Resolviendo Red R-L

J.I. HuircanUniversidad de La Frontera

May 19, 2008

AbstractSe resuelve una red RL de dos forma, la primera calculando iL (t),

para luego encontrar vo (t) ; la segunda, encontrando la ecuacin diferen-cial en vo (t) : Este segundo mtodo resulta ms complejo, dado que alplantear la LCK, queda una integral, sin embargo, derivando se encuentrala ecuacin requerida. Otro aspecto importante es la determinacin dela condicin inicial para la segunda ecuacin, dado que se debe encontrarindirectamente, considerando iL(0):

1 Problema de Primer Orden

Para la siguiente red determine vo (t) para todo t.

+

+

t=050W 50W

25W vo(t)

+

_10V 10V 150mH

1.1 Resolucin a travs de la variable iL(t)

Para t 0

iL (0) = 10 [V ]50 []

+

+

t

Para t 0+; la corriente que entra al nodo la fuente menos el voltaje enla bobina divido por la resistencia es igual a la corriente en la bobina ms lacorriente en las dos resistencias en serie (el voltaje en la bobina divido por dichasresistencias).

+

t>0+

50W 50W

25W vo(t)

+

_10V 150mH

iL(t)

10 [V ] 150 [mH] diLdt50 []

= iL +150 [mH] diLdt50 [] + 25 []

Ordenando

10 [V ]50 []

= iL +150 [mH] diLdt

75 []+150 [mH] diLdt

50 []

0:2 [A] = iL + 150 [mH]

1

75 []+

1

50 []

diLdt

0:2 [A] = iL + 150 [mH]30 []

diLdt

Resolviendo

iLp = 0:2 [A]iLt = Ke

t5[ms] = Ke200t [A]

Determinando la constante

iL (t) = 0:2 +Ke200tiL (0) = 0:2 = 0:2 +KK = 0:4

Luego

iL (t) = 0:2 + 0:4e200t

Finalmente, la variable de salida ser

2

vo (t) = 150 [mH]diLdt

25

25 + 50

= 50 [mH]

diLdt

= 50 [mH] (200) (0:4) e200t= 4e200t [V ]

1.2 Resolucin en forma directa de la variable vo(t)

Para t 0

iL (0) = 10 [V ]50 []

Para t 0+; dado que se plantear la LCK, se necesita saber la corriente enla bobina en funcin de vo (t) ;pero dicho voltaje permite establecer el voltajeen la bobina, de esta forma se tiene por divisor de voltaje

vo (t) = vL (t)25

25 + 75

=vL3

Entonces vL = 3vo

10V 3vo (t)50 []

=1

150 [mH]

tZ0

(3 vo (x)) dx+ vo (t)25 []

350 []

dvo (t)

dt=

1

150 [mH]3vo (t)

0 =3vo (t)

150 [mH]+

1

25 []

dvo (t)

dt+

3

50 []

dvo (t)

dt

0 =3vo (t)

150 [mH]+

1

25 []+

3

50 []

dvo (t)

dt

0 = vo (t) +50 [mH]

10 []

dvo (t)

dt

Resolviendo, solo se tiene solucin transitoria

0 = 5 [ms]dvot (t)

dt+ vot (t)

vot (t) = Ke 15[ms]

t = Ke200t

3

Determinando la constante. Esto requiere de un valor vo(t)en el instanteinicial, pero este valor depender del valor inicial de la bobina ms la fuenteaplicada en t = 0+.Dado que la bobina se comporta como un corto circuito por donde circula

iL (0) ; este efecto se puede reempresentar como una fuente de corriente. Con-siderando que iL (0) = iL (0+) ; entonces se tendrn simultneamente la fuentede voltaje en t = 0+ y la corriente iL(0+).

50W

50W

25W vo(t)

+

_10V iL(0+)

50W+

t0+

50W 50W

25W vo(t)

+

_10V iL(0+)

De acuerdo a la gura se tiene que las fuentes de corriente se suman y luegose puede transformar en una fuente de voltaje en serie con 50 [] :

50W

50W

25W vo(t)

+

_0.4A

50W 50W

25W vo(t)

+

_20V

+

vo (0) = 20 25125

= 4La solucin nal ser

vo (t) = 4e200t

2 Conclusin

Se observa que el clculo de vo(t) resulta ms complejo al realizarlo directa-mente, dado que la condicin inicial no se relaciona directamente a la variablesalida. Para poder realizar los anlisis es necesario conocer el comportamientode las condiciones iniciales. Se observa que resulta ms sencillo, aunque pudieraresultar ms largo el calcular la respuesta para la bobina, iL y luego analizar larelacin que existe entre dicha variable y la de salida.

4