Pontificia Universidad Catlica del Per Programa de Maestra en Economa Curso: Microeconoma Avanzada Profesora: Claudia Barriga Ch. Asistente: Sandro A. Huaman.

EJERCICIO RESUELTO DE RIESGO MORAL

Aplicacin al mercado laboral

En esta aplicacin se analiza la relacin existente entre un empleador (principal) y un empleado

(agente) en un contexto laboral. El empleador no observa el nivel de esfuerzo emitido por el

empleador por lo que buscar disear un contrato que induzca al empleado a emitir un mayor a

esfuerzo a lo que emitira de ser incentivado. Supondremos que se tiene dos resultados (ventas

de la empresa) posibles y dos esfuerzos:

3/23/14

3/13/26

4060

=

=

==

e

e

xx

Donde x son las ventas posibles de la empresa y e los esfuerzos que podran ser emitidos por el

agente. Asimismo, la funcin de la utilidad del Empleador, que asumiremos que es neutral al

riesgo, viene dado por:

wxwx =),(

La funcin de utilidad del Empleado, que supondremos que es averso al riesgo, viene dado por:

Donde w es el salario. Para este caso, asumiremos una la utilidad de reserva del agente como

de 10.

ewewU = 5.0),(

En un contexto de simetra de informacin donde el esfuerzo es observable, el principal resuelve

el siguiente problema de optimizacin con el afn de encontrar un contrato ptimo (e,w) que

induzca al agente a emitir el mayor esfuerzo (e = 6):

Donde w60 y w40 son los salarios que ofrece empleador cuando las ventas son como 60 y 40

respectivamente.

Aplicando el Lagrange y derivando las condiciones de primer orden tenemos:

)1...(05.03

2

3

2 5.060

60

=

+=

ww

L

)2...(05.03

1

3

1 5.040

40

=

+=

ww

L

)3...(010)6)((3

1)6)((

3

2 5.040

5.0

60 =+=

wwL

De las ecuaciones (1) y (2) se desprende que:

Reemplazando en la ecuacin (3), tenemos:

)40(3

1)60(

3

2: 4060 wwMx +

10)6)((3

1)6)((

3

2: 5.040

5.0

60 + wwsa

+++= 10)6)((

3

1)6)((

3

2)40(

3

1)60(

3

2 5.040

5.0

604060 wwwwL

www == 4060

010)6)((3

1)6)((

3

2 5.05.0=+ ww

Los resultados nos dice que el empleador pagar lo mismo a su empleado ante cualquier nivel

de venta que se consiga (cobertura total), esto debido a que el agente es averso al riesgo y el

principal neutral. Por lo tanto, si empleador quiere que su trabajador desplegu el mayor

esfuerzo le deber ofrecer el siguiente contrato:

{ }6,256,256 4060 === eww

Por otro lado, cuando tenemos asimetra de informacin, es decir que el esfuerzo es no

observable por el empleador, el principal resuelve el siguiente problema de optimizacin con el

afn de encontrar un contrato ptimo (x,w) que induzca al agente a emitir el mayor esfuerzo (e =

6):

Sujeto a la restriccin de participacin:

Y sujeto a la restriccin de compatibilidad de incentivos:

Si asumimos que empleador posee poder de mercado, entonces tendr la capacidad de bajar los

salarios ofrecidos a un nivel en donde las restricciones se cumplen como igualdad, pero para ser

ms consistente con los mtodos matemticos, podemos comprobar que ambas restricciones

limitan mediante las condiciones de optimizacin de Kuhn - Tucker.

256162 ==w

)40(3

1)60(

3

2: 4060 wwMx +

10)6)((3

1)6)((

3

2:. 5.040

5.0

60 + wwas

)4)((3

2)4)((

3

1)6)((

3

1)6)((

3

2 5.040

5.0

60

5.0

40

5.0

60 ++ wwww

Bajo una optimizacin mediante Kuhn Tucker, simplificadamente, inicialmente se tiene una

funcin diferenciable mnAg : donde se busca los puntos de n que verifican el

sistema de m inecuaciones mbxg )( y hacen que la funcin diferenciable de

nAf : presente un mximo o un mnimo.

bxgasxfOpt )(.)(

Donde las condiciones de Kuhn Tucker que ayudan a nuestro propsito vienen definidos por lo

siguiente:

(i) 0)()(1

= =

xgxf i

m

i

i

(ii) mii ,...,2,10 = , entonces:

(iii) mibxg iii ,...,2,10))(( ==

Basado en lo anterior y en bsqueda que demostrar que las restricciones del problema limitan, el

problema del principal lo redefinimos del siguiente modo:

)40(3

1)60(

3

2: 4060 wwMx +

010)6)((3

1)6)((

3

2:. 5.040

5.0

60 + wwas

0)4)((3

2)4)((

3

1)6)((

3

1)6)((

3

2 5.040

5.0

60

5.0

40

5.0

60 ++ wwww

Simplificando an ms el problema del principal tenemos lo siguiente:

)40(3

1)60(

3

2: 4060 wwMx +

016)(3

1)(

3

2:. 5.040

5.0

60 + wwas

02)(3

1)(

3

1 5.040

5.0

60 ++ ww

Aplicando el Lagrange.

+++

+++= 2)(

3

1)(

3

116)(

3

1)(

3

2)40(

3

1)60(

3

2 5.040

5.0

602

5.0

40

5.0

6014060 wwwwwwL

)1...(05.03

15.0

3

2

3

2 5.0602

5.0

601

60

=

=

www

L

)2...(05.03

15.0

3

1

3

1 5.0402

5.0

401

40

=

+

=

www

L

Simplificando la ecuacin (1) y (2) y adems decimos que A= 5.0605.0w y B= 5.0405.0

w donde A y

B son evidentemente positivos.

)1...(022 21 =++ AA

)2...(01 21 =+ BB

De (2) tenemos:

)2...(1 1

2

+=

B

B

Reemplazando (2) en (1) obtenemos:

01

22 11 =

+++ A

B

BA

022 11 =+++ AB

AA

022 11 =+++ AB

AA

)1...(23

11

=

B

A

A

De la expresin anterior se deduce que 01 , por lo tanto, la restriccin de participacin limita. Por otro lado, de la ecuacin (2) podemos deducir que si 00 21 , por lo tanto, tambin la restriccin de compatibilidad de incentivos limita. En resumen, ambas restricciones

del problema del principal limitan y se expresan as:

0)6)((3

1)6)((

3

2 5.040

5.0

60 =+ ww

)4)((3

2)4)((

3

1)6)((

3

1)6)((

3

2 5.040

5.0

60

5.0

40

5.0

60 +=+ wwww

De las dos ecuaciones anteriores se desprende que:

w60 = 180.5 = 324

w40 = 120.5 = 144

Por lo tanto, si empleador quiere que su trabajador desplegu el mayor esfuerzo le deber

ofrecer el siguiente contrato:

Si las ventas de la empresa son como 60, entonces el salario del empleado debera ser como

324 y si as ventas de la empresa son como 40, entonces el salario del empleado debera ser

como 40.

==

==

40,144

60,324

40

60

xw

xw