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EJSRCTCTO

lou/.b nPerals estruclursdnudosBrtculadadelgliguracalcularlosesfuezosnlodaslesbaras.

+I+a+' l

#- . -#-- zt -]- . -#- , z(La eslrucluraprincipal,conlituda por las barrasAB, AC, CD Y DB, representeun sislemancompletoya que los cuetro nudos,A, B, C y D, proporcionanocho gradosde libertedcoartadosmediantelas cuatro banas de unn,sendonecesarios,por tanto. cuatro enlacesparafomar un sstemarigdo.Esloscuetroenlaceslos proporconanlas barrasAE, CE, DF yBG, por lo queel sistemaen su conjuntoes sosttco.En efeclo, la strucluraes un sistema de baras arliculadas conslrudocomo Darlentegrantedel cmienloverficndose

n. baras - 2 nonudos= 0Al ser el sslemasostlco,el anlisisde los esfuezossolamenteprecisade las ecuaconesdeequilbrio.

1".Fg. ll,'l

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CALCULODE ESTRUCTURASARTICULADAS

Suponendoen princpoquelascomponenteshorizontalyverlcaldela reaccinenel nudoE se desgnanpor HE y VE, se observafclmenteel elablecer cl equlibriode tueneshorizontalesen la seccinndcadaen la F9.11,1quela citadareaccinslotenecomponentehoizontal.Eldagramade cuerpolbrecorespoideportentoal de l Fig.11.2.

"r

Fgur 11,2.Diagrahad cuerpolibre

ComolasreaccionesR. y RGtienenlineasde accnparalelassu resultanle,R, ha de serunafueza cuyalneade accinseaparalelae lasdireccionesde RFy Rc y, adems,paseporel puntode concunencade las lneasde accinde Hy P, ya quetresfuefzasno paralelascoplanarasslopuedenesleren equlbros concunenen unpunto.

Designandopor I el puntode concunencad P, HEy R y estableciendoel equilibriodefueeaseneseountose teneR - PHe=PJr

La determnacnde Rr y Ro se reduce entoncesel clcrJlode las fuczas paralelasquegroducenla resultanteR

EHt Gt

I F = 0 = 4 - R o = R- t ;IM,=o = R.(2a- 2! - I =a.-zali2 -

nn=oe nr=le

v , /

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EJERCtCtO

A parlirde los valoresde lsreacciones,el clculode los esfuezosen las baras esInmedialoporequlibrionodal:- Equilbrioenel nudoF- Equilibrioen el nudoG

- Equilibdoen el nudoE

- Equlbrioen el nudoA

- Equlbrioen el nudoD

SoF=RF=4P (Tnccn)

src= Ro= 3P (compresin)

sAE=H=PlE (compresin)scE=HE.E=2P (Traccin)

SAB= SaE= P.'JE (compresn)Sac= Jt SaE= 2P (Traccin)

s"o=s"o=so, =z'Ee (Traccn)

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CALCULODEESTRUCTURASARTICULADAS

Todoslosvaloresde losesfuerzoscalculadosaparecnaCrupadosen le Tabl11.1.

(.) TnccnC)Cornprcn

Trbl.ll.l. E3tu.zo8 cn lal barrtB8,ra EsfuarmAG -3PDF IPBD zJaPAB -JiPCD 2JzPAC 2PCE 2 PAE -Jze

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EJERCtCtO!2

e/a.2/" 12Celc|llarlas reaccionesen la estruclurade la lgura,

TZ.+2.-*

#+Se teneuna estrucluraincompletainlemamenlede gradodosya quese verfca

2 n. nudos. 3 - nbaras = 2Sr embargo,al exslrcincocomponenlesreaclvas,se t ieneunahipereslaticdadeterna degradodos que compensael carcterncompletonterno,obtenindoseun conjuntososttcoparael cualse verfca

nobanas+ nofeacciones- 2 nonudos= 0Debidoa la hperestatcidadextemade gradodos, paracalcularlas reacciones(Fg.,12.1)ser necesarioaadrdos ecuaconesadconalesa laslres ecuaconesde equilibrioesttco.Sise aplcan,enprmerlugar,lastresecuacionesde equlbroglobalse tiene:

l " ' + l #""a

va vBFgur 12.1.Dagramade cuerpotibre

vc

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CALCUIO DE ES'IRUC]URAS AR'I\CULAOAS

- Equilibriode fuerzashorizonlales! F " = H ^ + H " - Q = Q

- Equlibrode luerasverticalesl F u = V ^ + Y " + v " - P = g

- Equlbriode momenlosrespectoal puntoCIMc= -7Pa+ 5Va+ 4Vsa- 4Qa= 0

Como se tenentres ecuaconescon cnconcgntas,es necesarioaadrdos ecuacioncsadicionales.Estasdos ecuacionesde condicnse puedendeducirconsderandoque leestructuraes ntemamentencompletade grado2. Se leneuna estrucluraconstituidaI padrde tres celosassimples,AJN, BOI y CDE,unidaslas dos primerasenlresi mediantedosbaras, lJ y AB, y lasdos ltmasmedianteunaarticulacnD. Esiasdosformasde lnin sonlas causantesdel carcterncompletode la eslructuray puedenaprovecharseparaobtenerdosecuaconesadiconalesa lasdeequil ibr ioglobal.

t x "t c

/ t t+,----------1t ' ' | ,/i | ,/, 1 . , /'^"lt, ' lFigur 12.2

De estaforma,si se trazandounaseccnmm'quecorlea lasbaras U y AB (F9.12.2)laccnde una partede la eslructurasobrela otra, comoconsecuencadel corte,conslenicamenteen una fueza horizonlal.Por lo tanlo,le sumade fueeasverticalesaplcadeIcualquierpartede la estrucluraha de sercero.As, patele pae siluadaa la izquierdade mm'se lieneIFvoq,,"= V -P=oSe puedeoblenerotraecuacinadiconala partirde la artculacnen O. S se trazseurEseccinporel nudoD (Fi9.12.3),la accnde unaparlede la estruclutasobrela otra,undaaella por la arlculacinD, consslenicamenteen una fueea. Por lo tanto,la suma dcmomenlosrespectoa O de lascargasy reacconesaplicadasa culquierpartede la estrucluraha de sercero.As,parelaparlestuadaa la derechade D se obtiene

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tEhuDb\2

l' 'H^+l ""+.'IV vB vcFgrr.l2.lEMo.,.or"=-2Qa - 2vca - 2Hcs = O

Se ha llegadoa un sslemede cncoecuaclones,les tres de equilibriogtobaty las dlcondcn,quepemte obleocrlas feaccones ' ^ =o-:

vc=-o: : +=i

V=P' v . = o * i- 2

l , ' H +V

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EJEC|C|Or3

e/a.rt 13Dtemlnarlasrosccionesen le 6lruclura ertculadade 18tgura,

l*F l'"l| l'"D l'"x l.Lxa

#a,r? Y . ) . ) . . + . * t . * . ) .

Se tiene une estrucluracon cuatro elemeniosde reaccindesconocidos(F9.13.1).porlento, para oblener las reeccioneses necesarioaadir una ecuacinadiconala las tres deequlibrioglobal.Aplicandoel equlbriode fuerzashorizontelesa todala estructurarsulta

tFn =HB=0Delequilibriode fueaas verlcalesse obtiene

l"Fl F u = V ^ + ! " + ! " - l ! P = !l.' l,' l'-H D K l.I

l"l"^ -T'lr"l veFlgur 13.1.Dbg..n & cu.rpotbr.

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CALCULOOE ESTRUCTURASARf ICULADAS

Tomandoel equilbriode momentosrespectoal apoyoC resullala ecuacin:I M c = 6 V a- P ( 5 . 5 a+ 4 ' 1 a + 3 ' 3 a + 2 '2 a+ 1 8 ) + 3 V B a - H s a = 0

Siendoconocidaya de un mododreclola reaccinhorizontalen B, se lienendos ocuaconscon tres incgntas,lasreaccionesvertcales.,L'*Fgur13.2

Trazandounaseccnquecortea lasbarrasDH,Dl y Bl (Fi9.13.2)y lomandoel equlibriode momentoscon respectoa la articulacnO se tiene:!M6oo'",.= 3Va -Pa(2 5 + 4)- Jtsoa = o

loqueimplicauna ecuacnms,perotambinunaincgntaadcional,el esfuezoen la baraBt .Snmbargo,si se planteael equlbroen el nudoB se obticneuna telacindirestaentreSBry la reaccnvertical VB , lo que permtecxprcsarSsr en tuncin de B y, por lo llnto'fesolverunsislemade lresecuaconescontresncgnitas- EoulibrionudoB

sox,fo'

$r=fuf ,o,**,*u"=o

; - Inlroducendoestevaloren la ecuacnde equilibfiode momentosespc1oa O se obtene:

3 V ^ a - P a ( 2 . 5 + 4 ) + V 8 a = 0que,juntocon las dosecuacionesrestantesresullantesde aplicarel equilbroglobala todelaestructuraoermtenobtenerlos valoresde las reacconesverlcales

Vs

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EJERCICIOll

u^=-?"\ts=27P.,"=-1"

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EJERCtCtOta

t/or."14Detemlnarlosesfuerzosen lasbanss AB, CD y EF de la elruclura de nudossriiculadade lefgura.

Altenerse un conjuntocon tres elementosde reaccnndependentes,nuevebaras y seisnudosse obtieneuna estructuraarticuladaisosltcaya quenobanas+ noreacciones- 2 ncnudos= 0

A partirdel dagramade cuerpolibrede la Fi9.14.1se puedencalcularlas reaccionesaplcandolas ires ecuaconesde equilbrioeslticoa loda la estructura.

?ra

TI

,i.\ +\I T ' \Fgur la,'t. Oiagr.mad cuerpolibre

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CALCULODE ESf RUCTURASARTICULADAS

Por eouilbriode fuezas horizontalestesultaEFn=HF-P= 0

menlrasque porequilbriode fuezas verlicalesse oblenel F v = V + ! t - Q = Q

Tomandoequlibdode momenlosrespectoel apoyoF se lleoaaEM r= {V^a- iloa - 4P8=0

Resolvendoel sislgmade lres ecuaconesresultantese obiienenlos valoresde las reaccones

Para calcularlos esfuenos en las banasA8, CD y EF no es posbleeplcarel mtododelos nudos puestoque pere cada uno de los nudos de la estructuraexislen ms de dosesfuenos de baa desconocdos.Se tene una estructurcompuestaconstitudaa parlrdedossimplesunidasmediantetresbanas.Sn embargo,es posibleaislar de todo el conjuntola subeslrucluraADE resultandoelesquemade cuerpolibre de la Fig.l4.2.Aparecerncomo incgnitaslos esfuezos S^s.ScoySEFen las banasdeseadaspor lo quese puedetesolverel ejerccoaplcandoa estaparlelas

tresecuacionesde equlbrioestlco:

P

l,S e rl*.o Fg. ll.2

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EJERCTCTOra

- Equilbriode fuerashorizontalsstFx = -P - Sco= 0

- Equilibriode luerzesverlicelesl F y = P + Q - S + S 5 = 0

. Equlbriode momentos respecto al puntoDIMr' -4Sco -lPs +lS*a

Resolvendoel sileme se oblienenlos eslseaos deseadosS^ = -(P +O)Sco = -P* = 0

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EJERC|CIOt5

tld.. 15Datemlnar lossluezos en todaslEsbaras de 18elruc{ureefliculadade 18tigura.l:

Se lieneuna estructurasosttcaya quese cumpleque:nobarras+ nofeacciones- 2 nonudos= 0

A parlrdel dagramade cuerpolibre(F9.15.1)se puedencalcularlas reaccaonesporaplcacnde lasecuacionesde equlibrioesttco:

-J:lI{ l#

A

r \ c

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CALCULO OE ESf RI,JGTURASARTICUL DAS

- Equilbriode fuerzashorizontalest r F " = 9 = P - H A = 0

- Equilibrode luezas verticalesI F u = g = V + V s - P = o- Equilbriode momenios rsspecto al puntoA

IM^=s = "(" * f ')- u".o.t.u"=oRsolviendoel sisiema oueda:

H = P7 Pv t ,=7 i5Pv s = E

Al trtars d9 um esfuciura compuesta no ss posiblecalqJlar los oduerzos en les bafraspor la smploaplcacndl mtodo de los nudos. Es neceseriocornbimr el aqulibrio de nudoscon el mtodode las seccionea.

P At:

7Pir21

Fhur. lA Se.ih ntn'

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Tazandounasaccnmm' comola reprontadaen la F9.15.2esposblecalculards unmodo drec'toal duerzoen la bafra DF tomandoequlibriode momntoscon respecloalountoC.EMc=o+ ?."." *."-.*f"=o

r* =+ (rraccin)Conocdoel esfuszo en la bara OF s tiene por equlibroen el nudo F:

so,=sr, =# (Trccn)

EJERC|C|O15

sc r=oDebdoa la simetrlageomtricay al sar So = Ser sa lenequE:

Seo= SeSco= sce

Por eoulibroen el nudoE:

^ pJ5oee= tg^ pJdoce = -i8=

(Traccin)(Compresn)

S =0.12P (Traccn)Sc =1.02P (Trdccn)

Haciendoel equlibrioparael reslode los nudosse tiene:- Equlbrioen el nudoA s^o.j *(s^,*s^o)ft-"=o

l f *1s^,-s^orft.-.^of =o

ser

Sro

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cAlculo DEESRUCTURASARfrCUrOAS- Equlbriorn sl nudoI'4"

ss l*,.>

Sa = S""-":,."..."1#8s r0.l2P (Tnccn)60. .113 P (CompEsn)

- Equlibaiocn cl nudoG

- Eqqlbrioen el nudoB

- Equlibrion el nudoJ

Sco ESrc =102P (Treccin)

if,-"*f-(.**s,,);fu=oSr =0.33P (compresn)Sar =027P (Tccn)

(s,-s*)fu-s*j=o

. ?P-(s,+ss)rt'=0S | { , + (S u -S cJ )+==0rrl J

Sru=0.3P (compresn)Sc,r=0.87P (Traccn)

Sse

- EqulMocn elnudoHScx=S =027 (Trecdn)

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EJERCtCtOrS

Todoslosvloresds losGsfucrosclculadossonsgrupsdosenla Tebte15.1.

C) Tcn(-)CD..3i

Trbl.l5.l. Erfurzor m l3 blmBat'a EsluermDF 0.096PEF 0.096PCF 0BE 0.096P

-0.096PAO 0.096PCD -0.096PAI 0.12PAG 1.02P

o.12PGI . r . 13PCG 1.O2PE I -0.33PBH 0.27PHJ -U .J FCJ 0.87PCH o.27P

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EJERCTCTO16

t/orb 16Determnarlosesfuenosenlasbarrasde la estrucluraarticuladadela figura.

*_- --_-.fy PA)tuA

1a1'a*

t r

La estructuradadano es unacelosasmpleya que no puedeformarseaadiendoun nudoy dos barrasa los trngulosya tormadossendo,lal como se ndcaen la Fi9.16.1, unacelosacompueslaformadaporla uninde varassimples.Aungue sl anlsiscompletode la estructurase podrarealzarmedantela aplicacncombnadadel mtodode las secconesy de los nudos,en esle caso,el procedmentoque seva a utilizarse basaen analzarla tuncinqueIascelosasscundaras(zonasombreadade laFig.'16.1)realizan y que consiste en transmitir las cargas aplicadas sobre ellas a lasartculacionesde sus extremos.

Fgua 16.1. Cd6ie3 scudri sdrlbrlda

De esta forma el slema inicialse puedeanalzaraplicandoel principode superposicinentre las cerchassecundariasque conformanel sstemall (Fi9.16.2b),y la celosaprincpal,sslema| (Fi9.'16.2a),sobre la que actanlas cargasnicalmenteaplicadassobresus nudosms las fansmitidaspor las cerchassecundarasa travsde sus arlculaconesexlremas,esoectrS = S r + S r l

entendndoseque, porejemplo,el esfuezo en la bana CJes

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I

b'l,'.b.1",CALCULOOEESTRUCURASARIICULADAS

bf,,"o

h-t:bA

. MtP* L+P'T't

so= Srl+ s'cmntresqueel esfuezo en le bara JN rs

sJN= skClculode,esluerz6 en el Silrrna l:

- Equlibrioen el nudoA

P Pt tA B C C D . ENI/t I\ZIP r ' P P l* P* YP P

Fhr. 13.2.Si3tsr. ly ll

s'^r=PsL=o (Compresn)

- Equilbrioen elnudoN

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. Equilibrioenel nudoOPorsimelrase verifcsque 6=sA

y DorequiTrbnode luerasver cales

EJERCTCTOr6

{e-s-s"f =osL=s'*+

"!"=+" (copresn).U=|t 6raccn)

zsof =se"L=*, Oraccin)

rstn*sLtf=s!.St=6P (c)slo= 3P (c)

obtenndose

- Equlibroenel nudoC

- Equlbrioen el nudoE

El relo deesloeaosn la elructuraI se obtienenDorsimelra.A suvez,losesfuezosencualquieradelascelosassecundariasseobtienenelablecendoel quilbriode losnudos.Tomando,porejempto,la etruclurasecundariaABCJ(F9.16.3)seobtiene

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C LCULO OE ESfRUCfURAS ARTICULADAS

Flg. ta:.

sls=P (compresn)sUc=P (compresn)s'l= p (Compresn)siu=.f2P Gracdn)s[.,="fze Greccin)superponendolossfueaosdelsislemaI conlosdolascelossssecundarias(sllemall)se legee los esluezos resullantesen la celosiacompuesta(fabla 16.1)

fA B Cr \ l l tP \I-l P'v Jf r

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EJERCTCTOr6

Trbh i8.l. Etu.zo! !|l l! b.rrasBa/'la C + $ Bana d + SAB .P JN -'J.%BC .P CK sJiplzCD -7P DK -POE -7P EK $eEF -7P KO ,lZ%FG -7P EO -3PGH -P EL $eHI -P -PIP .P GL sJ2plzOP /2 LO tJrr/NO eP//2 GM ,Jrr/,AN )r HM .P.tte IM .tteBJ MP -gJzp//2-zJip//2

(.) l|ccltnG)Cornpr.3in

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EJERCTCTOt7

E/arr"17En le elruclura de nudosalculadosde la fgur3, explicercmo se celcularanlos esluenosen les baras.

12.

+I?Y#A

# . .l t o D o H tI' I' I' I' I' l. I'# . # . 7 Y . # . X . X . . X

3

r ) tLa estructuradelproblemaes unacelosacompuesla,laly comopuedeobservarseenlaF9.17.1 .Representandoel diagramade cuerpolbrela strucluradel enuncadoes equivalentea lade laF9.17.2.

Figu.. !7.1. CeloslassecundariassombGadas

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CALCULODEESfRUCTURASARICULAOAS

Fgr.Itl, Oigm.d. cu..polibrcSiguendoun procesoanlogoal realzadoen el problemaanteror,el anlisspuedereelzarseaplicandoel Principiode Superposicnentrelos sstemasI y ll (Fi9.17.3ay b), porlo que los esfuerzos,S, en las banas del sistema orginalpuedenobtenersede la lormasguente:

S = S + S lLa superposicinpuedellevarsean ms lejosya que las struclurasdel sstemallson celosiascompueslascuyo entrmadoprincpeleslforado por las benesAEDGy BFDHconleniendolas cerchassecundariasAGl, DGK, DHL y BHJ. Los esfuezos del sstemall l(F9.17.3c)untocon los del sislema lV (Fig.17.3d)proporconanlos esfuerzosen les celosessecundariasAEOGy BFDHdelsisitmell :

S r = S r r + S vLa susttucnde ela ltima expresnen la de ms arrbapermteobtener losesfuezosda la estructuracompueslacomosuperposiclnde los de l, ll y lV

S = d + S r r + S v

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G N A , l o HI' l' ,.,11.,,I' I'E .

I3P12

EJERCTCTOt7

"tF

Ml-tll" "tIt 2 Pv

r Kl"

Fgur17.t.Sstm3l, , tty tV

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27/102

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28/102

EJERCtCTO18

/a

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frnCALCULODE ESfRUCfURASARTICULADAS

D EFtur llr. Slatlh&iod. b cloal. ..curidti. Poabarnaliclbi.

Aplicandolas ecuacion6 de GqulbrioeSaco y el mlodo d los nudos sl dagramadecerpolbrc de la Fig.18.3so otlcnenunos esfuazos en las banes fcticas,Sic y Sic, yolros esfueaos en las banss reelesque son los deseados.. Clculode reaccones

- Equilbriode luezas horizontalesI F x = 0 = P - H ^ = o

- Equlbriode fu8zs vertcales r u=o =Y^+Y" - ! . 2=s

- Equilbriode momentosrespectoalpuntoArMr=0= (l- t ) . t . t . t " -u. . r . r .sa+!.r . tsa=o

IrolE

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EJERCTCTOtt

Flou. ll. Saccnrh Ritt r

Sic = 0.95P (Traccn)- Equilibriode fuerasverlicales

Resolvendo:H = P

7 Pv ^=u5 Pvo=lrTomandola seccinde Ritter representadaen la Fg.18.4y aplicandolas ecuaconesdeequilbriosguentesse obtenenlosesfuenosen lasbaras DF,CDy AC:

- Equilibriode momenlosrespectoel puntoCrM"=s= fif- i).r. , .u,-.-f"=o^ / ;Se=S., =I11 (Traccin)

- Equlibriodemomenlosrespecloal puntoDrMo=s= (- l )s" . (s '* -4+"=o

D so

7P P ^ Ja ^l ? - Z * o " o 7 = u

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c Lculo DeEstuctlrR^S ARfrcutaDAs

s * = -P6I E (Comprosin)Por cquilbfiode nudos se obt?nenlos aluroa cn las baras rGlantes:

- Equlbrio.n .l nudoD

- EqulbrioEn el nudoE

- Equilbfioen 3l nudoB

a- -* (compresin)

a"r=* (compresn)"* =* firaccin)

' : " : ; : '

sb" =* (compresin)

A parlirde los cfurrzos en l8s bsrss flclclescs posiblecalcularlos esfueazosrealessnlas beras do ls caloslessacundarias.Para cllo ss consderacad celosfesecundafl&somelidaa les csrlas Gxtemssy uns fulzasiCualesy contrariass les cargesquc ajgfcocadaceloslesacundarisobrcl globl y l3 quscsrc. cda b8r! licticasobrs los nudosconespond6ntes.

Srr

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EJERCtCTOrt

Ctculo de esfuenos n la celosfa secundaria 1 (Fig.l8.5)

s'Ac c s h

( S a + S a o ) - E = - S i c = 0v t ; + (sar- sac)- = 0t v l g

S = 0.'12P (Traccin)So = 1.02P (Traccin)

Scc = SqS c r= S

( s ^ G+ s c c ) - = - s G r =o{ 1 3Scr = 1.' l3P (compresn)

PNl lroFlgr 11.6.Clc|.iodc 6lllroa cn L cclo3la rac{od8rb t

- Equilibrioen el nudoA

Por simetra

- Eaulibrioen el nudoG

So

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CAI.CULODEESRUCTURASARTICUIAOAS

Clculode csfuezoscn le closfseanderle2 (FO.iE.6)

isPslFgu.ala.a. Caldorr...luafoa.|r b catoch..cutd. 2

- Equlbrioenel nudoC

- Equilibrioen el nudoH

(s*+s",rfu-(n-s,c)=o("*-.*)#-f=o

Sc=0.8?P (Traccn)Sc =027 P (Traccn)

Sa = Scx(s".*s",)7fu-s",=oSr =027P (Treccin)Sx=0.3P (compresin)

8/7/2019 ejercicio 11 a 34

34/102

EJERC|C|Ort rct- Eqtlllbrioen cl nuatoB

i-t.*.;"11eSu -0.33P (compresn)

Sffi*q:Ty

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35/102

fAnl ,*IItmIf

t/otr.t 19D3lgrmnarlosesfuezossn les bafrssde la celoslecomplejede la fgura aptcandoel mtododc Hennebeo.

EJERCTCTOt9

^..--T.,:T -":]":i1 *,.ipleja sempres posbteencontrarbanastatesqueet supnmidasysusururaspofotrasdstntasengualnmerose obtengaunacelosfasimple.En ejle caso,s-iseeliminala bare CDy se eedeunabanaBEse obti;neunacetosasiriplet fig.ts.f qu"es p!_sibleanatzar,conndependencadelsistemadecargasaptc;d;,for et mtodode losnuoos.Aplcandoel mtodode nudosal dagramade cuerpolbrecoffespondrentea estaestructura(Fig.l9.2)se obtenenlosesfuezo!en lasbanas.'

I '# t ^ T F h T F a r z y r ^ #

Fgurl,1. Cabl|

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, t ' l " tPt2l * ' lPtzFgur. l.t. Oigrm. (h cti.tPo lbr d! b cllocl. I

Por equilbrioen los nudosC, D, A y F se llgass'r"=sir=s'-=s[= sr*=sl.o=os'^s=P/2 (compresin)slr=e7z (compresn)

lgualmente,fealzandoel equlibriotn los nudosB y E resultetl"="t= T (rraccn)

"t=: (compresin)

CALCULODEESTRUCTURASARIICULADAS

Fhrr.lr.!, C.bl.ll

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EJERCTCTOrt

El pmcrfmientoconslEen analzarlosslemasindicadosn laslguras19.1y 19.3.Lclosfa| (Fg.lg.l)se ha oblendo8l aplicsra le celosasmplela mismacargaqus e lscomplcja,mlentrasquc la closfell (F0.19.3)s nalizabeole accinde dos luet283nitaria3igualesy ds senlidocontrarioaplicadascn la llneadr 8ccnds 18bars suprimida.LosGsfuerosen la elrudura complejavendrndadosporla sumadc losoenidosc4 leelruciureI mslosoblenidosen la ll multiplcadosporX, sendoX el coeficienleoblendoellmponerla condcindequeel esfueroen la banaldcsBEseanulo.

Fgur. ll.a. Di.gr.ttl & oxrpo b.c dc l. c!lo3l. llPor lo tanto, es necesarioresolverpor el mtodode los nudosel dagramade cuerpolbrede la estructurall (Fig.'19.4).Se tiene:- Eouilibrioen el nudoC

"L=f (rraccn)- , 2 (Compresin)

Porsimetriade losnudosC y D- - 2 (Traccin)

tL=f (compresn)

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c Lculo o EsfRtcruRAs Rltd.[lD s- Equllhb n d nudoA

.t=; (rrccln)

.'t-; (rraccnn)

Por smfiad lo3nudosA YF.gr- i {rracctn)t!"=; (rracdn)

- Equlibrioencl nudo Gs!o=s!n=o

- Equlbroencl nudoB

"L= I (corrpr6slo)

lmponiendolacondcindqueel esfueroraatcn labarrafcticaBE6eanulose tnosLE+xs[E=o

que,sustitu)ndo,daP X ^

Resolvisndo X = - PA partirdel valordex se puedenobtonerlos esfuq-osen cadabanade la coloslacomplsiasegnla exprcsn

sc

See

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JERC|C|Or9

s=sl+xsl'Losvloresresullantessonexpuelosen la Tabta19.1.

(+) r.|cinC) Comprll{l

7.bt ,e.r. E.fu.taoa an 1ts ba.atBaa EsftNzo (g ) Eslue,zo(dt ) d*x.fAB -P//2 1//2 -P8C 0 r-% -eJ-z//2

0 -P0 J2/ -rJ-r/

-P//2 v, -P0 v, - P t 20 v/2 - P t 2

l| ^ pJ/ 0 ,{r/,FI : eJl//2 0 eJ-z/AD 0 t ; / eJi/,/2

0 p,fz/BE -P/ ./2

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JERCtCtO20

Elour"20En le elruclur artculadade la lOurs,calcularpor aplicacndel Principode los TrabajosViluales los esluerzosen todaslas barlas.Todaslas bsres tenengualseccintransversal.

F -*-Se tene una estructura hiperesttcaelema de grado uno puesto que hayreacconespor determnar.Para resolvresta hiperestalcdadse ulilzael prncigioTrabajosVirluales(PTV).Elgiendocomo incgnlahperesttcala reaccnen F, se aplcaet pTV entre el sstemareal de desplazamentosy el sistemavirtual2 (Fi9.20.1)de fuerasen equlbrio.Esle estadovrlualcorespondea un sstemalsoslticocon una cargaundedaplicadaen la hperestticaliberada(barraBF). De estaforme,el eleoirel slema realde desptazamentos,se fuena lacompatibilidaden el nudoF medanteel PTV.

cuatrode los

Fgur.20.1,Sit.mVdual2

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CALCULODE ESfRUCIUASARTISUIDAS

Fhu. 20:. S.lnr ILosesfuerosdsl silma ral spuodenobienerporsuperposcnde los de ta elru{iuraI (Fi9.20.2),resultentede lmnaren el silema rcalla Incgnitahlperelfca(Ss=o), y losde la lrclurevrtuel2 (F9.z).1)multplcadosporun coefcontcX queconespoder8lyalorde la reasnlberada.As,s tencel esfuerzon cdebes corno

s = s l + x s idondgel subfndici se relerel nmem de bara y el superindice al sistema al cual pe EnacDla bsna.

Aplicando6l PTv 6nlre el sstemerealy el virtuat2 se tene

lAl ser el trsbjovrtlalxtemonuloyi f r i r i= ' i 's ;a

=a fs i ' xs?l r - ,EAT 'ALIquedan laexpresindelF'fV

t =o=x=--ll----------I ( s ) ' L s f I s i . x s f l r - ,s l s f r - ,

H Et " 1 " ,Flgur 20.1. SGnro d. b ..llroa y rs-ion". dcl ildn I

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tJeRcrcro20

slsTEMAI (Fig.20.3). Clculods reacciones

4 , = O = X ' = t f2ru,=e- -i, r'r."4;.11,=,pJ i- , .

^ r -I F u= g = V " + v t - I J 1 = o. , eJ i- 1

. Clculode esfuenos- Equilibroen elnudoE

Se e ;= V. - SB= J2 VE (C)

S o . + S r . - = H . = S o = V E ( C )

sBo=sE= vE (T)S^"=r[s.o =z v. 19

s ^o=s"o=J! y, 19t;s "o=25s^o -5o . =y .

S^"=fv . (c )

- Eauilibroen el nudoB

- Equlibrioen el nudoD

. EquliboenelnudoC

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c tculo DE ESIRUCUR SARTICUIOAS

Fgw 0. S.r{to ft lo3 .ftaf,6 y r.ccbn.3 d.l aidsa vlrtd 2

SlsTEilA 2 (F9.20.t). Clculode ls reaccones

l""

. Clculodr ssfueeos- Equlbriosn el nudoC

E M . = O - - U " r a + | L B = 0v^=Y- 1

, r"=o=5-""-ur=,J2

ve=T, r " - 'a=r. -c

' * = *s^":J. (c)CD

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EJERCTCTO20 113

- Eoulbrioen el nudoE

En la Tabla 20.1 eparecenagrupedoslos valores de los esfuezos calculadospara elsistemaI y el silema 2. Se utlizanpor conveniosgnospostvospara barrastrabajandoatraccny sgnosnegativosparabarrasa compresn.S se sustituyenlos valorescalculadosen la expresinde X se llegae

- Equlbrioen el nudoA

- Equlrio6nel nudoD

t*=f cn.^o=lrtlt-=i o

"*=* r"l",.=lct

= 3.95

Losvaloresde los esfuenosresultantesdel si lema realcatculadossegrlns,=S]+XSfmuestranen la Tabla20.1

x = --i"sIsir,i (s i l 'L

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If3 CALCULODEESRUCTURASARTICULADAS

(-)Comp..rin

Tbla m.l, Efuzo! t b br.Baa Lon&tu si sf s r ' s l + s ico L eJ-zlt -{zlt tp'f,zltr+c.ese,fziqDE L -pJ-z/t -tJ-zlt l-p{zhr*s.eslsJt t')AC LIJ' -Pl2 I2 (-PIQ+3.9s(1t21AD L/J' -P12 -!2 (-P/2)+ 3.e5(-1| 2)BD LIJ2 P/2 q2 (P/2)+3.9s(1/2)

LlJ' -Pl2 l2 (-P/4+3.ss(1t2,AB -eJ-zlz {zlz (p{zlz'trt.ssd-zlz')BF LlJ' 0 3.95

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/a.'.r"2lCalcularlos esluezos en las bgnas de lasiguientesasentamentosde losapoyos:ApoyoA: 0.005hac8abajoApoyoC: 0.010haceabajoApoyoE: 0.009heciaabajoOATOS:EA conlante en lodas les banas

EJERCICIOA

estructurserticulad,de la fgura debidoe los

rtt

Se liene uneestructurahperesttcade gradouno.Al serhperestlica,aunqueno ext$ancargasaplcadas,aparecenesfuerzosen las baras comoconscuenciad; tosasentamentosde los apoyos.-,-,11_" j:::']*_1"-lesfuerzos se aptcaet princjpiode tos TrabajosVrruates(pTV) enrreelsrsremarearoe desprazamienlosy un sistemaviftual sostticode esluezos. se loma comosr$emavrnuarer resurtantede erimnaren ersistemarearunaincgnirahiperesttica,en estecasola reaccinen C, y susttuirlaporunacargaunlaria(Fig.21.1).-Seten;.

TV E =TVIpI i=T 's iL l

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CALCULOOE ESf RUCTURASARTICULADAS

"1'Fgra21.2,Dgr.m(h c.po libr. &l 3t.r rlu|l

Paracalcularlos esfuerzosdel sstemavrtualse aplicael mtodode los nudosal diagramade cuerpolibre conespondente(F9.21.2).Debdoa la simetradel sstemaes sulicenteconresolverncamenlela mitadde la elruclura. Los resultadosconespondientessprecenen laTeb la21.1 .Las deformacjonesrealesde las baras se puedenoblenera pariirde los esfuerzosdelsstemavirtual.En efecto,s se suponque la reaccnen C es igual a X los esfueaos delsstemarealhande ser: si =xs)/

y. 0ortanto.la eyde comOortamentoresulta- s l r - , x s Y l ,oL : '=#=#

Sustituyendovalo'esen la expresindel PTV tenendoen cuenlaque el trabajo vrtualelerno es dstintode cero a caussde los asentamentos.se tene.| . ' \ 2*.".. X(Sl I L,

0.50.005- 1.0.0 ' l2+0.5.0.009= E ---L ' 'p E Ao

= , :5 10-3E' -g.ga. lo- .Eln.u(6, . . \ ? tE (S;, lLl=A partirdelvalordeX se obtenenlosesfueaosrealesSl =XSy cuyovalorapareceen laTabla21.1.

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EJERCTCTO2r

trbl 21.1. Eslcro . t.3 b.ras

Baa LongiludU s sf =xsfAB 3 L -0.375 I .455. r o' EA,/L

3 L -0.375 -1.455,to' E,rLAF 5 L 0.625 2.qzs, 1onEalLtlt- 4 L 0 0CF -0.625 -2.425. 'lo' ENLFG 3 L 0.75 z.gl . 10' ENL

(1)Tr.ccnC) Copr.3ir

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EJERCTCTO22

E/qr.L,482Ls elruciura erticuladade le tgurase conlruye sin la bana AC. Posteriomentese Insedalactadabara, que por defectode conlruccntiene una longtudde LIE+0.01. Calcularlosssfuerosen las bares.DATOS: EA conlante paretodasl8sbanas.

#-------t------+Se liene una eslruc{urahperesttcainteme de grado uno sin cargas aplcadas.Snembargo,al ser hiperestticevan a apareceresfueaos en las banascomo consecuencadeldefectode montaje.El clculode los sluezos requierela resolucinde la hperelalicidad.Eslo se lleva acabomedantela aplicacindel Princpiode losTrabajosVirluales(PTV)enlreel sslemarealde desplazamientosy un sistemavrtualde eslueJzosobtenidoaplicendoun esfuezo unitaroen la bana elegdacomo incgnithiperesltica.En este csose ha elegidocomo ncgnlahiperestticeel esfuezo en la bare AC (Fi9.22.'l).SendoX el esfuezo real en la barraAC,

los esluerzosdel sistemareal se obtenencomo

Flgur 22.1,SBlemr lll

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cLcuLooE EsfRucfuR^s aRlculaD^s

HD 1""Fhur 2. Equb.b d.6ftro m.l ai{.r tistl

s i = x s i

H o= oV o = oV s = 0

SISTEMAvIRTUAL (F9.22.2). Clculode reaccones

. Clculode esfuefzos- Equlibrioen cl nudoA

. Equilibrioen el nudoB

+V

. - = " * * = .-=.-f=So= I (T)t*= rtls-=f rcl

(c)(c)

- Equilbrioenel nudoC

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EJERCTCTO22

Todoslos valorasde losesfuezos aparecenen la Tabla22.1.A partir de los valores de ssfusnoa calculadosy medianteel PTV se tane:

bom! .,0= t s i ^L ii=1dondela leyde comporlamentoso corrsspondecon

^ , R x s r v L /.. =-E- V j + A Cor-1=$!.i., vj=AC

siendoI j el valordel defectode monta.ie.Resolviendose obliene x=-r"*J\3s,' ISI I '1, /EA= \ | / t t

Al ser la bana AC mayorque LJ2 ha de estar sometdaa un esfuerzode compresinen laestructuray, por lo tanto,el valor de X ha de ser negativolo que mplcaque IAc seapositavo( lc = 0.01).De esto se puedeinferirque en banascon defectosde conslruccinpor excesoel valor de ,, ha de ser postivo,siendonegativoen el caso de que el eror de construccnfuesepordefecto.Susttuyendolos valoresde la Tabla22.1 se llegaa:

x = - z o z . r o ' f

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EJERC,CIOB

E/qutzr"23Ce-lcularpere la estrucluraeliculade de la ligura et desplazamentovencaldelgpllcandoel Princpiode losTrabajosViluales.

E co=E ^c=EE sDE 8c ; 2E& o=A rc ' AA B o=A B c=5A

*-- 2 L -.---v- rL ____*

l

nudo D

tL+I, LI+

Se tieneunaestructuraisosttca..paracalcularel desplazamentosotcilado,bastaconaplcarel Princpiode_tosTrabajosVrtuateslpTVentreei"i"." i""i " o".p"zamientosy:l-:,:l:I1 ylr"ll de fuezas(Fis.23.f) simt;rgeirmrrcamenti'alsis-ieirearperocon,na::,9:_!lll.nl.rpti"rda enet nudoDyn tadirecindetmovimentJacailurar.Deesrafomaseconsgueaistarenla expresindelTrabajoVrlualExlemoetoeiftazmientooeseaoo.

Fgur 2:.1. Sistcravtuatdeiuer:as

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CALCULooE EsfRucfURAs ARTIGUIAoAS

t -lv"FEr.a li:. Santilo r lo..3lucr!a y r.eirt r d.t dahn t'J.l

r i r i=T's iar- fque pafalossslemasrealy viduel consideradosse lrensloma enro8ru=T'1$!-,r1,"=rT*t1t',r EA r E, A,

Enesieltmaexpresinsah6tendoencuentaqueSf =e Sl/.Para calcularl desplazamientobuscadoes mprescindibleobtenerlos esfuezossistemavrlual,logussc llevaI ceboporequlbriode nudos(Fig.23.2):- Equlibfionl nudoD:

Asf. cn el PTVse tene

tl

'| _ Sco _ SsoLcs Lco Lso

^ t-- Ji6'- "o=a" "= a^ l- sLca

(r)Lc- I(c)

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EJERCTCTO23

- Equilbrioen el nudoCPor semejanzaconel tdnguloanteriorlosesluerosen las banasAC y BD son igualesenvalorabsolutoy el esfuefzoen CB es ls unidad:

t^"=f oSc = 1 (C)

En le Tabla23.1 se resumenlodas las caraclersticasy esfuerzosde las banas necesarosparaaplcerel PTV. Por convenio,sgnosposlvosindcanbanasa trecciny signosnegatvosbanasa compresn.A partirde eslosvelorespor susttucnse obliene el desDlazamentodeseado: r,,,,,rr"=!if]ua.1*,*,l'nl='"iiT.b|.23.1.Esfueeosenlasbaras

Baa Longtud(L) A, s i - r s iCD r-Jlo Jl6tz eJl6tz

ttJl 5A -sJrtz -seJ2 tzBC 2L t e 5A I .PAC ztJi E A sJtz spJi tz

(.) Tr.cckh(-) Compr.3

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EJERCtCtO24

ttqokb 24En le lruclura de nudosefticuladosde la fgura,deteminar el desplazamientohorizontaldelnudo D aplcandoel Principiode los TrabajosVrtuates.DATOS: EEcte ; A.cte

En primerlugar.debidoa que las bansAB y BC y DE y EF soncotnealesy a que noexstencargasextemas8plcadasen los nudosB y E, las banas BF y AE no trabajan.Portanto,ef sislemaestruclurala consderares equvalenteal de la Fil.24.1.El sistemade la Fi9.24.1es hperesltcode gradouno. Tomandocomo incOntahiper-esttcael esfueao en la berra CD, los esfuerzosdel sistemareal se puedenoblenerporsuperposicnde los del sistema1 (Fig.24.2),resultantede elimnarla ncgntahperesttca(Slo=O) en el sstemareal, muttiplicadospor P y los del sistema2 (Fig.24.3),obtendo

aplicandoun esfueno unitariocompresivoen la banahiperestlca(S3o= t), mrttiptcaOosporX, sendoX, lgcmente,el esfuezorealenla bara CO:

T2a+2a+

I tatzd 3anfi a f tatzd tatz7(

Flgur2a.l

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cALcULo oE ESfRUCTURASAETICUADAS

Fgur24r, Siatlt i

Flgu. ta.!. Ert fi.2

s l =Psl+xs iLosesluezosen los slemss I y 2 seobtenenporequilbfio:ElgIEryl (Fs.24.4)

-Equilbrioen el nudoDE F = o = s - * g o r 9 - 1 . gEFv=o=

. ' : f - "" . i- .

"-=* t r)r* =i (c)7 o l

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EJERCTCTO24

Fleu.. a ES/!.b & 6rroa a.1Sil.rn I

Figu.. 2{.5. Equilibrb de.sfrrtz6 en l Sst m. 2

SISTEMA2 (F9.24.5)-Equlbrioen el nudoD

Por smetra

.-=* t ')so .=s. r= l (c)5 9 6 = S = S = 5 9 6Sc = So

El valorde X se obtienemediantela aplcacindel Principiode los Trabajosvirtuates(pTV)entreel sstemarealdedesplazamientosy elsstemavirtual2deesfueros(F9.24.3):0 = : s ^ L ;

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ctcuLo E EsfRrEnn s ARTtcttDAa

Como

30ane:ar,=f,(eb1*xs)r-,

- P s l s L ix--#- . ( s ) ' L iSustituysndolos valo.6s d3 la Table24.1 sa lt.gs a:

x=-0.1620PPara calcular el dsplazamgnohorizontel dl nudc A basta con aplicar ol pTv cntra clsistena r6af de desplazamiros(Fi9.21.11 y sl sstcma vrtuat iso6tico 1 (Fi9.21.21deslueaos:

r(oi)"=S.fsi (esf*xs!)r-,Sustituyondolosvaloresdela Tabla24.1qu6da:(ol)"=r.osrrff

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f.bh 21,1.EluerosGrlssbaasBanz \ si sf s iAB 0 - 5 1 7 0.3307PBC 542 0 - 5 1 7 0.3307PCD a 0 1 0.4629PDE s42 - 51 7 - s / 7 -0.3836PEF sal2 - 5 l 7 -0.3836PAD cE" +J2lt tJzl o.4uAE 0 0 0BF 0 0 0CF qE. eElz -0.3731

(+) fr.ccihG)Cdrpr.s'tn

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gJERCtCtO25

e/or.4/. 6Pare la estruc{ursde la tgura,ctcular:

a) el desplazamentovclcaldel nudoC debdoa lascargasrepresentades..b) elcambiode longtudquedebeexperimentarla bana 8. ajlando un tensor,paravolverel nudoC a su cota inical.D A , T O S :A 6 = r . = A c E = A o E = A c D = A ; A ^ s r A / sE = E s = E s s = E o = E c o = E i E e = 2

7(- *^---7f *t7(Se liene una estructuraisosttcapaa la cual el clculode reaccionesy esruezos esdireclo.

.Consderandoel diagramade cuerpolibre(Fg.25.1),parael clculode las reaccionesseeplcanlaslresecuaconesde equilbrios todatastruciur!.-Equlbriode momenlosrespecloal nudoA

E M ^ = 9 . . P 3 L - V o 3 L + 4 . 5 L e = O-Equilibriode luezas horizontales

+I2 L+I2 L+

l F n = -Equilbriode fuezas vertcates

= x o- n ^ J = ov o - n ^ ! - n - o = o

frffi ereuorecn.^$]Resolvendoel sstema:

EFu=9 -

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cLcuroDEEsfRUctuRAsARrcur,Ao^s

-Equlbrion el nudoD

uo fvDF.r. 21.1.DLg..|n. .h c{rrpo lbr.

S =0,625a (T)l iSs6fr+Ho=O

.tv o - s E - s o c i ; = 0

, *=; ; " * ,56 = P+Q ( C)

/RA

Ho - 0375aVo = 15Q+PR =0'625Q

Paradelerminarlos esluezosse aplcael mlodode los nudosel sstemareal(F9.25.1):-Equlibrion el nudoA

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EJERCTCTO25

-Equilbrioen el nudoE

-Equilibrioen el nudoB

El desglazamienioverlicel delVrtuales(PT\4 entre el sstemaconespondientea la F9.25.21

Sor = S : = P+A (C)

I t as E c 5 - s E ; = 0

t* =' ' t '" a,

Fgur 23.2.Sislem.virtuld.lsfu.zos

se calculaaplicandoel Prncpiode l os Trabajosdesplazamentosy l sstemavrtualde esfueeosnudo Crea de

r ( 3 ) " =donde

^ s : 1 ,^r ^ - ---..-----l- - ' - E r A iLosesfuezosdel sistemavinuatS I se obtenena partirde tosdel sstemarealtomandoQ=1y P=0 (rabla25.1).

Susltuyendovaloresse llegsa:1 , . rtlv=E^110.0.62s.sL+(p+e).41+0.62s2o .sLl=Eifzs.so+le j

S se ajulase un tensoren le bna AB parahacernulo el desplazamentoverlcalen C, losesfuezosno sufriranningunamodflcacnal ser el sistemaisosltico.Sin embargo,existraunalargamientoadiconalen AB debdoattensor(allo )

'"i'"syar-

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CALCULODE ESRUC URASARTICULAOAS

oa" - sl" L^" ' ^,t^E=E; A^a + aL^EAplcandoel PTv entre los msmossistemasque antes sE tene,8l hacet el desplazamentonuloen C: o=Ts)'ui*sL-Ly, porlo larlo,el cambode longituddeseadoes:

aLL=-! f2s!9-:1Pl=-$ lro.eo*o.rel

T.bl 25,1. Esfuezosen las barras

(+) fncc(t Compr3n

Bara Longud(LJ s i s iAB 5 L 0.625Q 0.625

2.5L 0.62so 0.62sBE . P . QEO - P - O - t

2.5L - 0.625Q -0.625L E 1 . 5L

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EJERCTCtO26

Abd.' g6En la,elructura erlculadede la-tgura,calcularel cambiode longtudquehayquedar at tensoroc |e Dae AE paraqueel dasplazemientovedcsldel nudoC sea nulo-DATOS:EA constanteparatodaslas banas.

Se tiene unaestruclurahiperestlcede primerqrado.para resolverla hperestatcdadseaplicael Prncipode los TrabajosVirtualeslomandocomo incgnitahiperesttcala reaccnen B : H = xx

P

D-J*n"\iFgur.26.1. Oiagrmad cucrpolbredetsistemreal

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c[curoDEEsrRucfuMsARTtcutao^sSl so splicanlas ecueconesdE equlbrio toda la rstructura(Fg.26.1)33 lannbs-valoresds lasreeccones:. - Equlbriod momentosrespodoal fxntoD

EMD=0=t-lLX+ 15LP- 3LVr=0- Equlibriods tuetzashorizontales

l F " . Q e f l o - l = Q. Equlibriode fustz8s vertcalas

t F v = 0 : c V o - V ^ - P = OResolviendoel silema:

v =fx-|eH o = Xu"=l.l"

Aplicando?l mtodode los nudosal sfleme real (Fig,26.2)se obtenenfos ssfuezos enfuncnde la ncgntahiperestlce:

cP

Ho

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IEJERCTCTO28

- Eaulibrioen el nudoA

- Equlibrioen el nudoB

- Equilbrioen el nudoE

- Equlibroen el nudoC

f s^ r -v^=o; ' :

. - .= 's^"=fx-fes- =x-f,e

s* f - s * f - x=o'-l:1-'**='s*=f x-fe trrSBE= lX-P (c)

(r)(c)

S o E= S a E= 4 X - P

S^^=s" .=19x - !p- - 3 8

(r)(r)

Como sslema vrtual 1 de esfueeos para resolver la hpereststicdadse toma elcorespondenteal sslemareal hacendouno la incgnitahperesttca(X=j) y sin consderarcargasaplcadas(P=0) (F9.26.3).Et ctcutode tos esfuezos S: es drecto I DartirdelsstemareallomandoX=1y quedareflejadoen la Tabla26.2.Aplicandoahorael PTVentreel sstemarealy el sistemvrtual1 se tene.

nobn. _0 = t S i ^ L Il - ldonde

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c^Lculo DEBTRUCTURASARf|cuLADAs

Fig. 2a.t. St.||l vtrtrt I tt 6lr6

* l=+ vj*ABar-1=S!rl-*

sienOoaLl" el alergamientoedcional6n AB debdoal tensor.Susttuyendolos valoresd la Table26.2se llegea le ec.acn

o=9L * hgo.x - gz.zspl!3 ry 'EAquelenedosncgnitas,X y aLl.Pare la resolucndelproblemaes prcsoptentearotra ecuacnlo cual se lleva 8 cboadodandoun nuevosstemevrlual2 (F9.26.1)que pemta mponerla condicindedasplazsmnloverlclnulorn l nudoC. Los esfueaosen el sstemavtual2, S?, seobtenn parlrds losdelCleme reslh8cendoPsf y X=0Gabta26.i).

Aplcndontoncescl PTvcntfeel sistemaralde desptszamentosy el sstemvlrtu3l2da 6sfuetzos:sl at-f

rfondeaLl anl mbmagxprslnqucantoriomentc.Sultuyendolosvsloresds la Table26.'lsatiene18ecuacn

o = IF!

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EJERCTCTO23

Fgura2G..Sislcm.rlu.l 2 ct .stucros

o=-i al I. * fs.p- gz.zsxl!J E Aque junto con la oblenidaanlerormentepemte resolverla incgnlahiperestticX y elalargamenlodellensoraLf: l * = - r . g l !. E A

X=029PAl habersupuesloincialmenteunalargamenlodebdoallensor,elsignonegativoobtendondcaqueesneceseroacortarellensorpararestrngireldesplazamentovertcaldelnudoC.

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EJERCICIOz?

Elor.,tt 27La elruclure afliculadsde le fgura se ha monladocon la banaBF una undadms cortade lonecesario.Calcular:

e) la fueze verlcalP neceseriaparaquedespusdel montajeel desplazementoverlcalen D sea cfob) el desplezemienlohofizontaldel puntoD.DATOS:EA constanleparelodas lsg barras.

Se teneunaestruclurahiperesttcanlemade prmergrado.Por ello,en primerlugar,esprecisoresolverla hperelatcidaddel sistema.S se elgecomo ncgntahiperesttcael esfuerzoen la barra 8F, los esfueeos delsstemareelsepuedenoblenerpor.superposcnde losdelsistemaI (Fi9.27.1),resultantedeelimnarla ncgnitahperestlca(Sl, = O) en el sistemareat,muttiptcadospor P y tosdelsstema2 (Fi9.27.2't,obtendo aplcandoun estuero unilaroen la barra hiperesttica

{S l, = l), turtpt""dosporX, sendox el esfueeo real en la bara BF:s l = P S l + x s i

Losesfuezosen lossstemas'1y 2 se obtenenporequilibriode nudosy susvaloresaparecenenlaTebla27.1.

, lDI 'Flgur27.1.SastcmeI

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c^rcuLooEEsrRucfuR^saRTlcul,ADAs

Frgr27. SCdn 2

Etvelorde la incgnitehipereltcaa se obten8medianteaplcacndel Princpode losTrabajosMrluales(pw) entreel sllema l6alde deslazementosy el sstemevirtual2 deesfuenos(F9.27.2).donde

ori=(Psi.Is) r'oLl=(Psi*](-si)L' *i

v *BFvj=BF

o=f,si ar!

sendo

el delec'tode monlaje.Resolvendose oblieneel valorda x:

l E = - 1

- !.n. ^EAr.rFSF+ E s PsiL ix = -

que, porsultucnde los valorsde le Tebla27.1,da:- 0.707PL +EA^=-9-F

conlo qu yase tenanlos esfuezosdel slema real.Pafa calcularle cerga P qu6 haco nulo el desplazamientovertcsl n D 38 fureescondicn de compatiblidadmedianl8 splicacin dsl el PTV enlre el sleme reel dedesplazamentosy el silema virtualI de esfueros(F9.27.1).

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EJERC|C|OZt

Fgu.tt:. aH.rn riiil3

0 = EFr si at-iSulituyendo el valorde ALI vlo anteriomenie,se obteneel valorde la cargaP deseado:

EAsFtaF*f sfsf xr-,P= - ------------l{{.,., 0.707L XClculodeldrsplazamlGnlohodzontaldelpunloO:

Se aplca ef Pry entre ef sslemareal de desplazalentosy el ss{emavrtual 3 deesfuezos(Fiq,27.3),cuyosvaloresapsrecenen le Tabla27.1:

Reemplazandovaloresse lener(rB)"=T"siaLi

(a5)"=-rrosft-o.rs

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cALcuLooE ESTRUCTURASART|CULADAS

T.bl.2?.1, Eluazos .n la b!r.3Bam Longitud(L) sj s' siAB 2 t - 1 1 2 0 IBC 2 L -112 -lr tz ICD 2 L 1 0 1DE 2 L 0 0 0EF 2 L 0 0 0-Jzlz 0GH 2 L 0 0 0AH 0 0 0

ztJi Jrlz 0 0BG ztJ2 0 -Elz 0

ztJ2 -Jrtz 1 0BF ztJi 1CF ztJi 1 -Elz 0DF ztJV J' 0 0

(.) Trccito(.) Compr'jn

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EJERCTCTO23

e/orrl"2CLe elruclura de nudos ertculadosde la fgura se encuentrasometda8 un aumentodetemperalura(AT)untome en lodas sus banes.Cslcular:) Los esfuezos en lodas las barasb) Los desplazamientoshorizontalyvelicaldel nudoC medantela eplicacindelPrindprlode losTrabajosVirtuales.DATOS: E = conlanle ; a = conlante : Seccinbans Ac = J:2A : Seccnbre BC = A

*_ L _______+Se tieneuna estructuraconstituidapordos banasde esfuerzodesconocidoconcurrenlesenun nudoartculadoC. En dchonudo,es posibleestablecerdos ecuaconesde equlibrioquepermilendetermnarlosesfuerosen dichasbanas.Porlanlo.la estrucluraes sosttica.-Eouilbrioen el nudoC:

TL

1""'^fi ,^"f=" = s^"=.,[p(r)s""=o*so"f=P*o (c)Al ser la estructurasosttica,los incrementosde temperaturaproducenalargamientosen lasbanasoerono esfuerzosadiconales.

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Clclodcl desplazrmlnto horzontelan CSe aplica el PTv entre el sileme resl d desplazemientosy el sstemavffual I dessfuefos(F9.28.r) resunantde aprcarunecargaunitarraen er u

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EJERCTCTO2T

r ( 3) " 'T 's or lLos esfuetzosdl slema vrluel2 consponden,poranalogla,a los delt om andoP =0yO= l : sl"=os!"=t (c)

SustituyendoseobtGneperacl desplazamentols epresn:(uB)"=$.-"oru

Flgu..2t.2. Sbiemavilul2

sstemereal

I

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EJERCTSTO29

E/a./.nEnla eslrudur,artculadade le fiourecelcular,aplcendoel Princpiode losTrabejosMrlusles:

a) Losssluezosen lodss lasbanasb) Losdesplaz8mienlosverlcsly horizontaldelnudoCcomoconsecuenciade unincfementodelemDeraluraATunformeentodaslasbares.DATOS:Todaslesbafrassonprismticasconlgualseccintransversele lgualmsterial.

#- * --*Se tiene un eslruclurahiperesttcade gradounopor lo queel incrementode tempersturapmducresluenos en las baras. Para resolverla hiperestalcdadse aplica el PTV entre elsistemarealde desplazamientosy el sislemavrlualresultantede susltuiren el sistemereal lareaccnhofizontel en A, elegda como incgnit hipresttica,por una tueza unitare(Fig.29.1):

T. LLe l

Fgur29.1.Sisbmertu.l

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EJERCICTO29

Flgur.t.2. Sbt.m.virt.||Para resolverel desplazamiento,es precsocalcularen primer lugar, los esfuerosdelsstemavinuelI (Fig.29.3):.Equilbroen el nudoC

-Equilibroen el nudoAsi" =t (r)

Sustiluyendolos vaforesde fosesfuerzos realesy vluales en la expresindef Pry queda:( r ! ) , = - "a r r -c1.+

H a B-

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crculo oEEafRUcfURASARItcUtlAoAs

Fertl. S.||. d 2Clculo dl d"spltamisnto vscl .n .l nudo C

Se eplcael PTv enlre el sstem8real de desplazamienlosy ol sslemaviftusl isoltco 2de sfueros(F9.29.l): (68)"=""si arEl clculode los esfueaosdelsislomavirtul 2 pmporcona(F9.29.5):

IIc

y, por lo lanlo

sL=r (c)slo=sl"=o(3)v =sL" r -c =-q aT4L

Ic

+I ' BFlgrr 1.. E$brb ..ftr:D. .|| .l .irldn 2

I

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EJERCICIO30

/ou?r 30En la lruclura arlculadade la liguraclculafl

s) los esfuerzosn las banas.b) los desplazamentoshorizontaly vertcaldel nudoA aplicandoel Principode losTrabe--jos Vrtuales.DATOS:P= lkN; A=6tN : L=2m: EA. con lanteparalodasl8sbenes

Se lieneunaestructuraisostticapor lo quelos esluezosse puedenobteneraplicandoelmtodode los nudos.Eslosesfuezosson producidospor las cargasP y Q. Considerandoseparadamenieel sistema| (F9.30.1)y el sstema2 (F9.30.2)se liene:s i = e s l . o s f

L+L).

Fgur30.1.Srsle,1

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CALCULODE ESfRUCfURASARIICULAOAS

Flgu. 10.2. Sillrn 2

SISTEMAI (Fi9.30.3). Clculode esfuerzosPor equlbrioen los nudosB, C, A y E sucesivamentese lene

S = S a c= S r c = S c e= S ^ E= S D = S E c= 0- Equlibrioen el nudoA

Sro =l (T)- Equilbrioen el nudoD

S = S o r = S o c = c r = 4 5 os J z= t = a =a o r = a * = 4 (r)

slsTEMA2 (Fi9.30.1). ClculodeesfuezosPorequilibrioenlosnudosB y C seobtiene

S ^ t = S * = S ^ " = S " t ' Q

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CJERCICIOS

Fg. 10.1. Eqsilib.io rt! alt.rzo. .n .t Sbt |

Fgur 10.4.EquiliDrodG!3lrczo3.n t Sst.m2

So =1 (c)s^r=f (r)

s o =1S t c=1

+-)

(c)(r)

. Equilbroenel nudoA|\ to'r l \ -I .\sm

- Equlibrioen el nudoEN, " .1xl. \sec

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cArculo oE EsfRtrcTUi SARTTcULADS

-EquilibrioGnel nudoD

(s**s*) f=r(s-- s* ) f =rs. =J (c)

S m = o

Los ssfuezos tdales resultsntes oblendos por combnecnde los del glma I y elslstema2 sparecenen la Tabla30.1par los detosdel problm8.Clculo del ds3pt82amentohodzortl dal nudo A

Ss aplicaet PTV entro el sistemsreal de desplazsmeniosy el sistemavrtualI (F9.30'1)de esfuenos:r f 11 . .=q fs l l l =a l t s l s l r .' r " , H - - r * - l

Habndosecalculedoya los esfuezos en los sstemasreal y vnu8l l, ss obleneporsustilucn:r- R\ 19.314l o ^ l x = - E -

Clculodalderphzmhnto vtfiice dcl nudoASaaplical PTv entreel slema faldedesplazmenlosy el sistemavdual2 (F9.30.2)d stuezos:

r ( r i ) "=Ysl ar i=j ' f ls i s i r ,Sustituyendolos vsloresclculedosresulla:I19J96

s9

(6i)" EA

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EJERCICIOS

Tabl.30,l. Ertuczo qn lai b8r3Barra si si s f=es l *os fAB 0 0 0sc 0 0 0CE 0 0 0EG 0 1 8DF E/z -6.185AD I -1DG Jzlz 0 2.628DE 0 1 .EAE o J2 11.31 l

0 0 0(+) TrecC) Corprrsio

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gJERCtCrO3l

;adl" 9lE.le.elruc{ura erticuladade la fgura,celculrpor aplccndel principode tos TrabajosMlueles:e) los esfuezosen lesbaFesb) los desplazamentoshorizontaly verticaldetnudoAproducidos como @nsecuencade ls eplicacln de lss cargas p y O indcadas y de unncrementode lemperalureunilome en todeslas baras.D A T O S :P - 2 . 5 t i 9 - 3 1 ; E . 2 x t o c k g / c r n 2: A : 4 c m 2 : L r = L = 3 m : A f = f O . Ca = l.2 x lo' .c'r

f tus - z- tus XSe tien un sstemahiperesttcode gradouno. Los esfueposde estesslemase Duedenobtenercomosuperposicinde los del silema 'l (F9.31.1a)multiplcadospor p, de los dels]stema-2-(Fi9.31.1b)multiplcadospore y de tosdel sisteme3 (Fg.31.jc)muttplicadosporX, siendoX el esfuerzode la bana AD-

s l = p s l + o s + x s lElgendocomo ncgnitahiperesttcael esfuezo en la bara AD, X, para resolverlahiperelalcdadse aplicel PTV entreel sstemareelde desplazamientosy el sidema vrtuel3 de esfuezos:

i r io i= is iar i

(. UtI\I+

f:a>"f,f{LsU

donde

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cALcULo OEESTRUCIURASARICUIADAS

Ft!. ll.l. SiL.. 1.2Y3. . " L l lo r - =-1PSl +osI +xs f l+L , ca r

Resolvendoperala Incgnitshpersllcaquoda:i [ rs l .os +Eecar ls f-fct---

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EJEC|C|O3l

cuyovlordependsde losesluetzosen lossilemasl. 2,y 3.SISTEMAI

- Equlibrloenal nudoA

SlslEMA2- Eqqilibrioenl nudoA

SISTEMA3. - Equlbrioen elnudoA

"r="-=i

s^ssc

So = 1 (T)t ^ r=a^"= j

(r)

5 l T t6C= ; ( c )

( r )

Suslituyendolos valoresds los esfuEoscalculadosCfabta31.1)obtenes [ s 5 s q I- ; l P +a :+EAa ,T+P: -e !+EAcrATi_ E 1 8 6 8 6 _ J t o" = F " a t - |\8.,/

que paralosdalosdel problematomael valor

en la expresinde X se

[to" ot.9r]

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cAt.cULo OEESfRUCURASARTICUI.ADAS

X. -0.75A parlirdeele vslorscelculanlosssfuezosrealesSf sustiiuyendoen18expresnvsta

con8ntrioridedlosvalorssds P, Qy X:sf=zssf+rsf-o.zssfL6 r3sultadoslinelessc muelrannla Tabls31.1.Crlculod! lo d.splrm.ntor m .l nudoA

Paracalclarol desplazamlntohoriontal?n el nudoA se plcel PTVantr Glsilemer6aldsdesplezementosy el dlem 2 deesfuezos(F9.31.1b):ii i =is?r-1t s i t s t , ,

o, loquees lo msmot ' lt,=i.l[**"o,,,]

El desplazamentoverticalenA sr calculade formasmlaraplicendoel PTVcnlrs6l sistemarerl dedesplazamentosy elsstemavrluelI de fueras(F9.31.1a):i r l i= is lar - fE i t 'o

. [ o R , 1(rl)"=is;;*"arr-,JSulituyendoen lasdos exPresonesde los desplazamentoslos datosdel problemasobtienenlosvalofs: (61)"- ts mm

1o!" = o.somm

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fbh 1.1.Etu.ror la bataiB r a si s si fAB 516 sl6 516 3.59AC sl8 -5/6 5J8 -1.1AD 0 0 I -0.75

(.) lccnG)CdnprGirJ

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EJERCICIOE

tetl.32Psrala clruclur flculaddola fiouradeteminer:

) loscsfuer2osgnlgsbarasb) el desplazamientohoflzonteldelnudoAcomoconsacuencledola aplcednds l cergaP.DA TOS : P =2 . 5 r :L . 26 m I A . 4cm ? ; E . 2x t o ! kg / cm 2

L

Se teneunaelruc{ura constiludeportres baras de esfuezodesconocidoconcunentesenun nudoartculado.En dichonudo,slo es posbleestablecerdos ecuaconesde equlibrioporlo cuel la estrucluraes hiperesltcade gradouno. Por ello, pare resolverla hiperestalicidad,se ha de estsbleeeruna ecuacnde compatbilidad.La compatblidedse fueza aDlicandoelPdncipio d6 los Tbaios Vidueles (PTV) entre el sstema reel de desplazernienlosy unsstemavirtual2 de luezas en equilbfio.Esle estadovrlualconespondeal sistemareal hechoisostticoaplicandoun esfuerzountarioen la bana AC, elegidacomo incgnitahiperesttica(F9.32.1).Asfse tene:

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crculo oEEsfRucruMsARTTGULADAS

ttur !t. S|ar.I

Yr i t f= f 5 ;o1Los ssfuarosdel sstemarslsa clculanporsuprposcinds los del slteme 1 (Fi9.32.4,resultentede lberaren el sstomarsal la ncgnitahiperesttica(S^c.o),multplcadosporlecargaP y losdelsleme virturl2 mltplicedosporuncoefcenteX quecorespondeel vslordelesfuezoenl banalberadaAC

s -Ps l+xs lSegnelo, ol serel trabaovlual6xtmonuloy

quedeenla expresndelPry esfs f r - ,' f lsfIesj.xsilr- ,

Il. DR o

u,i=j[nsi,xs]lr,=o-x=-#;-:-

FOr. 12.1.Equlikio d. .ltrr6 an al rbt.m I

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EJRC|C|Ot

!!glE&lFic.32.3). Cldllode.sfuezos- Equlbrioen.l ndoA

SIEUAI? (Fis.32.,l). Clculode esfuerzos

. Equilibdoen el nudoA

s! JZ2 - l = 0 = S . r - C D" o { - " - = o - s r D = t (c)

= . - = * ( c )s^ . f ; * s -= t f ; - " - . $En la Tabla32.1aparecenegrupadoslosvaloresde losesfuerzoscalculadosparalosdossstemasusandosgnospostivospereesfuezosde lrecciny sgnosnegativospsraesfuenosde compresn.

.*f ='l (c)

Ftrr.lr. Equllbrbda6f!.roc c rt aat!|rr 2

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CLCULOOEESTRUCfURASARTICULADAS

SultuyendolosvalorescalculedosenlaexpresindeX esulteT'esis f r-,x=- = 0.525P: [ s ) ' L i

A parlrdel valorde X y del valorde P=2.5t se obtenenlos esfuezosresultantesdelsslemareal:s^,=JJze-o.tr" $= to43P=26ors (r)S^c = 0.525P= 13125 (T)

( E . \so=-p - o.szse[]J =-r.re2p=-zes (c)Clculodel desplazamentohorzontalenA

Paraaslarel desplazamientohorizontalen A en la expresindel PTV, se tome un sstemavrlualde fuezas isostticosmilaral 1 (Fi9.32.2).As, aplicandoel PTV enlre el sstemarealde desplazamentosy el sistemavrlual1 se lene$ . o r o a ,trol l"=# -(61)"=;f IrL"1" '-*.rLsl,L-l

Sustiluyendolosvaloresde la Tsbla32.1se l legeal valor:(o! )"= o.rslascm

T.bl 32.1.Esfuszos. la barasBaa Longtud(LJ sj sf s f=es l+as fAB zJa -JZl2 1.043PAC 4 0 I 0.525PAD I tt-Jitlz - t . f92P

(. ) TnccnC) Comprcsn

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EJERCICIO|

E/ad' 33En le elruclura de nudosartculadosde la ligura,calculeren funcnde las cotasb y c (b < c):

a) les reecconesen los spoyosy los esfuetzosen lasbanasb) el desplazamionloverticaldel nudoDcomo consecuancad6 l aplcacnde la crga P.

7Y_ b _#__ ----------z-Debdoa la disposcinde los apoyos,lasdirecconesde las reecconesen los nudosA,CE soriconocdas;porlanlo, la estructuraes isosttcaextema.Por otraparle,comofcilmentepuedeobservarse,la estructuraintemamenteya que lres nudosy lres banas formanun sslemaprincipalgCD es isostticargdo.En consecuencaelconuntoes sostlico.A partir del diagramade cuerpo lbrede la Fi9.33.1,se oblienen os vatores de lasreaccionesaplcandolaslrcs ecueconesde equlibrio:

I M c = 0 = P c - R L c D - R ^ L c B= O! F r = 0 = - R ^ s e n6 0- R r c o s6 0 =O

IFu = 0 =- *^ cos60+REsen60 -P+ Vc = OComo:

b=L8c cos60c=L cocos30

> Lc = 2b2cJ3

sustituyendoy resolviendoel slema de eoJscionesde equilibriose ouiene:

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c^LculooEtsrRucruRAsaRncuuD s

l"Firt l!.1. Oi.9r.n d. crF libr."^=*+"r=-ffiV ^ = P b- b - c

At ser b

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EJERCICIO3

Porequlibriode nudosseobtienenlosesfuzosenlasbanasrestanles(Fig.33.2):- Equilibrioenel nudoC

- NudoEHsr1s\ lvE

\

" " \ ""]P- Equlbrioen l nudoB

H, = R . c o s 6 o =P c f4 ( c - b )v - = R , s e n 6 0 =3 P c/ r ( c _ b )

( r )( r )

sro=.,[;*sfu=#

Z F = 0 = S s 9 c o s3 0 - S B cc o s 6 0 = Of F r = 0 = S " o s e n3 0 + S B cs e n6 0 - V c = O

P bs^ = -2 ( c - b )sBc_ pJ52 ( c - b )

(c )

Clculo del dlsplazamentovertcaldel nudo D. Paracalcularesdesplazamentose aptcael princpiode los trabajosvirtuates(pTV)entreel sislemarealde desplazamientosy el sistemavirtuate esfuezosd la Fig.33.3:'"i,'rlo=i,'si aLi

+ 3 b 2

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vA

cAIcULo DE ESTRUCfURASARICUIADAS

Flgrr l. qr ibrio ..lero.n .l itl.r.

f|'a tl. SAr dtl .h -trflol

l"

comoS]'= sf /e sertene ( ,S)"=;j i rs i r ' r ,

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100/102

L

EJERCTCtO34

tlor.'kb 34L elrudura ertculedadg le figurase encuenlrasometdaa un ncremenlode temprature(AT)enlodaslasbaras.Calculsr

a) losesfuerzosenlasberesy lssregcconesnlosapoyos.b)d desplazemienlohofizontalsn el nudoD.DA TOS :E : 2x l o t kg t unz ; A . 2cm 2 ; A T*100c ; c . =1 . 2xl 0 ' oC ' t

?Y-- zt --*- t -X- t -X

Se teneunaeslruclureisostlcsin cargasaplcadas.Debdoa esto,desprecandoel pesode la elruclurs, lanlo los esfuerzosde cada bana como las reacconesen los apoyossonnulos: R = oR o = os l = oClculodel desplazamenlohorzontalen D- - Paracalcularel desplazamentohorizontalen D se apticeel princpiode tosTrabajosMriueles(PTV)ntreel sstemareatde desplazmentosy el sistemvirtualde luezasconespondientea la Fig.3f.l: r (s i ) "=" i ' s ia r - i

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CALCULOO ESRUCTURASARTICULAOAS

fN."lA' Flu,a3.1.Sbt m. virtt.|d. lmras

donde,sl no existir esfuezos en el silema real, el atargamientoes dbidonicamentea latemoeraturaa t -| = 6 1 .

con roque:6 i = I s i c a r L

Por equilbriode nudosen el sstemavirtual soltco(F9.34.2)se deduceque las ncasbanasquelrebajanson lasdel cordnnferionsl" =s|"=s!o=r (r)sXn=s t =s Io=sS=sJ .=sL=s ! .=s j .=o

Figur. L.2. Equilbrb d. .rtu.rz6 dr.t 3Ei! tr.|

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EJERCtCTO34

Teniendoencuenlalo, enla expresindelPry resulta:(o ! ) "= "ar (s i " r - ^ ,+sj " t " " +s !ot -"o )

que perelos datosdel problemada(o!) " =o,oosocm