Ejemplos de ejercicios Bernoulli1. Un jugador de bsquetbol esta a punto de tirar hacia la parte superior del tablero. La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55a) Sea X=1 si anota el tiro, si no lo hace X=0 determine la media y la varianza de X. Eventos probabilidades X=1 si anota 1 0.55 (p)= 1(0.55)= 0.55X=0 si no anota 0 0.45 (1-p)=0(0.45)=__0__ Media= 0.55(1-0.55)(0.55)=0.1111375(0-0.55)(0.45)=0.1361255 Varianza=0.2475 b) Si anota el tiro su equipo obtiene 2 puntos. Si lo falla su equipo no recibe puntos. Sea Y el numero de puntos anotados tiene una distribucin de Bernoulli? Si es as encuentre la probabilidad de xito, si no explique porque. Eventos probabilidades Y=2 si anota 2 0.55 (p)= 2(0.55)= 1.1Y=0 si no anota 0 0.45 (2-p)=0(0.45)= 0 No es una distribucin Bernoulli porque los eventos que se presentan no son 1 y 0. c) Determine la medida y varianza de Y Eventos probabilidades Y=1 si anota 2 0.55 (p)= 2(0.55)= 1.1Y=0 si no anota 0 0.45 (2-p)=0(0.45)=__0__ Media= 1.1(2-1.1)(0.55)=0.4455(0-1.1)(0.45)=0.5445 Varianza=0.99d) Por ser un tiro de larga distancia, si anota obtiene 3 puntos, si lo falla 0 puntos. Sea Z el numero de puntos anotados tiene una distancia de Bernoulli? Si es asi encuentre la probabilidad de xito, si no explique porque. Eventos Z=3 si anota 3 Z=0 si no anota 0 No es una distribucin Bernoulli porque los eventos no son 1 y 0. e) Determine la media y la varianza de Z. Eventos probabilidades Y=1 si anota 3 0.55 (p)= 3(0.55)= 1.65 (3-1.1)(0.55)=1.002375Y=0 si no anota 0 0.45 (3-p)=0(0.45)=__0__ (0-1.1)(0.45)=1.225125 Media= 1.65 Varianza=2.22752. En un restaurante de comida bsica 25% de las rdenes para beber es una bebida pequea, en 35% una mediana y 40% una grande. Sea X =1 si se escoge aleatoriamente una orden de una bebida pequea, X=0 en cualquier otro caso. Sea Y=1 si la orden es una bebida mediana y Y=0 en cualquier otro caso. Sea Z=1 si la orden es una bebida pequea o mediana, Z=0 para cualquier otro caso.a) Sea px la probabilidad de xito de X. determine px Eventos probabilidades X=1 si es una bebida chica 1 0.25 (p)= 1(0.25)= 0.25X=0 si no lo es 0 0.75 (1-p)=0(0.75)=__0__ Media= 0.250.25(1-0.25)=0.1875b) Sea py la probabilidad de xito de Y. determine py Eventos probabilidades Y=1 si es una bebida mediana 1 0.35 (p)= 1(0.25)= 0.25Y=0 si no lo es 0 0.65 (1-p)=0(0.75)=__0__ Media= 0.350.35(1-0.35)=0.2275c) Sea pz la probabilidad de xito de Z. determine pz Eventos probabilidades Z=1 si es una bebida chica o mediana 1 0.60 (p)= 1(0.60)= 0.60Z=0 si no lo es 0 0.40 (1-p)=0(0.40)=__0__ Media= 0.600.60(1-0.60)=0.22

d) es posible que X y Y sean iguales a 1?No es posible solo 1 de ellas puede ser posible.e) es pz=px+py?Si es igual.f) Es Z=X+Y? explique

3. Cuando se aplica cierto barniz a una superficie de cermica el 5% es la probabilidad de que se descolore, el 20% de que se agriete, 23% de que se descolore o no se agriet, o ambas. Sea X=1 si se produce una descoloracin X=0 en cualquier otro caso. Y=1 si hay alguna grieta, Y=0 en cualquier otro caso. Z=1 si hay descoloracin o grieta o ambas, Z=0 en cualquier otro caso.a) Sea px la probabilidad de xito de X. determine px Eventos probabilidades X=1 si se decolora 1 0.05 (p)= 1(0.05)= 0.05X=0 si no sucede es 0 0.95 1-p)=0(0.95)=__0__ Media= 0.050.05(1-0.05)=0.0475b) Sea py la probabilidad de xito de Y. determine py. Eventos probabilidades Y=1 si se decolora 1 0.20 (p)= 1(0.20)= 0.20Y=0 si no sucede es 0 0.80 (1-p)=0(0.95)=__0__ Media= 0.200.20(1-0.20)=0.16c) Sea pz la probabilidad de xito de Z. determine pz. Eventos probabilidades Z=1 si se decolora 1 0.23 (p)= 1(0.20)= 0.23Z=0 si no sucede es 0 0.77 (1-p)=0(0.95)=__0__ Media= 0.230.23(1-0.23)=0.1771d) es posible que X y Y sean iguales a 1?No es posible solo 1 de ellas puede ser posible.e) es pz=px+py?No, no es igual.f) Es Z=X+Y? explique

4. Se lanza al aire una moneda de 1 y de 5 centavos sea X= 1 si sale cara en la moneda de 1 centavo, X=0 en cualquier otro caso. Sea Y=1 si sale cara en la moneda de 5 centavos, Y=0 en cualquier otro caso. Sea Z=1 si sale cara en ambas monedas, Z=0 en cualquier otro caso.a) Sea px la probabilidad de xito de X. determine px Eventos probabilidades X=1 si sale cara 1 0.50 (p)= 1(0.50)= 0.50X=0 si no 0 0.50 1-p)=0(0.50)=__0__ Media= 0.500.50(1-0.50)=0.25b) Sea py la probabilidad de xito de Y. determine py Eventos probabilidades Y=1 si sale cara 1 0.50 (p)= 1(0.50)= 0.50Y=0 si no 0 0.50 1-p)=0(0.50)=__0__ Media= 0.500.50(1-0.50)=0.25c) Sea pz la probabilidad de xito de Z. determine pz Eventos probabilidades Z=1 si sale cara 1 0.50 (p)= 1(0.50)= 0.50Z=0 si no 0 0.50 1-p)=0(0.50)=__0__ Media= 0.500.50(1-0.50)=0.25d) son X y Y independientes?Si son independientes.e) es pz=pxpy?

f) es Z=XY? Explique

5. Se lanzan 2 dados. Sea X=1 si sale el mismo numero en ambos y X=0 en cualquier otro caso. Sea Y=1 si la sume es 6 y Y=0 en cualquier otro caso. Sea Z=1 si sale el mismo numero en los dados y ambos sumen 6 (es decir, que salgan 3 en los dos dados) y Z=0en cualquier otro caso.a) Sea px la probabilidad de xito de X. determine px Eventos probabilidades X=1 si sale el mismo numero 1 0.16 (p)= 1(0.16)= 0.16X=0 si no 0 0.84 (1-p)=0(0.84)=__0__ Media= 0.160.16(1-0.16)=0.1344b) Sea py la probabilidad de xito de Y. determine py Eventos probabilidades X=1 si sale el mismo numero 1 0.064 (p)= 1(0.064)= 0.064X=0 si no 0 0.936 (1-p)=0(0.036)=__0__ Media= 0.0640.064(1-0.064)=0.059904c) Sea pz la probabilidad de xito de Z. determine pz Eventos probabilidades X=1 si sale el mismo numero 1 0.03125 (p)= 1(0.03125)= 0.03125X=0 si no 0 0.96875 (1-p)=0(0.036)=__0__ Media= 0.031250.03125(1-0.03125)=0.0302734

d) son X y Y independientes?Si son independientese) es pz=pxpy?Sif) es Z=XY? Explique Ejemplos de distribucin binomial

1. Se toma una muestra de 5 elementos de una poblacin grande en la cual el 10% de los elementos esta defectuoso.a) Determine la probabilidad de que ninguno de los elementos de la muestra este defectuoso.p(x=0)= 5 0.1(1-0.1)=0.59049 0b) Determine la probabilidad de que solo uno de ellos tenga defectos.p(x=1)= 5 0.1(1-0.1)=0.32805 1c) Determine la probabilidad de que uno o ms de los elementos de la muestra estn defectuosos.p(x=3)= 5 0.1(1-0.1)=0.0081 3p(x=4)= 5 0.1(1-0.1)=0.00045 4p(x=5)= 5 0.1(1-0.1)=0.00001 5d) Determine la probabilidad de que menos de dos elementos de la muestra tengan defectos.p(x=1)= 5 0.1(1-0.1)=0.0729 1

2. Se lanza al aire una moneda 10 veces.a) Cul es la probabilidad de obtener exactamente tres veces cara?p(x=0)= 10 0.5(1-0.5)=0.1171875 3b) Determine la media del nmero de caras obtenidas.p(x=2)= 10 0.5(1-0.5)=0.043945312 2

3. En un cargamento grande de llantas de automvil, 5% tiene cierta imperfeccin. Se elige aleatoriamente cuatro llanta para instalarlas en el automvil. a) Cul es la probabilidad de que ninguna de las llantas tenga imperfeccin?p(x=0)= 4 0.05(1-0.05)=0.81450625 0b) Cul es la probabilidad de que slo una de las llantas tenga imperfeccin?p(x=1)= 4 0.05(1-0.05)=0.171475 1c) Cul es la probabilidad de que una o mas de las llantas tenga imperfeccin?p(x=2)= 4 0.05(1-0.05)=0.0135375 2p(x=3)= 4 0.05(1-0.05)=0.000475 3p(x=4)= 4 0.05(1-0.05)=0.00000625 4

4. En un patrn aleatorio de ocho bits utilizados para probar un microcircuito, cada bit tiene la misma probabilidad de ser 0 1. Suponga que los valores de los bits son independientes.a) Cul es la probabilidad de que todos los bits sean 1?p(x=8)= 8 0.50(1-0.50)=0.00390625 8b) Cul es la probabilidad de que exactamente 3 de los bits sean 1?p(x=3)= 8 0.50(1-0.50)=0.21875 3c) Cul es la probabilidad de que al menos 6 de los bits sean 1?p(x=6)= 8 0.50(1-0.50)=0.109375 6d) Cul es la probabilidad de que al menos dos de los bits sean 1?p(x=2)= 8 0.50(1-0.50)=0.109375 2

EJERCICIOS DE DISTRIBUCIN DE POISSON1. Sea X poisson (4). Determinea) P(X=1)=0.0733 b) P(X=0)=0.0183c) P(X1)=0.9084

2. La concentracin de partculas en una suspensin es de 2 mL. Se agita por completo la concentracin y posteriormente se extraen 3 mL. Sea X el nmero de partculas que son retiradas. Determinea) P(X=5)=0.10081b) P(X