CIRCUITO RC DE SEGUNDO ORDEN

Solución:

Las ecuaciones del sistema son:

Reemplazando la ecuación 3 en la ecuación 2:

V i (t )=RC ( dV C 1

dt+ 1RC

(V C 1−V C 2))+V C 1dV C 1dt

=−2RCV C 1+

1RC

V C 2+1RC

V i(t)

Luego las ecuaciones de estado del sistema son:

Reemplazando para R=50Kohm y C=100nF:

La función de transferencia se halla tomando transformada de Laplace a las ecuaciones de estado:

Reemplazando la ecuación 2 en la ecuación 1:

Reemplazando para R=50Kohm y C=100nF:

%% CIRCUITO RC DE SEGUNDO ORDENR=50e3; %ResistenciaCo=100e-9; %Capacitancua A=[-2/(R*Co) 1/(R*Co); 1/(R*Co) -1/(R*Co)]; B=[1/(R*Co); 0 ]; C=[0 1]; D=0; Ge=ss(A,B,C,D) % Ecuación de estadoGt=tf(Ge) % Función de transferenciaTm=1e-3; % Periodo de muestreoGd=c2d(Gt,Tm) % Discretizar la F.TGd.variable='z^-1' % Para ver en la forma z^-1

La ecuación de estado del sistema es:

[ d idt¿d vcdt

]=[−RL −1L

¿ 1C

0 ][ iv c]+[ 1L¿0]v s

Nota: La ecuación de salida depende de lo que se quiere “leer” del sistema, por ejemplo si se quiere leer el voltaje en la bobina, el voltaje en el condensador y el voltaje en la resistencia:

La ecuación de salida debe quedar en función de las variables de estado ¿ ) y la entrada vs

vs=R . i+v L+vc

Entonces el voltaje en la bobina es:

vL=−R .i−vc+v s

El voltaje en la resistencia es

vR=R . i

Finalmente la ecuación de salida es de la forma:

[ vLv Rvc ]=[−R −1R 00 1 ] [ ivc ]+[100]vs

%% circuito serie RLCR=1;c=1;L=1; %Las variables de estado son i(t) y Vc(t) % | i(t) |% X= | |% | Vc(t) | A=[-R/L -1/L; 1/c 0 ]; B=[1/L; 0]; C=[1 0; 0 1]; %Hay dos salidas; un sensor lee i(t) y el otro Vc(t) D=[0; 0]; sist=ss(A,B,C,D) step(5*sist); %respuesta a escalón de amplitud 5 voltiossistft=tf(sist) %convertir a FT

SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN CON AMPLIFICADOR OPERACIONAL

A partir de la ley de Kirchhoff de corriente:

i1=i2+ i3

i2=C2d vc 2dt

; i3=C1d vc1dt

Recordar que en un amplificador operacional se tiene que: v+¿=v−¿ ¿¿

v+¿=v c 2; v−¿=vo ¿¿

Entoncesvc2=vo

El voltaje en el punto vx es:vx=vc2+i2R2

Tambiénvx=vo+vc 1

Luego reemplazando vo=vc2

vx=vc2+vc1

Igualando las ecuacionesvx=vc2+i2R2=vc 2+vc 1

Se obtiene

vc1=i2R2=R2C2d vc2dt

Entonces la primera ecuación de estado es:

d vc 2dt

= 1R2C2

vc 1

Escribiendo la ley de Kirchhoff de voltaje en la malla de entrada:

v i=i1R1+v c1+v o

Reemplazando vo=vc2 , i1=C2d v c2dt

+C1d vc1dt

v i=(C2 d vc 2dt +C1d vc 1dt )R1+vc 1+vc 2

v i=[C2( 1R2C2

vc 1)+C1 d vc 1dt ]R1+vc1+vc2

v i=[ 1R2 vc 1+C1 d vc1dt ]R1+vc 1+vc 2C1R1

d vc1dt

=−R1R2

v c1−vc1−vc 2+v i

C1R1d vc1dt

=−(R1+R2R2 )vc1−vc 2+v iFinalmente la otra ecuación de estado es

d vc 1dt

=−( R1+R2C1 R1R2 )vc1− 1C1R1

vc 2

+ 1C1R1

vi

La ecuación de estado total:

[ d vc 1dt¿d vc2dx

]=[−( R1+R2C1 R1R2 ) ¿− 1C1R1

¿ 1R2C2

¿0 ][ vc 1¿ vc2]+[ 1C1R1¿0 ]v i

La ecuación de salida: vo=vc2

[ vo ]=[0 1 ] [ vc 1¿ vc 2]+ [0 ] v i