Ejemplo de tablas estadsticas:AUTOBUSES FORANEOS1) Toma de datosLos siguientes datos corresponden a la cantidad de asientos vacos que reportaron 50 autobuses forneos en un domingo.

121146611310124

10112452448

87841042629

566412811217

7684693775

2) Ordenacin de datos12445678911

124456781012

124466781012

134466781012

234567891112

Rango = 12-1 = 11

3) Tamao de claseNo de clases = 1 + 3.332log (50) = 6

Tamao de clase = 11/6 = 2

4) Lmites de clase5) Lmites reales de clase6) Marca de claseClaseIntervaloLRILRSFrec. AbsolutaFrec. RelatFrec. PorcentualX

LILS

112.90.952.958.1616 %1.95

234.92.954.9511.2222 %3.95

356.94.956.9510.2020 %5.95

478.96.958.9510.2020 %7.95

5910.98.9510.955.1010 %9.95

61112.910.9512.956.1212 %11.95

total501100 %

Representacin grfica de datos.Se tomar el ejemplo anterior para demostrar el uso de diferentes grficas.

Histograma: forma grfica de barras que emplea variables con escala de intervalos o de proporciones. Para realizarla, se toma en cuenta para el eje X, los Lmites reales, y para el eje Y, las frecuencias absolutas.

Polgono de frecuencias: Forma grfica que representa una distribucin de frecuncias en la forma de una lnea continua que traza un histograma. Para su elaboracin, se consideran las marcas de clase en el eje X y las frecuencias absolutas en el eje Y.

Grfica de barras: la grfica de barras es una forma de grfica que utiliza barras para indicar la frecuencia de ocurrencia de las observaciones. Para construirla se constituye el eje y por las frecuencias absolutas y el eje X por los lmites inferior y superior de cada clase, dejando un espacio entre barra y barra.

1.3 CALCULO DE LA MEDIA MEDIANA Y MODAMedidas de tendencia central:

La tendencia central se refiere al punto medio de una distribucin. Las medidas de tendencia central se conocen como medidas de posicin.

MediaLa media es el punto en una distribucin de medidas, alrededor del cual las desviaciones sumadas son iguales a cero. Es el valor promedio de una muestra o poblacin. La media es muy sensible a mediciones extremas que no estn balanceadas en ambos lados. Se pueden calcular diversos tipos de media, siendo las ms utilizadas:

a. Media aritmtica: se calcula multiplicando cada valor por el nmero de veces que se repite. La suma de todos estos productos se divide por el total de datos de la muestra:

b) Media geomtrica: se eleva cada valor al nmero de veces que se ha repetido. Se multiplican todo estos resultados y al producto fiinal se le calcula la raz "n" (siendo "n" el total de datos de la muestra).

Segn el tipo de datos que se analice ser ms apropiado utilizar la media aritmtica o la media geomtrica.

La media geomtrica se suele utilizar en series de datos como tipos de inters anuales, inflacin, etc., donde el valor de cada ao tiene un efecto multiplicativo sobre el de los aos anteriores. En todo caso, la media aritmtica es la medida de posicin central ms utilizada.

Lo ms positivo de la media es que en su clculo se utilizan todos los valores de la serie, por lo que no se pierde ninguna informacin.

Sin embargo, presenta el problema de que su valor (tanto en el caso de la media aritmtica como geomtrica) se puede ver muy influido por valores extremos, que se aparten en exceso del resto de la serie. Estos valores anmalos podran condicionar en gran medida el valor de la media, perdiendo sta representatividad.

MedianaObservacin u observacin potencial en un conjunto que divide el conjunto, de modo que el mismo nmero de observaciones estn en cada uno de sus lados. Para un nmero impar de valores, es el valor de en medio; para un nmero par es el promedio de los dos medios. Para un conjunto con un nmero par de nmeros, la mediana ser el promedio aritmtico de los dos nmeros medios.

Ejemplo:

Calcule la mediana para los siguientes datos.

La edad de una muestra de cinco estudiantes es: 21, 25, 19, 20 y 22.Al ordenar los datos de manera ascendente quedan: 19, 20, 21, 22, 25.

La mediana es 21.

La mediana de una muestra de datos organizados en una distribucin de frecuencias se calcula mediante la siguiente frmula:

Mediana = LRI + [(n/2 - FA)/f] cdonde L es el lmite inferior de la clase que contiene a la mediana, FA es la frecuencia acumulada que precede a la clase de la mediana, f es la frecuencia de clase de la mediana e i es el intervalo de clase de la mediana.

MODALa moda es el valor de la observacin que aparece con ms frecuencia.

Ejemplo:

las calificaciones de un examen de diez estudiantes son:

81, 93, 84, 75, 68, 87, 81, 75, 81, 87.

Como la calificacin 81 es la que ms ocurre, la calificacin modal es 81

La moda de los datos agrupados se aproxima por el punto medio de la clase que contiene la frecuencia de clase mayor.

Cuando dos valores ocurren una gran cantidad de veces, la distribucin se llama bimodal, como en dicho ejemplo.

Ejemplo de clculo de media mediana y moda. Para ejemplificar, tomaremos el ejemplo de autobuses forneos de la pagina 6.

ClaseIntervaloLRILRSFrec. AbsolutaFrec. RelatFrec. PorcentualXfx

LILS

112.90.952.958.1616 %1.9515.60

234.92.954.9511.2222 %3.9543.45

356.94.956.9510.2020 %5.9559.50

478.96.958.9510.2020 %7.9579.50

5910.98.9510.955.1010 %9.9549.75

61112.910.9512.956.1212 %11.9571.70

total501100 %319.50

1. CLCULO DE VARIANZA, DESVIACIN ESTNDAR Y COEFICIENTE DE VARIACIN.Medidas de dispersin: Estudia la distribucin de los valores de la serie, analizando si estos se encuentran ms o menos concentrados, o ms o menos dispersos

Varianza: Mide la distancia existente entre los valores de la serie y la media. Se calcula como sumatorio de las diferencias al cuadrado entre cada valor y la media, multiplicadas por el nmero de veces que se ha repetido cada valor. El sumatorio obtenido se divide por el tamao de la muestra.

La varianza siempre ser mayor que cero. Mientras ms se aproxima a cero, ms concentrados estn los valores de la serie alrededor de la media. Por el contrario, mientras mayor sea la varianza, ms dispersos estn.

Desviacin estndar: Se calcula como raz cuadrada de la varianza.

Coeficiente de variacin de Pearson: se calcula como cociente entre la desviacin tpica y la media de la muestra

Continuando con el caso de los autobuses forneos, se realizar el ejemplo de medidas de dispersin.

ClaseIntervaloLRILRSFrec. AbsolutaFrec. RelatFrec. PorcentualXfxf(x-x)2

LILS

112.90.952.958.1616 %1.9515.60157.71

234.92.954.9511.2222 %3.9543.45171.63

356.94.956.9510.2020 %5.9559.50354.03

478.96.958.9510.2020 %7.9579.50632.03

5910.98.9510.955.1010 %9.9549.75495.01

61112.910.9512.956.1212 %11.9571.70856.82

total501100 %319.502667.21

UNIDAD II FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD2.1 CONCEPTOS BSICOS

Probabilidad: valor entre cero y uno, inclusive, que describe la posibilidad relativa de que ocurra un evento.

Experimento: proceso que conduce a la ocurrencia de una de varias observaciones posibles.

Resultado: lo que resulta en particular de un experimento.

Evento: conjunto de uno o ms resultados de un experimento.

Espacio muestral: son todos los posibles resultados de un experimento. Cualquier resultado experimental particular se llama punto muestral y es un elemento del espacio muestral.

Tipos de sucesos Exhaustivo: se dice que dos o ms sucesos son exhaustivos si se consideran todos los posibles resultados.

Simblicamente: p (A o B o...) = 1

No exhaustivos: se dice que dos o ms sucesos son exhaustivos si no cubren todos los posibles resultados.

Mutuamente excluyentes: sucesos que no pueden ocurrir en forma simultnea:

P(A y B) = 0 y p(A o B) = p(A) + p (B)

Ejemplo: hombres, mujeres

No mutuamente excluyentes: sucesos que pueden ocurrir en forma simultnea:

P (A o B) = p (A) + p (B) p (A y B )

Ejemplo: hombres, ojos cafs

Independientes: Sucesos cuya probabilidad no se ve afectada por la ocurrencia o no ocurrencia del otro :

P ( AI B ) = P ( A ); P ( BIA ) = P (B) Y P (A Y B) = P(A) P(B)

Ejemplo: sexo y color de ojos

Dependientes: sucesos cuya probabilidad cambia dependiendo de la ocurrencia o no ocurrencia del otro:

P ( AI B ) difiere de p (A); P ( BIA ) difiere de P(B);

y P (A Y B)= P ( A ) P ( BIA )= P (B) P ( AI B )

Ejemplo: raza y color de ojos

Probabilidades conjuntas: probabilidad de que dos sucesos o ms, ocurran simultneamente

Probabilidades marginales: o probabilidades incondicionales = suma de probabilidades.

Enfoques de la probabilidadProbabilidad clsica se basa en la consideracin de que los resultados de un experimento son igualmente posibles.

Utilizando el punto de vista clsico,

Probabilidad de un evento = no. de resultados probables no. De resultados posiblesEjemplo

Considere el experimento de lanzar dos monedas al mismo tiempo.

El espacio muestral S = {HH, HT, TH, TT}

Considere el evento de una cara.

Probabilidad de una cara = 2/4 = 1/2.

Distribucin muestralEl diagrama de rbol es muy til para visualizar las probabilidades condicional y conjunta y en particular para el anlisis de decisiones administrativas que involucran varias etapas.

EJEMPLO: una bolsa contiene 7 fichas rojas (R) y 5 azules (B), se escogen 2 fichas, una despus de la otra sin reemplazo. Construya el diagrama de rbol con esta informacin.

2.2 AXIOMAS DE PROBABILIDADPrimer axioma : La probabilidad de un suceso A es un nmero real entre 0 y 1.

Segundo axioma :Ocurre un suceso de la muestra de todos los sucesos o espacio de sucesos con probabilidad 1.

Tercer axioma Si A1, A2 ... son sucesos mutuamente excluyentes

2.3 PROBABILIDAD CONDICIONALProbabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento en particular, dado que ocurri otro evento.

Nota: la probabilidad de que ocurra el evento A dado que ya ocurri B se denota comoP(A|B).

Reglas bsicas de probabilidadSi los eventos son mutuamente excluyentes, la ocurrencia de cualquier evento impide que otro eventos ocurra.

Reglas de adicin: si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, la regla especial de adicin indica que la probabilidad de que ocurra A o B es igual a la suma de sus probabilidades respectivas:

P(A o B) = P(A) + P(B)

Ejemplo

LlegadaFrecuencia

Antes de tiempo100

A tiempo800

Demorado75

Cancelado25

Total1000

Aerolneas Argentinas acaba de proporcionar la siguiente informacin de sus vuelos de Buenos Aires a Rosario:

Ejemplo

Si A es el evento de que un vuelo llegue antes de tiempo, entonces

P(A) = 100 /1000 = 0.1.

Si B es el evento de que un vuelo llegue demorado, entonces

P(B) = 75 /1000 = 0.075.

La probabilidad de que un vuelo llegue antes de tiempo o demorado es

P(A o B) = P(A) + P(B) = .1 + .075 = 0.175.

UNIDAD III DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD3.1 VARIABLES ALEATORIASLas variables aleatorias son una transformacin o funcin que asignan uny slo un valor numrico a cada resultado de un experimento.

Variables aleatorias discretas: comprenden reglas o modelos de probabilidad para asignar o generar slo valores diversos (no mediciones fraccionarias).

Variables aleatorias continuas:

3.2 DISTRIBUCION BINOMIALUna distribucin de probabilidad ampliamente utilizada de una variable aleatoria discreta es la distribucin binomial. Esta describe varios procesos de inters para los administradores.

Describe datos discretos, resultantes de un experimento denominado proceso de Bernoulli en honor del matemtico suizo Jacob Bernoulli, quien vivi en el siglo XVII.

Empleo del proceso de Bernoulli.

Podemos servirnos de los resultados de un nmero fijo de lanzamientos de una moneda como ejemplo de un proceso de Bernoulli. Este proceso lo describimos as:

1. Cada ensayo ( cada lanzamiento, en nuestro caso) tiene slo dos resultados posibles: lado A o lado B, s o no, xito o fracaso.

2. La probabilidad del resultado de cualquier ensayo (lanzamiento) permanece fija con el tiempo. Tratndose de una moneda la probabilidad de que salga de el lado A sigue siendo de 0.5 en cada lanzamiento, cualquiera que sea el nmero de veces que la moneda sea arrojada.

3. Los ensayos son estadsticamente independientes, es decir, el resultado de un lanzamiento no afecta al de cualquier otro lanzamiento.

Cada proceso de Bernoulli tiene su propia probabilidad caracterstica. Pongamos el caso en que siete dcimas partes de las personas que solicitaron cierto tipo de empleo pasaron la prueba. Diremos entonces que la probabilidad caracterstica fue de 0.7 pero podemos describir los resultados de la prueba como un proceso de Bernoulli slo si tenemos la seguridad de que la proporcin de los que fueron aprobados permaneci constante con el tiempo.

Des de luego, la otra caracterstica del proceso de Bernoulli tambin deber ser satisfecha. Cada prueba deber arrojar tan slo dos resultados (xito o fracaso= y los resultados de las pruebas habrn de ser estadsticamente independientes.

En un lenguaje ms formal, el smbolo p representa la probabilidad de un xito y el smbolo q ( 1- p ) representa la probabilidad de un fracaso. Para representar cierto nmero de xitos, utilizaremos el smbolo r y para simbolizar el nmero total de ensayos emplearemos el smbolo n.Entonces tenemos que :PProbabilidad de xito.

QProbabilidad de fracaso.

rNmero de xitos deseados.

nNmero de ensayos efectuados.

Existe una frmula binomial: Probabilidad de r xitos en n ensayos es :

N! / R! (N-R)! PR QN-R

Recordemos que el smbolo factorial! Significa por ejemplo que es 3! = 3*2*1 = 6

Los matemticos definen 0! = 1.

3.3 DISTRIBUCION NORMAL

La Distribucin Normal: una distribucin de una variable aleatoria continua.

Una muy importante distribucin continua de probabilidad es la distribucin normal. Varios matemticos intervinieron en su desarrollo entre ellos figura el astrnomo del siglo XVIII Karl Gauss, a veces es llamada en sus honor la distribucin de Gauss.

Caractersticas de la distribucin normal de la probabilidad.1. La curva tiene un solo pico, por consiguiente es unimodal. Presenta una forma de campana.

2. La media de una poblacin distribuida normalmente se encuentra en el centro de su curva normal.

3. A causa de la simetra de la distribucin normal de probabilidad, la mediana y la moda de la distribucin tambin se hallan en el centro, por tanto en una curva normal, la media, la mediana y la moda poseen el mismo valor.

4. Las dos colas (extremos) de una distribucin normal de probabilidad se extienden de manera indefinida y nunca tocan el eje horizontal.

reas bajo la curva normal.El rea total bajo la curva normal ser de 1.00 por lo cual podemos considerar que las reas bajo la curva son probabilidades.

El valor de Z.Z= Nmero de desviaciones estndar de x respecto a la media de esta distribucin.

Z= x-m / s

X=valor de la variable aleatoria que nos interesa.

m = media de la distribucin de esta variable aleatoria.

s = desviacin estndar de esta distribucin.

Las variables aleatorias distribuidas en forma normal asumen muchas unidades diferentes de medicin, por lo que hablaremos de forma estndar y les daremos el smbolo de Z.

UNIDAD IV TIPOS DE MUESTREO4.1 TIPOS DE MUESTREOLos autores proponen diferentes criterios de clasificacin de los diferentes tipos de muestreo, aunque en general pueden dividirse en dos grandes grupos:

mtodos de muestreo probabilsticos y mtodos de muestreo no probabilsticos.

Muestreo probabilsticoLos mtodos de muestreo probabilsticos son aquellos que se basan en el principio de equiprobabilidad. Es decir, aquellos en los que todos los individuos tienen la misma probabilidad de ser elegidos para formar parte de una muestra y, consiguientemente, todas las posibles muestras de tamao n tienen la misma probabilidad de ser elegidas. Slo estos mtodos de muestreo probabilsticos nos aseguran la representatividad de la muestra extrada y son, por tanto, los ms recomendables.

Dentro de los mtodos de muestreo probabilsticos encontramos los siguientes tipos:

El mtodo otorga una probabilidad conocida de integrar la muestra a cada elemento de la poblacin, y dicha probabilidad no es nula para ningn elemento.

Los mtodos de muestreo no probabilsticos no garantizan la representatividad de la muestra y por lo tanto no permiten realizar estimaciones inferenciales sobre la poblacin.

(En algunas circunstancias los mtodos estadsticos y epidemiolgicos permiten resolver los problemas de representatividad aun en situaciones de muestreo no probabilistico, por ejemplo los estudios de casocontrol, donde los casos no son seleccionados aleatoriamente de la poblacin.)

Entre los mtodos de muestreo probabilsticos ms utilizados en investigacin encontramos:

Muestreo aleatorio simple:El procedimiento empleado es el siguiente:

1. Se asigna un nmero a cada individuo de la poblacin

2. A travs de algn medio mecnico (bolas dentro de una bolsa, tablas de nmeros aleatorios, nmeros aleatorios

generados con una calculadora u ordenador, etc.) se eligen tantos sujetos como sea necesario para completar el tamao de muestra requerido.

Este procedimiento, atractivo por su simpleza, tiene poca o nula utilidad prctica cuando la poblacin que estamos manejando es muy grande.

Ejemplo: formar el equipo de ftbol de la universidad seleccionando 11 boletas de una urna con el nombre de todos los alumnos de la universidad.

Muestreo aleatorio sistemtico:Este procedimiento exige, como el anterior, numerar todos los elementos de la poblacin, pero en lugar de extraer n nmeros aleatorios slo se extrae uno. Se parte de ese nmero aleatorio i, que es un nmero elegido

al azar, y los elementos que integran la muestra son los que ocupa los lugares i, i+k, i+2k, i+3k,...,i+(n1)k, es

decir se toman los individuos de k en k, siendo k el resultado de dividir el tamao de la poblacin entre el tamao de la muestra: k= N/n. El nmero i que empleamos como punto de partida ser un nmero al azar entre 1 y k.

El riesgo este tipo de muestreo est en los casos en que se dan periodicidades en la poblacin ya que al elegir a los miembros de la muestra con una periodicidad constante (k) podemos introducir una homogeneidad que no se da en la poblacin.

Imaginemos que estamos seleccionando una muestra sobre listas de 10 individuos en los que los 5 primeros son varones y los 5 ltimos mujeres, si empleamos un muestreo aleatorio sistemtico con k=10 siempre seleccionaramos o slo hombres o slo mujeres, no podra haber una representacin de los

dos sexos.

Muestreo aleatorio estratificado:Trata de obviar las dificultades que presentan los anteriores ya que simplifican los procesos y suelen reducir el error muestral para un tamao dado de la muestra. Consiste en considerar categoras tpicas diferentes entre s (estratos) que poseen gran homogeneidad respecto a alguna caracterstica (se puede estratificar, por ejemplo, segn la profesin, el municipio de residencia, el sexo, el estado civil, etc.).

Lo que se pretende con este tipo de muestreo es asegurarse de que todos los estratos de inters estarn representados adecuadamente en la

muestra. Cada estrato funciona independientemente, pudiendo aplicarse dentro de ellos el muestreo aleatorio simple o el estratificado para elegir los elementos concretos que formarn parte de la muestra. En ocasiones las dificultades que plantean son demasiado grandes, pues exige un conocimiento detallado de la poblacin.

(Tamao geogrfico, sexos, edades,...).

La distribucin de la muestra en funcin de los diferentes estratos se denomina afijacin, y puede ser de diferentes tipos:

Afijacin Simple: A cada estrato le corresponde igual nmero de elementos mustrales.

Afijacin Proporcional: La distribucin se hace de acuerdo con el peso (tamao) de la poblacin en cada estrato.

Afijacin Optima: Se tiene en cuenta la previsible dispersin de los resultados, de modo que se considera la proporcin y la desviacin tpica. Tiene poca aplicacin ya que no se suele conocer la desviacin.

Muestreo aleatorio por conglomerados:Los mtodos presentados hasta ahora estn pensados para seleccionar directamente los elementos de la poblacin, es decir, que las unidades mustrales son los elementos de la poblacin.

En el muestreo por conglomerados la unidad muestral es un grupo de elementos de la poblacin que forman una unidad, a la que llamamos conglomerado. Las unidades hospitalarias, los departamentos universitarios, una caja de determinado producto, etc., son conglomerados naturales.

En otras ocasiones se pueden utilizar conglomerados no naturales como, por ejemplo, las urnas electorales. Cuando los conglomerados son reas geogrficas suele hablarse de "muestreo por reas".

El muestreo por conglomerados consiste en seleccionar aleatoriamente un cierto numero de conglomerados (el necesario para alcanzar el tamao muestral establecido) y en investigar despus todos los elementos pertenecientes a los conglomerados elegidos.

Mtodos de muestreo no probabilsticosA veces, para estudios exploratorios, el muestreo probabilstico resulta excesivamente costoso y se acude a mtodos no probabilsticos, aun siendo conscientes de que no sirven para realizar generalizaciones, pues no se tiene certeza de que la muestra extrada sea representativa, ya que no todos los sujetos de la poblacin tienen la misma probabilidad de se elegidos.

En general se seleccionan a los sujetos siguiendo determinados criterios procurando que la muestra sea representativa.

Muestreo por cuotas:Tambin denominado en ocasiones "accidental". Se asienta generalmente sobre la base de un buen

conocimiento de los estratos de la poblacin y/o de los individuos ms "representativos" "adecuados" para los fines de la investigacin. Mantiene, por tanto, semejanzas con el muestreo aleatorio estratificado, pero no tiene el carcter de aleatoriedad de aqul.

En este tipo de muestreo se fijan unas "cuotas" que consisten en un nmero de individuos que renen unas determinadas condiciones, por ejemplo: 20 individuos de 25 a 40 aos, de sexo femenino y residentes en Gijn. Una vez determinada la cuota se eligen los primeros que se encuentren que cumplan esas caractersticas. Este mtodo se utiliza mucho en las encuestas de opinin.

Muestreo opintico o intencional:Este tipo de muestreo se caracteriza por un esfuerzo deliberado de obtener muestras "representativas" mediante la inclusin en la muestra de grupos supuestamente tpicos. Es muy frecuente su utilizacin en sondeos preelectorales de zonas que en anteriores votaciones han marcado tendencias de voto.

Muestreo casual o incidental:Se trata de un proceso en el que el investigador selecciona directa e intencionadamente los individuos de la poblacin. El caso ms frecuente de este procedimiento el utilizar como muestra los individuos a los que se tiene fcil acceso (los profesores de universidad emplean con mucha frecuencia a sus propios alumnos).

Bola de nieve:Se localiza a algunos individuos, los cuales conducen a otros, y estos a otros, y as hasta conseguir una muestra suficiente. Este tipo se emplea muy frecuentemente cuando se hacen estudios con poblaciones

4.2 ESTIMACIN DE LMITESPara una poblacin con media y variancia 2, la distribucin de muestreo de las medias de todas las muestras posibles de tamao n obtenidas de una poblacin tendr una distribucin normal aproximada con la media de la distribucin de muestreo igual a y la variancia igual a 2/ n si se supone que el tamao de la muestra es suficientemente grande.

4.3 PRUEBA DE HIPTESIS PARA UNA MEDIAQu es una hiptesis?

Hiptesis: enunciado acerca de una poblacin elaborada con el propsito de ponerse a prueba.Ejemplos de hiptesis acerca de un parmetro de poblacin son:la media mensual de ingresos para analistas de sistemas es $3625,el 20% de los delincuentes juveniles son capturados y sentenciados a prisin.

CONCEPTO DE PRUEBA DE HIPTESISAfirmacin acerca de los parmetros de la poblacin.

Etapas Bsicas en Pruebas de Hiptesis.

Al realizar pruebas de hiptesis, se parte de un valor supuesto (hipottico) en parmetro poblacional. Despus de recolectar una muestra aleatoria, se compara la estadstica muestral, as como la media (x), con el parmetro hipottico, se compara con una supuesta media poblacional (). Despus se acepta o se rechaza el valor hipottico, segn proceda. Se rechaza el valor hipottico slo si el resultado muestral resulta muy poco probable cuando la hiptesis es cierta.

Etapa 1.- Planear la hiptesis nula y la hiptesis alternativa. La hiptesis nula (H0) es el valor hipottico del parmetro que se compra con el resultado muestral resulta muy poco probable cuando la hiptesis es cierta.

Etapa 2.- Especificar el nivel de significancia que se va a utilizar. El nivel de significancia del 5%, entonces se rechaza la hiptesis nula solamente si el resultado muestral es tan diferente del valor hipottico que una diferencia de esa magnitud o mayor, pudiera ocurrir aleatoria mente con una probabilidad de 1.05 o menos.

Etapa 3.- Elegir la estadstica de prueba. La estadstica de prueba puede ser la estadstica muestral (el estimador no segado del parmetro que se prueba) o una versin transformada de esa estadstica muestral. Por ejemplo, para probar el valor hipottico de una media poblacional, se toma la media de una muestra aleatoria de esa distribucin normal, entonces es comn que se transforme la media en un valor z el cual, a su vez, sirve como estadstica de prueba.

DefinicionesHiptesis nula H0: afirmacin acerca del valor de un parmetro poblacional.

Hiptesis alterna H1: afirmacin que se aceptar si los datos muestrales proporcionan evidencia de que la hiptesis nula es falsa.

Nivel de significancia: probabilidad de rechazar la hiptesis nula cuando es verdadera.

Error Tipo I: rechazar la hiptesis nula cuando en realidad es verdadera.

Error Tipo II: aceptar la hiptesis nula cuando en realidad es falsa.

Estadstico de prueba: valor obtenido a partir de la informacin muestral, se utiliza para determinar si se rechaza o no la hiptesis.

Valor crtico: el punto que divide la regin de aceptacin y la regin de rechazo de la hiptesis nula.

Valor p en la prueba de hiptesisValor p: es la probabilidad de observar un valor muestral tan extremo o ms que el valor observado, dado que la hiptesis nula es verdadera.Si el valor p es menor que el nivel de significancia, H0 se rechaza.Si el valor p es mayor que el nivel de significancia, H0 no se rechaza

UNIDAD V ANLISIS DE REGRESIN5.1 CONCEPTOS BSICOS DE SERIES DE TIEMPOSe llama Series de Tiempo a un conjunto de mediciones de cierto fenmeno o experimento registrado secuencialmente en el tiempo. El primer paso para analizar una serie de tiempo es graficarla, esto permite: identificar la tendencia, la estacionalidad, las variaciones irregulares (componente aleatoria). Un modelo clsico para una serie de tiempo, puede ser expresada como suma o producto de tres componentes: tendencia, estacional y un trmino de error aleatorio.

En adelante se estudiar como construir un modelo para explicar la estructura y prever la evolucin de una variable que observamos a lo largo del tiempo.

5.2 METODO DE MINIMOS CUADRADOSModelo de minimos cuadrados ordinariosEl anlisis de regresin trata de la dependencia de las variables explicativas, con el objeto de estimar y/o predecir la media o valor promedio poblacional de la variable dependiente en trminos de los valores conocidos o fijos de las variables explicativas.

Se trata de encontrar una mtodo para hallar una recta que se ajuste de una manera adecuada a la nube de puntos definida por todos los pares de valores muestrales (Xi,Yi).

Este mtodo de estimacin se fundamenta en una serie de supuestos, los que hacen posible que los

estimadores poblacionales que se obtienen a partir de una muestra, adquieran propiedades que permitan sealar que los estimadores obtenidos sean los mejores.

Pues bien, el mtodo de los mnimos cuadrados ordinarios consiste en hacer mnima la suma de los cuadrados residuales, es decir lo que tenemos que hacer es hallar los estimadores que hagan que esta suma sea lo ms pequea posible.

Los supuestos del mtodo MCO son los que se presentan a continuacin:

Supuesto 1El modelo de regresin es lineal en los parmetros:

Yi = _ + _*Xi +_iLa linealidad de los parmetros se refiere a que los _s son elevados solamente a la primera potencia.

Supuesto 2Los valores que toma el regresor X son considerados fijos en muestreo repetido. Esto quiere decir que la variable X se considera no estocstica. Este supuesto implica que el anlisis de regresin es un anlisis condicionado a los valores dados del (los) regresores.

Supuesto 3Dado el valor de X, el valor esperado del trmino aleatorio de perturbacin _i es cero.

E ( _i/Xi ) = 0Cada poblacin de Y corresponde a un X dado, est distribuida alrededor de los valores de su media con algunos valores de Y por encima y otros por debajo de sta. Las distancias por encima y por debajo de los valores medios son los errores, y la ecuacin antes sealada requiere que en promedio estos valores sean cero.

Supuesto 4Homoscedasticidad. Dado el valor de X, la varianza de _i es la misma para todas las observaciones.

Var (_i/Xi ) = E (_i E(_i)/ Xi)2= E (_i2/Xi )= _Esta ecuacin seala que la varianza de las perturbaciones para cada Xi es algn nmero positivo igual a _. Homoscedastidad significa igual dispersin, en otras palabras significa que las poblaciones Y correspondientes a diversos valores de X tienen la misma varianza. Por el contrario, se dice que existe heteroscedasticidad cuando la varianza poblacional, ya no es la misma en cada muestra. El supuesto de homoscedasticidad est indicando que todos los valores de Y correspondientes a diversos valores de X son igualmente importantes.

Supuesto 5Dados dos valores cualquiera de X, Xi y Xj ( i " j ), la correlacin entre _i y _j cualquiera ( i " j ) es cero.

Cov ( _i, _j / Xi, Xj ) = E (_i E(_i)/ Xi) (_j E (_j/Xj ))= E (_i/Xi ) (_j/Xj )= 0Este supuesto indica que las perturbaciones no estn correlacionadas. Esto significa que los errores no siguen patrones sistemticos. La implicancia del no cumplimiento de este supuesto (existencia de autocorrelacin) implicara que Yt no depende tan slo de Xt sino tambin de _t1, puesto que _t1 determina en cierta forma a _t.

Supuesto 6La covarianza entre _i y Xi es cero, formalmente:

Cov (_i/Xi ) = E (_i E(_i)) (Xi E(Xi))= E (_i (Xi E(Xi)))= E (_i Xi E(Xi) E(_i))= E (_i Xi)= 0Este supuesto indica que la variable X y las perturbaciones no estn correlacionadas. Si X y _ estuvieran relacionadas, no podran realizarse inferencias sobre el comportamiento de la variable endgena ante cambios en las variables explicativas.

Supuesto 7El nmero de observaciones debe ser mayor que el nmero de parmetros a estimar.

Supuesto 8Debe existir variabilidad en los valores de X. No todos los valores de una muestra dada deben ser

iguales.Tcnicamente la varianza de X debe ser un nmero finito positivo. Si todos los valores de X son idnticos entonces se hace imposible la estimacin de los parmetros.

Supuesto 9El modelo de regresin debe ser correctamente especificado, esto indica que no existe ningn en el modelo a estimar. La especificacin incorrecta o la omisin de variables importantes, harn muy cuestionable la validez de la interpretacin de la regresin estimada.

Supuesto 10No hay relaciones perfectamente lineales entre las variables explicativas. No existe multicolinealidad perfecta. Aunque todas las variables econmicas muestran algn grado de relacin entre s, ello no produce excesivas dificultades, excepto cuando se llega a una situacin de dependencia total, que es lo que se excluy al afirmar que las variables explicativas son