Ejercicios algebraproposicional

Preparador: Mariexis Cova

Ejercicios Álgebra proposicional

Simplificar: (p q) (q p)] p

Tenemos:

(p q) (q p)] p Equivalencia del Condicional

(p q) (q p)] p Morgan {p q (q p) p Doble negación

(p q) p Absorción

p (p q) Conmutativa p Absorción

Luego: (p q) (q p)] p p ; todo esto es la fórmula proposicional antes da-da, y lo equivale al aplicar las leyes del álgebra proposicional, osea su conclusión que es p



Simplificar el esquema: (p q) (p q)

Tenemos:

[(p q) (q p)] (p q) Bicondicional y condicional

(p q) (q p)] (p q) Bicondicional y condicional

(p q) (q p)] (p q) Morgan

(p q) (q p)] (p q) Morgan

(p q) [(q p) (p q)] Asociativa

(p q) [(q p) (q q) (p p) (p q)] Distributiva

(p q) [((q p) q ) (V (p q))] Idempotencia y Com- plemento

(p q) [q (p q)] Absorción y Ley de Identidad

(p q) q Absorción

(p q) (q q) Distributiva

(p q) V Complemento

(p q) Ley de Identidad

Por lo tanto: (p q) (p q) (p q)


Reglas de Inferencia.

Cuando aparecen tres o más proposiciones simples en un argumento resulta tedioso estar utilizando las tablas de verdad para verificar su valides, existe un método más conveniente para verificar si un argumento es válido o no, es deducir las conclusiones de sus premisas por una secuencia de argumentos más cortos y más elementales que sabemos válidos. A estos nuevos argumentos más cortos, que son válidos, se les llama Reglas de Inferencia.


Modus Ponendo PonensEsta regla de inferencia se aplica cuando aparecen como premisas una condicional y el antecedente de esa condicional para obtener como conclusión al consecuente de la condicional. Consideremos algunos ejemplos en donde se aplica la regla de Inferencia del Modus Ponendo Pones.Ejm. Nº1Si estudio mucho, entonces pasaré el examen….premisa 1Estudio mucho…………………………………………premisa 2Pasaré el examen……………………………………...conclusión.

Ejm. Nº2Si no hace frió, entonces el lago no se helará….premisa 1No hace frió……………………………………………premisa 2El lago no se helará………………………………….conclusión

A B P1 A P2 B Conclusión

⌐C ⌐ D P1

⌐C P2

⌐ D Conclusión


Modus Tollendo Tollens

Esta regla de inferencia se aplica cuando se tiene como premisas a una proposición condicional y como otra de las premisas a la negación del consecuente de la condicional, para obtener como conclusión la negación del antecedente.

Si llovió entonces hubo nubes………….…premisa 1

No hubo nubes………………………… …premisa 2

No llovió………………………………… …. conclusión.

A B P1⌐B P2⌐ A Concusión


Regla de AdjunciónEsta regla será denotada con “A” y consiste en lo siguiente. Supongamos que se tienen las proposiciones verdaderas:Cinco es mayor que tresY la segunda es:Tres es menor que cuatroComo ambas son verdaderas, entonces también lo es la proposición:Cinco es mayor que tres y tres es menor que cuatroAl simbolizar las proposiciones se tiene lo siguientes:A P1B P2 A ^ B Conclusión


Regla de Simplificación

Esta regla la denotaremos con “S” y es recíproca a la anterior, es decir, si se tiene la proposición verdadera:

Cinco es mayor que tres y tres es menor que cuatro

Podemos deducir las proposiciones verdaderas:La primera de ellas es: cinco es mayor que tresY la segunda es: tres es menor que cuatroAhora al simbolizar las proposiciones se tiene:A ^ B P1A ConclusiónB Conclusión


Ley de Silogismo HipotéticoLa abreviatura que utilizaremos es “S.H.” y si se tienen las premisas:Si voy a la Universidad entonces asisto a clasesSi asisto a clases entonces entiendo los temasAl utilizar la Ley del Silogismo Hipotético concluimos:Si voy a la Universidad entonces entiendo los temasAl simbolizar estas proposiciones se tiene lo siguiente:A=voy a la Universidad B=asisto a clases y C=entiendo los temas.Luego la simbolización completa es:A B P1B C P2A C Conclusión


Ley de Silogismo DisyuntivoEsta ley afirma:

Sí se niega uno de los miembros de una premisa disyuntiva, se concluye en la afirmación del otro miembro.

Ejemplo:

X es número par o múltiplo de 5……..p v q

X no es par……………………………. ~p

X es múltiplo de 5………………….. q ó

X es número par o múltiplo de 5……..p v qX no es múltiplo de 5.………………. ~qX es par………………………….……. p

Ejercicios


(p q)

(p r)

p (r q)

Tenemos:

1. Primeramente, podemos empezar por cualquier premisa. La idea es demostrar que la conclusión es cierta. Entonces empiezo con la primera premisa. (p q)

2. Ahora tomo la segunda premisa, (ni modo no hay mas) (p r)

Luego hago silogismo con los pasos 1 y 2

(p q)

(p r)

p (r q)

Lógicamente, si existe una proposición p que implica a dos proposiciones cualesquiera r q, por la siguiente razón

1. p (r q)

2. ~ p v (r q)

3. (~ p v r) (~ p v q)

(p r) (p q)

Que es lo mismo que tenemos en el ejercicio original (¿Entienden?)

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