ASIGNATURA:

ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS

A Distancia por Internet GUÍA DE EJEMPLOS Y EJERCICIOS

-OCTUBRE 2002-

1

XII CURSO DE INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE ESTRUCTURAS POR EL MÉTODO DE

ELEMENTOS FINITOS

GUÍA DE EJEMPLOS Y EJERCICIOS INTRODUCCIÓN Esta Guía de Ejemplos y Ejercicios contiene una colección de ejemplos y ejercicios de cálculo de diversas estructuras por el método de los elementos finitos (MEF). Las tipologías de estructuras corresponden a las estudiadas en los distintos temas del curso. En concreto, se estudian estructuras de los siguientes tipos:

- Estructuras de barras (Temas 1 a 3)

- Estructuras que pueden analizarse como sólidos bidimensionales bajo las teorías de tensión y deformación plana (Tema 4).

- Sólidos con simetría de revolución (Tema 5).

- Sólidos de tres dimensiones (Tema 6)

- Vigas (Tema 7)

- Placas delgadas y gruesas (Temas 8 ).

- Láminas analizadas con elementos planos (Tema 9).

- Láminas de revolución (Tema 10).

Las estructuras cuyo análisis se propone, incluyen geometrías sencillas de tipo académico y otras mas próximas a problemas usuales de la ingeniería estructural. En el Centro Virtual de Estudio (CVE) de Structuralia (www.structuralia.com) se colocará una carpeta de documentos por cada tema tratado en el curso. En dicha carpeta de documentos se incluyen los detalles geométricos en CAD de todos los ejemplos y ejercicios, así como la definición de las cargas, las condiciones de contorno y los materiales. Asimismo, en dicha carpeta se encuentra la solución detallada de todos los ejemplos propuestos. No se incluye, sin embargo, la solución de los ejercicios que se proponen para ser resueltos por los alumnos del curso. Para la resolución de los ejemplos propuestos se ha utilizado los siguientes módulos de GID: Calsef2001 (Estado Plano, Sólidos de Revolución, Sólidos Tridimensionales, Placas y Láminas de Revolución) y Ramshell (Láminas). Para cualquier duda sobre la solución de los ejemplos y los ejercicios se ruega contactar con los profesores del curso a las direcciones dicapua@cimne.upc.es , zarate@cimne.upc.es .

2

ÍNDICE Tema 1: Sistemas discretos y continuos. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 5

Ejemplo 1-1: Estructura de tres barras alineadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Ejemplo 1-2: Estructuras de cuatro barras alineadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Ejercicio 1-1: Estructura de cinco barras alineada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Ejercicio 1-2: Estructura de barras articuladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Tema 2: Elementos finitos de barra. Conceptos básicos. . . . . . . . . . 9 Ejemplo 2-1: Barra de sección variable sometida a carga concentrada . . . . . . . . 9 Ejercicio 2-1: Interpolación paramétrica de una función cúbica. . . . . . . . . . . 10 Tema 3: Elementos de barra más avanzados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Ejemplo 3-1: Interpolación paramétrica de una función cúbica . . . . . . . . . . . . 11 Ejemplo 3-2: Aplicaciones de las cuadraturas de Gauss Legendre . . . . . . . . . . 11 Ejemplo 3-3: Cálculo de un coeficiente de la matriz de rigidez del

elemento de barra de Timoshenko . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 11 Ejemplo 3-4: Barra de sección constante bajo carga uniforme y puntual . . . . . 12 Ejercicio 3-1: Análisis de una barra de sección variable con elementos de tres nodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Tema 4: Sólidos bidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Ejemplo 4-1: Análisis matricial de una viga en voladizo bajo carga puntual . . 14 Ejemplo 4-2: Análisis de una viga en voladizo bajo carga puntual

con Calsef y Gid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Ejemplo 4-3: Laja bajo carga normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Ejemplo 4-4: Laja bajo peso propio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ejemplo 4-5: Análisis de una laja traccionada por carga parabólica con elementos cuadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ejemplo 4-6: Análisis de una viga en voladizo bajo carga parabólica en el borde con elementos cuadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ejemplo 4-7: Presa de gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ejemplo 4-8: Viga pared de dos tramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ejemplo 4-9: Viga con orificio de ventilación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Ejemplo 4-10: Tanque de agua prismático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ejemplo 4-11: Túnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Ejercicio 4-1: Análisis de una laja traccionada por carga parabólica con elementos triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Ejercicio 4-2: Análisis de una viga en voladizo bajo carga parabólica en el borde con elementos triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Ejercicio 4-3: Estructura de protección de una tubería . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Ejercicio 4-4: Contrafuerte de una presa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3

Ejercicio 4-5: Análisis de la interacción suelo-estructura en un tanque prismático. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Tema 5: Sólidos de revolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Ejemplo 5-1: Semiespacio elástico bajo carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Ejemplo 5-2: Tanque circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Ejemplo 5-3: Cimentación de un silo circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Ejercicio 5-1: Análisis tensional de una lente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Ejercicio 5-2: Tanque cilíndrico bajo presión interior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Tema 6: Sólidos tridimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Ejemplo 6-1: Semiespacio elástico bajo carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Ejemplo 6-2: Análisis de la flexión de una viga con elementos hexaédricos . 35

Ejemplo 6-3: Cabezal de pilotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Ejemplo 6-4: Cimentación de una columna de esquina . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Ejemplo 6-5: Presa bóveda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Ejercicio 6-2: Análisis de la flexión de una viga con elementos tetraédricos . 39

Ejercicio 6-1: Cabezal de pilotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Tema 7: Flexión de vigas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Ejemplo 7-1: Viga de un tramo bajo carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Ejemplo 7-2: Viga en voladizo con carga uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Ejercicio 7-1: Viga continua de dos tramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Tema 8: Placas delgadas y gruesas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Ejemplo 8-1: Placa empotrada con carga uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Ejemplo 8-2: Placa empotrada con carga puntual en el centro. . . . . . . . . . . . 45 Ejemplo 8-3: Placa delgada con agujero interio r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Ejemplo 8-4: Placa gruesa circular con agujero interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Ejercicio 8-1: Placa de forma arbitraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Ejercicio 8-2: Placa de forma circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Tema 9: Análisis de laminas con elementos planos. . . . . . . . . . . . . . 50 Ejemplo 9-1: Lámina cilíndrica bajo carga repartida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Ejemplo 9-2: Escalera empotrada en sus extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Ejemplo 9-3: Puente de carretera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Ejercicio 9-1: Cubierta cilíndrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Ejercicio 9-2: Cubierta en forma de paraboloide hiperbólico . . . . . . . . . . . . . 54 Tema 10: Láminas de revolución y arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Ejemplo 10-1: Tanque cilíndrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Ejemplo 10-2: Losa circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4

Ejemplo 10-3: Tanque Intze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Ejercicio 10-1: Láminas cilíndricas con cúpula esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5

TEMA 1

SISTEMAS DISCRETOS Y CONTINUOS

EJEMPLOS

Ejemplo 1-1: Estructuras de tres barras alineadas Calcular los desplazamientos y esfuerzos en la estructura de tres barras de la figura, sometida a una carga P en el extremo. Obtener la solución en función de la carga P, el área transversal A, el módulo de Young E y de las dimensiones de las barras.

Datos

==

⇒ E Young de Módulo

A sal trasnsverArea 3y 2 1, Barras

6

Ejemplo 1-2: Estructura de cuatro barras alineadas Calcular los desplazamientos y esfuerzos en la estructura de tres barras de la figura, sometida a una carga P en el extremo. Suponer que el módulo de Young E es igual para todas las barras.

Datos

2

2

2

2

cm 20 A 4 Barras

cm 10 A 3y 2 Barras

cm 40 A 1 Barrascm

N 2.1e07E

cm 100 LN 10000 P

=⇒

=⇒

=⇒

=

==

7

TEMA 1

SISTEMAS DISCRETOS Y CONTINUOS

EJERCICIOS

Ejercicio 1-1: Estructura de cinco barras alineadas Calcular los desplazamientos y esfuerzos en la estructura de cinco barras de la figura, sometida a una carga P en el extremo.

Datos

=

=⇒

==

2

2

cmN

2.1e07E

cm 50 A 5y 4 3, 2, 1, Barras

50cmLN 20000 P

8

Ejercicio 1-2: Estructura de barras articuladas Calcular los desplazamientos y esfuerzos en la estructura articulada plana de la figura siguiente sometida a un carga vertical P.

Datos

2

2

2

2

cm 100 A 6y 5 Barras

cm 50 A 3y 2 Barras

cm 40 A 2y 1 Barrascm

N 2.1e07E

cm 40 Hcm 50 L

N 20000 P

=⇒

=⇒

=⇒

=

===

Nota :Considerar que las barras comprimidas son lo suficientemente rígidas para no tener problemas de pandeo.

9

TEMA 2

ELEMENTOS FINITOS DE BARRA. CONCEPTOS BÁSICOS

EJEMPLOS

Ejemplo 2-1: Barra de sección variable sometida a un carga concentrada Analizar la barra de sección variable de la figura siguiente sometida a una carga horizontal F en un extremo. Considerar tres mallas de uno, dos y tres elementos de barras de dos nodos. Obtener la solución en función de la fuerza P y de las dimensiones de la barra.

10

TEMA 2

ELEMENTOS FINITOS DE BARRA. CONCEPTOS BÁSICOS

EJERCICIOS

Ejercicio 2-1: Barra de sección variable sometida a su peso propio. Analizar la barra se sección variable de la figura siguiente sometida a su peso propio. Considerar tres mallas de uno, dos y tres elementos de barras de dos nodos. Obtener la solución en función de las dimensiones de la barra y del peso específico.

11

TEMA 3

ELEMENTOS DE BARRA MÁS AVANZADOS

EJEMPLOS

Ejemplo 3-1: Interpolación paramétrica de una función cúbica. Dada la siguiente función cúbica interpolarla paramétricamente con un elemento cuadrático de tres nodos y con un elemento cúbico de cuatro nodos.

42)( 23 +−= xxxf

Ejemplo 3-2: Aplicaciones de las cuadraturas de Gauss-Legendre Dada el siguiente polinomio de cuarto grado, integrarlo numéricamente con cuadraturas de Gauss-Legendre de primero, segundo y tercer orden.

4321)( xxxxxf ++++=

Ejemplo 3-3: Cálculo de un coeficiente de la matriz de rigidez del elemento de barra de tres nodos

Calcular el coeficiente )(11

eK de la matriz de rigidez del elemento de barra de tres nodos de la figura siguiente utilizando una formulación isoparamétrica e integración numérica.

12

Ejemplo 3-4: Barra de sección constante bajo carga uniforme y puntual. Calcular los desplazamientos, deformaciones y tensiones en la barra bajo carga uniformemente repartida b y puntual P en el extremo que se muestra en la siguiente figura utilizando un solo elemento de tres nodos. Obtener la solución en función de las fuerzas P y b y de las dimensiones de la barra.

13

TEMA 3

ELEMENTOS DE BARRA MÁS AVANZADOS

EJERCICIOS

Ejercicio 3-1: Análisis de una barra de sección variable con elementos de tres nodos. Analizar la barra se sección variable de la figura siguiente sometida a una carga horizontal F en un extremo. Considerar dos mallas de uno y dos elementos de barra de tres nodos. Obtener la solución en función de la fuerza F y de las dimensiones de la barra.

14

TEMA 4

SÓLIDOS BIDIMENSIONALES

EJEMPLOS

Ejemplo 4-1: Análisis paso a paso por el MEF de una viga en voladizo bajo carga puntual. Calcular matricialmente la siguiente estructura de hormigón en estado de tensión plana. Obtener los desplazamientos de los nodos y las tensiones principales de cada elemento.

Datos Material E =30000MN/m2 Hormigón ν =0.20 t =0.5m Ejemplo 4-2: Análisis de una viga en voladizo bajo carga puntual con Calsef y Gid. Analizar la estructura del Ejemplo 4-1 utilizando el programa Calsef y Gid.

15

Ejemplo 4-3: Laja bajo carga normal Analizar la laja mostrada en la figura sometida a la acción de una carga normal en un borde. Comparar los resultados obtenidos con la solución obtenida por refinamiento de malla. Utilizar elementos triangulares de 3 y 6 nodos y cuadriláteros de 4, 8 y 9 nodos.

Datos

=

= =

===

2x mMN

3.61 B Punto

0.00144mu DE lado Centro:buscadaSolución

mMN

10P carga DE Borde Carga

ydirección en orestringid B Puntoxdirección en orestringid AC Borde

contorno de sCondicione

0.10mEspesor30.0

2.1e5MPaE Material

σ

ν

16

Ejemplo 4-4: Laja bajo peso propio Analizar la laja mostrada en la figura sometida a la acción de su peso propio. Comparar los resultados obtenidos con la solución obtenida por refinamiento de ma lla. Utilizar elementos triangulares de 3 y 6 nodos y cuadriláteros de 4, 8 y 9 nodos.

Datos

=

=

=

=

==

2y

3

mMN247.0 B Punto

m 6-2.26eY-Desp ED lado Centro:buscadaSolución

xdirección en orestringid B Puntoydirección en orestringid AC Borde

Contorno de sCondicione

0.10mEspesormkg

7000?

0.30?2.1e5MPaE

Material

σ

17

Ejemplo 4-5: Análisis de una laja traccionada por carga parabólica con elementos cuadriláteros. Analizar la laja mostrada en la figura sometida a la acción de una carga parabólica .Comparar los resultados obtenidos con la solución obtenida por refinamiento de malla. Utilizar elementos triangulares de 3 y 6 nodos y cuadriláteros de 4, 8 y 9 nodos. Aplicar condiciones de simetría para simplificar el problema.

Datos

mMN001

1.0mL0.10mEspesor

30.0

2.1e5MPaE Material

=

==

=

=

0q

ν

18

Ejemplo 4-6: Análisis de una viga en voladizo bajo carga parabólica en el borde con elementos cuadriláteros. Analizar la viga mostrada en la figura sometida a la acción de una carga parabólica vertical en el borde. Comparar los resultados obtenidos con la solución obtenida por refinamiento de malla. Utilizar elementos triangulares de 3 y 6 nodos y cuadriláteros de 4, 8 y 9 nodos.

Datos

{ m00055.0 v buscadaSolución MN10.0P

1mL0.30mEspesor

30.02.1e5MPaE

Material

A ===

=

==ν

19

Ejemplo 4-7: Presa de gravedad. El detalle de la siguiente figura forma parte del proyecto del Complejo “Los Caracoles y Punta Negra” de la provincia de San Juan (Argentina). Se trata de una presa de gravedad cuyos materiales componentes son: suelos lacustres propios de la zona, suelos aluvionales, y roca producto de excavaciones; todos ellos suelos gruesos y con curvas granulométricas “alargadas” lo que implica variedad de tamaños. En este tipo de presas, es imprescindible estudiar el estado tensional bajo peso propio con la mayor precisión posible, ya que las tensiones inducidas por el peso propio equilibran las producidas por la presión hidrostática. Se ha tratado de representar el perfil lo más cercano posible a la realidad, teniendo en cuenta que aguas abajo de la presa se construirá un camino. Se pide analizar el estado tensional en la presa bajo la hipótesis de deformación plana utilizando elementos triangulares de 6 nodos.

Datos E=6x103 t/m2 Material 3B ν=0.25

γ=2 t /m3 Material 3La E=4x103 t/m2 y Material 3Lb ν=0.30

γ=2 t /m3

20

Ejemplo 4-8: Viga pared de dos tramos. La estructura de la figura representa una viga pared de hormigón armado con dos agujeros apoyada sobre tres columnas. La columna central sufre un desplazamiento δ debido a un descenso en la cimentación causado por una filtración en unas tuberías cercanas a la misma. Analizar la distribución de tensiones que produce el descenso de la columna central. Suponer la hipótesis de tensión plana. Utilizando para el análisis elementos triangulares de tres nodos.

Datos

columnas) lasy pared la de(Espesor m 0.20 t2.0

mN

3.0e10E 2

==

=

ν

21

Ejemplo 4-9: Viga con orificio de ventilación. La estructura de la figura representa una viga de hormigón armado simplemente apoyada. Dicha viga posee un agujero para el paso de un conducto de ventilación. Debido a un cambio del proyecto inicial, la carga de servicio para la cual fue calculada la viga aumentó considerablemente. Esto motivó a que se colocara una placa metálica de refuerzo a ambos lados de la viga en la zona del agujero. Analizar el estado tensional en la viga y en la placa metálica de refuerzo. Suponer la hipótesis de tensión plana. Utilizar elementos cuadriláteros de cuatro nodos.

Datos

==

=

==

=

0.008m) de placas (Dos m 0.016 t3.0

mN

2.1e11E

Acero m 0.25 t

2.0mN

3.0e10E

Hormigón

22

νν

22

Ejemplo 4-10: Tanque de agua prismático. La estructura de la figura representa la sección transversal de la pared un tanque de agua de hormigón armado de forma rectangular utilizado como depósito en una planta potabilizadora. Analizar el estado tensional de dicha sección transversal del tanque, considerando que la losa de fondo está apoyada elásticamente en el suelo. Suponer la hipótesis de deformación plana. Utilizar elementos cuadriláteros de cuatro nodos.

Datos

=

=

=

=

3

3

2

cmN

50 balasto de eCoeficient Suelo

mN

25000

2.0mN

3.0e10E

Hormigón

γ

ν

23

Ejemplo 4-11: Túnel La estructura de la figura representa la sección transversal de un túnel de hormigón armado, utilizado en la industria aceitera para el transporte de girasol, desde un silo de almacenamiento hasta el sector de procesamiento. Analizar el estado tensional de dicha sección transversal del túnel, considerando que la losa de fondo está apoyada elásticamente en el suelo. Suponer la hipótesis de deformación plana. Utilizar elementos triangulares de tres nodos.

terrenodelPresión

cmN

50 terrenodel balasto de eCoeficient

mN25000

2.0mN

3.0e10E

Hormigón

LinealVariación ABP2m

Ne416.2BCP

2m

N e44.5AP

3

3

2

=

=

=

=

=

=

=

γ

ν

Datos

24

TEMA 4

SÓLIDOS BIDIMENSIONALES

EJERCICIOS Ejercicio 4-1: Ménsula bajo sometida a carga tangencial Analizar la ménsula mostrada en la figura sometida a la acción de una carga tangencial uniformemente distribuida en un borde. Comparar los resultados obtenidos con la solución obtenida por refinamiento de malla. Realizar un análisis de la velocidad de convergencia y compararla con la obtenida en los Ejemplos 4-3 y 4-4. Utilizar elementos triangulares de 3 y 6 nodos y cuadriláteros de 4, 8 y 9 nodos.

Datos

=

−=

===

2mMN

9.26 B Punto

0.09428mY-Desp DE lado Centro:buscadaSolución

ydirección en orestringid B Puntoxdirección en orestringid AC Borde

contorno de sCondicione

0.10mEspesor30.0

2.1e5MPaE Material

xyt

ν

25

Ejemplo 4-2: Ménsula bajo peso propio Analizar la ménsula mostrada en la figura sometida a la acción de su peso propio. Comparar los resultados obtenidos con la solución obtenida por refinamiento de malla. Realizar un análisis de la velocidad de convergencia y compararla con la obtenida en los Ejemplos 4-3 y 4-4. Utilizar elementos triangulares de 3 y 6 nodos y cuadriláteros de 4, 8 y 9 nodos.

Datos

−=

=

=

=

==

2

3

mMN

200.0 B Punto

m 4--0.123eY-Desp ED lado Centro:buscadaSolución

ydirección en orestringid B Puntoxdirección en orestringid AC Borde

Contorno de sCondicione

0.10mEspesormkg7000?

0.30?2.1e5MPaE

Material

xyt

26

Ejercicio 4-3: Estructura de protección de una tubería Analizar el estado tensional en la estructura de la siguiente figura. Considerar mallas de elementos triangulares de tres nodos, y mallas de elementos cuadriláteros de cuatro nodos progresivamente más finas. Tener en cuenta los siguientes casos de carga. a)Peso propio. b)Carga repartida q + carga puntual P + Peso propio. Se admite una deformación máxima del radio de la tubería del 1% ¿Se verifica esta condición?

Datos Dimensiones: Material 1 Material 2 L = 5,00 m E = 1 500 000,00 T/m2 E = 20 000,00 T/m2 H1 = 0,30 m γ = ? 2,50 T/m3 γ = ??????????2,70 T/m3 H2 = 3,50 m ν = 0,30 ν = 0,28 H3 = 0,75 m P = 5,00 T q = 5,00 T/m

27

Ejercicio 4-4: Contrafuerte de un presa Analizar el estado tensional en el contrafuerte de la figura. Considerar mallas de elementos triangulares de tres nodos, y mallas de elementos cuadrilateros de cuatro nodos progresivamente más finas. Suponer la hipótesis de tensión plana. Tener en cuenta los siguientes casos de carga. a) Carga peso propio b) Carga hidrostática + peso propio El desplazamiento horizontal máximo de la corona del contrafuerte, aceptable por diseño, es de 1,5cm ¿Cuál es el coeficiente de seguridad al que se encuentra trabajando el contrafuerte?

Datos Dimensiones: H1 = 3,50 m E = 3 000 000,00 T/m2 H2 = 3,50 m γ = 2,40 T/m3 H3 = 37,00 m ν = 0,25 H4 = 27,00 m t = 1.5 m (Espesor del contrafuerte)

28

Ejercicio 4-5: Análisis de la interacción suelo-estructura en un tanque prismático. Analizar el estado tensional la sección transversal del tanque del Ejemplo 4-8 pero discretizando el terreno en el cual se apoya la losa de fondo. Suponer la hipótesis de deformación plana. Utilizar elementos cuadriláteros de cuatro nodos.

Datos

=

=

=

=

=

=

3

2

3

2

mN

24000

3.0mN

1.0e8E

Suelo

mN

24000

2.0mN

3.0e10E

Hormigón

γ

ν

γ

ν

29

TEMA 5

SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

EJEMPLOS Ejemplo 5-1: Semiespacio elástico bajo carga puntual En la figura se muestra el conocido problema de Boussinesq de análisis de un semiespacio elástico bajo carga puntual. Se considerará un dominio cuadrado de revolución de 4mx4m. Analizar la distribución de tensiones verticales utilizando mallas progresivamente más finas de elementos triangulares de 3 y 6 nodos y cuadriláteros de 4, 8 y 9 nodos.

Datos

22

5

3

donde

23

analíticaSolución

xyR

RPy

Y

+=

==π

σ

=

=

20.0mN2.1e11E Material 2

ν

30

Ejemplo 5-2: Tanque circular En la figura se muestra un tanque circular de hormigón armado destinado al almacenamiento de agua en una planta potabilizadora. Analizar el comportamiento estructural del tanque. Utilizar elementos cuadriláteros de cuatro nodos.

Datos

=

=

=

3

2

cmN500 balasto de eCoeficient Terreno

2.0mN

3.0e10EHormigón

ν

31

Ejemplo 5-3: Cimentación de un silo circular En la figura se muestra la cimentación de un silo circular utilizado para el almacenamiento de cereales. En los casos en que el terreno de cimentación es muy malo, se adopta como solución el colocar una capa de un suelo mucho mas rígido, fuertemente compactado, justo por debajo de la placa inferior. De esta manera las tensiones en el terreno disminuyen apreciablemente. Analizar el estado tensional en las dos capas de suelo.

Datos

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

2.0mN

3.0e10EmN

00402

Hormigón

25.0mN

1.0e10EmN

18000

compacto Terreno

mN

16000Cereal

3.0mN

1.5e8EmN

17500

blando Terreno

2

3

2

3

32

3

ν

γ

ν

γ

γ

ν

γ

32

TEMA 5

SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

EJERCICIOS Ejercicio 5-1: Análisis tensional de una lente Realizar el análisis de la lente mostrada haciendo uso de la teoría de sólidos de revolución. Utilizar mallas de elementos triangulares de tres nodos, y mallas de elementos cuadriláteros de cuatro nodos, siendo las mismas progresivamente más finas. Tener en cuenta los siguientes casos de carga: a) Peso propio. b) Presión + Peso propio. El desplazamiento máximo vertical de la lente debe ser 0.1%R1 ¿Se verifica esta condición? ¿Cuál debería ser la presión P para garantizar dicho valor de operación?

Datos Dimensiones: R1 = 2,5 m E = 4 ,50e7 N/m2 P = 1.50e4 N/m2 R2 = 0,80 m γ = 2,0e4 N/m3 ν = 0,20

33

Ejercicio 5-2: Tanque cilíndrico bajo presión interior Analizar el estado tensional del tanque de la figura, sometido a una presión interior, haciendo uso de la teoría de sólidos de revolución. Utilizar tres mallas progresivamente más finas de elementos cuadriláteros de 8 nodos.

34

TEMA 6

SÓLIDOS TRIDIMENSIONALES

EJEMPLOS Ejemplo 6-1: Semiespacio elástico bajo carga puntual En la figura se muestra el conocido problema de Boussinesq de análisis de un semiespacio elástico bajo carga puntual. Se considerará un dominio cilíndrico de revolución de 4x4m. Se utilizarán mallas progresivamente más finas de elementos hexaédricos de 8 nodos y 20 nodos.

Datos

=

=

20.0mN

2.1e11E Material 2

ν

35

Ejemplo 6-2: Análisis de la flexión de una viga con elementos hexaédricos. Analizar la viga en voladizo mostrada en la figura sometida a la acción de un momento en el extremo. Comparar los resultados obtenidos con la solución de la teoría de vigas de Euler-Bernoulli. Utilizar elementos hexaédricos de 8 y 20 nodos.

Datos

10000NP

20.0mN

2.1e11E Material 2

=

=

=

ν

36

Ejemplo 6-3: Cabezal de pilotes En la figura se muestra una cimentación con pilotes de hormigón armado. Analizar el estado tensional en el cabezal y en los pilotes. Suponer que el cabezal está arriostrado transversalmente. Utilizar tetraedros de cuatro nodos.

Datos

=

=

2.0mN 3.0e10E

Hormigón 2

ν

37

Ejemplo 6-4: Cimentación de una columna de esquina En la figura se muestra una columna de esquina con su cimentación. Este tipo de cimentación se caracteriza por reaccionar excéntricamente con respecto a la carga de la columna. Este hecho produce una flexión en la columna y el levantamiento de la losa de base. Analizar el estado tensional en la columna y en la losa suponiendo que la misma se apoya elásticamente en el terreno. Determinar si la losa sufre un levantamiento. Utilizar hexaedros de ocho nodos.

Datos

=

=

=

3

2

cmN50 balasto de eCoeficient Suelo

2.0mN

3.0e10EHormigón

ν

38

Ejemplo 6-5: Presa bóveda En la figura se muestra una presa bóveda. Analizar el estado tensional en la presa y en el terreno de cimentación. Utilizar tetraedros cuadráticos de diez nodos.

Nota: En la Carpeta de Documentos del Centro Virtual de Estudios (apartado Aulas) se encuentran los correspondientes archivos gid con la definición de la geometría de la presa.

39

TEMA 6

SÓLIDOS TRIDIMENSIONALES

EJERCICIOS Ejercicio 6-1: Análisis de la flexión de una viga con elementos tetraédricos. Analizar la viga en voladizo mostrada en la figura sometida a la acción de una cupla en el extremo. Comparar los resultados obtenidos con la solución obtenida con la teoría de vigas. Utilizar elementos tetraédricos de 4 y 10 nodos.

Datos

10000NP

20.0mN

2.1e11E Material 2

=

=

=

ν

40

Ejercicio 6-2: Cabezal de pilotes Analizar el estado tensional de la cimentación con pilotes que se muestra en la figura. Utilizar 2 mallas de tetraédricos lineales (4 nodos) y 2 mallas de elementos tetraédricos cuadráticos (10 nodos) progresivamente más finas,

Datos

=

=

=

3

2

mN

2.4e4

2.0mN

3.0e10E

Hormigón

γ

ν

41

TEMA 7

FLEXIÓN DE VIGAS

EJEMPLOS

Ejemplo 7-1: Viga de un tramo bajo carga puntual. Calcular la flecha en el centro, el giro y las reacciones en los apoyos en la viga simplemente apoyada de la figura. Utilizar dos elementos de viga de Euler-Bernoulli de dos nodos del mismo tamaño y aplicar condiciones de simetría. Obtener la solución en función de la carga P, la longitud L, el módulo de Young E y la inercia I. Comparar la solución obtenida con la exacta de la teoría de vigas de Euler-Bernoulli.

La solución exacta de la teoría de vigas de Euler-Bernoulli es la siguiente:

EIPL

EIPL

w

MAX

MAX

4

62

3

=

−=

θ

42

Ejemplo 7-2: Viga en voladizo con carga uniforme. Calcular la flecha en el centro, el giro y las reacciones en los apoyos en la viga en voladizo de la figura. Utilizar dos elementos de viga de Euler-Bernoulli de dos nodos del mismo tamaño y aplicar condiciones de simetría. Obtener la solución en función de la carga q, la longitud L, el módulo de Young E y la inercia I. Comparar la solución obtenida con la exacta de la teoría de viga de Euler-Bernoulli.

La solución exacta de la teoría de vigas de Euler-Bernoulli es la siguiente:

EIqLEI

qLf

6

83

2

4

2

−=

−=

θ

43

TEMA 7

FLEXIÓN DE VIGAS

EJERCICIOS

Ejercicio 7-1: Viga continua de dos tramos Calcular el diagrama de momentos flectores y las reacciones en los apoyos en la viga continua de dos tramos de la figura, sometida a una carga uniformemente repartida. Utilizar un elemento de viga de Euler-Bernoulli de dos nodos en cada tramo. Comparar la solución con la exacta de la teoría de vigas.

Datos

2cmN

3.0e06E

cm 50 hcm 20 b

m 5 LmN 10000 q

=

===

=

44

TEMA 8

PLACAS DELGADAS Y GRUESAS

EJEMPLOS Ejemplo 8-1: Placa empotrada con carga uniforme Analizar el estado tensional de la placa cuadrada con sus cuatro lados empotrados de la figura, sometida a la acción de un carga uniformemente distribuida q . Utilizar para el análisis elementos de placa triangulares DKT, triangulares de Reissner Mindlin de 6 nodos con integración reducida y cuadriláteros CLLL . Comparar el resultado obtenido para la flecha en el centro de la placa con la solución exacta.

Datos

{

{ 3

24

MAX

2

2

tE)?-(1 q L 0.00126

w exactaSolución

mN

1.0e4q Carga

(espesor) 0.10m t

0.2?mN

3.0e10E

Hormigón

=

=

==

=

45

Ejemplo 8-2: Placa empotrada con carga puntual en el centro Analizar el estado tensional de una placa cuadrada con sus cuatro lados empotrados, sometida a la acción de una carga puntual P actuando en el centro de la misma. Utilizar para el análisis elementos de placa triangulares DKT, triangulares de Reissner Mindlin de 6 nodos con integración reducida y cuadriláteros CLLL . Comparar el resultado obtenido para la flecha en el centro de la placa con la solución exacta.

Datos

{

{3

2

MAX

2

tE)?-(1 P 1.075 w exactaSolución

N1.0e4P Carga

(espesor) 0.10m t

0.2?mN

3.0e10E

Hormigón

−=

=

=

=

=

46

Ejemplo 8-3: Placa delgada con agujero interior En la figura se muestra una placa de acero apoyada sobre cuatro columnas. Analizar el comportamiento estructural de la placa utilizando la teoría de placas delgadas. Utilizar elementos de placa triangulares DKT. .

Datos

=

=

=

3

2

mN

7.80e4

3.0mN

2.1e11E

Acero

γ

ν

47

Ejemplo 8-4: Placa gruesa circular con agujero interior En la figura se muestra una placa de hormigón armado apoyada sobre cuatro columna sometida a su peso propio y a una sobrecarga uniforme. Analizar el comportamiento estructural de la placa utilizando la teoría de placas gruesas de Reissner-Mindlin. Utilizar elementos de placa triangulares de Reissner Mindlin de 6 nodos con integración reducida.

Datos

=

=

=

3

2

mN

2.4e4

2.0mN

3.0e10E

Hormigón

γ

ν

48

TEMA 8

PLACAS DELGADAS Y GRUESAS

EJERCICIOS Ejercicio 8-1: Placa de forma de arbitraria. Analizar el comportamiento estructural de la placa de la figura. Considerar tres mallas de elementos triangulares de placa DKT (3 nodos) progresivamente más finos, para los siguientes casos de carga. 1-) Peso propio. 2-) Carga uniforme + Peso Propio Por motivos constructivos la flecha máxima no debe superar los 5 cm ¿Cuál debería ser el espesor mínimo del forjado para garantizar dicho valor?

Datos

{

−=−=

=

==

=

2

2

2

1.50T/mQ23.00T/mQ1

:Carga

0.15mEspesor

0.302.5e06T/mE

:Hormigón

9.00mL :sDimensione

ν

49

Ejercicio 8-2: Placa de forma circular Analizar el comportamiento estructural de la placa de la figura. Considerar tres mallas de elementos cuadriláteros de placa CLLL (4 nodos) progresivamente más finos, para los siguientes casos de carga. 1-) Peso propio. 2-) Carga uniforme + Peso propio Por motivos visuales la flecha máxima no debe superar los 5 cm ¿Cuál debería ser el espesor mínimo del forjado para garantizar dicho valor?

Datos Dimensiones: R1 = 25,0 m E = 2 500 000,00 T/m2

R2 = 7,0 m γ = 2,00 T/m3

Q1 = -3,0 T/m2 ν = 0,30 Q2 = -1,5 T/m2 t = 0,15 m

50

TEMA 9:

ANÁLISIS DE LÁMINAS CON ELEMENTOS PLANOS

EJEMPLOS Ejemplo 9-1: Lámina cilíndrica bajo carga repartida En la figura se muestra una lámina cilíndrica sometida a una carga q repartida uniformemente distribuida en planta. Analizar el estado tensional de la lamina utilizando elementos de lámina plana triangulares de Reissner Mindlin de seis nodos con integración reducida.

Datos

2

2

mKN

90q

0.25m Espesor50.0mL25.0mR

2.0mKN

e832.4E Material

=

===

=

=

ν

51

Ejemplo 9-2: Escalera empotrada en sus extremos En la figura se muestra una escalera empotrada solo en el escalón inicial y el final. Este tipo de diseño se utiliza cuando se desea obtener un espacio libre de columnas. Analizar el comportamiento estructural de la escalera sometida a la acción de su peso propio y a una sobrecarga p = 10000N/m2 uniformemente distribuida en planta. Utilizar elementos de lámina plana triangulares de Reissner Mindlin de seis nodos con integración reducida.

Datos

=

=

=

=

planta)en adistribuíd ente(Uniformem mN10000p Sobrecarga

mN

2.4e4

2.0mN

3.0e10E

Hormigón

2

3

2

γ

ν

52

Ejemplo 9-3: Puente de carretera En la figura se muestra la sección transversal de un puente de carretera simplemente apoyado. Utilizando elemento triangulares de Reissner Mindlin de 6 nodos con integración reducida, analizar el comportamiento estructural del puente para los siguientes casos de carga: 1-) Peso propio + carga uniforme 2-) Carga puntual + carga uniforme + peso propio El desplazamiento máximo aceptable por diseño es de 0.05% L ¿cual es el valor máximo de P?

Datos h = 8,0 m E = 2 500 000,00 t/m2

L = 10,0 m γ = ??????????????2,00 t/m3

q = 3,0 t/m2 ν =0,30 P = 15,0 t t = 0,20 m

53

TEMA 9:

ANÁLISIS DE LÁMINAS CON ELEMENTOS PLANOS

EJERCICIOS Ejercicio 9-1: Cubierta cilíndrica En la figura se muestra estructura de una cubierta de sección cilíndrica. Analizar el comportamiento estructural de la cubierta utilizando tres mallas de elementos triangulares de Reissner Mindlin de seis nodos con integración reducida, progresivamente más finas, para los siguientes casos de carga. 1-) Peso propio. 2-) Carga puntual + Peso propio El desplazamiento máximo aceptable por diseño es de 10cm ¿cuál es el valor máximo de P?

Datos L = 50,00 m E = 1 800 000,00 t/m2 R = 25,00 m γ = 2,00 t/m3 Espesor = 0,25 m ν = 0,20 P =14,00 t

54

Ejercicio 9-2: Cubierta en forma de paraboloide hiperbólico En la figura se muestra estructura de una cubierta de en forma de paraboloide hiperbólico. Analizar el comportamiento estructural de la cubierta utilizando tres mallas de elementos triangulares de Reissner Mindlin de seis nodos con integración reducida, progresivamente más finas, para los siguientes casos de carga. 1-) Peso propio. 2-)Carga puntual + Peso propio El desplazamiento máximo aceptable por diseño es de 0,40 in ¿Cuál es el valor máximo de P?

Datos L = 15,0 m E = 3.0e6 t/m2 H = 3,0 m γ = ?????????2.4 t/m3 Espesor = 0,25 m ν = 0,2 P = 1t

55

TEMA 10:

LÁMINAS DE REVOLUCIÓN YARCOS

EJEMPLOS Ejemplo 10-1: Tanque cilíndrico En la figura se muestra un tanque cilíndrico para depósito de agua. Analizar el comportamiento estructural de la pared del tanque bajo la acción de la presión hidrostática. Considerar que la pared del tanque esta empotrada en la losa de base. Utilizar para el análisis diferentes mallas de elementos troncocónicos de dos nodos. Comparar los esfuerzos en la base con la solución analítica para depósitos de este tipo.

Datos

0.15mt9.0mH9.0mR

61

mt

2.1e6EMaterial

2

===

=

=

ν

56

Ejemplo 10-2: Losa circular En la figura se muestra una losa circular simplemente apoyada en el contorno. Analizar el comportamiento estructural de la losa bajo la acción de su peso propio y de una sobrecarga uniforme p. Utilizar para el análisis diferentes mallas de elementos de placa de revolución de dos nodos. Comparar la solución obtenida con la analítica para placas de revolución.

Datos

=

=

=

3

2

mN

2.4e4

2.0mN

3.0e10E

Hormigón

γ

ν

57

Ejemplo 10-3: Tanque Intze En la figura se muestra un típico tanque de depósito de agua, conocido como “Tanque Intze”. Analizar el comportamiento estructural del tanque para bajo la acción del peso propio y presión hidrostática. Suponer que el tanque se apoya en el cilindro inferior restringiendo solamente el desplazamiento vertical.

Datos

=

=

=

3

2

mN

2.4e4

2.0mN

3.0e10E

Hormigón

γ

ν

58

TEMA 11:

LÁMINAS DE REVOLUCIÓN YARCOS

EJERCICIOS Ejercicio 10-1: Lámina cilíndrica con cúpula esférica. Analizar el estado tensional del tanque de la figura, sometido a una presión interior. Utilizar tres mallas progresivamente más finas de elementos troncocónicos de dos nodos. Suponer una variación progresiva del espesor en la cúpula esférica.