Ejer2 Matrices 2Bach CCSS 0910

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

2o Bachillerato. Grupos D y E. Curso 2009/2010.

Hoja de ejercicios II

Matrices

1 Sean A =

(2 −34 5

)y B =

(−1 2

3 −4

). Hallar, si es posible, A · B y B · A. ¿Coinciden

ambos resultados?, ¿qué propiedad no cumple el producto de matrices?.

2 Dadas A =

1 −2 2−2 0 2

3 3 1

y B =

−1 0 0 2

3 1 2 5−2 1 3 2

, determinar, si es posible:

AT ·B A ·BT B ·AT BT ·A

3 Sean M =

1 −1 2 0−2 1 0 2

3 1 −2 1

y N =

0 2 13 2 1

−1 2 3−3 1 2

. Se pide:

1. Hallar (M ·N)T

2. Hallar NT ·MT

3. ¿Qué relación hay entre los resultados de los apartados anteriores?.

4 Sean P, Q,R ∈Matn×n(R). Basándose en el resultado del ejercicio anterior, escribir (P ·Q ·R)T

en función de PT , QT y RT . Comprobar dicho resultado con las matrices:

P =

(1 10 2

)Q =

(2 −3

−1 4

)R =

(1 6

−2 5

)

5 Sean A =

(1 11 0

)y B =

(a b

1 c

). Hallar a, b, c ∈ R para que A ·B = B ·A.

6 Sean P =

(2 3−2 4

)y Q =

(−1 14 −2

). Se pide:

1. Determinar (P + Q)2

1

2. Una persona asegura que (P +Q)2 = P 2+2PQ+Q2, mientras que otra afirma que (P +Q)2 =P 2 + PQ + QP + Q2. ¿Quién tiene razón?, ¿dónde está el error de la que se ha equivocado?.anteriores?.

7 Hallar, si es posible, los productos A·B y B ·A siendo:

A =

−1 2 3

4 1 2−1 2 5

B =

2 −31 12 5

Solución: B ·A no existe. A·B =

6 2013 −110 30

8 Hallar, si es posible, los productos A·B y B ·A siendo:

A =

1 2 3−1 5 0

2 1 2

B =

1 2 −1 50 −1 2 33 2 4 6

Solución: B ·A no existe. A·B =

10 6 15 29−1 −7 11 10

8 7 8 25

9 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones matriciales:

2X + Y =

(5 12 74 2 7

)

3X + 2Y =

(25 11 020 10 35

)

10 Hallar las matrices A y B que son solución del siguiente sistema de ecuaciones matriciales:

3A + 2B =

(2 −15 4

)

2A + B =

(1 3

−2 0

)

Solución: A =

(0 7

−9 −4

)y B =

(1 −11

16 8

)

2

11 Utilizando el Método de Gauss, hallar la inversa, si existe, de las siguientes matices 2× 2:

(a) A1 =

(−1 2

3 2

)(b) A2 =

(2 51 2

)(c) A3 =

(−7 4

2 −1

)

(d) A4 =

(1 23 5

)(e) A5 =

(−2 4

3 −6

)(f) A6 =

(5 34 2

)

(g) A7 =

(5 −2

15 −5

)(h) A8 =

(5 −6

−5 6

)(i) A9 =

(7 89 6

)

12 Utilizando el Método de Gauss, hallar la inversa de las matrices: M =

(2 −11 1

)y

N =

(2 11 1

).

Solución: M−1 =

(1/3 1/3

−1/3 2/3

)y N−1 =

(1 −1

−1 2

)

13 Utilizando el Método de Gauss, hallar la inversa, si existe, de las siguientes matices 3× 3:

(a) B1 =

1 2 30 1 20 0 1

(b) B2 =

1 0 11 1 12 0 3

(c) B3 =

−1 3 −2−1 −4 1

0 5 −2

(d) B4 =

2 0 11 1 −43 7 −3

(e) B5 =

1 1 −11 0 13 1 0

(f) B6 =

−1 1 2

2 0 11 1 3

(g) B7 =

2 −2 22 1 03 −2 2

(h) B8 =

1 2 −12 5 43 7 4

(i) B9 =

1 2 23 3 12 1 −1

14 Hallar la inversa de : P =

1 3 31 4 31 3 4

y Q =

1 4 40 2 40 0 1

.

Solución: P−1 =

7 −3 −3−1 1 0−1 0 1

y Q−1 =

1 −2 40 1

2 −20 0 1

15 Dada la matriz A =

(2 12 3

), hallar (A2 − 2A)−1.

3

16 Sea la matriz A =

0 0 01 0 00 1 0

. Se pide:

1. Hallar la inversa de las matrices Id + A e Id−A.

2. Calcular (Id + A) · (Id−A)−1

17 (Zaragoza, Junio 2003) Se considera la matriz A =

1 2 31 3 32 5 a

. Se pide:

1. (1.08 puntos) Discutir según el parámetro a ∈ R el sistema:

A ·

x

y

z

=

000

2. (1.08 puntos) Para a = 6, determinar si existe solución del sistema siguiente y en casoafirmativo hallarla:

A ·

x

y

z

=

010

18 (Valencia, 2003, 3.3 puntos) Hallar de forma razonada los valores de x, y y z en la siguienteecuación matricial:

3 −2−2 1

0 1

·

(x

y

)+

x

y

z

=

−10

63

19 Calcular los valores de x, y y z que satisfacen la ecuación matricial:

12

−1

·x +

1 12 10 1

·

(y

z

)=

100

20 Hallar el valor de x ∈ R en la siguiente ecuación matricial:

A + 2B + xC = D

siendo:

A =

(2 1

−1 3

)B =

(0 12 5

)C =

(2 34 0

)D =

(0 0

−1 13

)

4

21 Resolver la ecuación matricial A ·X + B = C, siendo:

A =

1 1 01 2 00 0 1

B =

1 10 11 2

C =

0 11 31 1

Solución: A−1 =

2 −1 0−1 1 0

0 0 1

y X =

−3 −2

2 20 −1

22 Resolver la ecuación matricial A ·X = B ·X + C, siendo:

A =

(−1 2−2 0

)B =

(−3 1

1 2

)C =

(0

−1

)

23 Dadas A =

(2 31 0

)y B =

(1 32 −2

), resolver la ecuación: 2X −A ·B = A2


1 1 22 0 −1

−6 −1 0

, calcular, si es posible:

1. Una matriz X tal que X ·A =(

1 0 −1)

2. Una matriz Y tal que A · Y =

(1 0 10 1 0

)

25 Hallar1 la matriz X que cumple A ·X ·A = 2B ·A siendo:

A =

[2 13 2

]y B =

[1 02 3

]

26 De una matriz A se sabe que su traspuesta es

AT =[

2 4 1]

Calcular AT ·A y A ·AT .

1 Todos los ejercicio a partir de este son de exámenes de P.A.U. anteriores al año 2004.

5

27

1. Determinar los valores de x e y que hacen cierta la igualdad:[

1 −13 2

]·[

x

y

]=

[1 x

y −1

]·[

32

]

2. Determinar la matriz X de dimensión 2× 2 tal que:

X ·[

1 32 5

]− 2 ·

[0 11 1

]=

[−1 0

3 −1

]

28 Determinar una matriz X tal que A + 2X ·B = C, siendo:

A =

[1 −2 10 3 1

], B =

1 −1 12 0 1

−1 1 1

, C =

[1 2 38 −1 −1

]

29 Sea A =

[1 0

−1 1

].

1. Demostrar que A2 = 2A− Id

2. Hallar las matrices A3 y A4 y expresarlas en función de A y de Id.

30 Calcular la matriz X tal que A ·X = A + B siendo:

A =

[2 10 1

]y B =

[3 31 1

]

31 Sean las matrices:

A =[

1 −1 1]

y B =

[2 3 14 8 4

]

Calcular el producto A ·BT ·B ·AT .

32 Encontrar la matriz X tal que A ·X + B = C siendo:

A =

[1 12 1

], B =

[1 1 01 2 1

], C =

[0 1 11 1 3

]

¿Se puede hallar alguna matriz Y tal que Y ·A + B = C?

6

33 Sea A =

[0 02 1

]. Hallar las matrices B de orden 2× 2 tales que:

1. A ·B = 0

2. A ·B = B ·A = 0

34 Dadas las matrices:

A =

[3 −10 2

]y B =

[1 −2

−1 1

]

hallar la inversa de A−B y la matriz X tal que X · (A−B) = A + B.


A =

1 2 −11 0 12 1 0

, B =

[2 −1

−1 2

], C =

5 23 07 −2

1. Calcular A−1 y B−1

2. Hallar la matriz X tal que A ·X ·B = C

36 Dadas la matrices A=

[2 11 0

], B=

[−1 −1

0 1

], C =

[1

−1

]y D=

[−2 −1−1 −1

], se pide:

1. Calcular A ·B · C

2. Hallar una matriz E tal que D · E =

[1 00 1

]

3. Calcular, si es posible, C ·A. Si no es posible, justificar la respuesta.

37 Se considera el sistema de ecuaciones lineales:

{13 x− 2y = 1

x− 3y − 2 = 0

1. Expresarlo en forma matricial A ·X = B

2. Calcular la matriz inversa de A.

3. Resolver el sistema.

7

38 Sean las matrices M =

[1 23 4

]y N =

[4 32 1

].

1. Calcular la matriz A = M ·MT − 5M .

2. Calcular la matriz B = M−1 y resolver la ecuación:

N + X ·M = M ·B

39 Sea la matriz A=

[5 33 2

]. Hallar la matriz B tal que A ·B =

[14 16 189 10 11

]

40 Dadas las matrices A=

2 0 −10 2 11 1 1

, B=

2 10 10 2

y C =

0 01 00 0

1. Hallar la matriz inversa de A.

2. Resolver la ecuación matricial A ·X −B = C

3. Calcular la matriz X.

41 Encontrar, si existen, matrices cuadradas A de orden 2 y distintas de la matriz identidad,tales que:

A ·[

1 01 1

]=

[1 01 1

]·A

¿Cuántas matrices A existen con esa condición?. Justificar la respuesta.

42 Dadas las matrices A =

0 −1 01 0 −11 1 0

y B =

1 0 10 −1 1

−1 3 0

, determinar, justificando la

respuesta, la matriz:

X = (A−1 ·BT )2

43 Resolver matricialmente la ecuación AT ·X −B = 0, siendo:

A=

0 0 11 0 00 1 0

y B=

3 45 61 2


[1 a

2 4

]. Calcular el valor de a sabiendo que no existe la matriz inversa

de A.

8

45 Dada la ecuación matricial:

A ·X + 2B = X, con A =

[3 21 4

], B =

[1 −20 1

]

1. Despejar la matriz X.

2. Calcular la matriz X.

46 Hallar la matriz X que cumple A ·X ·B = C, siendo:

A =

[3 24 3

], B =

[2 31 2

], y C =

[1 11 1

]


[7 4

−9 −3

], se pide:

1. Hallar (A−1)2

2. Hallar (A2)−1

48 Resolver la ecuación matricial A + B ·X = Id, siendo:

A=

−1 0 1

2 1 0−1 2 3

y B=

1 2 01 0 −1

−1 3 2


A=

0 0 −10 1 0

−1 0 0

y B=

0 0 10 −1 01 0 0

1. Calcular A2.

2. Resolver la ecuación matricial A2 ·X + A ·B = B

50 Considerar el sistema de ecuaciones:

32 x− 1

4 y = 0x− 1

2 y = −2

}

1. Expresarlo en forma matricial A ·X = B

2. Calcular la matriz inversa de A.

3. Resolver el sistema.

9


[a −32 4

]. Calcular el valor de a sabiendo que A · AT es una matriz

diagonal.


A=[

2 1 −1], B=

3−2

1

, X =

x

y

z

y B=

4−2

0

1. Calcular las matrices M = A ·B y N = B ·A.

2. Calcular P−1 siendo P = N − Id.

3. Resolver el sistema P ·X = C.

53 Dada la matriz A=

0 2 22 0 22 2 0

, se pide:

1. Calcular A2 − 2A− 8Id.

2. Hallar X tal que A ·X = Id.

10

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