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Ejercicios de determinantes

1. Aplica las propiedades de los determinantes para comprobar que el siguiente determinante es nulo:

2. Resuelve la ecuación =0 . (Solución : x=-3, x=1).

3. Si =1, halla, sin desarrollarlo, , explicando qué

propiedades de los determinantes utilizas. (Solución: -1).

4. Recuerda que . Si = 7, ¿cuál es el valor de los siguientes

determinantes?

a)

b)

c)

d)

Solución: a) 49 b) c) 7 d) 1.

5. Si = 4 y = 5, ¿cuál es el valor de los siguientes determinantes?

a)

b)

c)

Solución: a) 20, b) 20, c)

2

6. Halla el determinante de la matriz X que verifica: A·B – X = , siendo

A = , B = . (Solución: X= , det X = 1)

7. Resuelve la ecuación =0.

(Solución: ; x=-1, x=2, x=3)

8. Dadas las matrices A= , B=

a) Halla los valores de k para los que se verifica =0

b) ¿Para qué valores de k se verifica =0?

Soluciones: a) Para k= , k= -2 b) para todo k.

9. Prueba, sin desarrollar que los determinantes siguientes son nulos:

a) b) c)

10. Prueba sin desarrollar que los determinantes siguientes son múltiplos de 11:

a) b) c)

11. a) La matriz A verifica A2=A. Halla los posibles valores de .

b) La matriz A verifica A·At= I. Halla los posibles valores de .

3

c) Si A es una matriz cuadrada de orden 4,¿qué relación hay entre det(A) y det(kA)?

12. Comprueba que las siguientes igualdades son verdaderas:

a)

b) =

c) =2

d)

13. Determina según los valores de m el rango de las siguientes matrices:

A= B= C= D=

Solución: a) m=-6, ranA = 2; m -6, ran A =3

b) m=1, ran B =1; m=-2 ranB=2; m 1, -2, ran B=3

c) m=3, ranC=3; m 3, ranC=4

4

d) m=10, ran D =3; m 10, ran D=4

14. Estudia el rango de las siguientes matrices: A= B=

C=

Solución: ranA=2, ranB=3, ranC=415. Estudia el rango de las siguientes matrices según los valores de t:

A= B= C=

Solución: a) t=2, ranA=3; t 2, ranA=4

b) t=0 ó t=4, ranB=3; t 0,4, ran B=4

c) t=0, ranC=3; t=1, ranC=2;t=-2,ranC=3; t 0, 1, -2, ranC=4