EJERCICIOS DE ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

MÉTODO DE LAS FUERZAS VS MÉTODO MATRICIAL1. MÉTODO DE LAS FUERZAS

SOLUCIÓN:

Primero isostatizamos la estructura quitando los dos apoyos centrales y colocando redundantes:

MOMENTOS CON LAS CARGAS REALES

Calculamos las reacciones:

∑M 1=0 −3wl ( 3l2 )+R4 (3 l )= 0 R4=3wl2

∑ F y=0 R1−3wl+¿ 3wl2 = 0 R1= 3wl2

TRAMO 1-2

∑M=0

M = 3wlx2

−wx2

2

TRAMO 2-3

∑M=0 M = wl2+wlx2

−wx2

2

TRAMO 3-4

∑M=0 M = wl2−wlx2

−wx2

2

CARGA UNITARIA EN X1

Calculamos las reacciones:

∑M 1=0 1(l)+R4 (3 l )= 0 R4=−13

∑ F y=0 R1+1−¿ 13 = 0 R1= −23

TRAMO 1-2

∑M=0

m1 = −2x3

TRAMO 2-3

∑M=0 m1 = x3 -

2l3

TRAMO 3-4

∑M=0 m1 = x3 -

l3

CARGA UNITARIA EN X2

Calculamos las reacciones:

∑M 1=0 1(2 l)+R4 (3 l )= 0 R4=−23

∑ F y=0 R1+1−¿ 23 = 0 R1= −13

TRAMO 1-2

∑M=0

m2 = −1x3

TRAMO 2-3

∑M=0 m2 = −x3 - l3

TRAMO 3-4

∑M=0 m2 = 2x3 - 2l3

Luego organizamos los momentos en el siguiente cuadro:

TRAMO X=0 EN M m1 m21-2

0<x<l1 M = 3wlx2 −wx

2

2m1 = - 2x3 m2 = - x3

2-30<x<l

2 M = wl2+wlx2 −wx2

2m1 = x3 - 2l3 m2 = - x3 - l3

3-40<x<l

3 M = wl2−wlx2

−wx2

2m1 = x3 - l3 m2 = 2x3 - 2l3

Después procedemos a calcular los desplazamientos por el método de la carga unitaria:

δ 10=1EI

¿

δ 10=−11wl4

12 EI

δ 20=1EI

¿

δ 20=−11wl4

12 EI

δ 11=1EI [∫0

l

(−2 x3

)2

dx+∫0

l

( x3−2l3

)2

dx+∫0

l

( x3− l3)2

dx ]

δ 11=4 l3

9 EI

δ 22=1EI [∫0

l

(− x3

)2

dx+∫0

l

(−x3

− l3)2

dx+∫0

l

(2 x3

−2 l3

)2

dx ]δ 22=

4 l3

9EI

δ 12=1EI [∫0

l

(−2x3

)(−x3

)dx+∫0

l

( x3−2l3

)(−x3

− l3)dx+∫

0

l

( x3− l3)(2 x3

−2 l3

)dx ]δ 12=

7 l3

18 EI

δ 21=7 l3

18 EI

Luego ordenamos las ecuaciones:

−11wl4

12 EI+ 4 l

3

9 EI(x¿¿1)+ 7 l3

18 EI(x¿¿2)=0¿¿

−11wl4

12 EI+ 7 l3

18 EI(x¿¿1)+ 4 l

3

9 EI(x¿¿2)=0¿¿

Entonces:

49(x¿¿1)+ 7

18(x¿¿2)=11wl

12¿¿

718

(x¿¿1)+ 49(x¿¿2)=11wl

12¿¿

[ x1x2]=wl [ 49 718

718

49 ]

−1

[ 11121112 ] [ x1x2]=wl [ 485 −425

−425

485 ][ 11121112 ]

x1=11wl10 x2=

11wl10

Luego hallamos las reacciones de los extremos:

∑M 1=0 −3wl ( 3l2 )+ 11wl10( l )+ 11wl

10(2l )+R4 (3l )= 0 R4=

2wl5

∑ F y=0 R1−3wl+11wl10

+ 11wl10

+ 2wl5 = 0

R1= 2wl5

Luego procedemos a realizar el diagrama de fuerza cortante y momento flector.

TRAMO 1-2

∑M=0 M=2wlx5

−wx2

2{ x=0→M=0 x=l→M=−wl2

10

∑ F y=0 V=2wl5

−wx { x=0→V=2wl5 x=l→M=−3wl

5

Mmáx→V=0→ 2 l5 Mmáx=

2wl ( 2l5 )

5−w ( 2l5 )

2

2=2wl2

25

TRAMO 2-3

∑M=0 M=wlx2

−wx2

2−wl

2

10

{ x=0→M=−wl2

10 x=l→M=−wl2

10

∑ F y=0 V=wl2

−wx

{ x=0→V=wl2 x=l→M=−wl

2

Mmáx→V=0→ l2 Mmáx=

wl( l2 )

2−w ( l2 )

2

2−wl2

10=2wl2

25

TRAMO 4-3

∑M=0 M=2wlx5

−wx2

2{ x=0→M=0 x=l→M=−wl2

10

∑ F y=0 V=wx−2wl5 { x=0→V=−2wl

5 x=l→M=3wl5

Mmáx→V=0→ l2 Mmáx=

wl( l2 )

2−w ( l2 )

2

2−wl2

10=2wl2

25

DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR

1. MÉTODO MATRICIAL

K11=4 EIl K 12=

2EIl

K13=0 K 14=0

K21=2EIl K22=

8 EIl

K23=2EIl K 24=0

K31=0 K 32=2EIl K33=

8 EIl

K 34=2 EIl

K41=0 K42=0

K 43=2 EIl

K44=4 EIl

[K ]=[4 EIl

2EIl

0 0

2 EIl

8EIl

2EIl

0

0 2EIl

8EIl

2 EIl

0 0 2EIl

4 EIl

]

R1=−wl2

12R2=0 R3=0 R1=

wl2

12

[R ]=[−wl2

1200wl2

12] [M ]=[R ]+ [K ] [∆ ] [∆ ]=−[K ]−1 [R ]

[∆ ]=[13 l45EI

−7 l90EI

l45 EI

−l90EI

−7 l90EI

7 l45EI

−2l45 EI

l45EI

l45EI

−2 l45EI

7 l45 EI

−7 l90EI

−l90EI

l45EI

−7 l90 EI

13 l45EI

][ wl21200−wl2

12]=[

wl3

40EI−wl3

120 EIwl3

120 EI−wl3

40EI]

[M ]=[M 0 ]+ [K ] [∆ ]