EFECTOS DE PRESION DE RADIACI¶ ON EN¶ UNIVERSIDAD DE … los frentes de onda, o la aparici¶on de...

UNIVERSIDAD DE CHILE

FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

DEPARTAMENTO DE FISICA

EFECTOS DE PRESION DE RADIACION EN

CAVIDADES ACUSTICAS

Tesis para optar al grado de Magıster en Ciencias mencion Fısica

MARIA LUISA CORDERO GARAYAR

Profesor guıa: Nicolas Mujica Fernandez

Santiago, Chile 2006

AGRADECIMIENTOS

Ante todo, quiero agradecer a mi familia: a mis papas, a mis hermanas y her-

manos, por demostrarme siempre su apoyo y su fe en mi y alegrarse por mis proyec-

tos,

a Guillermo, por su enorme paciencia y carino,

a mi profesor guıa, Nicolas, por sus ensenanzas y experiencia, por la gran opor-

tunidad que me brindo,

a los profesores de la comision: Rodrigo Hernandez, Rodrigo Soto, Francisco

Melo, por los comentarios e ideas,

a la Fundacion Andes y a la Comision Nacional de Investigacion Cientıfica y

Tecnologica CONICYT por su apoyo a esta tesis mediantes sus programas de Inicio

de Carrera de Jovenes Cientıficos C-13960/9 y Fondecyt Regular #1050331 respec-

tivamente.

ii

Indice general

1. Introduccion 1

1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Cavidades Acusticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1. Cavidad excitada por medio de un piston en uno de sus extremos 4

1.2.2. Cavidad que vibra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Presion de radiacion acustica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1. Fuerza de radiacion acustica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4. Sistemas autoadaptativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2. Corrimiento de las resonancias 27

2.1. Experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2. Primer calculo: Teorıa existente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3. Segundo calculo: Corrimiento de las frecuencias de resonancia debido

al contraste de densidad e impedancia acustica entre el medio y una

inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4. Tercer calculo: Corrimiento de las frecuencias de resonancia calculado

mediante la ecuacion del sonido en tubos de seccion variable . . . . . 43

3. Autoadaptacion de una partıcula 52

3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

iii

3.2. Esfera plastica en aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3. Estudio de la fuerza de radiacion acustica en agua y las dificultades

encontradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.4. Estudio del modo fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.5. Procedimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.6. Efectos observados a presiones mayores . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.7. Expresiones de la fuerza de radiacion para los diferentes modelos . . . 73

3.7.1. Fuerza de Gor’kov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.7.2. Tubo con zona de diferentes caracterısticas acusticas . . . . . 75

3.7.3. Tubo de seccion variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4. Interacciones acusticas 80

4.1. Interacciones entre dos partıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2. Interacciones entre cuatro partıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5. Conclusiones 113

iv

Indice de figuras

1.1. Tubo excitado por un piston . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Solucion grafica de la condicion de resonancia para un tubo excitado

por un piston . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Amplitud de presion acustica en un tubo excitado por un piston . . . 7

1.4. Amplitud de presion acustica en un tubo forzado a vibrar . . . . . . . 10

1.5. Perfil de velocidad acustica en un tubo forzado a vibrar . . . . . . . . 10

1.6. Scattering de una onda acustica plana por una esfera . . . . . . . . . 18

1.7. Autoadaptacion en sistema cuerda-masa . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.8. Autoadaptacion en pelıculas de jabon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.9. Autoadaptacion en pelıculas esmecticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1. Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2. Espectro de presion en la cavidad acustica vacıa . . . . . . . . . . . . 31

2.3. Espectro de presion en la cavidad acustica versus posicion de una

esfera intrusa fija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4. Teorıa existente para corrimientos de las frecuencias de resonancia

por la presencia de una partıcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5. Tubo con zona de diferente impedancia acustica . . . . . . . . . . . . 38

2.6. Curvas de resonancia para valores reales y efectivos de α y β. . . . . . 39

v

2.7. Ajuste χ2 para el modelo de tubo con zona de diferente impedancia

acustica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.8. Corrimiento de las frecuencias de resonancia para el modelo de tubo

con zona de diferente impedancia acustica . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.9. Conservacion de masa en tubos de seccion variable . . . . . . . . . . . 43

2.10. Tubo de seccion variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.11. Solucion de la condicion de resonancia para un tubo con seccion

transversal variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.1. Montaje para la medicion del coeficiente de roce dinamico . . . . . . 55

3.2. Montaje en agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3. Espectro de presion acustica en agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4. Presion vs velocidad de vibracion de la cavidad . . . . . . . . . . . . 60

3.5. Evolucion temporal de la posicion de la esfera, presion acustica y

aceleracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.6. Posiciones iniciales de la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.7. Posiciones de equilibrio experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.8. Mediciones consideradas para realizar el promedio . . . . . . . . . . . 67

3.9. Visualizacion con arena del primer modo acustico a diferentes presiones 68

3.10. Corrientes convectivas en el interior de una cavidad . . . . . . . . . . 70

3.11. Fuerza de radiacion de Gor’kov y fuerza de arrastre laminar . . . . . 72

3.12. Fuerza de radiacion de Gor’kov y fuerza de arrastre turbulento . . . . 73

3.13. Fuerza de arrastre laminar y fuerza de arrastre turbulento . . . . . . 74

3.14. Fuerza de radiacion de Gor’kov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.15. Fuerza de radiacion acustica calculada con el modelo de tubo con

zona de diferente impedancia acustica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

vi

3.16. Fuerza de radiacion acustica calculada con el modelo de tubo de sec-

cion variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.17. Posiciones de equilibrio para los diferentes modelos . . . . . . . . . . 79

4.1. Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2. Espectro de presion con dos esferas en el centro de la cavidad . . . . 85

4.3. Evolucion temporal de la posicion de las partıculas y de la presion

acustica I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.4. Evolucion temporal de la distancia entre partıculas y de la presion

acustica I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.5. Evolucion temporal de la posicion de las partıculas y de la presion

acustica II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.6. Evolucion temporal de la distancia entre partıculas y de la presion

acustica II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.7. Histogramas de probabilidad para r12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.8. Componentes de frecuencia de las variaciones de r12(t) . . . . . . . . 90

4.9. Histograma de probabilidad para la distancia relativa entre dos partıcu-

las r12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.10. Histograma de probabilidad para la posicion del centro de masa de

dos partıculas R12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.11. 〈R12〉 versus 〈r12〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.12. Trayectorias en el espacio de fases R12 vs r12 . . . . . . . . . . . . . . 92

4.13. Histogramas de probabilidad para r12 y para R12 a 1500 Hz. . . . . . 93

4.14. Evolucion de R12 y r12 a 1500 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.15. Trayectorias de las partıculas en dos realizaciones particulares a 1500

Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

vii

4.16. Valores mas probables para el centro de masas de dos partıculas versus

frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.17. Valores mas probables para la distancia relativa entre dos partıculas

versus frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.18. Formacion de dipolos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.19. Distancia media entre partıculas que forman dipolo. . . . . . . . . . . 99

4.20. Distancia entre dipolos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.21. Espectro de presion con cuatro esferas en el centro de la cavidad . . . 101

4.22. Realizacion particular a 1450 Hz que no llega a estado estacionario. . 102

4.23. Diferentes trayectorias y configuraciones finales realizadas por cuatro

partıculas en el interior de la cavidad I . . . . . . . . . . . . . . . . . 103


partıculas en el interior de la cavidad II . . . . . . . . . . . . . . . . . 104


partıculas en el interior de la cavidad III . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.26. Diagrama de fases a 1350 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107



4.29. Trayectoria escalonada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.30. Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.31. Temperatura promedio a diferentes frecuencias . . . . . . . . . . . . . 111

viii

Indice de cuadros

2.1. χ2 para modelo de Leung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2. χ2 para modelo de tubo con zona de diferente impedancia acustica . . 43

2.3. χ2 para modelo de tubo con seccion variable . . . . . . . . . . . . . . 49

2.4. χ2 para modelo de tubo de seccion variable utilizando longitud efectiva 50

2.5. Resumen de χ2 para los distintos modelos . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.1. Propiedades de distintos materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.1. Valores de ∆x en trayectorias escalonadas . . . . . . . . . . . . . . . 109

ix

RESUMEN

Esta Tesis para optar al grado de Magıster en Ciencias, mencion Fısica, se ha

centrado en el estudio experimental de una cavidad cuasiunidimensional en la cual

se incluye una o varias esferas solidas. En particular se estudio la perturbacion de los

modos acusticos, la fuerza de radiacion acustica sobre la esfera, y las interacciones

entre partıculas mediadas por la fuerza de radiacion acustica.

En el Capıtulo 1 se introduce el sistema estudiado, una cavidad acustica cua-

siunidimensional, especificando dos ejemplos de excitacion acustica, para comentar

el significado de la resonancia. Se explican ademas los conceptos fundamentales:

presion y fuerza de radiacion en presencia de una onda de sonido, y sistemas au-

toadaptativos.

En el Capıtulo 2 se muestra el primer resultado experimental: el corrimiento de

las frecuencias de resonancia de la cavidad de los primeros cinco modos acusticos,

debido a la presencia de un objeto solido fijo. Se revisa la teorıa existente y ademas se

proponen dos modelos adicionales para explicar las curvas de resonancia. Se concluye

que los corrimientos de las frecuencias de resonancia se deben al volumen excluıdo

por el objeto solido.

En el Capıtulo 3 se estudia el efecto de la fuerza de radiacion acustica sobre

una esfera plastica al interior de la cavidad, en el primer modo de la cavidad. Se

muestran los resultados experimentales: la esfera se desplaza hacia una posicion de

equilibrio que depende de la frecuencia de excitacion, mostrando un comportamien-

to autoadaptativo. Se compara este comportamiento con la teorıa existente, cuyas

predicciones no corresponden con lo observado. Se menciona un comportamiento

diferente a presiones mayores.

En el Capıtulo 4 se incluyen mas esferas y se estudian las interacciones entre

x

ellas debido a la fuerza de radiacion acustica proveniente del scattering de la onda

externa. Se muestran diferentes comportamientos.

Finalmente, en el Capıtulo 5 se resumen los resultados obtenidos y se sugieren

los pasos a seguir en el futuro.

xi

Capıtulo 1

Introduccion

1.1. Introduccion

Los fenomenos acusticos han sido estudiados con interes tanto en siglos anteriores

como en la actualidad desde los tiempos de Newton [11], [13], [21], [22]. Usualmente la

acustica no lineal se ha considerado separadamente de la acustica lineal, asumiendo

que a valores moderados de presion los fenomenos no lineales, tales como la distorsion

de los frentes de onda, o la aparicion de armonicos, no son observables. Sin embargo,

el origen de las ecuaciones de sonido en fluidos (la ecuacion de Navier-Stokes, la

ecuacion de estado) son nolineales en la presion y densidad [10], y por lo tanto, si

bien en la mayorıa de los casos la aproximacion lineal de la acustica explica con

exito los fenomenos acusticos mas comunes, existen fenomenos que una teorıa lineal

no es capaz de explicar.

Un ejemplo de ello son las corrientes de fluido inducidas por un movimiento

vibratorio. De acuerdo a la acustica lineal, una onda no transporta materia, pero

se tiene evidencia de la existencia de corrientes estacionarias en presencia de una

superficie forzada a vibrar. Estas corrientes se conocen como Acoustic Streaming [7],

1

CAPITULO 1. INTRODUCCION 2

[10], [23], [24]. Importantes fueron las observaciones realizadas por Savart al realizar

experimentos de arena sobre una superficie forzada a vibrar (figuras de Chladni).

Si los granos de arena son gruesos, esta se acumula en los nodos de vibracion. En

cambio, Savart observo que polvo muy fino en lugar de la arena gruesa no tiene

el mismo comportamiento, sino que foma una nube en los antinodos de vibracion.

Faraday atribuyo este comportamiento a la presencia de corrientes de aire, que suben

en las zonas de maxima vibracion y caen en los nodos.

Otro fenomeno no lineal es la fuerza de radiacion acustica, de la cual hablare-

mos en esta tesis. En presencia de una onda acustica un objeto siente una fuerza

de promedio temporal no nulo. El promedio temporal de los terminos lineales nece-

sariamente llevara a una fuerza de promedio nulo, por lo tanto la aparicion de esta

fuerza se debe a los terminos de orden superior.

En esta Tesis se estudiara el resultado de introducir en una cavidad acustica cua-

siunidimensional, una partıcula de tamano comparable a las dimensiones transver-

sales de la cavidad. Por un lado, la presencia de la partıcula en una posicion dada

afecta considerablemente la onda acustica, modificando las frecuencias de resonan-

cia de la cavidad en funcion de la posicion de la partıcula (Capıtulo 2). Por otro

lado, la onda acustica ejerce sobre la partıcula, una fuerza de radiacion acustica de

promedio temporal no nulo, cuyo origen puede ser explicado solamente al considerar

terminos no lineales. En el Capıtulo 3 veremos como afecta esta fuerza de radiacion

a una partıcula libre de moverse, estudiaremos las posiciones de equilibrio de esta

fuerza y notaremos que el efecto de esta fuerza es una tendencia a la autoadaptacion,

es decir a ajustar la posicion de la partıcula para mantenerse en resonancia. En el

Capıtulo 4 se estudiaran las interacciones entre partıculas, mediadas por la fuerza

de radiacion, al incluir varias partıculas identicas libres de moverse dentro de la

cavidad. Finalmente, en el Capıtulo 5 se resumen los resultados mas importantes.


1.2. Cavidades Acusticas

Consideremos una cavidad acustica de paredes totalmente rıgidas y dimensiones

Lx, Ly, Lz. La ecuacion del sonido debe ser satisfecha por la presion acustica al

interior de la cavidad.

1

c2∇2p =

∂2p

∂t2(1.1)

La solucion estacionaria de (1.1), suponiendo que las paredes de la cavidad son

totalmente rıgidas, es de la forma: p(x, y, z) = P0 cos(ωt) cos(kxx) cos(kyy) cos(kzz)

donde k2 = k2x + k2

y + k2z , ω/k = c, y el origen esta ubicado en uno de los vertices

de la cavidad. Para satisfacer las condiciones de borde en x = Lx, y = Ly, z = Lz,

debemos imponer condiciones sobre kx, ky y kz: kxLx = nπ, kyLy = lπ y kzLz = mπ.

Es decir, no cualquier onda de sonido es permitida dentro de la cavidad. Solo aquellas

frecuencias definidas por la igualdad:

ωnlm = πc

√n2

L2x

+l2

L2y

+m2

L2z

(1.2)

o equivalentemente knlm = π√

n2/L2x + l2/L2

y + m2/L2z, con n, l, m enteros pueden

satisfacer la ecuacion y las condiciones de borde.

En el caso unidimensional, es decir al hacer tender Ly, Lz → 0 y Lx = L, se

tendra:

l = m = 0; kn =nπ

L(1.3)

Solamente serıa posible excitar ondas dentro de la cavidad con numero de onda

kn, pues de otra manera no se satisfacen las condiciones de borde. Esto no corres-

ponde a la realidad, pues experimentalmente es posible tener una onda de sonido de

cualquier numero de onda k 6= kn dentro de una cavidad. La razon es que no estamos

considerando la manera en que el sonido es excitado, y por ello las condiciones de


borde son demasiado simples. Estudiaremos, por lo tanto, condiciones de borde mas

realistas.

1.2.1. Cavidad excitada por medio de un piston en uno de

sus extremos

Consideremos una cavidad cuasiunidimensional de largo L y seccion S, excitada

por medio de un piston en uno de sus extremos x = 0, como muestra la fig. 1.1, de

masa m, constante elastica s y constante de disipacion Rm, forzado a moverse por

una fuerza oscilatoria F = fe−iωt. Si las paredes de la cavidad son suficientemente

rıgidas, la velocidad acustica (equivalentemente la derivada normal de la presion)

debe anularse en x = L, mientras que en x = 0 la condicion de borde debe deducirse

a partir de un balance de fuerzas.

Fs

Rm

m S

L

Figura 1.1: Tubo excitado por un piston

Se define la Impedancia Acustica Especıfica (por unidad de area) como la razon

entre presion y flujo especıfico, o velocidad: z = p/u, con u la velocidad acustica.

En general, z es una magnitud compleja, ya que puede haber una desfase entre

la velocidad y la presion acusticas. La parte real de z es la resistencia acustica

especıfica, y su parte imaginaria es la reactancia acustica especıfica.

En ondas planas propagandose en la direccion ± x en un medio de densidad

ρ y velocidad del sonido c, con frecuencia angular ω = kc la impedancia acustica


especıfica es constante:

z = ±ρc (1.4)

y su valor absoluto ρc corresponde a la impedancia acustica del medio. La impedan-

cia acustica de un medio para una onda acustica es analoga a la impedancia√

µ/ε

para una onda electromagnetica.

En una onda viajera la impedancia es real, y por lo tanto la presion y velocidad

acustica van en fase. En una onda estacionaria de igual frecuencia, en cambio, la ve-

locidad y presion acusticas estan desfasadas en π, y la impedancia acustica especıfica

depende de la posicion.

Volviendo al problema, la fuerza aplicada sobre el piston debe ser igual a la

impedancia mecanica total en x = 0:

F = Zmu(0, t) (1.5)

donde Zm = Z0+Zp es la impedancia mecanica total en x = 0, y es una combinacion

entre la impedancia acustica del fluido y la impedancia mecanica del piston:

Z0 =Sp(0, t)

u(0, t)(1.6)

Zp = Rm + i(s/ω − ωm) (1.7)

Para calcular la impedancia del fluido en x = 0 (Z0), debemos aplicar las condi-

ciones de borde y resolver el problema, exigiendo que la impedancia en x = L sea

infinita, debido a la pared rıgida.

Suponiendo una solucion compleja:

p(x, t) = Aei(kx−ωt) + Be−i(kx+ωt) (1.8)


obtenemos las impedancias del fluido en x = 0, L:

Z0 = ρcSA + B

A−B(1.9)

ZL = ρcSAeikL + Be−ikL

AeikL −Be−ikL(1.10)

Despejando A y B en terminos de ZL →∞, obtenemos la impedancia mecanica

Z0:

Z0 = iρcS cot kL (1.11)

La condicion de resonancia es Im(Zm) = 0, es decir cuando la reactancia al piston

se anule, condicion que equivale a:

cot(kL) = akL− b

kL(1.12)

con:

a =m

SρL(1.13)

b =sL

Sρc2(1.14)

El parametro a corresponde a la razon de masas entre el piston y el volumen de

fluido dentro del tubo, mientras que b es el cuociente entre la rigidez del piston y la

del fluido. Cuando a y b son grandes, es decir cuando el piston es masivo y rıgido

con respecto al fluido, la condicion de resonancia es muy similar a kL = nπ, y se

recupera el resultado para una cavidad con ambos extremos rıgidos, exceptuando una

resonancia para un valor pequeno de kL, que corresponde a la resonancia mecanica

del piston. En cambio, para valores muy pequenos de a y b, las resonancias ocurren

para valores de kL cercanos a (2n + 1)π/2, analogo a lo que ocurre cuando se tiene

una cuerda con un extremo fijo y el otro extremo libre.


(a)

Π 2Π 3Π 4Π 5ΠkL0

(b)

Π 2Π 3Π 4Π 5ΠkL0

Figura 1.2: Solucion para la condicion de resonancia (1.12) para a = 0,02, b = 0,013 (a)

y para a = 20, b = 13,1 (b). Para valores de a, b grandes se recuperan las resonancias

kL = nπ

La presion en x = L esta dada por (fig. 1.3):

p(L, t) =ρ0cfe−iωt

Zm sin(kL)(1.15)

Debido al desfase entre la velocidad acustica y la presion acustica en una onda

estacionaria, la presion en x = L corresponde al maximo de la presion dentro del

tubo, es decir es la amplitud de presion acustica. Por lo tanto, un maximo de presion

en x = L corresponde a una resonancia de la onda acustica en la cavidad.

(a) Π 2Π 3Π 4Π 5ΠkL0

pHLL

(b) Π 2Π 3Π 4Π 5ΠkL

pHLL

Figura 1.3: Presion en el extremo x = L (1.15) para a = 0,02, b = 0,013 (a) y para a = 20,

b = 13,1 (b). Para valores de a, b grandes se recuperan las resonancias kL = nπ. En ambos

casos Rm/Sρc = 0,225


1.2.2. Cavidad que vibra

Estudiemos este caso que sera de interes para el experimento de esta tesis.

Supongamos una cavidad cuasiunidimensional de largo L que se fuerza a mover

oscilatoriamente con aceleracion constante Γ y frecuencia ω. En los extremos, que

suponemos rıgidos, las condiciones de borde ya no seran u = 0, pues el fluido en

contacto con la pared sera forzado a oscilar junto con la pared.

La condicion de borde debe ser evaluada en la pared, x = Ae−iωt, donde la

amplitud de oscilacion A de la cavidad esta dada por A = Γ/ω2. Para frecuencias

mayores o iguales a la frecuencia fundamental de una cavidad de largo L = 0,1 m,

f & 1 kHz, esta amplitud es menor a 1 µm, siendo Γ ∼ g, la aceleracion de gravedad.

Por lo tanto, podemos evaluar las condiciones de borde en x = 0, L:

u(0, t) =Γ

ωe−iωt

u(L, t) =Γ

ωe−i(ωt−ϕ) (1.16)

Ya que la velocidad del sonido en solidos es varias veces mayor que en un medio

gaseoso pero no infinita, es necesario anadir una fase, en general pequena, a la

velocidad de vibracion de un extremo del tubo con respecto al otro, pues la vibracion

tarda algo en transmitirse por las paredes del tubo.

Suponiendo una solucion a (1.1) de la forma p(x, t) = Aei(kx−ωt) + Be−i(kx+ωt),

podemos encontrar A y B al aplicar las condiciones de borde (1.16), pero no encon-

traremos ninguna condicion sobre k. Reconoceremos, sin embargo, una resonancia

de la cavidad cuando la amplitud de la velocidad acustica pase por un maximo.

Dado que la presion acustica y la velocidad acustica estan desfasadas en π y los

extremos son rıgidos, la condicion anterior de resonancia equivale a que la presion

acustica pase por un maximo en cualquiera de sus extremos, dado que ahora son

irreconocibles.


Encontramos para la presion en los extremos de la cavidad, las expresiones:

p(0, t) = −iΓρ

k

cos kL− e−iϕ

sin kLe−iωt (1.17)

p(L, t) = iΓρ

ke−iϕ cos kL− eiϕ

sin kLe−iωt (1.18)

Vemos que en ambos extremos, los maximos de la presion estan dados por la

igualdad kL = nπ, n ∈ Z, excepto cuando ϕ = 0, π. En estos casos debemos excluir

respectivamente los modos impares (n = 2m + 1) y los pares (n = 2m). Esto se

debe claramente a que la oscilacion de los extremos en fase o antifase no permite la

existencia de modos impares o pares, por forzar a las partıculas del fluido dentro de

la cavidad a un movimiento en fase o antifase, respectivamente (fig. 1.4).

En casos reales, ϕ sera, sin embargo, muy pequeno. Por ejemplo, si las paredes

son de acero inoxidable (cuya velocidad del sonido longitudinal es css = 5790 m/s) y

se excita una cavidad de 10 cm a una frecuencia de f ∼ 1500 Hz, el desfase sera de

apenas ϕ ∼ 2πfL/css ∼ 0,16 ∼ π/19. El largo deberıa ser de unos 2 m para que, a

tal frecuencia, el desfase fuera cercano a π.

En la resonancia, los extremos de la cavidad corresponden a mınimos de la ve-

locidad, tal como ocurre en el modelo teorico, donde la velocidad acustica tiene un

nodo en los extremos, y la amplitud de velocidad y de presion acustica son maximas

(fig. 1.5). Es necesario notar, sin embargo, que estos mınimos de velocidad en los

extremos no son nodos de velocidad, ya que las paredes imponen una velocidad no

nula.

Estos dos ejemplos nos permiten comprender desde otro punto de vista la condi-

cion expresada en (1.3). Como vimos, en efecto es posible excitar una onda acustica

al interior de una cavidad con un numero de onda cualquiera, pero la amplitud de

presion de la perturbacion sera pequena en la mayorıa de los casos. La condicion

(1.3) debe ser interpretada como la condicion de resonancia de la onda acustica en

una cavidad de largo L.


(a) Π 2Π 3Π 4Π 5ΠkL0

pHLL j � 0

(b) Π 2Π 3Π 4Π 5ΠkL0

pHLL j �

Π

��

4

(c) Π 2Π 3Π 4Π 5ΠkL0

pHLL j � Π

Figura 1.4: Presion en el extremo x = L (1.18) para ϕ = 0 (a), ϕ = π/4 (b) y ϕ = π (c).

Se observa que los modos impares desaparecen para ϕ = 0, y los modos pares desaparecen

para ϕ = π, mientras que para un valor diferente, todos los modos kL = nπ estan presentes

0.25 0.5 0.75 1x�L0

uHxL

Figura 1.5: Velocidad acustica a lo largo del tubo que se hace vibrar, para f/f1 = 0,9963

(lınea continua), f/f1 = 0,9998 (lınea segmentada) y f/f1 = 1,00045 (lınea punteada). La

amplitud de velocidad acustica diverge para f/f1 = 1, si la absorcion acustica es cero.


Este ultimo ejemplo representa una manera eficiente, comparado con otros meto-

dos, como con un piston (seccion 1.2.1) o mediante un parlante, de excitar una onda

acustica dentro de una cavidad [14].

1.3. Presion de radiacion acustica

Consideremos la ecuacion de Euler, para un fluido no viscoso e irrotacional.

ρ(∂~u

∂t+ (~u · ~∇)~u

)= −~∇p (1.19)

Donde ρ = ρ0 + ρ′ es la densidad del fluido, siendo ρ0 la densidad en equilibrio,

y p = p0 + p′, con p0 la presion en el fluido no perturbado.

Usando el potencial de velocidad φ, ya que el fluido es irrotacional, ~u = ~∇φ, y

p′ = −ρ0∂φ/∂t a primer orden, la ecuacion de Euler se reescribe para φ:

~∇(∂φ

∂t+

1

2|~∇φ|2

)= −

~∇p

ρ(1.20)

A partir de la ecuacion de estado dh = Tds + dp/ρ, obtenemos ~∇p/ρ = ~∇h, ya

que el sonido es un proceso adiabatico. Por lo tanto:

h = −∂φ

∂t− 1

2|~∇φ|2 + C(t) (1.21)

donde C(t) es una constante de integracion que depende de las condiciones de borde

del problema.

Expandiendo la presion como funcion de la entalpıa:

p = p0 +(∂p

∂h

)s,0

h +1

2

(∂2p

∂h2

)s,0

h2 + ... (1.22)

donde s, 0 significa a entropıa constante y en equilibrio. Usando la ecuacion de estado

dh = Tds + dp/ρ, tenemos ∂p/∂h = ρ, y ∂2p/∂h2 = (∂ρ/∂p)s,0(∂p/∂h)s,0


Para un gas ideal, a primer orden, se tiene simplemente p = c2ρ, con c la velocidad

del sonido, pero considerando terminos no lineales, la velocidad del sonido tiene una

dependencia en la densidad [21] es decir c no es una constante, sino que c = c0 + c′,

y entonces tenemos:

p′ = c20ρ′ +

1

2

∂c′2

∂ρρ′2 (1.23)

Para un gas ideal, se tiene la ecuacion de estado adiabatico:

p

p0

=( ρ

ρ0

)γ

(1.24)

con γ = cp/cv la razon entre los calores especıficos. Por lo tanto:

c20 =

γp0

ρ0(∂c′2

∂ρ

)s

=c20(γ − 1)

ρ0

(1.25)

Para un lıquido en cambio, (1.24) no se satisface, pero se tiene la ecuacion empıri-

ca de Tate:

p = A0

( ρ

ρ0

)γ

− A1 (1.26)

donde A0, A1 y γ son constantes que dependen debilmente de la temperatura, con

A0 − A1 = p0. Por lo tanto, en los lıquidos se tiene:

c20 =

γA0

ρ0(∂c′2

∂ρ

)s

=c20(γ − 1)

ρ0

(1.27)

En ambos casos, se tiene (∂p/∂ρ)s,0 = c20. Reemplazando en (1.22), obtenemos:

p− p0 = −ρ0∂φ

∂t− ρ0

2|~∇φ|2 +

ρ0

c20

(∂φ

∂t

)2

+ ρ0C(t) + O(φ3) (1.28)


Utilizando las relaciones lineales ~∇φ = ~u y−ρ0∂φ/∂t = p′, promediando durante

un ciclo (〈〉), y llamando C = ρ0〈C(t)〉 obtenemos:

〈p− p0〉 = 〈p′〉 = −ρ0

2〈~u · ~u〉+

〈p′2〉2ρ0c2

0

+ C (1.29)

El promedio temporal, no nulo, de la presion acustica se conoce como presion de

radiacion, y es un efecto no lineal de la onda acustica, ya que el promedio temporal

de los terminos lineales es cero. Esta presion es similar a la presion de radiacion

debida a una onda electromagnetica.

Si, por ejemplo, se tiene una onda plana que incide sobre una pared totalmente

rıgida en x = 0, p(x, t) = P0 cos kx sin ωt, podemos calcular el promedio temporal

de la presion de radiacion acustica sobre la pared:

〈p′〉x=0 =P 2

0

4ρ0c20

+ C (1.30)

Expandiendo la densidad ρ′ en funcion de la presion p′:

〈ρ′〉 =(∂ρ′

∂p′

)s,0〈p′〉+

1

2

(∂2ρ′

∂p′2

)s,0〈p′2〉+ . . .

=〈p′〉c20

+1

2

γ − 1

ρ0c20

〈p′2〉+ . . . (1.31)

donde se utilizaron las ecuaciones de estado (1.24) y (1.26). Para imponer conser-

vacion de la masa integramos 〈ρ′〉 entre x = 0 y x = 2π/k e igualamos a cero, para

encontrar C:

C =P 2

0 (γ − 1)

8ρ0c20

(1.32)

Y la presion de radiacion sobre la pared es:

〈p′〉x=0 =P 2

0 (γ + 1)

4ρ0c20

(1.33)


1.3.1. Fuerza de radiacion acustica

Introduccion

La existencia de la presion de radiacion acustica sobre un objeto da lugar a

una fuerza neta sobre el, cuyo promedio temporal es no nulo. Esta fuerza puede ser

calculada al integrar el tensor de densidad de flujo de momentum Πik = pδik + ρvivk

sobre la superficie del objeto. Esta fuerza se origina en fenomenos no lineales, al

igual que la presion de radiacion, pues el promedio temporal de los terminos lineales

es nulo, pero ademas debido a que los productos entre los terminos provenientes de

la onda incidente y los de la onda producto del scattering en el cuerpo juegan un

rol principal.

El ejemplo mas basico de esta fuerza de radiacion es el Tubo de Kundt [22],

que consiste en una cavidad acustica cuasiunidimensional en la cual se agregan

partıculas muy pequenas con respecto a la seccion transversal de la cavidad y con

respecto al tamano de la cavidad, de manera que el scattering es despreciable y

la onda estacionaria no se ve afectada. Al excitar una onda acustica resonante al

interior del tubo, las partıculas se mueven, agrupandose en los nodos de presion, lo

cual se utiliza comunmente para visualizar una onda de sonido y medir la velocidad

del sonido.

Otro ejemplo donde esta involucrada la fuerza de radiacion acustica es la le-

vitacion acustica [10]. En presencia de un campo acustico de gran potencia (∼ 10

kPa) es posible levantar objetos y mantenerlos en posiciones fijas, ya sea en los nodos

o en los antinodos de presion. La diferencia entre un caso y otro reside en la razon

de impedancias acusticas y de compresibilidades entre el medio y la inclusion.

Si se tiene una gota de un fluido inmersa en otro fluido, las densidades y compre-

sibilidades son comparables y deben ser tomadas en cuenta. La fuerza en presencia

de una onda estacionaria p = P0 sin kx e−iωt, de la cual se hablara con mas detalle


mas adelante, fue calculada por Gor’kov [9] y vale:

Fx = −πP 2

0 kR3

ρc2

(λ + 2/3(λ− 1)

1 + 2λ− 1

3λσ2

)sin 2kX0 (1.34)

donde λ = ρ0/ρ y σ = c0/c son los cuocientes entre las densidades y entre las

velocidades del sonido de la gota y del fluido externo, denotando el subındice 0

a las propiedades de la gota. El primer termino proviene del scattering dipolar,

debido a la velocidad relativa entre el fluido y la gota, depende de la diferencia

de densidades, mientras que el segundo termino se debe al scattering monopolar,

originado en la compresion de la gota y por lo tanto es proporcional al cuociente

de compresibilidades χ = 1/ρc2. Esta fuerza tiene posiciones de equilibrio estables

ya sea en nodos o en antinodos de presion, dependiendo del signo del termino entre

parentesis. Utilizando esta fuerza se ha logrado hacer levitar una pequena esfera de

iridio y una pequena gota de mercurio (respectivamente el solido y el lıquido mas

denso) [26].

En el caso de una esfera solida o lıquida en un medio gaseoso, donde podemos

tratar a la esfera como totalmente rıgida, debido a la diferencia de impedancias

acusticas y compresibilidades, Lee y Wang [15] calcularon el potencial de la fuerza

de radiacion, en presencia de dos ondas estacionarias de igual frecuencia, una en la

direccion x y otra en la direccion y, px = Px0 sin kx e−iωt y py = Py0 sin ky e−i(ωt+ϕ),

donde llamemos Px0/Py0 = α y ϕ es el desfase entre las ondas, el potencial de la

fuerza U , asociado a la fuerza de radiacion ~F = −~∇U para la esfera situada en

(X0, Y0), en las cercanıas de X0 = Y0 = 0, es [10] [15]:

U =5π

6

P 2x0k

2R3

ρc2

(X2

0 + α2Y 20 +

4

5αX0Y0 cos ϕ

)(1.35)

En este caso, la esfera tiene sus posiciones de equilibrio en los nodos de presion.

Si el desfase es ±π, la fuerza es la suma de las fuerzas de cada onda, pero hay


acoplamiento en caso contrario. Si la esfera es lıquida, no se mantiene esferica, sino

que se deforma en forma de elipsoide.

Por ultimo, un ejemplo bastante espectacular que tiene relacion con la fuerza

de radiacion acustica es la sonoluminiscencia [6]. Este fenomeno ocurre al inducir

oscilaciones radiales en burbujas al interior de un lıquido, con una onda de sonido

de gran potencia (P0 ∼ 1,2−1,4Pambiente). En el caso general se observa la presencia

de una gran cantidad de burbujas que se forman por cavitacion en el lıquido. Estas

burbujas forman estructuras filamentosas, que crean un leve resplandor en presencia

de una presion acustica grande (MBSL, por sus siglas en ingles Multiple Bubble

Sonoluminescence).

Bajo ciertas condiciones es posible la presencia de una unica burbuja (SBSL,

Single Bubble Sonoluminescence), muy estable, que se mantiene en una posicion fija

en un antinodo de la presion acustica debido a la fuerza de radiacion acustica, cono-

cida en este caso como Fuerzas de Bjerknes [20]. La Fuerza de Bjerknes primaria

corresponde a la fuerza de radiacion acustica ejercida por el campo de presion exter-

no. La Fuerza de Bjerknes secundaria corresponde a la fuerza de radiacion generada

por la onda acustica scattereada por otras burbujas.

La burbuja al ser excitada por la onda acustica experimenta oscilaciones radiales

fuertemente no lineales, emitiendo luz facilmente visible en un instante del ciclo.

El proceso de emision de luz no tiene aun una explicacion satisfactoria, pero se

presume que es debido a que el colapso de la burbuja forma en su interior una onda

de choque que converje en su centro. El calentamiento producido por este colapso

causa la emision de radiacion electromagnetica por ionizacion de las moleculas de

gas al interior de la burbuja.


Fuerza de Gor’kov

La fuerza de radiacion acustica para una esfera en presencia de una onda acustica

fue calculada por Gor’kov [9]. El supone una esfera de radio R, en presencia de una

onda viajera en la direccion x y en presencia de una onda estacionaria en la direccion

x dentro de una cavidad, de numero de onda k. La esfera, de radio mucho menor a

la longitud de onda (kR << 1), puede ser de casi cualquier material, con la salvedad

que el fluido externo no la penetra (es decir, existe una interface bien definida entre

la esfera y el medio externo), y por lo tanto tiene una compresibilidad β0 no nula,

puede oscilar en torno a su posicion debido a las variaciones de presion de la onda

acustica, pero no se desplaza. Se desprecia la onda acustica en el interior de la

esfera al considerarla como mucho mas rıgida que el fluido exterior. Se utiliza como

hipotesis que la esfera se encuentra lejos de cualquier pared.

Como ya se dijo, el promedio de los terminos lineales de la fuerza tiene un

promedio nulo. Es necesario por lo tanto, utilizar el orden siguiente en la expansion

de la presion en los terminos acusticos (1.29):

p = −ρ∂φ

∂t− ρ

u2

2+

ρ

2c2

(∂φ

∂t

)2

(1.36)

de manera que la expresion para la fuerza de radiacion, a segundo orden en los

terminos acusticos, y promediada en un ciclo, es:

Fi = −∮ {[

− ρ〈u2〉2

+ρ

2c2

⟨(∂φ

∂t

)2⟩]δik + ρ〈uiuk〉

}dSk (1.37)

donde la integral se realiza sobre la superficie de la esfera.

En el calculo, Gor’kov considera la onda acustica como la suma de una onda

acustica incidente mas una onda esferica scattereada por la partıcula, como si esta

estuviera libre, sin considerar interacciones con las paredes.

El scattering debido a la esfera tiene dos terminos predominantes (fig. 1.6): el

primer termino, monopolar, es proporcional a 1/r y se debe a oscilaciones radiales


de la esfera, que se comprime o dilata por las variaciones de la presion debido a la

onda acustica incidente,

onda inicidente R(t)

onda inicidente

Figura 1.6: Scattering de una onda acustica plana por una esfera en un espacio infinito.

Los dos primeros terminos en una expansion en potencias de 1/r corresponden al scattering

monopolar debido a compresiones de la esfera y al scattering dipolar debido a oscilaciones

espaciales de la esfera.

φsc1 = − R3

3ρr

∂ρin

∂t

(1− c2ρ

c20ρ0

)(1.38)

Como vemos depende de la razon entre la compresibilidad de la esfera β0 = 1/c20ρ0

y la del fluido β = 1/c2ρ. El segundo termino, dipolar, es proporcional a 1/r2. Se

debe a los movimientos de la esfera con respecto al fluido causados por la onda

incidente, y depende de la diferencia de densidades entre la esfera y el fluido:

φsc2 =R3

2r2

2(ρ0 − ρ)

2ρ0 + ρ~vin · r (1.39)

En el caso de una onda viajera p(x, t) = P0ei(kx−ωt), la fuerza vale:

Fx =2πP 2

0

9ρc2R2(kR)4

[(1− c2ρ

c20ρ0

)2

+(1− c2ρ

c20ρ0

)(2(ρ0 − ρ)

2ρ0 + ρ

)+

3

4

(2(ρ0 − ρ)

2ρ0 + ρ

)2](1.40)

Mientras que para una onda estacionaria p = P0 cos kx cos ωt:

Fx = πP 2

0

ρc2R2(kR) sin(2kx)

(ρ0 + 2/3(ρ0 − ρ)

2ρ0 + ρ− c2ρ

3c20ρ0

)(1.41)


que es la expresion mostrada anteriormente en (1.34).

Vemos que este calculo predice que la fuerza de radiacion es mucho menor (del

orden de (kR)3 veces menor) para una onda viajera que para una onda estacionaria,

y cabe esperar que la fuerza sera mas apreciable alrededor de las frecuencias de

resonancia de la cavidad, debido a la dependencia en P 20 , la presion acustica de la

onda sonora.

Este calculo de la fuerza asume que las dimensiones de la cavidad son mucho

mayores que el diametro de la partıcula, y por lo tanto la parte de la onda prove-

niente del scattering en la esfera es mucho menos importante que la onda incidente,

de hecho, sin alterar las propiedades acusticas de la cavidad. Como veremos, al in-

troducir una partıcula en la cavidad, dependiendo de la posicion de la partıcula, y

dependiendo tambien de su tamano y de sus propiedades acusticas, las frecuencias de

resonancia de la cavidad se desplazan con respecto a las frecuencias de resonancias

de la cavidad vacıa, y por lo tanto los modos acusticos se ven afectados.

1.4. Sistemas autoadaptativos

La autoadaptacion consiste en la capacidad de un sistema de agrupar, mover o

ajustar algunos de sus componentes para permanecer en resonancia.

Existen varios ejemplos de sistemas autoadaptativos. Uno de ellos es el sistema

estudiado por A. Boudaoud et al [3], consistente en pequena masa libre de moverse

sobre una cuerda metalica, por la cual pasa una corriente alterna, y que es forzada

a oscilar mediante un campo magnetico uniforme.

La solucion de la ecuacion de onda

λ∂2y

∂t2= τ

∂2y

∂x2(1.42)

sobre una cuerda con extremos fijos de longitud L, tension τ y densidad lineal ho-


mogenea λ0, salvo por una masa puntual en la posicion X0, es un problema conocido

[22]. La presencia de la masa puntual modifica las frecuencias de resonancia de la

cuerda, que en ausencia de la masa, al igual que una cavidad acustica unidimensio-

nal, estan dadas por kL = nπ.

La densidad lineal de masa se modifica: λ(x) = λ0 + Mδ(x−X0) y se encuentra

la siguiente solucion a (1.42), bajo condiciones de borde tipo Dirichlet en x = 0, L:

y(x, t) =

y1 sin kx sin ωt x < X0

y2 sin k(x− L) sin ωt x > X0

(1.43)

con k2 = λ/τω2 = c2ω2. La solucion debe ser continua en x = X0, sin embargo,

debido a la delta de Dirac en la densidad, la derivada no es continua, sino que:

∂y

∂x(X+

0 , t)− ∂y

∂x(X−

0 , t) = −Mk2

λy(X0, t) (1.44)

Aplicando ambas condiciones en X0, se encuentra la condicion sobre k:

M

λk sin k(L−X0) sin kX0 = sin kL (1.45)

En este sistema, Boudaoud et al encontraron que, al dejar a la masa puntual

libre de moverse sobre la cuerda vibrando a una frecuencia fija (fig. 1.7(a)), la posi-

cion de equilibrio coincide, a partir de cierta frecuencia mınima ω1, con las curvas

de resonancia del sistema. La frecuencia ω1 corresponde a la mınima frecuencia de

resonancia del sistema cuerda-masa, y para la partıcula en el centro de la cuerda. A

frecuencias menores que ω1, la masa no tiene posiciones de equilibrio preferenciales,

pues las oscilaciones de la cuerda son muy pequenas (menores de 1 mm). Al hacer

oscilar la cuerda con esta frecuencia ω1, la masa se mueve al centro de la cuerda y

la amplitud de oscilacion se vuelve grande (cerca de 3 mm). A mayores frecuencias,

pero menores que la frecuencia fundamental de la cuerda sola, ω0, la partıcula en-

cuentra dos posiciones de equilibrio para cada frecuencia, simetricos con respecto al


centro de la cuerda, y la amplitud de oscilacion se mantiene grande. El sistema se

ajusta para mantenerse en resonancia. Se producen, a mayores frecuencias, sucesivas

bifurcaciones, correspondientes a las bifurcaciones de las frecuencias de resonancia.

Entre las curvas de resonancia existen rangos de frecuencia que no son solucion

de (1.45) para ninguna posicion de la partıcula. Estas brechas son mayores mientras

mas liviana sea la partıcula (fig. 1.7 (b)). En estas regiones, la partıcula tambien

tiene posiciones de equilibrio, pero en estos casos la amplitud de oscilacion no se

mantiene grande (cerca de 0,5 mm).

Al insertar dos partıculas identicas de masa M en la cuerda (fig. 1.7(c)), a partir

de una frecuencia mınima ω1, que corresponde a la mınima frecuencia de resonancia

de un sistema cuerda-masa pero con una partıcula de masa 2M , las partıculas o bien

alcanzan ambas la misma posicion de equilibrio, actuando como una sola partıcula

de masa 2M , o bien encuentran posiciones de equilibrio simetricos a ambos lados

del centro de la cuerda, pero en ambos casos el sistema se mantiene resonante. Al

igual que en el caso anterior, a frecuencias menores a ω1, no existen posiciones de

equilibrio preferenciales. Si se incrementa la frecuencia desde una frecuencia menor a

ω1, ambas partıculas se mantienen siempre juntas, como una sola partıcula de masa

2M . Si se excita la cuerda a una frecuencia mayor a ω1 y las posiciones iniciales de

las partıculas estan en mitades diferentes de la cuerda, las posiciones de equilibrio

son simetricas.

Esto ocurre para los modos impares, pero debido a la naturaleza del forzamien-

to, uniforme a lo largo de la cuerda, las partıculas no alcanzan las posiciones de

equilibrio correspondientes al segundo modo, ni de los modo pares. Usando un cam-

po magnetico de signo contrario en ambas mitades de la cuerda se obtienen las

posiciones de equilibrio de los modos pares.

Otro ejemplo de sistema autoadaptativo es el estudiado por los mismos autores


(a) (b)

(c)

Figura 1.7: Posicion de equilibrio para una o dos masas libres de moverse sobre una

cuerda que oscila. ω0 es la frecuencia fundamental de vibracion de la cuerda, sin la masa

y ξ = x/L. (a) Posiciones de equilibrio para una masa. La lınea solida corresponde a las

frecuencias de resonancia para la cuerda con una partıcula fija. Los diamantes corresponden

a las posiciones de equilibrio. M/λL = 4. (b) Igual que (a), pero M/λL = 0,46. La lınea

gruesa discontinua corresponden a posiciones de equilibrio predichas, pero no resonantes.

(c) Posiciones de equilibrio para dos masas. Los diamantes corresponden a posiciones

de equilibrio con forzamiento homogeneo, mientras que los cuadrados son equilibrios con

forzamiento asimetrico. M/λL = 1,6. Las lıneas solidas corresponden a las posiciones de

equilibrio teoricas. Las figuras pertenecen a Boudaoud et al [3].


[4] en pelıculas gruesas de jabon sostenidas por un marco rectagular, y forzadas a

oscilar por medio de una onda acustica generada por un parlante bajo la pelıcula de

jabon.

Si las pelıculas de jabon se comportaran como membranas ideales, de grosor,

densidad superficial y tension superficial uniformes d, σ y τ respectivamente, sus

oscilaciones transversales estarıan gobernadas por la ecuacion de onda en dos di-

mensiones:

σ∂2z

∂t2= τ

(∂2z

∂x2+

∂2z

∂y2

)(1.46)

Y por lo tanto tendrıan un espectro de frecuencias de resonancia, dependiendo

de su forma y tamano, de manera que al ser forzadas a esas frecuencias, la amplitud

de oscilacion serıa notoriamente grande con respecto a la amplitud de oscilacion a

frecuencias diferentes.

Pero las pelıculas de jabon no se comportan como membranas ideales debido

principalmente a que el fluido que las conforma puede moverse, cambiando la dis-

tribucion de masa sobre su superficie. Por lo tanto, ni la densidad superficial, ni el

grosor, ni la tension superficial son uniformes a lo largo de la membrana. Boudaoud

et al observaron que, a partir de una frecuencia mınima del forzamiento, la amplitud

de oscilacion se mantiene grande, y la masa del fluido se concentra en los antinodos

de oscilacion 1.8. El espesor de la pelıcula varıa entre 0,2 µm en los bordes de la

pelıcula y 200 µm en los antinodos. A medida que la frecuencia aumenta, la cantidad

de antinodos tambien lo hace, y el fluido se concentra en ellos.

Nuevamente, debido a que el forzamiento es homogeneo, solamente los modos

impares son excitados. En un primer rango de frecuencias, existe unicamente un

antinodo donde se concentra la masa. Al aumentar la frecuencia aparecen tres anti-

nodos dentro de un rango de frecuencias, y a frecuencias mayores aun, existen dos


modos. La sucesion para el numero de antinodos es 1, 1, 3, 2, 5, 3, 7, ..,2n−1, n, 2n+1

se debe justamente al forzamiento homogeneo.

Figura 1.8: Vibracion de pelıculas de jabon y su perfil teorico. Las lıneas de interferencia

permiten medir su grosor. (a) Primer modo. (b) Segundo modo. (c) Tercer modo. (d)

Cuarto modo. (e) Quinto modo. Las figuras pertenecen a Boudaoud et al [4].

Un tercer ejemplo de sistema autoadaptativo, es el estudiado por M.Brozovskaia

[5] en pelıculas esmecticas. Estas pelıculas de cristal lıquido estan formadas por un

numero N de capas paralelas de moleculas de largo l, de grosor promedio d, con

l < d < 2l, cuyo numero puede ser controlado con precision desde 2 hasta un valor

muy grande, y estan limitadas a mantenerse dentro de un marco que las sujeta,

donde forman un menisco caracterıstico [8].

Estas pelıculas pueden ser estudiadas, para el caso de pequenas vibraciones,

como membranas ideales, es decir, de densidad superficial uniforme σN , sujetas a


una tension isotropica τN , y por lo tanto sus oscilaciones transversales z pueden ser

descritas por la ecuacion de onda en dos dimensiones:

σN∂2z

∂t2= τN

(∂2z

∂x2+

∂2z

∂y2

)(1.47)

y por lo tanto, poseen un espectro de frecuencias de resonancia, que dependen tanto

de su forma como de su tamano. Esta caracterıstica ha permitido, por ejemplo,

estudiar la tension superficial de estas pelıculas.

En [5], Brazovskaia y Pieranski agregan una masa puntual sobre la membrana.

En ausencia de forzamiento, la masa se mueve al centro de la membrana debido a la

fuerza gravitatoria. Sin embargo, en ausencia de gravedad, la presencia de la masa en

una posicion cualquiera de la membrana (x0, y0) modifica el espectro de resonancias.

Este espectro de resonancias puede ser estudiado con una fibra de diametro similar

a la esfera, ubicada externamente para pinchar la membraba en una posicion fija,

imitando una partıcula de masa infinita. Nuevamente, este espectro presenta regiones

de frecuencias que no son resonantes para ningun valor de la posicion de la masa.

La membrana se fuerza a vibrar por medio de una parlante ubicado por debajo

de la membrana. A amplitudes pequenas, la fuerza de gravedad tiende a mantener a

la masa cerca del centro de la membrana, pero al aumentar la amplitud, la posicion

se desvıa hasta alcanzar una posicion lımite. Esta posicion cambia con la frecuen-

cia del forzamiento, pero la amplitud umbral es practicamente independiente de la

frecuencia.

En el rango estudiado por Brazovskaia y Pieranski, correspondiente al primer

modo de oscilacion, se observa que las posiciones finales de la masa hacen resonante

al sistema a la frecuencia de vibracion impuesta, lo cual es comprobado con la

fibra, y por lo tanto el sistema se mantiene en resonancia. A diferencia del sistema

cuerda-masa, para cada frecuencia, existen infinitas posiciones posibles que hacen


Figura 1.9: En reposo la partıcula se mueve hacia el centro de la membrana. Al excitar

oscilaciones de la membrana, la partıcula ajusta su posicion para mantener al sistema

resonante. Las figuras pertenecen a Brazovskaia y Pieranski [5].

resonante al sistema, sin embargo la partıcula se mantiene cerca de las diagonales

de la membrana.

Capıtulo 2

Corrimiento de las frecuencias de

resonancia de una cavidad por la

presencia de un objeto fijo de

radio R

2.1. Experimento

El montaje utilizado para el experimento cuasiunidimensional consiste en un

tubo de seccion cuadrada de dimensiones internas 6,8 mm ×6,8 mm ×100 mm. Dos

de sus paredes son de duraluminio y dos de acrılico (fig. 2.1).

Un extremo del tubo se encuentra sujeto a un vibrador electromecanico Bruel

& Kjael, (Mini-shaker 4810) que puede proveer una fuerza maxima de 10 N, en un

amplio rango de frecuencias (DC hasta 18 kHz) y puede mantener una aceleracion

aproximadamente constante entre 100 y 5000 Hz.

El tubo se sujeta al vibrador en uno de sus extremos, de manera de dejar las

27

CAPITULO 2. CORRIMIENTO DE LAS RESONANCIAS 28

paredes de acrılico perpendiculares a ~g. Ası, el tubo completo oscila, excitandose

una onda acustica dentro de la cavidad, tal como se explico en la seccion 1.2.2.

Un microfono y un acelerometro permiten medir respectivamente la presion en

el extremo opuesto y la aceleracion entregada por el vibrador al sistema completo.

El sensor de presion (PCB Piezotronics modelo 130D20) esta formado por un

arreglo de microfonos acoplados. Su extremo, de diametro 6,35 mm (1/4′′) se in-

troduce dentro de la cavidad, de manera que la mayor parte de la cara interna de

la cavidad en ese extremo es el mismo sensor. El rango de frecuencia del sensor es

amplio, 100–10000 Hz, con una sensibilidad constante. Permite medir fluctuaciones

de presion de hasta 122 dB, es decir hasta 106 Pa.

El acelerometro (PCB Piezotronics modelo 340A65) se mantiene sujeto al ex-

tremo externo del tubo, midiendo la aceleracion en el eje longitudinal del tubo. El

rango de frecuencia en que opera acelerometro es entre 0,5 y 10000 Hz, y puede

medir aceleraciones de hasta 50 g (490 m/s2).

12

3

4

g

Figura 2.1: Montaje cuasiunidimensional. 1: Vibrador. 2: Cavidad. 3: Microfono. 4: Ace-

lerometro.

El vibrador es alimentado por medio de un amplificador de potencia conectado

a un analizador de espectro (SRS modelo SR780). El analizador de espectro, por

un lado, puede entregar una senal sinusoidal a frecuencia constante, al tiempo que

recibe la senal del sensor de presion y del acelerometro y la descompone en sus

componentes de Fourier por medio de una FFT. O bien, puede realizar un barrido


en frecuencia, entregando una senal sinusoidal cuya frecuencia cambia y midiendo

simultaneamente la respuesta en frecuencia de la presion y de la aceleracion.

Realizando un barrido en frecuencia, se midieron las frecuencias de resonancia

en la cavidad vacıa (fig. 2.2). Las frecuencia de resonancia difieren un poco de las

frecuencias teoricas. La frecuencia teorica fundamental de una cavidad cuasiunidi-

mensional de largo L es:

f0 =c

2πL/2(2.1)

Dado que la velocidad del sonido tiene una dependencia en la temperatura,

tambien f0 depende de la temperatura. En el caso del aire se tiene [10]:

c = 331,5

√1 +

TC

273m/s (2.2)

A una temperatura de TC = 22,2 C la velocidad del sonido vale 343,72 m/s y por

lo tanto la frecuencia fundamental teorica de la cavidad es 1723,56 Hz. En cambio,

la frecuencia fundamental medida es 1702,7 Hz (fig. 2.2), un 1,2 % menor. Podemos

calcular una longitud efectiva de la cavidad de Leff = 0,1012 m, que corresponde a la

longitud requerida para que la frecuencia fundamental sea 1702,7 Hz. La explicacion

probablemente esta en las condiciones de borde reales del sistema. Si bien la cara

interna mas cercana al vibrador es metalica, y puede considerarse como totalmente

rıgida, en la cara opuesta se encuentra el sensor de presion. Este sensor posee una

superficie no totalmente rıgida, que afecta la reflexion de la onda acustica.

La existencia de un coeficiente de reflexion R 6= 1 puede explicar la frecuencia

medida. Considerando que la pared cercana al vibrador (x = 0) es totalmente rıgida,

la presion debe ser de la forma:

p = P0 cos kx e−iωt (2.3)


El coeficiente de reflexion de presion R ∈ C corresponde al cuociente entre la

presion acustica de la onda que viaja en la direccion −x (la onda reflejada en la

pared x = L) y la presion acustica de la onda que viaja en la direccion contraria.

R =e−ikL

eikL= e−2ikL (2.4)

Si la pared fuera totalmente rıgida, se tendrıa R = 1, y en ese caso, nece-

sariamente kL = nπ, recuperandose la condicion de resonancia (1.3). Pero en

general, este coeficiente puede ser complejo, y por lo tanto (2.4) corresponde a

una condicion de resonancia diferente. Sin embargo, podemos definir una longi-

tud efectiva Leff = −2iπL/ log R, de manera que kLeff = nπ. Se puede calcular

R = 0,999993 + 0,00369985i para nuestro caso. Como vemos, un valor de R muy

cercano a la unidad es suficiente para explicar la diferencia entre f0, la frecuencia

fundamental teorica, y fMED0 , la frecuencia fundamental medida, por lo tanto es

plausible concluir que la presencia del sensor de presion, como condicion de borde,

afecta la onda estacionaria y es responsable del desplazamiento de las frecuencias

de resonancia en la cavidad vacıa.

A continuacion se estudio el cambio de las frecuencias de resonancia al agre-

gar una esfera al interior de la cavidad. Para ello se utilizo una esfera magnetica

de diametro 6,35 mm (1/4′′), algo menor que las dimensiones interiores de la cavi-

dad (6,8 mm). La esfera se mantiene en posicion fija utilizando una segunda esfera

magnetica en el exterior del tubo.

Una vez fijada manualmente la posicion de la esfera y medida con ayuda de una

regla situada en el exterior de la cavidad, se realiza un espectro de la amplitud de

presion en la cavidad, mediante un barrido de frecuencia entre 1 y 10 kHz, a una

presion maxima de aproximadamente 10 Pa, excitando la onda acustica con una

vibracion de aceleracion constante Γ ≈ 0,5g. Posteriormente el espectro se importa

al computador mediante Labview a traves de una tarjeta de comunicacion GPIB. De


1702.7 3405.40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Frecuencia (Hz)

Pre

sión

(P

a)

Figura 2.2: Espectro de presion en la cavidad vacıa a una temperatura T = 20,75 C. Se

observan los primeros dos modos de resonancia a fMED0 = 1702,7 y 2fMED

0 .

esta manera se realizaron 90 espectros para posiciones de la esfera equiespaciadas por

1 mm, entre 4 y 94 mm (posicion del centro de la esfera, X0), donde se considero el

origen como el extremo de la cavidad mas cercano al vibrador. Debido a que en

las cercanıas de los extremos de la cavidad la esfera magnetica se ve fuertemente

atraıda, tanto por el sensor de presion como por el vibrador, no es suficiente la

fijacion dada por la esfera magnetica exterior y no se logro obtener espectros de

presion para X0 < 4 mm ni para X0 > 94 mm.

El resultado de esta medicion es la fig. 2.3. Cada espectro de presion esta grafica-

do verticalmente, utilizando Matlab, en escala de color en funcion de la frecuencia.

Posteriormente la imagen se suaviza interpolando la escala de color entre un punto


y otro.

Figura 2.3: Barrido de frecuencia versus posicion de la esfera magnetica. La escala de color

representa la presion acustica en Pa. La frecuencia esta normalizada a f0, la frecuencia

fundamental teorica del primer modo para la cavidad vacıa (f0 = 1723,56 Hz). La posicion

esta normalizada a L = 100 mm, la longitud de la cavidad.

Se observa que la frecuencia correspondiente a cada modo se desplaza con res-

pecto a las de la cavidad vacıa, de manera oscilante. La cantidad de oscilaciones con

respecto al valor no perturbado es proporcional al numero del modo.

Cuantitativamente esto tiene una explicacion simple: El numero de onda puede

escribirse como el cuociente entre la energıa cinetica y la energıa potencial de la

onda acustica [17]:

k2 =12

∫ |~∇p|2dV12

∫p2dV

=T

U(2.5)


de manera que cuando la esfera se encuentra cerca de un maximo de presion, como

por ejemplo los extremos de la cavidad, que al mismo tiempo corresponde a un nodo

de velocidad (~∇p ≈ 0) la energıa cinetica T apenas cambia, mientras que la energıa

potencial U disminuye, lo que se traduce en un aumento del numero de onda k y por

lo tanto de la frecuencia. Al contrario, si la esfera se situa en torno a un maximo de

velocidad acustica, que corresponde a un nodo de presion, es la energıa cinetica la

que disminuye, mientras que la energıa potencial no se ve practicamente afectada,

y por lo tanto la frecuencia disminuye.

Como en los modos mayores existe mas nodos de presion y de velocidad acustica,

la cantidad de oscilaciones con respecto a la frecuencia de resonancia es mayor para

los modos mas altos que para los modos mas bajos.

2.2. Primer calculo: Teorıa existente

El problema del corrimiento de las frecuencias de resonancia de una cavidad

debido a la presencia de una partıcula ya ha sido observado y estudiado [17], [12],

[19], [25].

En 1982 Leung et al [17] presentaron un calculo en el que mediante un formalismo

de funcion de Green para la ecuacion de Helmoltz:

∇2p(~x) + k2p(~x) = 0 (2.6)

en una cavidad rectangular, calculan un numero de onda que depende de la posicion

de una partıcula intrusa de radio R, y lo compararon con sus observaciones en una

cavidad de dimensiones 152,4 mm ×152,4 mm ×127 mm (6′′×6′′×5′′) con una esfera

de diametro 12,7 mm (0,5′′) y con otra de diametro 2,54 mm (1′′). Multiplicando

(2.6) por p(~x′) e integrando en el volumen vacıo de la cavidad (ya que consideran a

la esfera como infinitamente rıgida, en el sentido que la onda no penetra al interior


de la esfera), Leung et al expresaron el corrimiento de las frecuencias en terminos

de una integral sobre los ~x′ ubicados en la superficie de la esfera:

δk

k=

1

P 20 V k2

l

∮(pi(~x

′) + ps(~x′))

∂pi

∂nds′ (2.7)

En esta expresion, V es el volumen de la cavidad, pi = P0 cos(klx) es la presion

debida a una onda acustica incidente, con kl el numero de onda del l−esimo modo

resonante de la cavidad vacıa, y n es la normal exterior a la superficie de la esfera,

donde se asume que la presencia de la esfera solamente afecta la onda acustica al

agregar el scattering de la onda incidente ps. Este calculo supone que kR << 1 con R

el radio de la esfera, y, lo que es mas importante aun, que la esfera se encuentra lejos

de las paredes de la cavidad, por lo tanto, para el caculo de la integral de superficie,

la parte scattereada de la presion puede expresarse con bastante aproximacion como

aquella debido a la presencia de la esfera libre, una onda esferica viajando en la

direccion +r, despreciando el scattering en las paredes de la onda esferica, y por lo

tanto tambien el scattering multiple.

El resultado de este calculo a orden (klR)2 es:

δk

k=

Vs

V

[−

(1

4+

67

360(klR)2

)+

(5

4− 229

360(klR)2

)cos(2klX0)

](2.8)

donde Vs es el volumen de la esfera y X0 es su posicion. En la figura 2.4 podemos ver

que este calculo explica cualitativamente las curvas de resonancia, pero subestima

la amplitud de los corrimientos. Es importante notar que en su experimento, Leung

et al no observaron diferencias en los corrimientos de las frecuencias al cambiar el

material de la esfera, como es de esperar debido al enorme contraste de impedancia

acustica entre un gas y un solido.

Para comparar con los modelos que se entregan mas adelante se cuatifico la

diferencia entre la teorıa y las mediciones por medio del parametro χ2 (cuadro 2.1):

χ2 =N∑

i=1

(fTeo − fRes)2

Nf 20

(2.9)


donde f0 = 1723,56 Hz es la frecuencia teorica fundamental de resonancia de la

cavidad y N = 90 es la cantidad de espectros realizados en el barrido de la fig. 2.3.

Modo χ2

1 0.0011

2 0.0028

3 0.0047

4 0.0037

5 0.0027

Cuadro 2.1: Valores del parametro χ2 para el modelo de Leung, en los cinco primeros

modos.

2.3. Segundo calculo: Corrimiento de las frecuen-

cias de resonancia debido al contraste de den-

sidad e impedancia acustica entre el medio y

una inclusion

Se realizo un calculo simple para explicar el corrimiento de las frecuencias de

resonancia, suponiendo que dentro de la cavidad cuasiunidimensional, de seccion

transversal S, llena con un fluido de densidad ρ0 e impedancia acustica z0 = ρ0c0

(aire), hay una region, centrada en la posicion X0 y de largo 2R, de densidad ρ1 e

impedancia acustica z1 = ρ1c1 (fig. 2.5).

Esta configuracion corresponde a una aproximacion muy simple del sistema, pues

a la esfera solida la consideramos como un segundo fluido, sin tomar en cuenta la

naturaleza tensorial de las ondas de sonido en solidos. Supondremos en cambio que


(a)

(b)


(c)

(d)

(e)

Figura 2.4: Calculo del corrimiento de las frecuencias de resonancia de Leung et al segun

ec. (2.8). Las barras de color representan la presion (Pa). La lınea solida muestra el maximo

de presion en cada modo. La lınea segmentada representa la teorıa de Leung et al. (a)

Primer Modo. (b) Segundo Modo. (c) Tercer Modo. (d) Cuarto Modo. (e) Quinto Modo.


L

X0

2R

Figura 2.5: Tubo con sector de diferente densidad e impedancia acustica.

en ambos medios se cumple la ecuacion del sonido (1.1), y por lo tanto:

p(x, t) = Aei(k0x−ωt) + Be−i(k0x+ωt) x < X0−R

p(x, t) = Cei(k1x−ωt) + De−i(k1x+ωt) X0−R < x < X0 + R

p(x, t) = Eei(k0x−ωt) + Fe−i(k0x+ωt) x > X0 + R (2.10)

donde k0,1 = ω/c0,1. Suponiendo continuidad en la presion y en la velocidad acustica,

y bordes rıgidos en los extremos, se encuentra facilmente una expresion para k0, que

corresponde a la condicion de resonancia de la cavidad:

tan(2k0R

α

)[ cos k0(X0 −R) cos k0(L−X0 −R)−

β2 sin k0(X0 −R) sin k0(L−X0 −R)] = −β sin k0(L− 2R) (2.11)

donde:

α =c1

c0

(2.12)

β =z1

z0

(2.13)

Es facil observar que si α = β = 1 se reobtiene la expresion para una cavidad

resonante de largo L, es decir sin kL = 0 ⇔ kL = nπ.

La dependencia en α es muy pequena, no ası la dependencia en β. Para los valores

reales de α y β (αss = 15,96 y βss = 6116,28 para acero inoxidable, αp = 7,73 y


βp = 5334,87 respectivamente para polipropileno) no se obtienen valores cercanos

de los corrimientos de k (fig. 2.6(a)), pero es posible ajustarlos para obtenerlos.

Se calcularon valores efectivos para α y β, considerando que en el volumen de la

cavidad V = 2SR que se encuentra entre X0 − R y X0 + R la fraccion de volumen

que ocupa la esfera es φ1 = Vesfera/V y la fraccion de volumen ocupada por el aire

es φ0 = Vaire/V = 1− φ1:

αeff =c1φ1 + c0φ0

c0

βeff =z1φ1 + z0φ0

z0

(2.14)

encontrandose los valores αeff = 10,35 y βeff = 2793,19 para acero inoxidable y

αeff = 4,07 y βeff = 2436,4 para polipropileno, lo cual no es suficiente para explicar

las curvas de corrimiento de las frecuencias de resonancia (fig. 2.6(b)).

(a) 0.2 0.4 0.6 0.8x�L

1

2

3

4

5

6

f � f0

(b) 0.2 0.4 0.6 0.8x�L

1

2

3

4

5

6

f � f0

Figura 2.6: (a) Curvas de resonancia para valores reales de α = 7,73 y β = 5334,87. (b)

Curvas de resonancia para valores efectivos de α y β: αeff = 4,07 y βeff = 2436,4. Las

curvas de resonancia no coinciden con las medidas en ninguno de los casos.

No solo los valores de las resonancias, sino que tampoco la forma de las curvas

de resonancia calculadas con los valores reales de α y β ni con sus valores efectivos

coinciden con las mediciones. Sin embargo, para valores mucho menores de β, las

curvas calzan de mejor manera. Se minimizo la diferencia entre la solucion de (2.11)


y la frecuencia de resonancia del primer modo:

χ2(β) =N∑

i=1

f 2TEO(β)− f 2

RES

Nf 20

(2.15)

22.345.6

5.8

6

6.2

6.4

6.6

6.8

7

7.2x 10

−4

β

χ2 (β)

Figura 2.7: Ajuste χ2 del parametro β para calculo de una cavidad con una zona de

diferente densidad e impedancia acustica, en el primer modo.

El mınimo esta dado por β∗ = 22,34 (fig. 2.7). Para este valor de β, las curvas

de resonancia teorica coinciden mejor para la partıcula lejos de los extremos de la

cavidad, sobre todo para los primeros tres modos (fig. 2.8). Para los modos siguientes,

el ajuste no es bueno, pero sı reproduce de mejor manera la forma de las curvas de

resonancia que (2.8).

Utilizando este valor de β∗ = 22,34, se cuantifico la diferencia entre la teorıa y

las mediciones por medio del parametro χ2(β∗) (cuadro 2.2).


(a)

(b)


(c)

(d)

(e)

Figura 2.8: Segundo calculo del corrimiento de las frecuencias de resonancias (2.11) con

α = 7,7 y β∗ = 22,34. La lınea solida muestra el maximo de presion en cada modo. La

lınea segmentada muestra las frecuencias calculadas con el segundo modelo. (a) Primer

Modo. (b) Segundo Modo. (c) Tercer Modo. (d) Cuarto Modo. (e) Quinto Modo.


Modo χ2

1 0.0006

2 0.0019

3 0.0051

4 0.0067

5 0.0124

Cuadro 2.2: Valores del parametro χ2 para el segundo calculo, en los cinco primeros

modos. Se utilizo el valor ajustado de β∗ = 22,34

2.4. Tercer calculo: Corrimiento de las frecuen-

cias de resonancia calculado mediante la ecuacion

del sonido en tubos de seccion variable

Supongamos que tenemos una onda de sonido que se propaga en el interior de un

tubo cualquiera. Si este tubo presenta cambios en su seccion transversal, la ecuacion

del sonido (1.1) debera ser modificada, como veremos a continuacion.

Sea S(x) la seccion trasversal del tubo. Entonces, la cantidad de masa por unidad

de largo que ingresa a un elemento de volumen de largo dx es ρ(x)ux(x)S(x) (fig. 2.9),

mientras la que sale del mismo elemento de volumen es ρ(x+dx)ux(x+dx)S(x+dx).

r(x)ux(x)S(x) r(x+dx)ux(x+dx)S(x+dx)dx

Figura 2.9: Conservacion de masa en tubos de seccion variable.


Por lo tanto la ecuacion de continuidad se escribe ahora:

S∂ρ

∂t+ ~∇(ρ~uS) = 0 (2.16)

La ecuacion de Euler, sin embargo no cambia:

ρ∂~u

∂t= −~∇p (2.17)

Para encontrar la ecuacion del sonido lineal en terminos acusticos, escribamos

ρ = ρ0 + ρ′, y linealizando (es decir escribiendo las ecuaciones a primer orden en los

terminos acusticos), obtenemos:

∂ρ

∂t+

ρ0

S~∇ · (~uS) = 0 (2.18)

ρ0∂~u

∂t= −~∇p (2.19)

Derivando (2.18) con respecto al tiempo, tomando la divergencia a (2.19) y jun-

tando ambas expresiones, se tiene:

∂2ρ

∂t2+

ρ0

S~∇S · ∂~u

∂t= ∇2p (2.20)

Utilizando el potencial de velocidades φ tal que ~u = ~∇φ y p = −ρ0∂φ/∂t, y la

relacion entre ρ y p; p = c2ρ′, podemos reescribir la ecuacion anterior para p, que

corresponde a la ecuacion del sonido en tubos [13]:

1

c2

∂2p

∂t2=

1

S~∇ · (S~∇p) (2.21)

En el caso de un tubo cuasiunidimensional, como es el presente caso, la ecuacion

se reescribe:

1

c2

∂2p

∂t2=

1

S

∂

∂x

(S

∂p

∂x

)(2.22)


Al aplicar esta ecuacion al caso nuestro, con una esfera rıgida centrada en la

posicion X0, de radio R (fig. 2.10), tenemos:

S =

S0 si x < X0 −R (Zona 1)

S0 − π(R2 − (x−X0)2) si X0 −R < x < X0 + R (Zona 2)

S0 si x > X0 + R (Zona 3)

(2.23)

Y por lo tanto, luego de escribir p(x, t) = p(x)e−iωt, es necesario resolver el

sistema de ecuaciones:

(Zonas 1 y 3) k2p +∂2p

∂x2= 0 (2.24)

(Zona 2) k2p+1

S0 − π(R2 − (x−X0)2)

∂

∂x

((S0−π(R2−(x−X0)

2)∂p

∂x)

)= 0(2.25)

Con las condiciones de borde:

p((X0 −R)−) = p((X0 −R)+) (2.26)

p((X0 + R)−) = p((X0 + R)+) (2.27)

Que corresponden a la continuidad de la presion acustica a ambos extremos de

la esfera.

La solucion en las Zonas 1 y 3 es conocida:

p(x) =

Aeikx + Be−ikx (Zona 1)

Eeikx + Fe−ikx (Zona 3)(2.28)

L

X0

R

Figura 2.10: Tubo de seccion variable por la presencia de una esfera fija y rıgida.


Para resolver (2.25), realizamos el cambio de variable z = (x−X0)/R, obteniendo

la ecuacion:

d2p

dz2+

2πz

S/R2 − π(1− z2)

dp

dz+ (kR)2p = 0 con − 1 < z < 1 (2.29)

El tercer termino de esta ecuacion lo despreciaremos, suponiendo que kR << 1.

En nuestro caso, esto es valido para los primeros modos (kR ≈ 0,1 para el primer

modo), pero ya para el quinto modo la validez de esta aproximacion es cuestionable.

Multiplicando por S0/R2 − π(1− z2):

d

dz

[( S

R2− π(1− z2)

)dp

dz

]= 0 (2.30)

⇒ dp

dz=

C

S/R2 − π(1− z2)(2.31)

La ecuacion (2.31) puede ser resuelta exactamente:

p(x) =C

π√

σ − 1arctan

( x−X0

R√

σ − 1

)+ D (2.32)

Al aplicar las condiciones de continuidad de la presion en x = X0−R y x = X0+R

y la condicion (2.31) en los mismos puntos, que corresponde a la continuidad de la

velocidad acustica, encontramos las constantes de integracion C y D. Al imponer

condiciones de borde rıgido en los extremos del tubo, se encuentra una condicion

para k, que corresponde a la condicion de resonancia:

2kRσ√σ − 1

arctan( 1√

σ − 1

)sin k(X0−R) sin k(L−X0−R) = sin k(L−2R)(2.33)

con σ = S0/πR2 = 1,46

Al igual que en los calculos anteriores, se cuantifico la diferencia entre la teorıa

y las mediciones por medio del parametro χ2 (tabla 2.3):

χ2 =N∑

i=1

(fTeo − fRes)2

Nf 20

(2.34)


(a)

(b)


(c)

(d)

(e)

Figura 2.11: Solucion de la ecuacion de resonancia para un tubo de seccion variable

ec.(2.33). La lınea solida muestra el maximo de presion para cada modo. La lınea seg-

mentada y punteada ( . ) muestra las frecuencias calculadas con el tercer modelo con

el L = 100 mm. La lınea segmentada ( ) muestra las frecuencias calculadas con la

longitud efectiva de la cavidad L = 101,2 mm. (a) Primer modo. (b) Segundo modo. (c)

Tercer modo. (d) Cuarto modo. (e) Quinto modo.


Modo χ2

1 0.0013

2 0.0041

3 0.0086

4 0.0129

5 0.0211

Cuadro 2.3: Valores del parametro χ2 para el tercer calculo, en los cinco primeros modos.

Podemos observar que las curvas de resonancia calculadas en esta seccion predi-

cen con bastante exactitud tanto los valores como las formas de las curvas medidas,

pero se encuentran por sobre las curvas de resonancia. Si consideramos el largo

efectivo de la cavidad encontrado en la seccion 2.1 y usamos ese valor en (2.33):

2kRσ√

σ − 1arctan

( 1√σ − 1

)sin k(X0 −R) sin k(Leff −X0 −R)

= sin k(Leff − 2R) (2.35)

obtenemos un mejor ajuste. En la figura 2.11 se observan las curvas de resonancia y

las curvas calculadas con (2.35), normalizadas con Leff = 0,1012 m. El cuadro 2.4

muestra el valor de χ2 para este calculo.

En el cuadro 2.5 podemos ver como son los ajustes de los diferentes modelos. Se

observa que el segundo y el tercer modelo se alejan progresivamente de los valores

medidos.

Tanto el primero como el tercer modelo explican cualitativamente bien los co-

rrimientos de las resonancias sin necesidad de un parametro ajustable. Ambos con-

sideran la rigidez de la inclusion como infinita con respecto al medio. Es por lo

tanto un efecto de volumen excluido el que provoca este comportamiento, y no un

contraste de impedancia acustica o densidad.


Modo χ2

1 0.0005

2 0.0014

3 0.0034

4 0.0042

5 0.0075

Cuadro 2.4: Valores del parametro χ2 para el tercer calculo, en los cinco primeros modos,

rectificando la longitud del tubo con la longitud efectiva Leff = 0,1012 m.

El modelo de Leung, si bien predice con exactitud las magnitudes y signo de los

corrimientos en funcion de la posicion de la inclusion, no explica la diferencia entre la

forma de las curvas de resonancia y un corrimiento sinusoidal en la posicion, debido

que supone que la partıcula es pequena y que se encuentra lejos de las paredes de la

cavidad, lo cual no se cumple en nuestro caso. En cambio, el tercer modelo sı explica

bien la forma de las curvas de resonancia, pues sı considera el tamano de la esfera,

comparable con respecto a las dimensiones transversales de la cavidad y su cercanıa

a las paredes de la cavidad.

Ambos modelos utilizan la hipotesis kR << 1, lo que no necesariamente se

cumple en nuestro experimento. De hecho, como ya se menciono, para el primer

modo kR ≈ 0,1, pero para el quinto modo ya tenemos kR ∼ 0,5.


Modo χ21 χ2

2 χ23

1 0.0012 0.0006 0.0005

2 0.0031 0.0019 0.0014

3 0.0047 0.0051 0.0034

4 0.0044 0.0067 0.0042

5 0.0034 0.0124 0.0075

Cuadro 2.5: Valores del parametro χ2 para el primer (χ21), segundo (χ2

2) y tercer (χ23)

calculo, en los cinco primeros modos.

Capıtulo 3

Autoadaptacion de una partıcula

libre de moverse en la cavidad

acustica

3.1. Introduccion

Para estudiar los efectos de la fuerza de radiacion acustica se dejo a la partıcula

dentro de la cavidad libre de moverse. El montaje utilizado, que veremos con mas

detalle en la Seccion 3.5 fue el mismo que en el Capıtulo 2, es decir, el tubo cuadrado

se sujeta a un vibrador, que hace mover oscilatoriamente el tubo completo, excitando

de esta manera una onda acustica. En presencia de la onda acustica de frecuencia

cercana a la resonancia, la esfera, esta vez mas liviana que en el Capıtulo 2, y

libre de moverse, se desplaza hacia una posicion de equilibrio que depende de la

frecuencia de la onda acustica. A continuacion se explica el procedimiento utilizado,

las dificultades encontradas y los resultados obtenidos.

52

CAPITULO 3. AUTOADAPTACION DE UNA PARTICULA 53

3.2. Esfera plastica en aire

Recordemos la fuerza de radiacion de Gor’kov ejercida sobre una esfera en pre-

sencia de una onda estacionaria unidimensional (1.41) en un fluido:

Fx = πP 2

0

ρc2R2(kR) sin(2kx)(f1 − f2) (3.1)

con:

f1 =ρ0 + 2/3(ρ0 − ρ)

2ρ0 + ρ(3.2)

f2 =c2ρ

3c20ρ0

(3.3)

donde ρ0, c0 representan la densidad y velocidad del sonido en la partıcula, y ρ, c

las del fluido.

Material ρ (kg/m3) cL (m/s) f1 f2

Aire (TC = 20 C) 1,293 343,43 1/3 1/3

Agua (TC = 20 C) 1000 1480 0,8324 2,3 · 10−5

Polipropileno 890 2660 0,8322 8 · 10−6

Acrılico Plexiglass 1190 2750 0,8325 5,6 · 10−6

Acero Inoxidable 7890 5790 0,8332 1,9 · 10−7

Aluminio 2700 6420 0,8330 4,6 · 10−7

Vidrio 220 5900 0,8329 6,6 · 10−7

Cuadro 3.1: Algunas propiedades de distintos materiales. ρ es la densidad. cL es la ve-

locidad del sonido en fluidos o velocidad del sonido transversal en el caso de los solidos.

f1 y f2 estan definidos en (3.2) y (3.3), considerando el fluido como aire.

En el cuadro 3.1 vemos los valores de f1 y f2 para algunos materiales, suponiendo

que el fluido es aire. Podemos ver que, para cualquier solido, o lıquido, debido a que

ρ0 >> ρ y β0 << β, se tiene f1 ≈ 5/6 = 0,8333 mientras que f2 ≈ 0.


Utilizando f1 − f2 = 5/6, para R = 3,175 mm, una presion del orden de 10 Pa

y una frecuencia f ∼ 1000 Hz, se obtiene que la fuerza de radiacion de Gor’kov

(3.1) es del orden de 10−9 N. Este valor es varios ordenes de magnitud menor que la

fuerza de roce esperada. Dado que observamos movimientos de una esfera plastica

en presencia de una onda bajo las condiciones recien mencionadas, podemos decir

que la fuerza de radiacion es mayor que la estimada en (3.1), pero no mucho mayor

que la fuerza de roce, como veremos a continuacion. La fuerza de Gor’kov es valida

para una partıcula en presencia de una onda estacionaria dentro de una cavidad,

pero lejos de las paredes de la cavidad, lo cual no se cumple aca.

Recordemos que la cavidad completa se hace vibrar y por lo tanto las paredes

estan en movimiento, oscilando con una pequena amplitud (< 1 µm). El hecho de

que las paredes de la cavidad se mueven bajo la esfera puede contribuir a vencer el

roce estatico entre las paredes y la partıcula. Sin embargo, la fuerza de roce dinamico

puede dar una estimacion de la cota inferior para fuerza de radiacion sobre la esfera.

Se midio el coeficiente de friccion dinamico entre las esferas de poliamida y una

superficie de acrılico, identico al de las paredes del tubo, con el montaje que se

muestra en la fig. 3.1. El resultado, µd = 0,508± 0,002, demuestra que la fuerza de

friccion es cercana a 7 · 10−4 N, varios ordenes de magnitud mayor a la fuerza de

radiacion predicha por (1.41).

Por otro lado si el montaje (fig. 2.1) se gira en 90o, dejando las paredes de

duraluminio perpendiculares a ~g, de manera que la esfera se mueva sobre una de las

paredes de duraluminio en lugar de una de las paredes de acrılico, los movimientos

no se observan. El coeficiente de friccion dinamico entre la esfera de poliamida y las

paredes de duraluminio no se midio, pero se espera que sea mayor que el coeficiente

de friccion entre la esfera y las paredes de acrılico. En la literatura [18] encontramos

el coeficiente de roce estatico y dinamico entre vidrio y metal, µe = 0,78 y µd = 0,56.


1

2

3

4

g

5

Figura 3.1: Montaje utilizado para la medicion del coeficiente de friccion dinamico entre

las esferas de polipropileno y una superficie pulida de duraluminio. 1: Bloque masa M =

229,27 g. 2: Esferas de polipropileno. 3: Polea. 4: Bloque masa m = 0,1607 g. 5: Fotopuerta.

Estimando como mınimo un coeficiente de friccion de µ = 0,7 entre la esfera y las

paredes de duraluminio, podemos estimar una fuerza de radiacion de entre 10−4

y 10−3 N. El rango nos dice que en general la fuerza de radiacion es cercana a la

friccion, siendo apenas mayor al roce con el acrılico.

Por lo tanto, para minimizar en lo posible la fuerza de roce, se opto por el material

mas liviano, ya que la eleccion no afecta a la fuerza de radiacion y, como se vio en el

Capıtulo 2, los modos acusticos al interior de la cavidad se ven igualmente afectados,

sin importar el material, sino solo el tamano y la posicion de la inclusion solida.

Para estudiar el problema de la autoadaptacion se utilizo una esfera de poliamida,

de masa 0,15 g, y diametro 6,35 mm, es decir, del mismo tamano que la partıcula

usada para estudiar los corrimientos de las frecuencias de resonancia en el Capıtulo

2. La impedancia acustica de la poliamida es similar a la del polipropileno, pero es

algo mas densa que este (ρ0 = 1140 kg/m3).


3.3. Estudio de la fuerza de radiacion acustica en

agua y las dificultades encontradas.

Se intento estudiar el efecto de la fuerza de radiacion sobre la esfera en la cavidad

llena de agua. Sin embargo, debido al factor 1/ρc2 en (3.1), la magnitud de la fuerza

de radiacion sobre una partıcula es mucho menor para una misma presion acustica

P0 si el medio externo es agua en lugar de aire, pues la densidad del agua es 1000

veces mayor que la del aire y la velocidad del sonido es cerca de cuatro veces la

velocidad del sonido en aire, de manera que ρaguac2agua ∼ 104ρairec

2aire. Es por ello

que la fuerza de radiacion en agua no logra producir movimientos sobre la esfera, a

pesar de que, excitando la onda acustica en agua con un piezoelectrico ceramico es

posible obtener presiones acusticas bastante grandes, de hasta 5 kPa, gracias al buen

acoplamiento de impedancia acustica entre el piezoelectrico y el agua, que hace que

la inyeccion de energıa sea eficiente.

La dificultad que se encontro al buscar presiones mayores, lo suficientemente

grandes como para mover a la esfera, fue la formacion de microburbujas por ca-

vitacion. Estas producen un efecto importante en la presion acustica, pues debido

a la gran compresibilidad del aire con respecto al agua, el scattering provocado por

la presencia de estas burbujas modifica el modo acustico. Ademas, la presencia de

estan burbujas aumenta la absorcion, debido a la interfaz agua-aire.

Para evitar la formacion de burbujas se intento un sistema de desgasamien-

to de agua que consiste en hervir el agua por 15 minutos y posteriormente cerrar

hermeticamente el contenedor hasta que el agua se enfrıe completamente. Los resul-

tados fueron mejores, pues se logro caracterizar la cavidad acustica vacıa, pero con

el tiempo las burbujas aparecen igualmente, lo que impide tener un sistema bien

controlado durante el tiempo requerido para caracterizar la fuerza de radiacion.


El montaje en agua difiere del explicado anteriormente en el Capıtulo 2 (fig.

3.2). Para excitar la onda acustica se utilizo un piezoelectrico ceramico, acoplado

a un extremo de un tubo de acrılico de seccion circular mediante una pieza de

acero inoxidable. En el otro extremo del tubo se ubica un sensor de presion (PCB

Piezotronics modelo 113M226), capaz de medir hasta casi 700 kPa. El piezoelectrico

se conecta, mediante un amplificador de potencia, a un Lock-in Amplifier (SRS

modelo SR830), pues entonces no disponıamos del analizador de espectro. El Lock-

in Amplifier se emplea como generador de senales, y al mismo tiempo permite medir

la presion acustica. Se automatizo un barrido en frecuencia, mediante Labview, para

medir la respuesta en frecuencia de la presion al interior de la cavidad. Este proceso

tarda mucho bastante tiempo (varias horas), mucho mas que un barrido con el

analizador de espectro, que solo toma algunos segundos.

1

2

3

4

5

Figura 3.2: Montaje en agua. 1: Ceramica piezoelectrica. 2: Pieza de acoplamiento. 3:

Tubo acrılico de seccion circular. 4: Sensor de presion. 5: o’ring (Para sellar la cavidad).

En este sistema se realizaron espectros de presion en funcion de la frecuencia. Las

resonancias se diferencian claramente cuando el agua esta desgasada y sin burbujas

(fig. 3.3(a)), pero despues de un tiempo, a pesar de estar desgasada el agua, las bur-

bujas aparecen, y los modos ya no estan bien definidos (fig. 3.3(b)). Suponiendo que

la concentracion de gas dentro del agua fuera completamente nula, estas burbujas

igualmente aparecen pues el tubo no queda hermeticamente cerrado.


(a)0 1 2 3 4 5 6 7

x 104

0

500

1000

1500

Frecuencia (Hz)

Pre

sion

(P

a)

(b)0 1 2 3 4 5 6 7

x 104

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

Frecuencia (Hz)

Pre

sion

(P

a)

Figura 3.3: Espectros de presion acustica realizados en agua. El primer espectro (a)

esta realizado con el agua desgasada recientemente. Se observan varios peaks de resonancia

entre 2 y 5 kHz. La presion es del orden de 1500 Pa. El segundo espectro (b) se realizo des-

pues de transcurrido cierto tiempo. Las resonancias no estan claramente definidas. Esto

se debe a la aparicion de burbujas en el agua.


Las burbujas aparecen en un corto lapso de tiempo. Si se realiza un barrido e

inmediatamente se realiza otro, el resultado varıa, mostrando que en un lapso de

algunas horas las condiciones del sistema no son controlables. Durante los tiempos

requeridos para realizar los experimentos, tanto para la caracterizacion de la cavidad

como para el estudio del efecto de la fuerza de radiacion sobre la esfera, la aparicion

de burbujas provocan que las caracterısticas del sistema cambien, impidiendo la

reproducibilidad del experimento.

Finalmente, estas limitaciones obligaron a trabajar en aire. Sin embargo, un

sistema eficiente de control sobre la formacion de burbujas, como por ejemplo un

buen sistema de desgasamiento de agua, con una bomba de vacıo, y un sistema

hermetico o sumergido, es deseable, ya que la casi despreciable inercia de las burbujas

hace de ellas un buen candidato para estudiar la fuerza de radiacion acustica, y sus

cualidades de scattereador permitirıan estudiar interacciones entre ellas, mediadas

por una fuerza de radiacion acustica inducida por la onda scattereada.

3.4. Estudio del modo fundamental

Experimentalmente, a pesar de la friccion entre las paredes de la cavidad y

la esfera de poliamida, se observa que, en aire, la esfera se desplaza en presencia

de una onda acustica dentro de la cavidad. Resulta importante notar que para la

aceleracion entregada por el vibrador a la cavidad Γ ≈ 2 g, la amplitud de vibracion

es A = Γ/ω2 ∼ 0,1 µm. Ademas, se observa experimentalmente que los movimientos

de la esfera solo ocurren cuando la frecuencia de la onda acustica es cercana a la

frecuencia de resonancia de la onda acustica, lo cual confirma que movimientos de

la partıcula no son atribuıbles a vibraciones de las paredes de la cavidad, sino que

a un efecto acustico.

El movimiento de la partıcula ocurre facilmente a frecuencias bajas, dentro del


primer modo, pero a frecuencias mayores el roce parece tener una importancia pre-

dominante, y los movimientos son mas raros y menos reproducibles. A continuacion

veremos que la razon puede estar en las caracterısticas del montaje experimental.

Debido a las caracterısticas del vibrador, no es posible mantener una presion

constante al aumentar la frecuencia, sino que es la aceleracion Γ la que se mantiene

aproximadamente independiente de la frecuencia al mantener un voltaje constante

sobre el vibrador.

0 0.005 0.01 0.0150

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

Γ/ω (m/s)

P0/ρ

c (

m/s

)

Figura 3.4: Medicion de la presion acustica en la resonancia (f = fMED0 ) en funcion de

la velocidad de vibracion de la cavidad.

La presion acustica es proporcional a la velocidad con que oscila la cavidad, y por

lo tanto es proporcional a la velocidad acustica (1.18). Utilizando el mismo montaje

del Capıtulo 2 se comprobo lo anterior, midiendo con el sensor de presion la presion


acustica en la cavidad en funcion de la aceleracion, que se medıa simultaneamente

con el acelerometro. Se utilizo un forzamiento a la frecuencia de resonancia de la

cavidad, f = fMED0 , aumentando gradualmente la aceleracion al sistema. La fig. 3.4

muestra que se tiene

P0

ρc∝ Γ

ω∝ Aω (3.4)

con A la amplitud de oscilacion. De acuerdo a (1.41) se obtiene

F ∝ Γ2

ω(3.5)

Esto podrıa explicar que solo se observan movimientos de la partıcula para fre-

cuencias en la region del primer modo de la cavidad, y difıcilmente para los modos

siguientes. A frecuencias mayores la fuerza de roce dominarıa por completo y los

efectos de la fuerza de radiacion no son observables.

Por ende, se estudio la autoadapacion para frecuencias entre 1550 y 1750 Hz, es

decir dentro del primer modo acustico.

3.5. Procedimiento

El montaje experimental fue el mismo usado en el Capıtulo 2 (fig. 2.1). Se mantu-

vo una aceleracion Γ ∼= 2 g, aproximadamente constante, en el vibrador, generandose

presiones acusticas maximas de entre 10-20 Pa (en la resonancia).

El proceso de medicion, automatizado y controlado con Labview desde un com-

putador, mediante una tarjeta GPIB, es el siguiente: con el vibrador conectado al

analizador de espectro a traves de un amplificador de potencia, se excita una on-

da acustica dentro de la cavidad. La frecuencia f y el voltaje sobre el vibrador se

mantienen constantes durante un intervalo de tiempo T0 de algunos minutos. En


este lapso de tiempo se registra a intervalos regulares la presion acustica y la ace-

leracion de la cavidad utilizando los sensores respectivos conectados al analizador

de espectro. Al comienzo del procedimiento se obtiene una imagen de la cavidad con

una camara CCD (Samsung modelo SCD-313) para registrar la posicion inicial Xi

de la esfera. Al termino del tiempo de espera se obtiene otra imagen de la cavidad

para registrar la posicion final Xf de la partıcula. Este proceso se repite para fre-

cuencias entre 1550 y 1750 Hz, con un paso de 10 Hz. Antes de cambiar la frecuencia

se mantiene el sistema en reposo por algunos minutos (T1) para enfriar el vibrador,

pues el calentamiento provoca que la aceleracion disminuya en un pequeno porcenta-

je (∼ 3 % durante T0) (fig. 3.5(a)). Las imagenes son analizadas posteriomente con

ImageJ para medir Xi y Xf .

En presencia de una onda de sonido de frecuencia fija f , en una escala de tiempo

τ1 de varios segundos, mucho mayor a la escala de tiempo τ = 1/f ∼ 1 ms de

la excitacion acustica, (fig. 3.5(b)), la esfera se mueve desde una posicion inicial

arbitaria Xi hasta una posicion de equilibrio Xf . Se comprueba que la posicion Xf

alcanzada al termino del lapso de tiempo T0 es en realidad una posicion de equilibrio

mediante la medicion de la presion y ademas con la toma de mas imagenes antes

de finalizado T0. La posicion final Xf coincide con la de las ultimas imagenes, y la

presion acustica, que se ve afectada por la posicion de la partıcula, llega a un estado

estacionario (fig. 3.5(a)), donde solo se observa una pequena disminucion debido al

calentamiento del vibrador: El tiempo esperado T0 es suficiente para que la esfera

llegue a su posicion de equilibrio.

En la fig. 3.5 se muestra la evolucion temporal de la posicion de la esfera, la pre-

sion acustica y la aceleracion. Se observa que el movimiento de la esfera debido a la

fuerza ejercida por la onda acustica de frecuencia f esta totalmente sobreamortigua-

do por la fuerza de roce: no existen oscilaciones en torno a la posicion de equilibrio.


0 5 10 15

x 104

10

20

30

Pre

sion

(P

a)

0 5 10 15

x 104

3.5

3.55

3.6

Ace

lera

cion

(g)

t/τ

0 5 10 15

x 104

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t/τ

x/L

Figura 3.5: Evolucion temporal de la posicion de la esfera (abajo), de la presion acustica

(arriba, *) y de la aceleracion (arriba, H) del vibrador a frecuencia f = 1550 Hz. τ = 1/f

es el perıodo de la excitacion acustica.

En una primera fase (fig. 3.5) del movimiento, la presion acustica aumenta mientras

la esfera se desplaza hacia la posicion que hace de f una frecuencia resonante, que

llamaremos posicion de resonancia Xr(f), pero la esfera no se detiene en esa posi-

cion. En una segunda fase, la esfera se mueve hacia su posicion de equilibrio, que

no es la posicion de resonancia. En una tercera fase, la esfera ya no se mueve, pero

la presion disminuye. Esto se debe a la disminucion de la aceleracion que provee el

vibrador, pues como se menciono anteriormente, el sistema mecanico de vibracion

se calienta, aumentando su resistencia, y por lo tanto disminuyendo su respuesta.

Para asegurar que la posicion incial Xi para cada frecuencia de la esfera sea


aleatorio, entre una frecuencia y otra se hace oscilar la cavidad con una amplitud

cercana a 1 mm, a una frecuencia pequena (10 Hz), lograndose que la esfera cambie

de posicion en torno a una vecindad de la posicion en que se encontraba (fig. 3.6).

Dado que las posiciones de equilibrio, como veremos en seguida, se encuentran ex-

clusivamente en la region x > L/2, las posiciones inciales estan repartidas en esta

region, pero se observo que, para cualquier frecuencia entre 1550 y 1750 Hz, ubi-

cando a la esfera en la region x < L/2, es decir en la otra mitad de la cavidad, se

obtiene la misma posicion de equilibrio.

En la fig. 3.7 se observan las posiciones de equilibrio 〈Xf (f)〉 de la esfera de

poliamida, superpuestas al grafico de resonancias de la cavidad obtenido con la

esfera magnetica. Los puntos corresponden a un promedio de diez realizaciones, y

las barras de error corresponden a la desviacion estandar.

Se puede observar una tendencia a la autoadaptacion, sin embargo las posiciones

de equilibrio no coinciden exactamente a aquellas que hacen resonante al sistema,

como muestra ademas la fig. 3.5. Ademas, a pesar de que para cada frecuencia dentro

del primer modo existen dos posiciones de resonancia Xr(f), simetricas con respecto

al centro de la cavidad, solo existe una posicion de equilibrio para cada frecuencia

en este rango, cercana a una de estas posiciones de resonancia. La asimetrıa puede

deberse a las condiciones de borde, que son asimetricas, como se explico en la Seccion

2.1, o a la presencia de atenuacion.

Las grandes barras de error son explicadas por la gran importancia de la fuerza

de roce en relacion con la fuerza de radiacion, que hace difıcil la reproducibilidad. En

efecto, se comprobo que durante el desplazamiento la esfera no rueda sin resbalar.

Dado que las posiciones iniciales son aleatorias, la esfera en ocasiones puede estar

en posiciones donde la fuerza de radiacion difıcilmente logra mover a la partıcula.

Esto puede deberse a dos razones:


0.88 0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1 1.020

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

f/f0

x i/L

0 0.5 10

10

20

30

40

xi/L

Figura 3.6: Posiciones iniciales de la esfera. Las posiciones iniciales estan distribuidas en

la region x > L/2, pues la posicion inicial se encuentra en una vecindad de la posicion

final anterior. Para las primeras frecuencias, a pesar de que se impone una posicion en

x < L/2, la posicion de equilibrio igualmente es Xf > L/2. La lınea solida marca la curva

de resonancia en presencia de la esfera magnetica. Inserto: Histograma de las posiciones

iniciales xi/L.

Una posibilidad es que la posicion incial de esfera Xi esta muy lejos de la posicion

de resonancia, y por lo tanto la presion acustica P0 es baja. La esfera se encuentra

en una posicion donde la fuerza de radiacion es menor que la friccion y no logra

mover a la partıcula.

La segunda posibilidad es que la posicion inicial Xi se encuentra muy cerca de la

posicion de equilibrio de la fuerza de radiacion. En esta caso la fuerza de radiacion

tampoco logra vencer la friccion, o logra mover apenas a la esfera, pero por una


Figura 3.7: Posiciones de equilibrio de la esfera libre superpuestas a un grafico de reso-

nancia obtenido con una esfera magnetica. La escala de color corresponde a la presion, en

Pa. La lınea solida marca el maximo de la presion, es decir la frecuencia de resonancia,

para cada posicion. Los cırculos (◦) corresponden al promedio sobre diez realizaciones de

la posicion de equilibrio de una esfera de poliamida. Se observa una tendencia hacia la

autoadaptacion.

razon diferente: A pesar que la presion acustica es grande, la fuerza de radiacion es

pequena por encontrarse cerca del mınimo.

Para evitar que la primera situacion afecte las mediciones, las ocasiones en que

la posicion de equilibrio Xf es igual a la posicion inicial Xi y la presion es pequena

(menor de 10 Pa) no fueron consideradas en el promedio, pero manteniendo en

consideracion aquellas mediciones en que la esfera no se desplaza con respecto a su

posicion inicial, pero la presion es alta (mayor a 10 Pa).


0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1 1.020

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f/f0

N/N

t

Figura 3.8: Fraccion de mediciones consideradas sobre el numero total de mediciones

(N/Nt) para el promedio de la fig. 3.7. Se observa que en general no es necesario descartar

mas que algunas mediciones.

En la fig. 3.8 vemos que la cantidad de mediciones descartadas es pequena, y

esto es porque se logro un mecanismo relativamente eficiente para vencer el roce y

hacer reproducible el experimento.

3.6. Efectos observados a presiones mayores

Buscando obtener una fuerza de mayor magnitud se intento aumentar al maximo

la aceleracion del sistema utilizando un vibrador de mayor potencia (Bruel & Kjaer

modelo 4824), lograndose presiones del orden de 1 kPa. Sin embargo el compor-

tamiento a presiones mayores difiere completamente del mostrado aca. La esfera se


desplaza constantemente hasta el extremo de la cavidad cercano al vibrador, y no

se observa la tendencia a la autoadaptacion.

Incluso se observo cualitativamente que al aumentar la presion el modo acustico

se modifica drasticamente. Al introducir arena dentro de la cavidad vacıa y excitar

el primer modo resonante a 10 Pa, la arena se acumula en el centro de la cavidad,

como es de esperar, en el nodo de presion. Pero a 1 kPa la arena se acumula en los

extremos de la cavidad (fig. 3.9).

(a)

(b)

Figura 3.9: Visualizacion del primer modo acustico a diferentes presiones con arena. La

frecuencia de la onda acustica es f = 1720 Hz. La arena es de color blanco. En (a) la

presion acustica es cercana a los 10 Pa, y la arena se acumula en el centro de la cavidad.

En (b) la presion acustica es cercana a 1 kPa, y la arena se acumula en los extremos de la

cavidad.

Una de las hipotesis para explicar esto, es la aparicion de fenomenos nolineales

a presiones grandes, que sin embargo no afectan los modos acusticos, pues las reso-

nancias no se ven desplazadas a 1 kPa. Una posibilidad es la aparicion de flujos de

aire convectivos y estacionarios en el interior de la cavidad. Estos flujos estacionarios

han sido observados en otros experimentos de acustica, y en los tubos de Kundt [7],

[10], [23], [24], y se deben a la existencia de viscosidad.

La formacion de un flujo constante dentro de una cavidad cuasiunidimensio-

nal fue estudiado por Rayleigh [23], quien encontro la velocidad longitudinal u y

transversal v dentro de la cavidad causadas por estas corrientes:


u =P 2

0 sin 2kx

8ρ2c3

(e−βy(4 sin βy + 2 cos βy + e−βy) +

3

2− 9

2

(h/2− 1)2

(h/2)2

)(3.6)

v =2kP 2

0 cos 2kx

8βρ2c3

(e−βy(sin βy + 3 cos βy +

1

2e−βy) +

3

2β(h/2− y)

−3

2β

(h/2− y)3

(h/2)2

)(3.7)

donde β−1 =√

2ν/ω ∼ 10−4 m es el ancho de la capa lımite, con ν ≈ 1,5 · 10−5

m2/s, la viscosidad cinematica del aire; h = 6,8 mm es la dimension transversal de

la cavidad e y es la coordenada trasversal, medida desde el extremo inferior.

En la fig. 3.10 se presenta la corriente causada por una onda acustica para los

primeros tres modos. Se puede observar que en los nodos de velocidad acustica, la

corriente se dirige radialmente desde los bordes de la cavidad hacia en centro de la

cavidad, y en los nodos de presion acustica lo hace en sentido contrario. La corriente

longitudinal, es decir en el eje x, tiene un cambio de signo entre los bordes de la

cavidad y el centro. Existe una banda en torno a las paredes en que la corriente

se dirige desde los nodos de presion hacia los nodos de velocidad acustica. Por el

contrario, la corriente principal, en el centro de la cavidad, se dirige en sentido

opuesto, desde los nodos de velocidad a los nodos de presion acustica. Se puede

calcular el tamano de la corriente principal [23], obteniendose y∗ = h/2(1 −√3/3)

para una cavidad de seccion transversal cuadrada, y r = h/2√

2 para una de seccion

transversal circular.

La existencia de una corriente de esta naturaleza a presiones grandes explica

cualitativamente lo observado con la arena. En ausencia de corrientes, la arena, que

no perturba la onda estacionaria, simplemente se tiende a acumular en los equili-

brios estables de la fuerza de radiacion, que corresponden a los nodos de presion.

Al aparecer la corriente acustica, que tampoco es perturbada por la presencia de

la arena, los granos de arena son arrastrados hacia los nodos de velocidad por la


(a)0.2 0.4 0.6 0.8 1

x�L0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y�h

(b)0.2 0.4 0.6 0.8 1

x�L0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y�h

(c)0.2 0.4 0.6 0.8 1

x�L0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y�h

Figura 3.10: Corrientes acusticas convectivas dentro de una cavidad acustica ec. (3.6) y

(3.7) para la frecuencia fundamental (a), el segundo (b) y el tercer (c) modo acustico.


corriente exterior.

Si bien esto puede explicar los cambios observados en el comportamiento de la

arena, no esta claro cual es la accion sobre la esfera. La presencia de la esfera modifica

el modo acustico, y es esperable que tambien modifique la corriente acustica, por lo

tanto no es directa la aplicacion de (3.6) y (3.7) en este caso.

Obviando esta ultima observacion, calculemos la fuerza de arrastre sobre la esfera

en presencia de una corriente (3.6) y (3.7), considerando el valor de la corriente en

el centro de la cavidad (y = h/2 en (3.6)), y suponiendo que el flujo es laminar [13]:

FDRAG = 6πRηu ≈ 9

8

πRηP 20

ρ2c3sin 2kx (3.8)

que resulta proporcional al cuadrado de la presion, al igual que la fuerza de radiacion.

En esta expresion η ≈ 1,8 · 10−5 kg/ms es la viscosidad dinamica del aire. A una

presion de 10 Pa, la fuerza de arrastre (3.8) es del orden de 10−13 N, mucho menor

que la fuerza de radiacion acustica (fig. 3.11).

La expresion de la fuerza de arrastre (3.8) es valida para numeros de Reynolds

pequenos, Re << 1. En este caso podemos definir un numero de Reynolds acustico

Re = U0λ/ν, donde U0 es la amplitud de velocidad acustica y se relaciona con la

amplitud de presion acustica: P0 = ρcU0, ν es la viscosidad cinematica del aire y

λ ≈ 2L es la longitud de onda acustica. Entonces:

Re =2LP0

νρc(3.9)

Para una presion de 10 Pa, se tiene Re ≈ 300, por lo tanto es mas adecuado usar

la expresion de arrastre para Reynolds altos [13], [1]:

FTURB =C

2ρAU2 (3.10)

donde C es una constante que depende de Re, pero para valores de 1 << Re < 105

se mantiene cercana a la unidad. A es el area transversal de la esfera, A = πR2 y


20 50 100 200 500 1000P0

1.´ 10-14

1.´ 10-11

1.´ 10-8

0.00001

F HNL

Figura 3.11: Fuerza de radiacion de Gor’kov (3.1) (lınea delgada) y fuerza de arrastre

laminar (3.8) (lınea gruesa) en funcion de la presion. La fuerza de radiacion de Gor’kov es

siempre varios ordenes de magnitud mayor que la fuerza de arrastre. La fuerza de radiacion

obtenida en el laboratorio es mayor que la fuerza de Gor’kov.

U es el valor de la corriente lejos de la esfera (en el infinito). Utilizando el valor de

u(x, y = h/2) en (3.6), pues kR << 1, tenemos:

FTURB =9π

512

CR2

(ρc2)3P 4

0 sin2 2kx (3.11)

Vemos en la fig. 3.12 que a partir de una cierta presion la fuerza de arrastre

turbulento (3.11) domina sobre la fuerza de radiacion (3.1).

Es importante mantener en mente que esta es una estimacion muy gruesa, pues,

como ya se dijo, la corriente estacionaria dada por (3.6) y (3.7) se ve afectada por

la presencia de la esfera, y por lo tanto los valores de la fuerza de arrastre (3.11)

mostrada en la fig. 3.12 pueden ser totalmente diferentes, al igual como ocurre con la

fuerza de radiacion observada en el laboratorio, que es varios ordenes mayor que la

fuerza de Gor’kov (3.1). Si en realidad son los efectos de la corriente acustica lo que


20000 50000 100000. 200000. 500000. 1.´ 106P00.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

100F HNL

Figura 3.12: Fuerza de radiacion de Gor’kov (3.1) (lınea delgada) y fuerza de arrastre tur-

bulento (3.11) (lınea gruesa). Existe una presion a la cual la fuerza de arrastre turbulento

es mayor que la fuerza de radiacion.

se observa a presiones mayores, es esperable que la presion a la cual este fenomeno

domine por sobre la radiacion sea de 1 kPa aproximadamente, y no los 5 MPa que

se muestran en la fig. 3.12.

3.7. Expresiones de la fuerza de radiacion para

los diferentes modelos

A continuacion veremos como corresponden las posiciones de equilibrio obser-

vadas con las predicciones de la teorıa existente, y con los calculos realizados a

partir de los modelos explicados en las secciones 2.3 y 2.4.


200 500 1000 2000 5000 10000P0

1.´ 10-11

1.´ 10-10

1.´ 10-9

1.´ 10-8

1.´ 10-7

1.´ 10-6F HNL

Figura 3.13: Fuerza de arrastre laminar (3.8) (lınea delgada) y fuerza de arrastre turbu-

lento (3.11) (lınea gruesa).

3.7.1. Fuerza de Gor’kov

De acuerdo a la teorıa existente para la fuerza de radiacion acustica sobre una

esfera [9] explicada en la Seccion 1.3.1, existen tres posiciones de equilibrio para el

primer modo, pero solo una es estable. Debido a que la diferencia de densidades y

de compresibilidades entre el aire y la esfera, la fuerza (1.41) vale esencialmente:

Fz =5π

6

P 20

ρc2kR3 sin 2kx (3.12)

La posicion de equilibrio estable, X0, para la frecuencia fundamental de la cavi-

dad vacıa f0, se encuentra en su centro. Si excitamos una onda de frecuencia distinta

a la f0, la posicion de equilibrio estable se mantendra en el nodo de presion, es decir

X0 =π

2k=

c

4f(3.13)

La razon por la cual las posiciones de equilibrio se desplazan hacia un extremo

del tubo se debe probablemente, como ya se dijo, a la asimetrıa de las condiciones de


0.2 0.4 0.6 0.8 1x�L

-1.5´ 10-9

-1´ 10-9

-5´ 10-10

5´ 10-10

1´ 10-9

1.5´ 10-9

F HNL

Figura 3.14: Fuerza de radiacion de Gor’kov para la frecuencia fundamental de la cavidad

vacıa. Las posiciones de equilibrio x = 0 y x = L son inestables, y la posicion x = L/2 es

un equilibrio estable.

borde. Sin embargo, este modelo indica un corrimiento de las posiciones de equilibrio

en sentido contrario al medido (fig. 3.17).

3.7.2. Tubo con zona de diferentes caracterısticas acusticas

Considerando el calculo realizado para un tubo con una region de diferentes

caracterısticas acustica en la seccion 2.3, se calculo la fuerza de radiacion sobre la

zona de distinta densidad e impedancia acustica, integrando el tensor de densidad

de momentum Πij = pδij + vivj a segundo orden (1.37) sobre las caras que estan en

contacto con el fluido externo.

Recordemos de (2.10):

p(x, t) = Aei(k0x−ωt) + Be−i(k0x+ωt) x < X0−R

p(x, t) = Cei(k1x−ωt) + De−i(k1x+ωt) X0−R < x < X0 + R

p(x, t) = Eei(k0x−ωt) + Fe−i(k0x+ωt) x > X0 + R (3.14)


Al integrar Πij, obtenemos:

Fx =S

ρc2(|A|2 + |B|2 − |E|2 − |F|2) (3.15)

y por lo tanto la fuerza depende de las condiciones de borde en la cavidad. Las

constantes A, B, E, F dependen de la posicion de la inclusion X0.

Para imponer las condiciones de borde supongamos que la onda acustica se excita

haciendo vibrar la cavidad acustica como se vio en la seccion 1.2.2 con aceleracion

constante Γ. La forma de la fuerza obtenida de esta manera es antisimetrica con

respecto al centro de la cavidad y por lo tanto solo posee una posicion de equilibrio

en x = L/2, que es estable. Para frecuencias menores a las que corresponden al rango

del primer modo, la fuerza es de pequena magnitud (fig. 3.15(a)). Para frecuencias

en el rango del primer modo, la fuerza posee dos picos estrechos, que divergen al

suponer que la absorcion acustica es nula, que se desplazan hacia los extremos de

la cavidad a medida que la frecuencia aumenta (3.15(b), 3.15(c)). A frecuencias

mayores que las que corresponden al rango del primer modo, al fuerza nuevamente

es de pequena magnitud (fig. 3.15(d)).

3.7.3. Tubo de seccion variable

Al igual que en el caso anterior, podemos integrar Πij para el calculo realizado

en la seccion 2.4, donde habıamos encontrado que la presion es (2.28) y (2.32):

p(x, t) = Aei(kx−ωt) + Be−i(kx+ωt) x < X0 −R

p(x, t) =

(C

π√

σ − 1arctan

( x−X0

R√

σ − 1

)+ D

)e−iωt X0 −R < x < X0 + R

p(x, t) = Eei(kx−ωt) + Fe−i(kx+ωt) x > X0 + R (3.16)

Se obtiene para la fuerza:

Fx =2π

ρc2CD

(1 +

σ√σ − 1

arctan( 1√

σ − 1

))(3.17)


(a)

0.2 0.4 0.6 0.8 1X �L

-3´ 10-6

-2´ 10-6

-1´ 10-6

1´ 10-6

2´ 10-6

3´ 10-6F HNL 1500 Hz

(b)

0.2 0.4 0.6 0.8 1X �L

-0.002

-0.001

0.001

0.002

F HNL 1550 Hz

(c)

0.2 0.4 0.6 0.8 1X �L

-0.01

-0.005

0.005

0.01F HNL 1650 Hz

(d)

0.2 0.4 0.6 0.8 1X �L

-1.5´ 10-6

-1´ 10-6

-5´ 10-7

5´ 10-7

1´ 10-6

1.5´ 10-6

F HNL 1900 Hz

Figura 3.15: Fuerza de radiacion acustica calculada con el modelo de cavidad llena con

una zona de diferentes caracterısticas acusticas. (a)1500 Hz, (b) 1550 Hz, (c) 1650 Hz, (d)

1900 Hz. (a) y (d) corresponden a frecuencias fuera del rango del primer modo.

La dependencia en X0 se encuentra en los coeficientes C y D, que estan deter-

minados por las condiciones de continuidad de la presion y velocidad acustica, y por

las condiciones de borde en los extremos del tubo.

Nuevamente, suponiendo que la cavidad se fuerza a oscilar con aceleracion cons-

tante Γ, y considerando condiciones de borde rıgida en los extremos de la cavidad, se

calculo la fuerza sobre la partıcula, encontrandose que la posicion de equilibrio tiene

una forma similar a la del modelo anterior, pero no es simetrica con respecto al centro

de la cavidad (fig. 3.16). De manera similar a lo que ocurre con el modelo anterior,

a frecuencias fuera del rango del primer modo acustico, la magnitud de la fuerza

es pequena (fig. 3.16(a), 3.16(d)), mientras que dentro del rango de frecuencias del

primer modo acustico, la fuerza posee dos picos que divergen y se desplazan hacia


los extremos de la cavidad (fig. 3.16(b), 3.16(c)). En este caso, al igual que en el

caso de la fuerza de Gor’kov, el cero de la fuerza se desplaza levemente hacia un

extremo de la cavidad (fig. 3.17).

(a)

0.02 0.04 0.06 0.08x�L

-0.000015

-0.00001

-5´ 10-6

5´ 10-6

0.00001

0.000015

0.00002

F HNL 1500 Hz

(b)

0.02 0.04 0.06 0.08x�L

-0.01

-0.005

0.005

0.01F HNL 1650 Hz

(c)

0.02 0.04 0.06 0.08x�L

-0.01

-0.005

0.005

0.01F HNL 1750 Hz

(d)

0.02 0.04 0.06 0.08x�L

-0.00003

-0.00002

-0.00001

0.00001

0.00002

0.00003

0.00004

F HNL 1900 Hz

Figura 3.16: Fuerza de radiacion acustica calculada con el modelo de cavidad cuya seccion

transversal es variable. (a)1500 Hz, (b) 1650 Hz, (c) 1750 Hz, (d) 1900 Hz. (a) y (d)

corresponden a frecuencias fuera del rango del primer modo acustico.

Podemos ver que las mediciones no coinciden con las predicciones teoricas. En el

caso de la fuerza de Gor’kov, esto es esperable, pues, como se ha mencionado varias

veces, este modelo no considera la perturbacion que causa la presencia de la esfera

en el modo acustica. El segundo modelo, si bien considera la presencia de un objeto

de caracterısticas acusticas constrastantes con las del fluido, se vio en la Seccion

2.3 que no explica bien las mediciones pues requiere del ajuste de un parametro

lejano al valor real. El tercer modelo, si bien considera la presencia de la esfera y la

modificacion del modo acustico, no considera el scattering de la esfera.


0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1.02 1.04f � f0

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

x�L

Figura 3.17: Posiciones de equilibrio para los diferentes modelos: la lınea segmentada

corresponde al Modelo de Leung, la lınea punteada y segmentada corresponde al modelo

para tubo de seccion variable, y la lınea continua corresponde al modelo de tubo con

seccion de diferentes caracterısticas acusticas. Los puntos corresponden a las mediciones.

Capıtulo 4

Interacciones entre partıculas

debido a la fuerza de radiacion

acustica

Una pregunta natural que surge al estudiar la fuerza de radiacion acustica sobre

una esfera es la posible existencia de interacciones entre partıculas si introducimos

mas de una dentro de la cavidad acustica. En tal caso la onda acustica en los

alrededores de una esfera esta formada no solo por la onda incidente y la onda que

scatterea ella misma, sino tambien por la onda proveniente del scattering en el resto

de las partıculas. Este problema ha sido ya planteado para el caso de burbujas [20],

donde se conoce como Fuerza de Bjerknes Primaria a la fuerza de radiacion acustica

inducida en la burbuja por la onda incidente, y como Fuerza de Bjerknes Secundaria

a la fuerza de radiacion acustica en la burbuja provocada por el scattering de la onda

incidente en el resto de las burbujas que existen en el fluido.

En el caso de las burbujas, la fuerza de Bjerknes secundaria puede ser de gran

magnitud, comparable a la fuerza de Bjerknes primaria, pues, debido a la gran

80

CAPITULO 4. INTERACCIONES ACUSTICAS 81

compresibilidad de las burbujas, el scattering de sonido por las burbujas es grande,

incluso se pueden excitar resonancias nolineales de las oscilaciones radiales de las

burbujas [2], lo que hace el scattering muy intenso.

En cambio, en el caso de un objeto solido en un medio gaseoso infinito en

presencia de una onda estacionaria, el scattering es debil con respecto a la onda

acustica estacionaria. Recordemos que el scattering de una onda plana pinc(x, t) =

P0 cos kx sin ωt por una partıcula esferica libre de densidad ρ0 y compresibilidad

β0 = 1/ρ0c20, en una expansion multipolar, esta dado por (1.38) y (1.39) en sus dos

primeros ordenes:

psc(~r, t) = (psc1(~r) + psc2(~r)) sin ωt (4.1)

donde:

psc1(~r) = −P0R3(1− β0

β

)ω2 cos kx

3c2r

psc2(~r) = −P0R3( ρ0 − ρ

2ρ0 + ρ

)ω sin kx cos θ

cr2(4.2)

Debido a la gran compresibilidad de las burbujas de aire con respecto a un medio

lıquido, el scattering monopolar puede ser muy importante, pues se tiene β0 >> β.

No ocurre lo mismo para un scattereador solido en un medio gaseoso, donde se tiene

β0 << β. En efecto, si kR << 1, la onda scattereada por el objeto solido, es de

amplitud mucho menor que la onda estacionaria en la cavidad, incluso en la vecindad

del objeto. Tomando r ≈ R, y en la misma direccion de la onda incidente (x), se

tiene:

∣∣∣psc1

pinc

∣∣∣ ∼ (kR)2

3

(1− β0

β

)

∣∣∣psc2

pinc

∣∣∣ ∼ kR( ρ0 − ρ

2ρ0 + ρ

)(4.3)

Como β0 << β y ρ0 >> ρ en el caso de un scattereador solido en un medio

gaseoso, tendremos que en las vecindades del scattereador, donde la amplitud de


la onda scattereada es maxima, psc es kR veces menor que la onda incidente y de

acuerdo a esto las interacciones entre partıculas, mediadas por la fuerza de radiacion

acustica, estarıan totalmente encubiertas por la fuerza provocada por la onda inci-

dente. En tal caso, uno esperarıa observar que cada partıcula es independientemente

llevada por la fuerza de radiacion debido a la onda estacionaria (equivalente a la

Fuerza de Bjerknes Principal) hacia una posicion de equilibrio, llegando ambas a

una posicion cercana, y en caso de colisionar, esperarıamos que actuen como una

sola partıcula. En cambio, observamos que no siempre ambas partıculas se desplazan

hacia la misma posicion de equilibrio. Dependiendo de las posiciones iniciales de las

partıculas, en ocasiones estas se mueven hacia posiciones de equilibrio diferentes. La

existencia de varias posiciones de equilibrio no se observa en ausencia de la segunda

partıcula.

En otras ocasiones se observa que ambas esferas se mueven hacia la misma posi-

cion de equilibrio, pero el movimiento no es sobreamortiguado como veıamos en el

caso de una sola partıcula, sino que las partıculas oscilan en torno a la posicion de

equilibrio. Creemos que estas oscilaciones, mas bien ruidosas, se deben a que existe

una interaccion acustica entre las partıculas diferente a la que corresponde a esferas

duras.

La diferencia entre las observaciones y lo predicho por la teorıa de scattering libre

(4.2), se debe a que la hipotesis de que la esfera se encuentre en un espacio infinito,

no es valida en este caso. La esfera se encuentra cercana, e incluso en contacto,

con las paredes de la cavidad. La presencia de una esfera en la cavidad modifica de

manera mas complicada la onda acustica que lo que propone la teorıa de scattering

(4.2).


4.1. Interacciones entre dos partıculas

Para estudiar la existencia de interacciones entre las partıculas debido a la fuerza

de radiacion acustica, se comenzo por lo mas simple, que es introducir dos partıculas

en la cavidad (fig. 4.1).

12

3

4

Figura 4.1: Montaje cuasiunidimensional. 1: Vibrador. 2: Cavidad. 3: Microfono. 4: Ace-

lerometro. Se introducen dos partıculas en la cavidad.

Se introducen dos esferas identicas, de poliamida, de masa 0,15 g y diametro 6,35

mm (1/4”). Utilizando un vibrador (Bruel & Kjaer modelo Mini-Shaker 4810) conec-

tado mediante un amplificador de potencia al analizador de espectro (SRS modelo

SR780), se excita la onda acustica haciendo vibrar la cavidad con aceleracion Γ ≈ 4 g

aproximadamente constante (tal como se explico anteriormente, el calentamiento del

vibrador hace que, a voltaje constante, su resistencia aumente y por lo tanto que su

respuesta disminuya en un pequeno porcentaje).

Con la camara CCD (Samsung modelo SDC-313) se toma una serie de 4500

imagenes de la cavidad a una tasa de 29 imagenes por segundo. El analisis posterior

de las imagenes con ImageJ permite rastrear la trayectoria de cada partıcula, incluso

cuando estas se encuentran en contacto.

La medicion simultanea de la presion y aceleracion mientras se obtiene la secuen-

cia de imagenes resulto difıcil. Con el objetivo de tomar la mayor cantidad posible

de imagenes por segundo, se debio mantener en la memoria interna del analizador


de espectro los valores de la presion y de la aceleracion, medidas a una tasa de una

medicion por segundo, y luego traspasar estos datos, mediante Labview al computa-

dor. Como resultado se obtuvo la posicion de las esferas, al mismo tiempo que la

aceleracion de la cavidad y la presion acustica, pero con muchos mas datos para la

posicion de la esfera que para la presion y la aceleracion. Veremos mas adelante que

esto no impide lograr un buen seguimiento de la evolucion de estas cantidades.

Se excito la onda acustica a frecuencias entre 1350 y 1550 Hz, con un paso de

50 Hz, realizandose quince repeticiones para cada frecuencia. Se decidio utilizar

frecuencias menores que en el Capıtulo 3 debido a que sabemos que el corrimiento

de las frecuencias de resonancia es mayor mientras mayor es el volumen excluıdo

(ver Capıtulo 2, seccion 2.1), y por lo tanto, estando ambas partıculas con su centro

de masas en el centro de la cavidad, la frecuencia de resonancia fundamental es

menor que 1550 Hz, como era el caso con una unica esfera. En este caso no se

realizo un estudio sistematico de los modos, pero se realizo un barrido con dos

esferas magneticas unidas con su centro de masa en el centro de la cavidad (fig.

4.2), encontrandose que la frecuencia de resonancia es f0 = 1447 Hz. De acuerdo a

lo observado en el Capıtulo 2, donde la mınima frecuencia de resonancia del primer

modo se obtenıa con la esfera en el centro de la cavidad (fig. 2.3), se espera que esta

sea la mınima frecuencia del primer modo, y por lo tanto las frecuencias 1350 y 1400

Hz se encuentran fuera del modo fundamental. A pesar de ello la fuerza de radiacion

en estos casos no es pequena, como lo demuestra el hecho de que igualmente se

observan movimientos de las esferas.

Al poner dos esferas dentro de la cavidad, observamos que en general existe

un perıodo transiente en que cada partıcula se desplaza independientemente una

distancia considerable (fig. 4.3, 4.5). Al termino del perıodo transiente, viene un

perıodo estacionario, en que las partıculas quedan en posiciones estables alrededor


1000 1200 1447 1600 1800 20000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Frecuencia (Hz)

Pre

sion

(P

a)

Figura 4.2: Barrido en frecuencia de la cavidad con dos esferas magneticas unidas en el

centro en la cavidad. El maximo corresponde probablemente a la frecuencia mınima de

resonancia de la cavidad con dos partıculas.

de las cuales oscilan. El perıodo transiente tiene una duracion promedio de entre un

octavo y un cuarto de las secuencias de imagenes, es decir, cerca de 20–40 segundos,

pero su duracion es variable y depende de las condiciones iniciales. Es en este perıodo

donde la presion acustica muestra una mayor variacion, mientras que en perıodo

estacionario alcanza un valor relativamente estable, que solo cambia debido a la

disminucion de la aceleracion o por grandes variaciones de las posiciones de las

partıculas.

Utilizando las posiciones de cada partıcula, se calcula la distancia relativa r12 =


|x1 − x2| y la posicion del centro de masas R12 = (x1 + x2)/2 de las partıculas.

Se observa en las fig. 4.3 y 4.4 una realizacion particular a 1400 Hz. En este

caso ambas partıculas tienden a mantenerse en contacto, pero, a diferencia de lo

que un esperarıa si no hubiese interacciones, las partıculas no se mantienen siempre

en contacto, sino que la distancia relativa oscila ruidosamente entre r12 = 2R y

r12 ≈ 3,8R. En la fig. 4.7(a) se muestra un histograma de probabilidad para r12 en

esta realizacion. Se observa que el valor mas probable para r12 no es 2R, sino que

un poco mayor.

En las fig. 4.5 y 4.6 se muestra otra realizacion a la misma frecuencia, pero con

diferentes condiciones iniciales. En este caso las partıculas no se tocan en ningun

momento. Una de ellas se mantiene practicamente estatica, pero la otra partıcula

realiza una trayectoria con grandes oscilaciones. En la fig. 4.7(b) Vemos un histogra-

ma de r12 en esta realizacion. Se observa que el maximo es ancho en relacion con

la realizacion anterior, incluso parecen haber varios maximos de probabilidad. La

presion no alcanza un valor estacionario, sino que varıa entre 5 y 6,5 Pa debido a

las oscilaciones de una de las esferas. Se observa una gran correlacion entre la posi-

cion de una de las esferas y la presion acustica. Esto se debe a que la frecuencia

de excitacion, f = 1400 Hz es cercana a la mınima frecuencia de resonancia del

primer modo, f0 = 1447 Hz (fig. 4.2), pero como la posicion de la esfera modifica la

frecuencia de resonancia, al moverse modifica la frecuencia de resonancia, haciendo

que la frecuencia de la onda acustica este mas o menos cerce de la resonancia, y por

lo tanto aumentano o disminuyendo la presion acustica.

En el caso general, como vimos, pasado el perıodo transiente el sistema llega a

un perıodo estacionario, en que las esferas muestran diferentes comportamientos,

pero en general alcanzan una posicion de equilibrio alrededor de la cual realizan un

movimiento aleatorio de pequena o mediana amplitud. Este movimiento es dominado


20 40 60 80 100 120 140 1600

0.1

0.2

0.3

0.4

t (s)

x 1/L, x

2/L

20 40 60 80 100 120 140 1602

4

6

8

10

Pre

sion

(P

a)

50 100 150 2004.22

4.24

4.26

4.28

4.3

t (s)

Ace

lera

cion

(g)

Figura 4.3: Evolucion temporal de la posicion de las partıculas (lıneas continuas) dentro de

la cavidad y de la presion acustica (lınea punteada) en presencia de una onda de 1400 Hz. Se

observa la existencia de un perıodo transiente, en el cual las partıculas se mueven hacia una

posicion de equilibrio y la presion disminuye hasta un valor aproximadamente constante.

Inserto: La aceleracion diminuye levemente debido al calentamiento del vibrador.

20 40 60 80 100 120 1400

2

4

t (s)

r 12/R

20 40 60 80 100 120 1400

5

10

Pre

sion

(P

a)

Figura 4.4: Evolucion temporal de la distancia entre las dos partıculas (lınea continua) de

la fig. 4.3 y de la presion acustica (lınea punteada). A pesar de que las partıculas tienden

a mantenerse juntas (en este caso partıcular), existen variaciones sobre r12 = 2R. Inserto:

Imagen de la cavidad con la configuracion de las partıculas. La distancia entre sus centros

de masa es r12 = 3R.


20 40 60 80 100 120 140 1600

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t (s)

x 1/L, x

2/L

20 40 60 80 100 120 140 1602.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

Pre

sion

(P

a)

Figura 4.5: Evolucion temporal de la posicion de las partıculas (lıneas continua) y de la

presion acustica (lınea punteada). En esta realizacion una de las partıculas quedo en una

posicion muy estable, mientras la otra oscilo fuertemente, debido a lo cual la presion varıa

mucho.

20 40 60 80 100 120 14018

20

22

24

26

28

30

t (s)

r 12/R

20 40 60 80 100 120 1402

3

4

5

6

7

8

Pre

sion

(P

a)

Figura 4.6: Evolucion temporal de la distancia entre las dos partıculas (lınea continua) de

la fig. 4.5 y de la presion acustica (lınea punteada) en presencia de una onda de 1400 Hz.

En este caso las partıculas no tienden a mantenerse en contacto, sino a una gran distancia.

Inserto: Imagen de la cavidad con la configuracion de las partıculas. La distancia entre sus

centros de masa es r12 = 25R.


(a)1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

0.05

0.1

0.15

0.2

r12

/R

P(r

12)

(b)21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

0

0.02

0.04

0.06

r12

/R

Figura 4.7: Histogramas de probabilidad para r12 para las dos realizaciones a 1400 Hz

mostradas en fig. 4.4, 4.3 y en fig. 4.6, 4.5.

por variaciones de la fuerza de radiacion acustica sobre cada esfera, sin que podamos

encontrar en su espectro ninguna frecuencia dominante. En la fig. 4.8 se muestra,

en escala bilogarıtmica, el valor absoluto de los componentes de una FFT a r12 de

la realizacion mostrada en la fig. 4.4. Se observa que, salvo una zona constante a

bajas frecuencias, la amplitud de las componentes de Fourier decae con una ley de

potencia f−x, donde x = 2,88± 0,07 ≈ 3.

Descartando el perıodo transiente de cada secuencia de imagenes y considerando

las quince realizaciones para cada frecuencia, se realizaron histogramas de probabili-

dad para la distancia relativa r12 y para el centro de masas R12 para cada frecuencia,

encontrandose que existen valores de r12 y R12, que ocurren con mayor probabilidad.

Las fig. 4.9 y 4.10 muestran los histogramas de probabilidad para r12 y R12 a

1300 Hz. Para realizar los histogramas se consideraron las posiciones de las partıculas

durante el perıodo estacionario (cerca de 4000 puntos) de cada una de las 15 rea-

lizaciones a 1300 Hz. El primer maximo en la fig. 4.9 corresponde a ambas partıculas

en contacto r12 = 2R. El tercer maximo corresponde a las partıculas casi en los

extremos opuestos de la cavidad, es decir r12 = L − 2R ≈ 29,5R. En el caso del


10−3

10−2

10−1

100

101

102

10−8

10−6

10−4

10−2

100

102

104

Frecuencia (Hz)

Esp

ectr

o de

pot

enci

a de

r12

(t)

Figura 4.8: Amplitud de las componentes en frecuencia de r12(t) de la fig. 4.4. Las oscila-

ciones no tienen ninguna componente dominante en frecuencia. El espectro de potencia

tiene una zona plana hasta f ≈ 0,3 Hz (lınea punteada) y para frecuencias mayores a 0,3

Hz, el espectro decae siguiendo una ley en potencia f−2,88 (lınea solida)

maximo central, ambas partıculas quedan a una cierta distancia una de otra, con

r12 ≈ 16,5R.

En la fig. 4.10 se observa algo similar para el centro de masas de las partıculas

R12. El primer maximo corresponden a ambas partıculas en contacto con el centro de

masa ubicado en uno de los extremos de la cavidad R12 ≈ 2R = 0,0635L. El tercer

maximo, en R12 ≈ 0,5L, corresponde a ambas partıculas en extremos opuestos de la

cavidad, y el centro de masas en su centro. El maximo central corresponde al centro

de masas ubicado en una posicion intermedia. Vemos que existe una correspondencia

entre los maximos de r12 de la fig. 4.9 y los maximo de R12 de la fig. 4.10 al graficar


0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

r12

/R

P(r

12)

Figura 4.9: Histograma de probabilidad para la distancia relativa r12 considerando 4500

datos × 15 realizaciones a 1300 Hz. Se observan tres maximos: r12 ≈ 2R, r12 ≈ 16,5R

y r12 ≈ 29R. La lınea solida corresponde a un ajuste gaussiano de los maximos cuya

probabilidad es mayor a 0,1.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

R12

/L

P(R

12)

Figura 4.10: Histograma de probabilidad para la posicion del centro de masas R12 con-

siderando 15 realizaciones a 1300 Hz. Se observan tres maximos: R12 ≈ 0,06L, R12 ≈ 0,3L

y R12 ≈ 0,5L. La lınea solida corresponde a un ajuste gaussiano de los maximos cuya

probabilidad es mayor a 0,1.


0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

⟨ r12

⟩ /R

⟨ R12

⟩ /L

Figura 4.11: (o) Valores de equilibrio de 〈R12〉 en funcion de los valores de equilibrio

de 〈r12〉 para 1300 Hz. Se forman agrupamientos que muestran una correlacion entre la

posicion de equilibrio del centro de masas de las esferas y la distancia relativa entre ellas.

(+) Valores iniciales de R12 y r12. Se intento que las condiciones iniciales llenaran el espacio

de fases. El area encerrada por el triangulo representa los pares (r12, R12) realizables.

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

r12

/R

R12

/L

Figura 4.12: Trayectorias en el espacio de fases R12 vs r12 para los estados estacionarios

de las 15 realizaciones a 1300 Hz. Cada punto representa un valor de (r12, R12). Los puntos

forman nubes en las posiciones de equilibrio.


el valor promedio de 〈R12〉 versus el valor promedio de 〈r12〉 del perıodo estacionario

de cada realizacion (fig. 4.11), o al graficar todos los valores de R12 versus r12 de

los estados estacionarios de cada realizacion (fig. 4.12). Las nubes de puntos indican

que existe una correlacion entre la posicion donde se ubica el centro de masas de las

partıculas y la distancia a la que estas quedan. Esto quiere decir que existen regiones

de la cavidad en que las partıculas principalmente se tienden a juntar, formando una

especie de dipolo, con ambas esferas en contacto o muy cercanas, y regiones en que

la interaccion hace que las partıculas no llegan a juntarse y se mantengan a una

mayor distancia. En la misma fig. 4.11 se muestran ademas las condiciones iniciales.

Notemos que la region disponible del espacio de fases esta formado por el area

encerrada por un triangulo de vertices (R12, r12) = (2R, 2R), (L, 2R) y (L−2R,L/2),

pues si ambas partıculas se encuentran en contacto (r12 = 2R), el centro de masas

se puede ubicar en casi cualquier lugar de la cavidad (R12 = 2R . . . L − 2R), pero

si las esferas se encuentran en extremos opuestos de la cavidad (r12 = L − 2R), el

centro de masas solo puede encontrarse en el centro de la cavidad (R12 = L/2).

(a)−5 0 5 10 15 20 25 30 350

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

r12

/R

P(r

12)

(b)−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

R12

/L

P(R

12)

Figura 4.13: Histograma de probabilidad para la distancia relativa r12 (a) y para la

posicion del centro de masas (b) para 1500 Hz. En ambos se observa un unico maximo:

r12 ≈ 2R y Rr12 ≈ 0,7L.


Un caso especial resulto ser lo que ocurre a 1500 Hz. A esta frecuencia solo se

observa una configuracion final, en la cual ambas partıculas quedan en contacto y

su centro de masas se ubica en R12 ≈ 0,7L (fig. 4.13). Las trayectorias parecen ser

menos fluctuantes a esta frecuencia que a las demas frecuencias utilizadas. En la

fig. 4.14 vemos que bajo todas las condiciones iniciales utilizadas, ambas partıculas

se desplazan hacia la misma posicion, hasta quedar en contacto y con su centro de

masa en una region alrededor de R12 = 0,7R.

0 20 40 60 80 100 120 140 1600

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t (s)

x 1/L, x

2/L

0 20 40 60 80 100 120 140 1600

10

20

30

t (s)

r 12/R

Figura 4.14: Evolucion de R12 (arriba) y r12 (abajo) para las diferentes realizaciones a

1500 Hz. Se observa que para todas las condiciones iniciales r12 tiende a 2R y R12 a un

valor cercano a 0,7R.

Si una de las dos esferas llega antes que la otra a la posicion de equilibrio, se

detiene hasta que al llegar la segunda esfera la desplaza, quedando el centro de masas


en la posicion que inicialmente ocupaba la primera esfera (fig. 4.15(a)). Si ambas

esferas se juntan antes de llegar a tal posicion, en adelante se desplazan en conjunto

hacia la posicion de equilibrio. (fig. 4.15(b))

0 20 40 60 80 100 120 140 1600

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t (s)

x 1/L, x

2/L

(a)

0 20 40 60 80 100 120 140 1600

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t (s)

x 1/L, x

2/L

(b)

colisión

colisión

Figura 4.15: Trayectorias de las partıculas (x1(t) y x2(t)) para dos realizaciones particu-

lares a 1500 Hz. En (a) una de las partıculas llega a la posicion de equilibrio y se mantiene

ahı hasta que la segunda partıcula choca con ella. Despues de la colision ambas partıculas

se mueven juntas hasta que el centro de masa se ubica en la posicion que inicialmente

ocupaba la primera partıcula. En (b) ambas partıculas colisionan antes de llegar cerca de

la posicion de equilibrio. Despues de la colision ambas esferas se mueven juntas.

Para cada frecuencia se ajustaron curvas gaussianas a los histogramas de proba-

bilidad, considerando los maximos cuya probabilidad es mayor a 0,1. Debido a que la

cantidad de realizaciones es pequena, los histogramas no son suficientemente suaves


y los ajustes no son muy buenos. Esto se debe a que se tienen pocas configuraciones

iniciales diferentes, y algunas realizaciones, especialmente aquellas poco fluctuantes,

aportan un maximo muy estrecho y muy grande. En las fig. 4.16 y 4.17 se muestran

los resultados de estos ajustes para R12 y r12 en funcion de la frecuencia.

Las fig. 4.17 4.16 resumen las observaciones. A todas las frecuencias se observa,

bajo ciertas configuraciones iniciales, que las partıculas se mantienen a una distancia

r12 ≈ 2R, formando un par que oscila. La formacion de pares entre las partıculas es

estable para todas las frecuencias utilizadas. La posicion de equilibrio del centro de

masa de este par se ubica en diferentes posiciones, dependiendo de la frecuencia de

la onda acustica. Bajo diferentes condiciones iniciales, existen otras configuraciones

de equilibrio con las esferas separadas, en que la distancia entre las partıculas se

mantiene estable alrededor de un cierto valor. En general las partıculas no quedan

estaticas en una posicion, sino que oscilan en torno a sus posiciones de equilibrio.


1250 1300 1350 1400 1450 1500 1550 16000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Frecuencia (Hz)

R12

/R

Figura 4.16: Valores de maxima probabilidad para la posicion del centro de masas de dos

partıculas en funcion de la frecuencia.

1250 1300 1350 1400 1450 1500 1550 16000

5

10

15

20

25

30

Frecuencia (Hz)

r 12/R

Figura 4.17: Valores de maxima probabilidad para la distancia relativa entre dos partıculas

en funcion de la frecuencia.


4.2. Interacciones entre cuatro partıculas

El siguiente paso en el estudio de interacciones es agregar mas partıculas a la

cavidad. En experimentos exploratorios con una onda acustica de frecuencia 1350 Hz

con cuatro partıculas en el interior de la cavidad observamos la formacion de dipolos

que parecıan interactuar repulsivamente entre sı, como el caso que se muestra en la

fig. 4.18.

Figura 4.18: Formacion de dipolos al introducir cuatro partıculas en la cavidad. Se define

d como la distancia entre los centros de los dipolos, y r como la distancia promedio entre

las partıculas que forman los pares.

En las fig. 4.19, 4.20 vemos histogramas de probabilidad para la distancia media

entre las partıculas de los dipolos, r, y la distancia entre los centros de los dipolos,

d para una realizacion en que se introdujeron cuatro esferas identicas a la cavidad

y se observo la formacion de dos dipolos, separados entre sı, al excitar una onda

acustica de 1350 Hz. El histograma de probabilidad de r (fig. 4.19) muestra un

maximo en r = 2R, que indica que las partıculas se tienden a mantener en contacto,

o muy cercanas. Por otro lado, el histograma de probabilidad de d (fig. 4.20) tiene

un maximo en d > 4R, lo cual indica que los pares tienden a mantenerse separados.

Debido a estas observaciones se decidio realizar un estudio mas sistematico con

cuatro partıculas en la cavidad, en lugar de tres. El procedimiento es identico al

explicado para dos partıculas. Esta vez se introducen cuatro esferas de poliamida,

identicas, de diametro 6,35 mm y masa 0,15 g, en la cavidad de la fig. 4.1. Se excita

una onda acustica y se obtienen secuencias de 4500 imagenes de la cavidad a una

tasa de 29 imagenes por segundo, es decir secuencias de cerca de 2,5 minutos de


1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

r/R

P(r

)

Figura 4.19: Distancia media entre las partıculas que forman un dipolo. Se observa una

maximo en r = 2R. Se utilizo una frecuencia de 1350 Hz.

duracion. Analizando las imagenes con ImageJ se obtienen las trayectorias de las

partıculas. Simultaneamente, tal como se comento en la seccion 4.1, se puede medir

la presion acustica y la aceleracion del sistema a una tasa de una medicion por

segundo, obteniendose la evolucion temporal de estas cantidades.

Se excito la onda acustica a frecuencias de 1350, 1450 y 1550 Hz. Se tomaron 10

realizaciones a 1350 Hz, 10 realizaciones a 1450 Hz y 20 realizaciones a 1550 Hz. En

este caso las frecuencias se encuentran dentro del rango del primer modo, pues un

barrido con las cuatro esferas unidas y centradas en la cavidad (fig. 4.21) muestra

que la frecuencia de resonancia del modo fundamental es f0 = 1311 Hz.

Nuevamente observamos que las trayectorias poseen un perıodo transiente, en

que las partıculas realizan grandes desplazamientos, y posteriormente un perıodo


4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.40

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

d/R

P(d

)

Figura 4.20: Distancia entre los dipolos. Se observa un maximo a d ≈ 4,7R

estacionario, donde solo se observan variaciones, en ocasiones de gran amplitud, de

las posiciones de las partıculas, en torno a sus posiciones de equilibrio. Se observo que

en varios casos las partıculas no alcanzan a llegar a un estado estacionario durante

el tiempo que se daba a cada realizacion (2,5 minutos), tales realizaciones no se

utilizaron en los analisis. En la fig. 4.22 vemos las trayectorias de las partıculas en

una de estas realizaciones. En el perıodo estacionario las partıculas se organizan en

distintas configuraciones, dependiendo de las condiciones iniciales. En las fig. 4.23,

4.24, 4.25 vemos estos diferentes comportamientos. La formacion de dipolos (fig.

4.18) no resulto ser un comportamiento que se repita frecuentemente. Los graficos

corresponden a cinco realizaciones especıficas a diferentes frecuencias. Vemos ademas

el comportamiento de la presion acustica.

Dividimos las realizaciones de acuerdo a las configuraciones estacionarias en que


1000 1100 1311 1500 1700 1900 20000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Frecuencia (Hz)

Pre

sion

(P

a)

Figura 4.21: Barrido en frecuencia de la cavidad con cuatro esferas magneticas unidas en

el centro en la cavidad. El maximo corresponde probablemente a la frecuencia mınima de

resonancia de la cavidad con cuatro partıculas (ver seccion 2.1).

se ubican las partıculas, que son las que se muestran en las fig. 4.23, 4.24, 4.25:

1. Cuatro partıculas juntas (fig. 4.23(a)): Las cuatro partıculas se agrupan, en

contacto, o casi en contacto, unas con otras. Esta configuracion ocurre a las tres

frecuencias utilizadas. En general no se observa una mayor, o menor separacion

entre una y otra partıcula adyacente. La posicion del centro de masa es cercana

al centro de la cavidad en el caso de 1400 Hz, pero no lo es en el caso de 1350

Hz y 1550 Hz.

2. Dos pares (fig. 4.23(b)): En este caso, que solo se ha observado a 1350 Hz,

posiblemente por no tener un numero grande de realizaciones, las partıculas

forman dos pares, separados entre sı. En este caso se incluye la configuracion de


0 50 100 1500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x i/L

0 50 100 15020

25

30

35

40

45

t (s)

Pre

sion

(P

a)Figura 4.22: Realizacion particular a 1450 Hz en que las partıculas no alcanzan una con-

figuracion estacionaria. Las lıneas continuas representan las trayectorias de las partıculas.

Una de las partıculas aun se desplaza en una direccion al terminar la medicion. La lınea

punteada representa la presion acustica.

dipolos mostrada en el inicio de esta seccion (fig. 4.18). Las trayectorias de las

partıculas pueden tener muchas oscilaciones o ser muy planas. La separacion

entre las partıculas que forman los pares es aproximadamente 2R, mientras

que la separacion entre los pares puede llegar a ser varias veces el tamano de

los pares.

3. Trıo y una partıcula separada del resto (fig. 4.24(a) y (b)): Esta configuracion

se ha observado a las tres frecuencias utilizadas. En este caso tres partıculas


(a)

0 50 100 1500

0.5

1

t (s)

x i/L

0 50 100 15010

20

30

Pre

sión

(P

a)

(b)

0 50 100 1500

0.5

1

t (s)

x i/L

0 50 100 1500

20

40P

resi

ón (

Pa)

Figura 4.23: Lıneas continuas: Trayectorias realizadas por las partıculas. Inserto en cada

grafico se muestra una imagen de la cavidad con las configuraciones finales en las que se

ordenan las partıculas. La lınea punteada representa la presion acustica. (a) Realizacion

particular a 1450 Hz en que las cuatro partıculas se agrupan. (b) Realizacion particular a

1350 Hz en que se forman dos pares.


(a)

0 50 100 1500

0.5

1

t (s)

x i/L

0 50 100 1500

20

40

Pre

sión

(P

a)

(b)

0 50 100 1500

0.5

1

t (s)

x i/L

0 50 100 15010

20

30P

resi

ón (

Pa)

Figura 4.24: Lıneas continuas: Trayectorias realizadas por las partıculas. Inserto en cada

grafico se muestra una imagen de la cavidad con las configuraciones finales en las que

se ordenan las partıculas. La lınea punteada corresponde a la presion acustica. (a) y (b)

Realizaciones particulares a 1350 Hz y 1550 Hz respectivamente en que tres partıculas se

agrupan y la restante se mantiene alejada.


0 50 100 150

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.1

0.2

0.3

x i/L

0 50 100 150

16

17

18

19

20

21

22

t (s)

Pre

sión

(P

a)

Escalón

Figura 4.25: Lıneas continuas: Trayectorias realizadas por las partıculas. Inserto se mues-

tra una imagen de la cavidad con la configuracion final en que se ordenan las partıculas. La

presion acustica se muestra en la lınea punteada. Se muestra una realizacion particular a

1450 Hz en que dos partıculas se agrupan en un par central y las dos partıculas restantes se

ubican a ambos lados del par central. La trayectoria escalonada se discutira mas adelante.

tienden a estar casi en contacto, o cercanas y la tercera separada del trıo. La

distancia promedio de las partıculas del trıo es alrededor de 2R, mientras que

la distancia entre el centro de masas del trıo y la tercera partıcula puede tomar

valores entre 5R y 15R. Es comun que se ubiquen en posiciones diferentes, es

decir, se puede dar tanto la configuracion en que el trıo se ubica mas cercano al

vibrador (x = 0) (fig. 4.24(a)), y la partıcula excluıda mas alejada del vibrador,

o viceversa (fig. 4.24(b)). Se observa que en ocasiones las trayectorias de las

tres partıculas son muy ruidosas, mientras que la partıculas excluıda tiene

una posicion muy estable, y tambien se observa el caso contrario, en que la

partıcula sola tiene grandes fluctuaciones en torno a su posicion de equilibrio,

y el trıo se mantiene estatico.


4. Par central y dos partıculas aisladas (fig. 4.25): Ocurre en ocasiones que dos

partıculas se agrupan formando un par, y las otras dos partıculas se ubican a

cada lado del par central. En general la distancia entre el par y las partıculas

laterales no es muy grande, cercana a 6R, mientras que las partıculas que

forman el par se ubican en contacto o muy cercanas. Esta configuracion no se

observo a 1550 Hz.

Para comparar las diferentes configuraciones, definimos dos variables: por un

lado llamemos r a la distancia promedio entre las partıculas. Si las cuatro partıculas

se ubican en contacto unas con otras, se tiene el valor mınimo de r = 2R = 6,35

mm. En cambio, si las partıculas se separan al maximo en la cavidad, manteniendo

una misma separacion entre dos partıculas consecutivas, se tiene el valor maximo de

r = (L− 2R)/3 = 31,2 mm.

Por otro lado, llamemos RG a la posicion del centro de masas de las cuatro

partıculas. RG puede tomar cualquier valor entre RG = 4R = 12,7 mm y RG =

L − 4R = 87,3 mm, que son los valores de RG cuando todas las partıculas se

encuentran en contacto en uno u otro extremo de la cavidad.

Utilizando estas dos cantidades, graficamos RG en funcion de r, en un diagrama

de fases para cada frecuencia, considerando todas las realizaciones a cada frecuencia.

En las fig. 4.26–4.28 vemos las trayectorias en el espacio de fases RG vs r para las

diferentes frecuencias. Se excluyeron algunas de las realizaciones, pues no llegaron a

un estado estacionario. La configuracion de cuatro partıculas juntas ocupa una region

bien definida del espacio de fases, donde la distancia media final entre partıculas es

pequena, r < 3R y la posicion del centro de masas puede encontrarse en diferentes

sitios. Las trayectorias a 1350 Hz son menos oscilatorias que en los otros casos (fig.

4.26). Debido a que se tienen mas realizaciones a 1550 Hz, las trayectorias que

incluyen los perıodos transientes, llenan mas densamente el espacio de fases, pero


0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

RG

/L

r/R

Figura 4.26: Trayectorias en el diagrama de fases a 1350 Hz. Se excluyeron dos realiza-

ciones que no alcanzaron un estado estacionario. Las estrellas corresponden a los puntos

iniciales de las trayectorias. Los cırculos corresponden a los puntos finales de las trayecto-

rias.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

RG

/L

r/R

Figura 4.27: Trayectorias en el diagrama de fases a 1450 Hz. Se excluyo una realizacion

que no alcanzo a un estado estacionario. Las estrellas corresponden a los puntos iniciales

de las trayectorias. Los cırculos corresponden a los puntos finales de las trayectorias.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

RG

/L

r/R

Figura 4.28: Trayectorias en el diagrama de fases a 1550 Hz. Se exluyeron ocho realiza-

ciones que no alcanzaron un estado estacionario. Las estrellas corresponden a los puntos

iniciales de las trayectorias. Los cırculos corresponden a los puntos finales de las trayecto-

rias.

las posiciones finales ocupan regiones definidas.

En la fig. 4.25 y en la fig 4.29 se observa que, en ocasiones, la trayectoria de

algunas de las partıculas es escalonada. Esto muestra que existe metaestabilidad, es

decir que, luego de mantenerse por algun tiempo en una posicion que parece estable,

la partıcula salta a otra posicion estable. El tiempo de la transicion es pequeno,

variando entre menos de un segundo y cerca de 5 segundos. Este comportamiento se

observa comunmente, a todas las frecuencias utilizadas, sin que hasta el momento

tengamos una explicacion del fenomeno.

Vemos en el cuadro 4.1 que los desplazamientos escalonados parecen ser multiplos

del diametro 2R de las esferas, salvo el escalon mas pequeno de la fig. 4.29 (1).

Notemos que en este caso (escalon (1) de la fig. 4.29) la partıcula queda en contacto


0 50 100 1500

0.5

1

x i/L

0 50 100 1500.6

0.8

1

t (s)

Pre

sion

(P

a)

Escalon

(2)

(3)

(1)

Figura 4.29: Trayectoria a 1350 Hz en que se observan trayectorias escalonadas de dos

partıculas.

N ∆x (mm) ∆x/R ∆x/L ∆x/λ

1 1,03 0,3 0,01 0,004

2 12,9 4,1 0,13 0,05

3 6,2 2 0,06 0,03

Cuadro 4.1: Valores de los desplazamientos escalonados en la trayectoria mostrada en fig.

4.29 y su relacion con el radio de las esferas R = 3,175 mm, con la longitud de la cavidad

L = 100 mm y con la longitud de onda a 1350 Hz λ = 250 mm.

con la pared, y no puede desplazarse mas en esa direccion.

En un intento por caracterizar y diferenciar los diferentes comportamientos defi-

nimos una temperatura de las fluctuaciones, T = 〈v2〉, donde v es la velocidad de las

partıculas y 〈〉 representa una promedio sobre las cuatro partıculas. Las trayectorias


de las partıculas son fluctuantes, pero ademas existe un ruido adicional, que tiene

relacion con variaciones de la iluminacion, o leves vibraciones de la camara al tomar

las secuencias de imagenes. Para evitar que este ruido aparezca en la temperatura,

se suavizaron previamente las curvas de las partıculas. De esta manera, para una

trayectoria particular, la temperatura refleja efectivamente las fluctuaciones de las

posiciones de las partıculas (fig. 4.30).

0 50 100 1500

2

4x 10

−3

x i/L

0 50 100 1500

20

40

t (s)

Pre

sión

(P

a)

0 50 100 1500

2

4

6

8x 10

−12

t (s)

T (

m2 /s

2 )

Figura 4.30: Arriba: Trayectoria de las partıculas en una realizacion a 1550. Abajo: Tem-

peratura asociada a la realizacion.

Nuevamente, no encontramos frecuencias dominantes en el espectro de Fourier

de la temperatura. Al promediar la temperatura media de todas las realizaciones

a una frecuencia, se observa que la temperatura aumenta con la frecuencia, lo que

confirma la observacion de que las trayectorias a 1350 Hz son menos fluctuantes.

Por otro lado, se observo que la temperatura no es un factor importante al definir

en que configuracion se ordenan las partıculas.


1300 1350 1400 1450 1500 1550 16000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

−6

Frecuencia (Hz)

Tem

pera

tura

(m

2 /s2 )

Figura 4.31: Temperatura promedio sobre todas las realizaciones a cada frecuencia. La

temperatura aumenta con la frecuencia.

En resumen, al introducir cuatro partıculas en la cavidad y excitar una onda

acustica entre 1350 y 1550 Hz, se observan diferentes comportamientos. Existen

varias, al menos cuatro, configuraciones estables distintas. El ordenamiento de las

partıculas en una u otra configuracion parece depender de las posiciones iniciales de

las partıculas, pero aun no esta claro el criterio que diferencia entre uno y otro com-

portamiento. Existe metaestabilidad en las posiciones de las partıculas de algunas

configuraciones, lo que se observa en la existencia de trayectorias escalonadas, en que

las partıculas se mantienen en una posicion estable por algun tiempo y luego, en un

intervalo de tiempo pequeno, cambian a otra posicion estable. Se definio una tempe-

ratura asociada a las agitaciones de las partıculas, y se observo que las trayectorias


son mas fluctuantes mientras mayor es la frecuencia de excitacion acustica, pero no

se observaron diferencias entre las temperatura de las diferentes configuraciones de

equilibrio.

Capıtulo 5

Conclusiones

En esta Tesis se ha estudiado el efecto de la inclusion de partıculas solidas al

interior de una cavidad acustica cuasiunidimensional llena con aire. El tamano de

las partıculas es comparable a la seccion transversal de la cavidad y por lo tanto la

presencia de una partıcula en una posicion fija afecta fuertemente las caraterısticas

acusticas de la cavidad, modificando los modos acusticos y por lo tanto las frecuen-

cias de resonancia de la cavidad en funcion de la posicion de la partıcula. En este

trabajo se han medido estos corrimientos, se proponen dos modelos para explicarlos,

y se comparan con la teorıa existente. En el primer modelo propuesto la partıcu-

la solo se considera diferente del resto de la cavidad por sus propiedades acusticas

(densidad e impedancia acustica). Los resultados experimentales no corresponden a

la teorıa, a menos de ajustar un parametro a un valor mucho menor que el real. El

segundo modelo propuesto, supone a la partıcula como una zona impenetrable para

la onda acustica, y por lo tanto reduce el area trasversal de la cavidad disponible

para la onda acustica. Este modelo entrega buenos resultados para explicar los co-

rrimientos de las resonancias. Se concluye, por lo tanto, que el principal mecanismo

que actua en este fenomeno, es el volumen excluıdo por la partıcula en la cavidad

113

CAPITULO 5. CONCLUSIONES 114

acustica.

Se estudio tambien el efecto de la onda acustica sobre las partıculas dentro de la

cavidad, para frecuencias dentro del primer modo acustico. La fuerza de radiacion

acustica ejercida por una onda de sonido de frecuencia fija, sobre una unica partıcula

en el interior de la cavidad, que es de magnitud muy pequena y similar a la fuerza

de roce entre la partıcula y la cavidad, provoca un desplazamiento de la partıcula,

hacia una posicion cercana a la que hace resonante a la onda de sonido. Ni la teorıa

existente ni los modelos utilizados para explicar los corrimientos de las resonancias

son capaces de explicar las posiciones de equilibrio medidas. Estas muestran que la

fuerza de radiacion acustica no es simetrica con respecto al centro de la cavidad.

Para el primer modo, las posiciones de equilibrio se encuentran en la mitad de la

cavidad mas lejana a la fuente de sonido. Esto se debe probablemente a la asımetrıa

de las condiciones de borde y a la presencia de atenuacion.

Se cree que la partıcula se mueve, en efecto, por la fuerza de radiacion acustica,

pues los movimientos solo existen en las cercanıas de la frecuencia de resonancia de

la cavidad, donde la presion acustica es mayor. La teorıa existente no explica las

posiciones de equilibrio observadas debido, principalmente, a que utiliza dos hipotesis

que no son validas en este caso: que el tamano de la partıcula es muy pequeno

en relacion con las dimensiones transversales de la cavidad, y que la partıcula se

encuentra muy lejos de las paredes de la cavidad. De esta manera se desprecian dos

efectos importantes: La modificacion del modo acustico por la presencia de la esfera,

y el scattering en las paredes de la onda scattereada por la partıcula.

Se indica que el comportamiento a presiones mayores (∼ 1000 Pa) es diferente

al comportamiento observado a ∼ 10 Pa, y se infiere la existencia de corrientes

inducidas por la onda acustica, cuyo efecto deberıa ser estudiado a futuro. Es posible

que este efecto, aun a presiones medias (∼ 10 Pa), compita con la fuerza de radiacion


acustica, y que a eso se deba el hecho de que las posiciones de equilibrio no calcen

exactamente con aquellas que hacen resonante al sistema.

Por ultimo, se estudio el efecto de la fuerza de radiacion acustica sobre las

partıculas al incluir dos, o cuatro, esferas identicas en la cavidad. Se observaron

comportamientos que demuestran la existencia de interacciones acusticas entre las

partıculas. Estas interacciones pueden estar provocadas por la fuerza de radiacion

acustica debido al scattering en las partıculas.

Se observa la existencia de metaestabilidad en las posiciones de las partıculas

cuando se introducen cuatro de esferas en la cavidad. Las partıculas se mantienen

en una posicion de equilibrio por algun tiempo y luego cambian rapidamente a otra

posicion de equilibrio. Comunmente, esto desplazamientos son multiplos enteros del

diametro de las esferas. El cambio entre uno y otro estado metaestable se debe a

variaciones ruidosas de la fuerza de radiacion acustica.

A futuro se debera estudiar mas sistematicamente el comportamiento de una

partıcula libre de moverse en la cavidad acustica bajo ondas de sonido de mayor

potencia, con el fin de determinar la existencia de corrientes acusticas a las presiones

en que creemos que aparecen (∼ 1000 Pa) y su efecto sobre la partıcula. Se espera

determinar un valor de la presion en la cual se produce la transicion entre el intervalo

de presiones bajas donde domina el efecto de la presion de radiacion y la region de

presiones altas en que domina el efecto de las corrientes acusticas. De esta manera

esperamos comprender los comportamientos observados a presiones mayores, que

difieren a los que ocurren a presiones menores.

En relacion al estudio de interacciones acusticas entre partıculas, tanto con dos,

cuatro o un numero cualquiera de partıculas en la cavidad, la existencia de tran-

sientes largos hace necesaria la obtencion de secuencias mas largas de las que actual-

mente se tienen. Es posible que realizaciones mas largas demuestren la existencia de


oscilaciones de frecuencia definida, que en este momento no podemos detectar, ya

sea porque son de perıodo muy largo, o porque el ruido tiene una importancia muy

predominante. Por otro lado en secuencias mas largas se podrıa observar, en caso

de existir, oscilaciones de las esferas entre una y otra posicion metaestable, lo cual

ademas puede dar una idea sobre la profundidad de los pozos de potencial asocia-

dos a cada estado estable. Por ultimo, es deseable ademas tener mas realizaciones,

para contar con una cantidad considerable de condiciones iniciales. De esta manera,

al tener una mejor estadıstica, se espera encontrar un criterio en las condiciones

iniciales (o en otras condiciones) que determinen la realizacion de una u otra confi-

guracion en la que se ordenan las partıculas, o por lo menos definir la probabilidad

de ocurrencia de cada configuracion.

Finalmente, se espera a futuro lograr un sistema eficiente de desgasamiento de

agua, con el objetivo de estudiar la fuerza de radiacion acustica en burbujas de

tamano controlado, en un medio lıquido. Se espera con esto minimizar los efectos

de la friccion con las paredes y aumentar los efectos de la fuerza de radiacion, ya

que las burbujas tienen una inercia despreciable. Ademas, debido a que las burbu-

jas scatterean sonido con mayor intensidad que una esfera solida, creemos que las

interacciones acusticas entre burbujas deben ser estudiadas en profundidad.

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EFECTOS DE PRESION DE RADIACI¶ ON EN¶ UNIVERSIDAD DE … los frentes de onda, o la aparici¶on de...

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