Departamento de Matematica Aplicada Ecuaciones diferenciales II

Hoja de ejercicios numero 1.

1. Encuentre la solucion general y resuelva, en su caso, los problemas de valores iniciales indi-cados:

(a) y′ − y = 2x exp(2x), y(0) = 1

(b) y′ + 2y = x exp(−2x), y(1) = 0

(c) dy/dx = x2/y

(d) dydx = x−exp(−x)

y+exp(y)

(e) dydx = x2

1+y2

(f) xdx + ye−xdy = 0, y(0) = 1

(g) dydx = 2x

1+2y , y(2) = 0

(h) (−3x + y + 6)dx + (x + y + 2)dy = 0.

2. Determine cuales de las siguientes ecuaciones son exactas y resuelva las que los sean.

(a) (2x + 3) + (2y − 2)y′ = 0.

(b) (2x + 4y) + (2x− 2y)y′ = 0.

(c) (9x2 + y − 1)dx− (4y − x)dy = 0.

(d) (2xy2 + 2y) + (2x2y + 2x)y′ = 0.

(e) dydx = −ax+by

bx+cy ..

(f) (ex sen y − 2y senx)dx + (ex cos y + 2 cos x)dy = 0.

(g) (yexy cos 2x− 2exy sen 2x + 2x)dx + (xexy cos 2x− 3)dy = 0.

(h) (x log y + xy)dx + (y log x + xy)dy = 0.

3. Pruebe que las siguientes ecuaciones no son exactas, pero lo son tras multiplicar por el factorintegrante que se indica. Integre las ecuaciones.

(a) x2y3 + x(1 + y2)y′ = 0, µ = 1/(xy3).

(b)(

sen yy − 2e−x senx

)dx +

(cos y+2e−x cos x

y

)dy = 0, µ = yex.

(c) y dx + (2x− yey) dy = 0, µ = y.

4. Halle un factor integrante e integre.

(a) (3x2y + 2xy + y3)dx + (x2 + y2)dy = 0.

(b) dt +(

tx − senx

)dx = 0.

(c) y dx + (2xy − e−2y) dy = 0.

5. Integre las siguientes ecuaciones de Bernouilli:

(a) dydx − 5y = −5

2xy3.

(b) dydx + y

x−2 = 5(x− 2)y1/2.

(c) dydx + y3x + y = 0.

6. (a) Pruebe que si (∂P∂y −

∂Q∂x )/(Qy − Px) es una funcion g(z) del producto z = xy, entonces

µ(z) = exp(∫

g(z)dz) es un factor integrante de la ecuacion P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0.

(b) Halle una condicion similar para que la ecuacion admita un factor integrante que depen-da solo de la combinacion x + y.

(c) Aplique los apartados anteriores para integrar la ecuacion

(y2 + xy + 1)dx + (x2 + xy + 1)dy = 0

de dos formas distintas. Intente congraciar ambos resultados.

7. Encuentre una ecuacion diferencial cuyas soluciones y = y(x) sean todas las circunferenciasdel plano 0xy con centro en el origen. Idem para todas las circunferencias de radio unidady centro en el eje de abscisas. Idem para todas las circunferencias con centro en el eje deabscisas.

8. Dibuje un esbozo de las siguientes familias uniparametricas de curvas. Para cada una deellas obtenga una ecuacion diferencial para la familia de curvas ortogonales a las dadas. (a)xy = c2, (b) y = cx2, (c) y = cex.

9. Encuentre una ecuacion diferencial cuyas soluciones sean la familia de rectas tangentes a laparabola x2 = 4y. Compruebe que la propia parabola es una curva integral de la ecuaciondiferencial. Por lo tanto por cada punto de la parabola pasan dos curvas integrales.

10. Hallar las curvas que satisfacen cada una de las condiciones geometricas siguientes.

(a) La porcion de la tangente limitada por los ejes tiene como punto central al punto detangencia.

(b) La proyeccion sobre el eje x de la parte de la normal entre (x, y) y el eje x tiene longitud1.

(c) La proyeccion sobre el eje x de la parte de la tangente entre (x, y) y el eje x tiene longitud1.

(d) La porcion de la tangente entre (x, y) y el eje x es bisectada por el eje y.

(e) La porcion de la normal entre (x, y) y el eje y es bisectada por el eje x.

(f) (x, y) equidista del origen y del punto de interseccion de la normal con el eje x.

11. Un movil parte desde el origen por el primer cuadrante. El area bajo la curva que describedesde (0, 0) hasta (x, y) es un tercio del area del rectangulo que tiene a esos puntos comovertices opuestos. Halle la ecuacion de la curva.

12. Tres vertices de un rectangulo de area A estan sobre el eje x, en el origen, y sobre le eje y.El cuarto se desplaza sobre una curva y = y(x) en el primer cuadrante. Halle la ecuacion dela curva si se sabe que el ritmo de cambio de A con respecto a x es proporcional a A.

13. (a) Pruebe que las ecuaciones del tipo:

yf(xy)dx + xg(xy)dy = 0,

con f y g funciones derivables con continuidad, admiten un factor integrante del tipo

µ(x, y) =1

xyf(xy)− xyg(xy)

siempre que el denominador no se anule. Calcule la solucion si xyf(xy)− xyg(xy) ≡ 0.

(b) Resuelva la ecuaciony(1 + 2xy)dx + x(1− xy)dy = 0

usando el factor integrante del apartado anterior.

(c) Resuelva la ecuacion de (b) mediante el cambio de variable z = xy. ¿Es este un proce-dimiento general para las ecuaciones del tipo del apartado (a)? Razone la respuesta.