1. A. |u|=5 ;θ=2250

b. |v|=3 ;θ=600

Se convierten los vectores polares a vectores rectangulares.

a.

cosθ= x|u|;x=|u|cosθ ; x=5∗cos225 °=−5√2

2

sinθ= x|u|; y=|u|sinθ ; x=5∗sin225 °=−5√2

2

|u|=−5√22

,−5√22

b.

cosθ= x|v|; x=|v|cosθ ; x=3∗cos60 °=3

2

sinθ= x|v|; y=|v|sinθ ; x=3∗sin 60 °=3√3

2

|v|=32,3√32

1.1 2u−6 v

2(−5√22 ,−5√22 )−6 (32 , 3√32 )=( 2∗−5√2

2,2∗−5 √2

2 )−( 6∗32 ,6∗3√32 )=(−5√2 ,−5√2 )−(9 ,9√3 )= (−5√2−9 ,−5√2−9√3 )

1.2 v−u

( 32 , 3√32 )−(−5√22 ,−5√22 )=( 32+ 5√22 ,

3√32

+5√22 )=( 5√2+32

,3√3+5√2

2 )

1.3 6 v−7u

6( 32 , 3√32 )−7(−5√22 ,−5√22 )=( 6∗32 ,

6∗3√32 )−( 7∗−5 √2

2,7∗−5√2

2 )=(9 ,9√3 )−(−35√22,−35√2

2 )=(9+ 35√22 ,9√3+ 35√22 )

2. A

2.1 u=2 i+9 j y v=−6 i+9 j

∅=arccos( u∗v|u||v|)u∗v=(2,9 )∗(−6,9 )=(2∗−6 )+(9∗9 )=−12+81=69

|u|=√22+92=√85 ;|v|=√(−6 )2+92=3√13

∅=arccos( 69

√85∗3√13 )=46.2188752351313 °2.2 w=−5 i− j y z=−7 i−4 j

∅=arccos( u∗v|u||v|)u∗v=(−5 ,−1 )∗(−7 ,−4 )=(−5∗−7 )+(−1∗−4 )=35+4=39

|u|=√ (−5 )2+(−1 )2=√26 ;|v|=√ (−7 )2+(−4 )2=√65

∅=arccos( 39

√26∗√65 )=18.434948822922°3. A

C=( 2 8 0−3 0 −18 1 −3)

C∗C−1=I

Se debe de buscar la forma de que la matriz original resulte como una matriz diagonal y luego convertirla a identidad, primero que todo ampliando la matriz, y luego convirtiendo los elementos superiores e inferiores a los elementos de la diagonal de la matriz original en 0, proceso conocido como Gauss-Jordan. Para eso se efectúan las operaciones situadas al lado de la matriz, donde;

f 1=fila 1; F1=NuevaFila1

f 2=fila 2; F2=Nueva Fila2

f 3=fila3 ;F3=Nueva Fila3

( 2 8 0 1 0 0−3 0 −1 0 1 08 1 −3 0 0 1)(

32∗f 1+ f 2→F2

−4∗f 1+ f 3→F3)

(2 8 0 1 0 0

0 12 −1 32

1 0

0 −31 −3 −4 0 1)(

−23

∗f 2+ f 1→F1

3112

∗f 2+f 3→F3 )

(2 023

0−23

0

0 12 −132

1 0

0 0−6712

−18

3112

1)( 867

∗f 3+ f 1→F1

−1267

∗f 3+ f 2→F2)

(2 0 0−167

−2467

867

0 12 010267

3667

−1267

0 0−6712

−18

3112

1 )(12∗f 1→F1

112

∗f 2→F2

−1267

∗f 3→F3)

(1 0 0−1134

−1267

467

0 1 017134

367

−167

0 0 13134

−3167

−1267

)Esto nos quiere decir que C-1 nos queda como:

C−1=(−1134

−1267

467

467

367

−167

3134

−3167

−1267

)4.

A=(−1 0 9 2 18 3 3 −4 15 6 −4 2 10 0 0 1 −20 −1 2 −3 1

)Para hallar la determinante de la matriz A, podemos convertirla a una matriz triangular superior aplicando el método de eliminación Gaussiana.

f 1=fila 1; F1=NuevaFila1

f 2=fila 2; F2=Nueva Fila2

f 3=fila3 ;F3=Nueva Fila3

f 4=fila 4 ; F4=Nueva Fila4

f 5=fila5 ;F5=Nueva Fila5

A=(−1 0 9 2 18 3 3 −4 15 6 −4 2 10 0 0 1 −20 −1 2 −3 1

)(8∗f 1+f 2→F25∗f 1+ f 3→F3)

A=(−1 0 9 2 10 3 75 12 90 6 41 12 60 0 0 1 −20 −1 2 −3 1

)(−2∗f 2+ f 3→F313∗f 2+f 5→F5 )

A=(−1 0 9 2 10 3 75 12 90 0 −109 −12 −120 0 0 1 −20 0 27 1 4

)( 27109∗f 3+ f 5→F5)

A=(−1 0 9 2 10 3 75 12 90 0 −109 −12 −120 0 0 1 −2

0 0 0−215109

112109

)( 215109∗f 4+ f 5→F5)

A=(−1 0 9 2 10 3 75 12 90 0 −109 −12 −120 0 0 1 −2

0 0 0 0−318109

)Según la formula;

|A|=a11a22 a33…anm

|A|=(−1 )∗3∗(−109 )∗1∗(−318109 )|A|=−954

5.

C=(−2 5 −13 0 −43 1 −5 )

A−1= 1DetA

∗AdjA

Primero que todo hallamos la determinante de la matriz, por el método de los determinantes menores y adjuntos.

|A|=∑ Adjijaij

Donde Adjij es el adjunto o cofactor del elemento ij y aij es el elemento ij

Adjij=(−1 )i+ j(|M ij|)

Donde |Mij| es la determinante del menor de ij.

|A|=Adj11 a11+Adj12a12+Adj13a13

Adj11=(−1 )1+1(|0 −41 −5|)=(1 ) [ (0∗(−5 ) )−(1∗(−4 ) ) ]=4

Adj12=(−1 )1+2(|3 −43 −5|)=(−1 ) [ (3∗(−5 ) )− (3∗(−4 ) ) ]=3

Adj13=(−1 )1+3(|3 03 1|)=(1 ) [ (3∗1 )−(3∗0 ) ]=3

|A|=4∗(−2 )+3∗5+3∗(−1 )=4

AdjA=( Adj11 Adj12 Adj13Adj21 Adj22 Adj23Adj31 Adj32 Adj33

)T

Adj21=(−1 )2+1(|5 −11 −5|)=(−1 ) [ (5∗(−5 ) )− (1∗(−1 ) ) ]=24

Adj22=(−1 )2+2(|−2 −13 −5|)=(1 ) [ ((−2)∗(−5 ) )− (3∗(−1 ) ) ]=13

Adj23= (−1 )2+3(|−2 53 1|)=(−1 ) [ ( (−2 )∗1 )−(3∗5 ) ]=17

Adj31=(−1 )3+1(|5 −10 −4|)=(1 ) [ (5∗(−4 ) )−(0∗(−1 ) ) ]=−20

Adj32=(−1 )3+2(|−2 −13 −4|)=(−1 ) [ ((−2)∗(−4 ) )−(3∗(−1 )) ]=−11

Adj33=(−1 )3+3(|−2 53 0|)= (1 ) [ ((−2)∗0 )−(3∗5 ) ]=−15

AdjA=( 4 3 324 13 17

−20 −11 −15)T

→AdjA=(4 24 −203 13 −113 17 −15)

A−1= 1¿ A∨¿∗AdjA ¿

A−1=14∗(4 24 −203 13 −113 17 −15)

A−1=(1 6 −534

134

−114

34

174

−154

)