Efectos de la esbeltez

8/14/2019 Efectos de la esbeltez

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11Efectos de la esbeltez

CONSIDERACIONES GENERALES

El diseo de las columnas consiste bsicamente en seleccionar una seccin transversal adecuada para la misma, con armadura parasoportar las combinaciones requeridas de cargas axiales mayoradas Pu y momentos (de primer orden) mayorados Mu, incluyendo laconsideracin de los efectos de la esbeltez de la columna (momentos de segundo orden).

La esbeltez de una columna se expresa en trminos de su relacin de esbeltez ku/r, donde k es un factor de longitud efectiva (quedepende de las condiciones de vnculo de los extremos de la columna), u es la longitud de la columna entre apoyos y r es el radiode giro de la seccin transversal de la columna. En general, una columna es esbelta si las dimensiones de su seccin transversal son

pequeas en relacin con su longitud.

A los fines del diseo, el trmino "columna corta" se usa para designar una columna que tiene una resistencia igual a la calculadapara su seccin transversal, usando las fuerzas y los momentos obtenidos de un anlisis para combinacin de flexin y carga axial.Una "columna esbelta" se define como una columna cuya resistencia se reduce debido a las deformaciones de segundo orden(momentos de segundo orden). Segn estas definiciones, una columna con una determinada relacin de esbeltez se puedeconsiderar como columna corta bajo un determinado conjunto de restricciones, y como columna esbelta bajo otro conjunto derestricciones. Con el empleo de hormigones y armaduras de mayor resistencia, y con mtodos de anlisis y diseo ms precisos, es

posible disear secciones de menores dimensiones, lo cual da origen a elementos ms esbeltos. En consecuencia, la necesidad decontar con procedimientos de diseo confiables y racionales para las columnas esbeltas se convierte as en una consideracinimportante en el diseo de columnas.

Una columna corta puede fallar a causa de una combinacin de momento y carga axial que supere la resistencia de la seccintransversal. Este tipo de falla se conoce como "falla del material." A modo de ejemplo, consideremos la columna ilustrada en la

Figura 11-1. Debido a la carga, la columna tiene una deformacin que provocar un momento adicional (de segundo orden) en lacolumna. En el diagrama de cuerpo libre se puede ver que el momento mximo en la columna ocurre en la seccin A-A, y es igualal momento aplicado ms el momento debido a la deformacin del elemento, que es M = P (e + ).

La falla de una columna corta puede ocurrir en cualquier punto a lo largo de la curva de interaccin de resistencias, dependiendo dela combinacin del momento y la carga axial aplicada. Como se mencion anteriormente, se producir alguna deformacin y habruna "falla del material" cuando una combinacin particular de carga P y momento M = P (e + ) interseque la curva de interaccinde resistencias.


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Si la columna es muy esbelta, podra llegar a una deformacin debida a carga axial P y momento Pe tal que la deformacinaumente indefinidamente sin que aumente la carga P. Este tipo de falla se conoce como "falla de estabilidad," como se indica en lacurva de interaccin de resistencias.

Figura 11-1 Interaccin de las resistencias en columnas esbeltas

El concepto bsico del comportamiento de las columnas esbeltas rectas con carga axial concntrica fue desarrollado originalmentepor Euler, hace ya ms de 200 aos. El concepto establece que un elemento fallar por pandeo bajo la carga crtica Pc =

2EI/(e)2,

siendo EI la rigidez flexional de la seccin transversal del elemento y e la longitud efectiva, que es igual a ku. Para las columnascortas "robustas," el valor de la carga de pandeo ser mayor que la resistencia al aplastamiento por compresin directa(correspondiente a la falla del material). En los elementos que son ms esbeltos (es decir, elementos para los cuales el valor deku/r es ms elevado), la falla puede ocurrir por pandeo (falla de estabilidad), con la carga de pandeo disminuyendo a medida queaumenta la esbeltez (ver Figura 11-2).

Figura 11-2 Carga de falla en funcin de la esbeltez de una columna

Como se puede observar, es imposible representar los efectos de la esbeltez y los momentos amplificados en una tpica curva deinteraccin de resistencias. En consecuencia, se puede desarrollar una "familia" de diagramas de interaccin de resistencias paracolumnas esbeltas con diferentes relaciones de esbeltez, como se ilustra en la Figura 11-3. El diagrama de interaccin deresistencias para ku/r = 0 corresponde a las combinaciones de momento y carga axial donde la resistencia no se ve afectada por laesbeltez del elemento (resistencia de columna corta).

Figura 11-3 Diagramas de interaccin de resistencias para columnas esbeltas

AA

M

M = Pe

P

P

P

M = Pe

P

P

M

Pe

M = P (e+)

P

columna corta

falla del material

falla de estabilidad

pandeocompresin

P

Pc =( )

2

2u

EI

k

ku/r

30

60

100

130

M

P

ku/r = 0


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CONSIDERACIN DE LOS EFECTOS DE LA ESBELTEZ

Se establecen lmites para la esbeltez tanto de prticos indesplazables como para prticos desplazables, incluyendo mtodos dediseo permitidos para cada rango de esbeltez. Se establecen lmites inferiores para la esbeltez, por debajo de los cuales losmomentos de segundo orden se pueden despreciar y slo es necesario considerar la carga axial y los momentos de primer orden

para seleccionar la seccin transversal y la armadura de las columnas (diseo de columnas cortas). Se debe observar que, para las

vigas y columnas de dimensiones habituales y las alturas de piso tpicas de los sistemas de hormign, los efectos de la esbeltez sepueden despreciar en ms del 90 por ciento de las columnas de los prticos indesplazables y en alrededor del 40 por ciento de lascolumnas de los prticos desplazables. Cuando las relaciones de esbeltez son moderadas se permite un anlisis aproximado de losefectos de la esbeltez que se basa en un factor de amplificacin de los momentos (ver 10.12 y 10.13). Cuando la relacin deesbeltez de la columna es elevada se requiere un anlisis de segundo orden ms exacto (ver 10.11.5), que considere elcomportamiento no lineal del material y la fisuracin, as como los efectos de la curvatura y del desplazamiento lateral delelemento, la duracin de las cargas, la contraccin y la fluencia lenta, y la interaccin con las fundaciones. No se especificanlmites superiores para la esbeltez de las columnas. En la Figura 11-4 se resumen los lmites de la relacin de esbeltez indicados en10.12.2 para prticos indesplazables y en 10.13.2 para prticos desplazables, junto con los mtodos permitidos para considera laesbeltez de las columnas.

* 3412(M1/M2) 40

** Permitido para cualquier relacin de esbeltez.

Figura 11-4 Consideracin de la esbeltez de las columnas

10.10 EFECTOS DE LA ESBELTEZ EN ELEMENTOS COMPRIMIDOS10.10.1 Anlisis de segundo orden

El cdigo alienta el uso de anlisis de segundo orden o anlisis P- para considerar los efectos de la esbeltez en los elementoscomprimidos. En general, los resultados de un anlisis de segundo orden permiten obtener valores ms realistas para los momentosque los que se obtienen usando un anlisis aproximado de acuerdo con las secciones 10.12 10.13. En el caso de los prticosdesplazables, utilizando anlisis de segundo orden generalmente se obtendrn diseos ms econmicos. En las Referencias 10.24 -10.29 se presentan procedimientos para realizar un anlisis de segundo orden. En R10.10.1 el lector encontrar una discusin sobrelas limitaciones para la utilizacin de un anlisis de segundo orden de acuerdo con 10.10.1.

Prtico

desplazable

Prtico

indesplazable

Despreciar laesbeltezku/r < 22

ku/r3412(M1/M2)*

Mtodosaproximados22 ku/r 100

100 ku/r >3412(M1/M2)*

AnlisisP -**ku/r > 100 ku/r > 100


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Si por algn motivo no resulta prctico realizar un anlisis ms exacto, la seccin 10.10.2 permite considerar los efectos de laesbeltez mediante un mtodo aproximado de amplificacin de momentos. Sin embargo, se debe observar que para todos loselementos comprimidos en los cuales la relacin de esbeltez (ku/r) es mayor que 100 (ver Figura 11-4), para considerar los efectosde la esbeltez se debe utilizar un anlisis ms exacto segn lo definido en 10.10.1.

10.11 EVALUACIN APROXIMADA DE LOS EFECTOS DE LA ESBELTEZ

Se usa el factor de amplificacin de momentos para amplificar los momentos de primer orden y as tomar en cuenta el aumentode los momentos provocado por la curvatura y el desplazamiento lateral del elemento. El factor de amplificacin de momentos depende de la relacin entre la carga axial aplicada y la carga crtica o de pandeo de la columna, de la relacin entre los momentosaplicados en los extremos de la columna, y de la geometra deformada de la columna.

10.11.1 Propiedades de la seccin para el anlisis del prtico

De acuerdo con 10.11.1, las cargas axiales mayoradas (Pu), los momentos mayorados en los extremos de la columna (M 1 y M2) ylas deformaciones laterales de piso, o, se debern calcular usando un anlisis elstico de primer orden del prtico, considerando la

presencia de regiones fisuradas a lo largo del elemento. Es evidente que realizar estos clculos no es factible desde el punto de vistaeconmico, an para estructuras pequeas. Por lo tanto, para considerar la fisuracin en el anlisis se pueden usar las propiedadesde la seccin dadas en 10.11.1 y resumidas en la Tabla 11-1. Los valores de E, I y A han sido seleccionados a partir de losresultados obtenidos en ensayos y anlisis de prticos de acuerdo con la Referencia 10.28. Es importante observar que para analizarla estructura a nivel de la carga de servicio resulta satisfactorio multiplicar los momentos de inercia especificados en la Tabla 11-1

por 1/0,70 = 1,43 (R10.11.1). Adems, los momentos de inercia se deben dividir por (1 + d) en el caso que sobre la estructuraacten cargas horizontales de larga duracin (por ejemplo, las cargas horizontales provocadas por las presiones del suelo) o paraverificacin de la estabilidad frente a cargas gravitatorias realizadas de acuerdo con 10.13.6.

Tabla 11-1 Propiedades de las secciones para el anlisis de prticos

Mdulo de elasticidad Momento de inercia rea

Vigas 0,35 lgColumnas 0,70 I

g

Tabiques no fisurados 0,70 lg

Tabiques fisurados 0,35 lg

Placas planas y losas planas

Ec de 8.5.1

0,25 lg

1,0 Ag

Dividir por (1 + d) cuando acten cargas de larga duracin, o para las verificaciones de estabilidad realizadasde acuerdo con 10.13.6.

Para los anlisis a nivel de la carga de servicio multiplicar por 1/0,70 = 1,43.

10.11.2 Radio de giro

En general el radio de giro, r, esg g

I / A . En particular, para los elementos de seccin rectangular r se puede tomar igual a 0,30

por la dimensin en la direccin en la cual se est considerando la estabilidad, mientras que para los elementos de seccin circularse puede tomar igual a 0,25 por el dimetro de la seccin, como se ilustra en la Figura 11-5.


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Figura 11-5 Radio de giro, r

10.11.3, 10.12.1 Longitud sin apoyo lateral y longitud efectiva de elementos comprimidos

La longitud sin apoyo lateral (o longitud no soportada) u de una columna, definida en 10.11.3, es la distancia libre entre apoyoslaterales, como se ilustra en la Figura 11-6. Observar que la longitud u puede ser diferente para el pandeo respecto de cada uno delos ejes principales de la seccin transversal de la columna. La ecuacin bsica de Euler para la carga crtica de pandeo se puedeexpresar como Pc =

2EI/(e)2, siendo e la longitud efectiva ku. Las ecuaciones bsicas para el diseo de columnas esbeltas fueron

desarrolladas para extremos articulados y, por lo tanto, se las debe modificar para considerar los efectos de las condiciones devnculo. La longitud efectiva de la columna, ku, y no la longitud real sin apoyo lateral u, es la que se utiliza para estimar lasresistencias de las columnas esbeltas. Esta longitud efectiva considera tanto las condiciones de vnculo como la condicin desistema indesplazable o desplazable.

Figura 11-6 Longitud sin apoyo lateral, u

Cuando se produce la carga crtica definida por la ecuacin de Euler, un elemento originalmente recto pandea con una forma desemionda sinusoidal, como se ilustra en la Figura 11-7(a). Con esta configuracin, en cada seccin acta un momento adicional P-, siendo el desplazamiento lateral en el punto especfico considerado a lo largo de la columna. Este desplazamiento lateralcontina aumentando hasta que la tensin por flexin provocada por el momento (P-), ms la tensin de compresin original

provocada por las cargas aplicadas, excede la resistencia a la compresin del hormign y la columna falla. La longitud efectiva e(= ku) es la longitud entre los apoyos articulados, entre puntos de momento nulo o entre puntos de inflexin. Para la condicin deambos extremos articulados ilustrada en la Figura 11-7(a), la longitud efectiva es igual a la longitud sin apoyo lateral o no

soportada, u. Si el elemento est empotrado en ambos extremos (restringido contra la rotacin), el pandeo se producir en la formailustrada en la Figura 11-7(b); habr puntos de inflexin en los puntos indicados, y la longitud efectiva e ser igual a la mitad de lalongitud sin apoyo lateral, u. La carga crtica de pandeo Pc para la condicin de extremos empotrados es cuatro veces mayor que

para la condicin de extremos articulados. En las estructuras reales rara vez las columnas son perfectamente articuladas oempotradas, sino que sus extremos estn parcialmente restringidos contra la rotacin por los elementos solidarios a la columna. Enconsecuencia, la longitud efectiva est comprendida entre u/2 y u, como se indica en la Figura 11-7(c), siempre que est impedidoel desplazamiento lateral de un extremo de la columna respecto del otro. El valor real de la longitud efectiva depende de la rigidezde los elementos solidarios a los extremos superior e inferior de la columna.

b

h

r = 0,3b r = 0,25 D

r = 0,3h

Dr =

I

Ag

g

Direccinanalizada

u

u

u


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Figura 11-7 Longitud efectiva, e (condicin indesplazable)

Una columna que est empotrada en un extremo y totalmente libre en el otro (en voladizo) pandear como se ilustra en la Figura11-8(a). El extremo superior tendr un desplazamiento lateral relativo con respecto al extremo inferior. La geometra deformada

de estos elementos es similar a la mitad de la deformada sinusoidal del elemento articulado en ambos extremos ilustrado en laFigura 11-7(a). En consecuencia, la longitud efectiva es igual a dos veces la longitud real. Si la columna est impedida contra larotacin en ambos extremos pero uno de los extremos se puede desplazar lateralmente respecto del otro, la columna pandear comose ilustra en la Figura 11-8(b). La longitud efectiva e ser igual a la longitud real u, con un punto de inflexin (pi) ubicado comose indica. La carga de pandeo de la columna de la Figura 11-8(b), en la cual el desplazamiento lateral no est impedido, es uncuarto de la de la columna de la Figura 11-7(b), en la cual el desplazamiento lateral s est impedido. Como se indicanteriormente, los extremos de las columnas rara vez son totalmente articulados o totalmente empotrados, sino que estn

parcialmente restringidos contra la rotacin por los elementos solidarios a la columna. Por lo tanto, la longitud efectiva variarentre u e infinito, como se indica en la Figura 11-8(c). Si los elementos que restringen el movimiento (vigas o losas) son muyrgidos en relacin con la columna, el pandeo se aproximar al esquema ilustrado en la Figura 11-8(b). En cambio, si los elementosque restringen el movimiento son bastante flexibles, la columna se aproximar a una condicin articulada en ambos extremos y lacolumna (o las columnas), y posiblemente la estructura, se aproximarn a la instabilidad.

En las estructuras habituales de hormign armado el diseador rara vez se ocupa de elementos individuales, sino que analizasistemas aporticados rgidos compuestos por conjuntos de viga-columna y losa-columna. El comportamiento de pandeo de unprtico que no est arriostrado contra el desplazamiento lateral (desplazable) se puede ilustrar mediante el prtico sencillo de laFigura 11-9. Como no tiene restriccin lateral en el extremo superior, la totalidad del prtico (no arriostrado) es libre de moverselateralmente. El extremo inferior puede ser articulado o estar parcialmente restringido contra la rotacin. En general, la longitudefectiva e depende del grado de restriccin contra la rotacin de los extremos de la columna y u < e < .

Figura 11-8 Longitud efectiva, e (condicin desplazable)

Pc Pc Pc pi = punto de inflexin

pi

cPcPcP

pi

pipi

e = u

u/4

u/2 = eu

u>e>u/2u

(a) (b) (c)

pi = punto de inflexin

Pc cP cP

PcPccP

pi

pi

pi

(a) (b) (c)

e = 2u

u u

e = u

uu < e <


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Figura 11-9 Prtico rgido (condicin desplazable)

Resumiendo, se pueden hacer los siguientes comentarios.

1. Para los elementos solicitados a compresin en prticos indesplazables, la longitud efectiva e est comprendida entre u/2 y u,siendo u la longitud real sin apoyo lateral de la columna.

2. Para los elementos solicitados a compresin en prticos desplazables, la longitud efectiva e siempre es mayor que la longitudreal de la columna u, y puede ser igual a 2u o mayor. En este caso un valor de k inferior a 1,2 no sera realista.

3. El uso de los nomogramas de las Figuras 11-10 y 11-11 (tambin en la Figura R10.12.1) permiten determinar grficamente losfactores de longitud efectiva para los elementos solicitados a compresin de prticos indesplazables y desplazables,respectivamente. Si ambos extremos de una columna de un prtico indesplazable tienen mnima rigidez rotacional, o seaproximan a = , y entonces k = 1,0. Si ambos extremos se aproximan al empotramiento perfecto, = 0, y k = 0,5. Si ambosextremos de una columna de un prtico desplazable tienen mnima rigidez rotacional, o se aproximan a = , entonces k = .Si ambos extremos se aproximan al empotramiento perfecto, = 0, entonces k = 1,0.

R10.12.1 presenta un mtodo alternativo para calcular los factores de longitud efectiva para los elementos comprimidos en prticosindesplazables y desplazables. Para los elementos comprimidos en prticos indesplazables, se puede tomar como lmite superior

para el factor de longitud efectiva el menor de los valores dados por las siguientes expresiones, tomadas del documento 1992British Standard Code of Practice (Referencias ACI 10.33 y 10.34):

( )A Bk 0,7 0,05 1,0= + +

mink 0,85 0,05 1,0= +

donde A y B son los valores de en los extremos de la columna y min es el menor de los dos valores.

Para los elementos comprimidos restringidos en ambos extremos, en prticos desplazables, el factor de longitud efectiva se puedetomar como (Referencia ACI 10.32):

mm m20Para 2, k 120 < = +

m mPara 2, k 0,9 1 = +

donde m es el promedio de los valores de en ambos extremos de la columna.

Pc cP

cP Pc

e > uu


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Figura 11-10 Factores de longitud efectiva para elementos comprimidos en prticos indesplazables

Para los elementos comprimidos articulados en uno de sus extremos, en prticos desplazables, el factor de longitud efectiva sepuede tomar como (Referencias ACI 10.33 y 10.34):

k 2,0 0,3= +

donde es la relacin entre las rigideces de la columna y la viga en el extremo restringido.

Al determinar el factor de longitud efectiva, k, usando las Figuras 11-10 y 11-11, o usando las ecuaciones del Comentario, lasrigideces (EI) de las vigas (o de las losas) y de las columnas se deben calcular en base a los valores dados en 10.11.1.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,60,70,8

1,0

2,0

3,04,05,0

10,050,0

0,6

0,2

0

0,1

0,3

0,4

0,5

1,0

0,80,7

5,0

2,0

3,0

10,050,0

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

k

A

MA MA

B

PA

P

B

MB MB

A A

B B

c

=

EIcols.

EI

vigas

A B


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Figura 11-11 Factores de longitud efectiva para elementos comprimidos en prticos desplazables

10.11.4 Prticos indesplazables y Prticos desplazables

En las estructuras reales rara vez existen condiciones totalmente indesplazables o desplazables. Esto no se puede determinarfcilmente mediante inspeccin; las secciones 10.11.4.1 y 10.11.4.2 presentan dos manera posibles para determinar si un prtico esindesplazable o desplazable. De acuerdo con 10.11.4.1, una columna de una estructura se puede considerar indesplazable si losmomentos de segundo orden en los extremos de la columna no son superiores a 5 por ciento de los momentos de primer orden endichos extremos. De acuerdo con 10.11.4.2, tambin se permite asumir que un entrepiso de una estructura es indesplazable si:

u o

u c

P

Q 0,05V

=

Ec. (10-6)

donde

Q = ndice de estabilidad de un entrepiso

Pu = carga vertical total mayorada en el entrepiso correspondiente al caso de carga horizontal para el cual Pu esmximo (R10.11.4)

Vu = corte total en el entrepiso

A

A

c

=

EIcols.

EIvigas

A B

B

P

A

MA

MB

0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,06,07,08,09,0

10,0

20,030,0

50,0

8

8

1,0

1,5

2,0

3,0

4,0

10,020,0

5,0

100,08

1,0

0

9,0

7,08,0

5,0

3,0

4,0

2,0

6,0

10,0

20,030,0

50,0100,0

B


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o = desplazamiento relativo de primer orden entre la parte superior y la parte inferior del entrepiso debido a Vu

c = longitud de la columna, medida entre los ejes de los nudos del prtico

Observar que la Ecuacin (10-6) no es aplicable cuando Vu = 0.

10.11.6 Factor de amplificacin de momentos para flexin biaxial

Cuando en una columna hay flexin biaxial, se deben amplificar los momentos calculados para cada eje principal. Los factores deamplificacin de momentos, , se calculan considerando la carga de pandeo, P c, respecto de cada eje en forma separada, en base alas longitudes efectivas correspondientes y a la rigidez relativa de la columna y las vigas en cada direccin. En consecuencia, si lascapacidades de pandeo respecto de los dos ejes son diferentes, los factores de amplificacin de momentos en ambas direccionestambin sern diferentes. Los momentos respecto de los dos ejes se amplifican de forma separada, y luego la seccin transversal sedimensiona para una carga axial Pu y los momentos biaxiales amplificados.

10.12.2, 10.13.2 Consideracin de los efectos de la esbeltez

Para los elementos comprimidos en prticos indesplazables, los efectos de la esbeltez se pueden despreciar cuando ku/r es menor oigual que [34 - 12 (M1/M2)], siendo M2 el mayor de los momentos en ambos extremos y M1 el menor de estos momentos. Larelacin M1/M2 es positiva si la columna se deforma con curvatura simple, y negativa si el elemento se deforma con curvatura

doble. Observar que M1 y M2 son los momentos mayorados en los extremos obtenidos a partir de un anlisis de prtico elstico, yque el trmino [34 - 12 (M1/M2)] no se debe tomar mayor que 40. Para los elementos comprimidos en prticos desplazables, losefectos de la esbeltez se pueden despreciar cuando ku/r es menor que 22 (10.13.2). El mtodo del factor de amplificacin demomentos se puede usar para columnas en las cuales la relacin de esbeltez es mayor que estos lmites inferiores.

El lmite superior de la esbeltez de las columnas para que sea aplicable el mtodo del factor de amplificacin de momentos es ku/rigual a 100 (10.11.5). Si ku/r es mayor que 100 se deber realizar un anlisis de acuerdo con lo definido en 10.10.1, tomando encuanta la influencia de las cargas axiales y los momentos de inercia variables sobre la rigidez del elemento y los momentos de losextremos empotrados, el efecto de las deformaciones sobre los momentos y las fuerzas, y los efectos de la duracin de las cargas(efecto de las cargas sostenidas o de larga duracin). En la Figura 11-4 se resumen los criterios para la consideracin de la esbeltezde las columnas.

Los lmites inferiores de la esbeltez permitirn despreciar los efectos de la esbeltez para una gran cantidad de columnas.

Considerando la esbeltez ku/r en trminos de u/h para columnas rectangulares, los efectos de la esbeltez se pueden despreciarcuando u/h es menor que 10 para elementos comprimidos en prticos indesplazables y con restriccin nula en ambos extremos.Este lmite aumenta a 18 para el caso de columnas con doble curvatura con momentos iguales en sus extremos y una relacin entrela rigidez de la columna y la rigidez de las vigas igual a 1,0 en ambos extremos. Para las columnas con poca o ninguna restriccinen sus extremos, se debera utilizar un valor k = 1,0. Para las columnas robustas restringidas mediante losas planas, k estcomprendido entre alrededor de 0,95 y 1,0 por lo cual se puede estimar conservadoramente igual a 1,0. Para las columnas de los

prticos formados por vigas y columnas, k vara entre alrededor de 0,75 y 0,90 por lo cual se puede estimar conservadoramenteigual a 0,90. Si el clculo inicial de la esbeltez en base a los valores k estimados indica que es necesario considerar los efectos de laesbeltez en el diseo, se debera calcular un valor de k ms exacto y evaluar nuevamente la esbeltez. Para los elementoscomprimidos en prticos desplazables donde la relacin entre la rigidez de la columna y la rigidez de las vigas es igual a 1,0 enambos extremos, los efectos de la esbeltez se pueden despreciar cuando u/h es menor que 5. Este valor se reduce a 3 si la rigidezde las vigas se reduce a un quinto de la rigidez de la columna en cada extremo de la misma. En consecuencia, las rigideces en la

parte superior e inferior de las columnas de los edificios en altura en los cuales el desplazamiento lateral no est restringidomediante muros estructurales u otros elementos afectarn significativamente el grado de esbeltez de la columna.

El lmite superior de la esbeltez indicado, ku/r = 100, corresponde a u/h = 30 para un elemento comprimido en un prticoindesplazable con restriccin nula en ambos extremos. Este lmite de u/h aumenta a 39 cuando la relacin entre la rigidez de lacolumna y la rigidez de las vigas en ambos extremos es igual a 1,0.

10.12.3 Momentos amplificados Prticos indesplazables

Las ecuaciones para el diseo aproximado de columnas esbeltas indicadas en 10.12.3 para prticos indesplazables se basan en elconcepto de un factor de amplificacin de momentos, ns, que se aplica al mayor de los momentos mayorados, M2, de ambos


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extremos del elemento comprimido. Luego la columna se disea para la carga axial mayorada P u y el momento amplificado Mc,siendo Mc:

c ns 2M M= Ec. (10-8)

donde

mns

u

c

C1,0

P1

0,75P

=

Ec. (10-9)

( )

2

c 2u

EIP

k

=

Ec. (10-10)

La carga crtica Pc se calcula para condicin indesplazable usando un factor de longitud efectiva, k, menor o igual que 1,0. Cuandok se determina usando los nomogramas o las ecuaciones de R10.12, en los clculos se deben usar los valores de E e I de 10.11.1.Observar que el factor 0,75 de la Ecuacin (10-9) es un factor de reduccin de la rigidez (ver R10.12.3).

Para definir la carga crtica de una columna, la principal dificultad radica en elegir un parmetro de rigidez EI que aproximerazonablemente las variaciones de la rigidez debidas a la fisuracin, la fluencia lenta y la no linealidad de de la curva tensin-deformacin del hormign. Si no se realiza un anlisis ms exacto, EI se deber tomar como:

( )c g s sed

0,2E I E IEI

1

+=

+ Ec. (10-11)

o bien

c g

d

0, 4E IEI

1=

+ Ec. (10-12)

La segunda ecuacin es una aproximacin simplificada de la primera. Ambas ecuaciones aproximan los lmites inferiores de EIpara las secciones habituales y, por lo tanto, son conservadoras. La Figura 11-12 ilustra la naturaleza aproximada de las ecuaciones para determinar EI, comparndolas con valores obtenidos de diagramas momento-curvatura para el caso que no hay cargasostenida (d = 0).

Figura 11-12 Comparacin de EI obtenido mediante las ecuaciones con valores de EI obtenidos de diagramasmomento-curvatura

0,6 0,7 0,8 0,9

1

2

P /Pu o

0,70,6

1

0,8

P /Pu o

0,9

2

3

4

Ec. (10-11) Ec. (10-12)

EITerico

EIEc.(

10-11)

EITerico

EIEc.

(10-12) 5 = 1%

= 8%

= 1%

= 8%


12/41

11 - 12

La Ecuacin (10-11) representa el lmite inferior del rango prctico de los valores de rigidez. Esto es particularmente vlido paralas columnas fuertemente armadas. Como se observ anteriormente, la Ecuacin (10-12) es ms fcil de usar pero subestima engran medida el efecto de la armadura en las columnas fuertemente armadas (ver Figura 11-12).

Ambas ecuaciones para determinar EI fueron desarrolladas para valores de e/h pequeos y valores de Pu/Po elevados, caso en elcual el efecto de la carga axial es ms pronunciado. El trmino Po es la resistencia nominal a la carga axial para excentricidad nula.

En las columnas de hormign armado solicitadas por cargas de larga duracin, la fluencia lenta transfiere parte de la carga delhormign a la armadura, aumentando as las tensiones en el acero. En las columnas poco armadas esta transferencia de carga puede

provocar que el acero llegue a fluencia de forma prematura, provocando una prdida en el valor efectivo de EI. Esto se toma encuenta dividiendo EI por (1 + d). Para los prticos indesplazables d se define de la siguiente manera (ver 10.0):

dMxima carga axial de larga duracin mayorada

Mxima carga axial mayorada asociada con la misma combinacin de cargas =

En las columnas compuestas en las cuales un perfil de acero representa un gran porcentaje de la seccin transversal total de lacolumna, la transferencia de carga debida a la fluencia lenta no es significativa. En consecuencia, slo la parte de EIcorrespondiente al hormign se debera reducir aplicando (1 + d) para tomar en cuenta los efectos de la carga de larga duracin.

El trmino Cm es un factor de correccin para momentos equivalentes. Para elementos sin cargas transversales entre sus apoyos, eltrmino Cm es (10.12.3.1):

1m

2

MC 0,6 0,4 0,4

M

= +

Ec. (10-13)

En los elementos con cargas transversales entre sus apoyos, es posible que el momento mximo ocurra en una seccin alejada delos extremos del elemento. En este caso, el mayor momento calculado que ocurre en cualquier seccin de la longitud del elementose debera amplificar aplicando ns, y Cm se debe tomar igual a 1,0. La Figura 11-13 muestra algunos de los valores del coeficienteCm, en funcin de la deformada de la columna y las condiciones de vnculo de los extremos.

Si en la Ecuacin (10-8) el momento M2 calculado es pequeo o nulo, el diseo de una columna indesplazable se debe basar en elmomento mnimo M2,min (10.12.3.2):

( )2,min uM P 0,6 0,03h= + Ec. (10-14)

Para los elementos en los cuales se verifique M2,min > M2, el valor de Cm se debe tomar igual a 1,0 o bien se debe calcular mediantela Ecuacin (10-13) considerando el cociente de los momentos reales calculados para los extremos, M1 y M2.

Figura 11-13 Valores del coeficiente Cm

C = 1,0m mC = 0,6 mC = 0,4

C = 0,6 + 0,4 (M /M )m 1 2


13/41

11 - 13

10.13.3 Momentos amplificados Prticos desplazables

El diseo de los prticos desplazables considerando los efectos de la esbeltez consiste esencialmente en tres pasos:

1. Se calculan los momentos amplificados debidos al desplazamiento lateral, mMs, de una de las tres manera siguientes:

a. Un anlisis elstico de segundo orden del prtico (10.13.4.1)b. Un anlisis de segundo orden aproximado (10.13.4.2)

c. Un mtodo aproximado en base a un factor de amplificacin de los cdigos ACI anteriores (10.13.4.3)

2. Los momentos amplificados debidos al desplazamiento lateral, mMs, se suman a los momentos Mns, no amplificados y sinconsiderar el desplazamiento lateral, en cada extremo de la columna (10.13.3):

1 1ns s 1sM M M= + Ec. (10-15)

2 2ns s 2sM M M= + Ec. (10-16)

Los momentos que no consideran el desplazamiento lateral, M1ns y M2ns, se calculan usando un anlisis elstico de primerorden.

3. Si la columna es esbelta y las cargas axiales que actan sobre la misma son elevadas, se debe verificar si los momentos en los puntos entre los extremos de la columna son mayores que los momentos en dichos extremos. De acuerdo con 10.13.5, estaverificacin se realiza usando el factor de amplificacin ns para prticos indesplazables, calculando Pc en base a k = 1,0 o menor.

10.13.4 Determinacin de sMs

Como se indic anteriormente, existen tres maneras para calcular los momentos amplificados debidos al desplazamiento lateral,sMs. Si para calcularsMs se utiliza un anlisis elstico de segundo orden, las deformaciones deben ser representativas del estadoinmediatamente anterior a la carga ltima. Por este motivo en los anlisis de segundo orden se deben usar los valores de EI dadosen 10.11.1. Observar que I se debe dividir por (1 + d), donde para prticos desplazables d se define de la siguiente manera (ver

10.0):

dMximo corte de larga duracin mayorado en un entrepiso

Mximo corte mayorado en el entrepiso =

Para cargas ssmicas d = 0. Un ejemplo de un valor de d diferente de cero puede ocurrir cuando los elementos estn solicitadospor presiones del suelo.

La seccin 10.13.4.2 permite utilizar un anlisis de segundo orden aproximado para determinarsMs. En este caso, la solucin de laserie infinita que representa el anlisis iterativo P- para los momentos de segundo orden es:

ss s s

M

M MI Q = Ec. (10-17)

donde

Q = ndice de estabilidad de un entrepiso

u o

u c

P

V

=

Ec. (10-7)


14/41

11 - 14

Observar que la Ecuacin (10-7) predice en forma precisa los momentos de segundo orden en los prticos desplazables paravalores de s menores que 1,5. Cuando se verifica s > 1,5: mMs se debe calcular usando 10.13.4.1 10.13.4.3.

El cdigo tambin permite determinarsMs usando el procedimiento de amplificacin de momentos incluido en los cdigos ACIanteriores (10.13.4.3):

ss s s

u

c

MM M

P1

0,75 P

=

Ec. (10-18)

donde

Pu = sumatoria de todas las cargas verticales en un piso

Pc = sumatoria de las cargas crticas para todas las columnas que resisten el desplazamiento lateral de un piso

Es importante observar que, en las construcciones con desplazamientos torsionales significativos, el procedimiento deamplificacin de momentos puede subestimar la amplificacin de los momentos de las columnas ms alejadas del centro de

rotacin. En estos casos se debera considerar un anlisis de segundo orden tridimensional.

10.13.5 Ubicacin del mximo momento

Al sumar los momentos no amplificados y sin considerar el desplazamiento lateral en los extremos de la columna con losmomentos amplificados debidos al desplazamiento lateral, uno de los momentos totales resultantes obtenidos generalmente es elmximo momento de la columna. Sin embargo, en las columnas esbeltas con elevadas cargas axiales, el mximo momento puedeocurrir en un punto ubicado entre ambos extremos de la columna. En 10.13.5 se indica una manera sencilla de determinar si estoocurre: si en un elemento individual comprimido

u

u

c g

35

r P

f ' A

>

Ec. (10-19)

el mximo momento ocurrir en un punto ubicado entre ambos extremos de la columna. En este caso, M2, definido en la Ecuacin(10-16) se debe amplificar aplicando el factor de amplificacin de momentos para prticos indesplazables dado en la Ecuacin (10-9). Luego la columna se disea para la carga axial mayorada Pu y el momento Mc, donde Mc se calcula de la siguiente manera:

c ns 2M M= Ec. (10-8)

( )m 2ns s 2su

c

CM M

P1

0,75P

= +

Observar que k se determina de acuerdo con 10.12.1 y ns 1,0.

10.13.6 Estabilidad estructural bajo cargas gravitatorias

En los prticos desplazables se debe investigar la posibilidad de inestabilidad por desplazamiento lateral de la estructura en suconjunto. Esto se verifica de tres maneras diferentes, dependiendo del mtodo usado para determinarmMs:

1. Cuando sMs se determina mediante un anlisis de segundo orden (10.13.4.1) se debe satisfacer la siguiente expresin:


15/41

11 - 15

deformaciones laterales de segundo orden2,5

deformaciones laterales de primer orden

Observar que estas deformaciones se basan en una carga aplicada de 1,4PD y 1,7PL ms la carga horizontal aplicada. El prticose debera analizar dos veces para este conjunto de cargas: el primer anlisis debera ser un anlisis de primer orden, y elsegundo un anlisis de segundo orden. La carga horizontal se puede tomar como las cargas horizontales reales usadas en el

diseo, o bien puede ser una carga horizontal nica aplicada en la parte superior del prtico. En cualquier caso, la cargahorizontal debe ser lo suficientemente grande para producir deformaciones con valores de tal magnitud que puedan sercomparadas con precisin.

2. Cuando sMs se determina mediante un anlisis de segundo orden aproximado (10.13.4.2):

u o

u c

PQ 0,60

V

=

donde el valor de Q se evala usando 1,4PD y 1,7PL. Observar que la expresin anterior equivale a s = 2,5. Los valores de Vu yo se pueden determinar usando el conjunto real de las cargas horizontales o bien un conjunto arbitrario de cargas horizontales.Esta verificacin de la estabilidad se considera satisfecha si el valor de Q calculado en 10.11.4.2 es menor o igual que 0,2.

3. Cuando sMs se determina usando las expresiones de los cdigos ACI anteriores (10.13.4.3), la verificacin de la estabilidad seconsidera satisfecha cuando

s0 2,5<

En este caso Pu y Po corresponden a las cargas permanentes y sobrecargas mayoradas.

Es importante observar que en cada uno de los tres casos presentados d se deber tomar como:


Mxima carga axial mayorada =

10.13.7 Amplificacin de momentos para elementos solicitados a flexin

La resistencia de un prtico desplazable depende de la estabilidad de las columnas y del grado de restriccin proporcionado por lasvigas del prtico. Si en las vigas que proveen restriccin se forman rtulas plsticas, el comportamiento de la estructura seaproxima al de un mecanismo, y su capacidad de resistir cargas axiales se reduce en forma drstica. La seccin 10.13.7 especificaque los elementos solicitados a flexin (vigas o losas) que proveen restriccin deben tener capacidad para resistir los momentosamplificados de las columnas. El mtodo del factor de amplificacin de momentos permite obtener una buena aproximacin de losmomentos amplificados reales que actan en los extremos de los elementos de los prticos no arriostrados; esto es un avancesignificativo con respecto al mtodo de los factores de reduccin para columnas largas que se especificaba en cdigos anteriores deACI para tomar en cuenta la esbeltez de los elementos en el diseo.


16/41

11 - 16

RESUMEN DE LAS ECUACIONES DE DISEO

Creemos que el siguiente resumen de ecuaciones para el diseo de columnas esbeltas bajo cargas permanentes, sobrecargas ycargas de viento, tanto en prticos indesplazables como en prticos desplazables, puede ser de utilidad para el diseador. LosEjemplos 11.1 y 11.2 ilustran la aplicacin de estas ecuaciones para el diseo de columnas en prticos indesplazables y prticosdesplazables, respectivamente.

Prticos indesplazables

1. Determinar las combinaciones de cargas mayoradas de acuerdo con 9.2.

En los ejemplos que siguen se asume que el factor de carga para sobrecarga es 0,5 (es decir, se aplica la condicin 9.2.1(a)) yque la carga de viento ha sido reducida aplicando el factor de direccionalidad (9.2.1(b)).

Observar que los momentos mayorados Mu,sup y Mu,inf en los extremos superior e inferior de la columna, respectivamente, sehan de determinar usando un anlisis de prtico de primer orden, en base a las propiedades de la seccin fisurada del elemento.

2. Determinar Mc para cada combinacin de cargas, siendo Mc el mayor momento mayorado que acta en un extremo de lacolumna, incluyendo los efectos de la esbeltez (si fuera necesario). Observar que Mc se puede determinar mediante uno de lossiguientes mtodos:

a. Anlisis de segundo orden (P-) (10.10.1)

b. Mtodo del factor de amplificacin de momentos (slo si ku/r 100; ver 10.12 y el paso (3) siguiente)

Determinar la armadura requerida en la columna para la combinacin de cargas crtica determinada en el paso (1) anterior.Cada combinacin de cargas consiste en Pu y Mu.

3. Mtodo del factor de amplificacin de momentos (10.12):

Los efectos de la esbeltez se pueden despreciar cuando:

u 1

2

k M34 12

r M

Ec. (10-7)

donde [ ]1 234 12M / M 40 . El trmino 1 2M / M es positivo si la columna se deforma con curvatura simple, y negativo si elelemento se deforma con curvatura doble.

Si es necesario considerar los efectos de la esbeltez, determinar Mc para cada combinacin de cargas:

c ns 2M M= Ec. (10-8)

donde

M2 = valor mayor entre Mu,infy Mu,sup

( )uP 0,6 0,03h + 10.12.3.2

mns

u

c

C1,0

P1

0,75P

=

Ec. (10-9)


17/41

11 - 17

( )

2

c 2u

EIP

k

=

Ec. (10-10)

( )c g s sed

0,2E I E IEI

1

+=

+ Ec. (10-11)

o bien

c g

d

0, 4E IEI

1=

+ Ec. (10-12)


Mxima carga axial mayorada asociada con la misma combinacin de cargas = 10.0

1m

2

MC 0,6 0,4 0,4

M

= +

(sin cargas transversales) Ec. (10-13)

= 1,0 (con cargas transversales)

El factor de longitud efectiva se deber tomar igual a 1,0 o bien se deber determinar mediante anlisis (por ejemplo, usando elnomograma o las ecuaciones dadas en R10.12). En este ltimo caso, k se deber basar en los valores de E e I usados en 10.11.1(ver 10.12.1).

Prticos desplazables

1. Determinar las combinaciones de cargas mayoradas.

a. Cargas gravitatorias (permanentes y sobrecargas)

Todos los momentos (Mu,inf)ns y (Mu,sup)ns en la parte inferior y superior de la columna, respectivamente, se deben determinar

usando un anlisis de prtico elstico de primer orden, en base a las propiedades de la seccin fisurada de los elementos.

Los momentos M1 y M2 son el valor menor y el valor mayor de los momentos (Mu,inf)ns y (Mu,sup)ns, respectivamente. Losmomentos M1ns y M2ns son los momentos mayorados en los extremos correspondientes a los extremos en los cuales actanM1 y M2, respectivamente.

b. Cargas gravitatorias (permanentes y sobrecargas) ms cargas de viento

Los momentos totales en la parte superior e inferior de la columna son Mu,sup = (Mu,sup)ns + (Mu,sup)s y Mu,inf = (Mu,inf)ns +(Mu,inf)s, respectivamente. Los momentos M1 y M2 son el valor menor y el valor mayor de los momentos Mu,sup y Mu,inf,respectivamente. Observar que en esta etapa M1 y M2 no incluyen los efectos de la esbeltez. Los momentos M1ns y M1s sonlos momentos mayorados indesplazables y desplazables, respectivamente, que actan en el extremo de la columna dondeacta M1, mientras que M2ns y M2s son los momentos mayorados indesplazables y desplazables, respectivamente, que actan

en el extremo de la columna donde acta M2.

c. Cargas gravitatorias (permanentes) ms cargas de viento

Para esta combinacin de cargas los momentos se definen como se especifica en el punto 1(b).

d. En las combinaciones de cargas especificadas en los puntos 1(b) y 1(c) anteriores se deben considerar los efectos que seproducen cuando las cargas de viento actan en la direccin de anlisis inicial y en la opuesta.


18/41

11 - 18

2. Determinar la armadura requerida en la columna para la combinacin de cargas crtica determinada en el punto (1) anterior.Cada combinacin de cargas est compuesta por Pu, M1 y M2, donde ahora M1 y M2 son los momentos mayorados totales queactan en los extremos, incluyendo los efectos de la esbeltez. Observar que si la carga crtica Pc se calcula usando EI de laEcuacin (10-11), tambin es necesario estimar primero la armadura de la columna. Los momentos M 1 y M2 se determinanmediante uno de los mtodos siguientes:

a. Anlisis de segundo orden (P -) (10.10.1)

b. Mtodo del factor de amplificacin de momentos (slo si ku/r 100; ver 10.13 y el paso (3) a continuacin)

3. Mtodo del factor de amplificacin de momentos (ver 10.13):

Los efectos de la esbeltez se pueden despreciar cuando

uk 22r

Ec. (10-6)

Como Q > 0,05 el prtico a nivel del primer piso se considera desplazable. 10.11.4.2

3. Diseo de la columna C1.

a. Determinar si es necesario considerar los efectos de la esbeltez.

Determinar k usando el nomograma de R10.12.1.

44

col22

I 0,7 13.665 in.12

= =

10.11.1

c6000E 57.00 4415 ksi

1000= = 8.5.1

Para la columna debajo del nivel 2:

( )3c

c

E I 4415 13.665355 10

15 12 10

= =

in.-kips

Para la columna encima del nivel 2:

3c

c

E I 4415 13.665419 10

12 12

= =

in.-kips

34

viga24 20

I 0,35 5600 in.12

= =

10.11.1

Para la viga: 3c

c

E I 57 4000 560070 10

24 12

= =

in.-kips


32/41

11 - 32

c cA

c

E I / 355 41911,1

E I / 70

+ = = =

Asumir B 1,0 = (columna esencialmente empotrada en la base)

Del nomograma (Figura R10.12.1(b)), k = 1,9.

uk 1, 9 13, 33 12 46 22r 0,3 22

= = >

10.13.2

Por lo tanto es necesario considerar los efectos de la esbeltez.

b. Determinar el momento total M2 (incluyendo los efectos de la esbeltez) y las combinaciones de cargas de diseo,usando el anlisis aproximado de 10.13.4.2.

La siguiente tabla resume el clculo de los momentos amplificados para la columna C1 para todas lascombinaciones de cargas, y a continuacin se presenta el clculo detallado para las combinaciones No. 4 y 5,incluido para ilustrar el procedimiento.

No. Combinacin de CargasPu

(kips)o(in.)

Vu(kips)

Qs M2ns

(ft-kips)M2s

(ft-kips)M2

(ft-kips)

1 1,4D 25.053 --- --- --- --- 48,7 --- 48,7

2 1,2D + 1,6L + 0,5Lr 24.795 --- --- --- --- 66,4 --- 66,4

3 1,2D + 0,5L + 1,6Lr 22.902 --- --- --- --- 49,5 --- 49,5

4 1,2D + 1,6Lr + 0,8W 21.906 0,22 242,1 0,12 1,14 21,1 110,4 147,0

5 1,2D + 1,6Lr - 0,8W 21.906 0,22 242,1 0,12 1,14 21,1 -110,4 -104,8

6 1,2D + 0,5L + 0,5Lr + 1,6W 22.605 0,45 484,2 0,12 1,14 25,0 220,8 276,7

7 1,2D + 0,5L + 0,5Lr - 1,6W 22.605 0,45 484,2 0,12 1,14 25,0 -220,8 -226,8

8 0,9D + 1,6W 16.106 0,45 484,2 0,09 1,10 15,8 220,8 257,9

9 0,9D - 1,6W 16.106 0,45 484,2 0,09 1,10 15,8 -220,8 -226,2

2 2ns 2sM M M= + Ec. (10-16)

2ss 2s 2s

MM M

1 Q =

Ec. (10-17)

Para las combinaciones de cargas No. 4 y 5:

rU 1,2D 1,6L 0,8W= +

( ) ( )uP 1,2 17.895 1,6 270 0 21.906 kips= + = ( )o 0,8 0,28 0 0,22 in. = =

uV 0,8 302,6 240,1 kips= =

( ) ( )c 15 12 20 / 2 170 in.= =


33/41

11 - 33

u o

u c

P 21.906 0,22Q 0,12

V 240,1 170

= = =

1 11,14

1 Q 1 0,12 = = =

Para deformacin lateral de norte a sur (combinacin de cargas No. 4):

s 2sM 1,14 110,4 125,9 = = ft-kips

2 2ns s 2sM M M 21,1 125,9 147,0= + = + = ft-kips

uP 722,0 kips=

Para deformacin lateral de sur a norte (combinacin de cargas No. 5):

( )s 2sM 1,14 110, 4 125,9 = = ft-kips

2M 21,1 125,9 104,8= = ft-kips

uP 799,3 kips=

c. A fin de poder realizar una comparacin, calcular nuevamente s 2sM usando el mtodo del factor deamplificacin de momentos descrito en 10.13.4.3.

2ss 2s 2s

u

c

MM M

P1

0,75 P

=

Ec. (10-18)

La carga crtica Pc se calcula con la Ecuacin (10-10) usando k de 10.13.1 y EI de las Ecuaciones (10-11) o(10-12). Como an no se conoce cul ser la armadura, para determinar EI usar la Ecuacin (10-12).

Para cada una de las 12 columnas exteriores a lo largo de las lneas de columnas 1 y 4 (es decir, las columnasen las cuales en la direccin de anlisis concurre una viga), en el punto 3(a) anterior se determin que k esigual a 1,9.

( )

46c

d

0, 4E I 0, 4 4415 22EI 34,5 10

1 12 1 0

= = =

+ +in.2-kips Ec. (10-12)

( ) ( )

2 2 6

c 2 2

u

EI 34,5 10P 3686 kips

1, 9 13, 33 12k

= = =

Ec. (10-10)

Para cada una de las columnas exteriores A2, A3, F2 y F3 (es decir, las columnas en las cuales en la direccinde anlisis concurren dos vigas):

A355 419

5,52 70

+ = =

B = 1,0


34/41

11 - 34

Del nomograma, k = 1,75

( )

2 6

c 2

34, 5 10P 4345 kips

1, 75 13, 33 12

= =

Ec. (10-10)

Para cada una de las 8 columnas interiores:

44

col24

I 0,7 19.354 in.12

= =

10.11.1

Para la columna debajo del nivel 2:

( )3c

c

E I 4415 19.354503 10

15 12 10

= =

in.-kips

Para la columna encima del nivel 2:

3c

c

E I 4415 19.354593 10

12 12

= =

in.-kips

A503 593

7,820 70

+ = =

B 1,0 =

Del nomograma, k = 1,82.

2624

EI 0,4 4415 48,8 1012= = in.-kips Ec. (10-12)

( ) ( )

2 2 6

c 2 2u

EI 48,8 10P 5683 kips

1, 82 13, 33 12k

= = =

Ec. (10-10)

Por lo tanto,

( ) ( ) ( )cP 12 3686 4 4345 5 5683 107.076 kips= + + =

La siguiente tabla resume el clculo de los momentos amplificados para la columna C1 usando 10.13.4.3 paratodas las combinaciones de cargas, y a continuacin se presenta el clculo detallado para las combinaciones

No. 4 y 5, incluido para ilustrar el procedimiento.


(kips)s M2ns

(ft-kips)M2s

(ft-kips)M2

(ft-kips)1 1,4D 25.053 --- 48,7 --- 48,7

2 1,2D + 1,6L + 0,5Lr 24.795 --- 66,4 --- 66,4

3 1,2D + 0,5L + 1,6Lr 22.903 --- 49,5 --- 49,5

4 1,2D + 1,6Lr + 0,8W 21.908 1,38 21,1 110,4 173,5


35/41

11 - 35


(kips)s M2ns

(ft-kips)M2s

(ft-kips)M2

(ft-kips)5 1,2D + 1,6Lr - 0,8W 21.908 1,38 21,1 -110,4 -131,3

6 1,2D + 0,5L + 0,5Lr+1,6W 22.605 1,39 25,0 220,8 331,9

7 1,2D + 0,5L + 0,5Lr-1,6W 22.605 1,39 25,0 -220,8 -281,9

8 0,9D + 1,6W 16.106 1,25 15,8 220,8 292,0

9 0,9D - 1,6W 16.106 1,25 15,8 -220,8 -260,3


rU 1, 2D 1,6L 0,8W= +

su

c

1 11,38

21.908P 11 0,75 107.0760,75 P

= = =


s 2sM 1,38 110, 4 152, 4 = = ft-kips

2M 21,1 152, 4 173,5= + = ft-kips

uP 722,0 kips=


( )s 2sM 1,38 110, 4 152,4 = = ft-kips

2M 21,1 152, 4 131,3= = ft-kips

uP 799,3 kips=

En la siguiente tabla se presenta un resumen de los momentos amplificados para la columna C1 para todas lascombinaciones de cargas.

10.13.4.2 10.13.4.3No. Combinacin de cargas

Pu(kips) s M2

(ft-kips)s M2

(ft-kips)1 1,4D 871,4 --- 48,7 --- 48,7

2 1,2D + 1,6L + 0,5Lr 869,4 --- 66,4 --- 66,4

3 1,2D + 0,5L + 1,6Lr 797,6 --- 49,5 --- 49,5

4 1,2D + 1,6Lr+ 0,8W 722,0 1,14 147,0 1,38 173,5

5 1,2D + 1,6Lr - 0,8W 799,3 1,14 -104,8 1,38 -131,3

6 1,2D + 0,5L + 0,5Lr+1,6W 710,9 1,14 276,7 1,39 331,9

7 1,2D + 0,5L + 0,5Lr-1,6W 865,4 1,14 -226,8 1,39 -281,9

8 0,9D + 1,6W 482,9 1,10 257,9 1,25 292,0

9 0,9D - 1,6W 637,4 1,10 -226,2 1,25 -260,3


36/41

11 - 36

d. Determinar la armadura requerida.

Para la columna de 22 22 in. intentar con 8 barras No. 8. Determinar la mxima fuerza de compresin axialadmisible, Pn,max:

( )n,max c g st y stP 0,80 0,85f ' A A f A = + Ec. (10-2)

( ) ( ) ( ) ( )20,80 0,65 0,85 6 22 6,32 60 6,32 = +

u1464, 0 kips P mx. 871, 4 kips= > = VERIFICA

La siguiente tabla contiene los resultados obtenidos de un anlisis de compatibilidad de las deformaciones; lasdeformaciones de compresin se consideran positivas (ver Partes 6 y 7). Usar Mu = M2 del mtodo P - aproximado de 10.13.4.2.

No.

Pu

(kips)

Mu

(ft-kips)c

(in.)

t Pn(kips)

Mn(ft-kips)

1 871,4 48,7 14,85 -0,00096 0,65 871,4 459,4

2 869,4 66,4 14,82 -0,00097 0,65 869,4 459,7

3 797,6 49,5 13,75 -0,00128 0,65 797,6 468,2

4 722,0 147,0 12,75 -0,00162 0,65 722,0 474,1

5 799,3 -104,8 13,78 -0,00127 0,65 799,3 468,0

6 710,9 276,7 12,61 -0,00167 0,65 710,9 474,8

7 865,4 -226,8 14,76 -0,00099 0,65 865,4 460,2

8 482,9 257,9 7,36 -0,00500 0,90 482,9 557,2

9 637,4 -226,2 11,68 -0,00204 0,65 637,4 478,8

Por lo tanto, como Mn > Mu para cualquierPn = Pu, usar una columna de 22 22 in. con 8 barras No. 8 (g =1,3%). Esta misma armadura es adecuada para las combinaciones de cargas del mtodo del factor deamplificacin de momentos de 10.13.4.3.

4. Diseo de la columna C2

a. Determinar si es necesario considerar los efectos de la esbeltez.

En el punto 3(c) se determin que k es igual a 1,82 para las columnas interiores. Por lo tanto,

19,625"

11"

2,375"

22"

22"


37/41

11 - 37

uk 1, 82 13, 33 12 40, 4 22r 0,3 24

= = >

10.13.2

Es necesario considerar los efectos de la esbeltez.

b. Determinar el momento total M2 (incluyendo los efectos de la esbeltez) y las combinaciones de cargas de diseo,

usando el anlisis aproximado de 10.13.4.2.

La siguiente tabla resume el clculo de los momentos amplificados para la columna C2 para todas lascombinaciones de cargas, y a continuacin se presenta el clculo detallado para las combinaciones No. 4 y 5,incluido para ilustrar el procedimiento.


(kips)o(in.)

Vu(kips)

Q s M2ns(ft-kips)

M2s(ft-kips)

M2(ft-kips)

1 1,4D 25.053 --- --- --- --- -2,8 --- -2,8

2 1,2D + 1,6L + 0,5Lr 24.795 --- --- --- --- -27,4 --- -27,4

3 1,2D + 0,5L + 1,6Lr 22.902 --- --- --- --- -10,2 --- -10,2

4 1,2D + 1,6Lr+ 0,8W 21.906 0,22 242,1 0,12 1,14 -1,2 164,0 185,8

5 1,2D + 1,6Lr - 0,8W 21.906 0,22 242,1 0,12 1,14 -1,2 -164,0 -188,26 1,2D + 0,5L + 0,5Lr+ 1,6W 22.605 0,45 484,2 0,12 1,14 -5,1 328,0 368,8

7 1,2D + 0,5L + 0,5Lr- 1,6W 22.605 0,45 484,2 0,12 1,14 -5,1 -328,0 -379,6

8 0,9D + 1,6W 16.106 0,45 484,2 0,09 1,10 -0,9 328,0 358,6

9 0,9D - 1,6W 16.106 0,45 484,2 0,09 1,10 -0,9 -328,0 360,4

2 2ns 2sM M M= + Ec. (10-16)

2ss 2s 2s

MM M

1 Q =

Ec. (10-17)


rU 1,2D 1,6L 0,8W= +

En el punto 3(b) se determin que s es igual a 1,14.


s 2sM 1,14 164 187,0 = = ft-kips

2 2ns s 2sM M M 1,2 187,0 185,8= + = + = ft-kips

uP 1332, 6 kips=


( )s 2sM 1,14 164 187,0 = = ft-kips

2M 1, 2 187,0 188,2= = ft-kips

uP 1333, 0 kips=


38/41

11 - 38

c. A fin de poder realizar una comparacin, calcular nuevamente s 2sM usando el mtodo del factor deamplificacin de momentos descrito en 10.13.4.3. Usar los valores de Pu, Pc y s calculados en el punto3(c).

No. Combinacin de cargasPu

(kips)

s M2ns

(ft-kips)

M2s

(ft-kips)

M2

(ft-kips)1 1,4D 25.053 --- -2,8 --- -2,8

2 1,2D + 1,6L + 0,5Lr 24.795 --- -27,4 --- -27,4

3 1,2D + 0,5L + 1,6Lr 22.903 --- -10,2 --- -10,2

4 1,2D + 1,6Lr+ 0,8W 21.908 1,38 -1,2 164,0 225,1

5 1,2D + 1,6Lr- 0,8W 21.908 1,38 -1,2 -164,0 -227,5

6 1,2D + 0,5L + 0,5Lr+ 1,6W 22.605 1,39 -5,1 328,0 451,4

7 1,2D + 0,5L + 0,5Lr- 1,6W 22.605 1,39 -5,1 -328,0 -461,6

8 0,9D + 1,6W 16.106 1,25 -0,9 328,0 409,4

9 0,9D - 1,6W 16.106 1,25 -0,9 -328,0 -411,2

rU 1,2D 1,6L 0,8W= +

s 1,38 = (del punto 3(c))


s 2sM 1,38 164,0 226,3 = = ft-kips

2M 1, 2 226,3 225,1= + = ft-kips

uP 1332, 6 kips=


( )s 2sM 1,38 164,0 226,3 = = ft-kips

2M 1, 2 226,3 227,5= = ft-kips

uP 1333, 0 kips=

En la siguiente tabla se presenta un resumen de los momentos amplificados para la columna C2 para todas lascombinaciones de cargas.


39/41

11 - 39

10.13.4.2 10.13.4.3No. Combinacin de Cargas

Pu(kips) s M2

(ft-kips)s M2

(ft-kips)1 1,4D 1522,6 --- -2,8 --- -2,8

2 1,2D + 1,6L + 0,5Lr 1529,0 --- -27,4 --- -27,4

3 1,2D + 0,5L + 1,6Lr 1400,1 --- -10,2 --- -10,24 1,2D + 1,6Lr+ 0,8W 1332,6 1,14 185,8 1,38 225,1

5 1,2D + 1,6Lr - 0,8W 1333,0 1,14 -188,2 1,38 -227,5

6 1,2D + 0,5L + 0,5Lr+ 1,6W 1380,5 1,14 368,8 1,39 451,4

7 1,2D + 0,5L + 0,5Lr- 1,6W 1381,5 1,14 -379,6 1,39 -461,6

8 0,9D + 1,6W 978,4 1,10 358,6 1,25 409,49 0,9D - 1,6W 979,3 1,10 -360,4 1,25 -411,2

4. Determinar la armadura requerida.

Para la columna de 24 24 in., intentar con 8 barras No. 8.

Determinar la mxima fuerza de compresin axial admisible, Pn,max:

( )n,max c g st y stP 0,80 0,85f ' A A f A = + Ec. (10-2)

( ) ( ) ( ) ( )20,80 0,65 0,85 6 24 6,32 60 6,32 = +

u1708 k ips P mx. 1529, 0 kips= > = VERIFICA

La siguiente tabla contiene los resultados obtenidos de un anlisis de compatibilidad de las deformaciones; lasdeformaciones de compresin se consideran positivas (ver Partes 6 y 7). Usar Mu = M2 del mtodo P -

aproximado de 10.13.4.2.

2,375"

24"

24"

12"

21,625"


40/41

11 - 40

No.Pu

(kips)Mu

(ft-kips)c

(in.)t Pn

(kips)Mn

(ft-kips)1 1522,6 -2,8 23,30 0,00022 0,65 1.522,6 438,1

2 1529,0 -27,4 23,39 0,00023 0,65 1.529,0 435,3

3 1400,1 -10,2 21,49 -0,00002 0,65 1.400,1 489,7

4 1332,6 185,8 20,50 -0,00016 0,65 1.332,6 513,3

5 1333,0 -188,2 20,51 -0,00016 0,65 1.333,0 513,1

6 1380,5 368,8 21,20 -0,00006 0,65 1.380,5 496,9

7 1381,5 -379,0 21,22 -0,00005 0,65 1.381,5 496,4

8 978,4 358,6 15,52 -0,00118 0,65 978,4 587,1

9 979,3 -360,4 15,46 -0,00120 0,65 979,3 587,5

Por lo tanto, como Mn > Mu para cualquierPn = Pu, usar una columna cuadrada de 24 24 in. con 8 barras No.8 (g = 1,1%). Esta misma armadura es adecuada para las combinaciones de cargas del mtodo del factor deamplificacin de momentos de 10.13.4.3.

5. Determinar si el mximo momento ocurre en los extremos de la columna o en un punto ubicado entre los extremos (10.13.5).

Para la columna C1:

u

2

13,33 12 3524, 2 63,9

r 0,3 22 871,4

6 22

= = < =

Ec. (10-19)

Para la columna C2:

u

2

13,33 12 3522, 2 52,6

r 0,3 24 1529,0

6 24

= = < =

Por lo tanto, para las columnas C1 y C2, el mximo ocurre en uno de los extremos, y no es necesario amplificarel momento M2 aplicando ns.

6. Verificar la inestabilidad por desplazamiento lateral de la estructura. 10.13.6

a. Si sMs se calcula en base a 10.13.4.2, el valor de Q evaluado usando las cargas gravitatorias mayoradas nodebe ser mayor que 0,60. Observar que para verificar la estabilidad todos los momentos de inercia se debendividir por (1 + d) (ver 10.11.1), siendo para este piso:


Mxima carga axial mayorada =

( ) ( )D

u

1,4P 1,4 17.8950,87

P 1, 4 17.895 1,7 2261

= = =

+

d1 1,87+ =

Dividir todos los momentos de inercia por (1 + d) equivale a aumentar las deformaciones laterales, y por lotanto Q, en (1 + d). En consecuencia, al nivel del segundo piso:


41/41

Q 1,87 0,12 0, 22 0,60= = <

Por lo tanto, la estructura es estable en este nivel. De hecho, si se calcula Q modificado en cada nivel de pisose puede ver que toda la estructura es estable.

b. SisM

sse calcula en base a 10.13.4.3, el valor de

scalculado usando P

uy P

ccorrespondientes a las cargas

permanentes y sobrecargas mayoradas debe ser positivo y no mayor que 2,5. Para verificar la estabilidad, EIse debe dividir por (1 + d). En consecuencia, los valores de Pc se deben volver a calcular considerando losefectos de d.

c107.076

P 57.260 kips1 0,87

= =+

y( ) ( )s

13,1 2,5

1, 4 17.895 1,7 22611

0,75 57.260

= = > +

La estructura es inestable cuando se utiliza el mtodo del factor de amplificacin de momentos de 10.13.4.3.

Efectos de la esbeltez

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