EJERCICIOS DE CAÍDA LIBRE Y TIRO VERTICAL PROFR. MARCO ANTONIO VÁZQUEZ MONTES

EJEMPLO No. 1 Desde el balcón de un edificio se cae una maceta y tarda 4 segundos en chocar contra el sueloa) ¿Cual será la altura desde el balcón al suelo?b) ¿Con qué velocidad se estrelló la maceta contra el suelo?

Solución a)

DATOS

𝒚=?𝒚𝟎=𝟎𝒗 𝒚𝟎=𝟎

FORMULA

𝒚=𝒚𝟎+𝒗𝟎𝒚 (𝒕−𝒕𝟎 )−𝟏𝟐 𝒈 (𝒕−𝒕𝟎 )𝟐0 0

𝒚=−𝟏𝟐𝒈𝒕𝟐

SUSTITUCIÓN Y RESULTADO

𝒚=−𝟏𝟐 (𝟗 .𝟖𝒎

𝒔𝟐 ) (𝟒 𝒔 )𝟐Las cantidades iguales a cero ya no se

escriben y la ecuación se simplifica 𝒎𝒔𝟐

𝒔𝟐¿𝒎

OBSERVACIONES SOBRE LOS EJERCICIOS QUE SE RESUELVEN EN ESTE MATERIAL La caída libre y el tiro vertical pertenecen al MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV) Las ecuaciones empleadas se derivan del MRUV considerando que la distancia es vertical y la aceleración es la de la gravedad

con signo negativo

0

𝒕𝟎=𝟎𝒕=𝟎

𝒚=−𝟕𝟖 .𝟒𝒎Recordemos que el signo negativo indica que la altura está calculada

desde el balcón hacia el sueloEcuación para calcular la ALTURA CONOCIENDO EL TIEMPO DE CAÍDA

Solución b)

DATOS

𝒚=?𝒚𝟎=𝟎𝒗𝟎𝒚=𝟎

FORMULA

𝒗 𝒚=𝒗𝟎𝒚−𝒈 (𝒕−𝒕𝟎)0

𝒗 𝒚=−𝒈𝒕

SUSTITUCIÓN Y RESULTADO

𝒚=−(𝟗 .𝟖𝒎𝒔𝟐 ) (𝟒 𝒔 )

Las cantidades iguales a cero ya no se escriben y la ecuación se simplifica

𝒎𝒔𝒔𝟐¿

𝒎𝒔

𝒕𝟎=𝟎𝒕=𝟎

𝒚=−𝟑𝟗 .𝟐𝒎𝒔

El signo negativo indica que la que la velocidad está dirigida hacia

abajo

0

Ecuación para calcular la VELOCIDAD CONOCIENDO EL TIEMPO DE CAÍDA

𝒗 𝒚=?

EJEMPLO No. 2 Un objeto cae libremente desde un acantilado cuya altura es de 30 metrosa) ¿Cual será el tiempo que transcurre desde que inicia su movimiento hasta que choca contra el suelo?b) ¿Con qué velocidad se estrelló contra el suelo?

Solución a)

DATOS

𝒚=−𝟑𝟎𝒎𝒚𝟎=𝟎𝒗𝟎𝒚=𝟎

FORMULA

𝒚=−𝟏𝟐𝒈𝒕𝟐

SUSTITUCIÓN Y RESULTADO

𝒕=√ −𝟐 (−𝟑𝟎𝒎 )

𝟗 .𝟖𝒎𝒔𝟐 √ 𝒎

𝒎𝒔𝟐

=√𝒎𝒔𝟐

𝒎¿ 𝒔

𝒕𝟎=𝟎𝒕=? 𝒕=𝟐 .𝟒𝟕 𝒔

Utilizamos la ecuación para calcular la ALTURA CONOCIENDO EL TIEMPO DE

CAÍDA

Solución b)

DATOS

𝒚=−𝟑𝟎𝒎𝒚𝟎=𝟎𝒗 𝒚𝟎=𝟎

FORMULA

𝒗 𝒚=−𝒈𝒕SUSTITUCIÓN Y RESULTADO

𝒚=−(𝟗 .𝟖𝒎𝒔𝟐 ) (𝟐 .𝟒𝟕 𝒔 )

𝒎𝒔𝒔𝟐¿

𝒎𝒔

𝒕𝟎=𝟎𝒕=𝟐 .𝟒𝟕 𝒔

𝒚=−𝟐𝟒 .𝟐𝟒𝒎𝒔

El signo negativo indica que la que la velocidad está dirigida hacia

abajo

Ecuación para calcular la VELOCIDAD CONOCIENDO EL TIEMPO DE CAÍDA

𝒗 𝒚=?

√ −𝟐 𝒚𝒈 =𝒕

EJEMPLO No. 3 Desde la orilla de un pozo una niña deja caer una piedra y después de 7 segundos escucha el sonido al chocar contra el agua del fondo. Considerando que la velocidad del sonido es de . ¿Cual será la profundidad del pozo?

Solución

El tiempo de siete segundos corresponde a la suma del tiempo que tardó la piedra en caer hasta el agua mas el tiempo que el sonido tomó para llegar los oídos de la niña como se muestra en la siguiente ecuación:

𝟕 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐𝒔=𝒕𝑪𝑨𝑰𝑫𝑨+𝒕𝑺𝑶𝑵𝑰𝑫𝑶

Esta ecuación la utilizaremos de la siguiente manera

𝟕 𝒔=𝒕𝑪+𝒕𝑺… (1)

Podemos escribir la altura recorrida (POSITIVA) por la piedra a partir del tiempo de caída

𝒚=𝟏𝟐𝒈𝒕𝑪

𝟐… (2)

El sonido se desplaza con Movimiento Rectilíneo Uniforme, por lo tanto la distancia vertical (POSITIVA) se calculará con la ecuación:

𝒚=𝒕𝑺𝑶𝑵𝑰𝑫𝑶𝒗𝑺𝑶𝑵𝑰𝑫𝑶

Que escribiremos como:

𝒚=𝒕𝑺𝒗𝑺 … (3)

De la ecuación (1) despejamos el tiempo del sonido y tenemos una nueva ecuación:

𝟕 𝒔−𝒕𝑪=𝒕𝑺… (4)

Una vez despejado el tiempo del sonido , lo sustituimos en la ecuación (3)

𝒚=(𝟕 𝒔− 𝒕𝑪 ) 𝒗𝑺… (5)

Igualamos las ecuaciones (2) y (5)

𝟏𝟐𝒈 𝒕𝑪

𝟐=¿(𝟕 𝒔− 𝒕𝑪 )𝒗𝑺

Desarrollamos el lado derecho de la ecuación

𝟏𝟐𝒈 𝒕𝑪

𝟐=𝟕 𝒔𝒗𝑺−𝒕𝑪𝒗𝑺

Sustituimos los valores conocidos

𝟏𝟐 (𝟗 .𝟖𝒎

𝒔𝟐 )𝒕𝑪𝟐=𝟕 𝒔 (𝟑𝟒𝟎𝒎𝒔 )−𝒕𝑪(𝟑𝟒𝟎𝒎

𝒔 )Simplificamos e igualamos con cero

(𝟒 .𝟗𝒎𝒔𝟐 )𝒕𝑪𝟐=𝟐𝟑𝟖𝟎𝒎−(𝟑𝟒𝟎𝒎

𝒔 )𝒕𝑪

(𝟒 .𝟗𝒎𝒔𝟐 )𝒕𝑪𝟐+(𝟑𝟒𝟎𝒎

𝒔 )𝒕𝑪−𝟐𝟑𝟖𝟎𝒎=𝟎

La ecuación anterior es de segundo grado para y aplicamos la ecuación general correspondiente

𝒂𝒕𝑪𝟐+𝒃𝒕𝑪−𝒄=𝟎

𝒕𝑪=−𝒃±√𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂Sustituimos los datos

𝒕𝑪=−(𝟑𝟒𝟎𝒎

𝒔 )±√(𝟑𝟒𝟎𝒎𝒔 )𝟐

−𝟒(𝟒 .𝟗𝒎𝒔𝟐 ) (−𝟐𝟑𝟖𝟎𝒎 )

𝟐(𝟒 .𝟗𝒎𝒔𝟐 )

Realizamos las operaciones correspondientes

𝒕𝑪=−(𝟑𝟒𝟎𝒎

𝒔 )±√(𝟑𝟒𝟎𝒎𝒔 )𝟐

−𝟒(𝟒 .𝟗𝒎𝒔𝟐 ) (−𝟐𝟑𝟖𝟎𝒎 )

𝟐(𝟒 .𝟗𝒎𝒔𝟐 )

𝒕𝑪=−𝟑𝟒𝟎

𝒎𝒔±√𝟏𝟏𝟓𝟔𝟎𝟎𝒎𝟐

𝒔𝟐+𝟒𝟔𝟔𝟒𝟖

𝒎𝟐

𝒔𝟐

𝟗 .𝟖𝒎𝒔𝟐

𝒕𝑪=−𝟑𝟒𝟎

𝒎𝒔±𝟒𝟎𝟐 .𝟖𝟎

𝒎𝒔

𝟗 .𝟖𝒎𝒔𝟐

El primer valor del tiempo de caída será:

𝒕𝑪=𝟔𝟐 .𝟖𝟎

𝒎𝒔

𝟗 .𝟖𝒎𝒔𝟐

𝒎𝒔𝒎𝒔𝟐

=𝒎𝒔𝟐

𝒎𝒔¿ 𝒔

𝒕𝑪=𝟔 .𝟒𝟎 𝒔

El segundo valor del tiempo es:

𝒕𝑪=−𝟕𝟒𝟐 .𝟖𝟎

𝒎𝒔

𝟗 .𝟖𝒎𝒔𝟐

𝒎𝒔𝒎𝒔𝟐

=𝒎𝒔𝟐

𝒎𝒔¿ 𝒔

𝒕𝑪=−𝟕𝟓 .𝟕𝟗 𝒔

Es evidente que el tiempo correcto es

Para calcular la altura buscada sustituimos el tiempo en la ecuación (2)

𝒚=𝟏𝟐𝒈𝒕𝑪

𝟐… (2)

Realizamos operaciones y obtenemos el resultado

𝒚=𝟏𝟐 (𝟗 .𝟖𝒎

𝒔𝟐 ) (𝟔 .𝟒𝟎 𝒔 )𝟐𝒎𝒔𝟐

𝒔𝟐¿𝒎

𝒚=𝟐𝟎𝟏 .𝟐𝟏𝒎

EJEMPLO No. 4 Un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba y tarda 3 segundos (tiempo de subida ) en alcanzar la parte mas alta antes de empezar a caer.a) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad con la que fue lanzado?b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza?c) ¿Cuál es el tiempo que requiere el objeto para caer desde la altura anterior?

Solución a)

DATOS

𝒗𝟎𝒚=?

FORMULA

𝒗 𝒚=𝒗𝟎𝒚−𝒈 (𝒕−𝒕𝟎)SUSTITUCIÓN Y RESULTADO

𝒈𝒕 𝒔=𝒗𝟎𝒚

𝒎𝒔𝒔𝟐¿

𝒎𝒔

s

𝒗𝟎𝒚=𝟐𝟗 .𝟒𝒎𝒔

Esta ecuación relaciona a el TIEMPO DE SUBIDA Y LA VELOCIDAD INICIAL

𝟎=𝒗𝟎𝒚 −𝒈𝒕 𝒔

0 0

𝒗𝟎𝒚=(𝟗 .𝟖𝒎𝒔𝟐 ) (𝟑𝒔 )

Solución b)

DATOS

𝒗𝟎𝒚=𝟐𝟗 .𝟒𝒎𝒔

FORMULA

𝒗 𝒚𝟐=𝒗𝟎 𝒚

𝟐−𝟐𝒈 (𝒚 −𝒚𝟎 )SUSTITUCIÓN Y RESULTADO

𝒗𝟎𝒚𝟐

𝟐𝒈=𝒚𝒎á 𝒙

𝒎𝟐

𝒔𝟐

𝒎𝒔𝟐

=𝒎𝟐𝒔𝟐

𝒎𝒔𝟐¿𝒎

s

𝒚𝒎 á𝒙=𝟒𝟒 .𝟏𝒎

ECUACIÓN PARA CALCULAR LA ALTURA MÁXIMA A PARTIR DE LA VELOCIDAD

INICIAL

𝟎=𝒗𝟎𝒚𝟐−𝟐𝒈𝒚𝒎 á𝒙

0 0

𝒚𝒎 á𝒙=(𝟐𝟗 .𝟒𝒎𝒔 )

𝟐

𝟐(𝟗 .𝟖𝒎𝒔𝟐 )𝒚𝒎 á𝒙=?

Solución c)

DATOS FORMULA

𝒚=𝒚𝟎+𝒗𝟎𝒚 (𝒕−𝒕𝟎 )−𝟏𝟐 𝒈 (𝒕−𝒕𝟎 )𝟐SUSTITUCIÓN Y RESULTADO

√ 𝟐𝒚𝒈 =𝒕𝑪√ 𝒎𝒎𝒔𝟐

=√ 𝒔𝟐𝒎𝒎

=√𝒔𝟐

¿ 𝒔

𝒕𝑪=?

𝒕𝑪=𝟑𝒔

𝒚=−𝟏𝟐𝒈𝒕𝑪

𝟐

0 0

𝒕𝑪=√𝟐 (𝟒𝟒 .𝟏𝒎 )

𝟗 .𝟖𝒎𝒔𝟐

𝒚=−𝟒𝟒 .𝟏𝒎0

Problema No. 1: Si se deja caer una piedra desde la azotea de un edificio y se observa que tarda 5 segundos en llegar al suelo. Calcular:a) A qué altura estaría esa terraza.b) Con qué velocidad llegaría la piedra al piso. Problema No. 2: Desde un globo aerostático se lanza un paracaidista en caída librea) ¿Cuál será su velocidad a los 5 segundos de su caída?b) ¿Qué velocidad llevará cuando haya caído 2 kilómetros? Problema No. 3: Un cuerpo cae libremente desde un avión que viaja a 2.5 km de altura, cuánto tiempo demorará en llegar al suelo?. Problema No. 4: Se lanza verticalmente hacia arriba una pelota de tenis y después de 2 segundos alcanza su altura máxima. ¿Cuál fue la velocidad con la que se lanzó? Problema No. 5: Un cañón gigantesco podía disparar sus obuses con una velocidad de .a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanzaban sus proyectiles?b) ¿Cuánto tiempo permanecían en el aire? Problema No. 6: Se lanza hacia abajo una piedra con una velocidad de para llegar al fondo de un barranco que tiene una profundidad de 60 metrosa) ¿Con qué velocidad se estrellará contra el fondo?b) ¿En cuanto tiempo se estrellará?

EJERCICIOS DE APLICACIÓN- Resuelve estos problemas en tu libreta- Incluye al terminar: Hora de inicio, hora de término y revisión de papás- Reporta en clase la rúbrica para valorar el trabajo con TUTORIALES