conjunto H2

δ (Ω)que mencionamos en el teorema anterior. La segunda, mas controvertida, esta re-lacionada con el caracter multivaluado del argumento de un numero complejo. Sientendemos, como es natural, que un argumento de ψ es una funcion S verifican-do la descomposicion de Madelung (6), debemos observar que dicha formula nose puede invertir globalmente y por tanto la busqueda de S debe efectuarse deforma indirecta, a traves de una interpretacion de (6) que permita determinar lafuncion argumento de forma global a posteriori. En el contexto de las ecuacionesen derivadas parciales existen pocas aproximaciones a dicha reinterpretacion, todasrelativas a la ecuacion (5), que es la que propone Kostin para describir la dinamicade Schrodinger–Langevin (pueden consultarse [7, 71, 76]), aunque resultan pocosatisfactorias. En el Capıtulo 4 discutimos algunas ideas que surgen a este respec-to y nos damos cuenta que basta con derivar en la igualdad (6) para obtener lasiguiente relacion para S como potencial escalar del campo de velocidad asociadoa ψ:

∇S = α Im

(∇ψψ

)= m

J

n, (9)

donde n y J son las densidades local y de corriente relativas a la funcion de onda.Esta condicion surge tambien de manera natural en la derivacion de los modelos pa-ra obtener la formulacion de flujo potencial de un sistema hidrodinamico. Ademas,la segunda igualdad de (9) depende solo de dos observables macroscopicos del siste-ma, lo que implica que dichas magnitudes determinan el estado cuantico del sistema(cf. Corolario 4.2.5). La interpretacion de la descomposicion de Madelung que nosproporciona la formula (9) consiste tan solo en encontrar un potencial escalar delcampo de velocidades asociado a la funcion de onda, problema que se puede resol-ver aplicando resultados desarrollados en la literatura ([3] para la existencia y [4]para la regularidad), que imponen restricciones sobre la geometrıa del dominio Ωdonde vamos a trabajar. En concreto, la hipotesis de conexion simple de Ω surgecomo condicion tecnica para encontrar potenciales escalares de un campo vectorialaprovechando los resultados clasicos y se destapa como inevitable para garantizarla existencia de argumento para una funcion compleja no nula. En la Seccion 4.1mostramos con un ejemplo la necesidad de esta condicion que, no obstante, noresulta muy restrictiva para la aplicabilidad de los resultados. Por otra parte lainterpretacion del argumento basada en (9) requiere una condicion de integrabili-dad sobre todo el dominio para garantizar la dependencia continua de S respectode la funcion de onda ψ. El cumplimiento de dicha condicion, sin embargo, no essuficiente para asegurar la regularidad respecto del tiempo de S cuando ψ evolu-ciona temporalmente. Necesitamos imponer alguna ley de evolucion temporal quepermita probar dicha regularidad, y en estas condiciones vamos a ser capaces dedemostrar el Teorema 4.3.2, que es fundamental para todos los resultados que lesiguen.


Teorema 3Sea Ω ⊂ R

3 un dominio acotado, simplemente conexo y con frontera de clase C1.Sean ademas δ > 0, T > 0, y ψ ∈ C([0, T ], H2

δ (Ω))∩C1([0, T ], L2(Ω)) una solucionde la siguiente ecuacion de Schrodinger

i∂tψ = − α

2m∆ψ + Θ[n, J ]ψ ,

donde Θ : H2δ2(Ω) ×H1(Ω) → L2(Ω) es un operador (no lineal) complejo y conti-

nuo. Entonces existe una familia numerable S(ψ) = Sll∈Z ⊂ C([0, T ], H2(Ω)) ∩C1([0, T ], L2(Ω)) tal que para cualquier S ∈ S(ψ) se verifican las siguientes afirma-ciones:

(i) ∇S(t) = mJn (t) para cualquier t ∈ [0, T ] y

ψ(0, x) =√n(0, x) exp

i

αS(0, x)

c.t. x ∈ Ω.

(ii) S satisface la siguiente ley de evolucion:

∂tS = −α2

~2Q− m

2

|J |2n2

− αRe(Θ[n, J ]).

Como consecuencia, para todo S ∈ S(ψ) se verifica la descomposicion de Madelung


i

αS(t, x)

∀t ∈ [0, T ] c.t. x ∈ Ω.

Ademas S(ψ) es unica, ya que si S ∈ C([0, T ], H2(Ω)) ∩ C1([0, T ], L2(Ω)) cumplela descomposicion de Madelung de ψ, entonces S ∈ S(ψ).

Este resultado es clave para establecer el sistema hidrodinamico asociado a la ecua-cion de Schrodinger general que figura en el enunciado del teorema y pone de mani-fiesto la relacion que ya mencionamos entre la cuestion de establecer dicho sistemay la existencia de S. De hecho, dos reescrituras adecuadas de la ecuacion del apar-tado (ii) permiten dar una definicion de S compatible con (9) por una parte yla ecuacion de Hamilton–Jacobi que formalmente debe satisfacer la funcion S porotro. Es importante, ademas, que este teorema solo es aplicable cuando el poten-cial Θ depende exclusivamente de los observables n y J , circunstancia que no se dacuando tratamos con la ecuacion de Schrodinger–Langevin propuesta por Kostin.

Como hemos senalado anteriormente, la ecuacion (5) constituye el modelo disi-pativo basico en la formulacion de Schrodinger de la mecanica cuantica. De hecho,se puede entender como una reescritura de la ecuacion maestra de Caldeira–Leggetbajo dicho punto de vista y es formalmente equivalente (salvo restricciones obvias) alos sistemas hidrodinamicos cuanticos con friccion. Sin embargo existen muy pocasaproximaciones al estudio matematico riguroso de dicho modelo, ya que presentadificultades desde la propia definicion del mismo. De entrada es claro que (5) es unaecuacion ambiguamente definida debido a la multivaluacion de la correspondencia


ψ 7→ S(ψ). Sin embargo, en [71] se da una interpretacion objetiva y a priori deS, si bien no resulta completamente satisfactoria y la razon ultima de ello es queuna eleccion concreta del argumento de la funcion de onda ψ modifica la ecuacionde Schrodinger. Esta carencia estarıa presente en cualquier lectura que podamoshacer de la formula (6), pero se puede solventar si somos capaces de modificar eltermino de friccion Sψ en la ecuacion de Schrodinger–Langevin sin alterar el com-portamiento observable del sistema. La clave para ello, que viene implıcita en lapropia derivacion de Kostin, es considerar como termino de friccion VL ψ, con VLdeterminado por

∇VL = Im

(∇ψψ

), 〈VL〉 = 0, (10)

donde 〈A〉 denota el valor esperado de la magnitud A respecto de la funcion deonda ψ. La propiedad esencial que exhibe VL es que VL = S − 〈S〉 para cualquierS argumento de ψ, lo que genera independencia del termino de friccion respectode la eleccion del argumento y elimina cualquier ambiguedad en el tratamientoriguroso del termino no lineal. De hecho, sustituyendo S por VL en la ecuacionde Schrodinger–Langevin seremos capaces de dar un tratamiento matematico ade-cuado a dicha ecuacion. En concreto demostraremos la existencia y unicidad desolucion local para el problema de tipo mixto asociado a la que denominaremosecuacion de Schrodinger–Langevin generalizada

i∂tψ = −1

2∆ψ + V ψ + Θψ + λVL ψ, (11)

donde Θ es un termino generico eventualmente no lineal que debe cumplir unapropiedad de continuidad poco restrictiva. Estudiando la ecuacion (10) de maneraanaloga a (9) y tratando adecuadamente VL y Θ en la frontera del dominio pro-bamos el ultimo resultado principal, cuyo enunciado preciso configura el Teorema6.2.1.

Teorema 4Sean Ω ⊂ R

d (1 ≤ d ≤ 3), λ > 0 y ψI ∈ H2(Ω), ψB ∈ H3/2(∂Ω) separadas de ceroy compatibles en la frontera del dominio. Si Θ es localmente lipschitziana respectode ‖ · ‖H2 y esta completamente determinada en ∂Ω, entonces existe T > 0 y unaunica solucion (ψ,Θ, VL) en [0, T ] del problema de tipo mixto asociado a (11) concondiciones iniciales ψI y ψB respectivamente, donde Θ = Θ(ψ) y se tiene que

ψ ∈ C([0, T ], H2δ (Ω)) ∩ C1([0, T ], L2(Ω)),

VL ∈ C([0, T ], H2(Ω)) ∩ C1([0, T ], L2(Ω)) y

Θ ∈ C([0, T ], H2(Ω)).

Este resultado admite multiples interpretaciones del potencial efectivo Θ, propiedadde la que sacamos partido para establecer el buen planteamiento local del siguien-te sistema de Schrodinger–Langevin–Poisson con entalpıa que surge en el estudiode dispositivos semiconductores como equivalente a los sistemas hidrodinamicos


cuanticos con friccion y efectos de presion [71]:

i∂tψ = −1

2∆ψ + V ψ + Uψ + λVL ψ,

λ2D∆V = C − n,

V |∂Ω = VB ,

donde λD > 0 es la longitud de Debye, λ > 0 el coeficiente de friccion, C = C(x)la concentracion de dopaje del dispositivo, n = |ψ|2 la densidad local asociadaa la funcion de onda ψ y VB es el valor del potencial de Poisson en la fronteradel dispositivo. Ademas U es un potencial efectivo que representa la entalpıa delsistema, que describe los efectos de la presion en la formulacion de Schrodinger.Dicho teorema de existencia y unicidad de solucion, cuya formulacion concreta dapie al Teorema 6.3.1 del Capıtulo 6 es el ultimo resultado de esta memoria de tesis.

El resumen del trabajo realizado es el siguiente: en el Capıtulo 1 fijamos algu-na notacion que permanecera inalterada a lo largo de todo el texto y destacamosalgunos resultados no elementales que nos van a ser de utilidad. Los dos capıtulossiguientes estan orientados a la derivacion y validacion numerica del modelo deSchrodinger disipativo SLD (ecuacion (7)), de manera que en el Capıtulo 2 parti-mos de la ecuacion maestra (3) a traves de la ecuacion de Wigner–Fokker–Planck,construimos el sistema hidrodinamico formado por sus dos primeros momentos envelocidad, establecemos condiciones de cierre precisas para dicho sistema, obtene-mos la familia de ecuaciones SLD y finalizamos discutiendo sobre los terminos nolineales U y F que aparecen en el modelo, ofreciendo condiciones suficientes quepermiten simplificarlo. Asimismo, dedicaremos el tercer capıtulo a explorar casosparticulares de la familia SLD, estudiando sus soluciones en algunos casos senci-llos y testando una version linealizada mediante comparacion con la ecuacion deWigner–Fokker–Planck. En estos dos capıtulos nuestra intencion es conocer en unaprimera aproximacion el modelo que proponemos, por lo que se supondra siempre laregularidad necesaria de las funciones que intervienen, ası como aquellas hipotesisque puedan ser necesarias para efectuar los calculos.

En los tres ultimos capıtulos nuestro objetivo es establecer con precision variosteoremas referentes al buen planteamiento de algunos modelos cuanticos disipativosen la formulacion de onda, por lo que otorgamos un tratamiento totalmente rigu-roso a los elementos que aparecen en nuestros modelos, a las hipotesis requeridasy los resultados demostrados. El Capıtulo 4 esta dedicado a discutir la interpreta-cion rigurosa de la descomposicion de Madelung (6) de una funcion compleja ψ loque sera de utilidad en la busqueda de un argumento S para dicha ψ. Asimismocalcularemos S aprovechando dicha interpretacion, en una primera aproximacionpara funciones de onda independientes del tiempo y posteriormente para solucio-nes de una ecuacion de Schrodinger general. De este modo poedremos establecer laconexion entre las formulaciones de onda e hidrodinamica de flujo potencial de unfenomeno disipativo. En el Capıtulo 5 estudiamos el modelo SLC (ecuacion (8)),dando en principio un esquema de la derivacion, estableciendo mas tarde de formarigurosa la equivalencia entre dicha ecuacion y la ecuacion de Schrodinger pura-mente logarıtmica y aprovechando finalmente el buen planteamiento de esta ultima


para probar existencia y unicidad de solucion local al problema de tipo mixto aso-ciado a SLC. Finalmente el Capıtulo 6 tiene como objetivo estudiar la ecuacionde Schrodinger–Langevin, motivando la interpretacion del termino de friccion quehemos anunciado y demostrando el buen planteamiento local de la ecuacion deSchrodinger–Langevin generalizada (11) bajo este criterio. En la ultima seccion dedicho capıtulo aprovechamos la generalidad del teorema de existencia demostradopara aplicarlo en la resolucion del problema de tipo mixto asocidado al sistema deSchrodinger–Langevin–Poisson con entalpıa.

Capıtulo 1

Preliminares

1.1. Notacion

En la elaboracion de esta memoria de tesis hemos trabajado con conceptos,constantes y ecuaciones conocidas tanto en Matematicas como en Fısica, intentandoutilizar la nomenclatura mas extendida para cada sımbolo nuevo que aparece yexplicar su significado con precision. No obstante la literatura es inabarcable yen ocasiones la terminologıa matematica difiere de la fısica, lo que en algunasocasiones puede generar confusion. Hemos creıdo conveniente fijar en este puntoalguna notacion e introducir la mınima terminologıa nueva posible para evitarası cualquier tipo de ambiguedad, facilitar al maximo el seguimiento del texto yproporcionar un punto de consulta al lector interesado en capıtulos sueltos. Delmismo modo recogemos en este primer capıtulo algunos resultados que nos serande utilidad, unos basicos pero que conviene establecer con precision en nuestrocontexto y otros mas avanzados que sirven de herramienta para nuestros propositos.

En primer lugar es destacable el hecho de que vamos a trabajar con funciones ynumeros complejos. De este modo, para z ∈ C denominaremos Re(z) e Im(z) a laspartes real e imaginaria de z, respectivamente, mientras que z y log(z) denotaran elnumero complejo conjugado y el logaritmo neperiano de z. En particular represen-taremos la unidad imaginaria de C como i, evitando utilizar esta letra como ındiceen sumas o sucesiones. A lo largo del texto utilizamos, ademas, las constantes uni-versales ~ y kB , que representan la constante de Planck reducida (esto es, divididaentre 2π) y la constante de Boltzmann, respectivamente. Aparte de estas, existensımbolos cuyo significado va a permanecer inalterado a lo largo de todo el texto:m es la masa efectiva del sistema fısico que consideremos, ω0 es la frecuencia de unoscilador armonico, λD es la longitud de Debye de un dispositivo semiconductor,mientras que λ representa el coeficiente de friccion de un sistema disipativo. Delmismo modo T y T ∗ seran lımites superiores de intervalos temporales, δ > 0 ellımite inferior de funciones separadas de cero, Ω un domino acotado del espacioRd y V representa un potencial externo o el potencial de Poisson. Respecto a la

ecuacion de Wigner–Fokker–Planck denotaremos Ω0, T0 y η a la frecuencia maxi-ma, temperatura y constante de acoplamiento del bano termico, respectivamente,mientras que Dpp, Dpq y Dqq son las constantes que describen la interaccion entre el

18 1. Preliminares

sistema fısico y el bano termico (vease el Capıtulo 2), que tambien apareceran en laformulacion de nuestros modelos de Schrodinger. Usaremos a menudo α = 2mDqq,que desempena el rol de unidad de accion en las ecuaciones que contienen efectosdifusivos.

En un sistema cuantico se utiliza fıpicamente W para denotar la funcion deWigner y ψ para la funcion de onda (aunque tambien utilizaremos ϕ y φ segunconvenga), mientras que Sψ (o simplemente S) representa su funcion argumento.Utilizaremos ademas n y J para denotar las densidades local y de corriente quepueden conformar un sistema hidrodinamico autoconsistente o venir ligadas tantoa una funcion de Wigner como a una funcion de onda. Como pretendemos quesiempre quede claro de cual estamos hablando en cada caso, usaremos subındices(nψ, por ejemplo, para denotar la densidad local asociada a ψ) si puede haber lugara confusion.

En cuanto a los sımbolos diferenciales, denotaremos ∂z la derivada parcial conrespecto a la variable z, aunque eliminaremos por comodidad el subındice cuandola derivada sea respecto de la variable espacial, usando preferentemente notacionvectorial y tensorial: si f es un campo escalar denotaremos ∇f , ∆f y (∇⊗∇)f (conel correspondiente subındice si procede) a los operadores gradiente, laplaciano (enel sentido adecuado) y matriz hessiana de f . Cuando v y w sean campos vectorialesusaremos ∇⊗ v para la matriz jacobiana y div(v), rot(v), ∆v para la divergencia,el rotacional y el laplaciano (entendido componente a componente) de v, ası comola simbologıa (v · ∇)w y (∇⊗ v)w para los siguientes operadores vectoriales en R

d:

[(v · ∇)w]r =d∑

s=1

vs ∂xswr, [(∇⊗ v)w]r =

d∑

s=1

ws ∂xrvs,

y Sym(v⊗w) = 12 (v⊗w+w⊗v) para la simetrizacion del tensor v⊗w. Ademas, si A

es un tensor de rango 2 denotaremos div (A) el vector formado por las divergenciasde las filas de A.

Respecto a los espacios funcionales, trabajaremos en el contexto de los espaciosLp y de Sobolev W k,p (definidos, entre otros buenos textos, como en [20]) conser-vando la notacion estandar Hk = W k,2 para k ∈ Z, e incluyendo ası aquellos deexponente negativo (vease [1]) . Si en algun momento tratamos con derivadas cuyosentido esta sin determinar, las entenderemos en el sentido distribucional. En algu-na ocasion utilizaremos espacios de funciones continuas o holderianas, respetandola nomenclatura estandar C(Z;X) y Ck,γ(Z;X) respectivamente, y suprimiendoeventualmente el espacio de llegada si tratamos con funciones con valores en R

d

o Cd. En este sentido, debemos tener siempre presente que vamos a tratar con

campos tanto escalares como vectoriales y de distinta naturaleza: ψ toma valorescomplejos, en tanto que el argumento y la densidad local son campos escalares rea-les y ∇ψ es un campo vectorial (complejo). No obstante utilizaremos la notacionestandar para los espacios funcionales sin explicitar ninguna de estas diferencias,usando ψ ∈ L2(Ω), n ∈ L2(Ω) o ∇ψ ∈ L2(Ω), por ejemplo, en lugar de una simbo-logıa mas concreta y haciendo hincapie en dicha ambiguedad solo si es relevante opuede generarse algun tipo de confusion. Cuando tratemos con campos vectoriales,

1.2. Comentarios y resultados utiles 19

utilizaremos tacitamente la norma del maximo entre las componentes, es decir,

‖f‖Xd = max‖f1‖X , . . . , ‖fd‖X.

Como el dominio Ω en el que trabajamos va a estar prefijado, suprimiremos ladependencia del mismo en la notacion de las normas, escribiendo ‖ · ‖L2 en lugarde ‖ · ‖L2(Ω).

Finalmente, con el objeto de simplificar la escritura y dado que trabajaremoscon regularidad H2, introducimos la siguiente notacion: si H es un subconjunto deL2(Ω) y δ > 0, denotamos

Hδ =ϕ ∈ H : |ϕ| > δ c.t. x ∈ Ω

,

donde la abreviatura “c.t.” responde a “para casi todo punto” (es decir, salvo enun conjunto de medida nula). Por otra parte, para T > 0 definimos

XT = C([0, T ];H2(Ω)

)∩ C1

([0, T ];L2(Ω)

)

y, por coherencia con las definiciones previas,

XTδ =

ϕ ∈ XT : |ϕ| > δ c.t. x ∈ Ω, ∀ 0 ≤ t < T

.

Los espacios XT y XTδ constituyen el marco funcional adecuado para el trabajo

que desarrollamos seguidamente.

1.2. Comentarios y resultados utiles

El tratamiento riguroso de las ecuaciones en derivadas parciales que vamos aestudiar se centra en el analisis de problemas de tipo mixto sobre dominios acotadosΩ ⊂ R

d, exigiendo la regularidad apropiada a la frontera de dicho dominio enfuncion del resultado que pretendemos obtener. Entenderemos esta regularidad enla forma estandar: Ω es un dominio con frontera lipschitziana (respectivamente declase k, k ∈ N) si existe f : ∂Ω ⊂ R

d → Rd−1 un homeomorfismo local tal que f es

lipschitziana (respectivamente de clase k) en un entorno de ∂Ω. Ademas, debemostrabajar con condiciones iniciales ψI y de contorno ψB que deben ser compatibles,en el sentido de que ψI |∂Ω = ψB , donde ϕ|∂Ω = T∂Ω(ϕ) es el operador traza en lafrontera de Ω aplicado a ϕ (el lector interesado puede consultar [1]). Si consideramos

W k,p0 (Ω), la clausura de las funciones test en Ω respecto de la norma ‖ · ‖Wk,p , se

verifica la propiedad estandar de la traza: ψ,ϕ ∈W k,p(Ω) verifican ψ|∂Ω = ϕ|∂Ω, si

y solo si ψ−ϕ ∈W k,p0 (Ω), propiedad que tendremos presente y utilizaremos cuando

sea necesario. Las propiedades del operador T∂Ω establecen que si ψI ∈ W k,p(Ω),

entonces la condicion de regularidad ψB ∈ W k,p− 1p (∂Ω) es la mas natural que se

puede imponer al dato en la frontera y seguiremos este criterio cuando fijemoslas hipotesis de nuestros problemas. Es importante destacar, sin embargo, que lascondiciones con las que trabajaremos implican kp > d y nos permiten, por tanto,

20 1. Preliminares

aplicar el teorema de compacidad de Rellich–Kondrachov (vease [20], por ejemplo)y dar de esta manera sentido puntual a ψI en todo Ω y, como consecuencia,a ψB en ∂Ω, evitando ası tener que trabajar en espacios de Sobolev definidossobre variedades y las dificultades tecnicas que esto podrıa entranar. En particular,podemos aplicar el siguiente resultado clasico para encontrar extensiones armonicas

de elementos de W k,p− 1p (∂Ω) a todo Ω (la demostracion puede encontrarse en [52],

paginas 26 y 27 para la existencia y 15 para la unicidad).

Lema 1.2.1Sean Ω ⊂ R

d un dominio acotado con frontera de clase C2 y g ∈ C(∂Ω). Entonces elproblema de Dirichlet para la ecuacion de Laplace tiene una unica solucion clasica,es decir, existe una unica u ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω) armonica en Ω y tal que u|∂Ω = g.

Para estimar la norma de dichas extensiones armonicas y ofrecer un tratamientoadecuado a los terminos no lineales con los que trabajamos, necesitamos el siguienteresultado de dependencia continua de las soluciones de un problema elıptico enL2(Ω).


d un dominio acotado con frontera de clase C2 y f ∈ L2(Ω). Entoncesexiste una unica u ∈ H2(Ω)∩H1

0 (Ω) solucion (fuerte) de −∆u = f y C(Ω) > 0 talque ‖u‖H2 ≤ C‖f‖L2 .

Demostracion:

Aplicando el Teorema de Lax–Milgram (vease [20]) a los operadores

a(u, v) =

∫

Ω

∇u(x)∇v(x) dx y ϕ(v) =

∫

Ω

f(x)v(x) dx

obtenemos u ∈ H10 (Ω) tal que −∆u = f en Ω en sentido debil, que en particular

verifica −∆u+u = f +u tambien en sentido debil. Es conocido (vease por ejemplo[20], Teoremas IX.21 y IX.25) que existe un unica v ∈ H2(Ω) ∩H1

0 (Ω) solucion de−∆v + v = f + u que cumple ‖v‖H2 ≤ C1‖f + u‖L2 , donde C1 > 0 solo dependede Ω. Ademas v es unica, por lo que u = v y se tiene, por tanto, la estimacion‖u‖H2 ≤ C1

(‖f‖L2 + ‖u‖L2

). Aplicando ahora la desigualdad de Poincare obtene-

mos C2(Ω) > 0 tal que ‖u‖H2 ≤ C1‖f‖L2 + C2‖∇u‖L2 . Por ultimo basta observarque −∆u = f en sentido debil , luego tomando como test la propia u y usan-do las desigualdades de Cauchy-Schwarz primero y Poincare despues se tiene que‖∇u‖2

L2 ≤ C2‖f‖L2‖∇u‖L2 . Por tanto, tomando C = C1 + C22 tenemos completa

la prueba. ⊓⊔

En las estimaciones sacaremos provecho de que el producto de funciones deH2(Ω) es tambien un elemento de H2(Ω), resultado que se puede consultar en [1](Teorema 4.39), por ejemplo, en un caso mucho mas general.


Lema 1.2.3Sea Ω ⊂ R

d (1 ≤ d ≤ 3) un dominio acotado con frontera de clase C1. EntoncesH2(Ω) es un algebra de Banach. Concretamente, existe C(Ω) > 0 tal que

‖ψϕ‖H2 ≤ C‖ψ‖H2‖ϕ‖H2

para cualesquiera ψ,ϕ ∈ H2(Ω).

La ultima propiedad de los espacios de Sobolev que consideramos destacable esla regla de la cadena para la derivada debil (Teorema 6.16 en [77]).


d un dominio acotado, I ⊂ R un intervalo, h : I → C una funcion de

clase C1 con derivada acotada, u ∈W 1,ploc (Ω) y supongamos que u(Ω) ⊂ I. Entonces,

para U : Ω → C definida por U(x) = h(u(x)) c.t. x ∈ Ω, se tiene que U ∈W 1,ploc (Ω)

y se verifica la regla de la cadena

∇U(x) = h′(u(x))∇u(x) c.t. x ∈ Ω.

Ademas, si u ∈W 1,p(Ω) entonces U ∈W 1,p(Ω).

Basaremos los resultados de existencia de soluciones en argumentos de puntofijo, por lo que necesitamos conocer algunas propiedades del propagador lineal de laecuacion de Schrodinger. Lo haremos basandonos en la teorıa general de semigru-pos (puede consultarse [95], por ejemplo) en espacios de Banach. En nuestro casoconsideraremos X = L2(Ω) y A = iD∆ el operador (no acotado) definido en L2(Ω)con dominio D = H2(Ω) ∩ H1

0 (Ω), donde D es una constante positiva arbitraria.Con esta definicion es claro que D es denso en L2(Ω) y D∆ es autoadjunto, luegoexiste un operador lineal (no acotado) ∆, definido en el dual topologico de D (quedenotaremos D′), con dominio L2(Ω) y tal que ∆u = ∆u para cualquier u ∈ D.Bajo esta perspectiva, el laplaciano de una funcion suave u que no se anula en ∂Ωpuede asumir dos valores en principio distintos: el correspondiente a la definicionclasica ∆u y ∆u. Esto no genera conflicto, sin embargo, porque ambas interpreta-ciones conducen al mismo resultado, como ponemos de manifiesto en el siguientelema.


d un dominio acotado con frontera de clase C2 y u ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω)

armonica. Entonces ∆u = 0.

Demostracion:

Si u es identicamente nula no hay nada que probar. En otro caso se tiene que u|∂Ω

es una funcion continua y no identicamente nula en ∂Ω (en virtud del Principio delMaximo). Usamos la densidad de D en L2(Ω) para obtener una sucesion ukk∈N ⊂D que converge hacia u en L2(Ω). Como ∆ es un operador lineal y acotado sobreL2(Ω) tenemos que ∆u ∈ L2(Ω) y ∆uk → ∆u en L2(Ω). En particular∫

Ω

uk(x)∆v(x) dx→∫

Ω

u(x)∆v(x) dx y

∫

Ω

∆uk(x)v(x) dx→∫

Ω

∆u(x)v(x) dx

22 1. Preliminares

para cualquier v ∈ C∞c (Ω), por lo que

∫

Ω

∆u(x)v(x) dx =

∫

Ω

u(x)∆v(x) dx ∀v ∈ C∞c (Ω).

La regularidad de u nos permite utilizar el Teorema de la Divergencia en el segundomiembro para obtener

∫

Ω

∆u(x)v(x) dx =

∫

Ω

∆u(x)v(x) dx = 0 ∀v ∈ C∞c (Ω),

donde hemos usado que u es armonica. La prueba concluye gracias al Lema Fun-damental del Calculo de Variaciones. ⊓⊔

El Lema 1.2.5 servira para estimar en norma ‖ · ‖H2 la accion del propagadorde Schrodinger en dominios acotados. Para definirlo, basta aplicar el Teorema deStone (vease [95], teorema 1.10.8) para obtener un grupo fuertemente continuo deoperadores eiD∆tt∈R con generador infinitesimal A, de manera que para cadat ∈ R, eiD∆t es una isometrıa sobre L2(Ω) y sobre D (aunque no es una isometrıadeH2(Ω)). Una primera propiedad abstracta de dicho grupo es la siguiente, que nossera de mucha utilidad para demostrar la regularidad adecuada de las solucionesde las ecuaciones de Schrodinger no lineales abordadas (vease el teorema 1.2.8 en[95]).

Lema 1.2.6Sean X un espacio de Banach, U(t) un semigrupo fuertemente continuo y A sugenerador infinitesimal con dominio D. Entonces, para cada x ∈ D y t, s ≥ 0 setiene que

U(t)x− U(s)x =

∫ t

s

U(τ)Axdτ =

∫ t

s

AU(τ)x dτ.

El siguiente resultado establece la conexion entre la ecuacion de Schrodinger nohomogenea y su formulacion integral asociada, que permite trabajar aprovechandolas propiedades de eiD∆tt∈R. Su demostracion puede consultarse, por ejemplo,en [25].

Lema 1.2.7Sean X un espacio de Hilbert, A un operador autoadjunto y definido negativo condominio D y T > 0. Entonces, para cualquier f ∈ C([0, T ], X) y g ∈ X existe unaunica solucion del problema

ψ ∈ C([0, T ], X) ∩ C1([0, T ],D′),

i∂tψ +Aψ + f = 0,

ψ(0) = g,

donde D′ denota el dual topologico de D y A representa la extension de A a todoX. Ademas, ψ ∈ C([0, T ], X) es una solucion de este problema si y solo si verifica


la siguiente ecuacion integral:

ψ(t) = eiAtg + i

∫ t

0

eiA(t−τ)f(τ) dτ, ∀t ∈ [0, T ],

donde eiAt es el grupo de isometrıas con generador infinitesimal iA. Mas aun, sig ∈ D y f ∈ W 1,1((0, T ), X) o f ∈ L1((0, T ),D), entonces ψ ∈ C([0, T ],D) ∩C1([0, T ], X).

La aplicacion del Lema 1.2.7 requiere un conocimiento previo del termino nohomogeneo en la ecuacion de Schrodinger, de manera que si este no toma valoresen D se requiere regularidad temporal. En este contexto la condicion de Lipschitzes suficiente para establecer estimaciones sobre la derivada con respecto al tiempo.El siguiente lema, que puede encontrarse en [23], sera nuestra herramienta paramaterializar dichas cotas.

Lema 1.2.8Sea X un espacio de Banach reflexivo, I ⊂ R un intervalo y f : I → X unaaplicacion lipschitziana y acotada. Entonces f ∈ W 1,∞(I,X) y ‖f ′‖L∞(I,X) ≤ L,donde L > 0 es la constante de Lipschitz de f .

Por ultimo, vamos a exponer dos resultados que seran de gran importancia enlo referente al calculo de un potencial escalar asociado a un campo vectorial cono-cido. El primero (Teorema 1 en [3]) establece existencia del mismo bajo hipotesisde conexion simple del dominio y basandose en propiedades clasicas del analisisvectorial.

Teorema 1.2.9Sea f ∈ H−k(Ω) con k ≥ 0 entero. Los siguientes enunciados son equivalentes:

(i) H−m(Ω)〈f, ϕ〉Hm0 (Ω) = 0 para toda ϕ ∈ Vm =

ϕ ∈ (Hm

0 (Ω))3 : divϕ = 0.

(ii) H−m(Ω)〈f, ϕ〉Hm0 (Ω) = 0 para toda ϕ ∈ V =

ϕ ∈ (D(Ω))3 : divϕ = 0

.

(iii) Existe una distribucion χ ∈ H−m+1(Ω), unica salvo constantes aditivas, talque f = ∇χ en Ω.

Si ademas Ω es simplemente conexo, entonces las tres afirmaciones anterioresson equivalentes a:

(iv) rot(f) = 0 en Ω.

El segundo (Proposicion 2.10 en [4]) proporciona la regularidad de una dis-tribucion basandose en la de su gradiente y bajo una condicion de integrabilidadglobal.

Teorema 1.2.10Sean Ω ⊂ R

d un dominio acotado con frontera lipschitziana, k un numero entero yp un numero real tal que 1 < p <∞.

24 1. Preliminares

(i) Si f es una distribucion cuyo gradiente pertenece a W k−1,p(Ω), entonces fpertenece a W k,p(Ω). Ademas, si Ω es conexo, entonces existe una constanteC > 0 tal que se verifica la siguiente desigualdad:

∀ [f ] ∈W k,p(Ω)/R , ‖[f ]‖Wk,p/R ≤ C‖∇f‖Wk−1,p .

Si Ω es arbitrario (no necesariamente acotado ni con frontera lipschitziana),

entonces f pertenece a W k,ploc (Ω).

(ii) Si k ≥ 0 y Ω es conexo, existe una constante C > 0 tal que todas las dis-tribuciones f que satisfacen ∇f ∈ W k−1,p(Ω) y

∫Ωf(x) dx = 0 verifican la

estimacion‖f‖Wk,p ≤ C‖∇f‖Wk−1,p .

Capıtulo 2

Derivacion de una ecuacionde Schrodinger

multidimensional querepresenta la hidrodinamica

de Wigner–Fokker–Planck

Si consideramos el movimiento de un sistema cuantico aislado (sin efectos dedisipacion) bajo la accion de un potencial externo, es conocido que la transformadade Wigner y su inversa establecen una equivalencia entre las ecuaciones linealesde Wigner y de Schrodinger. Sin embargo esta equivalencia se pierde en generalsi introducimos efectos de disipacion en la formulacion cinetica. El objetivo deeste capıtulo es derivar una familia de ecuaciones de Schrodinger disipativas quedescriban la misma hidrodinamica que la ecuacion de Wigner–Fokker–Planck. Paraello formularemos el sistema de los momentos hidrodinamicos de orden mas bajo,que no es cerrado, y le impondremos relaciones de clausura adecuadas para hacerloautoconsistente, obteniendo de esta forma el modulo y el argumento de una funcionde onda cuyas densidades de posicion y de corriente coinciden con las de la funcionde Wigner original. La evolucion temporal de dicha funcion de onda determina laecuacion de Schrodinger buscada, que auna efectos de friccion y difusion. En laultima seccion de este capıtulo estudiaremos algunos casos particulares del modeloderivado y discutiremos condiciones sobre la fısica del sistema que verifiquen lashipotesis necesarias impuestas en la derivacion. A lo largo de todo el capıtulosupondremos cierta la regularidad que sea necesaria para poder llevar a cabo loscalculos.

26 2. WFP en la formulacion de Schrodinger

2.1. Desde la ecuacion maestra hasta el sistemahidrodinamico asociado a la ecuacion de Wig-ner–Fokker–Planck

Consideramos un sistema cuantico representado por una partıcula en Rd, so-

metido a la influencia de un potencial V = V (t, x) e interactuando con un banotermico idealizado por un conjunto infinito de osciladores armonicos en equilibriotermico. Para estudiar la evolucion del sistema teniendo en cuenta la influencia delbano consideramos R = R(t) el operador de densidad reducido del sistema (lineal,autoadjunto, definido positivo y de clase traza para todos los instantes de tiempo)y partimos de (3), la generalizacion del modelo de Caldeira–Leggett [21] obtenidaen [41] y reescrita en terminos del nucleo integral de R, de modo que considerandoρ = ρ(x, y, t) tal que

(R(t)φ)(x) =

∫

Rd

φ(y)ρ(x, y, t) dy

para cualquier funcion de onda φ, entonces la evolucion temporal de ρ viene descritapor

∂ρ

∂t= − i

~(Hx −Hy)ρ− λ(x− y) · (∇x −∇y)ρ

+(Dqq|∇x + ∇y|2 −

Dpp

~2|x− y|2 − 2i

~Dpq(x− y) · (∇x + ∇y)

)ρ, (2.1)

donde m es la masa efectiva del sistema y λ,Dpp, Dpq, Dqq son las constantes quedescriben la interaccion del mismo con el bano termico

λ =η

2m, Dpp = ηkBT0 , Dpq =

ηΩ0~2

12πmkBT0, Dqq =

η~2

12m2kBT0. (2.2)

Ademas H es el hamiltoniano renormalizado del sistema,

H = − ~2

2m∆ + Vr(·, t), (2.3)

y los subındices en (2.1) indican la variable sobre la que actuan. En la notacion de(2.3), Vr denota el potencial renormalizado, que no es mas que una perturbacionde V causada por la vibracion de los osciladores del bano (en el caso del osciladorarmonico, Vr es otro oscilador armonico con frecuencia desplazada [21]. En [68] sepueden consultar mas detalles sobre la normalizacion del potencial externo). En laecuacion (2.1), el primer sumando del segundo miembro responde a la evolucionhamiltoniana, el termino con coeficiente λ es disipativo y los demas son difusivos.Esta ecuacion maestra surge como aproximacion markoviana de la evolucion (nomarkoviana) del sistema inmerso en el bano de osciladores, tras tomar traza parcialrespecto de los grados de libertad del bano. Dicha aproximacion se basa en unaexpansion asintotica de las funciones de correlacion sistema–bano en terminos del

2.1. De la ecuacion maestra al sistema hidrodinamico 27

parametro µ = λ~

kBT0hasta orden O(µ2), dando lugar ası a una generalizacion de

la ecuacion maestra de Caldeira–Leggett, que se recupera obviando los terminoscon coeficientes Dpq y Dqq, ambos de orden O(µ). En [42] se prueba que estaaproximacion es aplicable si la longitud de coherencia del estado del sistema esmayor que la longitud de onda de De Broglie ΛdB = ~/

√4mkBT0. Si ademas

eliminamos el termino de coeficiente λ obtenemos una aproximacion de orden O(µ)(lımite de temperaturas muy altas) en la que se ignoran los efectos de disipacionresultantes de la accion del entorno.

Tras la aproximacion markoviana antes descrita, la interaccion del sistema conel bano termico queda determinada por tres parametros positivos: η es la constantede acoplamiento sistema–bano y se puede interpretar como un coeficiente de visco-sidad, T0 es la temperatura de equilibrio del bano y Ω0 es la frecuencia maxima delos osciladores que lo componen. Este modelo, al igual que el de Caldeira–Leggett,tiene restricciones de aplicacion y por tanto dichas constantes no son libres. Lashipotesis principales sobre los parametros que garantizan la validez de (2.1) (vease[41] para una exposicion mas detallada) son:

(i) Temperaturas medias y altas: Ω0<∼ kBT0

~.

(ii) La escala de tiempo caracterıstica del sistema es mucho mayor que τC = 1Ω0

,el tiempo de memoria del bano.

(iii) Acoplamiento debil: λ≪ Ω0.

Bajo estas hipotesis, los coeficientes definidos en (2.2) satisfacen la relacion

DppDqq −D2pq ≥

~2λ2

4, (2.4)

que implica que la ecuacion (2.1) se puede escribir en la forma de Lindblad y portanto conserva la positividad del operador de densidad (la demostracion de estehecho puede consultarse en [11]). De esta manera, la incorporacion del terminodifusivo de coeficiente Dqq a la ecuacion puramente friccional permite describirlas propiedades observables de la dinamica de Langevin mediante un operador dedensidad que evoluciona en el tiempo conservando la positividad, por lo que consi-deraremos este modelo como el punto de partida de nuestro estudio. Para tratarloutilizaremos la interpretacion cinetica de (2.1) que consiste en la denominada ecua-cion de Wigner–Fokker–Planck. Para llegar a ella se considera la transformada deWigner [114] de un operador A con nucleo integral a

W[A](x, ξ) :=1

(2π)d

∫

Rd

a(x+

~

2mη, x− ~

2mη)e−iξ·ηdη, (2.5)

y se define la funcion de Wigner de nuestro sistema, cuyo dominio para todo t ≥ 0es el espacio de fases R

dx×R

dξ , comoW := W[R]. Para obtener la evolucion temporal

de dicha funcion basta aplicar W en (2.1) y realizar una serie de calculos sencillospara obtener

W[(Hx −Hy)ρ] = (ξ · ∇)W + Θ~[V ]W,


donde

Θ~[V ]W (x, ξ, t) =i

(2π)d

∫

R2d

1

~

[V

(x+

~

2my, t

)− V

(x− ~

2my, t

)]

×W (x, ξ′, t)e−i(ξ−ξ′)·ydξ′dy

para los terminos hamiltonianos y

−λW[(x− y) · (∇x −∇y)ρ] = 2λdivξ(ξW ),

DqqW[(∇x + ∇y)2ρ] = Dqq∆W,

−Dpp

~2W[|x− y|2ρ] =

Dpp

m2∆ξW,

−2 i

~DpqW[(x− y) · (∇x + ∇y)ρ] =

2Dpq

mdiv(∇ξW ),

para los disipativos y difusivos (puede consultarse en [10] la equivalencia entre laformulacion en terminos de operadores y de Wigner de los terminos difusivos). Portanto, W es solucion de la ecuacion de Wigner–Fokker–Planck

∂tW + (ξ · ∇)W + Θ~[V ]W = LWFP [W ] , (2.6)

donde LWFP es el nucleo de interaccion de Fokker–Planck cuantico

LWFP [W ] =Dpp

m2∆ξW + 2λdivξ(ξW ) + 2

Dpq

mdiv(∇ξW ) +Dqq∆W , (2.7)

Θ~ definido anteriormente es un termino pseudo-diferencial eventualmente no lineal(cuadratico en el caso de interaccion de tipo Hartree, por ejemplo) y los terminos deLWFP aportan descripciones de los mecanismos de friccion (λ divξ(ξW )) y difusion:

Dqq∆W describe difusion en posicion, mientras queDpp

m2 ∆ξW representa difusion

en velocidad y2Dpq

m div(∇ξW ) es el responsable de la difusion cruzada o difusionanomala. Los coeficientes han sido definidos en (2.2) a partir de las constantesfısicas que determinan la interaccion. Ademas, en el lımite semiclasico (~ → 0 en elsentido de los parametros de escala), tantoDpq comoDqq se anulan y WFP convergeformalmente a la ecuacion de Vlasov–Fokker–Planck (vease [27]), lo que conviertea WFP en una generalizacion cuantica de un modelo clasico bien conocido. Sinembargo la interpretacion de W como funcion de probabilidad no esta tan claraen el caso cuantico, ya que W puede tomar valores negativos en tiempos cortoscomo resultado de la interferencia entre distintos estados que conforman la funcionde Wigner. No obstante, la positividad del operador de densidad sı implica que latransformada de Husimi Wh de R es positiva en todo R

2d ([51], [79]), donde

W ~(x, ξ) := W (x, ξ) ∗ Γ ~

m(x) ∗ Γ ~

m(ξ) ∀ (x, ξ) ∈ R

2d

y Γσ denota la gaussiana con varianza σ.Los tres primeros momentos en velocidad de la funcion de Wigner admiten una

interpretacion hidrodinamica precisa: la densidad local

n(t, x) =

∫

Rd

W (x, ξ, t) dξ , (2.8)


la densidad de corriente

J(t, x) =

∫

Rd

ξW (x, ξ, t) dξ (2.9)

y el tensor de energıa cinetica

T(t, x) =1

2

∫

Rd

ξ ⊗ ξW (x, ξ, t) dξ .

Bajo dicha interpretacion, la masa total de un sistema cuantico gobernado por laecuacion de Wigner–Fokker–Planck esta determinada por

∫

Rd

n(t, x) dx =

∫

R2d

W (x, ξ, t) dξ dx ,

cantidad que se conserva en el tiempo como consecuencia de la ecuacion de conti-nuidad de nuestro sistema. En efecto, integrando la ecuacion de WFP respecto deξ se deduce que la evolucion de n esta determinada por la siguiente ecuacion decontinuidad de tipo Fokker–Planck

∂tn+ div(J) = Dqq∆n , (2.10)

de donde se deduce la conservacion de masa total, tras integrar respecto de x. De lamisma manera, si multiplicamos la ecuacion de WFP por ξ e integramos respectode ξ, se obtiene

∂tJ + divT +1

mn∇V = −2λJ − 2Dpq

m∇n+Dqq∆J , (2.11)

que establece la evolucion de la densidad de corriente J . Observese que el sistemahidrodinamico formado por (2.10) y (2.11) no es cerrado, ya que esta segundaecuacion involucra el conocimiento de T, un momento de orden superior. De hecho,el termino de transporte en la ecuacion de WFP hace que no podamos esperarque ningun sistema de momentos quede cerrado, por lo que el primer paso esimponer alguna relacion de clausura apropiada para que el sistema (2.10)–(2.11)quede plenamente determinado. Con este proposito definimos la velocidad media(macroscopica) asociada a la funcion de Wigner como

u(t, x) :=J(t, x)

n(t, x)(2.12)

y vamos a estudiar la evolucion temporal de u. Combinando (2.10), (2.11) y (2.12)y teniendo en cuenta que udiv(nu) = div(nu⊗u)−n(u·∇)u, llegamos a la siguienteecuacion

∂tu+ (u · ∇)u = − 1

m∇V − 1

ndiv(Pu) − 2λu− 2Dpq

m

∇nn

+ Dqq

[2

(∇nn

· ∇)u+ ∆u

], (2.13)


donde Pu = T − nu ⊗ u es el tensor de esfuerzos. Este sistema es analogo a laformulacion hidrodinamica de De Broglie–Bohm para un estado puro [34, 18], queconsiste en el siguiente sistema:

∂tn+ div(nu) = 0 ,

∂tu+ (u · ∇)u = − 1

m∇(V +Q) ,

donde Q = Q(t, x) es el potencial cuantico de Bohm, definido por

Q := − ~2

2m

∆√n√n

= − ~2

4m

(∆n

n− |∇n|2

2n2

), (2.14)

que describe efectos de autointeraccion del sistema, de manera que ∇Q representauna corriente de difusion causada por gradientes de densidad. Comparando estesistema con (2.10), (2.13) se desprende que divPu = 1

m n∇Q, si bien en nuestrocaso se han tenido en cuenta efectos de friccion y de viscosidad. A este nivel elefecto de la difusion en velocidad no ejerce influencia sobre los observables, lo queconstituye una caracterıstica destacable de nuestro modelo.

Definimos a continuacion la velocidad de difusion

v(t, x) := u(t, x) − uo(t, x), uo(t, x) := Dqq∇n(t, x)

n(t, x), (2.15)

donde uo es la llamada velocidad osmotica, que surge de acuerdo con la ley de Fickasociada a la difusion con coeficiente Dqq. Multiplicando la definicion de v por n ytomando divergencias, obtenemos que

div(nu) = div(nv) +Dqq∆n ,

que nos permite reescribir (2.10) en terminos de v de la siguiente forma:

∂tn+ div(nv) = 0 , (2.16)

que es la ecuacion de continuidad estandar en mecanica de fluidos. Se tiene entoncesel siguiente resultado.

Proposicion 2.1.1Sea W = W (x, ξ, t) una solucion de WFP suficientemente regular y supongamosque la densidad local n definida en (2.8) no se anula en ningun punto. Entonces elsistema hidrodinamico asociado a W, que gobierna la evolucion temporal de n y v(con v definido en (2.15)) viene dado por

∂tn+ div(nv) = 0 ,

∂tv + (v · ∇)v = − 1

m∇V − 1

ndiv(Pv) − 2λv − 2Dpq

m

∇nn

+D2qq

1

n∇(∆n)

+Dqq1

n

[∇(div(nv)

)+ ∆(nv) − 2λ∇n

],


donde Pv(t, x) es el tensor cuantico de esfuerzos, definido por

Pv =

∫

Rd

ξ ⊗ ξ W dξ − nv ⊗ v .

Demostracion:

La ecuacion de continuidad se obtiene partiendo del sistema para u y n y razonandocomo en (2.16). Para derivar la ecuacion de evolucion asociada a v partimos de sudefinicion v = u − uo, multiplicamos por n y derivamos con respecto del tiempo,obteniendo

n∂tv = ∂tn (u− v) −Dqq∂t(∇n) + n∂tu . (2.17)

Aprovechando la informacion contenida en (2.16), podemos reescribir los dos pri-meros sumandos del termino de la derecha en funcion de v de la siguiente forma:

∂tn (u− v) = −Dqqdiv(nv)∇nn

, (2.18)

∂t(∇n) = −∇(div(nv)

). (2.19)

Para el tercer sumando, sustituimos u por v + uo en (2.17) y llegamos a

n∂tu = −n(v · ∇)v − 1

mn∇V − divPv − 2λnv − 2Dpq

m∇n+Dqq

[n∆v

−n(v · ∇)∇nn

− 2λ∇n+ div(v ⊗∇n+ ∇n⊗ v

)+ (∇n · ∇)v

]

+D2qq

[(∇n · ∇)

∇nn

+ ∇ ·(∇n⊗ ∇n

n

)+ n∆

(∇nn

)]. (2.20)

Finalmente, sumando las expresiones obtenidas en (2.18), (2.19) y (2.20) y simpli-ficando de forma sencilla, llegamos a la ecuacion para v. ⊓⊔

OBSERVACION 2.1.2 (Casos particulares destacados) El nucleo de inte-raccion de Fokker–Planck (2.7) contiene como casos particulares algunos modelosbien conocidos en la literatura fısica

(i) Si hacemos λ = Dpq = Dqq = 0, entonces WFP se reduce a

∂tW + (ξ · ∇)W + Θ~[V ]W =Dpp

m2∆ξW,

que es el modelo asintotico obtenido para temperaturas muy altas, el mas sim-ple de entre todos los que conservan la positividad del operador de densidad.Ademas, este modelo no tiene en cuenta efectos de friccion (vease [11, 83]).En este caso v = u = J

n y el sistema hidrodinamico establecido en la Propo-sicion 2.1.1 se reduce al sistema de tipo Euler, usual en mecanica de fluidos

∂tn+ div(nv) = 0 ,

∂tv + (v · ∇)v = − 1

m∇V − 1

ndiv(Pv) .


(ii) Si hacemos Dpq = Dqq = 0 obtenemos la version cinetica del modelo deCaldeira–Leggett [21]

∂tW + (ξ · ∇)W + Θ~[V ]W =Dpp

m2∆ξW + 2λdivξ(ξW ),

que no tiene garantizada la preservacion de la positividad del operador dedensidad [2]. El sistema hidrodinamico asociado es

∂tn+ div(nv) = 0 ,

∂tv + (v · ∇)v = − 1

m∇V − 1

ndivPv − 2λv .

(iii) Si consideramos tan solo Dpq = 0, entonces WFP se escribe de la siguientemanera

∂tW + (ξ · ∇)W + Θ~[V ]W =Dpp

m2∆ξW + 2λdivξ(ξW ) +Dqq∆W ,

que es el modelo disipativo mas sencillo que conserva la positividad del ope-rador de densidad [11, 22]. En este caso, el sistema hidrodinamico asociadoes

∂tn+ div(nv) = 0 ,

∂tv + (v · ∇)v = − 1

m∇V − 1

ndiv(Pv) − 2λv +D2

qq

1

n∇(∆n)

+Dqq1

n

[∇(div(nv)

)+ ∆(nv) − 2λ∇n

].

2.2. Analisis del tensor de esfuerzos y relacionesde clausura

Vamos a suponer que W esta asociada a una mezcla de estados ψkk∈N, porlo que la ecuacion (2.5) con a(x, y) =

∑λkψk(x)ψk(y) implica que la funcion de

Wigner de nuestro sistema se escribe como

W (x, ξ, t) =1

(2π)d

∑

k∈N

λk

∫

Rd

ψk

(x+

~

2my, t)ψk

(x− ~

2my, t)e−iy·ξ dy, (2.21)

donde λkk∈N son las probabilidades de ocupacion y cumplen que

λk ≥ 0 ∀k ∈ N,∑

k∈N

λk = 1 .

El sistema obtenido en la Proposicion 2.1.1 no es cerrado pues depende del tensorde esfuerzos Pv, que esta relacionado con los momentos de segundo orden de W .

2.2. Analisis del tensor de esfuerzos y relaciones de clausura 33

Para introducir relaciones apropiadas de clausura del sistema vamos a describir Pven terminos de la familia ψkk∈N. Usando (2.21) se tiene que

T = − ~2

2m2

∑

k∈N

λk

[Re(ψk(∇⊗∇)ψk

)− Re

(∇ψk ⊗∇ψk

)].

Ademas, podemos formular nv⊗v en funcion de los distintos estados aprovechandoque v = 1

n (J −Dqq∇n):

nv ⊗ v =1∑

k∈Nλk|ψk|2

∑

k∈N

λk

[~

mIm(ψk∇ψk

)− 2DqqRe

(ψk∇ψk

)]

×∑

k∈N

λk

[~

mIm(ψk∇ψk

)− 2DqqRe

(ψk∇ψk

)].

Por tanto, podemos expresar Pv de la siguiente manera:

Pv = − ~2

2m2

∑

k∈N

λk

[Re(ψk∇⊗∇ψk

)− Re

(∇ψk ⊗∇ψk

)]

− 1∑k∈N

λk|ψk|2∑

k∈N

λk

[~

mIm(ψk∇ψk

)− 2DqqRe

(ψk∇ψk

)](2.22)

⊗∑

k∈N

λk

[~

mIm(ψk∇ψk

)− 2DqqRe

(ψk∇ψk

)].

Si consideramos la descomposicion modulo–argumento de cada uno de los ψk dadapor

ψk(t, x) =√nk(t, x)e

iαSk(t,x) , α = 2mDqq , (2.23)

entonces se tienen las siguientes identidades de forma elemental:

Re(ψk∇ψk

)=

√nk∇

√nk , Im

(ψk∇ψk

)=

1

αnk∇Sk ,

Re(ψk∇⊗∇ψk

)=

√nk∇⊗∇√

nk −1

α2nk∇Sk ⊗∇Sk , (2.24)

Re(∇ψk ⊗∇ψk

)= ∇√

nk ⊗∇√nk +

1

α2nk∇Sk ⊗∇Sk .

Introduciendo estas expresiones en (2.22), haciendo los correspondientes calculos yusando que

∑k∈N

λk|ψk|2 = n , llegamos a la descomposicion Pv = P cv +P qv , donde

P cv =~

2

m2α2

∑

k∈N

λknk∇Sk ⊗∇Sk −1

n

(∑

k∈N

λknk∇Sk)

⊗(∑

k∈N

λknk∇Sk)


denota la parte clasica del tensor, en el sentido de que describe la presion estandardel fluido (ver formula (2.26)), y

P qv =~

m2

1

n

(∑

k∈N

λknk∇Sk)

⊗(∑

k∈N

λk√nk∇

√nk

)

+~

m2

1

n

(∑

k∈N

λk√nk∇

√nk

)⊗(∑

k∈N

λknk∇Sk)

+~

2

2m2

∑

k∈N

λk

(∇√

nk ⊗∇√nk −

√nk∇⊗∇√

nk

)

−4D2qq

1

n

(∑

k∈N

λk√nk∇

√nk

)⊗(∑

k∈N

λk√nk∇

√nk

),

representa los efectos cuanticos del sistema a traves de las potencias positivas dela constante de Planck, que se consideran despreciables cuando ~ → 0 (lımitesemiclasico). Denominaremos a P qv parte cuantica del tensor de esfuerzos, todavez que contiene terminos de presion proporcionales a ∆n en la diagonal y fuer-zas de tension extradiagonales que se expresan a traves de la velocidad osmotica(2.15)(como se pone de manifiesto en [89]).

OBSERVACION 2.2.1 Es importante destacar que la parte clasica del tensor deesfuerzos surge a raız de la mezcla de estados cuanticos. De hecho, si suponemos queW describe un estado puro entonces P cv = 0. Ademas, la presencia de la constantede Planck en la expresion de P cv no hace incoherente la denominacion “clasica” yaque ~ y α tienen las mismas unidades y ~

α es, por tanto, un factor adimensional.Por otra parte, si Dqq = 0 (lo que ocurre en los modelos (i) y (ii) descritos en laObservacion 2.1.2), entonces la parte cuantica Pv se reduce a

P qv =~

2

2m2

∑

k∈N

λk (∇√nk∇

√nk −

√nk(∇⊗∇)

√nk) .

Si consideramos la velocidad vk asociada al estado ψk y la descomposicion (2.23)del mismo, es sencillo comprobar que vk y Sk estan relacionados a traves de laformula

vk =1

m∇Sk , (2.25)

la cual nos permite interpretar la parte clasica del tensor como una matriz decovarianzas en velocidad:

P cv =~

2

α2n((v ⊗ v)M − vM ⊗ vM

), (2.26)

donde hemos denotado

XM =1

n

∑

k∈N

λknkXk ,

2.2. Analisis del tensor de esfuerzos y relaciones de clausura 35

la funcion media ponderada de la familia de observables Xk = X(ψk) respectode las funciones peso λknk. Observese en la ecuacion (2.26) que la influencia delmomento de segundo orden se reduce a la presencia de (v⊗v)M en la parte clasica.Por tanto, si imponemos las relaciones de cierre [80, 86]

P cv = P cv (n) ,√nk =

√n ∀k ∈ N , (2.27)

estamos truncando la jerarquıa de momentos asociada a la funcion de Wigner,generando una aproximacion de la misma mediante un sistema cerrado, que sepuede resolver de forma autoconsistente. La primera hipotesis, que es la que cierrael sistema, no constituye una restriccion demasiado severa, ya que existen modeloshidrodinamicos cuanticos ampliamente aceptados que verifican dicha condicion. Enla ultima seccion de este capıtulo destacaremos algunos de ellos. En cuanto a laparte cuantica, es destacable que solo dependera de n y vM :

P qv =~

m

(√n vM ⊗ ∇

√n+

√n vM ⊗ ∇

√n)− 4D2

qq∇√n⊗∇

√n

+~

2

2m2

(∇√n⊗∇

√n−

√n (∇⊗∇)

√n)

(2.28)

=~

2m(vM ⊗∇n+ vM ⊗∇n) − ~

2

4m2n∇⊗

(∇nn

)−D2

qq

1

n∇n⊗∇n .

Proposicion 2.2.2Sea W = W (x, ξ, t) una solucion de WFP suficientemente regular y supongamosque la densidad local n definida en (2.8) no se anula en ningun punto y que severifican las relaciones de clausura (2.27). Entonces las leyes de evolucion temporalpara la densidad local n y la velocidad media vM vienen dadas por

∂tn+~

αdiv(nvM ) = Dqq∆n , (2.29)

∂tvM +~

α(vM · ∇)vM = −α

~

(1

m∇(V +Q) +

∇P cvn

+2Dpq

m

∇nn

)− 2λvM

+Dqq

2

(∇nn

· ∇)vM + ∆vM

, (2.30)

donde P cv y P qv corresponden a (2.26) y (2.28), α = 2mDqq y donde Q denota elpotencial cuantico de Bohm definido en (2.14).

Demostracion:

Para estudiar la evolucion de n basta usar (2.12), (2.21), (2.24) y (2.25) para deducir

u =J

n=

~

m

1

n

∑

k∈N

λkIm(ψk∇ψk

)=

~

mα

1

n

∑

k∈N

λknk∇Sk =~

αvM , (2.31)

luego las velocidades v y vM estan relacionadas por medio de

v =~

αvM −Dqq

∇nn

. (2.32)


Esta propiedad, junto con la ecuacion de continuidad obtenida en la Proposicion2.1.1, nos conduce a (2.29). Finalmente, usando la evolucion de v deducida en dichaproposicion, la identidad

∂tvM =α

~

∂tv +Dqq∂t

(∇nn

),

y la ecuacion de continuidad recien derivada, obtenemos

α

~∂tv = − ~

α(vM · ∇)vM − 2λvM − α

m~

(∇(V +Q) +

m

ndiv(P cv ) + 2Dpq

∇nn

)

+Dqq

− 1

n∆n vM − ∇n

ndiv(vM ) − 1

n(vM · ∇)∇n

+1

ndiv(nvM ) +

1

n∆(nvM ) + (vM · ∇)

∇nn

+α

~D2qq

−(∇nn

· ∇) ∇n

n− |∇n|2

n3∇n+

∆n

n2∇n

+1

n2(∇n · ∇)∇n− 1

n∇∆n

,

α

~∂t

(∇nn

)=

1

n2div(nvM )∇n− 1

n∇(div(nvM )) +

α

~D2qq

(1

n∇∆n− 1

n2∆n∇n

),

tras calculos laboriosos pero sencillos. Simplificando de forma adecuada se deduce(2.30), lo que concluye la prueba. ⊓⊔

2.3. Construccion de una funcion de onda que re-produce el comportamiento de la funcion deWigner: la ecuacion de Schrodinger–Langevindifusiva

En esta seccion vamos a construir una funcion de onda que describe la mismafenomenologıa fısica que el sistema (2.29)–(2.30), en el sentido de que las densidadeslocal y de corriente asociadas a dicha funcion de onda coincidiran con n y J pro-venientes de la funcion de Wigner. Con este proposito razonamos como en (2.25),esto es, si una funcion compleja ψ admite una descomposicion modulo–argumento[85]:

ψ = |ψ|e iαS , (2.33)

para cierta funcion S, entonces la velocidad asociada a ψ viene dada por ∇S. Portanto, si suponemos que el momento medio mvM admite un potencial escalar S,entonces dicho potencial ha de verificar

J

n=

~

mα∇S, (2.34)

2.3. Funcion de onda que describe WFP 37

donde hemos usado (2.31), con lo que tendremos un candidato a argumento deaquella funcion de onda cuyos observables respetan la hidrodinamica de WFP.Ademas de (2.34), impondremos la existencia de campos escalares U y F tales que

∇U =1

ndiv(P cv ) , ∇F =

(∇nn

· ∇)∇S, (2.35)

lo que nos permitira establecer la dinamica de n y S (y a posteriori la ecuacion deonda que buscamos) a partir de (2.29) y (2.30).

Proposicion 2.3.1Sea W = W (x, ξ, t) una solucion de WFP suficientemente regular tal que la den-sidad local n definida en (2.8) no se anula en ningun punto y se verifican lasrelaciones de clausura (2.27). Supongamos que existen un campo escalar S(t, x)satisfaciendo (2.34) y U(t, x), F (t, x) dos funciones de manera que se cumplen lasrelaciones (2.35). Entonces el sistema hidrodinamico de flujo potencial que describela evolucion temporal de n y S es el siguiente:

∂tn = − ~

mαdiv(n∇S) +Dqq∆n , (2.36)

∂tS = − ~

2mα|∇S|2 − α

~

(V +mU +Q+ 2Dpqlog(n)

)

−2λS +Dqq(2F + ∆S) + Φ , (2.37)

donde Q es el potencial cuantico de Bohm definido en (2.14) y Φ = Φn, S(t) esindependiente de x.

Demostracion:

La ecuacion de Fokker–Planck (2.36) es consecuencia directa de (2.29) teniendoen cuenta (2.34). Para obtener la ecuacion de Hamilton–Jacobi (2.37) partimos de(2.30), sustituimos vM usando de nuevo la hipotesis de irrotacionalidad y encon-tramos

∇(∂tS) = − ~

2mα∇|∇S|2 − α

~∇(V +Q) − mα

~

1

ndiv(P cv ) − 2λ∇S

−2αDpq

~∇log(n) +Dqq

[2

(∇nn

· ∇)∇S + ∇∆S

](2.38)

= −α~∇(V +mU +Q+ 2Dpqlog(n) − 2λS +Dqq(2F + ∆S)

)

tras utilizar las hipotesis (2.35). Esto concluye la prueba. ⊓⊔

Una vez conocido el sistema (2.36)–(2.37), nos inspiramos en (2.33) para construirla funcion compleja

ϕ(t, x) =√n(t, x)e

iαS(t,x), (2.39)

cuyas densidades local y de corriente coinciden con las magnitudes n y J asociadas ala funcion de Wigner. La evolucion temporal de una funcion de onda ası definida, va


a determinar una ecuacion de Schrodinger–Langevin friccional con difusion (SLD)que emula el comportamiento observable de (2.36)–(2.37) y, en consecuencia, el dela ecuacion de Wigner–Fokker–Planck bajo las condiciones desarrolladas a lo largodel capıtulo.

Teorema 2.3.2Sea W = W (x, ξ, t) una solucion de WFP suficientemente regular asociada a lamezcla de estados ψkk∈N (en particular se puede escribir como en (2.21)). Su-pongamos que la densidad local n definida en (2.8) no se anula en ningun puntoy que se verifican las relaciones de clausura (2.27). Si existen S tal que (2.34) esvalida para J (definida en (2.9)) y dos campos escalares F y U cumpliendo (2.35),entonces existe una funcion de onda ψ(t, x) que es solucion de la siguiente ecuacionde Schrodinger–Langevin logarıtmica con difusion:

i~∂tψ = − ~2

2m∆ψ +

(V +mU +

~λ

mDqqS + 2Dpqlog(n)

)ψ

+i~Dqq

2

(∆n

n

)ψ − ~

mFψ −mDqqdiv

(J

n

)ψ, (2.40)

y que describe la misma dinamica que W en el sentido de que

|ψ(t, x)|2 = n(t, x),~

mIm(ψ(t, x)∇ψ(t, x)

)= J(t, x).

Demostracion:

Si definimos ϕ como en (2.39) y tomamos z = t, xi, 1 ≤ i ≤ d, podemos expresarla derivada ∂zϕ en funcion de n y S del siguiente modo:

∂zϕ =

(∂z√n+

i

α

√n∂zS

)e

iαS . (2.41)

Como n no se anula en ningun punto, podemos considerar z = t, dividir entre n ysacar factor comun ϕ, obteniendo

∂tϕ =

(1

2n∂tn+

i

α∂tS

)ϕ .

Multiplicando esta ecuacion por i~ y valiendonos de (2.36) y (2.37) deducimos que

i~∂tϕ =

~

2

2mα2|∇S|2 +Q− ~

αf + i

[− ~

2

2mα

1

ndiv(n∇S) + ~Dqq

∆n

2n

]ϕ ,

(2.42)donde hemos denotado

f(t, x) = −α~

(V +mU + 2Dpqlog(n)

)− 2λS +Dqq(2F + ∆S) + Φ.

Del mismo modo podemos tomar la divergencia en (2.41) y multiplicar por ~2

2m , dedonde

~2

2m∆ϕ =

−Q− ~

2

2mα2|∇S|2 + i

~2

2mα

1

ndiv(n∇S)

ϕ . (2.43)

2.3. Funcion de onda que describe WFP 39

Sumando (2.42) con (2.43) y despejando la derivada temporal de ϕ se tiene

i~∂tϕ = − ~2

2m∆ϕ+ ~Dqq

∆n

2nϕ− ~

αfϕ. (2.44)

Teniendo en cuenta la definicion de f y usando (2.34) es claro que ϕ verifica SLD,salvo por el termino − ~

αΦϕ. Para ver que podemos tomar Φ identicamente nula,basta seleccionar

ν(t) = − 1

2mDqq

∫ t

0

Φ(s)e−2λ(t−s) ds ,

cuya derivada viene dada por

ν′(t) = −2λν(t) − 1

2mDqqΦ(t) .

Es sencillo comprobar si ϕ es una solucion de (2.44), entonces ψ = eiνϕ satisface(2.40). Ademas |ψ|2 = |ϕ|2 = n y usando (2.41) obtenemos que

~

mIm(ψ∇ψ

)=

~

αn vM = J,

donde hemos utilizado (2.34) y (2.31). Por consiguiente, ψ satisface el teorema ytenemos concluida la demostracion. ⊓⊔

OBSERVACION 2.3.3 La hipotesis de existencia de un argumento S global-mente definido verificando (2.34) evita ambiguedades en la definicion de ψ y haceinnecesaria, por tanto, cualquier condicion de cuantizacion (vease [111]) para pasarde (2.36)–(2.37) (o (2.29)–(2.30)) a la ecuacion SLD. En el Capıtulo 4 abordare-mos el problema de la existencia de S para ψ conocida en dominios acotados pormedio de la busqueda de soluciones de (2.34).

La ecuacion SLD es un modelo fuertemente no lineal que aproxima la dinamica deLangevin en la formulacion de onda incorporando efectos de friccion, modeladospor ~λ

mDqqSψ, y de difusion, que quedan descritos por 2Dpqlog(n)ψ para la difusion

anomala y por

i~Dqq

2

(∆n

n

)ψ − ~

mFψ −mDqqdiv

(J

n

)ψ

para el caso de la difusion estandar. Es significativo, como comentamos anterior-mente, que el termino de difusion en velocidad (con coeficiente Dpp) en WFP,responsable del proceso de decoherencia (vease [69]), no contribuye a la formula-cion de SLD. Esto se debe al hecho de que hemos establecido el cierre del sistemade momentos al nivel de la densidad de corriente y la influencia de la difusion envelocidad solo es plausible si tenemos en consideracion mas momentos de W , queen nuestro caso aportarıan mayor informacion sobre P cv sin variar los sistemas hi-drodinamicos ni la ecuacion de Schrodinger que proponemos. En este sentido es


destacable que SLD no es solamente un modelo, sino una familia de modelos, don-de el potencial U queda libre y depende de la interpretacion (o de la ecuacion deestado) que demos al sistema objeto de estudio. En la siguiente seccion discutimosalgunas de ellas, ası como algunos casos particulares destacados de SLD.

2.4. Casos particulares y discusion acerca de lashipotesis

2.4.1. Casos particulares destacados de la ecuacion de Schro-dinger–Langevin con difusion

Al igual que ocurre con WFP, que es una generalizacion de otras ecuacionesdisipativas conocidas en la formulacion cinetica, la ecuacion SLD generaliza algunosmodelos con friccion ya estudiados en la literatura, que es interesante comentartanto al nivel de n y S como en la formulacion de onda, que es la que nos interesaprincipalmente en este trabajo.

(i) En primer lugar, si λ,Dpq yDqq se anulan, entonces a partier de las ecuaciones(2.29)–(2.30) se obtiene

∂tn = − 1

mdiv(n∇S) ,

∂tS = − 1

2m|∇S|2 − V −mU −Q ,

y tomando la forma polar de la funcion de onda ψ =√n e

i~S se deduce

i~∂tψ = − ~2

2m∆ψ + (V +mU)ψ.

En nuestro contexto esta ecuacion se puede interpretar como una aproxima-cion para temperaturas muy altas, que proviene de un modelo cinetico condifusion en velocidad. En la interpretacion de Schrodinger, sin embargo, surgetambien de forma fenomenologica en el estudio de gases cuanticos. Uno delos ejemplos mas destacado se tiene para U = |ψ|2, dando lugar a la ecuacionde Gross–Pitaevskii ([57], [97]), que modeliza la formacion de condensados de

Bose–Einstein. En [86] se obtiene este modelo con P cv = 2C5 n

53 I, C ∈ R para

un gas unidimensional a temperatura cero, que implica una interpretacionde U como potencial de autointeraccion de tipo Slater: C|ψ| 43 . Esta ecuacionaparece tambien en el estudio de dispositivos semiconductores en presencia depotenciales de tipo Hartree (atractivo o repulsivo), dando lugar a los modelosde Schrodinger–Poisson–Xα (vease, por ejemplo [87, 84, 19, 101]).

(ii) Si hacemos Dpq = Dqq = 0, que a nivel del operador de densidad corresponde

2.4. Casos particulares y discusion acerca de las hipotesis 41

al modelo de Caldeira–Legget [21]), entonces

∂tn = − 1

mdiv(n∇S) ,

∂tS = − 1

2m|∇S|2 − V −Q−mU − 2λS ,

sistema hidrodinamico cuantico con friccion que surge en el estudio de semi-conductores ([71]) e implica, para la funcion de onda ψ construida como enel caso anterior, la siguiente ecuacion friccional

i~∂tψ = − ~2

2m∆ψ + (V +mU + 2λS)ψ ,

que generaliza la ecuacion de Schrodinger–Langevin introducida por Kos-tin ([73]) incorporando el termino mUψ. Dedicaremos la segunda parte delCapıtulo 6 a estudiar el buen planteamiento de esta ecuacion en dominiosacotados bajo una interpretacion adecuada del potencial de autointeraccion.

(iii) Por ultimo, si tomamos solo Dpq = 0, entonces tenemos el sistema de flujopotencial

∂tn = − ~

mαdiv(n∇S) +Dqq∆n ,

∂tS = − ~

2mα|∇S|2 − α

~(V +mU +Q) − 2λS +Dqq(2F + ∆S) ,

y la correspondiente ecuacion de Schrodinger para ψ es identica a SLD, salvopor el termino logarıtmico:

i~∂tψ = − ~2

2m∆ψ +

(V +mU +

~λ

mDqqS)ψ

+i~Dqq

2

(∆n

n

)ψ − ~

mFψ −mDqqdiv

(J

n

)ψ .

Teniendo en cuenta la condicion (2.4), este es el modelo mas sencillo que gene-raliza al de Caldeira–Leggett al nivel del operador de densidad. Los terminosdifusivos de la ecuacion anterior pertenecen a la familia de terminos no linea-les de Doebner–Goldin [43].

2.4.2. Discusion sobre la consistencia de Pc

vy F

Este ultimo apartado esta dedicado a discutir la plausibilidad de las condicio-nes (2.35) que han sido necesarias para la obtencion del modelo. Una caracterısticaimportante de los sistemas cuanticos abiertos es que pueden perder informacion, enel sentido de que un estado cuantico determinado por una unica funcion de ondapuede evolucionar temporalmente hacia una mezcla de estados, de manera que elambiente genera incertidumbre acerca del sistema objeto de estudio. Esta circuns-tancia impide que cualquier aproximacion basada en una ecuacion de ondas (lineal


o no lineal) describa el sistema de manera “exacta”. La ecuacion SLD describeWFP de la mejor forma posible, ya que el conocimiento de n y J permite construir(vıa (2.34)) una funcion de onda que respeta dichos momentos, pero teniendo encuenta los efectos eventuales de una mezcla de estados sobre dichos observables.Esta influencia queda reflejada por el potencial de autointeraccion U , que surgecomo un potencial escalar de la divergencia del tensor P cv y en principio no tienepor que existir. En este sentido es destacable que bajo la relacion de cierre estable-cida en (2.27), la hipotesis 1

ndiv(P cv ) = ∇U es equivalente a asumir div(P cv ) = ∇U ,ya que en este ultimo caso podemos definir

U =

∫ n

0

1

n′ ∂n′U dn′ que implica ∇U =1

n∂nU ∇n =

1

n∇U ,

de donde se deduce la primera igualdad de (2.35). Por tanto, podemos discutiracerca de las condiciones que garantizan la existencia de potenciales escalares dediv(P cv ). Por ejemplo, es suficiente postular un tensor diagonal

P cv (t, x) = p(t, x)I ,

donde I denota el tensor identidad de orden 2 en dimension d, para el cual div(P cv ) =∇p. Esta no es mas que la condicion de fluido perfecto en hidrodinamica, que impli-ca que los efectos de tensiones laterales internas son irrelevantes en la descripcionde la evolucion del fluido. Destacan, en particular, los perfiles de tipo p = T0 n

β

(donde T0 es la temperatura del sistema) que engloban a los modelos hidrodinami-cos isotermo [37, 58, 72] para β = 1 e isentropico para β > 1 (puede consultarse[70] para una discusion sobre las clausuras en los distintos sistemas hidrodinamicosasociados a un estado mixto general). En este marco teorico y bajo nuestras hipote-sis, el potencial U tiene una interpretacion termodinamica bien definida: U = h(n)es la entalpıa del sistema [71], que viene dada por

r h′(r) = p′(r), h(1) = 0.

Bajo este punto de vista, todos los perfiles conducen a un termino no lineal de tipoXα en la formulacion de Schrodinger

U =β

β − 1nβ−1,

analogos a los que hemos comentado anteriormente. Observese, por ultimo, queesta interpretacion es consistente con la hidrodinamica cuantica a temperaturacero, que bajo nuestra aproximacion implica U = 0 y permite describir el sistemahidrodinamico mediante una unica funcion de onda.

Respecto a la existencia del potencial F verificando(∇nn

· ∇)∇S = ∇F, (2.45)

es destacable senalar que esta condicion surge inevitablemente como consecuenciade la difusion en posicion (con coeficiente Dqq, aunque no figura explıcitamen-te en la ecuacion) y representa efectos de autointeraccion (conveccion) entre las


velocidades media (u = Jn ) y osmotica (u0 = Dqq

∇nn ). Su aparicion en SLD resul-

ta poco operativa, por lo que es interesante discutir algunas hipotesis adicionalesque permitan trabajar con el de forma mas sencilla. Observese, para ello, que enel caso tridimensional la condicion (2.45) puede entenderse, usando (2.34), comoequivalente a la irrotacionalidad del campo vectorial

G :=mα

~

(∇nn

· ∇)u. (2.46)

Haciendo los calculos, obtenemos que

rot

[(∇nn

· ∇)u

]=

1

nrot[(∇n · ∇)u] − 1

n2∇n× (∇n · ∇)u ,

que se anula si y solo si las matrices jacobianas de u y uo conmutan. Desde el puntode vista matematico, existe un sistema de coordenadas que diagonaliza simultanea-mente tanto a u como a uo. Esta condicion se satisface obviamente si u y ∇n soncolineales, hipotesis que implica

u(t, x) = C(t, x)∇n(t, x) ,

∇ ⊗ u = ∇C ⊗ ∇n + C(∇ ⊗ ∇)n y, de acuerdo con (2.46), permite reescribir elcampo vectorial G como

G =mα

2~

1

n

[2(∇C · ∇n)∇n+ C∇|∇n|2

].

Para interpretar G como un gradiente, podemos considerar el perfil

C(t, x) =K(t)

n(t, x),

por lo que ∇C = − Kn2∇n, luego

G =mα

2~

K

n3

[n∇|∇n|2 − 2|∇n|2∇n

]=mα

2~K∇

( |∇n|2n2

).

De este modo existe F tal que ∇F = G y el termino que aparece en la correspon-diente ecuacion de Schrodinger pertenece (salvo una funcion del tiempo multipli-cativa) a la familia de terminos no lineales de Doebner–Goldin [43],

F =mα

2~K

|∇n|2n2

.

En este caso se dispone de la identidad J = K∇n y en particular, para K(t) ≡ Dqq,obtenemos

J = Dqq∇n. (2.47)


Como consecuencia se verifica u = uo y la relacion de conmutacion entre ∇⊗ u y∇⊗ uo es entonces obviamente cierta. En esta situacion (2.47) implica

S =mαDqq

~log(n) + ν(t) ,

y por tanto el termino de friccion en SLD pasa a ser de tipo logarıtmico. En [61]se deriva un modelo de Schrodinger disipativo con las mismas caracterısticas, par-tiendo tambien de la ecuacion de WFP y aplicandole ideas de propias mecanicanelsoniana [93]. Dedicaremos, ademas, el Capıtulo 5 a estudiar el buen planteamien-to de dicho modelo aprovechando su equivalencia con la ecuacion de Schrodingerpuramente logarıtmica.

De la escritura anterior de S y de (2.34) se deduce que

div

(J

n

)ψ = −4mDqq

~2Qψ = Dqq

(∆n

n− |∇n|2

n2

)ψ ,

lo que nos conduce a la siguiente version simplificada de la ecuacion SLD:

i~∂tψ = − ~2

2m∆ψ −Dqq

(mDqq −

i~

2

)∆n

nψ

+(V +mU + (2Dpq + ηDqq)log(n)

)ψ . (2.48)

Cabe destacar, por ultimo, que la igualdad u = uo que hemos obtenido en este casoparticular implica que la velocidad osmotica compensa los efectos de la velocidadmedia y localmente (a escalas microscopicas) la velocidad del sistema se anula, loque conduce a la ecuacion de continuidad mas sencilla ∂tn = 0, esto es, el regimendeterminado por estas condiciones genera una dinamica estacionaria.

Por otra parte, si asumimos que se satisface la ley de Fick, es decir, si J =−Dqq∇n, entonces la ecuacion de Schrodinger asociada es ahora

i~∂tψ = − ~2

2m∆ψ +Dqq

(mDqq +

i~

2

)∆n

nψ

+(V +mU + (2Dpq − ηDqq)log(n)

)ψ . (2.49)

En este caso el signo del termino logarıtmico podrıa ser negativo, circunstancia queocurre cuando Ω0 < πλ. Sin embargo, bajo las hipotesis de validez del modelo deWFP (y por tanto de SLD) λ≪ Ω, lo que implica una perturbacion pequena en lapractica.

Siguiendo esta direccion, tambien podemos considerar el caso en el que lacorriente macroscopica se anula, J ≡ 0. De aquı se deduce facilmente S(t, x) = ν(t)y, por tanto, la ecuacion de Schrodinger que surge en este caso es

i~∂tψ = − ~2

2m∆ψ +

i~Dqq

2

(∆n

n

)ψ +

(V +mU + 2Dpqlog(n)

)ψ. (2.50)


En particular, la ecuacion de continuidad asociada es la ecuacion del calor deter-minada por la difusion en posicion de WFP, esto es, ∂tn = Dqq∆n, por lo que setrata de una dinamica que solo manifiesta difusion.

Para terminar, podemos considerar otro tipo de hipotesis sobre la viscosidaddel sistema (visto como un fluido) que evita el termino F en SLD. En efecto, siP cv = p(n)I, podemos reescribir la ecuacion para ∂tS de la siguiente forma:

∇(∂tS) +~

2mα∇|∇S|2 = −α

~∇(V + p)

+ 2Dqq

[(∇nn

· ∇)∇S + ∇∆S

]+ Π

(donde ∇p = 1n∇p), que representa la formulacion de flujo potencial de una correc-

cion de la ecuacion de Navier–Stokes para un fluido barotropico e irrotacional concoeficiente de viscosidad dinamica proporcional a la densidad, µ(t, x) = Dqqn(t, x),y donde

Π = −α~∇(Q+ 2Dpqlog(n)

)− 2λ∇S −Dqq∇∆S .

Por tanto, si elegimos la relacion constitutiva

P cv = pI + 2Dqqn∇⊗ u

en lugar de la primera relacion de cierre en (2.27), los efectos debidos al termino deconveccion se cancelan y se deduce la siguiente ecuacion de Schrodinger logarıtmica

i~∂tψ = − ~2

2m∆ψ − i~Dqq

2

(∆n

n

)ψ

+

(V +mp+

~λ

mDqqS + 2Dpqlog(n)

)ψ +mDqqdiv

(J

n

)ψ,

con ∇p = 1n∇p, como razonamos al principio de la seccion. Observese que en este

caso la hipotesis (2.35) ya no es necesaria.

Capıtulo 3

Validacion numerica de laecuacion de

Schrodinger–Langevin condifusion

Este capıtulo esta dedicado a la exploracion numerica del modelo SLD, con elobjetivo de conocer la dinamica que describe y estudiar el grado de aproximacionque representa respecto de la fenomenologıa fısica de WFP. En primer lugar ana-lizaremos las hipotesis establecidas en el capıtulo anterior, que hacen mas tratableel modelo y permiten calcular familias de soluciones particulares para dichos casossimplificados, basandonos en la formulacion rotacionalmente simetrica cuando seaposible.

Dedicaremos la segunda seccion del capıtulo a establecer la solucion exacta de laecuacion de Wigner–Fokker–Planck para la partıcula libre y el oscilador armonicoy aprovechar los observables asociados a dicha solucion, ası como la hidrodinamicadel modelo, para calcular el valor exacto del potencial de autointeraccion U y ob-tener ası una ecuacion lineal que mejora SLD, aproximando con bastante precisionla fısica determinada por WFP al nivel de las densidades locales. Todos los calcu-los realizados en este capıtulo se haran en un sistema de unidades adecuado a laobservacion de la dinamica del sistema, que estableceremos a continuacion.

3.1. Soluciones particulares

El primer paso a dar para conocer la dinamica asociada al modelo SLD es in-tentar conocer propiedades que se obtengan de forma sencilla. Con esta intencionanalizaremos el comportamiento de algunas soluciones de nuestra ecuacion asocia-das a acciones externas y autointeracciones nulas (V = U = 0) para los regımenesJ = ±Dqq∇n y J ≡ 0, aprovechando las reescrituras simplificadas de SLD quehemos derivado en el Capıtulo 2. Con el objeto de poder observar en una escala

48 3. Validacion numerica de SLD

apropiada la dinamica del sistema (los efectos cuanticos son observables en tiemposcortos y distancias pequenas) trabajaremos en unidades en las que ~ = m = kB = 1,con lo que alteramos los patrones de tiempo y de longitud:

1s = 7,63771 ps y 1m = 0,0297349µm . (3.1)

En este nuevo sistema de unidades los coeficientes que determinan el modelo (de-finidos en (2.2)) adquieren la siguiente forma normalizada:

λ =η

2, Dpp = ηT0 , Dpq =

ηΩ0

12πT0, Dqq =

η

12T0.

Utilizaremos este mismo reescalado en todos los calculos numericos que seran lle-vados a cabo, ası como en las figuras que presentamos.

3.1.1. J = Dqq∇n

En este caso, la ecuacion de Schrodinger que rige el comportamiento del sistemaviene dada por (2.48). En particular la densidad local es independiente del tiempo,lo que nos permite descomponer la funcion de onda en forma polar del siguientemodo

ψ(t, x) = zeiσ(t,x) , (3.2)

donde z = z(x) no depende del tiempo, lo que implica de forma sencilla que J =n∇σ y, en consecuencia,

σ(t, x) = Dqqlog(n(x)) + ν ,

donde ν es una funcion que depende solo del tiempo. Este calculo nos proporcionaperfiles de la forma

ψ(t, x) = z(x) expiDqqlog(z(x)2) + iν(t)

como candidatos a soluciones de (2.48). Sustituyendo en la ecuacion y teniendo encuenta que n = z2, obtenemos

−ν′(t)ψ = −(1

2+ iDqq

)(2iDqq

|∇z|2z2

+∆z

z

)ψ + Dqq(−2Dqq + i)

( |∇z|2z2

+∆z

z

)ψ + (2Dpq + ηDqq)log(z2)ψ .

Multiplicando ahora por el factor e−iDqqlog(z(x)2)−iν(t) y reordenando terminos,deducimos que

−ν′(t)z = −1

2(1 + 4D2

qq)∆z + (2Dpq + ηDqq)log(z2)z . (3.3)

Observese que el segundo miembro no varıa con el tiempo, por lo que ν′′ = 0, luegoν(t) = −ωt+ k (ω, k ∈ R) y (3.3) adopta la siguiente forma

ωz = −1

2(1 + 4D2

qq)∆z + (2Dpq + ηDqq)log(z2)z , (3.4)

3.1. Soluciones particulares 49

ecuacion cuyas soluciones son todas reales ya que ω ∈ R. En particular

z ≡ exp

ω

2(2Dpq + ηDqq)

(3.5)

es una solucion constante. Por tanto, la familia uniparametrica de funciones deonda

ψω(t, x) = exp

(1 + 2iDqq)ω

2(2Dpq + ηDqq)− iωt

son soluciones estacionarias de (2.48) con densidad constante.En este punto es destacable senalar la ausencia de soluciones con perfil gaussiano

(o gaussones, vease [17]). De hecho, la busqueda de perfiles de la forma (3.2) conmodulo de tipo exponencial

z(x) = eA|x|2+B , A,B ∈ R ,

como soluciones de esta ecuacion, implica irremediablemente que Re(A) > 0. Dehecho, tenemos

∆z =(2dA+ 4A2|x|2

)eA|x|2+B ,

que nos permite reescribir la ecuacion (3.4) de la siguiente forma

ω + dA(1 + 4D2qq) − 2(2Dpq + ηDqq)B = 2A

(2Dpq + ηDqq −A(1 + 4D2

qq))|x|2 ,

de donde se concluye que

A =2Dpq + ηDqq

1 + 4D2qq

, B =d

2+

ω

2(2Dpq + ηDqq),

luego

ψ(t, x) = exp Λ(x) + i (2DqqΛ(x) − ωt)es el perfil solitonico buscado, donde hemos denotado

Λ(x) =2Dpq + ηDqq

1 + 4D2qq

|x|2 +ω

2(2Dpq + ηDqq)+d

2. (3.6)

Es posible, ademas, encontrar soluciones no triviales de (3.4) que sean funcionesdel polinomio simetrico de primer orden s = x1 + . . .+xN . De hecho, considerando

z(x) = y(s) , s =

N∑

j=1

xj ,

y basandonos de nuevo en (3.4), es sencillo observar que y satisface

ωy = −d2(1 + 4D2

qq)y′′ + (2Dpq + ηDqq)ylog(y2) . (3.7)


Tomando entonces y(s) = Csβ +D con C,D, β ∈ R, se deduce necesariamente que

β = 2 , C =2Dpq + ηDqq

d (1 + 4D2qq)

, D =1

2+

ω

2(2Dpq + ηDqq),

lo cual da lugar a la siguiente familia de soluciones de (2.48)

ψ(x1, . . . , xN , t) = exp

Θ( N∑

i=1

xi

)+ i

(2DqqΘ

( N∑

i=1

xi

)− ωt

),

donde Θ(x) = Λ(x/√d) + (1 − d)/2 con Λ dada por (3.6).

Ademas, para encontrar una relacion entre y y su derivada, basta con multiplicar(3.7) por y′ e integrar respecto de s, obteniendo

(y′)2 − 2(2Dpq + ηDqq)

d(1 + 4D2qq)

y2log(y2) +2(2Dpq + ηDqq + ω)

d(1 + 4D2qq)

y2 = k ∈ R .

Esta ecuacion tiene dos puntos de silla en (±y0, 0), donde y0 es la solucion constantede (3.4) que nos proporciona (3.5). Podemos eliminar el parametro ω de esta ultimaigualdad usando el cambio de escala y = y0Y . La ecuacion para Y es

(Y ′)2 − 2(2Dpq + ηDqq)

d (1 + 4D2qq)

Y 2(log(Y 2) − 1

)= K ∈ R . (3.8)

Observese que mediante este reescalado hemos normalizado la ecuacion, de modoque los puntos de silla de (3.8) son ahora (±1, 0). En la Figura 3.1 mostramos eldiagrama de fases asociado a la version tridimensional de (3.8), que reproduce paratodas las dimensiones la misma dinamica que en el caso unidimensional (puedenconsultarse detalles sobre el comportamiento unidimensional en [80]).

Soluciones radiales

Buscamos ahora soluciones radiales (rotacionalmente simetricas) de (3.4). Par-tiendo de la condicion

z(x) = ϕ(r) , r = |x|,tenemos

∆z =d− 1

rϕ′(r) + ϕ′′(r) ,

y (3.4) adopta la siguiente forma

1 + 4D2qq

2

(ϕ′′ +

d− 1

rϕ′)− (2Dpq + ηDqq)ϕlog(ϕ2) + ωϕ = 0 .

Normalizando mediante el mismo reescalado de antes,

ϕ(r) = exp

ω

2(2Dpq + ηDqq)

φ(r) ,


Y

Y ’

−1 0 1 2

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

Y

Y ’

−1 0 1 2

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

Y

Y ’

−1 0 1 2

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

Y

Y ’

−1 0 1 2

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

Figura 3.1: De arriba abajo y de izquierda a derecha: los tres primeros dibujosmuestran los diagramas de fases asociados a (3.8) para d = 3 y valores tıpicos de loscoeficientes del modelo en la fenomenologıa de Dekker (vease [40]) para el regimende altas temperaturas [98]: T0 = 2, Ω0 = 1 y λ = 0,5, 0,15 y 0,05 respectivamente,en el sistema de unidades definido en (3.1). El ultimo grafico describe el mismodiagrama asociado a (3.8) pero con signo contrario delante del termino logarıtmico,identicos valores de T0 y Ω0 y constante de acoplamiento λ = 0,5 .


20 40 60 80

0

0.25

0.5

0.75

r

φ (r

)

10 20 30 40

10

20

30

40

50

r

φ (r

)Figura 3.2: Soluciones numericas de la ecuacion (3.9) para el caso tridimensional(d=3) en un regimen de temperaturas altas: T0 = 2, Ω0 = 1 y acoplamiento debily creciente: λ = 0,5 (lınea de puntos y rayas), λ = 0,15 (lınea continua) y λ = 0,05(lınea de rayas), en el sistema de unidades definido en (3.1). De izquierda a derecha:dato inicial φ(0) = 0,75, φ′(0) = 0 y φ(0) = 1,85, φ′(0) = 0 respectivamente.

obtenemos la ecuacion que satisfacen todas las soluciones radiales de (3.4):

1 + 4D2qq

2

(φ′′ +

d− 1

rφ′)− (2Dpq + ηDqq)φlog(φ2) = 0 . (3.9)

La presencia del factor (d−1)/r hace que la ecuacion (3.9) sea singular en el origen,lo que genera una dinamica esencialmente diferente a la unidimensional (donde esefactor no aparece, ya que es consecuencia de la escritura del laplaciano en fun-cion de r). Esto implica, en particular, que los diagramas de fases mostrados en laFigura 3.1 no describen el comportamiento de las soluciones radiales. Para evitardicha singularidad en los calculos debemos imponer φ′(0) = 0, condicion que nospermite resolver numericamente (3.9) encontrando (i) soluciones de crecimiento ex-ponencial para |φ(0)| > 1 o (ii) perfiles oscilatorios que decaen a cero en infinito,en el caso de que |φ(0)| < 1. En esta ultima familia estan contempladas las uni-cas soluciones estacionarias (con densidad independiente del tiempo) de SLD queson matematicamente consistentes (en el sentido de Lp(Rd)). Mostramos estas dosclases de soluciones en la Figura 3.2 para diferentes niveles de acoplamiento.

3.1.2. Densidad de corriente nula (J = 0)

Analizamos ahora el regimen J = 0, que implica ∇S = 0 y en consecuenciaS = 2Dqqσ(t). Por simplicidad, y al igual que antes, vamos a suponer V = 0y estado puro (U = 0), que dan lugar (vıa (2.50)) a la siguiente ecuacion deSchrodinger

i∂tψ = −1

2∆ψ +

iDqq

2

(∆n

n

)ψ + 2Dpqlog(n)ψ . (3.10)


En este caso la ecuacion de continuidad de Fokker–Planck se reduce a una ecua-cion del calor con difusion gobernada por el coeficiente Dqq, ∂tn = Dqq∆n, cuyassoluciones (para el caso d = 3) son conocidas y vienen dadas por

n(t, x) = (n0 ∗K(·, t))(x) =1

(4πDqqt)3/2

∫

R3

n0(y) exp

(−|x− y|2

4Dqqt

)dy , (3.11)

donde n0(x) = |ψ0(x)|2 es la densidad local inicial y K es el nucleo de la ecuaciondel calor tridimensional. Esto hace que la ecuacion (3.10) sea, en la practica, lineal.De hecho, si buscamos soluciones de la forma

ψ(t, x) =√n(t, x) eiσ(t) , (3.12)

deducimos que

σ′(t) =1

4Dqq

∂tn

n− 1

8

|∇n|2n2

− 2Dpqlog(n) .

Integrando ahora esta ultima ecuacion en el intervalo [0, t], encontramos una ex-presion explıcita de σ que nos conduce a soluciones de (3.10) con el siguiente perfil:

ψ =√n exp

i

4Dqqlog

(n

n0

)− i

∫ t

0

(1

8

|∇n(s)|2n(s)2

+ 2Dpqlog(n(s))

)ds

,

donde n(t, x) viene dada por (3.11) para t > 0 y n(0) = n0. En la Figura 3.3 mos-tramos ejemplos de la evolucion de dicho perfil con dato inicial rotacionalmentesimetrico (que implica comportamiento radial para todo tiempo), donde la carac-terıstica mas destacada es la lentitud de la difusion (observese que el valor de Dqq

es pequeno para valores admisibles de las constantes).

3.1.3. J = −Dqq∇n

Estudiamos a continuacion el caso en que la corriente del sistema sigue la ley deFick J = −Dqq∇n. Este regimen no constituye un estado estacionario, aunque sifijamos (al igual que en los casos anteriores) V = U = 0, podemos obtener algunassoluciones exactas de la ecuacion de Schrodinger resultante

i∂tψ = −1

2∆ψ +Dqq

(Dqq +

i

2

)∆n

nψ + (2Dpq − ηDqq)log(n)ψ. (3.13)

La evolucion temporal de n queda de nuevo descrita por una ecuacion del calor concoeficiente de difusion 2Dqq, cuyas soluciones se pueden expresar como convolucionde la densidad local inicial con el nucleo del calor. Para encontrar una funcion deonda que resuelva (3.13) comenzamos, al igual que antes, suponiendo que

ψ(t, x) =√n(t, x) eiσ(t,x) .

Es sencillo deducir de esta expresion y del conocimiento que tenemos de la densidadde corriente que

σ(t, x) = −Dqq log(n(x)) + ν(t) .


1 2 3 4

0.25

0.5

0.75

1

r

|ψ (

r)|

1 2 3 4

0.25

0.5

0.75

1

r

|ψ (

r)|

Figura 3.3: Evolucion temporal de los perfiles radiales tridimensionales gobernadospor la ecuacion (3.10) con T0 = 2, Ω0 = 1 y λ = 0,15 en el sistema de unidadesdefinido en (3.1). De izquierda a derecha: condicion inicial con densidad local gaus-siana |ψ0(x)|2 = exp(−|x|2/2) y ψ0(x) = χR3\B1

respectivamente, donde χ denotala funcion caracterısitica de un conjunto y B1 es la bola unidad centrada en elorigen. Ambas evoluciones estan representadas en los mismos tiempos: t = 0 (lıneacontinua), t = 6 (lınea rayada), t = 40 (lınea de puntos y rayas) y t = 120 (lıneade puntos).

1 2 3 4

0.25

0.5

0.75

1

r

|ψ (

r)|

1 2 3 4

0,25

0.5

0.75

1

r

|!(r)|

Figura 3.4: Evolucion temporal de los perfiles radiales tridimensionales gobernadospor la ecuacion (3.13) en el mismo regimen que la Figura 3.3 y en el sistemade unidades fijado en (3.1). De izquierda a derecha: dato inicial ψ0(x) = χB1 yψ0(x) =

√1 − |x|2 respectivamente, ambos representados en los tiempos t = 0

(lınea continua), t = 2 (lınea rayada), t = 12 (lınea de puntos y rayas) y t = 60(lınea de puntos).

3.2. Comparativa con WFP vıa potenciales linealizados 55

Usando (3.10) y haciendo calculos rutinarios se deduce la siguiente ecuacion dife-rencial para ν:

ν′(t) =

(Dqq

2+

1

8Dqq

)∂tn

n−(

1

8+D2qq

2

)|∇n|2n2

− (2Dpq − ηDqq)log(n) .

Finalmente, integrando respecto del tiempo obtenemos ν y de ahı la siguiente so-lucion de (3.13) para el dato inicial ψ0:

ψ =√n exp

−(Dqq

2+

1

8Dqq

)log

(n

n0

)

−∫ t

0

(1 + 4D2

qq

8

|∇n(s)|2n(s)2

+ (2Dpq − ηDqq)log(n)

)ds

,

donde

n0(x) = |ψ0(x)|2 , n(t, x) =1

(8πDqqt)3/2

∫

R3

n0(y) exp

(−|x− y|2

8Dqqt

)dy .

La dinamica asociada a la ecuacion (3.13) es bastante similar a la difusion estandar(vease la Figura 3.4). Es destacable el hecho de que, a pesar de que el signo deltermino logarıtmico podrıa cambiar (cuando λ > 1/π), este hecho no alterarıa elcomportamiento observable (al nivel de la densidad local n), ya que en la practicasolo perturbarıa la fase de las soluciones.

3.2. Comparativa con Wigner–Fokker–Planck vıapotenciales linealizados

En esta seccion investigaremos la dinamica unidimensional asociada a la ecua-cion SLD y compararemos los resultados obtenidos con aquellos que provienen deresolver de forma exacta la ecuacion de Wigner–Fokker–Planck en casos en los queesto es posible. En una primera aproximacion vamos a considerar la evolucion de lapartıcula libre (V = 0) y del oscilador armonico (V (x) = 1

2ω20x

2, donde ω0 denotala frecuencia de dicho oscilador) con niveles de acoplamiento del sistema que lohacen sobreamortiguado e infraamortiguado, y aprovecharemos la solucion exactade WFP y el sistema hidrodinamico derivado en el capıtulo anterior para obtener laforma funcional concreta de los terminos no lineales y, en particular, del potencialU en SLD. De esta manera podremos establecer una comparativa entre la solucionexacta de la ecuacion de Wigner y el resultado numerico de una linealizacion denuestro modelo de Schrodinger que proporcionan estas soluciones. Efectuaremostodos los calculos en el sistema de unidades establecido en la seccion anterior.


3.2.1. Soluciones exactas de la ecuacion de Wigner–Fokker–Planck: partıcula libre y oscilador armonico

Como la ecuacion de Wigner–Fokker–Planck es lineal, es posible resolverla deforma teorica para potenciales externos sencillos, ya que podemos aplicar la trans-formada de Fourier y obtener la solucion fundamental W0 de esta ecuacion. Essencillo entonces obtener una expresion general de la solucion del problema de va-lores iniciales asociado a WFP para una condicion inicial arbitraria WI en terminosde W0 y WI . Valiendonos de esta formula, calcularemos las densidades local y decorriente que describen de manera exacta la hidrodinamica de WFP con dato inicialmaxwelliano, que seran de utilidad para linealizar SLD. Lo primero que haremossera construir las soluciones explıcitas de la ecuacion de WFP para la partıcula li-bre y el oscilador armonico sin mostrar calculos detallados, que pueden consultarseen el apendice B.

La partıcula libre

El ejemplo mas sencillo de interaccion disipativa sistema–bano termico es la queno se ve sometida a la accion de ningun potencial externo. En este caso el terminopseudo–diferencial en WFP desaparece y obtenemos

∂tW + ξ ∂xW = Dpp∂2ξξW + 2λ∂ξ(ξW ) + 2Dpq ∂

2x,ξW +Dqq ∂

2x,xW. (3.14)

En nuestro sistema de unidades (y poniendo λ en lugar de η como parametro basico)los coeficientes vienen dados por

Dpp = 2λT0 , Dpq =λΩ0

6πT0, Dqq =

λ

6T0.

Tras aplicarle transformada de Fourier, calcular las caracterısticas, resolver la ecua-cion resultante e invertir las operaciones mencionadas, podemos escribir el propa-gador asociado a esta ecuacion de la siguiente manera:

W0(x, ξ, t) = (4π2d(t))−12 exp

− c(t)

d(t)x2 +

b(t)

d(t)xξ − a(t)

d(t)ξ2, (3.15)

donde

a(t) =1

4λ2

Dpp + 4λ2Dqq + 4λDpq + (1 − e−2λt)

(Dpp

4λ(e−2λt − 3) − 2Dpq

)

b(t) =1

4λ2(1 − e−2λt)

(4λDpq +Dpp(1 − e−2λt)

), (3.16)

c(t) =Dpp

4λ(1 − e−4λt) ,

y

d(t) = 4a(t)c(t) − b(t)2 > 0 ∀ t > 0 .


De aquı se deduce que la unica solucion de (3.14) con condicion inicial WI(x, ξ)viene dada por

W (x, ξ, t) =

∫

R2

W0

(x− z −

(1 − e−2λt

2λ

)v, ξ − e−2λtv, t

)WI(z, v) dz dv .

(3.17)Por tanto, si elegimos el perfil maxwelliano

WI(x, ξ) =1

πe−x

2−ξ2 (3.18)

como condicion inicial, es sencillo calcular los dos primeros momentos (respecto deξ) obteniendo de esta manera la densidad local y la densidad de corriente asociadasa estas soluciones:

n(t, x) =

√e(t)

πexp−e(t)x2 , J(t, x) = f(t)x exp−e(t)x2 , (3.19)

con

e(t) =4λ2

4λ2(4a(t) + 1) + (1 − e−2λt)2, f(t) =

4λb(t) + e−2λt(1 − e−2λt)

2√πλ

e(t)32 .

El oscilador armonico

El hamiltoniano asociado a la evolucion del oscilador armonico cuantico vie-ne dado por H = − 1

2

(∂2xx − ω2

0x2). Este modelo se puede resolver exactamen-

te en la formulacion de Wigner incluso si tenemos en cuenta los terminos delnucleo de Fokker–Planck, proporcionando ası una formulacion del oscilador armoni-co cuantico amortiguado (vease por ejemplo [55, 56, 65, 99, 116]). Podemos calcular,por tanto, el propagador de la ecuacion de WFP con termino pseudo–diferencialΘ~ = −ω2

0(x · ∇ξ)W , obteniendo identica forma funcional para la solucion funda-mental (formula (3.15)) donde los coeficientes vienen dados ahora por

a(t) =1

(λ+ − λ−)2

a(t)

(λ+e

λ+t − λ−eλ−t)2

+ c(t)(eλ+t − eλ−t

)2

+ b(t)(λ+e

2λ+t + λ−e2λ−t − 2λe2λt

)e−4λt ,

b(t) = − 1

(λ+ − λ−)2

ω2

0 a(t)(λ+e

2λ+t + λ−e2λ−t − 2λe2λt

)

+ c(t)(λ−e

2λ+t + λ+e2λ−t − 2λe2λt

)(3.20)

+ b(t)(2ω2

0

(e2λ+t + e2λ−t

)+ (λ+ + λ−)2e2λt

)e−4λt ,

c(t) =1

(λ+ − λ−)2

a(t)

(eλ+t − eλ−t

)2+ c(t)

(λ+e

λ−t − λ−eλ+t)2

+ω20 b(t)

(λ+e

2λ−t + λ−e2λ+t − 2λe2λt

)e−4λt ,


yd(t) = 4a(t)c(t) − b(t)2 > 0 ∀ t > 0 .

En estas expresiones hemos denotado λ± = λ±√λ2 − ω2

0 y

a(t) =λ2

+

2λ−

[Dqq +

λ−ω2

0

(λ−ω2

0

Dpp + 2Dpq

)](e2λ−t − 1)

+λ2−

2λ+

[Dqq +

λ+

ω20

(λ+

ω20

Dpp + 2Dpq

)](e2λ+t − 1)

− 1

λ(2ω2

0Dqq +Dpp + 4λDpq)(e2λt − 1) ,

b(t) =1

λ(2ω2

0Dqq +Dpp + 4λDpq)(e2λt − 1)

−(ω2

0

λ+Dqq +

λ+

ω20

Dpp + 2Dpq

)(e2λ+t − 1)

−(ω2

0

λ−Dqq +

λ−ω2

0

Dpp + 2Dpq

)(e2λ−t − 1) ,

c(t) =ω2

0

2

(ω2

0

λ+Dqq +

λ+

ωDpp + 2Dpq

)(e2λ+t − 1)

+

(ω2

0

λ−Dqq +

λ−ω2

0

Dpp + 2Dpq

)(e2λ−t − 1)

− 1

λ(2ω2

0Dqq +Dpp + 4λDpq)(e2λt − 1)

.

Notese que en el caso infraamortiguado se tiene que λ2−ω20 < 0, por lo que debemos

entender la raız cuadrada en el sentido de los numeros complejos (como numeroimaginario puro) de manera que los calculos son siempre validos teniendo presenteeste convenio. Ası, podemos calcular la unica solucion de

∂tW + ξ ∂xW − ω20 x∂ξW = Dpp∂

2ξξW + 2λ∂ξ (ξW ) + 2Dpq∂

2xξW +Dqq ∂

2xxW,

que viene dada por

W (x, ξ, t) =

∫

R2

W0

(x−Azz −Avv, ξ −Bzz −Bvv, t

)WI(z, v) dz dv , (3.21)

donde las traslaciones en posicion y velocidad de la solucion fundamental quedanahora determinadas por

Az(t) =1

λ+ − λ−

(λ+e

−λ−t − λ−e−λ+t

),

Av(t) =1

λ+ − λ−

(e−λ−t − e−λ+t

),

Bz(t) =ω2

0

λ+ − λ−

(e−λ+t − e−λ−t

),

Bv(t) =1

λ+ − λ−

(λ+e

−λ+t − λ−e−λ−t

).


Como consecuencia, es sencillo comprobar que las densidades local y de corrienteasociadas a un dato inicial maxwelliano WI(x, ξ) = 1

π e−x2−ξ2 vienen dadas respec-

tivamente por

n(t, x) =

√e(t)

πexp

−e(t)x2

, (3.22)

J(t, x) =

√e(t)

π

(e(t) g(t) +

b(t)

2a(t)

)x exp

−e(t)x2

,

donde

e(t) =1

4a(t) +Az(t)2 +Av(t)2,

g(t) = Az(t)Bz(t) +Av(t)Bv(t) −b(t)

2a(t)

(Az(t)

2 +Av(t)2).

3.2.2. Linealizacion de SLD y resultados numericos

Como ya discutimos en el Capıtulo 2, la interaccion que describe la ecuacion deWFP puede causar que una funcion de onda ψI evolucione con el tiempo hacia unestado mixto debido a la accion del entorno sobre el sistema. Esta influencia quedadescrita en la familia de ecuaciones SLD por el potencial efectivo de autointeraccionU , que a su vez esta determinado de forma teorica por la varianza de las velocidadesentre los distintos estados que conforman la funcion de Wigner del sistema, y enultima instancia se puede escribir en terminos de los tres primeros momentos envelocidad de W . En los casos V = 0 y V (x) = − 1

2ω20x

2 con condicion inicialgaussiana

ψI(x) = π−1/4e−x2/2, (3.23)

(funcion de onda tal que W[ρI ] = WI , donde ρI(x, y) = ψI(x)ψI(y) y WI es el datoinicial de las soluciones de WFP calculadas en el apartado anterior), podrıamosaprovechar esta relacion para establecer U de forma “exacta” y testar el caso masfiable del modelo SLD. El calculo del tensor T es sin embargo bastante arduo yresulta poco operativo obtener el potencial de autointeraccion de esta manera. Noobstante, bajo las hipotesis del modelo y usando las ecuaciones (2.36)–(2.37), dichotermino debe verificar la relacion

∂tS +1

2Dqq(∂xS)2 = −2Dqq (U +Q+ 2Dpq log(n)) − 2λS + 2DqqF +Dqq∂

2xxS,

(3.24)donde recordamos que Q es el potencial de Bohm definido en (2.14) en el sistemade unidades establecido al principio de la seccion. Como conocemos n y J dadosrespectivamente por (3.19) y (3.22), podemos aprovechar que estamos en el casounidimensional para definir

S(t, x) = 2Dqq

∫ x

0

J(t, y)

n(t, y)d y,


que satisface (2.34) y nos permite conocer todos los terminos de (3.24) y, en con-secunecia, calcular U en funcion de las densidades local y de corriente:

U = Q+2Dpq log(n)+1

2Dqq

(J

n

)2

+

∫ ∂t

(J

n

)− 2λ

J

n− ∂xn

n∂x

(J

n

)+∂x

(J

n

).

Insertando dicha U y sustituyendo en SLD cada uno de los terminos no linealespor sus valores en funcion de n y J :

S = 2Dqq

∫J

ndy, log(n),

∂2xxn

n, F =

∫∂xn

n∂2xxSdx y ∂x

(Jn

),

podemos resolver numericamente la ecuacion “linealizada”

i∂tψ = −1

2∂2xxψ + p(t, x)ψ, (3.25)

donde p(t, x) es un polinomio complejo de grado 2 en x.En el caso V = 0, p(t, x) esta determinado por

p(t, x) = Dpq

(log(e(t)) − log(π)

)−Dqq

(√π

e(t)f(t) + ie(t)

)

+

λ

√π

e(t)f(t) − 2Dpqe(t) + 2Dqqe(t)

(√π

e(t)f(t) + ie(t)

)x2

+

(e(t)

π

)1/3

e− 23 e(t) x

2. (3.26)

Eligiendo el dato inicial ψI de (3.23) y condiciones de Dirichlet homogeneas en lafrontera

ψ(−15, t) = ψ(15, t) = 0 , (3.27)

podemos resolver numericamente (3.25) y comparar los resultados obtenidos con losobservables asociados a la ecuacion de Wigner. En las Figuras 3.5 y 3.6 mostramosla comparativa entre las densidades locales de ambas para los siguientes regımenesde acoplamiento debil: (T0 = 2,Ω0 = 1, λ = 0,15) y (T0 = 2,Ω0 = 1, λ = 0,05).Dichos conjuntos de valores satisfacen la condicion de Lindblad (2.4), que puede re-escribirse (en nuestro sistema de unidades) en terminos de las constantes originalesde interaccion como

Ω0

T0≤

√3π

o bien η = 0 (el caso trivial, sin acoplamiento). Esta relacion se satisface paratemperaturas medias y altas.

Para el oscilador armonico podemos actuar de identica forma a la descrita arribay obtenemos el potencial complejo

q(t, x) = Dpq

(log(e(t)) − log(π)

)−Dqq e(t) (h(t) + i) +

(e(t)

π

) 13

e− 23 e(t) x

2

+ e(t)2λh(t) − 2Dpq

e(t)− 2Dqq(h(t) − i) +

ω20

2

x2, (3.28)


dondeh(t) = Az(t)Bz(t) +Av(t)Bv(t) + 2b(t) .

Podemos resolver entonces la ecuacion de Schrodinger lineal correspondiente

i∂tψ = −1

2ψxx + q(t, x)ψ (3.29)

con el mismo dato inicial que antes y condiciones de Dirichlet homogeneas en lafrontera (cf. (3.23) y (3.27)).

ψ(−15, t) = ψ(15, t) = 0 . (3.30)

En este caso hemos considerado ω20 = 0,01, que responde al caso sobreamortiguado

con λ = 0,15 (Figura 3.7) y el oscilador infraamortiguado para λ = 0,05 (Figura3.8).

!4 !2 0 2 40

0.2

0.4

0.6

x

n(x,t)

!4 !2 0 2 40

0.2

0.4

0.6

x

n(x,t)

!4 !2 0 2 40

0.2

0.4

0.6

x

n(x,t)

!4 !2 0 2 40

0.2

0.4

0.6

x

n(x,t)

Figura 3.5: De arriba abajo y de izquierda a derecha: representaciones de la den-sidad local para la solucion exacta de WFP en el caso de la partıcula libre (lıneacontinua) y para la solucion numerica de (3.25)–(3.27) (lınea de puntos) con da-tos iniciales dados por (3.18) y (3.23) respectivamente, y constantes de interaccionλ = 0,15, Ω0 = 1 y T0 = 2, en los tiempos t = 0,5, t = 1, t = 1,5 y t = 2.


!4 !2 0 2 40

0.2

0.4

0.6

x

n(x,t)

!4 !2 0 2 40

0.2

0.4

0.6

x

n(x,t)

!4 !2 0 2 40

0.2

0.4

0.6

x

n(x,t)

!4 !2 0 2 40

0.2

0.4

0.6

x

n(x,t)

Figura 3.6: De arriba abajo y de izquierda a derecha: representaciones de la den-sidad local para la solucion exacta de WFP en el caso de la partıcula libre (lıneacontinua) y para la solucion numerica de (3.25)–(3.27) (lınea de puntos) con da-tos iniciales dados por (3.18) y (3.23) respectivamente y constantes de interaccionλ = 0,05, Ω0 = 1 y T0 = 2, en los instantes de tiempo t = 0,5, t = 1, t = 1,5 yt = 2.


!4 !2 0 2 40

0.2

0.4

0.6

x

n(x,t)

!4 !2 0 2 40

0.2

0.4

0.6

x

n(x,t)

!4 !2 0 2 40

0.2

0.4

0.6

x

n(x,t)

!4 !2 0 2 40

0.2

0.4

0.6

x

n(x,t)

Figura 3.7: De arriba abajo y de izquierda a derecha: representacion de las densi-dades locales para la solucion exacta de la ecuacion de WFP en el caso del osci-lador armonico sobreamortiguado (lınea continua) y para la solucion numerica de(3.28)–(3.30) (lınea de puntos) con datos iniciales dados por (3.18) y (3.23) respec-tivamente y constantes de interaccion λ = 0,15, Ω0 = 1 and T0 = 2, en los instantesde tiempo t = 0,5, t = 1, t = 1,5 y t = 2.


!4 !2 0 2 40

0.2

0.4

0.6

x

n(x,t)

!4 !2 0 2 40

0.2

0.4

0.6

x

n(x,t)

!4 !2 0 2 40

0.2

0.4

0.6

x

n(x,t)

!4 !2 0 2 40

0.2

0.4

0.6

x

n(x,t)

Figura 3.8: De arriba abajo y de izquierda a derecha: representacion de las densi-dades locales de la solucion exacta de la ecuacion de WFP en el caso del osciladorarmonico infraamortiguado (lınea continua) y para la solucion numerica de (3.28)–(3.30) (lınea de puntos) con datos iniciales dados por (3.18) y (3.23) respectiva-mente, y constantes de interaccion λ = 0,05, Ω0 = 1 y T0 = 2, en los instantes detiempo t = 0,5, t = 1, t = 1,5 y t = 2.

Capıtulo 4

Existencia de argumento deuna funcion de onda

El objetivo de este capıtulo es analizar con detalle las dificultades matematicasmas importantes que surgen a la hora de encontrar la descomposicion modulo–argumento de una funcion compleja y establecer rigurosamente una definicion pre-cisa y unıvoca (salvo una familia numerable de constantes aditivas) del argumentode una funcion de onda. En la primera seccion discutiremos sobre el planteamientoadecuado, las hipotesis necesarias sobre la geometrıa del dominio y las herramien-tas utilizadas para resolver este problema en dominios acotados tridimensionales.En la segunda seccion probaremos la existencia de una funcion argumento paraun estado cuantico independiente del tiempo, basandonos en la existencia de unpotencial escalar del campo de velocidades asociado a dicho estado. Finalmente,dedicaremos la ultima seccion a obtener la familia de argumentos asociada a lasolucion de una ecuacion de Schrodinger general, lo cual permitira establecer unaconexion rigurosa entre las formulaciones hidrodinamica y de onda de la mecani-ca cuantica y sera de gran utilidad, ademas, para el desarrollo de los proximoscapıtulos, donde estudiaremos distintos modelos asociados a fenomenos cuanticosdisipativos.

4.1. Sobre el problema del argumento

La definicion adecuada y la regularidad del argumento de una funcion de ondacompleja ψ constituye un problema de gran interes en mecanica cuantica, que cobraespecial relevancia cuando se pretende relacionar la ecuacion de Schrodinger con ladescripcion hidrodinamica que proporcionan las leyes de evolucion para la densidadlocal n = |ψ|2 y la fase S asociadas a la funcion de onda. La llave de esta conexiones la descomposion modulo–argumento (forma de Madelung [85] o perfil WKB) deψ

ψ(t, x) = |ψ(t, x)|exp

i

αS(t, x)

, (4.1)

66 4. Existencia de argumento de una funcion de onda

donde α > 0 es la unidad de accion del sistema, habitualmente la constante dePlanck ~ aunque puede tratarse de alguna modificacion relacionada con la fısicadel sistema (como sucede en los Capıtulos 2 y 5, o en [86]), o de un reescalado dela propia ~ [70]. Dicha descomposion no se puede materializar en general, ya que(4.1) pierde sentido cuando ψ = 0 e implica formalmente

S(t, x) =1

2 iαlog

(ψ(t, x)

ψ(t, x)

),

expresion que esta mal definida debido a que el logaritmo neperiano es una funcionmultivaluada en el plano complejo. Nuestro objetivo en este capıtulo es ofrecer untratamiento analıtico adecuado que permita escribir de forma rigurosa la forma deMadelung de una funcion de onda ψ dependiente del tiempo. El primer paso en estadireccion consiste en llevar a cabo una lectura matematica adecuada de (4.1) quenos permita obtener de manera precisa alguna funcion S verificando dicha relacion.No podemos esperar que esta S sea unica, ya que la exponencial compleja es 2π i–periodica, aunque sı serıa deseable encontrar una familia numerable formada portodos los argumentos de ψ. Por ultimo, dado que nuestro analisis esta orientado altratamiento y resolucion de ecuaciones en derivadas parciales, nos interesa tambienestudiar la regularidad de S, problema que estara relacionado con la dependenciacontinua de S respecto de ψ.

A nuestro entender, no existen en la literatura unanimidad en torno a cual esla interpretacion optima de (4.1), aunque algunos autores proponen trabajar consistemas hidrodinamicos cuanticos disipativos aprovechando la equivalencia formalde estos con la siguiente ecuacion de Schrodinger

i~∂tψ = − ~2

2m∆ψ + V (x)ψ + h(n)ψ + S ψ , (4.2)

que contiene el termino no lineal S ψ introducido por Kostin para representar ladinamica de Langevin en la formulacion de onda [73]. En esta formulacion h(n)representa la entalpıa del sistema y depende tan solo de la densidad local n atraves de la presion. Notese, sin embargo, que (4.2) es una ecuacion mal definida (ypor tanto mal planteada) si S no esta determinado de forma precisa. No obstante,para estudiar el sistema determinado por las densidades local y de corriente no esnecesario calcular S explıcitamente. En [7], por ejemplo, se demuestra la existenciade soluciones debiles con energıa finita para el siguiente sistema hidrodinamicocuantico acoplado con el potencial de Poisson V en todo el espacio R

3:

∂tn+ div(J) = 0

∂tJ + div

(J ⊗ J

n

)+ J + ∇p(n) = −n∇(V +mQ)

(p es la presion -escalar-) usando una tecnica de paso fraccionario que permiteobtener las magnitudes n y J resolviendo (4.2) sin el termino de Kostin y pasan-do al lımite de forma adecuada, eludiendo de esta forma el calculo explıcito deS. En [76] se estudia el buen planteamiento y lımite semiclasico de un sistema

4.1. Sobre el problema del argumento 67

de Schrodinger–Poisson similar a (4.2) en dimension arbitraria y en todo el espa-cio tomando gradientes en la ecuacion de Schrodinger, evitando de este modo ladefinicion precisa del termino de friccion. Estos dos esquemas consiguen obtenerinformacion sobre la fısica del sistema pero sin afrontar de forma directa el proble-ma del argumento, por lo que ninguno de ellos resulta satisfactorio para nuestrospropositos. En [71], sin embargo, los autores analizan el problema de tipo mixtoasociado a un sistema de flujo potencial con friccion y acoplado con la ecuacion dePoisson en un dominio acotado Ω, que resuelven aprovechando la equivalencia dedicho sistema con la ecuacion de Schrodinger no lineal (4.2), y dan una interpreta-cion bien definida y unıvoca del termino de friccion: S consiste en la unica soluciondel problema de contorno de tipo Dirichlet asociado a la siguiente ecuacion elıptica

∆S = ~ Im

(div

∇ψψ

)= ~

nIm(ψ∆ψ

)− 2Re

(ψ∇ψ

)Im(ψ∇ψ

)

|ψ|4 , (4.3)

que se obtiene de suponer que el dato inicial esta descompuesto en modulo y ar-gumento. La ecuacion (4.3) es singular en las zonas de vacıo (donde ψ = 0), loque exige trabajar en espacios funcionales separados de cero (como los Hδ presen-tados en el Capıtulo 1). Bajo este punto de vista se obtiene una funcion S conregularidad apropiada, pero dependiente de las condiciones de contorno impuestassobre S, lo que provoca que la fısica asociada al sistema hidrodinamico dependade una eleccion concreta del argumento de la condicion inicial, circunstancia pocodeseable porque el comportamiento observable de un sistema debe ser invarianteante cambios en una variable dinamica no observable como es S (en el Capıtulo 6discutimos esta situacion con mas detalle en el contexto del buen planteamiento deuna generalizacion de la ecuacion de Schrodinger–Langevin (4.2)). Este problemapuede solventarse respetando (4.3) e imponiendo condiciones de tipo Neumann en∂Ω, que son mas adecuadas ya que ψ determina completamente ∇S en terminosde sus densidades local y de corriente asociadas. No vamos a seguir este camino,no obstante, porque conlleva otras dificultades relativas al conocimiento de ∇ψ enla frontera del dominio. Sin embargo, sı podemos exprimir la idea en el interior deΩ. Concretamente, si asumimos que una funcion compleja ψ se puede descomponeren la forma de Madelung (4.1), entonces basta con derivar para comprobar que sesatisface la siguiente relacion

∇S = α Im

(∇ψψ

)= m

J

n, (4.4)

donde las magnitudes n y J representan las densidades local y de corriente asociadasa la funcion de onda ψ, y estan definidas como

n = |ψ|2 y J =α

mIm(ψ∇ψ

). (4.5)

Tomaremos la igualdad (4.4), que en particular implica (4.3) (basta con seleccionarα = ~ y tomar divergencias) y no depende de informacion adicional sobre S, comoecuacion basica para obtener el argumento de la funcion de onda y encontrar ası la


conexion entre las descripciones hidrodinamica y de Schrodinger de la mecanicacuantica.

Bajo este punto de vista reducimos el problema del argumento al calculo de unpotencial escalar asociado al campo vectorial J/n. Dedicaremos la segunda secciondel capıtulo a resolver dicha cuestion en dominios acotados Ω ⊂ R

3, asumiendoconexion simple de Ω y aplicando un resultado general de existencia de potencialesescalares desarrollado en [3]. Este teorema requiere obviamente la irrotacionalidaddel campo, propiedad que se deduce facilmente de la segunda igualdad en (4.4)y del lema de Schwarz. Obtendremos como resultado una unica (salvo constanteaditiva) solucion de (4.4) para cualquier ψ ∈ H2

δ (Ω) dada, que permitira construiruna familia Sll∈Z ⊂ H2(Ω) tal que

ψ(x) =√n(x) exp

i

αSl(x)

, c.t. x ∈ Ω y (4.6)

Sl − Sm = 2πα(l −m) . (4.7)

La hipotesis de conexion simple que imponemos sobre el dominio es de importan-cia crucial para nuestros propositos, ya que sin ella existen funciones regulares yseparadas de cero que no admiten argumentos continuos. Para ilustrar este hechoconsideramos el cilindro (hueco) con base un anillo de radios 0 < r < 1 y 1 y alturala unidad:

Ω = (x, y, z) ∈ R3 : 0 < r2 < x2 + y2 < 1, 0 < z < 1

y la funcion compleja ψ : Ω → C definida por ψ(x, y, z) = x + iy. Es claro que

ψ ∈ C∞(Ω) ∩ L2(Ω) y |ψ| =√x2 + y2 > r > 0 para cualquier (x, y, z) ∈ Ω y,

sin embargo, no existe ningun argumento continuo de ψ en Ω. En efecto, si exis-tiera dicho argumento S : Ω → R, podrıamos considerar R(0; r2, 1) ⊂ C el anillocentrado en cero de radios r2 y 1 y la inclusion ι : R(0; r2, 1) → Ω definida porι(w) = (Re(w), Im(w), 0) de manera que S ι constituirıa un argumento continuode la identidad ψ ι : R(0; r2, 1) → R(0; r2, 1) en un dominio del plano comple-jo con un agujero, algo que es imposible en virtud de los resultados clasicos delanalisis de variable compleja (consultese, por ejemplo, el Teorema 13.18 en [100]).Este ejemplo pone de manifiesto la importancia de la geometrıa de Ω en el proble-ma de la existencia de S. Se pueden obtener, sin embargo, argumentos con ciertautilidad matematica si admitimos que de S contenga saltos de longitud apropiadao trabajamos en espacios funcionales cociente (para eliminar el efecto de dichossaltos). El analisis en esta lınea conlleva multiples dificultades tecnicas, por lo quemantendremos la hipotesis de conexion simple del dominio, que ademas es pocorestrictiva en los casos aplicables (en dispositivos semiconductores, por ejemplo).

Notese, por otra parte, que la segunda igualdad en (4.4) implica que S se puededeterminar, salvo constante aditiva, en terminos de las magnitudes observablesn y J asociadas a la funcion de onda. Demostraremos como consecuencia queun estado cuantico esta, bajo hipotesis razonables, totalmente determinado porestos dos observables, aunque obviamente la funcion de onda no puede estarlo (elCorolario 4.2.5 contiene la formulacion precisa de dicha propiedad). Expondremos

4.2. Argumento de una funcion independiente del tiempo 69

el resto del capıtulo en terminos de dichos observables para poner de manifiestoeste hecho.

Finalmente, es importante senalar que para obtener dependencia continua deS respecto de ψ es necesaria una condicion de normalizacion, que surge utilizandolos resultados desarrollados en [4]. En efecto, la unica S solucion de (4.4) con valormedio nulo en Ω se puede acotar (en norma) por J/n y, por tanto, para cualquierµ ∈ R la aplicacion ψ 7→ S(ψ) sera continua de H2

δ (Ω) en el conjunto

S ∈ H2(Ω) :

∫

Ω

S dx = µ.

Esta propiedad sera util a la hora de encontrar el argumento de una funcion deonda ψ(t, x) dependiente del tiempo. Sin embargo no sera suficiente, ya que pa-ra conseguir regularidad temporal de S trabajaremos con funciones complejas quesean solucion de una ecuacion de Schrodinger dependiente del tiempo. En la ultimaseccion del capıtulo encontraremos una funcion argumento S ∈ XT para cualquierψ ∈ XT

δ con estas caracterısticas (veanse las definiciones de XT y XTδ en el capıtu-

lo 1), que ademas verificara, junto con la densidad n, el sistema hidrodinamicocuantico correspondiente.

4.2. Argumento de una funcion compleja indepen-diente del tiempo

En esta seccion encontraremos la familia de argumentos de una funcion complejaseparada de cero. Como hemos comentado en la seccion anterior, dicha familiaquedara practicamente determinada por las densidades local y de corriente, por loque es necesario establecer las propiedades de regularidad de dichos observables enel espacio H2

δ (Ω) que recogemos en el siguiente lema.


3 un dominio acotado con frontera de clase C1, δ > 0 y ψ ∈ H2δ (Ω).

Entonces, para n = |ψ|2 y J = αm Im

(ψ∇ψ

)se verifica la siguiente identidad:

ψ∇ψ =1

2∇n+

m

αiJ . (4.8)

Como consecuencia

(i)√n ∈ H2

δ (Ω), n ∈ H2δ2(Ω), J,∇n/n, J/n ∈ H1(Ω), y las aplicaciones

ψ 7→√n, n, J,

∇nn,J

n

son localmente lipschitzianas (y en particular continuas) de H2δ (Ω) en el

correspondiente espacio funcional en cada caso.


(ii) ∆ψ ∈ L2(Ω) se puede escribir de la siguiente manera:

∆ψ =

−2m

~2Q− m

α

(m

α

|J |2n2

− idiv(J)

n

)ψ ,

donde Q es el potencial cuantico de Bohm definido como

Q(t, x) = − ~2

2m

∆√n√n.

Demostracion:

La identidad (4.8) es una consecuencia directa de la definicion de J y el hecho deque ∇n = 2Re

(ψ∇ψ

). Para comprobar (i) observamos primero que la regularidad y

dependencia continua de√n respecto de ψ son obvias teniendo en cuenta que

√n =

|ψ|. Ademas, la inmersion de Sobolev H2(Ω) → L∞(Ω) nos permite considerarψ ∈ L∞(Ω). Entonces ψ∇ψ ∈ L2(Ω) y

∇⊗(ψ∇ψ

)= ∇ψ ⊗∇ψ + ψ(∇⊗∇)ψ ∈ L2(Ω) ,

ya que ∇ψ ∈ H1(Ω) ⊂ L4(Ω). Por tanto ∇ψ ⊗∇ψ ∈ L2(Ω) y como consecuenciaψ∇ψ ∈ H1(Ω). Tomando partes reales en (4.8) tenemos que ∇n ∈ H1(Ω), luegon ∈ H2(Ω). Ademas, la hipotesis de separacion de cero |ψ| > δ implica que n ∈H2δ2(Ω). Tomando ahora partes imaginarias, se deduce de forma sencilla que J ∈

H1(Ω). De nuevo, el hecho de que |ψ| > δ nos permite garantizar que ∇n/n, J/n ∈H1(Ω). Para verificar la lipschitzianidad local de las aplicaciones definidas en (i)es suficiente comprobar que para cualesquiera ψ, φ ∈ H2

δ (Ω) se tiene que

‖nψ − nφ‖L2 ≤ C‖nψ − nφ‖L∞ ≤ C∥∥ψ(ψ − φ)

∥∥L∞ +

∥∥φ(φ− ψ)∥∥L∞

≤ C(‖ψ‖H2 + ‖φ‖H2

)‖ψ − φ‖H2 , (4.9)

∥∥ψ∇ψ − φ∇φ∥∥L2 ≤

∥∥ψ(∇ψ −∇φ)∥∥L2 +

∥∥∇φ(ψ − φ)∥∥L2

≤ ‖ψ‖L∞‖∇ψ −∇φ‖L2 + ‖∇φ‖L2‖ψ − φ‖L∞

≤ C(‖ψ‖H2 + ‖φ‖H2

)‖ψ − φ‖H2 , (4.10)

‖∇ ⊗(ψ∇ψ − φ∇φ

)‖L2 ≤

∥∥∇ψ ⊗ (∇ψ −∇φ)∥∥L2 +

∥∥∇φ⊗ (∇ψ −∇φ)∥∥L2

+∥∥ψ∇⊗∇(ψ − φ)

∥∥L2 +

∥∥(ψ − φ)∇⊗∇φ∥∥L2

≤ C(‖ψ‖H2 + ‖φ‖H2

)‖ψ − φ‖H2 , (4.11)

donde C denota varias constantes positivas que dependen solo de Ω. Ademas laaplicacion ψ ∈ H2

δ (Ω) 7→ ψ∇ψ ∈ H1(Ω) es continua, luego ψ 7→ ∇n y ψ 7→ Jtambien lo son. Esto junto con (4.9) implican la propiedad de Lipschitz local de


H2δ (Ω) ∋ ψ 7→ n ∈ H2

δ2(Ω). En este punto la continuidad de ψ 7→ ∇ψ/ψ de H2δ (Ω)

en L2(Ω) es una consecuencia sencilla de la positividad estricta de |ψ|. Ademas,basta con derivar para obtener que∥∥∥∥∇⊗

(∇ψψ

− ∇φφ

)∥∥∥∥L2

≤∥∥∥∥∇⊗∇ψ

ψ− ∇⊗∇φ

φ

∥∥∥∥L2

+

∥∥∥∥∇ψψ

⊗ ∇ψψ

− ∇φφ

⊗ ∇φφ

∥∥∥∥L2

se verifica para cualesquiera ψ, φ ∈ H2δ (Ω). El primer termino del segundo miembro

se puede acotar razonando como en (4.11)

∥∥∥∥∇⊗∇ψ

ψ− ∇⊗∇φ

φ

∥∥∥∥L2

≤ 1

δ2‖φ∇⊗∇ψ − ψ∇⊗∇φ‖L2

≤ 1

δ2

(‖φ‖L∞‖ψ − φ‖H2 + ‖φ‖H2‖ψ − φ‖L∞

)

≤ C

δ2‖φ‖H2‖ψ − φ‖H2 , (4.12)

mientras que el segundo esta mayorado por∥∥∥∥∇ψψ

⊗ ∇ψψ

− ∇φφ

⊗ ∇φφ

∥∥∥∥L2

≤ 1

δ4‖φ2∇ψ ⊗∇ψ − ψ2∇φ⊗∇φ‖L2

≤ C

δ4

‖φ‖2

L∞

(‖∇φ‖L4 + ‖∇ψ‖L4

)‖∇ψ −∇φ‖L4

+ ‖∇φ‖2L4‖ψ + φ‖L∞‖ψ − φ‖L∞

≤ C

δ4‖φ‖2

H2

(‖φ‖H2 + ‖ψ‖H2

)‖ψ − φ‖H2 . (4.13)

Como consecuencia, tenemos que H2δ (Ω) ∋ ψ 7→ ∇ψ/ψ ∈ H1(Ω) es localmente

lipschitziana. Finalmente, tomando partes reales e imaginarias en (4.8) observamosque tanto ψ 7→ ∇n/n como ψ 7→ J/n verifican la condicion de Lipschitz localmenterespecto de las normas H2

δ (Ω) (para ψ) y H1(Ω) (para los cocientes). Esto concluyela prueba de la primera afirmacion del lema.

Para demostrar (ii) usamos que

∇ψ =

(∇n2n

+ im

α

J

n

)ψ ∈ H1(Ω) , (4.14)

la cual es una consecuencia directa de la formula (4.8). Tomando divergencias ysimplificando de forma adecuada obtenemos facilmente la escritura de ∆ψ enun-ciada en (ii). ⊓⊔

Una vez hemos establecido la regularidad de los observables, estamos en condicio-nes de resolver la ecuacion (4.4) para ası obtener un argumento de la funcion deonda ψ con la misma regularidad que la propia ψ. Para ello utilizaremos las ideasdesarrolladas en [3] para la existencia y en [4] para la regularidad y dependenciacontinua (Teoremas 1.2.9 y 1.2.10 en el Capıtulo 1, respectivamente).



3 un dominio acotado, simplemente conexo y con frontera lipschitzianay k ≥ 0 un entero. Entonces se verifican las siguientes afirmaciones:

(i) Para toda funcion compleja ψ ∈ Hk(Ω) tal que Jn ∈ Hk−1(Ω) (donde n y J

estan definidas en (4.5)), existe S ∈ Hk(Ω) solucion de (4.4) y unica salvoconstante aditiva. Ademas, dado µ ∈ R existe una unica Sµ ∈ Hk(Ω) solucionde (4.4) tal que

∫ΩSµ(x) dx = µ, y un unico numero real βµ ∈ [0, 2πα) tal

que la familiaSl := Sµ + βµ + 2πlα , l ∈ Z , (4.15)

verifica (4.6)–(4.7).

(ii) Bajo las hipotesis de (i), existe C = C(Ω, k) > 0 tal que

∥∥Sψ − Sφ∥∥Hk ≤ C

∥∥∥∥Jψnψ

− Jφnφ

∥∥∥∥Hk−1

para cualesquiera Sψ, Sφ soluciones de (4.4) (asociadas a ψ y φ, respectiva-mente) y tales que

∫ΩSψ(x) dx =

∫ΩSφ(x) dx.

Demostracion:

Sea ψ ∈ Hk(Ω) una funcion compleja verificando la hipotesis del apartado (i).Usando la relacion

∇⊗

Im

(∇ψψ

)= Im

((∇⊗∇)ψ

ψ− ∇ψ

ψ⊗ ∇ψ

ψ

),

se deduce que rot(Im(∇ψ/ψ)

)= 0, luego J/n es un campo irrotacional (en virtud

de (4.8)). Aplicando entonces el Teorema 1.2.9 ((iv) ⇒ (iii)) deducimos la existenciade S ∈ D′(Ω), unica salvo constante aditiva, tal que ∇S = m(J/n), luego S es unasolucion distribucional de (4.4). Usando ahora la hipotesis tenemos que J/n ∈Hk−1(Ω), luego aplicando el Teorema 1.2.10 (i), encontramos que S ∈ Hk(Ω).Ademas, para µ ∈ R dado y S ∈ Hk(Ω) una solucion de (4.4) se tiene que Sµ,definida por

Sµ(x) := S(x) +1

|Ω|

(µ−

∫

Ω

S(x) dx

)c.t. x ∈ Ω,

es la unica solucion de (4.4) que satisface∫ΩSµ(x) dx = µ. Finalmente, si definimos

ψS(x) := |ψ(x)| exp

i

αSµ(x)

c.t. x ∈ Ω ,

es claro que ψS ∈ Hk(Ω), ya que

∇ψS =

Re

(∇ψψ

)+ i Im

(∇ψψ

)ψS .


Ademas esta relacion implica ψ∇ψS = ψS∇ψ y como consecuencia ∇(ψ/ψS) = 0,luego existe un factor unitario z ∈ C tal que ψ/ψS ≡ z. Por tanto, existe β ∈ R talque ψ = eiβ/αψS . En particular,

ψ(x) = |ψ(x)| exp

i

α(Sµ(x) + β)

c.t. x ∈ Ω . (4.16)

Por supuesto dicho β no es unico, pero es claro que β1, β2 ∈ R verifican (4.16) siy solo si β1 − β2 = 2παl para cierto l ∈ Z. Entonces es suficiente tomar βµ comoel unico valor en el intervalo [0, 2πα) que cumple (4.16), lo que concluye la pruebadel apartado (i).

Para demostrar la segunda afirmacion usamos el Teorema 1.2.10 (ii), que nosproporciona una constante positiva C = C(Ω, k) > 0 tal que

‖S‖Hk ≤ C‖∇S‖Hk−1

para toda S ∈ Hk(Ω) con valor medio nulo en Ω. Ademas, si Sψ, Sφ son dossoluciones de (4.4) asociadas a las funciones ψ y φ respectivamente, entonces esclaro que Sψ − Sφ ∈ Hk(Ω) y que

∫

Ω

(Sψ(x) − Sφ(x)

)dx = 0.

Finalmente, podemos aplicar el Teorema 1.2.10 (ii) a dicha diferencia y obtener

‖Sψ − Sφ‖Hk ≤ C‖∇(Sψ − Sφ)‖Hk−1 .

Esto culmina la demostracion. ⊓⊔

OBSERVACION 4.2.3 Hemos enunciado el Teorema 4.2.2 en terminos de losobservables n y J , si bien usando la segunda igualdad en (4.4) se puede reemplazarla hipotesis del apartado (i) por ∇ψ

ψ ∈ Hk−1(Ω) y la desigualdad del apartado (ii)por

∥∥Sψ − Sφ∥∥Hk ≤ C

∥∥∥∥Im(∇ψψ

)− Im

(∇φφ

)∥∥∥∥Hk−1

,

obteniendo ası una reescritura dependiente tan solo de la funcion de onda. En estecontexto el Lema 4.2.1 implica que la aplicacion ψ 7→ Sψ es localmente lipschitzianasiempre que se mantenga fijo el valor de la integral de Sψ en Ω. Por otra parte,es claro que en el conjunto H2

δ (Ω) se verifican las hipotesis de este teorema, por loque en particular cualquier funcion de onda en dicho espacio posee un argumentocon regularidad H2.

OBSERVACION 4.2.4 El Teorema 4.2.2 se puede generalizar a dimension darbitraria, sin mas que concretar el sentido que se le debe dar a la igualdad rot(f) =0 para un campo vectorial f en el caso d 6= 3. En dimension d = 1 esta hipotesis es


innecesaria gracias al Teorema Fundamental del Calculo y en cualquier otro caso(incluido el tridimensional) la condicion

∂xjfk = ∂xk

fj , ∀j 6= k

implica la existencia de un potencial escalar para f = (f1, . . . , fd) en dominiossimplemente conexos. Observese, ademas, que el campo vectorial ∇ψ/ψ verificaesta condicion independientemente de la dimension.

En mecanica cuantica se considera que ψ ∈ L2(Ω) y eiνψ representan el mismoestado para cualquier ν ∈ R, por lo que el Teorema 4.2.2 implica que los observablesn y J asociados a una funcion de onda determinan de forma unıvoca el estadocuantico, hecho que ponemos de manifiesto en el ultimo resultado de esta seccion.

Corolario 4.2.5Sea Ω ⊂ R

3 un dominio acotado, simplemente conexo y con frontera lipschitzianay supongamos que existen ψ, φ ∈ H2

δ (Ω) tales que nψ = nφ y Jψ = Jφ en Ω.Entonces existe ν ∈ R tal que ψ = eiνφ. Como consecuencia, las densidades localy de corriente determinan un estado cuantico de forma unıvoca.

Demostracion:

Aplicando el apartado (i) del Teorema 4.2.2 con µ = 0 a ambas funciones, obtene-mos S0(ψ), S0(φ) ∈ H2(Ω) tales que

ψ

φ= exp

i

α

(S0(ψ) − S0(φ) + βµ(ψ) − βµ(φ)

), (4.17)

donde hemos aprovechado que las densidades locales son identicas. Si derivamos elargumento de la exponencial obtenemos

∇S0(ψ) −∇S0(φ) =Jψnψ

− Jφnφ

= 0.

Por tanto, definiendo ν := S0(ψ) − S0(φ) + βµ(ψ) − βµ(φ) ∈ R y usando (4.17)obtenemos ψ = eiνφ, lo que concluye la prueba. ⊓⊔

4.3. Argumento de la solucion de una ecuacion deSchrodinger

El problema de calcular el argumento de una funcion de onda ψ,dependientedel tiempo, que en principio parece previo a la equivalencia rigurosa entre lasformulaciones de Schrodinger e hidrodinamica de la mecanica cuantica, resulta aposteriori equivalente, lo que obliga a imponer una ley de evolucion temporal sobreψ para resolver ambos. Dedicaremos esta seccion a ello suponiendo que la funcionde onda resuelve una ecuacion de Schrodinger de caracter general. El primer pasoen esta direccion es establecer, basandonos en dicha ecuacion, la evolucion temporalde los observables unicamente en terminos de ψ. Trabajaremos en los espacios XT

y XTδ definidos en el Capıtulo 1.

4.3. Argumento de la solucion de una ecuacion de Schrodinger 75


3 un dominio acotado, δ > 0, T > 0, y sea ψ ∈ XTδ una solucion de la

siguiente ecuacion de Schrodinger

i∂tψ = − α

2m∆ψ + Θ[n, J ]ψ , (4.18)

donde Θ : H2δ2(Ω)×H1(Ω) → L2(Ω) es un operador (no lineal) complejo y continuo.

Entonces

n ∈ XTδ2 ,

∇nn

, J ,J

n∈ C

([0, T ], H1(Ω)

)∩ C1

([0, T ], H−1(Ω)

),

y las siguientes identidades

(i) ∂tn+ div(J) = 2Im(Θ[n, J ])n,

(ii) ∂tJ = α2

2m2 Re(ψ2∇

(∆ψψ

))− α

mRe(ψ2∇

(Θ[n,J]ψ

ψ

)),

(iii) ∂t(Jn

)= −∇

(α2

~2mQ+ |J|22n + α

mReΘ[n, J ]),

son satisfechas en el sentido de los espacios funcionales correspondientes.

Demostracion:

La regularidad de las funciones n, J,∇n/n y J/n se deducen del Lema 4.2.1 ydel hecho de que t 7→ ψ(t) es una aplicacion continua en H2(Ω). (i) se obtienetras multiplicar la ecuacion de Schrodinger por −2iψ y tomar partes reales. Comot 7→ Θ[n, J ](t)n(t) y t 7→ div

(J(t)

)son continuas de [0, T ] en L2(Ω), se tiene que

n ∈ C1([0, T ], L2(Ω)).

Probamos a continuacion el apartado (ii). Es una tarea simple comprobar que∂tJ = α

m Im(∂tψ∇ψ + ψ∂t∇ψ

)en el sentido de las distribuciones. Usando (4.18)

podemos reescribir esta identidad de la siguiente manera:

∂tJ =α2

2m2Re(ψ∇∆ψ −∇ψ∆ψ

)+α

mRe(∇ψΘ[n, J ]ψ − ψ∇

(Θ[n, J ]ψ

)),

que se puede simplificar facilmente para adoptar la forma establecida en (ii). Noteseque la regularidad de ψ y Θ[n, J ] permite dar a dicha igualdad (y por tanto a ∂tJ)sentido en H−1(Ω). De acuerdo con las leyes de evolucion conocidas para n y J ,tenemos

∂t

(J

n

)=

α

m

α

2mRe

(ψ

ψ∇(

∆ψ

ψ

))− Re

(ψ

ψ∇(

Θ[n, J ]ψ

ψ

))

+J

n

div(J)

n− 2Im(Θ[n, J ])

.


Calculando ψ

ψ∇(

∆ψψ

)mediante el Lema 4.2.1 (ii) y desarrollando ψ

ψ∇(

Θ[n,J]ψψ

)

se deduce que

ψ

ψ∇(

∆ψ

ψ

)= ∇

(∆n

2n− |∇n|2

4n2

)− m

α

m

α∇( |J |2n2

)+ i∇

(div(J)

n

)

− 2i

n2Im(ψ∇ψ

)∆n

2− |∇n|2

4n− m2

α2

|J |2n

− mi

αdiv(J)

,

ψ

ψ∇(

Θ[n, J ]ψ

ψ

)= ∇

(Θ[n, J ]

)+ Θ[n, J ]

(∇ψψ

− ∇ψψ

).

Tomando partes reales y simplificando de forma adecuada obtenemos que J/nsatisface (iii). Ademas, las propiedades de regularidad de ψ y Θ[n, J ] implican deforma sencilla que

J

n,∇nn

∈ C1([0, T ], H−1(Ω)),

con lo que queda demostrado el teorema. ⊓⊔

Ya estamos en condiciones de establecer rigurosamente la descomposicion deMadelung para una funcion de onda que satisface una ecuacion de Schrodingergeneral. Con este objeto utilizaremos la tercera igualdad del Lema 4.3.1 para definiruna funcion S regular respecto del tiempo que sea solucion de (4.4) en todos losinstantes. Esta S nos permite definir la familia de argumentos de dicha funcion deonda y establecer ası el sistema hidrodinamico cuantico de forma rigurosa.

Teorema 4.3.2Sea Ω ⊂ R

3 un dominio acotado, simplemente conexo y con frontera de clase C1.

Sean ademas δ > 0, T > 0, y ψ ∈ XTδ bajo las hipotesis del Lema 4.3.1. Entonces

existe una familia numerable S(ψ) = Sll∈Z ⊂ XT tal que, para cualquier S ∈S(ψ), se verifican las siguientes afirmaciones:

(i) ∇S(t) = mJn (t) para cualquier t ∈ [0, T ] y

ψ(0, x) =√n(0, x) exp

i

αS(0, x)

c.t. x ∈ Ω. (4.19)

(ii) S satisface la siguiente ley de evolucion

∂tS = −α2

~2Q− m

2

|J |2n2

− αRe(Θ[n, J ]) (4.20)

en el sentido de XT .

Como consecuencia, para todo S ∈ S(ψ) se verifica la descomposicion de Madelung


i

αS(t, x)

∀t ∈ [0, T ], c.t. x ∈ Ω. (4.21)

Ademas S(ψ) es unica, en el sentido de que si S ∈ XT cumple (4.21), entoncesS ∈ S(ψ).


Demostracion:

Consideramos K : H2δ2(Ω) ×H1(Ω) → L2(Ω) definido por

K[n, J ] :=α2

~2Q+

m

2

|J |2n2

+ αRe(Θ[n, J ]) .

Como |ψ| esta separado de cero podemos usar el Lema 4.2.1 para deducir que laaplicacion t 7→ K[nψ, Jψ](t) es continua de [0, T ] en L2(Ω). Por otra parte ψ(0) ∈H2δ (Ω), luego tomando µ = 0 en el apartado (i) del Teorema 4.2.2, tenemos Sψ(0) ∈

H2(Ω) y β0 ∈ [0, 2πα) tales que

ψ(0, x) =√n(0, x) exp

i

αSI(x)

c.t. x ∈ Ω , (4.22)

donde hemos denotado SI = Sψ(0) +β0. A continuacion podemos definir, para cadal ∈ Z,

Sl(t, x) := SI(x)−∫ t

0

K[n, J ](s, x) ds+1

|Ω|

∫

Ω

∫ t

0

K[n, J ](s, y) ds dy+2πα l (4.23)

para todo t ∈ [0, T ] y S(ψ) := Sll∈Z. Veamos que esta familia satisface la tesis delteorema. Para ello tomamos S ∈ S(ψ) arbitrario. Las igualdades (4.23) (evaluadaen t = 0) y (4.22) implican (4.19). Ademas, la continuidad de t 7→ K[nψ, Jψ](t) enL2(Ω) nos permite establecer que S ∈ C1((0, T ), L2(Ω)), por lo que combinando

(4.23) con (4.22) se deduce que ∇S(0) = mJ(0)n(0) . Para ver que se cumple (4.4) en

todos los tiempos, fijamos primero t ∈ [0, T ]. Si t > 0, podemos derivar S paraobtener

∇S(t) = ∇SI(t) −∇(∫ t

0

K[n, J ](s, x) ds

).

Intercambiando el orden de las derivadas y aplicando el Lema 4.3.1 (iii) llegamos a

∇S(t) = ∇SI(t) −m

∫ t

0

∂t

(J

n

)(s) ds ,

luego ∇S(t) = m(J/n)(t) luego ∇S ∈ C([0, T ], H1(Ω)) en virtud del Lema 4.3.1.De aquı se desprende que S ∈ C((0, T ], H2(Ω)). Como

∫ΩS(x) dx =

∫ΩSI(x) dx

para todo t ∈ [0, T ], el Teorema 4.2.2 (ii) garantiza que S ∈ C([0, T ], H2(Ω))y satisface (4.4) para cualquier t ∈ [0, T ]. Un ejercicio sencillo haciendo uso de∂tS ∈ C((0, T ], L2(Ω)) y la continuidad de S en t = 0 permite deducir que S ∈ XT .Ademas es facil ver, usando la definicion y regularidad de K, que S satisface (4.20)en el sentido de dicho espacio. Como consecuencia, S(ψ) ⊂ XT y cualquier S dedicha familia verifica las propiedades (i) y (ii).

Para probar que S tambien satisface la ecuacion (4.21) definimos

ψS(t, x) =√n(t, x) exp

i

αS(t, x)

∀ t ∈ [0, T ] , c.t. x ∈ Ω .


Claramente ψ ∈ XTδ usando la regularidad de S, luego el calculo de ∇(ψ/ψS) nos

lleva a la relacion ψ(t, x) = z(t)ψS(t, x) para cierta z ∈ C1([0, T ], L2(Ω)), que a suvez verifca

z′ =1

(ψS)2(ψS∂tψ − ψ∂tψ

S). (4.24)

Para comprobar que dicha cantidad se anula identicamente usamos la ecuacion deSchrodinger (4.18), que implica ∂tψ = iα

2m∆ψ−iΘ[n, J ]ψ. En virtud del Lema 4.2.1(ii) podemos escribir esta igualdad de la siguiente forma:

∂tψ =

(− iα

~2Q− mi

2α

|J |2n2

− div(J)

2n− iΘ[n, J ]

)ψ .

Por otra parte, ∂tψS =

(12n∂tn + i

α∂tSψ

)ψS , y aplicando los Lemas 4.2.1 (i) y

4.3.1 (iii) se tiene que

∂tψS =

− div(J)

2n+ Im(Θ[n, J ]) +

i

α

(−α

2

~2Q− m

2

|J |2n2

− αRe(Θ[n, J ])

)ψS

=

− iα

~2Q− mi

2α

|J |2n2

− div(J)

2n− iΘ[n, J ])

ψS ,

que implica z′ = 0, como querıamos comprobar. Por tanto z ≡ z0 ∈ C, lo que nospermite escribir

ψ(t, x) = z0√n(t, x) exp

i

αS(t, x)

∀ t ∈ [0, T ] , c.t. x ∈ Ω .

En particular, tomando t = 0 y usando (4.22) tenemos que z0 = 1, lo que implicaque S ∈ S(ψ) arbitrario satisface la descomposicion de Madelung (4.21).

Para concluir la demostracion, supongamos que S ∈ XT verifica (4.21). Enparticular es solucion de (4.4), luego ∇S = ∇Sl para cualquier l ∈ Z. Si fijamos l ∈Z podemos escribir S(t, x) = Sl(t, x) + νl(t) para cierta νl ∈ C1([0, T ]). Derivandoahora respecto del tiempo y observando que tanto S como Sl son soluciones de(ii) se deduce que S(t, x) = Sl(t, x) + ν0

l con ν0l ∈ R. De hecho, usando (4.19)

tenemos que ν0l ∈ 2παZ, de manera que S−Sl ∈ 2παZ. La arbitrariedad de l ∈ Z

y la definicion de S(ψ) nos permite concluir que S pertenece a dicha familia. Estocompleta la prueba. ⊓⊔

OBSERVACION 4.3.3 Notese que la condicion de normalizacion global

∫

Ω

S(x) dx = µ, µ ∈ R

es la que nos permite concretar la definicion de la familia de argumentos S(ψ), loque a posteriori implica que el valor de la integral de S se conserva a lo largo de laevolucion temporal gobernada por la ecuacion de Schrodinger general (4.18).


El Teorema 4.3.2 nos permite establecer soluciones del sistema hidrodinamicocuantico asociado a (4.18) de forma directa, lo que culmina la conexion entre lasformulaciones de onda e hidrodinamica bajo nuestras hipotesis.

Corolario 4.3.4Sea Ω ⊂ R

3 un dominio acotado, simplemente conexo y con frontera de clase C1.

Sean ademas δ > 0, T > 0, y ψ ∈ XTδ bajo las hipotesis del Lema 4.3.1. Entonces

el sistema hidrodinamico asociado a (4.18)

∂tn+1

mdiv (n∇S) = 2Im(Θ[n, J ]),

∂tS +1

2m|∇S|2 = −α

2

~2Q− αRe(Θ[n, J ]),

admite solucion (n, S) en [0, T ], donde n ∈ XTδ2 y S ∈ XT .

Demostracion:

Consideramos n = |ψ|2 y S ∈ S(ψ) ⊂ XT arbitraria, donde S(ψ) es la familia deargumentos obtenida en el teorema anterior. Teniendo en cuenta (4.4) en el apar-tado (i) del Lema (4.3.1) obtenemos la ecuacion de continuidad (y la regularidadde n), mientras que la ley de evolucion para S se obtiene usando nuevamente (4.4)esta vez en (4.20). Por tanto el par (n, S) es una solucion del sistema hidrodinamicocuantico. ⊓⊔

OBSERVACION 4.3.5 La dependencia de Θ respecto de n y J en las hipotesisde los resultados de esta seccion (ecuacion (4.18)) debe entenderse en sentido am-plio, ya que dichos resultados siguen siendo validos admitiendo dependencia de lasderivadas de los observables o interacciones de tipo Hartree, por ejemplo. La pro-piedad que permite definir S explıcitamente es que Θ sea invariante ante cambiosde fase constantes y globales. Podrıamos, por tanto, sustituir la condicion

Θ : H2δ2(Ω) ×H1(Ω) → L2(Ω)

por esta otra, que de entrada es mas general:

Θ : H2δ (Ω) → L2(Ω), Θ(ψ) = Θ(eiνψ) ∀ν ∈ R,

pero que resulta equivalente (vease el Corolario 4.2.5). Observese que esta propiedadno es satisfecha, por ejemplo, en la ecuacion de Kostin (4.2), lo que supone unacarencia seria de dicho modelo. En el Capıtulo 6 damos una reinterpretacion de(4.2) que describe la misma fısica y evita esta propiedad indeseable.

Capıtulo 5

Buen planteamiento de unaecuacion de Schrodinger

disipativa con difusion endominios acotados

En este capıtulo demostramos el buen planteamiento matematico del proble-ma de tipo mixto asociado a un modelo cuantico disipativo en la formulacion deonda que representa, al igual que SLD, la hidrodinamica asociada a la ecuacionde Wigner–Fokker–Planck. Dicho modelo, al que denominaremos en adelante SLC,consiste en una ecuacion de Schrodinger no lineal de tipo logarıtmico con termi-nos difusivos similares a los SLD pero tecnicamente mas tratable, toda vez que suestudio se puede reducir al de la ecuacion de Schrodinger puramente logarıtmicamediante una transformacion Gauge no lineal. Esta reduccion se puede materiali-zar de forma rigurosa a nivel hidrodinamico aplicando los resultados del Capıtulo4 y bajo las hipotesis que allı quedaron establecidas. Ası, dedicaremos la primeraseccion a plantear el problema con precision y establecer las hipotesis que nece-sitaremos para su tratamiento. El proposito de la segunda seccion es derivar elmodelo a partir de WFP. Mas adelante definimos la transformacion que reduce elproblema al analisis de la ecuacion logarıtmica y precisamos la equivalencia entreesta y SLC. Dedicaremos la cuarta seccion a estudiar la ecuacion logarıtmica en elcontexto establecido previamente, lo que nos permitira, por ultimo, probar la exis-tencia y unicidad local de solucion para nuestro problema en dominios acotados yen el caso de dimensiones menores o iguales que 3, lo cual constituye el resultadoprincipal de este capıtulo.

5.1. Planteamiento e hipotesis del problema

Consideramos la siguiente ecuacion de Schrodinger no lineal, de tipo logarıtmicoy con efectos de difusion (que denominaremos SLC) que gobierna la evolucion

82 5. Buen planteamiento de SLC

temporal de un sistema cuantico sometido a la accion de un potencial externo V einteractuando con un bano termico de osciladores en equilibrio termico:

iα∂tψ = − α2

2m∆ψ +

α2


α

2m

(iα

2

∆n

n+mdiv

(J

n

))ψ. (5.1)

Aquı ψ = ψ(t, x) es la funcion de onda que describe el estado del sistema, m es lamasa efectiva del mismo y

α = 2mDqq , Λ = 2Dpq + ηDqq ,

son numeros reales positivos que dependen de las constantes de interaccion con elbano. Este modelo surge bajo una interpretacion estocastica del sistema de mo-mentos asociado a la ecuacion de WFP [62, 80], a raız de las ideas que se empleanpara derivar la mecanica cuantica a partir de la newtoniana [92] y de manera que,bajo ciertas hipotesis, las densidades local n y de corriente J asociadas a la fun-cion de Wigner del sistema (definidas en la formula (5.12) mas adelante) coincidenrespectivamente con los observables asociados a ψ con la misma interpretacion

n = |ψ|2, J =α

mIm(ψ∇ψ

). (5.2)

Las constantes que determinan el modelo SLC dependen, por tanto, de aquellasque aparecen originalmente en la ecuacion de Wigner–Fokker–Planck. Puede con-sultarse en el Capıtulo 2 la definicion de ambas (vease 2.2) y su interpretacionfısica.

Es destacable la presencia del potencial cuantico de Bohm

Q(t, x) = − ~2

2m

(∆√n√n

)(5.3)

en la ecuacion SLC, que da lugar a un termino no lineal de tipo modular κQψ enla formulacion de Schrodinger [12, 49]. La aparicion de esta no linealidad se puedeinterpretar para 0 < κ < 1 como un efecto de relajacion de los efectos cuanticos,dando lugar al caso “totalmente cuantico” si κ = 0 y a dinamica clasica si κ = 1. Ennuestro caso κ = α2/~2, lo que implica que la difusion en posicion en la ecuacion deWigner–Fokker–Planck (cf. (2.6)–(2.7)) confiere comportamiento clasico al sistemaque describe. Sin embargo, las hipotesis de acoplamiento debil y temperaturasmoderadas o altas que hacen aplicable la ecuacion de WFP conducen a que α≪ ~

(vease el Capıtulo 2), lo que conduce a pensar que los efectos de comportamientoclasico sean poco relevantes. Por otra parte, la presencia del termino logarıtmicoen SLC esta relacionada con la difusion cruzada en la formulacion de Wigner yse puede interpretar como un efecto dispersivo relacionado con la interaccion delsistema con el bano [14, 62, 80, 92]. Es destacable, ademas, el hecho de que SLCcontiene un potencial no lineal complejo de tipo Ginzburg–Landau que describedifusion en posicion.

Estamos interesados en el problema de tipo mixto asociado a SLC en un dominioacotado Ω ⊂ R

d (1 ≤ d ≤ 3) con frontera suave (precisaremos mas adelante la

5.1. Planteamiento e hipotesis del problema 83

regularidad necesaria) y condiciones iniciales y de contorno dadas por

ψ(0) = ψI , ψ(t)|∂Ω = ψB . (5.4)

Para demostrar las propiedades de existencia y unicidad local de solucion de esteproblema vamos a sacar partido de que SLC puede interpretarse (salvo por eltermino logarıtmico) como un elemento de la familia de Doebner–Goldin [43], quees la clase mas general de ecuaciones de Schrodinger no lineales que admiten unaecuacion de continuidad de Fokker–Planck para la densidad local:

i~∂tψ = − ~2

2m∆ψ +

i~D

2

(∆n

n

)ψ + V ψ +mD′µ1

(div(J)

n

)ψ

+m2

~D′µ3

( |J |n

)2

ψ +mD′µ4

(J · ∇nn2

)ψ + ~D′

(µ2

∆n

n+ µ5

|∇n|2n2

)ψ ,

Para ello es suficiente considerar α en lugar de ~ como unidad de accion y tomar

D = Dqq , µ3 = 0 , D′µ1 = Dqq = −D′µ4 , D′µ2 = −Dqq

2= −2D′µ5 . (5.5)

Se puede demostrar (veanse [44, 54]) que bajo la condicion

4mD′

~µ2 < 1 − 4m2D2

~2, (5.6)

el conjunto de ecuaciones de la familia de Doebner–Goldin caracterizada por lasrelaciones

D′µ1 = D = −D′µ4 , µ2 + 2µ5 = 0 , µ3 = 0 (5.7)

es linealizable utilizando un cambio de fase no lineal apropiado. En nuestro caso,esta ultima condicion es exactamente (5.5) y, usando la definicion de Dqq en (2.2),es facil verificar (5.6), por lo que (5.1) puede reducirse a la ecuacion de Schrodingerpuramente logarıtmica. En particular, si consideramos la forma de Madelung de lafuncion de onda ψ

ψ(t, x) =√nψ(t, x) exp

i

αSψ(t, x)

, (5.8)

entonces el cambio de fase no lineal ψ 7→ φ = G(ψ) definido por

G(ψ)(t, x) =√nψ(t, x) exp

−ilog

(√nψ(t, x)

)+

1

αSψ(t, x)

= ψ(t, x) exp

− i

2log (nψ(t, x))

(5.9)

es una correspondencia biyectiva (de entrada formal) entre soluciones de SLC ysoluciones de la siguiente ecuacion de Schrodinger logarıtmica

iα∂tφ = − α2

2m∆φ+ Λ log(n)φ . (5.10)


La transformacion G definida en (5.9) pertenece a una clase general de aplicacionesdenominadas transformaciones Gauge, que preservan algunos aspectos fundamen-tales de la mecanica cuantica como la densidad local n. Nuestro objetivo es reducir(vıa G) el buen planteamiento del problema (5.1), (5.4) al estudio de (5.10) con lassiguientes condiciones iniciales y de contorno

φ(0) = φI , φ(t)|∂Ω = φB , (5.11)

que tambien estaran relacionadas con ψI y ψB mediante G. Estrategias similareshan sido desarrolladas recientemente [30, 94] en relacion al estudio de ecuacionesde Schrodinger con derivadas.

Como hemos comentado anteriormente, la aplicacion G no es mas que un cambiode fase. Por tanto, si para cierta funcion de onda ψ existe Sψ vericando (5.8),entonces Sψ−αlog(

√nψ) es un argumento de φ = G(ψ). Esto implica que la relacion

entre ψ y φ a nivel hidrodinamico es sencilla. En consecuencia, si trabajamos bajolas hipotesis establecidas en el Capıtulo 4 podremos operar de manera facil con latransformacion utilizando los sistemas hidrodinamicos de forma rigurosa. Esto nosconduce a considerar las siguientes hipotesis, que mantendremos a lo largo de todonuestro analisis:

(H1) Ω ⊂ Rd es simplemente conexo, acotado y con frontera de clase C2.

(H2) ψI ∈ H2(Ω), ψB ∈ H3/2(∂Ω) y ψI |∂Ω = ψB .

(H3) Existe δ > 0 tal que

ınf-es|ψI(x)| : x ∈ Ω

> δ , ınf-es

|ψB(x)| : x ∈ ∂Ω

> δ.

Bajo estas condiciones, nuestra estrategia consiste en desarrollar un argumentode punto fijo en el conjunto H2

δ (Ω) (definido en el Capıtulo 1) para obtener lasolucion de (5.10)–(5.11) y de ahı obtener mediante G (definido en (5.9)) la unicasolucion de (5.1), (5.4).

5.2. Sobre la derivacion del modelo

En esta seccion llevamos a cabo la derivacion multidimensional de SLC, quepuede consultarse con detalle en [62]. El punto de partida es la ecuacion de Wigner–Fokker–Planck (cf. (2.6)–(2.7)). Si razonamos como en el Capıtulo 2 obtenemos queel sistema hidrodinamico asociado a los observables n y u = J/n, con

n(t, x) =

∫

Rd

W (x, ξ, t) dξ , J(t, x) =

∫

Rd

ξW (x, ξ, t) dξ, (5.12)

viene dado por

∂tn+ div(nu) = Dqq∆n , (5.13)

∂tu+ (u · ∇)u = − 1

m∇V − 1

ndivPu − 2λu− 2Dpq

m

∇nn

+ Dqq

[2

(∇nn

· ∇)u+ ∆u

], (5.14)

5.2. Sobre la derivacion del modelo 85

donde

Pu(t, x) =

∫

Rd

ξ ⊗ ξW (x, ξ, t) d ξ − n(t, x)u(t, x) ⊗ u(t, x)

es el tensor de esfuerzos asociado a W. La idea principal de esta derivacion consisteen admitir una interpretacion clasica de la ecuacion de continuidad (5.13), haciendouna lectura de las difusiones cuanticas como producto de movimiento brownianoa nivel microscopico [92]. Este planteamiento fue iniciado en 1.952 por I. Fenyes[45] con el objetivo de describir la mecanica cuantica en terminos de densidadesde probabilidad clasicas. En este contexto, la evolucion de una partıcula sujeta amovimiento browniano se demuestra equivalente (en el sentido de las densidadeslocal y de corriente) a la ecuacion de Schrodinger [92]. En nuestro caso, los efectosde interaccion con el entorno causan a nivel macroscopico una corriente de difusionobservable con coeficienteDqq. La idea de la derivacion se basa en considerar que esadifusion es un efecto del movimiento browniano a nivel microscopico. Por tanto, elsistema queda sujeto a la accion de un campo de velocidad de avance u+ y retrocesou− = u+ − 2uo. De esta manera (5.13) da lugar a dos ecuaciones de continuidad

∂tn+ div (nu±) = ±Dqq∆n ., (5.15)

donde uo denota la velocidad osmotica (cf. (2.15)), que en cierta medida controlael grado de aleatoriedad del proceso. Si sumamos entonces las dos igualdades de(5.15) e introducimos la velocidad media de la corriente

v :=1

2(u+ + u−) = u+ − uo ,

es facil comprobar que se recupera la ecuacion de continuidad estandar de la mecani-ca cuantica, ∂tn + div (nv) = 0. Definiendo la derivada retrasada media de lavelocidad de avance como

D−u+ := ∂tu+ + (u− · ∇)u+ −Dqq∆u+ ,

podemos reescribir (5.14) de la siguiente manera

D−u+ = − 1

m∇V − 1

ndiv(Pu+

) − 2λu+ − 2Dpq

m

∇nn

. (5.16)

En [59] se prueba que haciendo una inversion temporal se siguen las siguientesreglas:

t 7→ −t , ∂t 7→ −∂t , u± 7→ −u∓ , D± 7→ −D∓ .

Utilizando dichas propiedades, la inversion respecto del tiempo de (5.16) propor-ciona

D+u− = − 1

m∇V − 1

ndiv(Pu−) + 2λu− − 2Dpq

m

∇nn

, (5.17)

donde D+u− := ∂tu−+(u+ ·∇)u−+Dqq∆u− es la derivada adelantada media de lavelocidad retrasada. Sumando (5.16) y (5.17) llegamos a la siguiente generalizacionde la ley de Newton:

∂tv + (v · ∇)v = − 1

m∇(V + Λlog(n)

)−D2

qq

[(∇nn

· ∇) ∇n

n−∇

(∆n

n

)](5.18)


que es analoga a la obtenida por Nelson en [92] y ademas le incorpora efectosdisipativos. Combinando las ecuaciones (5.15) y (5.18) con la identidad v = u+−u0

podemos recuperar la ecuacion de evolucion satisfecha por u+:

∂tu+ + (u+ · ∇)u+ = − 1

m∇V − Λ

m∇log(n) − 2α2

m~2∇Q

+ Dqq

[(∇nn

· ∇)u+ − (∇⊗ u+)

∇nn

−∇div(u+)

].

Entonces, si suponemos la existencia de un campo escalar del momento, tene-mos que u+ = 1

m∇S. Integrando formalmente obtenemos la siguiente ecuacion deHamilton–Jacobi para S

∂tS +1

2m

∣∣∇S∣∣2 = −V − 2α2

~2Q− Λ log(n) −Dqq∆S + Φn,S , (5.19)

donde Φn,S = Φn,S(t) es una funcion independiente de la posicion. Esta igualdady la ecuacion de continuidad

∂tn+1

mdiv (n∇S) = Dqq∆n (5.20)

que se deduce directamente de (5.13), constituyen un sistema hidrodinamico cuanti-co de flujo potencial cerrado, que nos permite construir una funcion de onda quecontiene la misma informacion fısica que la ecuacion de Wigner–Fokker–Planck. Dehecho, si definimos

ϕ(t, x) =√n(t, x) exp

i

αS(t, x)

y utilizamos dicho sistema hidrodinamico, podemos concluir que ϕ verifica la si-guiente ecuacion de Schrodinger:

iα∂tϕ = − α2

2m∆ϕ+V ϕ+

α2

~2Qϕ+Λ log(n)ϕ+Dqq

(iα

2

∆n

n+mdiv

(J

n

))ϕ− ~

αΦϕ,

que coincide con SLC salvo por el termino − ~

αΦϕ. Razonando como en la demos-tracion del Teorema 2.3.2 encontramos una funcion ν = ν(t) tal que ψ = eiνϕes solucion de (5.1). Observese que en este modelo los efectos de friccion quedandescritos mediante el termino logarıtmico, mientras que

Dqq

(iα

2

∆n

n+mdiv

(J

n

))ψ y

α2

~2Qψ

representan difusion. Por ultimo, es destacable que el modelo SLC, al igual quela ecuacion SLD, se basa en el sistema (5.13)–(5.14) y por tanto los efectos dedifusion en velocidad, que son de ındole termodinamica, no pueden ser apreciadosen el comportamiento de ψ.

5.3. Equivalencia entre SLC y Schrodinger logarıtmica 87

5.3. Equivalencia entre las ecuaciones de Schro-dinger difusiva y puramente logarıtmica

Los resultados que hemos probado en el Capıtulo 4 nos resultaran utiles parademostrar que la transformacion G introducida en (5.9) junto con su inversa,

G−1(φ)(t, x) = φ(t, x) exp

i log

(√nφ(t, x)

), (5.21)

establecen una relacion de equivalencia entre los problemas de tipo mixto asociadosa las ecuaciones SLC y de Schrodinger puramente logarıtmica. De aquı en adelanteaprovecharemos que ambas aplicaciones conservan la amplitud de la funcion deonda y denotaremos n = |ψ|2 = |G(ψ)|2 indistintamente (y analogamente paraG−1) cuando no haya riesgo de confusion. En el primer resultado de esta seccioncomprobamos que G es un homeomorfismo en el conjunto C([0, T ], H2

δ (Ω)).

Proposicion 5.3.1Sean Ω ⊂ R

3 un dominio acotado y δ > 0. Si definimos G(ψ) como en (5.9) paracualquier ψ ∈ C([0, T ], H2

δ (Ω)), entonces G : C([0, T ], H2δ (Ω)) → C([0, T ], H2

δ (Ω))es un homeomorfismo (respecto de la norma ‖ · ‖L∞([0,T ],H2)) con inverso G−1,definido para cada ψ ∈ C([0, T ], H2

δ (Ω)) como en (5.21).

Demostracion:

Si X es un espacio topologico arbitrario, G : X → X un homeomorfismo de X ydefinimos G(x)(t) := G(x(t)) para cualquier x ∈ C([0, T ], X) y t ∈ [0, T ], es claroque G : C([0, T ], X) → C([0, T ], X) es tambien un homeomorfismo. Por tanto essuficiente probar que G : H2

δ (Ω) → H2δ (Ω) (definido de forma evidente en vista de

(5.9)) da lugar a una aplicacion continua con inversa continua. Dividimos la pruebaen dos etapas.

Etapa 1: G(H2δ (Ω)) ⊆ H2

δ (Ω).Para cualquier ψ ∈ H2

δ (Ω) se tiene que nG(ψ) = nψ, luego G(ψ) ∈ L2(Ω) y |G(ψ)| >δ c.t. x ∈ Ω. Derivando G(ψ) encontramos que

∇G(ψ) =

(∇ψ − i

∇n2n

ψ

)exp

−i log

(√n)

. (5.22)

Entonces, en virtud del Lema 4.2.1 podemos deducir facilmente que ∇G(ψ) ∈L2(Ω). Ademas

∇⊗∇G(ψ) =

∇⊗∇ψ − i

2

(∇⊗∇nn

)ψ +

2i− 1

4

(∇nn

⊗ ∇nn

)ψ

− i

nSym (∇n⊗∇ψ)

exp

−i log

(√n)

, (5.23)

donde hemos denotado Sym(x ⊗ y):=12 (x ⊗ y + y ⊗ x) a la parte simetrica del

tensor de rango dos x⊗ y. Como ψ ∈ H2δ (Ω) tenemos que ∇⊗∇ψ ∈ L2(Ω), y del


mismo modo n ∈ H2δ2(Ω) implica que (∇⊗∇n)ψ/n ∈ L2(Ω). Ademas

∇ψ, ∇nn

∈ H1(Ω) ⊂ L4(Ω) ,

de donde se obtiene que (∇n⊗∇n)ψ/n2, ∇ψ⊗∇ψ,(∇n/n

)⊗∇ψ ∈ L2(Ω), luego

G(ψ) ∈ H2δ (Ω).

Etapa 2: G es biyectiva y bicontinua.Las formulas (5.9) y (5.21) dejan claro que G(G−1(φ)) = φ y G−1(G(ψ)) = ψ paracualesquiera φ, ψ ∈ H2

δ (Ω), luego G es biyectiva. Para probar la bicontinuidad essuficiente probar que G es continua, ya que para G−1 el argumento es analogo. Seaψ ∈ H2

δ (Ω) y ψkk∈N ⊂ H2δ (Ω) tal que ψk → ψ respecto de la norma ‖·‖H2 . Como

Ω es un dominio acotado, podemos estimar

‖G(ψk) −G(ψ)‖L2 ≤√

|Ω|∥∥(ψk − ψ) exp

−i log(

√n)∥∥

L∞

+∥∥ψk

(exp −i log(

√nk) − exp

−i log(

√n))∥∥

L∞

.

El primer termino del segundo miembro esta acotado por ‖ψk−ψ‖L∞ . Para estimarel segundo termino utilizamos el teorema de compacidad de Rellich–Kondrachovjunto con la convergencia nk → n en ‖ · ‖H2 (que se obtiene gracias al Lema 4.2.1)y el hecho de que n > δ2, que implican que log(

√nk) → log(

√n) en ‖ · ‖L∞ . Como

consecuencia∥∥∥ψk

(e−i log(

√nk) − e−i log(

√n))∥∥∥

L∞≤ C‖ψk‖H2‖log(

√nk) − log(

√n)‖L∞ .

Por tanto, el segundo termino tiende a cero cuando k → ∞. Usando las identidades(5.22) y (5.23) y la continuidad de las derivadas de n y ψ de H2

δ (Ω) en L2(Ω), essencillo probar que G(ψk) → G(ψ) en ‖ · ‖H2 . Esto culmina la segunda etapa y conello la prueba completa. ⊓⊔

OBSERVACION 5.3.2 A lo largo del desarrollo de este resultado necesitamosdar sentido a la accion de la transformacion Gauge sobre la condicion de fronteraψB ∈ H3/2(∂Ω). Para ello basta darse cuenta de que las formulas (5.9) y (5.21)son validas puntualmente en todo Ω. Entonces, definiendo G(ψB) := G(ψI)|∂Ω yaplicando la Proposicion 5.3.1 tenemos que G(ψB) ∈ H3/2(∂Ω) y se verifican lasidentidades

G(G−1(φB)) = φB , G−1(G(ψB)) = ψB ∀x ∈ ∂Ω ,

lo cual permite tratar la transformacion en ∂Ω de forma satisfactoria.

El siguiente resultado muestra como las soluciones de los problemas de tipo mixtoasociados a las ecuaciones SLC y de Schrodinger logarıtmica estan conectadas atraves de G.

5.3. Equivalencia entre SLC y Schrodinger logarıtmica 89

Teorema 5.3.3Sean T > 0 y Ω ⊂ R

d (1 ≤ d ≤ 3) un dominio y supongamos que se satisface lahipotesis (H1). Entonces se verifican las siguientes afirmaciones:

(i) Sean ψI , ψB cumpliendo (H2)–(H3) y tales que

G(ψI) =: φI ∈ H2δ (Ω) , G(ψB) =: φB ∈ H

3/2δ (∂Ω) .

Sea ademas φ ∈ XTδ una solucion de (5.10)–(5.11) en [0, T ]. Entonces ψ =

G−1(φ) es solucion de (5.1), (5.4) en [0, T ].

(ii) Recıprocamente, sean φI , φB cumpliendo (H2)–(H3) y tales que

G−1(φI) =: ψI ∈ H2δ (Ω) , G−1(φB) =: ψB ∈ H

3/2δ (∂Ω) .

Sea ademas ψ ∈ XTδ una solucion de (5.1), (5.4) en [0, T ]. Entonces φ = G(ψ)

es solucion de (5.10)–(5.11) en [0, T ].

(iii) La unicidad se hereda vıa G, esto es, si ψI , ψB satisfacen (H2)–(H3) y el pro-blema (5.10)–(5.11) admite una unica solucion, entonces (5.1), (5.4) admitetambien una unica solucion. Del mismo modo, si φI , φB satisfacen (H2)–(H3)y el problema (5.1), (5.4) admite una unica solucion, entonces (5.10)–(5.11)admite tambien una unica solucion.

Demostracion:

Si φ ∈ XTδ es una solucion fuerte de (5.10)–(5.11), entonces satisface las hipotesis

del Teorema 4.3.2 con Θ[n] = Λα log(n), luego existe Sφ ∈ XT tal que

φ(t, x) =√n(t, x) exp

i

αSφ(t, x)

.

Ademas, podemos aplicar el Corolario 4.3.4 y concluir que n ∈ XTδ2 , Sφ ∈ XT y el

par (n, Sφ) es solucion del siguiente sistema hidrodinamico en [0, T ]:

∂tn+1

mdiv(n∇Sφ

)= 0 , (5.24)

∂tSφ +1

2m|∇Sφ|2 = −α

2

~2Q− Λ log(n) . (5.25)

Si ahora definimos

Sψ(t, x) := Sφ(t, x) + α log(√

n(t, x)), (5.26)

entonces Sψ ∈ XT y el par (n, Sψ) es solucion en [0, T ] del sistema

∂tn+1

mdiv (n∇Sψ) = Dqq∆n , (5.27)

∂tSψ +1

2m|∇Sψ|2 = −2α2

~2Q− Λ log(n) −Dqq∆Sψ . (5.28)


Definimos ψ := G−1(φ). La Proposicion 5.3.1 implica que ψ ∈ C([0, T ], H2δ (Ω)) y

ademas se tiene que


i

αSψ(t, x)

,

luego ψ ∈ XTδ y usando el sistema (5.27)–(5.28) podemos calcular la evolucion

temporal de ψ en terminos de la siguiente ecuacion de Schrodinger:

iα∂tψ = − α2

2m∆ψ +

α2


iαDqq

2

(∆n

n

)ψ +mDqq div

(J

n

)ψ,

luego ψ es solucion de SLC en [0, T ]. Ademas, se verifican las siguientes identidadescasi en todo punto de Ω y ∂Ω respectivamente:

ψ(0, x) =√nI(x) exp

i

α

(Sφ(0, x) + α log

(√nI(x)

))

= φI(x) expi log

(√nI(x)

)= ψI(x) ,


i

α

(Sφ(t, x) + α log

(√n(t, x)

))

= φB(x) expi log

(√nB(x)

)= ψB(x) ,

donde hemos denotado nI = |ψI |2 = |φI |2. Por tanto, ψ es solucion de (5.1), (5.4).Esto demuestra el apartado (i).

La prueba de (ii) es totalmente analoga a la anterior, teniendo en cuenta queen este caso

Θ[n, J ] =α

~2Q+

Λ

αlog(n) +

iDqq

2

(∆n

n

)+

1

2div

(J

n

)

es un operador continuo de H2δ2(Ω) ×H1(Ω) en L2(Ω) y el hecho de que

Sφ(t, x) = Sψ(t, x) − α log(√

n(t, x)). (5.29)

Para comprobar (iii), suponemos primero que ψ1, ψ2 ∈ XTδ son dos soluciones

del problema (5.1), (5.4) y que (5.10)–(5.11) admite a lo mas una unica solucion.Es claro que

φI(x) = ψI(x) exp− i log

(√nI(x)

)y φB(x) = ψB(x) exp

− i log

(√nB(x)

)

satisfacen (H2)–(H3). Ademas, ψ1,2(0, x) = G−1(φI)(x) y ψ1,2(t, x) = G−1(φB)(t, x)para todo t ∈ [0, T ] y casi todo x ∈ ∂Ω. Como consecuencia, ψ1,2 verifican lashipotesis del apartado (ii), luego

φ1,2(t, x) = G(ψ1,2)(t, x) = ψ1,2(t, x) exp

−i log

(√n1,2(t, x)

)

5.4. Buen planteamiento de la ecuacion logarıtmica 91

pertenecen a XTδ y son soluciones de (5.10)–(5.11). Como este problema tiene so-

lucion unica, ha de ser φ1 = φ2, luego

ψ1 exp −i log (√n1) = ψ2 exp −i log (

√n2) , n1,2 = |φ1,2|2 ,

de donde deducimos de forma sencilla que n1 = n2 y por tanto ψ1 = ψ2. Laafirmacion recıproca se obtiene analogamente. ⊓⊔

OBSERVACION 5.3.4 El Teorema 5.3.3 es aplicable a cualquier ecuacion dela familia de Doebner–Goldin cuyos coeficientes cumplan las relaciones (5.5) bajola hipotesis (5.6). En el caso mas general, el cambio de fase no lineal G sigue elesquema [43]

G(φ)(t, x) =√nψ(t, x) exp

i[A log(n(t, x)) +B Sψ(t, x)

],

donde los coeficientes A y B pueden ser dependientes del tiempo, y es necesario(salvo control de A y B) trabajar en espacios funcionales cociente para evitar eva-luaciones multiples de la transformacion. En este contexto se podrıa eliminar lahipotesis de conexion simple sobre Ω.

Es destacable senalar que en la prueba del Teorema 5.3.3 hemos establecidola equivalencia entre los problemas asociados a SLC y la ecuacion de Schrodingerlogarıtmica a traves de los sistemas hidrodinamicos (5.27)–(5.28) y (5.24)–(5.25)respectivamente, aprovechando que la correspondencia Sψ ↔ Sφ es lineal. Hace-mos explıcito este hecho en el ultimo resultado de la seccion, cuya demostracionesta incluida en la que acabamos de completar.

Corolario 5.3.5Sean T > 0 y Ω ⊂ R

d (1 ≤ d ≤ 3) un dominio y supongamos que se satisface (H1).Entonces:

(i) Si (n, Sφ) ∈ XTδ2 ×XT es solucion del sistema (5.24)–(5.25) en [0, T ] y consi-

deramos Sψ definida como en (5.26), entonces (n, Sψ) ∈ XTδ2 ×XT es solucion

del sistema (5.27)–(5.28) en [0, T ].

(ii) Recıprocamente, si (n, Sψ) ∈ XTδ2 ×XT es solucion del sistema (5.27)–(5.28)

en [0, T ] y consideramos Sφ definida como en (5.29), entonces (n, Sφ) ∈ XTδ2 ×

XT es solucion del sistema (5.24)–(5.25) en [0, T ].

5.4. Buen planteamiento de la ecuacion logarıtmi-ca

Una vez reducido el analisis del problema de tipo mixto asociado a SLC aaquel relativo a la ecuacion de Schrodinger puramente logarıtmica tan solo nosfalta probar el buen planteamiento de (5.10)–(5.11) en el conjunto H2

δ (Ω) (y en


el contexto en que estamos trabajando). De esta forma estableceremos el ultimoresultado necesario para resolver nuestro problema original.

La ecuacion de Schrodinger logarıtmica fue introducida en 1.976 por Bialynicki–Birula y Micyelski [16] y aparece de forma natural en diversos problemas fısicosconectados con la mecanica cuantica. Recientemente, por ejemplo, ha sido pro-puesta para modelar diferentes procesos relativos a fenomenos de capilaridad otransporte de magma [35, 36, 75]. Dicha ecuacion ha sido estudiada en la literatu-ra matematica desde distintos enfoques y existen diversos resultados acerca de subuen planteamiento y la estabilidad de sus soluciones [23, 24, 25, 64]. Es intere-sante, ademas, la cuestion del signo del termino logarıtmico a la hora de estudiarel comportamiento asintotico u otras propiedades cualitativas del modelo. En laderivacion original [16] se obtiene Λ < 0 como coeficiente del termino logarıtmico,lo cual conduce a funcionales de energıa minorados. Sin embargo, en [32, 33] sejustifica el signo positivo para este termino a pesar de que el funcional de energıaasociado no este acotado inferiormente.

El resultado requerido preciso de existencia de soluciones que necesitamos es elsiguiente.


d (1 ≤ d ≤ 3) un dominio acotado con frontera de clase C2 y φI ∈H2(Ω), φB ∈ H3/2(∂Ω) verificando (H2)–(H3). Entonces existen T > 0 y φ ∈ XT

δ

una unica solucion del problema (5.10)–(5.11) en [0, T ].

Para llevar a cabo la demostracion de este resultado necesitamos tratar el terminologarıtmico de forma adecuada segun nuestro contexto.

Lema 5.4.2 (estimaciones a priori)Sean Ω ⊂ R

d (1 ≤ d ≤ 3) un dominio acotado y M, δ > 0. Entonces se verifican lassiguientes afirmaciones:

(i) Existe K1(δ,M,Ω) > 0 tal que ‖φlog(n)‖H2 ≤ K1 para todo φ ∈ H2δ (Ω) con

‖φ‖H2 ≤M .

(ii) Existe K2(δ,M,Ω) > 0 tal que

‖φ1log(n1) − φ2log(n2)‖L2 ≤ K2‖φ1 − φ2‖L2

para cualesquiera φ1, φ2 ∈ H2δ (Ω) con ‖φ1,2‖H2 ≤M .

(iii) Existe K3(δ,M,Ω) > 0 tal que

‖φ1log(n1) − φ2log(n2)‖H2 ≤ K3‖φ1 − φ2‖H2

para cualesquiera φ1, φ2 ∈ H2δ (Ω) con ‖φ1,2‖H2 ≤M .


Demostracion:

Sean C1, C2 > 0 dos constantes positivas verificando ‖φ‖L∞ ≤ C1‖φ‖H2 ≤ C1M y‖φ‖L4 ≤ C2‖φ‖H1 ≤ C2M para cualquier φ ∈ C∞

c (Ω). Definimos ademas

M1 = max|log(δ)|, 2

∣∣log(C1M)∣∣ .

(i) Una estimacion L2 sencilla conduce a

‖φlog(n)‖L2 ≤M1M . (5.30)

Derivando y acotando de forma adecuada, es facil observar que

‖∇(φlog(n))‖L2 ≤M1M +C1

δ2M‖n‖H2 . (5.31)

Finalmente, si derivamos de nuevo obtenemos que ∇⊗∇(φlog(n)) es igual a

(∇⊗∇φ) log(n) + 2 Sym

(∇φ⊗ ∇n

n

)+ φ

(∇⊗∇nn

− ∇nn

⊗ ∇nn

).

Por tanto

‖∇ ⊗∇(φlog(n))‖L2 ≤ M1M +2C2

2

δ2M‖n‖H2 +

C1

δ2M‖n‖H2

(1 +

C22

δ2‖n‖H2

).

Combinando (5.30), (5.31) y (5.32) y observando que

‖n‖H2 ≤ (5C1 + 2C22 )M2 (5.32)

completamos la prueba de (i).

(ii) Para comprobar esta afirmacion, usamos que

‖φ1log(n1) − φ2log(n2)‖L2 ≤ ‖φ1(log(n1) − log(n2))‖L2 + ‖log(n2)(φ1 − φ2)‖L2

≤(

2C1

δM +M1

)‖φ1 − φ2‖L2 , (5.33)

donde hemos empleado la desigualdad |log(r21) − log(r22)| ≤ 2δ |r1 − r2|, que es una

consecuencia directa del Teorema del Valor Medio. Esto culmina la prueba delsegundo apartado.

(iii) Calculamos

∇[φ1

(log(n1) − log(n2)

)]= ∇φ1


)

+ φ1

[∇(n1 − n2)

n1+

∇n2

n1n2(n2 − n1)

]

y estimamos

‖∇φ1(log(n1) − log(n2))‖L2 ≤ 2

δ‖∇φ1(|φ1| − |φ2|)‖L2 ≤ 2C2

2

δM‖φ1 − φ2‖H1 ,


∥∥∥∥∇(n1 − n2)

n1

∥∥∥∥L2

≤ 2

δ2∥∥φ1(∇φ1 −∇φ2) − (φ2 − φ1)∇φ2

∥∥L2 ≤ 4C1

δ2M‖φ1 − φ2‖H2 ,

∥∥∥∥∇n2

n1n2(n2 − n1)

∥∥∥∥L2

≤ 2

δ4∥∥φ2∇φ2

∥∥L2

(∥∥φ1(φ1 − φ2)∥∥L∞ +

∥∥φ2(φ1 − φ2)∥∥L∞

)

≤ 4C31

δ4M3‖φ1 − φ2‖H2 .

Si utilizamos (5.32), solo necesitamos las siguientes acotaciones

‖∇ ⊗∇φ1


)‖L2 ≤ 2

δ‖∇ ⊗∇φ1(φ1 − φ2)‖L2 ≤ 2C1M

δ‖φ1 − φ2‖H2

∥∥∥∥φ1

(∇⊗∇n1

n1− ∇n1 ⊗∇n1

n21

− ∇⊗∇n2

n2+

∇n2 ⊗∇n2

n22

)∥∥∥∥L2

≤ 2C21

δ2M2

(1 +

2C1C22

δ2M

)‖φ1 − φ2‖H2 ,

∥∥∥∥∇φ1 ⊗(∇n1

n1− ∇n2

n2

)∥∥∥∥L2

≤ C22M

∥∥∥∥∇n1

n1− ∇n2

n2

∥∥∥∥H1

≤ 2C1C22

δ2M2

2C1

δ2M(C2

2 + C1M)

+ 3

‖φ1 − φ2‖H2 ,

para obtener

‖∇ ⊗∇[φ1(log(n1) − log(n2))]‖L2 ≤ C(δ,M,Ω)‖φ1 − φ2‖H2 .

Estimamos ahora ‖log(n2)(φ1 −φ2)‖H2 . La norma ‖ · ‖L2 se puede acotar comoen (5.33). Ademas se tiene que

∥∥∥∥∇n2

n2(φ1 − φ2)

∥∥∥∥L2

≤ C22

δ2‖n2‖H2‖φ1 − φ2‖H2 ,

‖log(n2)∇(φ1 − φ2)‖L2 ≤ M1‖φ1 − φ2‖H2 ,

luego ‖∇[log(n2)(φ1 − φ2)]‖L2 ≤ C(δ,M,Ω)‖φ1 − φ2‖H2 . De acuerdo con (5.32)solo es necesario estimar

∥∥∥∥(∇⊗∇n2

n2− ∇n2

n2⊗ ∇n2

n2

)(φ1 − φ2)

∥∥∥∥L2

≤ C1

δ2‖n2‖H2

(1 +

C22

δ2‖n2‖H2

)‖φ1 − φ2‖H2 ,

∥∥∥∥∇n2

n2⊗∇(φ1 − φ2)

∥∥∥∥L2

≤ C22

δ2‖n2‖H2‖φ1 − φ2‖H2 ,

∥∥log(n2)∇⊗∇(φ1 − φ2)∥∥L2 ≤ M1‖φ1 − φ2‖H2 ,


que implica ‖∇ ⊗ ∇[log(n2)(φ1 − φ2)‖L2 ≤ C(δ,M,Ω)‖φ1 − φ2‖H2 , donde hemosusado nuevamente (5.32). Esto culmina la prueba. ⊓⊔

La demostracion del Teorema 5.4.1 se basa en un argumento de punto fijo sobreun subconjunto adecuado de H2

δ (Ω), tratando de forma adecuada la condicion enla frontera y empleando las estimaciones establecidas en el lema anterior.

Demostracion del Teorema 5.4.1:La hipotesis (H3) sobre la frontera nos permite considerar log(|φB |2)φB ∈ C(∂Ω),

y por tanto podemos aplicar el Lema 1.2.1 para obtener φB , LB ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω)

armonicas en Ω y tales que φB = φB y LB = log(|φB |2)φB en ∂Ω. Definimosentonces

U(t) := φB + eA t(φI − φB), V(t) := − iΛα

∫ t

0

eA(t−τ)φB d τ, ∀t ∈ R,

donde eAtt∈R es el grupo de isometrıas de L2(Ω) con generador infinitesimalA = i(α/2)∆, cuyo dominio es en nuestro caso D = H1

0 (Ω)∩H2(Ω). De la definiciondel grupo es claro que U es la unica solucion del siguiente problema

U ∈ XT ,

i∂tU = −Dqq∆U en [0, T ] × Ω ,

U(0, x) = φI(x) en Ω ,

U(t, x) = φB(x) en ∂Ω , t ∈ [0, T ]

para T ∈ R arbitrario. Ademas, como la aplicacion t 7→ LB es constante, podemosaplicar el Lema 1.2.7 para garantizar que V es la unica solucion de

V ∈ C([0, T ],D) ∩ C1([0, T ], L2(Ω)

),

i∂tV = −Dqq∆V +Λ

αLB en [0, T ] × Ω ,

V(0, x) = 0 en Ω ,

V(t, x) = 0 en ∂Ω , t ∈ [0, T ] ,

para todo T > 0. Vamos a demostrar la existencia de soluciones de (5.10)–(5.11) atraves del teorema del punto fijo de Banach al operador

Γ(φ)(t) := U(t) + V(t) − iΛ

α

∫ t

0

eA(t−τ) [log(n(τ))φ(τ) − LB]dτ ∀t ∈ R, (5.34)

en un subconjunto apropiado de XTδ para cierto T > 0. Para encontrar T necesi-

tamos el siguiente resultado, cuya demostracion no incluimos aquı por tratarse deun caso particular del Lema 6.2.5 que utilizamos en el Capıtulo 6.


Lema 5.4.3Bajo las hipotesis del Teorema 5.4.1, existen constantes positivas r∗, T ∗,K0 depen-dientes de δ, Ω, φI y φB tales que

‖U‖L∞([0,T ],H2), ‖V‖L∞([0,T ],H2) ≤ K0 ,

y Br,T ⊂ C([0, T ], H2δ (Ω)) para cualesquiera r ∈ (0, r∗) y T ∈ (0, T ∗), donde

Br,T :=φ ∈ C([0, T ], H2(Ω)) : ‖φ− U − V‖L∞([0,T ],H2) ≤ r

.

Usando este resultado podemos definir el conjunto donde el operador Γ definido en(5.34) admite un punto fijo. En efecto, sea

Yr,T :=φ ∈ Br,T : log(n)φ− LB ∈ C([0, T ],D)

,

para r < r∗ y T < mınT ∗, T1, T2, donde r∗, T ∗ son las constantes del Lema 5.4.3y

T1 =αr

Λ(K1 + ‖LB‖H2), T2 =

α

2ΛK3,

donde K1,K3 provienen del Lema 5.4.2 (i) y (iii), respectivamente. Para ver que Γadmite un punto fijo en Yr,T ⊂ XT

δ completaremos las siguientes tres etapas

Etapa 1: El conjunto Yr,T , equipado con la distancia asociada a ‖ · ‖L∞([0,T ],H2)

es un espacio metrico completo.Notese que es suficiente con probar que Yr,T es cerrado en Br,T . Con este objetivoconsideramos L, definido en Br,T por

L[φ](t) = log(n(t))φ(t) − LB ∀ t ∈ [0, T ] ,

para cualquier φ ∈ Br,T . Como r < r∗ y T < T ∗, el Lema 5.4.3 garantiza queBr,T ⊂ C([0, T ], H2

δ (Ω)). En particular, ‖φ(t)‖H2 ≤ r∗ + 2K0 para todo t ∈ [0, T ]y aplicando el Lema 5.4.2 se tiene que L(t) ∈ H2(Ω) y

‖L[φ1](t) − L[φ2](t)‖H2 ≤ K3‖φ1(t) − φ2(t)‖H2 ∀ t ∈ [0, T ], φ1,2 ∈ Br,T ,

luego L : Br,T → C([0, T ], H2(Ω)) es lipschitziana y por tanto continua. Por ultimo,como C([0, T ],D) es cerrado en C([0, T ], H2(Ω)), basta con observar que Yr,T =L−1(C([0, T ],D)). Esto concluye la primera etapa de la demostracion.

Etapa 2: Γ(Yr,T ) ⊆ Yr,T .Sea φ ∈ Yr,T . Es claro que Γ(φ)(t) = U(t)+V(t)+Wφ(t) ∈ C

([0, T ], H2(Ω)

), donde

Wφ ∈ C([0, T ],D) esta dado por

Wφ(t) := − iΛα

∫ t

0

eA(t−τ)(log(n(τ))φ(τ) − LB

)d τ, ∀t ∈ [0, T ].

Ademas

‖Γ(φ)(t) − U(t) − V(t)‖H2 ≤ Λ

α

∫ t

0

||log(n(τ))φ(τ) − LB ||H2 d τ

≤ Λ

α

∫ t

0

(K1 + ||LB ||H2

)d τ ≤ Λ

α(K1 + ||LB ||H2)T1 = r


para cualquier t ∈ [0, T ], luego Γ(φ) ∈ Br,T . Finalmente, para concluir que Γ(φ) ∈Yr,T falta conocer su comportamiento en la frontera. Para ello usamos la definicion

de U para escribir Γ(φ) = φB + Γ(φ), donde

Γ(φ)(t) = eAt(φ0 − φB) + V(t) +Wφ(t) ∈ C([0, T ],D) .

Como consecuencia Γ(φ)(t)|∂Ω ≡ φB en ∂Ω ∀t ∈ [0, T ], lo que implica junto con el

Lema 5.4.2 que log(nΓ(φ)) Γ(φ) − LB ∈ C([0, T ],D). Con esto concluye la segundaetapa de la demostracion.

Etapa 3: Γ : Yr,T → Yr,T es una aplicacion contractiva.Sean φ1, φ2 ∈ Yr,T y t ∈ [0, T ]. Como eAt : D → D es una isometrıa, se dispone dela siguiente estimacion:

‖Γ(φ1)(t) − Γ(φ2)(t)‖H2 ≤ Λ

α

∫ t

0

∥∥(log(n2(τ))φ2(τ) − log(n1(τ))φ1(τ))∥∥H2 d τ .

Usando los Lemas 5.4.2 (iii) y 5.4.3 obtenemos

‖Γ(φ1)(t) − Γ(φ2)(t)‖H2 ≤ ΛK3

α

∫ t

0

‖φ1(τ) − φ2(τ)‖H2 d τ < ‖φ1 − φ2‖L∞([0,T ],H2),

lo que significa que en efecto Γ es contractiva en Yr,T . De este modo concluimos latercera etapa de la demostracion.

Aplicando entonces el teorema del punto fijo de Banach tenemos garantizadala existencia de un unico φ ∈ Yr,T punto fijo de Γ en [0, T ] que se puede escribircomo φ(t) = U(t) + V(t) +Wφ(t), donde U ,V ∈ XT como sabemos. En particular,U ,V : [0, T ] → L2(Ω) son lipschitzianas. Ademas, para 0 ≤ t1 < t2 < T se tieneque

‖Wφ(t2) −Wφ(t1)‖L2 ≤ f(t1, t2) + g(t1, t2),

donde f y g vienen dadas por

f(t1, t2) =Λ

α

∫ t1

0

∥∥∥eA(t1−τ)(I − eA(t2−t1)

) [log(n(τ))φ(τ) − LB

]∥∥∥L2dτ,

g(t1, t2) =Λ

α

∫ t2

t1

∥∥∥eA(t2−τ)[log(n(τ))φ(τ) − LB]∥∥∥L2dτ.

Usando que eAt es una isometrıa de L2(Ω) para cada t real y aplicando el Lema1.2.6 podemos estimar f de la siguiente forma:

f(t1, t2) ≤Λ

α

∫ t1

0

∥∥∥∥∫ t2−t1

0

eAτ∆[log(n(τ))φ(τ)]dτ

∥∥∥∥L2

dτ ≤ Λ

αK1T

∗(t2 − t1).

Aprovechando nuevametne que el grupo conserva la norma ‖ · ‖L2 se tiene que

g(t1, t2) ≤Λ

α

∫ t2

t1

∥∥∥log(n(τ))φ(τ) − LB

∥∥∥L2dτ ≤ Λ

α

(K1 + ‖LB‖H2

)(t2 − t1),


luego

‖Wφ(t2) −Wφ(t1)‖L2 ≤ Λ

α

(K1(T

∗ + 1) + ‖LB‖H2

)|t2 − t1| ,

lo que nos permite concluir, dada la arbitrariedad de t1 y t2, que Wφ : [0, T ] →L2(Ω) es lipschitziana, luego φ tambien lo es. Usando la estimacion del Lema 5.4.2

(ii) tenemos que la aplicacion t 7→ φ(t)log(n(t))− LB ∈ L2(Ω) es lipschitziana, y enparticular esta en W 1,1([0, T ], L2(Ω)). Aplicando ahora el Lema 1.2.7 deducimosque Wφ es la unica solucion de

Wφ ∈ C([0, T ],D) ∩ C1([0, T ], L2(Ω)),

i∂tWφ = −Dqq∆Wφ +Λ

α

(log(n)φ− LB

)en [0, T ] × Ω ,

Wφ(0, x) = 0 en Ω .

Como consecuencia, φ ∈ XT y basta observar que φ = U + V + Wφ para darsecuenta de que φ satisface las condiciones inicial y de contorno. Es importante queφ ∈ Yr,T , lo cual implica, en virtud del Lema 5.4.3, que φ ∈ XT

δ . Por tanto, φ es launica solucion del problema (5.10)–(5.11).

5.5. Existencia y unicidad de solucion en dominiosacotados

Una vez establecido el Teorema 5.4.1 ya estamos en condiciones de demostrarla existencia y unicidad de solucion local para el problema de tipo mixto asociadoal modelo SLC, cuya prueba consiste simplemente en transformar las condicionesiniciales y de contorno establecidas en (5.4) segun la transformacion G definidaen (5.9), aplicar el Teorema 5.4.1 para obtener φ ∈ XT

δ , solucion de la ecuacionlogarıtmica, y construir finalmente la unica solucion de nuestro problema a travesde G−1 y del Teorema 5.3.3. Materializamos este proceso en el resultado principalde este capıtulo.

Teorema 5.5.1Sea Ω ⊂ R

d (1 ≤ d ≤ 3) un dominio acotado y supongamos que se satisfacen(H1)–(H3). Entonces se verifican las siguientes afirmaciones:

(i) Existe T > 0 tal que el problema de tipo mixto (5.1), (5.4) asociado a laecuacion de Schrodinger no lineal SLC admite una unica solucion ψ ∈ XT

δ en[0, T ].

(ii) La dinamica asociada a dicho problema es equivalente a aquella asociada alproblema relativo a la ecuacion (5.10) sujeta a las condiciones (5.11), en elsentido de que existe un homeomorfismo de C

([0, T ], H2

δ (Ω))

que conservala densidad local n = |ψ|2 y lleva soluciones de (5.1), (5.4) en soluciones de(5.10)–(5.11).

5.5. Existencia y unicidad de solucion en dominios acotados 99

Demostracion:

Consideramos ψI y ψB las condiciones inicial y de contorno de nuestro problemay definimos φI := G(ψI) y φB := G(ψB), donde G es la transformacion definidaen (5.9). Usando la Proposicion 5.3.1 tenemos que φI ∈ H2

δ (Ω), y gracias a la

Observacion 5.3.2 sabemos tambien que φB ∈ H3/2δ (∂Ω). Entonces las hipotesis del

Teorema 5.4.1 son satisfechas, luego existe T > 0 y φ ∈ XTδ que es la unica solucion

de (5.10)–(5.11) en [0, T ]. Aplicando a continuacion el Teorema 5.3.3 se tiene queψ = G−1(φ) ∈ XT

δ es la unica solucion del problema (5.1), (5.4) en [0, T ], lo quedemuestra el apartado (i). La segunda afirmacion es una consecuencia directa de laProposicion 5.3.1 y del Teorema 5.3.3, donde el homeomorfismo que se mencionaes la propia G. Esto concluye la demostracion. ⊓⊔

Aunque el teorema 5.5.1 esta disenado para dimension 3, tambien se puedeestablecer de forma obvia para d = 1, 2. Generalizar este resultado para cualquierdimension, sin embargo, depende de saber hacerlo con los Teoremas 5.4.1 y 5.3.3,que se fundamentan de forma inevitable en la regularidad y en la separacion decero de las funciones de onda con las que trabajamos. Estas dos condiciones, queen los casos 1 ≤ d ≤ 3 proceden de la inmersion de Sobolev H2(Ω) → L∞(Ω),deben analizarse con mayor profundidad si pretendemos extrapolar el resultado adimension arbitraria.

Del mismo modo, el analisis de la prolongabilidad en tiempo o la existenciaglobal de las soluciones de (5.1), (5.4) es, en este contexto, poco viable. Esto se debea que la dinamica asociada al modelo SLC es demasiado compleja y en principio nose puede garantizar la ausencia de regiones de vacıo, que nosotros evitamos usando(H3) y la acotacion del dominio, y que en caso de generarse con la evoluciontemporal pueden ocasionar la formacion de singularidades.

Surgen dificultades similares si tratamos de estudiar el problema de Cauchyasociado al modelo SLC en todo el espacio R

d. En [107] se estudia el buen plan-teamiento de dicho problema para ecuaciones de tipo Doebner–Goldin ([43]) enun subconjunto denso de L2(Rd) y bajo condiciones sobre los coeficientes que do-tan a la dinamica de un comportamiento parabolico. Dichas condiciones no soncompatibles con las relaciones de linealizacion (5.5), aunque la idea fundamental,que consiste en evitar las singularidades suponiendo perfiles exponenciales, podrıaadaptarse a nuestro caso.

Capıtulo 6

Interpretacion rigurosa ybuen planteamiento local de

la ecuacion deSchrodinger–Langevin

La ecuacion de Schrodinger–Langevin constituye uno de los modelos cuanticosdisipativos mas importantes y es uno de los pocos aceptados como representativo deefectos de friccion en la formulacion de onda de la mecanica cuantica. La descripcionmatematica precisa del termino no lineal que genera dichos efectos, sin embargo,resulta genuinamente controvertida, ya que involucra el conocimiento explıcito delargumento S de la funcion de onda ψ. Es tan claro que la aplicacion ψ 7→ S esmultivaluada como que la eleccion concreta del valor de dicha funcion no debealterar la dinamica observable asociada a ψ, lo que causa irremediablemente elmal planteamiento de cualquier problema asociado a la ecuacion de Schrodinger–Langevin. Sin embargo, los observables asociados a este modelo describen de formafiel las propiedades fısicas deseables en un fenomeno con friccion, lo que nos lleva abuscar una reescritura del termino de friccion en la ecuacion de Schrodinger en lugarde descartar una descripcion de estas caracterısticas. Con dicho proposito vamosa proponer este capıtulo una formulacion de la ecuacion de Schrodinger–Langevinbasada en la derivacion original del mismo (vease [73]), que desarrolla identicadinamica observable y evita cualquier ambiguedad en su escritura. A partir deahı, probaremos el buen planteamiento del problema de tipo mixto sobre dominiosacotados asociado a nuestra reformulacion del modelo, admitiendo el efecto de unpotencial (no lineal) generico Θ y en el marco funcional establecido en capıtulosanteriores. En la ultima seccion aplicaremos este resultado, sacando partido dela libertad de Θ, para resolver el problema tipo mixto asociado a un modelo deSchrodinger–Poisson con entalpıa equivalente a algunos sistemas hidrodinamicoscuanticos que aparecen en el estudio de dispositivos semiconductores [71].

102 6. Interpretacion y buen planteamiento de SL

6.1. Sobre la interpretacion unıvoca de la ecuacionde Schrodinger–Langevin

El modelado de problemas con disipacion en mecanica cuantica plantea nu-merosas dificultades, ya que algunas ecuaciones disipativas clasicas no se puedencuantizar segun los procedimientos usuales. Un ejemplo relevante en esta direccionesta constituido por la ecuacion de Langevin, que describe el movimiento brow-niano de una partıcula clasica suspendida en un fluido y no se puede reescribir enterminos de una funcion hamiltoniana o lagrangiana adecuada. No esta claro, portanto, que proceso puede conducir a una representacion cuantica de dicho compor-tamiento observable. En la interpretacion de onda, una de las leyes de evolucionmayormente aceptadas como ecuacion de Schrodinger–Langevin fue la propuestapor Kostin [73] a principios de los anos setenta, que en el sistema de unidadesestablecido en el Capıtulo 3 viene dada por

i∂tψ = −1

2∆ψ + V ψ + VR(t)ψ + λVL ψ, (6.1)

donde ψ = ψ(t, x) es la funcion de onda, λ > 0 es el coeficiente de friccion, V esel potencial externo y VR es un potencial aleatorio que representa la interacciondel sistema cuantico con el entorno y depende solo del tiempo. Este modelo surgeal anadir a la ecuacion de Schrodinger un potencial efectivo λVLψ para incorporarlos efectos relevantes de la dinamica de Langevin, en el sentido de que los valoresde expectacion de los operadores posicion y momento asociados al estado ψ evo-lucionen segun dicha ley. De este modo se llega al siguiente termino no lineal defriccion

VL(ψ) = S − 〈S〉, (6.2)

donde S representa una funcion argumento de ψ,

S(t, x) =1

2ilog

(ψ(t, x)

ψ(t, x)

),

log(z) y z denotan respectivamente el logaritmo neperiano y el conjugado del nume-ro complejo z, y donde 〈S〉 = 〈S〉(t) es el valor esperado de S en el estado ψ, definidocomo

〈S〉(t) =1

‖ψ‖2L2

∫

Ω

|ψ(t, x)|2S(t, x) dx. (6.3)

que realmente no aporta informacion fısica al sistema, por lo que es usual eliminarlode la ecuacion (6.1) usando la transformacion Gauge

ψ 7→ ψeiν(t), ν(t) = −)

∫ t

0

e−λ(t−τ)〈S〉(τ) dτ.

De esta manera, el propio Kostin desecha la forma original de la ecuacion en favorde

i∂tψ = −1

2∆ψ + V ψ + VR(t)ψ + λS ψ, (6.4)

6.1. Interpretacion unıvoca de Schrodinger–Langevin 103

y prueba en [74] que dicha ecuacion sufre disipacion de energıa. Posteriormente, elmodelo (6.4) y diversas generalizaciones suyas han sido explorados en la literatura.En el Capıtulo 2, por ejemplo, hemos obtenido el termino de Kostin describiendo losefectos de friccion en un modelo que emula la dinamica de WFP. Ademas, el estudiode la ecuacion (6.4) adquiere una relevancia fundamental debido a su equivalenciaformal con los sistemas hidrodinamicos y de flujo potencial cuanticos con friccion([7, 71, 76, 90], por ejemplo), que son modelos ampliamente aceptados cuando seconsidera la presencia de efectos cuanticos en dispositivos semiconductores [70].Esta equivalencia se basa en la descomposicion modulo–argumento de la funcionde onda (descomposicion de Madelung [85] o perfil WKB),

ψ(t, x) = |ψ(t, x)| exp iS(t, x) , (6.5)

que en general no es posible de materializar ya que en zonas de vacıo (donde |ψ| = 0)pierde sentido (no se puede definir el argumento de cero). En [7] se calculan solucio-nes debiles del sistema hidrodinamico a nivel de las densidades local y de corriente,lo cual les permite admitir regiones con densidad nula y evitar el calculo explıcitode S. En el Capıtulo 4, sin embargo, demostramos que para una funcion compleja ψla igualdad (6.5) implica que ∇S = Im (∇ψ/ψ), campo vectorial irrotacional queadmite potenciales escalares, por lo que es suficiente que la distribucion Im (∇ψ/ψ)tenga regularidad Hk−1 para obtener una familia de argumentos en Hk, donde kes cualquier entero arbitrario.

En todo caso, la ecuacion (6.4) esta mal definida incluso en los casos dondese pueda obtener de alguna manera S(ψ) verificando (6.5). Desde el punto devista matematico es claro que la correspondencia ψ 7→ S(ψ) es multivaluada, loque hace necesario disponer de un criterio objetivo y a priori de seleccion delpotencial S. En [71] se resuelve esta ambiguedad para el problema de Dirichlet enun dominio acotado Ω ⊂ R

d (1 ≤ d ≤ 3), imponiendo como hipotesis la existenciade una funcion argumento SI para la condicion inicial ψI y resolviendo el siguienteproblema de valores en la frontera para cada tiempo:

∆S(t) = div

Im

(∇ψ(t)

ψ(t)

)en Ω, (6.6)

S(t) = SB en ∂Ω . (6.7)

Este sistema se obtiene como consecuencia de (6.5) si admitimos que el valor dela funcion S en la frontera del dominio esta determinado en todo tiempo porSB := SI |∂Ω, condicion que no resulta muy restrictiva pues es consistente conlas condiciones de Dirichlet habituales para ψ. Bajo esta interpretacion de S laecuacion (6.4) tiene solucion unica en espacios de funciones separadas de cero, ydichas soluciones permiten resolver los sistemas hidrodinamicos cuanticos con fric-cion asociados a (6.4). Este criterio no resulta plenamente satisfactorio, no obstante,ya que la ecuacion (6.4) con S obtenida de esta manera depende de SI . En efecto,si consideramos como argumento de la condicion inicial S′

I = SI + 2π~ l, con l ∈ Z

arbitrario, en lugar de SI y nos restringimos a la frontera obtenemos S′B := S′

I |∂Ω,cambiando de esta manera los valores de S en la frontera del dominio, lo que impli-ca que una eleccion del argumento inicial altera la definicion del termino no lineal


en la ecuacion de Schrodinger y por tanto la propia ecuacion, caracterıstica estaque resulta poco deseable porque afecta a la dinamica observable del modelo.

Por otra parte, ademas de la ambiguedad que conlleva el tratamiento matemati-co riguroso de (6.4), existe otra razon que convierte dicho modelo en inadmisibledesde un enfoque puramente fısico. Se trata de que no es invariante ante cambiosde fase constantes y globales, propiedad esencial en cualquier modelo que describaun comportamiento cuantico, ya que ψ y φ = eiνψ representan el mismo estadopara cualquier ν ∈ R, y ninguna ecuacion de Schrodinger “admisible” debe dis-tinguir entre ambas funciones de onda. Sin embargo, si ψ es solucion de (6.4),entonces φ = eiνψ no puede ser solucion de la misma ecuacion para ningun ν 6= 0,ya que S(φ) = S(ψ) + ν 6= S(ψ). Como consecuencia debemos descartar (6.4)como ecuacion de Schrodinger–Langevin, ya que presenta serias ambiguedades ensu formulacion y describe distintas dinamicas para estados identicos. No obstante,serıa deseable encontrar un modelo que mantuviese el mismo comportamiento ob-servable. Es por ello que proponemos buscar una reinterpretacion de la descripcionque ofrece Kostin evitando las dificultades que supone trabajar con el potencial nolineal S. Con este proposito podemos aprovechar una propiedad muy sencilla: si ψes una funcion compleja (regular) y S, S′ satisfacen la relacion de Madelung (6.5),entonces S − 〈S〉 = S′ − 〈S′〉 y la aplicacion ψ 7→ VL(ψ), donde VL viene dado por(6.2), esta unıvocamente determinada en consecuencia (a pesar de que S no lo esta).Por tanto, la formulacion original (6.1) con potencial no lineal λVL en lugar de λSevita la ambiguedad en la definicion de l termino de friccion y ademas es invarianteante cambios de fase constantes y globales, ya que para cualquier funcion complejaψ y ν ∈ R arbitrario se tiene que VL(ψ) = VL(ψeiν). Como consecuencia, (6.1)resulta mas apropiada que su version simplificada (6.4), tanto para su interpreta-bilidad fısica como para su tratamiento matematico. Estudiaremos, por tanto, elbuen planteamiento de problemas asociados a aquel modelo en dominios acotadosy bajo condiciones de separacion de cero, admitiendo efectos de autointeraccion einfluencias de un potencial prefijado. Concretamente consideramos la ecuacion deSchrodinger–Langevin generalizada (que denotaremos por SLG)

i∂tψ = −1

2∆ψ + Θψ + λVL ψ, (6.8)

donde λVL es el termino de friccion descrito en (6.2) y Θ es un potencial efectivo,en principio por determinar, que describe los efectos de una fuerza externa sobre elsistema o de la autointeraccion (posiblemente no lineal) que surge eventualmentecomo consecuencia de la influencia del entorno o de un potencial poissoniano (porejemplo, el potencial electrostatico de Hartree). En particular, puede contener losefectos del potencial VR en el modelo de Kostin. En la seccion siguiente estudia-remos la existencia y unicidad de solucion local para el problema de Cauchy concondiciones de tipo Dirichlet en la frontera

ψ(0) = ψI , ψ(t)|∂Ω = ψB . (6.9)

El marco funcional en que nos moveremos se basa en las siguientes hipotesis: dondeΩ ⊂ R

d es un dominio (abierto conexo) con 1 ≤ d ≤ 3 y vamos a imponer las

6.1. Interpretacion unıvoca de Schrodinger–Langevin 105

siguientes hipotesis

(H1) Ω ⊂ Rd (1 ≤ d ≤ 3) es acotado, simplemente conexo con frontera de cla-

se C2 .

(H2) ψI ∈ H2(Ω), ψB ∈ H3/2(∂Ω), y ψI |∂Ω = ψB .

(H3) Existe δ > 0 tal que

ınf-es|ψI(x)| : x ∈ Ω

> δ , ınf-es

|ψB(x)| : x ∈ ∂Ω

> δ .

(H4) Θ : H2δ (Ω) → H2(Ω) es localmente lipschitziana y existe ΘB ∈ H3/2(∂Ω)

tal que Θ(ψ)|∂Ω = ΘB siempre que ψ|∂Ω = ψB .

Recordamos que H2δ (Ω) denota el espacio de funciones de H2(Ω) de modulo mayor

que δ con el que venimos trabajando. La hipotesis de conexion simple aparecede forma natural por la interpretacion del termino de friccion VL dada en (6.2),que conduce en principio al estudio de existencia de argumento para la funcion deonda. En este sentido heredamos la interpretacion contemplada en el Capıtulo 4 yla independencia espacial de 〈S〉 para estudiar la ecuacion

∇VL = Im

(∇ψψ

), (6.10)

que es una consecuencia de (6.2) y (6.5) y que tendra soluciones (vease[3]) siempreque supongamos que Ω es simplemente conexo (en la primera seccion del Capıtulo4 proporcionamos un ejemplo de funcion compleja regular que no puede tenerargumentos en un anillo 2-dimensional). Ademas, si fijamos previamente el valormedio de dichas soluciones en Ω, podemos conseguir una propiedad de dependenciacontinua de las mismas respecto de la funcion de onda [4], lo que nos permiteaprovechar (6.2) para establecer la condicion de normalizacion

〈VL〉 = 0 (6.11)

y ası definir de forma unıvoca el operador VL con la regularidad apropiada paraque el sistema (6.8)–(6.11) disfrute de existencia y unicidad de solucion, evitandola dependencia de una eleccion concreta de argumento para la condicion inicial. Elresultado principal de este capıtulo es el teorema de existencia de solucion fuertepara el problema (6.8)–(6.11), que enunciaremos y demostraremos en la siguienteseccion, estableciendo la existencia del potencial no lineal VL con las propiedadesque hemos descrito. Utilizaremos una tecnica de punto fijo, teniendo en cuentaque el comportamiento de VL no es conocido (ni se puede establecer a priori) enla frontera del dominio Ω, lo que impide utilizar el caracter isometrico del gru-po de Schrodinger. Una vez establecido este resultado, podemos sacar partido dela generalidad del termino Θ para resolver el problema de tipo mixto con condi-ciones de Dirichlet asociado al modelo de Schrodinger–Poisson con entalpıa parasemiconductores [70, 71, 76], que precisamos en la tercera y ultima seccion.


6.2. Existencia y unicidad de solucion local parala ecuacion de Schrodinger–Langevin genera-lizada

La interpretacion del termino de friccion que hemos proporcionado nos permitetrabajar con una version unıvoca de la ecuacion de Schrodinger–Langevin, de formaque (6.1) admite un problema de tipo mixto asociado que disfruta de existencia yunicidad de solucion bajo las hipotesis (H1)–(H4). Este hecho constituye el resul-tado principal del capıtulo, el cual demostramos admitiendo efectos de interaccionmuy generales.


d (1 ≤ d ≤ 3), λ > 0 y supongamos que las hipotesis (H1)–(H4) sonsatisfechas. Entonces existe T > 0 y una unica solucion (ψ,Θ, VL) del problema(6.8)–(6.11) en [0, T ], donde Θ = Θ(ψ) y se verifica

ψ ∈ XTδ , VL ∈ XT , Θ ∈ C([0, T ], H2(Ω)).

Para probar este teorema utilizando un metodo de punto fijo debemos establecerla existencia de un operador VL unıvoco y continuo que nos proporcione el terminode friccion en la ecuacion. Como senalamos anteriormente, lo haremos buscandouna solucion de (6.10) sujeta a la condicion de normalizacion (6.11), planteamientoadecuado para aplicar los resultados desarrollados en el Capıtulo 4.


d (1 ≤ d ≤ 3) un dominio acotado, simplemente conexo y con fronteralipschitziana y T, δ > 0. Entnces existe una aplicacion VL : H2

δ (Ω) → H2(Ω) talque:

(i) Para cualquier ψ ∈ H2δ (Ω), VL(ψ) es solucion de (6.10) con 〈VL(ψ)〉 = 0.

(ii) Para cualquier M > 0 existe C(δ,Ω,M) > 0 tal que

‖VL(ψ) − VL(ϕ)‖H2 ≤ C ‖ψ − ϕ‖H2 ,

‖VL(ψ) − VL(ϕ)‖L2 ≤ C ‖ψ − ϕ‖L2 ,

donde ψ,ϕ ∈ H2δ (Ω) son tales que ‖ψ‖H2 , ‖ϕ‖H2 ≤M.

Ademas, si S ∈ H2(Ω) es un argumento de ψ, entonces VL(ψ) verifica (6.2). Enparticular

VL(ψ) = VL(eiνψ) para cualquier ν ∈ R. (6.12)

Demostracion:

El Lema 4.2.1 garantiza que ∇ψ/ψ ∈ H1(Ω) para cualquier ψ ∈ H2δ (Ω), por lo

6.2. Existencia y unicidad de solucion para SLG 107

que podemos aplicar el Teorema 4.2.2 con µ = 0 y k = 2 y obtener una unicaSψ ∈ H2(Ω) tal que

∇Sψ = Im

(∇ψψ

)y

∫

Ω

Sψ(x) dx = 0.

Dicha Sψ nos permite definir

VL(ψ)(x) := Sψ(x) − 〈Sψ〉 c.t. x ∈ Ω,

de manera que VL(ψ) ∈ H2(Ω) y se verifica (i). Para probar (ii), sea M > 0 ydenotemos MS = sup ‖Sψ‖H2 : ψ ∈ H2(Ω), ‖ψ‖H2 ≤ M < ∞ y K(Ω,M)el maximo de entre las constantes proporcionadas por la inmersion de SobolevH2(Ω) → L∞(Ω), el Lema 4.2.1 para ∇ψ/ψ = J/n y el Teorema 4.2.2 con k = 0, 2.Entonces, para ψ,ϕ ∈ H2

δ (Ω) tales que ‖ψ‖H2 , ‖ϕ‖H2 ≤ M podemos mayorar ladiferencia |〈Sψ〉 − 〈Sϕ〉| por

∫

Ω

1

‖ψ‖2L2

∣∣|ψ(x)|2Sψ(x) − |ϕ(x)|2Sϕ(x)∣∣+∣∣∣∣

1

‖ψ‖2L2

− 1

‖ϕ‖2L2

∣∣∣∣ |ψ(x)|2|Sψ(x)|dx.

Como |ψ(x)|, |ϕ(x)| > δ, el primer sumando esta acotado por

1

δ2|Ω|

(∫

Ω

|ψ(x)|2|Sψ(x) − Sϕ(x)| +

∣∣|ψ(x)|2 − |ϕ(x)|2∣∣|Sϕ(x)|

dx

)

≤ 1

δ2|Ω|(‖ψ‖2

L∞‖Sψ − Sϕ‖L2 + (‖ψ‖L∞ + ‖ϕ‖L∞)‖ψ − ϕ‖L2‖Sϕ‖L∞

),

y aplicando el Teorema 4.2.2 y el Lema 4.2.1 obtenemos C1(δ,Ω,M) > 0 tal que

1

‖ψ‖2L2

∫

Ω

∣∣|ψ(x)|2Sψ(x) − |ϕ(x)|2Sϕ(x)∣∣ dx ≤ C1‖ψ − ϕ‖L2 .

De forma analoga, el segundo sumando esta controlado por

1

‖ψ‖2L2‖ϕ‖2

L2

∣∣‖ϕ‖2L2 − ‖ψ‖2

L2

∣∣ |Ω|‖ψ‖2L∞‖Sψ‖L∞ ≤ C2‖ψ − ϕ‖L2 ,

donde C2 = C2(δ,Ω,M) > 0. De esta manera tenemos que

|〈Sψ〉 − 〈Sϕ〉| ≤ (C1 + C2)‖ψ − ϕ‖L2 , (6.13)

donde C := K+√|Ω|(C1 +C2) es la constante que verifica (ii). Para comprobarlo

basta observar que 〈Sψ〉 y 〈Sϕ〉 no dependen de x, por lo que la estimacion

‖VL(ψ) − VL(ϕ)‖ ≤ ‖Sψ − Sϕ‖ +√|Ω||〈Sψ〉 − 〈Sϕ〉|,

es valida para ‖·‖ = ‖·‖L2 y ‖·‖ = ‖·‖H2 . Ademas, si S ∈ H2(Ω) es un argumentode ψ, basta con tomar derivadas y partes imaginarias en la formula de Madelung


ψ = |ψ|eiS y tomar parte imaginaria para obtener que ∇S = Im(∇ψ/ψ). Portanto, si consideramos σ := S − 〈S〉 − VL(ψ), es claro que ∇σ = 0 y 〈σ〉 = 0, porlo que σ es identicamente nula y obtenemos (6.2). En particular, para cualquierν ∈ R se tiene que S + ν es un argumento de ψeiν y

VL(ψeiν) = S + ν − 〈S〉 − 〈ν〉 = S − 〈S〉 = VL(ψ),

lo que concluye la prueba. ⊓⊔

OBSERVACION 6.2.3 Con el objeto de dar una interpretacion de la dinamicade Langevin cuantica tan solo en terminos de la funcion de onda, en este capıtulovamos a escribir todos los calculos en funcion de ψ y evitar la nomenclatura depen-diente de n y J que venimos utilizando hasta ahora. Sin embargo, la formula (6.12)deja de manifiesto que VL = VL[n, J ] (vease la Observacion 4.3.5). En particular,es factible aplicar el Teorema 4.3.2 a (6.1) (algo que no podemos hacer con (6.4))para obtener regularidad temporal de la propia VL .

La condicion de frontera de tipo Dirichlet prescrita para ψ implica que su argumentoha de estar determinado en ∂Ω en todo tiempo, al menos salvo un multiplo enterode 2π. Esto causa que el valor de VL en la frontera no sea constante a lo largo de laevolucion temporal de la funcion de onda y no se pueda determinar. Como el grupode Schrodinger e i

2∆tt∈R establece una isometrıa del dominio D = H10 (Ω)∩H2(Ω)

para cada t ∈ R que no es una isometrıa de H2(Ω), necesitamos una estimacion ennorma ‖ · ‖H2 de dicho grupo para trabajar con la formulacion integral asociadaa (6.1). La obtendremos gracias a la regularidad de las soluciones del problemaelıptico general (vease el Lema 1.2.2).

Lema 6.2.4Sea Ω ⊂ R

d un dominio acotado con frontera de clase C2. Entonces existe C(Ω) > 0tal que ∥∥∥e i

2∆t g∥∥∥H2

≤ C ‖g‖H2 ∀t ∈ R,

para cualquier g ∈ H2(Ω).

Demostracion:

Seleccionando un representante continuo de g en Ω podemos obtener una unicagB ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω) armonica tal que gB − g ∈ D, en virtud del Lema 1.2.1.Aplicando el Lema 1.2.2 a f = ∆g obtenemos K1(Ω) > 0 tal que ‖g − gB‖H2 ≤K1‖∆g‖L2 , luego

‖gB‖H2 ≤ (K1 + 1)‖g‖H2 . (6.14)

Definimos C := 2K1 + 3 y

ψ(t) := gB + ϕ(t), con ϕ(t) = ei2∆t(g − gB) ∀t ∈ R. (6.15)

Para cualquier t ∈ R se tiene que ei2∆t es una isometrıa del dominio D, luego

‖ψ(t)‖H2 ≤ ‖gB‖H2 + ‖g − gB‖H2 , lo que implica

‖ψ(t)‖H2 ≤ C‖g‖H2 ∀t ∈ R (6.16)


en virtud de (6.14). Para concluir la prueba del lema es suficiente observar que

ψ = u, donde u(t) := ei2∆t g para cualquier t ∈ R real. Con este objeto aplicamos

el Lema 1.2.7 con f = 0, que garantiza que u es la unica solucion de

u ∈ C([0, T ], L2(Ω)) ∩ C1([0, T ],D′),

i∂tu+1

2∆u = 0, (6.17)

u(0) = g,

donde ∆ es el operador con dominio L2(Ω) que extiende ∆. Por otra parte, apli-cando nuevamente el Lema 1.2.7 con f = 0 y condicion inicial g − gB junto con(6.15) obtenemos que ϕ es la unica solucion de

ϕ ∈ C([0, T ],D) ∩ C1([0, T ], L2(Ω)),

i∂tϕ+1

2∆ϕ = 0, (6.18)

ϕ(0) = g − gB .

Por tanto, ψ ∈ C([0, T ],D) ∩ C1([0, T ], L2(Ω)) ⊂ C([0, T ], L2(Ω)) ∩ C1([0, T ],D′)satisface

i∂tψ +1

2∆ψ = i∂t(gB + ϕ) +

1

2∆(gB + ϕ) =

1

2∆gB = 0,

para lo cual hemos empleado el Lema 1.2.5. Como ψ(0) = g, la unicidad en (6.17)nos dice que ψ = u, lo que concluye la prueba gracias a (6.16). ⊓⊔

Estos dos lemas nos ayudan a construir una sucesion en un subconjunto apro-piado de C([0, T ], H2

δ (Ω)) con constante de Lipschitz uniforme, cuyo lımite nospermitira definir la solucion de nuestro problema.

Demostracion del Teorema 6.2.1:

Utilizamos el Teorema de compacidad de Rellich–Kondrakov para seleccionar un re-

presentante continuo de ψB = ψI |∂Ω, por lo que existe una unica ψB ∈ C2(Ω)∩C(Ω)armonica en Ω e igual que ψB en ∂Ω. Utilizando (H4) podemos obtener, de manera

analoga, la unica extension armonica ΘB ∈ C2(Ω)∩C(Ω) de ΘB a todo Ω y definirde ese modo

Z(t) = ψB + ei∆2 t(ψI − ψB) − i

∫ t

0

ei2∆(t−τ)ΘBψB dτ ∀t ∈ R.

Como la aplicacion t 7→ ΘBψB es constante y por tanto pertenece aW 1,1(R, L2(Ω)),podemos aplicar el Lema 1.2.7 para obtener que Z es la unica solucion del problema

Z ∈ C(R, H2(Ω)) ∩ C1(R, L2(Ω)),

i∂tZ +1

2∆Z − ΘBψB = 0, (6.19)

Z(0) = ψI , Z(t)|∂Ω = ψB , t ∈ R.


Z nos permite definir para r, T > 0 el conjunto

Yr,T := ψ ∈ C([0, T ], H2(Ω)) : ‖ψ−Z‖L∞([0,T ],H2) ≤ r, ψ(t)|∂Ω = ψB ∀t ∈ [0, T ],

que goza de las siguientes propiedades:

Lema 6.2.5Bajo las hipotesis del Teorema 6.2.1 y para cualesquiera r, T > 0 se tiene que Yr,Tes un espacio metrico completo (respecto de la norma ‖ · ‖L∞([0,T ];H2)). Ademas,existen r∗, T ∗, C > 0 (dependientes de δ,Ω, ψI , ψB) tales que

(i) ‖Z‖L∞([0,T ];H2) ≤ C,

(ii) Yr,T ⊂ C([0, T ], H2δ (Ω)),

para 0 < r < r∗ y 0 < T < T ∗ arbitrarios.

Demostracion:

Para ver que Yr,T es un espacio metrico completo observamos que esta contenidoen Br(Z), la bola de centro Z y radio r respecto de la norma ‖ · ‖L∞([0,T ];H2),que es completa. Por consiguiente basta comprobar que Yr,T es cerrado en dichabola. Para ello consideramos la aplicacion B : C([0, T ], H2(Ω)) → C([0, T ], H2(Ω))definida por

B(ψ)(t) := ψ(t) − ψB , ∀t ∈ [0, T ] y ψ ∈ C([0, T ], H2(Ω)),

que es continua y permite escribir Yr,T de la siguiente forma:

Yr,T = Br(Z) ∩ B−1(C([0, T ],D)).

Como D es cerrado en H2(Ω), se tiene que Yr,T es cerrado y en consecuenciacompleto respecto de la norma ‖ · ‖L∞([0,T ];H2).Para la segunda parte sea

mI = inf-es|ψI(x)| : x ∈ Ω , mB = inf-es|ψB(x)| : x ∈ ∂Ω ,m = mınmI ,mB .

Como m > δ, existe ε(δ,Ω, ψI , ψB) > 0 tal que ε < m − δ. Definimos r∗ :=ε

2K1, donde K1 es la constante de la inmersion de Sobolev H2(Ω) → L∞(Ω). Nos

valemos, ademas, de la continuidad temporal de Z para garantizar la existencia deT ∗(δ,Ω, ψI , ψB) > 0 tal que

‖Z(t) − ψI‖H2 ≤ r∗ ∀ 0 ≤ t < T ∗ , (6.20)

que permite definir C := r∗ + ‖ψI‖H2 , constante que verifica (i). Falta verificar lainclusion Yr,T ⊂ C([0, T ], H2

δ (Ω)) con 0 < r < r∗ y 0 < T < T ∗ arbitrarios, y paraello es suficiente notar que cada ψ ∈ Br(Z) pertenece a H2

δ (Ω). Lo comprobamos:

‖ψ(t) − ψI‖H2 ≤ ‖ψ(t) − Z(t)‖H2 + ‖Z(t) − ψI‖H2 < 2r∗ =ε

K1


para cualquier t ∈ [0, T ], luego ‖ψ−ψI‖L∞([0,T ];H2) <εK1

y la inmersion de Sobolev

H2(Ω) → L∞(Ω) nos permite establecer que |ψI(x)|−|ψ(t, x)| ≤ |ψI(x)−ψ(t, x)| <ε c.t. x ∈ Ω y para cada t ∈ [0, T ], por lo que |ψ(t, x)| > |ψI(x)|−ε > m0−m+δ ≥ δy entonces ψ ∈ C([0, T ];H2

δ (Ω)), lo que concluye la prueba. ⊓⊔

Tomamos r∗, T ∗,M1 > 0 las constantes que nos proporciona el Lema 6.2.5 y fijamos0 < r < r∗. ParaM := r+2M1 > 0 se tiene que ‖ψ‖L∞([0,T ];H2) ≤M para cualquierψ ∈ Yr,T . El Lema 6.2.2 y la hipotesis (H4) nos proporcionan KVL

(M),KΘ(M) > 0las constantes de lipschitzianidad para VL y Θ, respectivamente, y

MVL= sup‖VL(ψ)‖H2 : ‖ψ‖H2 ≤M y MΘ = sup‖Θ(ψ)‖H2 : ‖ψ‖H2 ≤M,

cotas en norma para los terminos no lineales. Ademas, denotamos por K = K(Ω)a cualquier constante asociada a las estimaciones que provienen de las inmersionesde Sobolev o del Lema 1.2.3. Sean entonces

T1 =mınr, 1/2

KM [λKMVL+MΘ(1 +K3)]

,

T2 =1

2K [λK(MVL+KVL

M) +MΘ +KΘM ],

y elegimos T = mınT ∗, T1, T2. Vamos a construir una solucion de (6.8)–(6.11) en[0, T ] como lımite de una sucesion de elementos de Yr,T . Con este objeto definimos

ψ0 := Z, ψk+1 := Z + ΓVL(ψk) + ΓΘ(ψk), (6.21)

para cada k ≥ 0 entero, donde

ΓVL(ψ)(t) := −iλ

∫ t

0

ei2∆(t−τ)VL(ψ(τ))ψ(τ) dτ,

ΓΘ(ψ)(t) := −i∫ t

0

ei2∆(t−τ)Θ(ψ(τ))ψ(τ) dτ, ∀t ∈ [0, T ]

para cualquier ψ ∈ Yr,T , y vamos a probar que la familia ψkk∈N definida en (6.21)es convergente en Yr,T . Lo haremos en dos etapas:

Etapa 1: La sucesion ψkk∈N esta contenida en Yr,T y existe L > 0 independientede k tal que

‖VL(ψk(t))ψk(t) − VL(ψk(s))ψk(s)‖L2 ≤ L|t− s| ∀t, s ∈ [0, T ] (6.22)

y todo k ≥ 0 entero.Para demostrar esta primera afirmacion definimos

L := K(MVL+KVL

M)Lψ, Lψ = M

(1

2+K(K2MΘ + λMVL

+MΘ)

)


y razonamos por induccion. ψ0 = Z ∈ Yr,T de forma sencilla usando (6.19), queademas implica que ψ0 ∈ XT

δ es solucion de

i∂ψ0 = −1

2∆ψ0 + ΘBψB .

Por tanto, si estimamos las extensiones armonicas como en (6.14), se tiene

‖∂tψ0‖L2 ≤ 1

2‖∆ψ0‖L2 +K‖ΘB‖H2‖ψB‖H2 ≤ Lψ

uniformemente en tiempo, lo que implica que t 7→ ψ0(t) es lipschitziana con cons-tante Lψ, que junto con el Lema 6.2.2 nos permite establecer la estimacion

‖VL(ψ0(t))ψ0(t) − VL(ψ0(s))ψ0(s)‖L2 ≤ K(MVL+KVL

M)Lψ|t− s| (6.23)

para cualesquier t, s ∈ [0, T ]. Esto concluye la etapa 1 para ψ0. Sea ahora k ≥0 y supongamos que ψk ∈ Yr,T y satisface (6.22). Entonces la aplicacion t 7→VL(ψk(t))ψk(t) es lipschitziana y en particular, usando el Lema 1.2.8, esta en

W 1,1([0, T ], L2(Ω)). Ademas, la hipotesis (H4) informa de que Θ(ψk)ψk− ΘBψB ∈C([0, T ],D), por lo que aplicando el Lema 1.2.7 obtenemos que

Γk = ΓVL(ψk) + ΓΘ(ψk)

es la unica solucion de

Γk ∈ C([0, T ],D) ∩ C1([0, T ], L2(Ω)),

i∂tΓk +1

2∆Γk = (Θ(ψk)ψk − ΘBψB) + λVL(ψk)ψk, (6.24)

Γk(0) = 0.

Por tanto ψk+1(t)|∂Ω = ψ0(t)|∂Ω = ψB o, equivalentemente, ψk+1(t) − ψB ∈ Dpara cualquier t ∈ [0, T ]. A continuacion nos valemos del Lema 6.2.4 en t ∈ [0, T ]arbitrario, obteniendo

‖ΓVL(ψk(t))‖H2 ≤ λ

∫ t

0

∥∥∥e i2∆(t−τ)VL(ψk(τ))ψk(τ)

∥∥∥H2

dτ ≤ λK2MMVLt. (6.25)

Por otra parte, aprovechamos que ei2∆t es una isometrıa sobre D para establecer

‖ΓΘ(ψk(t))‖H2 ≤∫ t

0

∥∥∥Θ(ψk(τ))ψk(τ) − ΘBψB

∥∥∥H2

dτ ≤ KMMΘ(1 +K3) t,(6.26)

para todo t ∈ [0, T ]. Como consecuencia

‖ψk+1 − Z‖L∞([0,T ],H2) ≤ KM[λKMVL

+MΘ(1 +K3)]T ≤ r,

ya que T < T1, luego ψk+1 ∈ Yr,T . Para probar que se verifica (6.22) basta observaren (6.19) y (6.24) que ψk+1 ∈ XT

δ es solucion de

i∂tψk+1 +1

2∆ψk+1 = Θ(ψk)ψk + λVL(ψk)ψk,


de donde se desprende que

‖∂tψk+1(t)‖L2 ≤ 1

2M +KM(λMVL

+MΘ) ≤ Lψ, ∀t ∈ [0, T ].

Esto significa que Lψ es una constante de Lipschitz en tiempo valida para ψk+1.Razonando como en (6.23) llegamos a

‖VL(ψk(t))ψk(t) − VL(ψk(s))ψk(s)‖L2 ≤ K(MVL+KVL

M)Lψ|t− s|, (6.27)

para t, s ∈ [0, T ] arbitrarios, luego aplicando el principio de induccion tenemosprobada la etapa 1.

Etapa 2: La sucesion ψkk∈N es de Cauchy (respecto de la norma ‖·‖L∞([0,T ],H2))Para ello es suficiente demostrar que

‖ψk+1 − ψk‖L∞([0,T ],H2) ≤1

2k+1∀k ≥ 0, (6.28)

ya que la propiedad de Cauchy se deduce de esta desigualdad. De nuevo razonamospor induccion. Para k = 0 podemos estimar del mismo modo que en (6.25) y (6.26)y, usando que T < T1, obtener ‖ψ1 − ψk‖L∞([0,T ],H2) ≤ 1

2 . Ademas, si ψ,ϕ ∈ Yr,Tel Lema 6.2.4 nos permite escribir

‖ΓVL(ψ(t)) − ΓVL

(ϕ(t))‖H2 ≤ λK2(MVL+KVL

M)

∫ t

0

‖ψ(τ) − ϕ(τ)‖H2 dτ (6.29)

para t ∈ [0, T ] arbitrario. Asimismo, (H4) implica

‖ΓΘ(ψ(t)) − ΓΘ(ϕ(t))‖H2 ≤ λK(MΘ +KΘM)

∫ t

0

‖ψ(τ) − ϕ(τ)‖H2 dτ (6.30)

para todo t ∈ [0, T ]. Por tanto, si k ≥ 1 se tiene

‖ψk+1 − ψk‖L∞([0,T ],H2) ≤1

2‖ψk − ψk−1‖L∞([0,T ],H2),

donde hemos usado el hecho de que T < T2. Aplicando finalmente la hipotesis deinduccion obtenemos (6.28) y culminamos ası la segunda etapa.La completitud de Yr,T implica entonces la existencia de lımite para la sucesionψk, que denotaremos ψ ∈ Yr,T y nos proporcionara la unica solucion del problema(6.8)–(6.11). En primer lugar basta observar las estimaciones (6.29) y (6.30), quenos permiten pasar al lımite de forma continua en (6.21) de manera que ψ =Z + ΓVL

(ψ) + ΓΘ(ψ). Ademas, si ψ′ ∈ Yr,T tiene esta propiedad, entonces

‖ψ(t) − ψ′(t)‖H2 ≤ 2T2

∫ t

0

‖ψ(τ) − ϕ(τ)‖H2 dτ ∀t ∈ [0, T ],

donde hemos recurrido a (6.29) y (6.30). El Lema de Gronwall implica que ψ = ψ′

y, por tanto, existe un unico punto fijo del operador ψ 7→ Z + ΓVL(ψ) + ΓΘ(ψ).


Para concluir la prueba del Teorema 6.2.1 definimos Θ := Θ(ψ) y VL := VL(ψ) yobservamos que (H4) implica Θ ∈ C([0, T ], H2(Ω)) y que el Lema 6.2.2 garantizaque VL ∈ C([0, T ], H2(Ω)) es solucion de (6.10)–(6.11). Ademas, si observamosque ψ ∈ Yr,T ⊂ C([0, T ], H2

δ (Ω)) verifica las condiciones iniciales y de contorno ytomamos lımite en (6.22), obtenemos que VL(ψ)ψ ∈ W 1,1([0, T ], L2(Ω)). Por otraparte, de la condicion de frontera ψ(t)|∂Ω = ψB y la hipotesis (H4) se deduce

que Θ(ψ)ψ − ΘBψB ∈ C([0, T ],D). Entonces el Lema 1.2.7 implica que ψ ∈ XTδ

es solucion (6.8). Para completar la demostracion tan solo es necesario probar queVL ∈ XT . El Teorema 4.3.2 es aplicable en este caso, por lo que existe un argumentoS ∈ XT de ψ. Teniendo en cuenta que 〈S〉 ∈ C1([0, T ],R) y aplicando el lema 6.2.2,deducimos que VL = S − 〈S〉 ∈ XT , lo que culmina la demostracion.

OBSERVACION 6.2.6 El potencial Θ en la ecuacion (6.8) es generico, y hemosimpuesto la hipotesis (H4) en el Teorema 6.2.1 para poder seleccionar una autoin-teraccion de tipo Poisson de forma sencilla. Esto nos ha obligado a tratar Θ (bienconocido en ∂Ω) de manera distinta a VL, que no esta determinado en la fronteradel dominio pero es lipschitziana respecto de ‖ · ‖L2 . Si sustituimos (H4) por

(H4’) Θ : H2δ (Ω) → H2(Ω) es localmente lipschitziana respecto de ‖ · ‖L2, H2 , s

el teorema sigue siendo valido y la demostracion se simplifica, pues podrıamos tratara Θ independientemente de los valores que pueda tomar en ∂Ω, como sucede conel potencial VL.

OBSERVACION 6.2.7 La generalizacion del Teorema 6.2.1 a dimension arbi-traria presenta dos dificultades. La primera es de regularidad, ya que este resultadodepende fuertemente de la inmersion de Sobolev H2(Ω) → L∞(Ω), que se verificasolamente para 1 ≤ d ≤ 3. En dimensiones superiores, sin embargo, debemos tra-bajar en Hs(Ω) con s > d/2 y la extrapolacion del resultado a dimension arbitrariadepende de aquella del Lema 6.2.4 (ademas de la adaptacion de las hipotesis sobreΘ). La segunda viene del Teorema 4.2.2 que se obtiene gracias a la existencia depotenciales escalares de un campo irrotacional f . En este caso la condicion

∂xjfk = ∂xk

fj , ∀j 6= k

resuelve el problema (consultese la Observacion 4.2.4).

OBSERVACION 6.2.8 El problema de establecer el Teorema 6.2.1 en todo elespacio R

d resulta de gran interes, ya que la tecnica que utilizamos para el casode dominios acotados resulta inoperante. La primera dificultad que encontramosreside en generalizar los Teoremas 1.2.9 y 1.2.10 a todo R

d, problema que puederesolverse usando propiedades de geometrıa diferencial. La segunda, en aparienciamas complicada, es que no esta claro como mantener la condicion ∇ψ/ψ ∈ Hk(Rd)a lo largo de la evolucion temporal, al menos localmente. Un analisis detallado dela accion del grupo de Schrodinger sobre funciones con esa propiedad podrıa darluz sobre esta cuestion.

6.3. Aplicacion: El sistema de SLP con entalpıa 115

6.3. Aplicacion: el sistema de Schrodinger–Lange-vin–Poisson con entalpıa

Consideramos el siguiente sistema de Schrodinger–Poisson no lineal describiendoefectos de friccion y autointeraccion que surge de forma natural en el modeladode dispositivos semiconductores gracias a su equivalencia con los sistemas hidro-dinamicos cuanticos disipativos [7, 70, 71, 76, 90]:

i∂tψ = −1

2∆ψ + V ψ + Uψ + λS ψ, (6.31)

λ2D∆V = C − n, (6.32)

V |∂Ω = VB . (6.33)

En este sistema λD > 0 es la longitud de Debye, λ > 0 el coeficiente de friccion,C = C(x) la concentracion de dopaje del dispositivo, n = |ψ|2 la densidad localasociada a la funcion de onda ψ y VB es el valor del potencial de Poisson enla frontera del dispositivo. Ademas U es un potencial efectivo que representa laentalpıa del sistema,

U(ψ) = h(n), donde r h′(r) = p′(r), con h(1) = 0 (6.34)

y p es la presion, en este caso una funcion escalar que supondremos depende tan solode la densidad n de forma suficientemente suave. El termino Uψ en (6.31) se puedeentender como el efecto observable de la mezcla de estados que se produce comoconsecuencia del efecto del entorno sobre el sistema. Este termino esta asociado aprocesos termicos que se desarrollan de forma natural a nivel hidrodinamico y enlos casos usuales adopta una forma funcional bien definida. Destacan en particularlos perfiles del tipo

p(n) = T0nβ , β ≥ 1,

donde T0 > 0 es la temperatura del sistema, que engloban los modelos hidrodinami-cos isotermo [37, 58, 72] (con β = 1) e isentropico [70] (para cualquier β > 1). Estesistema, que como vemos es de gran relevancia por su aplicabilidad, no ha sido es-tudiado en profundidad en la literatura a causa de las dificultades que presenta eltratamiento del termino de friccion Sψ, expuestas ampliamente en la primera sec-cion. Sin embargo, sustituyendo la no linealidad S en (6.31) por la reinterpretaciondiscutida anteriormente

∇VL = Im

(∇ψψ

), 〈VL〉 = 0, (6.35)

obtenemos una ecuacion bien planteada

i∂tψ = −1

2∆ψ + V ψ + Uψ + λVL ψ, (6.36)

e invariante frente a cambios de fase constantes y globales (vease el Lema 6.2.2), queda lugar a un sistema que respeta la dinamica del original y es matematicamente


tratable. En este caso vamos a estudiar el problema de tipo mixto asociado a (6.36)en un dominio acotado Ω ⊂ R

d (1 ≤ d ≤ 3), con condiciones iniciales y de contorno

ψ(0) = ψI , ψ(t)|∂Ω = ψB , (6.37)

y en el marco funcional de las hipotesis (H1)–(H3). Lo haremos aplicando el Teo-rema 6.2.1 con Θ adecuado y bajo hipotesis poco restrictivas sobre p y C.


d (1 ≤ d ≤ 3), λ, λD > 0, C ∈ L2(Ω), p ∈ C2,1([δ,∞[), VB ∈ H3/2(∂Ω)y supongamos que las hipotesis (H1)–(H3) son satisfechas. Entonces existe T > 0y una unica solucion (ψ, V, VL) del problema (6.32)–(6.37) en [0, T ], que verifica

ψ ∈ XTδ , VL ∈ XT , V ∈ C([0, T ], H2(Ω)).

Para llevar a cabo la demostracion es suficiente hacer una eleccion adecuada delpotencial efectivo Θ de modo que se verifique la hipotesis (H4) del Teorema 6.2.1.En este caso

Θ(ψ) = V (ψ) + U(ψ), (6.38)

donde V (ψ) es la unica solucion del sistema (6.32)–(6.33) y U(ψ) viene determinadoexplıcitamente por (6.34). Debemos, por tanto, establecer dos aplicaciones V y Uen el espacio H2

δ (Ω) con las propiedades adecuadas para que Θ verifique (H4). Enprimer lugar determinaremos V adecuado a nuestro contexto.


d un dominio acotado con frontera de clase C2, C ∈ L2(Ω) y VB ∈H3/2(∂Ω). Entonces existe V : H2(Ω) → H2(Ω) localmente lipschitziana tal que,para cualquier ψ ∈ H2(Ω), V (ψ) es la unica solucion de (6.32)–(6.33).

Demostracion:

Al igual que en la seccion anterior, elegimos un representante continuo de VB defi-nido en ∂Ω y tomamos VB ∈ C2(Ω)∩C(Ω) la extension armonica de VB a todo Ω.Para ψ ∈ H2(Ω) consideramos fψ = − 1

λ2D

(C − n) ∈ L2(Ω) y le aplicamos el Lema

1.2.2, obteniendo de esta forma uψ ∈ D unica tal que ∆uψ = 1λ2

D

(C−n). Por tanto,

definiendo V (ψ) := VB+uψ basta con hacer los calculos para comprobar que V (ψ)resuelve (6.32)–(6.33). Aemas, se trata obviamente de la unica solucion. Si M > 0y ψ,ϕ ∈ H2(Ω) son tales que ‖ψ‖H2 , ‖ϕ‖H2 ≤M, se tiene que

‖V (ψ) − V (ϕ)‖H2 ≤ K1

λ2D

‖nψ − nϕ‖H2 ≤ K1K2

λ2D

‖ψ − ϕ‖H2

tras una nueva aplicacion del Lema 1.2.2 con f = fψ−fϕ que proporciona K1. Porsu parte K2 procede del Teorema 4.2.2. Esto culmina la prueba. ⊓⊔

A continuacion veremos que para p suficientemente regular en intervalos separadosde 0, el potencial U tiene las caracterısticas necesarias.

6.3. Aplicacion: El sistema de SLP con entalpıa 117


d un dominio acotado con frontera de clase C2, δ > 0 y p ∈ C2,1([δ,∞),R).Entonces, si definimos U(ψ) para ψ ∈ H2

δ (Ω) como en (6.34), se tiene que U :H2δ (Ω) → H2(Ω) es una aplicacion localmente lipschitziana.

Demostracion:

Si definimos

h(s) :=

∫ s

1

1

rp′(r) d r ∀s > δ,

es claro, usando el Teorema Fundamental del Calculo y la regularidad de p, queh ∈ C2,1([δ,∞[) y se verifica la segunda igualdad de (6.34). Ademas, U(ψ) ∈ L2(Ω)y podemos aplicar el Lema 1.2.4 dos veces, obteniendo que U(ψ) ∈ H2(Ω) y severifican las reglas de derivacion habituales

∇U(ψ) = h′(n)∇n,(∇⊗∇)U(ψ) = h′′(n)∇n⊗∇n+ h′(n) + (∇⊗∇)n.

Denotamos por K = K(Ω) una constante tal que ‖v‖L∞ ≤ K‖v‖H2 y ‖v‖L4 ≤K‖v‖H1 para cualquier v ∈ C∞

c (Ω). Para probar que U es localmente lipschitzianafijamosM > 0 y usamos la regularidad de h para obtenerKh(Ω,M),Mh(Ω,M) > 0constante de Lipschitz y cota superior, respectivamente, validas para h, h′ y h′′

en el intervalo [δ,KM ]. El Teorema 4.2.2 nos proporciona asimismo Kn(Ω,M),Mn(Ω,M) > 0 constantes analogas para n en Ω. Entonces, para cualesquiera ψ,ϕ ∈H2δ (Ω) tales que ‖ψ‖H2 , ‖ϕ‖H2 ≤M se tiene que

‖U(ψ) − U(ϕ)‖L2 ≤ Kh‖nψ − nϕ‖L2 ≤ C0‖ψ − ϕ‖H2 . (6.39)

Usando ahora (6.39) y acotando de manera sencilla se deduce que

‖∇U(ψ) −∇U(ϕ)‖L2 ≤ ‖h′(nψ)‖L∞‖∇nψ −∇nϕ‖L2

+ ‖h′(nψ) − h′(nϕ)‖L∞‖∇nϕ‖L2 (6.40)

≤ (Mh +MnKh)‖nψ − nϕ‖H1 ≤ C1‖ψ − ϕ‖H2 .

Por ultimo, recurrimos nuevamente a (6.39) para establecer

‖∆U(ψ) − ∆U(ϕ)‖L2 ≤ ‖h′′(nψ)‖L∞(‖∇nψ‖L4 + ‖∇nϕ‖L4)‖∇nψ −∇nϕ‖L4

+ ‖h′′(nψ) − h′′(nϕ)‖L∞‖∇nϕ‖2L4

+ ‖h′(nψ)‖L∞‖∆nψ − ∆nϕ‖L2 (6.41)

+ ‖h′(nψ) − h′(nϕ)‖L∞‖∆nϕ‖L2 ≤ C2‖ψ − ϕ‖H2 ,

donde C0, C1, C2 > 0 son funciones polinomicas de las constantes mencionadasal principio. Utilizando finalmente el Lema 1.2.2 y las estimaciones (6.39)–(6.39)obtenemos la lipschitzianidad local de U . ⊓⊔

Una vez establecidos los terminos no lineales de forma adecuada, podemos probarla existencia y unicidad de solucion local del problema (6.32)–(6.37).


Demostracion del Teorema 6.3.1:

Las hipotesis del teorema implican las condiciones que se imponen en los Lemas6.3.2 y 6.3.3. Por tanto, si definimos Θ(ψ) como en (6.38) para ψ ∈ H2(Ω) y

ΘB = VB + h(nB), nB = |ψB |2,

es sencillo comprobar que la hipotesis (H4) es satisfecha. En efecto, Θ es localmentelipschitziana por ser suma de aplicaciones que lo son y, para cualquier ψ ∈ H2(Ω)tal que ψ|∂Ω = ψB , se tiene que

Θ(ψ)|∂Ω = V (ψ)|∂Ω + U(ψ)|∂Ω = VB + h(n|∂Ω) = ΘB ,

donde las igualdades se han establecido aprovechando la regularidad de h y de n.Aplicando entonces el Teorema 6.2.1 tenemos T > 0 y una unica terna (ψ,Θ, VL)tal que VL ∈ XT satisface (6.35) y ψ ∈ XT

δ cumple las condiciones (6.37) y (6.8)con Θ = U(ψ) + V (ψ) ∈ C([0, T ], H2(Ω)), que es exactamente (6.36). Por ultimo,los Lemas 6.3.2 y 6.3.3 implican que V := V (ψ) ∈ C([0, T ], H2(Ω)) y resuelve(6.32)–(6.33), por lo que (ψ, V, VL) es la unica solucion de nuestro problema comoquerıamos demostrar.

Apendice A

Distintas formulaciones deun sistema cuantico

El objetivo de este apendice es introducir y comparar las descripciones basicasde las distintas formulaciones de la mecanica cuantica que nos han servido demarco teorico para modelar introducir los efectos disipativos, ası como las relacionesformales entre las mismas. Al final se incluye un esquema grafico resumen quepermite visualizar la exposicion previa.

A.1. El operador de densidad y la ecuacion deLiouville Von Neumann

El formalismo de operadores de densidad fue introducido por J. Von Neumannen 1.925 como herramienta compatible con las interpretaciones de Heisenberg–Dirac y de Schrodinger para la mecanica cuantica. Como se trata de la descripcionbasica sobre la que se formulan los sistemas cuanticos abiertos, vamos a dar una ideageneral sobre la nocion de operador de densidad de un sistema cuantico sin mostraruna definicion rigurosa y en todo caso orientada a problemas de ecuaciones enderivadas parciales, por lo que utilizaremos como espacio inicial de estados L2(Rd)(aunque utilizaremos derivadas si fuera oportuno). Puede consultarse en [110] unadiscusion detallada sobre la motivacion y los aspectos teoricos que conducen adefinir el operador de densidad de un sistema cuantico.

El concepto de operador de densidad se fundamenta en la idea de que conocer unsistema fısico S es equivalente a conocer los resultados de medir cualquier magnitudque se pueda observar en S. En mecanica cuantica esta afirmacion cobra especialsentido ya que se postula que los estados de un sistema son elementos de un espaciode Hilbert, que en nuestro caso es L2(Rd) con el producto escalar usual

〈ψ|φ〉 =

∫

Rd

ψ(x)φ(x) dx ∀ψ, φ ∈ L2(Rd).

Cada magnitud A observable sobre S esta representada por un operador lineal yhermıtico A sobre L2(Rd), de manera que

122 Apendice A: Distintas formulaciones de un sistema cuantico

(a) Cualquier medicion de A que realicemos sobre S proporciona siempre comoresultado un valor propio a de A.

(b) Si S esta en el estado ψ, la probabilidad de que al medir A se obtenga a es|〈ψ|φa〉|2, donde φa es un vector propio asociado al valor propio a.

Por tanto, el valor esperado de A en el estado ψ viene dado por 〈A〉ψ = 〈Aψ|ψ〉.Este hecho se puede describir en terminos de un operador de proyeccion asociadoa ψ. En efecto, si consideramos

Pψ : L2(Rd) → L2(Rd), definido por Pψφ = 〈ψ|φ〉ψ ∀φ ∈ L2(Rd),

se tiene que Pψ es (i) hermıtico, (ii) definido positivo y (iii) de clase traza (es decir,tiene traza finita) y basta hacer calculos sencillos para comprobar que el valoresperado del observable A cuando S se encuentra en el estado ψ viene dado por〈A〉ψ = traza(PψA). Por tanto cada estado del sistema ψ define, a traves de suoperador de proyeccion, una forma de calcular el valor esperado 〈·〉ψ de cualquiermagnitud A que se pueda medir en S. Von Neumann abstrae propiedades intuitivassobre que es un valor de expectacion y demuestra que cualquier aplicacion 〈·〉 condichas propiedades queda representada por cierto operador R hermıtico, definidopositivo y de clase traza, de manera que

〈A〉 = traza(RA),

para cualquier observable A con operador asociado A. Esto conduce a identificarcada estado de S con un operador R : L2(Rd) → L2(Rd) verificando (i), (ii) y(iii) que proporciona toda la informacion probabilıstica relativa a mediciones quepodemos hacer sobre S y al que denominaremos operador (matriz) de densidaddel sistema. En el caso particular de que R = Pψ para cierta ψ ∈ L2(Rd), di-remos que el sistema esta en el estado (puro) ψ. Sin embargo, el formalismo deoperadores de densidad admite mucha mayor generalidad permitiendo considerarmezclas estadısticas de estados, propiedad esencial a la hora de incluir los efectosde interaccion de S con otro sistema cuantico.

Von Neumann prueba que la evolucion temporal de R esta gobernada por laversion cuantica de la ecuacion de Liouville:

d

dtR = − i

~[H,R], (A.1)

donde H = − p2

2m + V es el hamiltoniano del sistema (p es el operador momento)asociado al potencial externo V . Para poder trabajar con ella desde nuestro puntode vista consideramos el nucleo integral de R, esto es, ρ = ρ(x, y) tal que

(Rφ)(x) =

∫

Rd

ρ(x, y)φ(y) dy ∀φ ∈ L2(Rd).

Podemos considerar ρ ∈ L2(R2d), ya que si R describe un estado puro ψ es facilprobar que ρ(x, y) = ψ(x)ψ(y) y en el caso general se puede escribir como suma

Apendice A: Distintas formulaciones de un sistema cuantico 123

ponderada de productos de este tipo. Una de las ventajas de ρ es que permitetrabajar “en coordenadas” con el operador R, haciendo posible un tratamiento dela ecuacion de Liouville–Von Neumann en el lenguaje diferencial, que resulta masoperativo que la formulacion basada en operadores. La ecuacion (A.1) se escribeen terminos de ρ de la siguiente manera:

∂tρ = − i

~(Hx −Hy)ρ, (A.2)

donde los subındices en el hamiltoniano indican la variable respecto de la queactuan. Esta igualdad es equivalente a la ecuacion maestra y constituye la reescri-tura apropiada para introducir la ecuacion de Wigner del sistema.

A.2. Interpretacion cinetica. La ecuacion de Wig-ner

La representacion de un sistema cuantico en el espacio de fases establece unaanalogıa con la mecanica clasica de muchas partıculas, que explica la dinamica me-diante una funcion de densidad de probabilidad. Para establecer dicha descripciona partir del operador de densidad R basta considerar su transformada de Wigner[114], que se expresa de la siguiente forma:

W[R](x, ξ) :=1

(2π)d

∫

Rd

ρ(x+

~

2mη, x− ~

2mη)e−iξ·ηdη.

De esta manera se define la funcion de Wigner del sistema como W (x, ξ) :=W(R)(x, ξ) para cualquier (x, ξ) ∈ R

2d, donde x representa la posicion y ξ lavelocidad. El caracter hermıtico de R implica que W es una funcion con valoresreales, aunque se puede comprobar con ejemplos sencillos que no es necesariamentepositiva, lo que provoca que la interpretacion probabilıstica de la funcion de Wig-ner no sea del todo adecuada. Sin embargo el tratamiento de W es mas operativoy aporta un enfoque cinetico a la teorıa cuantica conservando toda la informaciondel sistema. En efecto, la transformacion W es biyectiva y su inversa (denominadacuantizacion de Weyl [113]) viene dada por

(W−1[W ]φ)(x) :=

∫

Rd

W(x+ y

2, ξ)φ(y)e

i~ξ(x−y)dξ, ∀φ ∈ L2(Rd).

La transformacion de Wigner proporciona, por tanto, una reescritura de R massencilla y con una interpretacion clasica mas precisa. Ademas, permite interpretarla ecuacion de Von Neumann como una ecuacion de transporte, ya que tomandoW en (A.1) se deduce la denominada ecuacion de Wigner

∂tW + (ξ · ∇)W + Θ~[V ]W = 0 , (A.3)


donde Θh[V ] es un termino pseudo–diferencial asociado al potencial externo V :

Θ~[V ]W (x, ξ, t) =i

(2π)d

∫

R2d

1

~

[V

(x+

~

2my, t

)− V

(x− ~

2my, t

)]


La ecuacion (A.3) es equivalente a (A.1) y cualquier termino adicional en la ecuacionde Liouville–Von Neumann puede reescribirse (vıa W) en terminos de W , porlo que la equivalencia entre la ecuacion maestra y la de Wigner se conserva sitenemos en cuenta efectos disipativos. Por ultimo, es importante senalar que laevolucion temporal gobernada por las ecuaciones (A.3) o (A.1) conserva estadospuros (asociados a un operador de proyeccion Pψ con ψ ∈ L2(Rd)), pero estapropiedad se pierde en el caso disipativo, como ocurre en los modelos de Caldeira–Leggett o Wigner–Fokker–Planck.

A.3. Enfoque hidrodinamico

Tanto el operador de densidad como la funcion de Wigner proporcionan unadescripcion completa de un sistema cuantico, pero en ciertos casos su estudio resultacomplejo o computacionalmente costoso. Para simplificarlo se pueden considerar losmomentos en velocidad asociados a W

n(t, x)J(t, x)T(t, x)

=

∫

Rd

1ξ

ξ ⊗ ξ

W (x, ξ, t) dξ =

densidad localdensidad de corriente

tensor de energıa cinetica 2

,

y calcular la evolucion temporal de n y J a traves de (A.3), obteniendo el siguientesistema hidrodinamico no local:

∂tn+ divJ = 0 , (A.4)

∂tJ + divT +1

mn∇V = 0 , (A.5)

que se puede reescribir en terminos de la velocidad media u := Jn siempre que la

densidad local no se anule:

∂tn+ div(nu) = 0 , (A.6)

∂tu+ (u · ∇)u = − 1

m∇V − 1

ndiv(P ) , (A.7)

donde P = T− nu⊗ u es el tensor cuantico de esfuerzos. Como la evolucion segun(A.3) conserva la pureza de los estados se puede probar, usando la definicion deT, que div(P ) = 1

m n∇Q, donde Q = Q(t, x) es el potencial cuantico de Bohm yviene dado por

Q := − ~2

2m

∆√n√n.

Apendice A: Distintas formulaciones de un sistema cuantico 125

Por tanto, el sistema (A.6)–(A.7) (y equivalentemente (A.4)–(A.5)) es cerrado yproporciona la formulacion hidrodinamica de De Broglie–Bohm para la mecanicacuantica [34, 18]. En consecuencia, si partimos de un estado puro las evolucionestemporales segun (A.1), (A.3) y estos sistemas son equivalentes. Esto no ocurreen el caso disipativo ya que las ecuaciones maestra y de Wigner no conservanen general la pureza de los estados, causando que el tensor T recoja informacionsobre la mezcla que conforma W en cada instante de tiempo. Esto implica que larepresentacion del sistema basada en n y J no describe totalmente la fenomenologıafısica de W y en particular los sistemas (A.4)–(A.5) y (A.6)–(A.7) no son cerrados,por lo que se hace necesaria alguna relacion de clausura que permita trabajar conellos. Es usual, en este sentido, dar una interpretacion clasica a la informacionadicional que contiene T y no se puede expresar en terminos de n y J , de maneraque div(P ) = div(P c) + 1

m n∇Q, donde P c es el tensor de esfuerzos clasico delsistema. Bajo esta interpretacion podemos obtener modelos hidrodinamicos quedenominaremos locales. Los modelos mas habituales desprecian efectos de tensioneslaterales y describen el tensor en terminos de la presion escalar: P c = pI. Cada perfilde n que supongamos genera un sistema hidrodinamico cuantico: p = 0 conduceal modelo de temperatura cero (que coincide con el sistema de De Broglie–Bohm),p = T0 n con T0 > 0 genera el modelo isotermo [37, 58, 72] y, en general, p = T0 n

β

con β > 1 da lugar a modelos denominados isentropicos [70].

Existe una interpretacion hidrodinamica mas restrictiva que permite conectarcon la formulacion de onda. Se trata de considerar solo fluidos irrotacionales (sinvorticidad), lo que permite encontrar un campo escalar S de mu y expresar todala informacion en funcion de la densidad local n y de dicha S. En este caso losdos miembros de la ecuacion (A.7) se pueden ver como gradientes, lo que permitededucir la evolucion temporal de S en funcion de n y S, que da lugar al denominadosistema hidrodinamico cuantico de flujo potencial:

∂tn+1

mdiv(n∇S) = 0, (A.8)

∂tS +1

2m|∇S|2 = −V −mU −Q, (A.9)

donde n∇U = div(P c). Si partimos de un estado puro se puede demostrar querot(u) = 0 en todos los instantes de tiempo, luego U = 0 y la evolucion segunel sistema (A.8)–(A.9) (eliminando los efectos de U) es equivalente a la que pro-porcionan (A.1) y (A.3). Admitiendo efectos disipativos no tenemos garantizadala irrotacionalidad del fluido que describimos, luego la hipotesis de existencia de Ssupone una perdida de informacion real acerca del sistema. Ademas el potencialU no se anula en general, y bajo las interpretaciones comentadas anteriormentedescribe la entalpıa del sistema U = h(n), con nh′(n) = p′(n).


A.4. Formulacion de onda y ecuacion de Schrodin-ger

La interpretacion de Schrodinger es una de las formulaciones basicas de lamecanica cuantica y su conexion con la formulacion hidrodinamica se basa en ladescomposicion de Madelung de la funcion de onda, de manera que si partimos dela descripcion de un sistema basada en n y S es suficiente definir

ψ =√n exp

i

~S

para obtener la funcion de onda que describe la misma fısica que n y S. La evoluciontemporal de ψ queda descrita a partir de esta construccion y del sistema de flujopotencial (A.8)–(A.9). En el caso no disipativo (donde U = 0) es sencillo comprobarque ψ satisface la ecuacion de Schrodinger

i~∂tψ = − ~2

2m∆ψ + V ψ. (A.10)

Existe controversia sobre la equivalencia matematica entre (A.8)–(A.9) y la ecua-cion de Schrodinger, basada en la posible multivaluacion de ψ que pueden originardistintas soluciones del sistema de flujo potencial (en [111] se defiende que es ne-cesaria una condicion de cuantizacion adicional sobre S, mientras que en [67] sejustifica que esa condicion se verifica sin necesidad de ser impuesta). No obstan-te, si entendemos el estado cuantico como un “rayo” de funciones de onda (sindistinguir entre ψ y eiνψ) dicha multivaluacion no afecta a la fısica del sistema ypodemos tratar la ecuacion de Schrodinger y el sistema de flujo potencial comoequivalentes de forma efectiva. Por tanto, en el caso hamiltoniano (sin efectos dedisipacion) la evolucion de un estado puro segun la ecuacion de Wigner (y de VonNeumann) es equivalente a la ecuacion de Schrodinger. En un proceso disipativose pueden establecer ecuaciones de Schrodinger que incorporan efectos observablesde esta ındole conservando las densidades local y de corriente, aunque en generales imposible representar un sistema disipativo de manera fiel utilizando una unicafuncion de onda. En primer lugar debemos observar que mediante esta construc-cion hemos ido descartando informacion para poder construir la funcion de onda apartir de un operador de densidad general. Ademas esta carencia no depende delprocedimiento y las hipotesis utilizadas, ya que cada funcion de onda ψ representaun estado puro Pψ y las evoluciones segun las ecuaciones maestras y de Wigner conefectos adicionales no respetan esta propiedad. Se pueden establecer representacio-nes para mezclas de estados utilizando un sistema de ecuaciones de Schrodinger,si bien mediante esta aproximacion no se puede recuperar toda la informacion queencierran R o W , por lo que este enfoque no es suficientemente operativo. En lapagina siguiente mostramos una visualizacion de las relaciones entre las distintasformulaciones y la evolucion temporal natural que llevan asociada cada una deellas.

Apendic

eA

:D

istin

tas

formulacio

nes

de

un

sistema

cuantic

o127

!" #$

%& '(

Operador de densidad R

Ecuacion de Von Neumann

W !!!" #$

%& '(

Funcion de Wigner W

Ecuacion de WignerW−1

""

n :=

∫

Wdξ

J :=

∫

ξWdξ

##!" #$

%& '(

Densidades local n y de corriente J

Sistema de arrastre–difusion no local

u :=J

n, n != 0

$$

Relaciones de clausura para el sistema de momentos:modelos de temperatura cero, isotermo, entre otros

##

!" #$

%& '(

Densidad n y velocidad media u

Sistema hidrodinamico no localJ := nu

%%

##!" #$

%& '(

Densidades local n y de corriente J

Sistema de arrastre–difusion local

u :=J

n, n != 0

$$!" #$

%& '(

Densidad local n y velocidad media u

Sistema hidrodinamico localJ := nu

%%

&&

u =1

m∇S

##!" #$

%& '(

Funcion de onda ψ

Ecuacion de Schrodinger

##

R = Pψ

&&

n := |ψ|2, ∇S = Im

(∇ψ

ψ

)

, ψ != 0

''

!" #$

%& '(

Densidad n y fase S

Sistema hidrodinamico (flujo potencial)

ψ :=√

n ei

!S

((

Apendice B

Soluciones exactas de laecuacion de

Wigner–Fokker–Planck

Consideramos la ecuacion de Wigner–Fokker–Planck (WFP)

∂tW + (ξ · ∇)W + Θ~[V ]W = LWFP [W ] ,

donde

LWFP [W ] =Dpp

m2∆ξW + 2λdivξ(ξW ) + 2

Dpq

mdiv(∇ξW ) +Dqq∆W ,

las constantes fısicas estan descritas en el Capıtulo 2, Θ~[V ]W es el termino pseudo–diferencial asociado al potencial externo V :

Θ~[V ]W (x, ξ, t) =i

(2π)d

∫

R2d

1

~

[V

(x+

~

2my, t

)− V

(x− ~

2my, t

)]


Vamos a calcular la solucion exacta y los momentos de orden mas bajo, ası comoel potencial U de la familia SLD para la partıcula libre y el oscilador armonico,de entrada en el caso general (dimension y condicion inicial arbitrarios) e iremosparticularizando para los ejemplos que utilizamos en el capıtulo 3. Supondremos laregularidad que sea necesaria para poder llevar a cabo los calculos.

B.1. Solucion del problema de valores iniciales aso-ciado a la ecuacion de Wigner–Fokker–Planck

Como se trata de una ecuacion lineal podemos emplear la transformada deFourier

F [W ](y, ζ, t) =

∫

R2d

W (x, ξ, t)expi x y + i ξ ζd(x, ξ),

130 Apendice B: Soluciones exactas de WFP

cuya inversa viene dada por

F−1[G](x, ξ, t) =1

(2π)d

∫

R2d

G(y, ζ, t)exp−i x y − i ξ ζd(y, ζ),

para transformarla en una mas simple .

Teorema B.1La aplicacion F lleva la ecuacion de Wigner–Fokker–Planck en la siguiente:

∂tG+ (2λ ζ − y) · ∇ζ G+ F [Θ~[V ]W ] +

(Dpp

m2|ζ|2 + 2

Dpq

my · ζ +Dqq|y|2

)G = 0.

Demostracion:

Si denotamos G = F [W ], es claro que F [∂tW ](y, ζ, t) = ∂tG(y, ζ, t). Ademas

F [(ξ · ∇)W ](y, ζ, t) =

∫

R2d

d∑

j=1

ξj∂xjW (x, ξ, t)

expi x · y + iξ · ζd(x, ξ)

=1

i

d∑

j=1

∂ζj

(∫

Rd

expi ξ · ζ∂xjW (x, ξ, t) expi x · yd(x, ξ)

)

y F [(ξ · ∇)W ](y, ζ, t) = −y · ∇ζG(y, ζ, t), en consecuencia. Por otra parte

F [∆ξW ](y, ζ) = i2d∑

j=1

ζ2j

∫

R2d

W (x, ξ) expi x · y + i ξ · ζ d(x, ξ) = −|ζ|2G(y, ζ).

Analogamente, F [∆W ](y, ζ, t) = −|y|2G(y, ζ, t). Para los terminos cruzados se tie-ne

F [divξ (ξ W )](y, ζ, t) =

d∑

j=1

∫

R2d

∂ξj(ξjW (x, ξ, t) ) expi x · y + iξ · ζd(x, ξ)

= −d∑

j=1

ζj∂ζj

∫

R2d

W (x, ξ, t) expi x · y + iξ · ζd(x, ξ),

luego F [divξ (ξ W )](y, ζ, t) = −ζ · ∇ζG(y, ζ, t). Finalmente

F [div (∇ξW )](y, ζ, t) =

d∑

j=1

∫

R2d

∂xj

(∂ξj

W (x, ξ, t))expi x · y + iξ · ζd(x, ξ)

= i2d∑

j=1

yjζjG(y, ζ, t) = −y · ζ G(y, ζ, t).

Apendice B: Soluciones exactas de WFP 131

Por tanto, si tomamos transformada de Fourier en la ecuacion de Wigner–Fokker–Planck y reagrupamos terminos, tenemos demostrado el teorema. ⊓⊔

En consecuencia, resolviendo la ecuacion para G podemos recuperar W . Estoscalculos los haremos de forma independiente para los dos potenciales en los queestamos interesados.

B.1.1. La partıcula libre

En este caso tomamos V = 0 y tenemos que resolver

∂tG+ (2λ ζ − y) · ∇ζ G+

(Dpp

m2|ζ|2 + 2

Dpq

my · ζ +Dqq|y|2

)G = 0 (B.1)

Para ello planteamos el sistema caracterıstico asociado:

Y ′(t) = 0, Y (0) = y,

Z ′(t) = 2λZ(t) − Y (t), Z(0) = ζ.

Resolviendo la ecuacion homogenea, aplicando el metodo de variacion de constantese imponiendo la condicion inicial, obtenemos que las curvas caracterısticas de (B.1)vienen dadas por

Y (t) = y,

Z(t) = ζe2λt + y2λ

(1 − e2λt

).

(B.2)

En este caso es sencillo deducir la inversion de las mismas:y = Y (t),

ζ = Y (t)2λ

(1 − e−2λt

)+ Z(t)e−2λt.

(B.3)

A continuacion denotamos G(t) = G(Y (t), Z(t), t) y ası podemos interpretar laecuacion (B.1) como una ecuacion diferencial ordinaria, lo que nos proporciona,tomando como condicion inicial W (0) = δ0 (que implica G(0) ≡ 1), la siguienteexpresion:

G(t) = exp

−∫ t

0

(Dpp

m2|Z(s)|2 + 2

Dpq

mY (s)Z(s) +Dqq|Y (s)|2

)ds

.

Usando (B.2) obtenemos que la integral anterior vale

−Dpp

m2

[|ζ|2 e4λt − 1

4λ+

|y|24λ2

(t+

e4λt − 2e2λt + 1

4λ

)+y · ζλ

(2e2λt − e4λt − 1

4λ

)]

−Dpq

m

[y · ζ

(e2λt − 1

2λ

)+

|y|22λ

(t− e2λt − 1

2λ

)]−Dqq|y|2t.


Conforme a (B.3) y reagrupando de nuevo en terminos de Z(t) e Y (t) tenemos queG viene dada por

G(t) = exp−a(t)|Y (t)|2 − b(t)Y (t) · Z(t) − c(t)|Z(t)|2,

donde los coeficientes a, b y c vendran dados por (3.16) en el sistema de unidadesfijado en el Capıtulo 3. De este modo podemos recuperar la transformada de Fourierde la solucion:

F [W ](y, ζ, t) = exp−a(t)|y|2 − b(t)y · ζ − c(t)|ζ|2.

Finalmente, para obtener W debemos conocer la transformada inversa. El siguientelema nos sera de utilidad siempre que debamos efectuar dicho calculo.

Lema B.2Si c > 0 y 4ac− b2 > 0, entonces

1

(2π)d

∫

R2d

exp−a|y|2 − b y · ζ − c|ζ|2exp−iy · x− iζ · ξ d(y, ζ)

es igual a1

(2π)d(4ac− b2)d2

exp

−a |ξ|

2 + b x · ξ + c |x|24ac− b2

.

Demostracion:

Denotando por I(x, ξ) a la integral que pretendemos calcular, tenemos que

I(x, ξ) =1

(2π)2d

∫

R2d

exp−a|y|2 − iy · x∫

Rd

exp−c|ζ|2 − b y · ζ − iζ · ξdζdy.

Sea I1(y, ξ) la integral respecto de ζ, que se puede escribir de la siguiente manera:

I1(y, ξ) =

∫

Rd

exp

−∣∣∣∣√c ζ +

b y + i ξ

2√c

∣∣∣∣2

exp

|b y + i ξ|24 c

dζ =

(πc

) d2

e|b y+i ξ|2

4 c ,

donde se ha usado el cambio de variable

η =√c ζ +

b y + i ξ

2√c

y

∫

Rd

e−|η|2 d η = πd2 . Insertando el valor de I1 en I se obtiene que el valor de esta

integral es

πd2 exp

− 1

4c |ξ|2

(2π)2dcd2

∫

Rd

exp

−

∣∣∣∣∣∣

√a− b2

4cy +

i(x− b

2cξ)

2√a− b2

4c

∣∣∣∣∣∣

2

−∣∣x− b

2cξ∣∣2

4a− b2

c

dy.


Haciendo el cambio de variable

η =

√a− b2

4cy +

i(x− b

2cξ)

2√a− b2

4c

exp

1

4c|ξ|2

y usando de nuevo la integral de Gauss tenemos finalmente que I(x, ξ) es igual a

1

(2π)d (4ac− b2)d2

exp

− c|x|2

4ac− b2− b2|ξ|2

16ac2 − 4b2c+

bx · ξ4ac− b2

− |ξ|24c

.

Agrupando y simplificando obtenemos el resultado anunciado. ⊓⊔

Como las funciones c(t) y 4a(t)c(t) − b(t)2 son positivas podemos aplicar elLema B.2 para obtener que

W0(x, ξ, t) =(4π2 d(t)

)− d2 exp

− c(t)

d(t)|x|2 +

b(t)

d(t)x · ξ − a(t)

d(t)|ξ|2

resuelve la ecuacion de Wigner–Fokker–Planck, donde a, b y c son las calculadasanteriormente y

d(t) = 4a(t)c(t) − b(t)2 ∀t > 0

es una funcion positiva. Para obtener la solucion de la ecuacion de WFP con unacondicion inicial arbitraria WI , ensayamos perfiles de la forma

W (x, ξ, t) =

∫

R2d

W0(x−A(z, v, t), ξ −B(z, v, t), t)WI(z, v) d(z, v)

y usamos que W0 es solucion de la ecuacion de WFP, es decir

(∂tW0 + ξ · ∇W0 − LWFP [W0])(x, ξ, t) = 0 ∀(x, ξ, t) ∈ R2d × R

+0 .

En particular esta identidad es satisfecha para los puntos de la forma (x−A, ξ−B, t),de modo que denotando W0(x− A, ξ − B, t) por W0(·) y desarrollando el terminodivξ(ξW ) de LWFP tenemos que

∂tW0(·) + ξ · ∇W0(·) − 2λξ · ∇ξW0(·) −Dpp

m2∆ξW0(·) − 2λdW0(·)

−2Dpq

mdiv (∇ξW0)(·) −Dqq∆W0(·) = B∇W0(·) − 2λB∇ξW0(·). (B.4)

Si W ha de ser solucion de la ecuacion de WFP, entonces (∂tW + ξ · ∇W −LWFP [W ])(x, ξ, t) = 0, lo que implica

0 =

∫

R2d

−∂tA∇W0(·) − ∂tB∇ξW0(·) + ∂tW0(·) + ξ · ∇W0(·) −

Dpp

m2∆ξW0(·)

−2λξ · ∇ξW0(·) − 2λdW0(·) − 2Dpq

mdiv (∇ξW0)(·) −Dqq∆W0(·)

WI(z, v)d(z, v).


Usando (B.4), tenemos que∫

R2d

(−∂tA+B)∇W0(·) + (−∂tB − 2λB)∇ξW0(·)WI(z, v) d(z, v) = 0.

Esta igualdad se cumple si A y B satisfacen el siguiente sistema de ecuacionesA′(t) = B(t),

B′(t) = −2λB(t),

donde podemos considerar la dependencia de z y v como parametrica. Ademas siimponemos que W (x, ξ, 0) = WI(x, ξ) tenemos que

∫

R2d

W0(x−A(0), ξ −B(0), 0)WI(z, v) d(z, v) = WI(x, ξ),

de donde se desprende que A(0) = z y B(0) = v, habida cuenta de que W (·, ·, 0) =δ0. Por consiguiente tenemos planteado un problema de valores inciales para A yB que podemos resolver, obteniendo ası la solucion de la ecuacion de WFP concondicion inicial WI en el caso V = 0:

W (x, ξ, t) =

∫

R2d

W0(x−Az(t) z −Av(t) v, ξ −Bz(t) z −Bv(t) v, t)WI(z, v) d(z, v),

donde Az, Av, Bz y Bv vienen dadas por:

Az(t) = 1, Bz(t) = 0,Av(t) = 1

2λ (1 − e−2λt), Bv(t) = ve−2λt,

formulas que nos proporcionan la ecuacion (3.17), las cuales utilizamos en las si-mulaciones numericas del Capıtulo 3.

B.1.2. El oscilador armonico

En este caso consideramos V = k2 |x|2, donde k es la constante de recuperacion.

Calculamos en primer lugar el termino pseudo–diferencial en la ecuacion de WFP:

Θ~[V ]W =i k

(2π)dm

d∑

j=1

xj

∫

Rd

yj

∫

Rd

W (x, ξ′, t)e−i(ξ−ξ′)·y dξ′ dy.

Haciendo el cambio de variable η = ξ′ − ξ obtenemos

Θ~[V ]W = − k

m

d∑

j=1

xj

∫

Rd

∂ηjW (x, ξ + η, t)δ(η) dη,

donde hemos usado que (2π)d∫

Rd ei y·η dy = δ(η). Por tanto, para el oscilador

armonico se tiene que

Θ~[V ]W (x, ξ, t) = − k

m(x · ∇ξ)W (x, ξ, t),


y la ecuacion de WFP es ahora

∂tW + (ξ · ∇)W − ω20(x · ∇ξ)W = LWFP [W ] ,

donde ω0 =√

(k/m) > 0 es la frecuencia natural del oscilador. Usando el TeoremaB.1 y el hecho de que

F [(x · ∇ξ)W ](y, ζ, t) = −ζ · ∇yG(y, ζ, t),

que se deduce de forma analoga a F [(ξ · ∇)W ] (hecho en la prueba del teorema),tenemos que la ecuacion para la transformada de Fourier se lee

∂tG+ω20 ζ·∇y G+(2λ ζ−y)·∇ζ G+

(Dpp

m2|ζ|2 + 2

Dpq

my · ζ +Dqq|y|2

)G = 0. (B.5)

Para resolverla planteamos, al igual que antes, el sistema caracterıstico asociado:

Y ′(t) = ω2

0 Z(t), Y (0) = y,

Z ′(t) = 2λZ(t) − Y (t), Z(0) = ζ,

de manera que las curvas caracterısticas para (B.5) vienen dadas por

Y (t) = C1 eλ+t + C2 eλ−t,

Z(t) = λ+

ω20C1 eλ+t + λ+

ω20C2 eλ−t,

donde

C1 =ω2

0 ζ − λ− y

λ+ − λ−, C2 =

−ω20 ζ + λ+ y

λ+ − λ−.

La inversion de las caracterısticas viene dada por las siguientes expresiones

y = e−2λt

λ+−λ−

((λ+eλ+t − λ−eλ−t)Y + (−ω2

0eλ+t − ω20eλ−t)Z

),

ζ = e−2λt

λ+−λ−

((eλ+t − eλ−t)Y + (−λ−eλ+t + λ+eλ−t)Z

),

(B.6)

tras calculos largos pero sencillos. Notese que λ++λ− = 2λ, λ+−λ− = 2√λ2 − ω2

0

y λ+λ− = ω20 , propiedades que utilizaremos asiduamente de aquı en adelante. Del

mismo modo respetaremos la notacion de la raız con radicando negativo, dandoleel sentido de numero complejo imaginario puro.

Una vez conocidas las curvas caracterısticas podemos resolver la ecuacion paraG. Si denotamos G(t) = G(Y (t), Z(t), t), podemos entender la evolucion de Gcomo una ecuacion diferencial ordinaria, que para G(0) = 1 (que corresponde aW (0) = δ0, como ya comentamos en el caso anterior) implica

G(t) = exp

−∫ t

0

(Dpp

m2|Z(s)|2 + 2

Dpq

mY (s) · Z(s) +Dqq|Y (s)|2

)ds

.


Sustituyendo la expresion de las caracterısticas y agrupando adecuadamente sededuce que

G(t) = −|C1|2D+(t) − |C2|2D−(t) − C1 · C2D(t),

donde

D ± (t) =1

2λ±

(Dpp

m2

λ2±ω4

0

+Dqq +2Dpqλ±ω2

0 m

) (e2λ± t − 1

),

D(t) =1

2λ

(2Dpp

m2 ω20

+ 2Dqq +4λDpq

ω20 m

) (e2λt − 1

).

Para introducir (B.6), comenzamos desarrollando C1 y C2 en funcion de y y ζ:

|C1|2 =1

(λ+ − λ−)2(ω4

0 |ζ|2 + λ2− |y|2 − 2ω2

0 λ−ζ y),

|C2|2 =1

(λ+ − λ−)2(ω4

0 |ζ|2 + λ2+ |y|2 − 2ω2

0 λ+ζ y),

C1 C2 =1

(λ+ − λ−)2(−ω4

0 |ζ|2 − ω20 |y|2 + 2ω2

0 λζ y).

Ası

−|C1|2D+(t) − |C2|2D−(t) − C1 · C2D(t) =−a(t) |y|2 − c(t) |ζ|2 − b(t) y · ζ

(λ+ − λ−)2,

donde los nuevos coeficientes vienen dados por

a(t) = λ2−D+(t) + λ2

+D−(t) − ω20 D(t),

b(t) = 2ω20 (−λ−D+(t) − λ+D−(t) + λD(t)),

c(t) = ω40 (D+(t) +D−(t) +D(t)).

Insertando (B.6) encontramos que G(t) esta determinada por

G(t) = exp−a(t)|Y (t)|2 − b(t)Y (t) · Z(t) − c(t)|Z(t)|2,

donde a, b y c estan descritos en (3.20) en el sistema de unidades normalizado.Atendiendo a la definicion de G(t) podemos recuperar la transformada de Fourierde la solucion:

F [W ](y, ζ, t) = exp−a(t)|y|2 − b(t)y · ζ − c(t)|ζ|2.

Para conocer W debemos calcular la transformada inversa. Usando que las funcio-nes c(t) y d(t) := 4a(t)c(t)−b(t)2 son positivas (se puede observar representandolas)y aplicando el Lema B.2 obtenemos que

W0(x, ξ, t) =(4π2 d(t)

)− d2 exp

− c(t)

d(t)|x|2 +

b(t)

d(t)x ξ − a(t)

d(t)|ξ|2


es solucion de la ecuacion de Wigner–Fokker–Planck. Para resolver el problemade Cauchy asociado a dicha ecuacion con una condicion generica WI ensayamosperfiles de la forma

W (x, ξ, t) =

∫

R2d

W0(x−A(z, v, t), ξ −B(z, v, t), t)WI(z, v) d(z, v).

Razonando de forma analoga al caso de la partıcula libre se debe cumplir

∫

R2d

(−∂tA+B)∇W0(·) + (−∂tB − 2λB − ω2

0 A)∇ξW0(·)WI(z, v) d(z, v) = 0.

Esta igualdad es satisfecha si A y B resuelven el siguiente sistema de ecuaciones

A′(t) = B(t),

B′(t) = −2λB(t) − ω20 A(t),

donde podemos considerar la dependencia de z y v como parametrica. Ademas, siimponemos que W (x, ξ, 0) = WI(x, ξ) se tiene que

∫

R2d

W0(x−A(0), ξ −B(0), 0)WI(z, v) d(z, v) = WI(x, ξ),

de donde se deduce que A(0) = z y B(0) = v. Por tanto, disponemos de unproblema de valores inciales para A y B cuya solucion es

A(t) = − v + λ−z

λ+ − λ−e−λ+t +

v + λ+z

λ+ − λ−e−λ−t,

B(t) =λ+(v + λ−z)

λ+ − λ−e−λ+t − λ−(v + λ+z)

λ+ − λ−e−λ−t.

En consecuencia la solucion de la ecuacion de WFP con condicion inicial WI parael oscilador armonico viene dada por (3.21), como pretendıamos comprobar.

B.2. Densidad local asociada a la ecuacion de Wig-ner–Fokker–Planck

Como hemos demostrado anteriormente, la solucion de la ecuacion de WFPpara los dos potenciales estudiados viene dada en ambos casos por

W (x, ξ, t) =

∫

R2d

W0(x−Az(t) z −Av(t) v, ξ −Bz(t) z −Bv(t) v, t)WI(z, v) d(z, v),

donde WI es la condicion inicial, W0 es funcion maxwelliana:

W0(x, ξ, t) =(4π2 d(t)

)− d2 exp

− c(t)

d(t)|x|2 +

b(t)

d(t)x ξ − a(t)

d(t)|ξ|2,


y donde a, b, c, d y Az, Av, Bz, Bv son funciones que dependen exclusivamente deltiempo (diferentes para cada potencial). Calcularemos a continuacion los momentosasociados a W de orden mas bajo aprovechando esta estructura de las soluciones.El primero de ellos es la densidad local, que constituye el momento de orden cero:

n(x, t) =

∫

Rd

W (x, ξ, t) dξ,

y se puede calcular insertando el perfil de las soluciones que conocemos y denotando(por simplicidad) A = Az z +Av v y B = Bz z +Bv v:

n(x, t) =1

(2π)d (4ac− b2)d2

∫

R2d

WI(z, v) exp

−c |x−A|24ac− b2

I2(x, z, v, t) d(z, v),


I2(x, z, v, t) =

∫

Rd

exp

b(x−A)(ξ −B)

4ac− b2− a|ξ −B|2

4ac− b2

dξ.

Haciendo el cambio de variable ξ′ = ξ −B tenemos el valor de I2:

I2(x, z, v, t) =

((4ac− b2)π

a

) d2

exp

b2 |x−A|2

4a(4ac− b2)

,

y la densidad local asociada a la ecuacion de WFP con condicion inicial WI vienedada por

n(t, x) =1

(4πa)d2

∫

R2d

exp

− 1

4a|x−Az(t) z −Av(t) v|2

WI(z, v) d(z, v). (B.7)

Tomaremos d = 1, el regimen de constantes en el que ~ = m = kB = 1 y elegi-mos como dato inicial la distribucion maxwelliana centrada en la posicion x0 y lavelocidad ξ0,

WI(x, ξ) =1

πexp

−(x− x0)

2 − (ξ − ξ0)2. (B.8)

Usando la expresion general para n establecida en (B.7) y agrupando conveniente-mente los terminos de la exponencial, tenemos que la densidad local asociada a Wviene dada por

1

2√aπ3

exp

− 1

4ax2 − x2

0 − ξ20

∫

R

exp

−(A2z

4a+ 1

)z2 +

(Azx

2a+ 2x0

)z

I3dz,

donde

I3(x, z, t) =

∫

R

exp

−(A2v

4a+ 1

)v2 −

(AzAvz

2a− Avx

2a− ξ0

)v

dv.

Para calcular esta integral usaremos el siguiente resultado:


Lema B.3Si α > 0, entonces para cualquier β ∈ R se tiene que

∫

R

exp−α v2 − 2βv

dv =

√π√α

exp

β2

α

.

Demostracion:

Como

−αv2 − 2β v = −(√

α v +β√α

)2

+β2

α,

tenemos que

∫

R


dv = exp

β2

α

∫

R

exp

−(√

α v +β√α

)2dv,

por lo que haciendo el cambio de variable w =√α v + β√

αy usando la integral de

Gauss concluimos que

∫

R


dv = exp

β2

α

1√α

∫

R

exp−w2

dw =

√π√α

exp

β2

α

⊓⊔

Por tanto, tomando

α =A2v + 4a

4ay β =

1

4a(Az Av z −Av x− 4a ξ0),

el Lema B.3 asegura que

I3(x, z, t) =2√π a√

4a+A2v

exp

(AzAvz −Avx− 4a ξ0)

2

4a(4a+A2v)

.

En consecuencia, la densidad n(t, x) es igual a

e−14ax2−x2

0−ξ20

π√

4a+A2v

∫

R

e− 4a+A2

z4a z2+

Azx+4ax02a z+

(AzAvz−(Avx+4aξ0)

)24a(4a+A2

v) dz.

Desarrollando los argumentos de las exponenciales y denotando

e(t) =1

4a(t) +Az(t)2 +Av(t)2,

se obtiene

n(t, x) =1

π√

4a+A2v

exp

− 1

4a+A2v

x2 +4aξ20 + 2Avξ0x

4a+A2v

− x20 − ξ20

I4(t, x),


donde

I4(t, x) =

∫

R

exp

− 1

e(4a+A2v)z2 − 2

(AzAvξ0 −Azx− x0(4a+A2

v))

4a+A2v

z

dz.

Usando de nuevo el Lema B.3 con

α =−1

e(4a+A2v), β =

AzAvξ0 −Azx− x0(4a+A2v)

4a+A2v

podemos deducir el valor de I4, lo que implica que desarrollando el cuadrado delexponente, agrupando en torno a las potencias de x y simplificando valiendonos dela definicion de e tenemos que la densidad local asociada a WFP con dato inicialmaxwelliano es

n(t, x) =(e(t))

12

π12

exp−e(t)

(x− (Az(t)x0 +Av(t)ξ0)

)2,

que haciendo x0 = ξ0 = 0 y ajustando adecuadamente los coeficientes en la defini-cion de e, nos conduce a los valores de n en (3.19) (teniendo en cuenta los valoresde Az, Av, Bz y Bv) para la partıcula libre y (3.22) para el oscilador armonico.

B.3. Densidad de corriente asociada a la solucionde la ecuacion de Wigner–Fokker–Planck

La densidad de corriente es el momento de primer orden respecto de la velocidad:

J(t, x) =

∫

Rd

ξ W (x, ξ, t) dξ.

Vamos a calcularla de manera analoga a la densidad n(t, x). Como en el casoanterior, denotamos A = Az z +Av v y B = Bz z +Bv v. Entonces

J(t, x) =1

(2π)d (4ac− b2)d2

∫

R2d

WI(z, v) exp

−c |x−A|24ac− b2

I5(x, z, v, t) d(z, v),

donde

I5(x, z, v, t) =

∫

Rd

ξ exp

b(x−A)(ξ −B)

4ac− b2− a|ξ −B|2

4ac− b2

dξ.

Haciendo el cambio de variable

ξ = B +

√4ac− b2

a

(ξ +

b(x−A)

2√a(4ac− b2)

)

se deduce que I5 vale

(4ac− b2

a

) d2

eb2|x−A|2

4a(4ac−b2)

∫

Rd

[√4ac− b2

a

(ξ +

b(x−A)

2√a(4ac− b2)

)+B

]e−|ξ|2dξ.


Esta expresion se puede descomponer en dos integrales. La primera es nula ya quela aplicacion ξ 7→ ˜−|ξ|2 expξ es una funcion impar, luego

I5(x, z, v, t) =

((4ac− b2)π

a

) d2(B +

b

2a(x−A)

)exp

b2 |x−A|2

4a(4ac− b2)

,

y la corriente asociada a la ecuacion de WFP con condicion inicial generica WI es

J(t, x) =1

(4πa)d2

∫

R2d

(B +

b

2a(x−A)

)exp

− 1

4a|x−A|2

WI(z, v) d(z, v).

A continuacion calcularemos esta densidad de corriente en el caso unidimensionalpara una condicion inicial maxwelliana centrada en la posicion x0 y en la velocidadξ0 (cf. (B.8)) y, al igual que antes, en el sistema normalizado de unidades esta-blecido en el Capıtulo 3. Usando la formula general de la densidad de corriente ymanteniendo la notacion para A y B tenemos que J viene dada por

1

(4π3a)12

∫

R2

(B +

b

2a(x−A)

)exp

− (x−A)2

4a− (z − x0)

2 − (v − ξ0)2

d(z, v).

Para dar una expresion explıcita de J desarrollando el argumento de la exponencialy escribimos esta ultima igualdad de la siguiente manera:

J(t, x) =1

2√π3a

exp

− 1

4ax2 − x2

0 − ξ20

(I6(t, x) + I7(t, x) + I8(t, x)

),

lo que nos permitira calcular la densidad de corriente a partir de I6, I7 e I8. Comen-zamos con I6:

I6(t, x) =bx

2a

∫

R

exp

−(A2z

4a+ 1

)z2 +

(Azx

2a+ 2x0

)z

I9(x, z, t) dz,

donde

I9(x, z, t) =

∫

R

exp

−(A2v

4a+ 1

)v2 −

(AzAvz

2a− Avx

2a− 2ξ0

)v

dv.

Si aplicamos el Lema B.3 con

α =A2v + 4a

4ay β =

1

4a(Az Av z −Av x− 4a ξ0)

obtenemos el valor de I9. Insertandolo en la expresion de I6 se deduce que el valorde esta integral es

b√π x√

a(4a+A2v)

∫

R

e(AzAvz−Avx−4aξ0)2

4a(4a+A2v)

−„

A2z

4a +1

«

z2+(Azx2a +2x0)z

dz.


Ya hemos calculado esta integral en el apartado referente a la densidad local (trasproporcionar la expresion de I3), y su valor es

π√

4a+A2v exp

1

4ax2 + x2

0 + ξ20

n(t, x),

por lo que

I6(t, x) =bx√aπ3/2exp

1

4ax2 + x2

0 + ξ20

n(t, x).

Calculamos a continuacion I7, que se puede escribir de la siguiente manera:

I7(t, x) =2√πa√

4a+A2v

(Bz −

b

2aAz

)exp

(Avx+ 4aξ0)

2

4a(4a+A2v)

×∫

R

z exp

− 1

e(4a+A2v)z2 − 2z(AzAvξ0 −Azx− x0(4a+A2

v)

(4a+A2v)

dz.

Para ello usaremos el siguiente resultado (analogo al Lema B.3):

Lema B.4Si α > 0, entonces para cualquier β ∈ R se tiene que

∫

R

z exp−α z2 − 2βz

dz = −β

√π

α3/2exp

β2

α

.

Demostracion:

Ajustando cuadrados en el exponente llegamos a

∫

R

z exp−α z2 − 2βz

dz = exp

β2

α

∫

R

z exp

−(√

α z +β√α

)2dz.

Haciendo ahora el cambio de variable

z =1√α

(w − β√

α

),

teniendo en cuenta la imparidad de la funcion w 7→ w exp−w2 y usando laintegral de Gauss concluimos que la integral que queremos calcular vale

exp

β2

α

1√α

∫

R

1√α

(w − β√

α

)exp

−w2

dw = −β

√π

α3/2exp

β2

α

.

⊓⊔

Utilizando este resultado con

α = − 1

e(4a+A2v)

y β =1

4a+A2v

(Az Av ξ0 −Az x− x0(4a+A2v))


y simplificando, obtenemos la siguiente expresion para I7:

I7(t, x) = 2√aπe

32

(Bz −

b

2aAz

)(−Az Av ξ0 +Az x+ x0(4a+A2

v))

× exp

(Avx+ 4aξ0)

2

4a(4a+A2v)

+e

4a+A2v

(Az Av ξ0 −Az x− x0(4a+A2

v))2.

Para concluir tan solo falta calcular I8:

I8(t, x) =

(Bv −

b

2aAv

)∫

R

v exp

−(A2v

4a+ 1

)v2 +

(Avx

2a+ 2ξ0

)v

I10dv,

donde

I10(x, v, t) =

∫

R

exp

−(A2z

4a+ 1

)z2 −

(AzAvv

2a− Azx

2a− 2x0

)z

dz.

Observese que I8 e I10 son analogas a I7 e I9 respectivamente, donde se identificanz ↔ v, Az ↔ Av, Bz ↔ Bv y x0 ↔ ξ0. Por tanto, los calculos ya realizados implican

I8(t, x) = 2√aπe

32

(Bv −

b

2aAv

)(−Az Av x0 +Av x+ ξ0(4a+A2

z))

× exp

(Azx+ 4ax0)

2

4a(4a+A2z)

+e

4a+A2z

(Az Av x0 −Av x− ξ0(4a+A2

z))2.

Ya podemos reconstruir J , que vendra como suma de tres expresiones. Si usamosel valor de I6, la primera de ellas se puede escribir como

1

2√π3a

exp

− 1

4ax2 − x2

0 − ξ20

bx√aπ3/2exp

1

4ax2 + x2

0 + ξ20

n(t, x),

que depende de la densidad local ya conocida, por lo que el primer sumando de Jes

e22

√π

b

2ax exp

−e(x− (Az x0 +Avξ0)

)2.

De la misma manera podemos calcular la segunda componente

1

2√π3a

exp

− 1

4ax2 − x2

0 − ξ20

I7(t, x),

que conduce a

e3/2√π

(Bz −

b

2aAz

)(Az x+ x0(4a+A2

v) −Az Av ξ0)exp·,

donde el argumento de la exponencial viene dado por

−e(x2 −2(Azx0 +Avξ0)x+A2zx

20 +A2

vξ20 +2AzAvx0ξ0) = −e

(x− (Azx0 +Avξ0)

)2,


tras largas pero sencillas simplificaciones, lo que nos proporciona la expresion de-finitiva del segundo sumando de la corriente:

e32

√π

(Bz −

b

2aAz

)(Az x+ x0(4a+A2

v) −Az Av ξ0)e−e(x−(Azx0+Avξ0)

)2.

Finalmente, si intercambiamos Az ↔ Av, Bz ↔ Bv y x0 ↔ ξ0 podemos conocer elultimo termino:

e3/2√π

(Bv −

b

2aAv

)(Av x+ ξ0(4a+A2

z) −Az Av x0

)e−e(x−(Azx0+Avξ0)

)2.

Estamos ya en condiciones de escribir la densidad de corriente. Sustituyendo, re-agrupando y usando la definicion de e(t) tenemos que la densidad de corrienteasociada a WFP con condicion inicial maxwelliana es

J(t, x) =e(t)3/2√

π

(fx(t)x+ fx0(t)x0 + fξ0(t) ξ0

)exp

−e(x− (Azx0 +Avξ0)

)2,

donde f, fx0 y fξ0 son funciones que dependen exclusivamente del tiempo, y estandadas por

fx(t) = Az(t)Bz(t) +Av(t)Bv(t) + 2b(t),

fx0(t) = (4a(t) +Av(t)2)Bz(t) − (2b(t) +Av(t)Bv(t))Az(t),

fξ0(t) = 4a(t) +Az(t)2)Bv(t) − (2b(t) +Az(t)Bz(t))Av(t).

Finalmente, si elegimos x0 = ξ0 = 0 se deducen las formulas para J que presentamosen (3.19) y (3.22), sin mas que tener en cuenta los valores de Az, Av, Bz y Bv en elcaso de la partıcula libre y la definicion apropiada de g(t) en el caso del osciladorarmonico. A modo de conclusion, presentamos en la siguiente pagina un esquemacon los resultados obtenidos.

Apendic

eB

:Solucio

nes

exactas

de

WFP

145

Solucion de la ecuacion de Wigner con condicion inicial arbitraria WI :

W (x, ξ, t) =

Z

R2

W0

„

x − (Az(t)z + Av(t)v), ξ − (Bz(t)z + Bv(t)v), t

«

WI(z, v) d(z, v), W0(x, ξ, t) =`

4π2d(t)

´

−

d

2 exp

− c(t)

d(t)|x|2 +

b(t)

d(t)x ξ − a(t)

d(t)|ξ|2

ff

.

y los coeficientes vienen dados por:

Partıcula libre: V = 0 Oscilador armonico: V (x) =ω2

0

2x

2

a(t) =1

4λ2

Dpp + 4λ2Dqq + 4λDpq + (1 − e

−2λt)

„

Dpp

4λ(e−2λt − 3) − 2Dpq

«ff

, a(t) =1

(λ+ − λ−

)2

n

a(t)`

λ+eλ+t − λ

−e

λ−

t´2+ c(t)

`

eλ+t − e

λ−

t´2+ b(t)

`

λ+e2λ+t + λ

−e2λ

−t − 2λe

2λt´

o

e−4λt,

b(t) =1

4λ2(1 − e

−2λt)“

4λDpq + Dpp(1 − e−2λt)

”

, b(t) = − 1

(λ+ − λ−

)2

n

ω20 a(t)

`

λ+e2λ+t + λ

−e2λ

−t − 2λe

2λt´

+ c(t)`

λ−

e2λ+t + λ+e

2λ−

t − 2λe2λt´

+b(t)“

2ω20

`

e2λ+t + e

2λ−

t´

+ (λ+ + λ−

)2e2λt”o

e−4λt,

c(t) =Dpp

4λ(1 − e

−4λt). c(t) =1

(λ+ − λ−

)2

n

a(t)`

eλ+t − e

λ−

t´2+ c(t)

`

λ+eλ−

t − λ−

eλ+t´2

+ ω20 b(t)

`

λ+e2λ

−t + λ

−e2λ+t − 2λe

2λt´

o

e−4λt,

a(t) =λ2

+

2λ−

»

Dqq +λ−

ω20

„

λ−

ω20

Dpp + 2Dpq

«–

(e2λ−

t − 1) +λ2−

2λ+

»

Dqq +λ+

ω20

„

λ+

ω20

Dpp + 2Dpq

«–

(e2λ+t − 1),

b(t) =1

λ(2ω

20Dqq + Dpp + 4λDpq)(e

2λt − 1) −„

ω20

λ+

Dqq +λ+

ω20

Dpp + 2Dpq

«

(e2λ+t − 1)

−„

ω20

λ−

Dqq +λ−

ω20

Dpp + 2Dpq

«

(e2λ−

t − 1) ,

c(t) =ω2

0

2

„

ω20

λ+

Dqq +λ+

ωDpp + 2Dpq

«

(e2λ+t − 1) +

„

ω20

λ−

Dqq +λ−

ω20

Dpp + 2Dpq

«

(e2λ−

t − 1)

ff

−ω20

2λ(2ω

20Dqq + Dpp + 4λDpq)(e

2λt − 1).

Densidades local y de corriente asociadas a dicha solucion con condicion inicial gaussiana en el caso unidimensional:

n(t, x) =(e(t))

12

π12

expn

−e(t)`

x − (Az(t)x0 + Av(t)ξ0)´2

o

, J(t, x) =e(t)3/2

√π

`

fx(t) x + fx0(t) x0 + fξ0(t) ξ0

´

expn

−e`

x − (Az(t)x0 + Av(t)ξ0)´2

o

,


e(t) =1

4a(t) + Az(t)2 + Av(t)2, fx(t) = Az(t) Bz(t)+Av(t) Bv(t)+2b(t), fx0

(t) = (4a(t)+Av(t)2) Bz(t)−(2b(t)+Av(t) Bv(t)) Az(t), fξ0(t) = 4a(t)+Az(t)2) Bv(t)−(2b(t)+Az(t) Bz(t)) Av(t).

Los coeficientes Az, Av, Bz, Bv vienen dados por:

Partıcula libre: V = 0 Oscilador armonico: V (x) =ω2

0

2x

2

Az(t) = 1, Av(t) =1 − e−2λt

2λ, Az(t) =

1

λ+ − λ−

“

λ+e−λ

−t − λ

−e−λ+t

”

, Av(t) =1

λ+ − λ−

“

e−λ

−t − e

−λ+t”

,

Bz(t) = 0, Bv(t) = e−2λt. Bz(t) =

ω20

λ+ − λ−

“

e−λ+t − e

−λ−

t”

, Bv(t) =1

λ+ − λ−

“

λ+e−λ+t − λ

−e−λ

−t”

.

Indice alfabetico

Cuantizacion de Weyl, 123

Densidad de corriente asociada a la fun-cion de onda, 38, 67, 82

Densidad de corriente asociada a la fun-cion de Wigner, 29, 84, 124

Densidad local asociada a la funcion deonda, 38, 67, 82

Densidad local asociada a la funcion deWigner, 28, 84, 124

Descomposicion de Madelung de una fun-cion de onda, 7, 65, 103

Ecuacion de Doebner–Goldin linealiza-ble, 83

Ecuacion de Liouville–Von Neumann, 122Ecuacion de Schrodinger puramente lo-

garıtmica, 83, 91Ecuacion de Schrodinger–Langevin, 7, 102Ecuacion de Schrodinger–Langevin ge-

neralizda, 104Ecuacion de Wigner–Fokker–Planck, 4,

28Ecuacion en la forma de Lindblad, 3Ecuacion maestra de Caldeira–Leggett,

2Ecuacion maestra de Caldeira–Leggett,

version cinetica, 32Ecuacion maestra de Diosi en forma de

operadores, 3Ecuacion maestra de Diosi para ρ, 26Ecuacion SLC, 9, 82Ecuacion SLD, 8, 38Entalpıa de un sistema, 42, 115

Familia de Doebner–Goldin, 9, 83

Hipotesis sobre los parametros de WFP,27

Operador de densidad de un sistema cuanti-co, 122

Potencial cuantico de Bohm, 30, 70

Reinterpretacion del termino de friccion,105

Relaciones de clausura del modelo SLD,35

Sistema de Schrodinger–Langevin con en-talpıa, 115

Sistema hidrodinamico asociado a WFP,29, 84

Sistema hidrodinamico de flujo potencialasociado a SLD, 37, 91

Solucion exacta de WFP para el oscila-dor armonico, 58, 134

Solucion exacta de WFP para la partıcu-la libre, 57, 131

Tensor de energıa cinetica asociado a lafuncion de Wigner, 29, 124

Tensor de esfuerzos asociado a WFP, 30,85

Teorema de existencia de argumento pa-ra funciones independientes deltiempo, 72

Teorema de existencia de argumento pa-ra la solucion de una ecuacionde Schrodinger, 76

Teorema de existencia de solucion de SLG,106


Teorema de existencia de solucion paraSLP con entalpıa, 116

Teorema de existencia y unicidad de so-lucion para SLC, 98

Transformacion Gauge que conecta SLCcon Schrodinger logarıtmica, 83

Transformada de Wigner, 27

Velocidad media asociada a la funcionde Wigner, 29

Velocidad osmotica, 30

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