8/17/2019 Ejemplos de Cálculo científico numérico (parte 2)

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Pontificia Universidad Católica de Chile

Facultad de Matemáticas

Mayo de 2013

MAT 2605 - Cálculo Cient́ıfico I - Tarea N◦ 2

Se entregan solamente los problemas 2, 4 y 6 (de los cuales solamente 2 ser án corregidos).

Plazo de entrega: hasta la clase del jueves 16 de Mayo 2013.

1. Determinar el polinomio de interpolación de grado menor para dos puntos x0, x1 (con valores dadosy0,  y1)

a) resolviendo el sistema lineal con matriz de Vandermonde,

b) utilizando las funciones de base Lagrange,

c) v́ıa la forma de Newton.

2. Considere la función  f (x) = (1 + 25x2)−1 definida sobre [−1, 1].

a) Sea  P n   el polinomio de grado  n   que interpola  f   en los puntos  x j   =  −1 + 2 j/n,  j  = 0, . . . , n.

Graf́ıque el error  en  =  f  − P n,  n  = 5, 10, 15, 20, 25, y comente sobre el comportamiento de loserrores máximos cuando  n  crece.

b) Se puede mejorar el comportamiento del polinomio interpolante por elección de otros puntos,los ceros de Chebyshev. Utilice estos puntos (en vez de ellos mencionados en 2a) y repita loscálculos de 2a).

3. Determine el polinomio der Hermite de interpolación para los datos  y(1) = 1,  y(1) = 2,   y(2) =0,   y(2) = 2 y dé una cota para el error de interpolacíon en el intervalo [1, 2] sabiendo quemáxx∈[1,2] |y

(4)(x)| ≤ 1/10.

4. Encontrar los polinomios de grado 1, 2 y 9 que aproximan en el sentido de cuadrados mı́nimos lasiguiente tabla de datos:

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

y -0.1 1.1 1.9 3.2 3.8 5 6 7.3 8.1 8.9

Gráficar simultáneamiente los datos y los polinomios encontrados.

5. Considerar el producto interior

f, g :=

   10

f (x)g(x) dx

en el espacio  S m  generado por  {x, x2, x3, . . . , xm}.

a) Hallar una base ortonormal de S 3.

b) Hallar la mejor aproximación de  f (x) =  x

4

y de  g(x) = 1 en  S 3, en el sentido de cuadradosmı́nimos utilizando el producto interior dado.

6. a) Determinar valores de α, β,γ   ∈ R tales que  S (x) sea una función spline cúbica, siendo

S (x) =

αx3 + γx   (0 ≤  x  ≤  1),

−αx3 + βx2 − 5αx + 1 (1 ≤  x  ≤  2).

b) Con los valores de   α,β,γ    obtenidos en a), decidir si   S (x) interpola a la función   f (x) =2x + 0,5x2 − 0,5x − 1 (0 ≤  x  ≤  2) respecto de los puntos  {0, 1, 2}.

c) Gráficar simultáneamiente f (x) y  S (x) en el intervalo [0, 2].