EJERCICIO 7.4.-

Resuelva el ejemplo 7.4 cambiando el coeficiente global de perdidas menores de la tubería 2-3 de 10 a 1 . ¿ Que se puede concluir con respecto al efecto de esta disminución sobre los caudales en las tuberías? ¿y sobre las alturas piezometricas ?

EJEMPLO 7.4

Resolver el problema del Ejemplo 7.1 utilizando el método de la teoría lineal.

EJEMPLO 7.1

La red mostrada en la figura tiene una válvula en la tubería 2-3 la cual se encuentra parcialmente cerrada y produce una perdida menor local de 10v”2/2*g , la presión en el punto 1 es 100mca. Analizar los caudales y presiones en la red. Los diámetros y las longitudes en metros están indicados en la figura.

Numero de nodos n 6

# Ecuaciones de continuidad n-1 5

# Ecuaciones de energia #Circuitos 2

# ECUACIONES 7

Ec.1:Ec.2:Ec.3:Ec.4:Ec.5:Ec.6: (redundante)

ECUACIONES LINEALES

-Q12 - Q16 = - 0.2

Q23 - Q34 = - 0.04Q12 - Q23 - Q25 = 0.06

Q34 + Q45 = 0.03 Q25 + Q65 - Q54 = 0.03Q16 - Q65 = 0.04

CIRCUITO 1 Ec.7:CIRCUITO 2 Ec.10:

ECUACIONES NO LINEALES

K12 * Q12 + K25 * Q25 - K56 * Q56 - K16 * Q16=0K23 * Q23 + K34 * Q34 - K45 * Q45 -K25 * Q25=0

REPARTICION INICIAL DE CAUDALES

TUBERIA Caudal Inicial (m3/s)

1-2 0.1002-3 0.1003-4 0.1004-5 0.1002-5 0.1005-6 0.1001-6 0.100

CONSIDERANDO QUE : ʋ = 0.000001141

CUARTO CICLO

TUBERIA Km. Longitud Diametro Ks Area Q Re f K'ij (s/m2) ABS(K'ij)1-2 0 500 0.25 0.0000565 0.04909 0.105 467695.9 0.01584 70.20 70.198732-3 1 400 0.15 0.0000565 0.01767 0.047 352921.6 0.01735 366.07 366.066903-4 0 200 0.1 0.0000565 0.00785 0.012 138818.1 0.01994 409.91 409.911954-5 0 400 0.15 0.0000565 0.01767 0.039 288719.7 0.01763 297.87 297.870062-5 0 200 0.1 0.0000565 0.00785 0.017 193498.3 0.01932 553.68 553.675275-6 0 600 0.2 0.0000565 0.03142 0.060 335995.9 0.01676 156.36 156.360861-6 0 300 0.25 0.0000565 0.04909 0.095 425022.4 0.01597 38.59 38.59251

(C)Q12 Q23 Q34 Q45 Q25 Q56 Q16-1 0 0 0 0 0 -1 -0.21 -1 0 0 -1 0 0 0.060 1 -1 0 0 0 0 0.040 0 1 1 0 0 0 0.030 0 0 -1 1 1 0 0.03

70.20 0 0.00 0 553.68 -156.36 -38.59 00.00 366.07 409.91 -297.87 -553.68 0 0 0

C-0.061212301 0.8274442 0.629918424 0.40873433 0.248006845 0.00158612 0.00053959 -0.2-0.020824107 -0.0587026 0.649177615 0.32206966 0.084370641 0.00053959 0.000798 0.06-0.020824107 -0.0587026 -0.350822385 0.32206966 0.084370641 0.00053959 0.000798 0.040.020824107 0.0587026 0.350822385 0.67793034 -0.08437064 -0.0005396 -0.000798 0.03-0.040388194 -0.1138532 -0.019259191 0.08666468 0.163636205 0.00104653 -0.0002584 0.030.061212301 0.1725558 0.370081576 0.59126567 0.751993155 -0.0015861 -0.0005396 0-0.938787699 -0.8274442 -0.629918424 -0.40873433 -0.24800685 -0.0015861 -0.0005396 0

Q B TUBERIA N Q(m3/s)Q12 0.10678808 1-2 0.106Q23 0.03880298 2-3 0.043Q34 -0.00119702 3-4 0.006Q45 0.03119702 4-5 0.035Q25 0.0079851 2-5 0.013Q56 0.05321192 5-6 0.057Q16 0.09321192 1-6 0.094

MATRIZ 1 (A)

MATRIZ INVERSA A-1

NUEVOS Q

[B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C]

QUINTO CICLO

TUBERIA Km. Longitud Diametro Ks Area Q Re f K'ij (s/m2) ABS(K'ij)1-2 0 500 0.25 0.0000565 0.04909 0.106 472177.2 0.01582 70.81 70.814912-3 1 400 0.15 0.0000565 0.01767 0.043 320794.7 0.01748 335.15 335.153473-4 0 200 0.1 0.0000565 0.00785 0.006 62730.3 0.02204 204.78 204.779044-5 0 400 0.15 0.0000565 0.01767 0.035 260402.2 0.01779 271.08 271.080302-5 0 200 0.1 0.0000565 0.00785 0.013 141302.0 0.01990 416.48 416.483875-6 0 600 0.2 0.0000565 0.03142 0.057 316445.6 0.01685 148.07 148.071521-6 0 300 0.25 0.0000565 0.04909 0.094 420541.2 0.01598 38.22 38.22147

(C)Q12 Q23 Q34 Q45 Q25 Q56 Q16-1 0 0 0 0 0 -1 -0.21 -1 0 0 -1 0 0 0.060 1 -1 0 0 0 0 0.040 0 1 1 0 0 0 0.030 0 0 -1 1 1 0 0.03

70.81 0 0.00 0 416.48 -148.07 -38.22 00.00 335.15 204.78 -271.08 -416.48 0 0 0

C-0.071806975 0.7951525 0.581513363 0.45097967 0.278183122 0.00187871 0.00063744 -0.2-0.02436377 -0.0695038 0.584971259 0.37385524 0.094386229 0.00063744 0.00103095 0.06-0.02436377 -0.0695038 -0.415028741 0.37385524 0.094386229 0.00063744 0.00103095 0.040.02436377 0.0695038 0.415028741 0.62614476 -0.09438623 -0.0006374 -0.0010309 0.03

-0.047443205 -0.1353437 -0.003457896 0.07712444 0.183796893 0.00124127 -0.0003935 0.030.071806975 0.2048475 0.418486637 0.54902033 0.721816878 -0.0018787 -0.0006374 0-0.928193025 -0.7951525 -0.581513363 -0.45097967 -0.27818312 -0.0018787 -0.0006374 0

Q B TUBERIA N Q(m3/s)Q12 0.10720596 1-2 0.106Q23 0.03814862 2-3 0.041Q34 -0.00185138 3-4 0.002Q45 0.03185138 4-5 0.033Q25 0.00905734 2-5 0.011Q56 0.05279404 5-6 0.055Q16 0.09279404 1-6 0.094

NUEVOS Q

MATRIZ 1 (A)

MATRIZ INVERSA A-1

[B]=[A]^-1 [C]

SEXTO CICLO

TUBERIA Km. Longitud Diametro Ks Area Q Re f K'ij (s/m2) ABS(K'ij)1-2 0 500 0.25 0.0000565 0.04909 0.106 475350.4 0.01582 71.25 71.251112-3 1 400 0.15 0.0000565 0.01767 0.041 302297.2 0.01757 317.32 317.316913-4 0 200 0.1 0.0000565 0.00785 0.002 21035.4 0.02687 83.71 83.712194-5 0 400 0.15 0.0000565 0.01767 0.033 248677.4 0.01787 259.96 259.959612-5 0 200 0.1 0.0000565 0.00785 0.011 121186.3 0.02023 363.11 363.106445-6 0 600 0.2 0.0000565 0.03142 0.055 305504.7 0.01691 143.42 143.424171-6 0 300 0.25 0.0000565 0.04909 0.094 417367.9 0.01599 37.96 37.95864

(C)Q12 Q23 Q34 Q45 Q25 Q56 Q16-1 0 0 0 0 0 -1 -0.21 -1 0 0 -1 0 0 0.060 1 -1 0 0 0 0 0.040 0 1 1 0 0 0 0.030 0 0 -1 1 1 0 0.03

71.25 0 0.00 0 363.11 -143.42 -37.96 00.00 317.32 83.71 -259.96 -363.11 0 0 0

C-0.077944429 0.7757482 0.544722003 0.48377438 0.294507787 0.0020534 0.00072806 -0.2-0.027636225 -0.0795114 0.528724179 0.4253718 0.10442162 0.00072806 0.00123462 0.06-0.027636225 -0.0795114 -0.471275821 0.4253718 0.10442162 0.00072806 0.00123462 0.040.027636225 0.0795114 0.471275821 0.5746282 -0.10442162 -0.0007281 -0.0012346 0.03-0.050308203 -0.1447403 0.015997824 0.05840257 0.190086167 0.00132534 -0.0005066 0.030.077944429 0.2242518 0.455277997 0.51622562 0.705492213 -0.0020534 -0.0007281 0-0.922055571 -0.7757482 -0.544722003 -0.48377438 -0.29450779 -0.0020534 -0.0007281 0

Q B TUBERIA N Q(m3/s)Q12 0.10727113 1-2 0.107Q23 0.03779933 2-3 0.039Q34 -0.00220067 3-4 0.000Q45 0.03220067 4-5 0.033Q25 0.0094718 2-5 0.010Q56 0.05272887 5-6 0.054Q16 0.09272887 1-6 0.093

QUINTO CICLO SEXTO CICLOTUBERIA N Q(m3/s) TUBERIA N Q(m3/s) VARIACION %

1-2 0.106 1-2 0.107 -0.3632-3 0.041 2-3 0.039 3.6153-4 0.002 3-4 0.000 -1294.5664-5 0.033 4-5 0.033 1.8692-5 0.011 2-5 0.010 6.8285-6 0.055 5-6 0.054 1.8851-6 0.094 1-6 0.093 0.417

VERIFICACION DE CAUDALES

NUEVOS Q

MATRIZ 1 (A)

MATRIZ INVERSA A-1

TUBERIA1-2 0.1072-3 0.0393-4 0.0004-5 0.0332-5 0.0105-6 0.0541-6 0.093

Caudal Final (l/s)10739033

REPARTICION FINAL DE CAUDALES

Caudal Final (m3/s)

105493

[B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C][B]=[A]^-1 [C]

TUBERIA Area Velocidad hm hfm2 m/s m m

1-2 0.04909 2.18 0.000 7.6432-3 0.01767 2.22 0.251 11.7593-4 0.00785 0.02 0.000 0.0014-5 0.01767 1.86 0.000 8.3742-5 0.00785 1.29 0.000 3.4555-6 0.03142 1.71 0.000 7.5651-6 0.04909 1.90 0.000 3.520

m3/sCaudal Final

0.0330.0100.054

0.0000.0390.107

Perdidas menores y Perdidas por friccion

ALTURAS PIEZOMETRICAS

0.093

NUDO

123456

100.0m

ALTURA PIEZOMETRICACota Piezometrica en cada nodo

96.588.980.380.392.4

CUADROS QUE MUESTRAN LOS CAUDALES CON UNA PERDIDA DE COEFICIENTE GLOBAL DE PERDIDAS DE 10

REPARTICION FINAL DE CAUDALES

TUBERIACaudal Final

(m3/s) Caudal Final (l/s)1-2 0.106 1062-3 0.038 383-4 -0.002 24-5 0.034 342-5 0.011 115-6 0.055 551-6 0.094 94

TUBERIA Area Velocidad hm hfm2 m/s m m

1-2 0.04909 2.16 0.000 7.5172-3 0.01767 2.13 2.312 10.8623-4 0.00785 0.22 0.000 0.1974-5 0.01767 1.95 0.000 9.1652-5 0.00785 1.38 0.000 3.8965-6 0.03142 1.74 0.000 7.8161-6 0.04909 1.92 0.000 3.587

m3/sCaudal Final

0.0340.0110.055

0.0020.0380.106

Perdidas menores y Perdidas por friccion

ALTURAS PIEZOMETRICAS

0.094

DISCUSION

En este ejemplo se pudieron apreciar las ventajas del método de teoría lineal.

En primer lugar al ser un método diseñado específicamente para el caso de redes de distribución de agua potable , las matrices resultantes muestran en forma tangible la topología de la red los nodos con los tubos que llegan a cada uno de ellos y os circuiros con todos los tubos que los conforman,

En segundo lugar se puede apreciar la ventaja de linealizar las ecuaciones de conservación de energía en los circuitos lo que permite hacer el montaje de las matrices que conforman el método.

La matriz que sea necesario invertir se c ara c t eriza por tener dimensión de NT xNT por no ser simétrica y por ser dispersa, esto limita las posibilidades de manejo matricial para acelerar los procesos numéricos requeridos para dicha inversión.