EJEMPLOS DE APLICACIÓN

1) Una prensa tiene la estructura de acero fundido que muestra la figura P-908. Calcular la fuerza máxima de prensado que se puede ejercer sin sobrepasar el esfuerzo máximo de 120 MPa en la sección A-B cuyo esquema y datos se indican también en la figura. (1-1 es el eje que

pasa por el

centro de gravedad de la sección).Solución:Tomando momentos con respecto al eje neutro:M=(0,5+0,2 )P=(0,7 ) P

Dónde: I=1600∗106mm4=16∗10−4m4

A=80∗103mm2=8∗10−2m2

c1=¿0,3m (distancia por tensión) ¿

c2=0,2 m (distancia por compresión)

El esfuerzo máximo se da por tensión:

σ 1=σ B=( PA +MC1

I )↔σ B=P

8∗10−2+

(0,7 )P (0,3 )16∗10− 4

=143,75 P

Por condición del problema: σ B=143,75 P≤120∗10

3 kN↔P≤834,78 kN

Así: Pmax=834,78 kN

2) Determinar la máxima fuerza P que se puede aplicar en el problema anterior si los esfuerzos admisibles en a-b son de 8 y 12 MPa a tensión y compresión, respectivamente.

Solución:Por las ecuaciones (1) y (2) del problema: σ 1=660P≤8000 kN

Dónde: P≤12,12kN …………………. (α ¿

y (solo tomando el valor absoluto).

σ C=180 P≤12000kN

P≤66,67 kN …………………. (β ¿

De (α ¿ y (β ) ,el máximo valor de P es el menor de los valores hallados, así: Pmax=12,1kN

3) Una presa de concreto tiene el perfil indicado en la figura. Si la densidad del concreto es 2400 kg

m3 y la del agua,

1000 kgm3

, determinar el máximo esfuerzo de compresión en la sección m-n cuando la altura del agua embalsad, h, es de 15 m.

Solución:

Del diagrama de cuerpo libre del sistema:

El peso del concreto equilibra con la fuerza de reacción del bloque: (volumen) * (densidad) = (g)=σ x∗(área) ………….. (1)

Por relaciones geométricas: pq=6 x25 +3

El volumen del concreto a una altura “x” es:

V=12 ( 6 x25 ) x∗a+(3 ) ( x )∗a=(3 )( x

25+1)∗a

Además: (area)= pq*a=3( 2 x25 +1)∗a

En (1): (3 x )( x25

+1)∗a∗(2400 kgm3 )(9,81ms2 )=σ x(3( 2x25 +1))∗a

Simplificando: σ x=( x+252 x+25 )∗(2400 )(9.81) N

m2

Donde: x∈<0 ;25>¿

Así el esfuerzo generado por el peso del concreto en la base m-n se da para x=25m

σ 1= (25+25 ) (25 )(2 (25 )+25 )

(2400 ) (9,81 ) Nm2↔σ1=392,4 kPa …….. (2)

El peso del agua genera un esfuerzo en fondo igual a: (σ agua) (area )=(V agua) (dagua)

(σ agua) (a∗b )=(a∗b∗h)(1000 kgm3 )(9,81

ms2

)

σ agua=(15)(1000)(9,81) Nm2

σ agua=147,15 kPa

El esfuerzo que soporta el fondo de la represa es la suma de ambos esfuerzos:

σ m−n=σ 1+σagua

σ m−n=392,4 kPa+147,15 kPa

σ m−n=539,55kPa

4) Para el estado de sfuerzo mostrado en la figura, determinar los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo. Mostrar todos sus resultados graficamente sobre elemntos diferenciales.

Solución:

En el círculo de Mohr:

Por Geometría: PC=√402+302=50

Además: BC=CA=MC=CN=QC=PC=50σ max=OC+CA=( 40+50 ) MPa=90MPa

σ min=OC−BC= (40−50 )MPa=−10MPa

Además: sen2θ=35↔2θ=36.87 ° oθ=−18,4 , negativo porque es medido en sentido horario.Graficando:

Además: τ max=MC=50MPa; τmin=−CN=−50MPa

En ambos casos σ=40MPa , con un ángulo de giro igual a:2α=90 °−2θ=90 °−36,87 ° ,asi ;α=26,57 ° .

Graficando el diferencial:

5) El estado de esfuerzo en un punto de un cuerpo se muestra en la figura. Calcular los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo, mostrando todos sus resultados gráficamente sobre elementos diferenciales.

Solución:

Graficando el círculo de Mohr:

Del gráfico tenemos: A=σmax ; B=σmin

M=τmax ; N=τmin

Por relaciones geométricas:

C=(−20 ;0 )=Q+P2

yQC=√ (−80+20 )2+(50 )2=78,1

También: AC=CB=MC=CN=CP=QC=78,1 σ max= (−20+CB )=(−20+78,1 ) MPa↔σmax=58,1MPa

σ min= (−20−AC )=(−20−78,1 )MPa↔σmin=−98,1MPa

Además; tan (2θ )= 5020+40

=56; asi :2θ=39,8°

Entonces: θ=19,9° ; ángulo del eje X al eje de σ max

Luego: 2α=180 °+2θ=219,8 °

α=109,9 ° ; ángulo del eje X al eje de σ min

Gráfica del diferencial:

τ max=MN=78,1MPa y τmin=−CN=−78,1MPa

Además: 2 β=90 °+2θ=129,8 °

Así: β=64,9 ° :ángulodel eje X al eje de τmax

En ambos casos: σ=−20MPa

Graficando el diferencial:

6) Una fuerza de compresión de 100 kN se aplica como indica la figura, en un punto 70 mm a la derecha y 30 mm por encima del centro de gravedad de una sección rectangular de b=150 mm y h=300 mm ¿Qué carga adicional, actuando normalmente a la sección en su centro de gravedad, elimina los esfuerzos de tensión?

Solución:

I y=b∗h3

12= (150 ) (300 )3

12mm4=3375∗105mm4

I x=b3∗h12

=(150 )3(300)

12mm4=84375∗103mm4

El esfuerzo axial es:

σ A=P1+¿ P

A=

P1+10045∗103

¿ ……………….. (1)

El esfuerzo por flexion es:

σ t=(Pex ) xI y

+(Pey ) yI X

σ t=(100)(70)3375∗105

x+ (100)(30)84375∗103

y ……………………….. (2)

Para que no haya tensión, el esfuerzo axial es igual al esfuerzo de tensión:(1)= (2)P1+10045∗103

=(100 ) (70 )3375∗105

x+(100 ) (30 )84375∗103

y

Simplificando:

P1=45( 5627∗102

x+ 8225

y)−100P1 máximo será para: x = 150 mm ; y = 75 mmAsí:

P1=45(289 + 83 )−100=260−100↔P1=160 kN