EFECTO PLÁSTICO DE ESCALA: MODELIZACIÓN NUMÉRICA Y CARACTERIZACIÓN DEL DAÑO

Emilio Martínez-Pañeda

Departamento de Construcción e Ingeniería de Fabricación, Universidad de Oviedo

Campus de Viesques s/n, 33203, Gijón, España * E-mail: mail@empaneda.com

RESUMEN

En este trabajo se analiza exhaustivamente la influencia del efecto plástico de escala en la modelización del daño y la

fractura. Así, por medio de las dos principales clases de teorías de gradientes de deformación plástica (SGP) y una

implementación numérica ad hoc, se examinan: (i) los campos tensionales en el frente de grieta, (ii) la difusión de

hidrógeno hacia la zona de proceso de fractura y (iii) la modelización del agrietamiento asistido por el medio ambiente.

Los resultados revelan la imperiosa necesidad de considerar la influencia de las dislocaciones geométricamente necesarias

(GNDs) para comprender, modelizar y predecir cuantitativamente el inicio y la propagación del daño en materiales

metálicos.

PALABRAS CLAVE: Gradientes de deformación plástica, método de los elementos finitos, fragilización por hidrógeno.

ABSTRACT

In this work the role of the plastic size effect in the modelization of damage and fracture is thoroughly examined. The

two main classes of strain gradient plasticity (SGP) theories and an ad hoc numerical implementation are employed to

assess: (i) stress fields in the vicinity of the crack, (ii) hydrogen diffusion to the fracture process zone and (iii)

environmentally-assisted cracking models. Results reveal the imperative need to account for the influence of

geometrically necessary dislocations (GNDs) to understand, model and quantitatively predict the onset and propagation

of damage in metallic materials.

KEYWORDS: Strain gradient plasticity, finite element method, hydrogen embrittlement.

1. INTRODUCCIÓN

Las observaciones experimentales han puesto de

manifiesto la existencia, a nivel micrométrico, de un

significativo efecto plástico de escala en los materiales

metálicos [1]. Este efecto de tamaño estaría

fundamentado en el almacenamiento de dislocaciones

geométricamente necesarias (GNDs – Geometrically

Necessary Dislocations) intrínsecas a la deformación

plástica no uniforme y sería especialmente relevante en

problemas de fractura, donde la zona plástica adyacente

a la punta de la grieta suele ser físicamente pequeña y

contiene fuertes gradientes espaciales de deformación.

En los últimos años se han desarrollado diversas teorías

de gradientes de deformación plástica (SGP – Strain

Gradient Plasticity) con el objetivo de incorporar el

efecto tamaño por medio de la longitud intrínseca del

material, ausente en la plasticidad convencional. En

función del enfoque utilizado en su desarrollo se

distinguen principalmente dos clases de teorías SGP en

el medio continuo: las fenomenológicas [2] y las basadas

en el modelo de dislocaciones de Taylor (MSG –

Mechanism-based Strain Gradient) [3].

La observación experimental de fractura por clivaje en

presencia de significativo flujo plástico [4] ha alentado

un interés significativo en la influencia de los gradientes

de deformación plástica en los campos tensionales en la

vecindad de la grieta. Sin embargo, a pesar de la

existencia de grandes deformaciones en el entorno de la

grieta, la inmensa mayoría de los estudios publicados se

han desarrollado en el marco de la teoría de

deformaciones infinitesimales.

En este trabajo se desarrolla un marco numérico en el

contexto de la teoría de deformaciones finitas para las dos

principales clases de formulaciones SGP. En primer

lugar, el mismo se emplea para investigar los campos

tensionales más allá de la grieta. Los resultados revelan

que las GNDs existentes en la vecindad de la grieta

promueven un endurecimiento local que se traduce en un

nivel tensional mucho mayor al estimado por la

plasticidad convencional [5, 6]. Esta elevación tensional

podría ser especialmente relevante en la modelización del

agrietamiento asistido por hidrógeno, dado el papel

central que juega la tensión hidrostática 𝜎𝐻 en la

Anales de Mecánica de la Fractura (Vol. 33)

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descohesión de la interfaz y en la dilatación de la red,

gobernando la difusión de hidrógeno [7]. Por

consiguiente, se analiza a continuación la difusión de

hidrógeno hacia la zona de proceso de fractura y la

modelización del daño asistido por hidrógeno teniendo

en consideración el efecto de los gradientes de

deformación plástica.

2. MODELO DEL MATERIAL

2.1. Enfoque fenomenológico

En este trabajo se adopta la generalización de la

plasticidad J2 propuesta por Fleck y Hutchinson [2] para

modelizar el efecto de escala desde una perspectiva

fenomenológica. En esta teoría la influencia de los

gradientes de deformación se incluye a partir del

gradiente de la tasa de deformación plástica 휀�̇�𝑗,𝑘𝑝

=

(𝑚𝑖𝑗휀̇𝑝),𝑘

. Dónde 휀̇𝑝 = √2

3휀�̇�𝑗

𝑝휀�̇�𝑗

𝑝 es el incremento de la

deformación plástica equivalente convencional y 𝑚𝑖𝑗 =3

2𝑠𝑖𝑗/𝜎𝑒 es su dirección, siendo 𝑠𝑖𝑗 el tensor desviador y

𝜎𝑒 la tensión equivalente de Von Mises. La tasa de

deformación plástica equivalente que incluye la

influencia de los gradientes �̇�𝑝 se define en función de

tres invariantes de 휀�̇�𝑗,𝑘𝑝

:

�̇�𝑝 = √휀�̇�2 + 𝑙1

2𝐼1 + 𝑙22𝐼2 + 𝑙3

2𝐼3 (1)

Donde 𝑙1, 𝑙2 y 𝑙3 son las longitudes características del

material. Esta deformación plástica equivalente

generalizada puede expresarse en función de 휀̇𝑝 y 휀,̇𝑖𝑝

haciendo uso de los coeficientes 𝐴𝑖𝑗, 𝐵𝑖 y 𝐶:

�̇�𝑝 = √휀�̇�2 + 𝐴𝑖𝑗휀̇,𝑖

𝑝휀̇,𝑗

𝑝+ 𝐵𝑖휀̇,𝑖

𝑝휀̇,𝑗

𝑝+ 𝑙3

2𝐼3 (2)

Así, en un sólido de volumen 𝑉 con la superficie 𝑆, el

principio de los trabajos virtuales en la configuración

actual viene dado por:

∫ (𝜎𝑖𝑗𝛿휀�̇�𝑗 − (𝑄 − 𝜎𝑒)𝛿휀̇𝑝 + 𝜏𝑖𝛿휀,̇𝑖𝑝

)dV =𝑉

∫ (𝑇𝑖𝛿�̇�𝑖 + 𝑡𝛿휀̇𝑝)dS𝑆

(3)

Donde �̇�𝑖 es el incremento de desplazamiento, 𝜎𝑖𝑗 es el

tensor de tensiones de Cauchy, 𝑄 es una tensión efectiva

generalizada (trabajo conjugado de 휀̇𝑝) y 𝜏𝑖 es la tensión

de orden superior (trabajo conjugado de 휀,̇𝑖𝑝

). La integral

de superficie contiene contribuciones tanto de la tracción

convencional 𝑇𝑖 como de la tracción de orden superior 𝑡.

2.2. Enfoque basado en mecanismos

La teoría SGP basada en mecanismos (MSG plasticity)

[3] está basada en el modelo de dislocaciones de Taylor.

En consecuencia la tensión cortante de fluencia (𝜏) está

relacionada con la densidad de dislocaciones (𝜌) según:

𝜏 = 𝛼𝜇𝑏√𝜌 (4)

Donde µ es el módulo de elasticidad transversal, 𝑏 es la

magnitud del vector de Burgers y 𝛼 es un coeficiente

empírico que adopta valores entre 0.3 y 0.5. La densidad

de dislocaciones está compuesta de dislocaciones

geométricamente necesarias (𝜌𝐺) y dislocaciones

almacenadas estadísticamente (𝜌𝑆), tal que:

𝜌 = 𝜌𝐺 + 𝜌𝑆 (5)

Estando 𝜌𝐺 relacionada con el gradiente de deformación

plástica efectivo (𝜂𝑝) en base a:

𝜌𝐺 = �̅�𝜂𝑝

𝑏 (6)

Donde �̅� es el factor de Nye, que adopta un valor

aproximado de 1.90 para estructuras cristalinas fcc. La

tensión de fluencia a tracción (𝜎𝑓𝑙𝑜𝑤) está relacionada con

la tensión cortante de fluencia (𝜏) según:

𝜎𝑓𝑙𝑜𝑤 = 𝑀𝜏 (7)

Siendo 𝑀 el factor de Taylor, que es igual a 3.06 para

metales fcc. Reagrupando queda:

𝜎𝑓𝑙𝑜𝑤 = 𝑀𝛼𝜇𝑏√𝜌𝑆 + �̅�𝜂𝑝

𝑏 (8)

Despejando de (8) se puede obtener 𝜌𝑆 a sabiendas de la

relación en tensión uniaxial (𝜂𝑝 = 0) entre la tensión de

fluencia y la curva tensión-deformación:

𝜌𝑆 = [𝜎𝑟𝑒𝑓𝑓(휀𝑝) (𝑀𝛼𝜇𝑏)⁄ ]2 (9)

Donde 𝜎𝑟𝑒𝑓 es una tensión de referencia y 𝑓 es una

función adimensional de la deformación plástica 휀𝑝 que

viene dada por la correspondiente relación uniaxial entre

la tensión y la deformación. Sustituyendo en (8):

𝜎𝑓𝑙𝑜𝑤 = 𝜎𝑟𝑒𝑓√𝑓2(휀𝑝) + 𝑙𝜂𝑝 (10)

Donde el parámetro 𝑙 representa la longitud característica

del material. El gradiente de deformación plástica

efectivo se calcula a partir de:

𝜂𝑝 = √1

4𝜂𝑖𝑗𝑘

𝑝𝜂𝑖𝑗𝑘

𝑝 (11)

Donde el tensor de tercer orden 𝜂𝑖𝑗𝑘𝑝

se obtiene según:

𝜂𝑖𝑗𝑘𝑝

= 휀𝑖𝑘,𝑗𝑝

+ 휀𝑗𝑘,𝑖𝑝

− 휀𝑖𝑗,𝑘𝑝

(12)

Anales de Mecánica de la Fractura (Vol. 33)

388

3. IMPLEMENTACIÓN NUMÉRICA

3.1. Enfoque fenomenológico

La teoría fenomenológica de Fleck y Hutchinson [2] se

formula en el marco de deformaciones finitas a partir de

una formulación Lagrangiana actualizada. Así, haciendo

uso de las componentes tensionales de Kirchhoff, el

principio de los trabajos virtuales (3) puede expresarse tal

que:

∫ (ϛ̌𝑖𝑗𝛿휀�̇�𝑗 − 𝜎𝑖𝑗(2휀�̇�𝑘𝛿휀�̇�𝑗 − �̇�𝑘𝑗𝛿�̇�𝑘𝑖) + (�̇� −𝑉

�̇�𝑒ϛ)𝛿휀̇𝑝 + �̌�𝑖𝛿휀,𝑖

𝑝)dV = ∫ (�̇�0𝑖𝛿�̇�𝑖 + �̇�0𝛿휀̇𝑝)

𝑆dS (13)

Donde ϛ̌𝑖𝑗 es la tasa Jaumann de la tensión de Kirchhoff,

�̇� es la tasa de la tensión efectiva correspondiente a la

tensión de Kirchhoff, �̌�𝑖 es la tasa convectiva de la

tensión de orden superior de Kirchhoff y �̇�𝑖𝑗 se

corresponde con el gradiente de desplazamientos.

Estando los términos de Kirchhoff relacionados con sus

equivalentes de Cauchy en la Eq. (3) por medio del

determinante del gradiente de deformaciones: ϛ𝑖𝑗 = 𝐽𝜎𝑖𝑗,

𝜌𝑖 = 𝐽𝜏𝑖, 𝑞 = 𝐽𝑄 y 𝜎𝑒ϛ

= 𝐽𝜎𝑒.

La implementación numérica se lleva a cabo por medio

de una formulación especial del método de los elementos

finitos donde, además de los incrementos de los

desplazamientos nodales (�̇�𝑛), los incrementos nodales

de la deformación plástica equivalente (휀�̇�𝑝) aparecen

directamente como incógnitas. Los incrementos de

desplazamientos (�̇�𝑖) y de la deformación plástica

equivalente (휀̇𝑝) se interpolan en cada elemento por

medio de las funciones de forma 𝑁𝑖𝑛 y 𝑀𝑛:

�̇�𝑖 = ∑ 𝑁𝑖𝑛�̇�𝑛2𝑘

𝑛=1 , 휀̇𝑝 = ∑ 𝑀𝑛휀�̇�𝑝𝑙

𝑛=1 (14)

Siendo 𝑘 y 𝑙 el número de nodos utilizados para la

interpolación de los desplazamientos y la deformación

plástica equivalente, respectivamente. Al introducir la

interpolación de los desplazamientos y de la deformación

plástica equivalente (14) y sus correspondientes

derivadas en el principio de los trabajos virtuales, se

obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

[𝑲𝒆 𝑲𝒆𝒑

𝑲𝒆𝒑𝑻 𝑲𝒑

] [ �̇��̇�𝒑

] = [�̇�𝟏

�̇�𝟐

] (15)

Donde 𝑲𝒆 es la matriz de rigidez elástica, 𝑲𝒆𝒑 es una

matriz de dimensión fuerza y 𝑲𝒑 es una matriz de

dimensión energía. La parte derecha de la Eq. (15) se

compone de la componente externa del vector de fuerzas

convencional �̇�𝟏 y de la componente incremental del

vector de fuerzas de orden superior �̇�𝟐.

Una vez obtenidos los incrementos de los

desplazamientos nodales y de la deformación plástica

equivalente, se calculan las componentes actualizadas de

las deformaciones (휀𝑖𝑗), tensiones (𝜎𝑖𝑗) y tensiones de

orden superior (𝜏𝑖 y 𝑄), en cada punto de integración.

3.2. Enfoque basado en mecanismos

Al haberse descrito en la literatura numerosos problemas

de convergencia en el análisis de problemas de fractura

para la implementación en deformaciones finitas de la

teoría de orden superior MSG (ver [8]), en el presente

trabajo se adopta su versión homóloga de orden inferior:

la teoría convencional basada en mecanismos (CMSG,

Conventional Mechanism-based Strain Gradient) [3]. En

la teoría CMSG la influencia el gradiente de

deformaciones se introduce en el incremento de

deformación plástica y por consiguiente no es necesario

el uso de términos de orden superior. Huang et al. [3]

utilizaron una formulación viscoplástica para obtener el

incremento de deformación plástica (휀̇𝑝) en función de la

tensión equivalente (𝜎𝑒), en lugar de �̇�𝑒. Asimismo, para

eliminar la dependencia temporal sustituyeron la

velocidad de deformación de referencia (휀0̇) por la

velocidad de deformación efectiva (휀̇):

휀̇𝑝 = 휀̇ [𝜎𝑒

𝜎𝑦√𝑓2(𝜀𝑝)+𝑙𝜂𝑝]

𝑚

(16)

Este proceder es una conveniencia matemática y las

diferencias son despreciables para un valor

suficientemente alto del exponente visco-plástico (𝑚 ≥20). Habida cuenta de que las deformaciones

volumétricas y desviadoras están relacionadas con la

tensión de la misma manera que en la plasticidad

convencional, la ecuación constitutiva en la teoría CMSG

se expresa tal que:

�̇�𝑖𝑗′ = 𝐾휀�̇�𝑘𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇 {휀�̇�𝑗

′ −3�̇�

2𝜎𝑒[

𝜎𝑒

𝜎𝑓𝑙𝑜𝑤]

𝑚

�̇�𝑖𝑗′ } (17)

Al considerar un comportamiento colectivo de

dislocaciones por medio del modelo de Taylor para

incluir el efecto de 𝜂𝑝 en el cálculo de la tensión de

fluencia, la teoría CMSG sólo tiene sentido físico en una

escala considerablemente mayor que el espacio medio

entre dislocaciones (≈100 nm para la mayoría de los

metales). Nótese que, en la teoría MSG, las condiciones

de contorno de orden superior no tienen ninguna

influencia en la distribución tensional en una distancia

mayor de 10 nm con respecto a la punta de la grieta [3],

una magnitud muy inferior a su límite de validez físico.

Al no requerir de tensiones de orden superior, las

ecuaciones de comportamiento son las mismas que las de

la plasticidad convencional. El gradiente de deformación

plástica se calcula en cada punto de integración

interpolando en el interior del elemento el valor del

incremento de la deformación plástica en los puntos de

integración de Gauss en el espacio isoparamétrico y

derivando numéricamente a continuación las funciones

de forma. Las rotaciones de cuerpo rígido para las

tensiones y deformaciones se llevan a cabo por medio del

Anales de Mecánica de la Fractura (Vol. 33)

389

algoritmo de Hughes y Winget (ver [5]) y el gradiente de

deformaciones se obtiene de la configuración deformada

al no ser válida la hipótesis de pequeños

desplazamientos.

4. RESULTADOS

4.1. Campos tensionales en el frente de grieta

En primer lugar se examinan los campos tensionales en

la vecindad de la grieta por medio de una formulación de

contorno. Por consiguiente la grieta se modeliza

mediante un dominio circular y la carga externa en modo

I se aplica en el contorno exterior del círculo por medio

de un desplazamiento impuesto:

𝑢(𝑟, 𝜃) =(1+𝜈)𝐾𝐼

𝐸√

𝑟

2𝜋(3 − 4𝜈 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑐𝑜𝑠 (

𝜃

2) (18)

𝑣(𝑟, 𝜃) =(1+𝜈)𝐾𝐼

𝐸√

𝑟

2𝜋(3 − 4𝜈 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑠𝑖𝑛 (

𝜃

2) (19)

Donde 𝑢 y 𝑣 se corresponden con los desplazamientos en

las direcciones horizontal y vertical respectivamente, 𝑟 y

𝜃 son las coordenadas polares de cada nodo, 𝐸 y 𝜈 son

las propiedades elásticas del material y 𝐾𝐼 es el factor de

intensidad de tensiones elástico que cuantifica la carga

externa aplicada. Los parámetros del material utilizados

en este caso son: límite elástico 𝜎𝑌 = 0.2%𝐸, 𝜈 = 0.3,

coeficiente de endurecimiento por deformación 𝑁 = 0.2,

coeficiente viscoplástico 𝑚 = 20, vector de Burgers 𝑏 =0.255 nm y 𝛼 = 0.5. La longitud intrínseca del material

se asume igual 5 µm, lo que se corresponde con un valor

intermedio del rango observado experimentalmente (1-

10 µm). Se utiliza la siguiente ley de endurecimiento:

𝜎 = 𝜎𝑌 (1 +𝐸𝜀𝑝

𝜎𝑌)

𝑁

(20)

Siendo evaluada en 𝐸𝑝 en lugar de 휀𝑝 en el enfoque

fenomenológico. La tensión de referencia de (9) se

corresponde con 𝜎𝑟𝑒𝑓 = 𝜎𝑌 (1 +𝐸𝜀𝑝

𝜎𝑌)

𝑁

y 𝑓(휀𝑝) = (휀𝑝 +

𝜎𝑌

𝐸)

𝑁

. Se utiliza un mallado muy refinado en la punta de

la grieta, con aproximadamente 6200 elementos

cuadriláteros cuadráticos con integración reducida. Se

adopta una relación entre el radio inicial de

enromamiento de la grieta 𝑟 y el radio externo 𝑅 de la

región circular de 𝑅/𝑟 = 105.

Para las dos formulaciones SGP consideradas y la

plasticidad convencional, las figuras 1, 2 y 3 muestran

respectivamente: la distribución normalizada de la

tensión de apertura 𝜎𝜃𝜃 en la línea más allá de la punta de

la grieta (𝜃 = 0°), el enromamiento de la fisura y la

variación de 𝜎𝜃𝜃/𝜎𝑌 para diferentes niveles de carga, con

la distancia a la punta de la grieta normalizada por la

misma.

Figura 1. Distribución normalizada de la tensión 𝜎𝜃𝜃 mas allá

de la punta de la grieta (𝜃° = 0) para una carga de 𝐾𝐼 = 25𝜎𝑌√𝑙 La distancia al extremo de la fisura 𝑟 está en escala logarítmica.

Figura 2. Enromamiento de la grieta para una carga de 𝐾𝐼 =

25𝜎𝑌√𝑙 [6]

Figura 3. 𝜎𝜃𝜃/𝜎𝑌 mas allá de la punta de la grieta (𝜃° = 0) para

diferentes valores de carga. La distancia a la punta de la grieta

está normalizada por la carga externa [𝐽 = (1 − 𝜈2)𝐾𝐼2/𝐸] y

ambos ejes se muestran en escala logarítimica [6]

Anales de Mecánica de la Fractura (Vol. 33)

390

Los resultados revelan que: (i) los campos tensionales se

elevan significativamente con respecto a las predicciones

de la plasticidad clásica; (ii) la distancia sobre la cual esta

elevación tensional tiene lugar puede abarcar varias

decenas de µm, englobando la distancia crítica de

muchos mecanismos de daño; (iii) el máximo nivel

tensional tiene lugar en la punta de la grieta y depende de

la carga, a diferencia de la plasticidad convencional.

Estos aspectos podrían influir de sobremanera en los

modelos continuos de numerosos mecanismos de daño.

4.2. Difusión de hidrógeno

Para estudiar la influencia de los gradientes de

deformación plástica en la difusión de hidrógeno (H)

hacia la zona de proceso de fractura se desarrolla un

marco numérico de tensión-difusión. Así, se realiza en

primer lugar el análisis tensional para obtener 𝜎𝐻, que se

utiliza como valor de entrada en el análisis de difusión.

La concentración de H en la red 𝑐 en función del tiempo

𝑡 se modeliza a partir de la ley de Fick generalizada:

𝜕𝑐

𝜕𝑡= 𝐷∇2𝑐 + 𝐷

𝑉𝐻

𝑅(𝑇−𝑇𝑍)(∇𝑐∇𝜎𝐻 + 𝑐∇2𝜎𝐻) (21)

Dónde 𝐷 es el coeficiente de difusión, 𝑉𝐻 es el volumen

molar parcial de H en aleaciones de hierro, 𝑅 es la

constante de los gases, 𝑇 es la temperatura actual y 𝑇𝑍 es

la temperatura de cero absoluto. Con el objetivo de

establecer una comparativa con resultados

experimentales se simulan las condiciones de los ensayos

de Mao y Li [10] en un acero X80. Por consiguiente se

consideran las siguientes propiedades del material:

𝐸=200 GPa, ν=0.3, 𝜎𝑌 = 600 MPa y 𝑁=0.15. La figura

4 muestra los resultados numéricos obtenidos, así como

los datos experimentales extraídos en [10] mediante la

técnica SIMS tras 72 horas en una disolución NS-4 con

un potencial libre.

Tal y como se puede apreciar en la figura, es necesario

incorporar la influencia de los gradientes de deformación

(en este caso, a partir de un enfoque fenomenológico [2])

para reproducir dos características fundamentales de los

resultados experimentales: el incremento de la

concentración de H con la carga y su tendencia

monotónicamente creciente hacia la punta de la grieta.

4.3. Modelización del daño asistido por hidrógeno

Dos parámetros caracterizan el daño asistido por H: el

factor de intensidad de tensiones umbral 𝐾𝑇𝐻 al que se

inicia el agrietamiento y la velocidad de crecimiento

subcrítica de la grieta en la segunda etapa 𝑑𝑎 𝑑𝑡⁄𝐼𝐼. Para

estimarlos se emplea un modelo basado en la teoría de

dislocaciones (ver [7]) y en el mecanismo de descohesión

inducido por H (HEDE), tal que:

𝐾𝑇𝐻 = 5 exp(𝑘𝐼𝐺−𝛼𝐶𝐻𝜎)2

0.0002𝜎𝑌 (22)

Dónde 𝑘𝐼𝐺 es el trabajo de fractura, 𝛼 es el parámetro del

material que cuantifica la influencia del H en la

disminución de la tenacidad a fractura y 𝐶𝐻𝜎 viene dado

por:

𝐶𝐻𝜎 = 𝐶𝐻−𝐷𝑖𝑓𝑓 [exp (𝜎𝐻𝑉𝐻

𝑅𝑇)] (23)

Siendo 𝐶𝐻−𝐷𝑖𝑓𝑓, la concentración de H difusible, un

parámetro a estimar experimentalmente. La velocidad de

crecimiento subcrítica viene dada por:

(𝑑𝑎

𝑑𝑡)

𝐼𝐼=

4𝐷

𝑥𝑐𝑟𝑖𝑡[erf −1 (1 −

𝐶𝐻𝜎−𝑐𝑟𝑖𝑡

𝐶𝐻𝜎)]

2 (24)

Siendo 𝑥𝑐𝑟𝑖𝑡 la distancia crítica donde nuclea el daño y

𝐶𝐻𝜎−𝑐𝑟𝑖𝑡 la concentración crítica necesaria para la

descohesión por H. Ésta se puede obtener para un valor

Figura 4. Resultados experimentales y numéricos para la concentración normalizada de hidrógeno mas allá de la grieta para diferentes

niveles de carga en un acero X80 [11]

Anales de Mecánica de la Fractura (Vol. 33)

391

experimental de 𝑑𝑎 𝑑𝑡⁄𝐼𝐼 teniendo en consideración que

𝐶𝐻𝜎 aparece en (22) y (24). La figura 6 muestra, para una

superaleación de Niquel (Monel K-500), las predicciones

del presente modelo – extrayendo 𝜎𝐻 a partir de las dos

principales clases de teorías SGP – junto con los datos

experimentales [7]. El modelo enriquecido con la

influencia de las GNDs lleva a predicciones precisas para

un gran rango de potenciales externos 𝐸𝐴𝑃𝑃 (a diferencia

de la plasticidad convencional [7]).

Figura 6. Predicciones del modelo para 𝐾𝑇𝐻 (a) y 𝑑𝑎 𝑑𝑡⁄

𝐼𝐼 (b)

en un amplio rango de condiciones ambientales ajustando 𝛼 con

los datos experimentales en 𝐸𝐴𝑃𝑃 = −1 VSCE. Otros

parámetros: 𝑘𝐼𝐺 = 0.88 MPa√m, 𝐷 = 1 ∙ 10−10 cm2/s y

𝑥𝑐𝑟𝑖𝑡 = 1 µ𝑚. [12]

5. CONCLUSIONES

Los resultados reflejan una influencia significativa de las

GNDs en el análisis en grandes deformaciones de los

campos tensionales en la vecindad de la grieta. Este

hecho influye particularmente en la modelización del

agrietamiento asistido por hidrógeno, donde considerar el

efecto plástico de escala permite establecer predicciones

cuantitativas.

AGRADECIMIENTOS

El autor agradece especialmente a Covadonga Betegón

(Universidad de Oviedo), Christian Niordson (Technical

University of Denmark, DTU) y Richard Gangloff

(University of Virginia) sus inestimables consejos

durante la realización de este trabajo. Asimismo, el autor

agradece al Ministerio de Ciencia e Innovación y a la

Universidad de Oviedo, las ayudas económicas otorgadas

a través del proyecto MAT2011-28796-CO3-03 y el

programa propio de contratos pre-doctorales (UNOV-13-

PF), respectivamente.

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