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APLICACI ÓN: EL CIRCUITO RLC.

Al comienzo del tema de las E.D.O lineales de segundo orden hemosvisto como estas ecuaciones sirven para modelizar distintos sitemasf́ısicos. En concreto el circuito RLC.

Figura 1. Circuito RLC

En un circuito RLC , con una resistencia R , una inductancia L y uncondensador C , véıamos que al entrar una corriente E (t), que dependedel tiempo, sale otra corriente v(t) que será una modicación de lacorriente de entrada dependiendo de R , L y C .

Según la ley de Kirchhoff , una corriente en un circuito cerradopresenta una suma algebraica de las cáıdas de voltaje igual a cero.Esta ley se determina experimentalmente como las que se indican acontinuaci ón:

E (t) voltaje de entrada en el circuito.V R = −RI (t) la cáıda de voltaje en una resistencia depende deR y de la intensidad de la corriente I (t) ( ley de Ohm ).

V L = −LdI (t)

dt cáıda de voltaje en el selenoide.

V C = −1C

t

−∞

I (s)ds cáıda de voltaje en el condensador.

Además I = dq dt

, donde q es la carga eléctrica.

Aśı por la ley de Kirchhoff se tiene que

E (t) −LdI (t)

dt −RI (t) − 1C

t

−∞

I (s)ds = 0.

O lo que es equivalente sustituyendo I por dqdt

E (t) = Ld2q dt2

+ Rdq dt

+ q C

(1).

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Tomando el voltaje por

v(t) = 1C

t

−∞

I (s)ds

v (t) = 1C

I (t) y

v (t) = 1

C

dI (t)

dt ,

y ahora sustituyendo en la ecuaci´on de arriba nos queda

E (t) = CLv (t) + CRv (t) + v(t) (2).

Por último, si derivamos la ecuací on anterior, como v (t) = 1C I (t),tenemos que

E (t) = LI (t) + RI (t) + I (t)

C (3).

Tenemos tres ecuaciones, todas E.D.O. lineales de segundo orden y coe-cientes constantes, (1),(2) y (3) que describen el circuito. En cada unade ellas, nos jamos en una magnitud distinta. Aśı en la primera consi-deramos la carga, en otra el voltaje y la ´ultima se ja en la intensidadde la corriente.

A continuaci ón vamos a estudiar algunas propiedades de estos cir-cuitos.

CIRCUITO RL.

Vamos a considerar un circuito sin condensador y con una entrada decorriente constante E = v . Además suponemos una condici ón inicial

I (0) = 0, es decir el circuito esta abierto antes de que empiece a uirla corriente.

Figura 2. Circuito RL. E constante.

En este caso la ecuaci ón (1) se convierte en el problema de Cauchy

I (t) = 1L (v −RI (t))I (0) = 0

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Tenemos en este caso una ecuaci´on de primer orden. Integrando

t

0

I

−I + vRds =

t

0

RL

ds

⇔−log(vR −I ) + log(

vR

) = RL

t

⇔log(1 −I (t) RV ) = −RL t.Despejando tenemos que

I (t) = V R (1 −e− R

L t )

La intensidad pasa de 0 a estabilizarse en el valor V R cuando el tiempot se hace grande.

Veamos ahora, en el mismo circuito, el efecto de cortar la corriente.

Figura 3. Circuito RL con interruptor.

Si el interruptor est´a en al posición 1), estamos en el caso anterior. En laposición 2) pasamos entonces a una situaci´on descrita por el problema

de Cauchy I (t) = −1L RI (t)I (0) = V R

Integrando

t

0

I I ds =

t

0 −RL

ds⇔

log I (t) −log(V R

) = −RL

t

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y despejando

I (t) = V R e−

RL t

La intensidad pasa de V R a anularse, como era de esperar.

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CIRCUITO LC. OSCILADOR ARM ÓNICO.

Si consideramos un circuito LC, con una corriente de entrada E cons-tante, es decir un circuito RLC donde R = 0 (sin resistencia) y E = 0,

Figura 4. Circuito LC

la E.D.O. que lo modeliza, según la fórmula (3) en la intensidad, es dela forma

LI (t) + 1C

I (t) = 0 ( Oscilador arm´ onico ).

Esta E.D.O. es lineal de segundo orden y homogénea. La ecuaci´ on ca-racteŕıstica es Lλ2 + 1C = 0 donde C y L son constantes positivas.Aśı las dos soluciones de esta ecuación son complejas conjugadas

λ = ± 1√ CL i = ±w0i

Las soluciónes de esta ecuaci ón diferencial son

I (t) = C 1 cos(w0t) + C 2 sen(w0t) C 1, C 2

∈R .

todas son 2π/w 0-periódicas. Transformemos un poco esta soluci ón.

I (t) = C 21 + C 22 C 1 C 21 + C 22cos(w0t) +

C 2

C 21 + C 22sen(w0t)

Si llamamos A = C 21 + C 22 , podemos encontrar un ´angulo −α ∈[0, 2π]

Figura 5

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de modo que

cos−α = C 1

C 21 + C 22y sen−α = −

C 2

C 21 + C 22.

Luego nuestra soluci ón se puede escribir (teniendo en cuenta tambiénque cos(a + b) = cos a cos b−sen a sen b) como

I (t) = A (cos(−α)cos(w0t) −sen(−α)sen(w0t))= A cos(w0t −α).

Figura 6. Sálida de un Oscilador Arm ónico.

Vemos que la señal de salida I tiene una frecuencia de w02π

constan-te. Estamos ante la base matem´ atica de la llamada modulaci´ on enfrecuencia . También sirve para generar corrientes con frecuencia cons-

tante que usaremos, ahora un poco m´as adelante, en el llamado efectode resonancia .

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CIRCUITO RLC COMPLETO CON ENTRADACONSTANTE.

Vamos a estudiar ahora el circuito RLC completo con una entradaE constante. Comprobaremos que lo que se produce en la s´alida sonoscilaciones libres amortiguadas.

Figura 7. RLC completo. E constante.

Según la ecuación general del circuito (3), que vimos al principio, ydado que E (t) = 0, ahora tendremos que estudiar la ecuaci´ on

LI (t) + RI (t) + I (t)

C = 0

Esta ecuaci ón es una E.D.O. lineal de segundo orden homogénea cuyaecuación caracterı́stica es

Lλ 2 + Rλ + 1C

= 0

y cuyas soluciones son

λ1 = 12L (−R + R

2 − 4LC ) y λ2 =

12L (−R − R

2 − 4LC ).

Las soluciones de la ecuación dependen del discriminante R2 − 4LC .Aśı tendremos que

si R2 − 4LC > 0, entonces λ1, λ2 < 0 reales y distintas, luego

I (t) = C 1eλ 1 t + C 2eλ 2 t C 1, C 2 ∈R .Estas soluciones tendr´an unas gr ácas del tipo

Figura 8. Corriente sobreamortiguada.

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Si R2 − 4LC = 0, entonces λ1 = λ2 < 0 reales e iguales, luego

I (t) = C 1eλ 1 t + C 2teλ 1 t = ( C 1 + tC 2)eλ 1 t C 1, C 2 ∈R .Observemos que en este caso también ĺım t →∞ I (t) = 0.si R2

−4LC < 0, en este caso tenemos dos ráıces complejas conju-

gadas

λ = − RLC ±

12L 4LC −R2i.

Si notamos

γ = RLC

y w1 = 1LC − R24L2 = w20 − R24L2 ,entonces las soluciones en este caso son del tipo

I (t) = e−

γt (C 1 cosw1t + C 2 sen w1t) = e−

γt A cos(w1t + α)donde A = C 21 + C 22 y −α ∈ (0, 2π) vericando C 1 = Acos αy C 2 = A sen(−α). La corriente de salida del circuito ser´a de laforma

Figura 9. Corriente subamortiguada.

Observemos que la frecuencia de estas soluciones es igual a todasellas,

w12π

, aunque la amplitud se debilita con el tiempo.

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CIRCUITO RLC, CON ENTRADA NO CONSTANTE.

Como hemos visto anteriormente la resistencia R del circuito haceperder enerǵıa o amplitud a la intensidad hasta anularla. Vamos aintroducir una diferencia de potencial E (t) = E 0 sen wt( este tipo deseñales las produce el oscilador arm´ onico o circuito LC ), de modo

que podamos compensar el efecto de la resistencia.

Figura 10. Circuito RLC, E (t) = E 0 sen wt.

La ecuación (3) adaptada a este caso ( E (t) = wE 0 coswt = F 0 coswt)nos da la ecuación

LI (t) + RI (t) + 1C

I (t) = F 0 coswt

La solución de este problema no homogéneo vendr´a dada por la soluci óngeneral de la ecuación homogénea xh más una solución particular de laecuación no homogénea x p, aśı

I (t) = xh (t) + x p(t).

Como vimos en el apartado anterior

xh (t) = e− γt (C 1 cosw1t + C 2 sen w1t) = e− γt A cos(w1t + α)

donde

γ = RLC

y w1 = 1LC − R24L2 = w20 − R24L2 ,y donde A = C 21 + C 22 y −α ∈ (0, 2π) vericando C 1 = Acos α yC 2 = A sen(−α). En todo caso xh (t) →t →∞ 0.Lema 1. Si R = 0 , entonces la soluci´ on particular x p es igual a

x p(t) = F 0

L2(w20 −w2)2 + R2w2cos(wt −β )

donde w0 = 1/LC y donde β es el ´ angulo que verica que cos β =

L(w20 −w2)

L2(w20 −w2)2 + R2w2y sen β =

Rw

L2(w20 −w2)2 + R2w2.

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Antes de hacer la prueba comprobamos que las salidas del circuitoverican que

I (t) = xh (t)+ x p(t) →t →∞ x p(t) = F 0

L2(w20 −w2)2 + R2w2cos(wt−β ).

A la parte xh se le llama término transitorio y a la parte x p se le

llama estado estable .Demostraci´ on: Soluci´ on particular de la ecuación

LI (t) + RI (t) + 1C

I (t) = F 0 coswt

Si R = 0, entonces wi no es ráız de la ecuación caracterı́stica Lλ2 +Rλ + 1/C = 0. Aśı la soluci ón particular buscasa será del tipo

x p(t) = s1 coswt + s2 sen wt

para ciertos valores s1, s2 ∈R que hay que calcular. Para ello entrare-mos con x p en la ecuación. Como

1LC

x p(t) = ( s1 coswt + s2 sen wt) 1LC

,

RL

x p(t) = ( −s1w sen wt + s2w cos wt)RL

yx p(t) = −s1w2 cos wt −s2w2 sen wt,

metiendo estos datos en la ecuaci´on queda que

x p(t) + RL

x p(t) + 1LC

x pI (t)

= 1LC s1 +

RL s2w −s1w2 cos wt

+ 1LC

s2 − RL

s1w −s2w2 sen wt = F 0L

coswt.

Lo cuál nos permite plantear el sistema ĺıneal, con inc´ ognita s1 y s2 ( 1CL −w2)s1 + RL ws2 = F 0L

−RL ws1 + ( 1CL −w2)s2 = 0.Usando la regla de Cramer y que w0 = 1/CL , tenemos que las solu-ciones son

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Figura 12. Estado estable x p.

Si R, L y 1C son jos, entonces el valor de la amplitud depende única-mente del valor w. Sea la función

δ (w) = F 0

L2(w20 −w2)2 + R2w2 .Vamos a calcular el valor de w que maximiza esta funci ón. Este pro-blema es equivalente a minimizar

g(w) = L2(w20 −w2)2 + R2w2.Derivando

0 = g (t) = −4L2(w20 −w2)w + 2wR2.Despejando w

w20 −w2 = R2

2L2 ⇒w = w20 − R2

2L2.

Para este valor la funci´on g alcanza un mı́nimo (obviamente no tienemáximos locales) y por tanto la funci ón δ un máximo.

Denici´ on 1. Al valor w1 = w20 − R 22L 2 se le llama frecuencia deresonancia del sistema (en este caso del circuito RLC).

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Por otro lado, en la malla ABCEGHA se tiene la ecuaci´on

E = IR 3 + L1dI 1dt

+ R1I 1.

En la malla CDFEC se tiene la ecuaci´on

L1dI 1dt

+ R1I 1 −L2dI 2dt −R2I 2 = 0.

Juntando las tres ecuaciones nos queda30I 1 + 30I 2 + 2 I 1 + 10I 1 = 502I 1 + 10I 1 −4I 2 −20I 2 = 0.

Este es un sistema de dos E.D.O. lieales de primer orden ycoecientes constantes . La transformada de Laplace que vamos aestudiar a continuaci´on es un instrumento útil para resolver este tipode problemas.

Referencias

Departamento de An álisis Matem ático, Facultad de Matem áticas,Universidad Complutense, 28040 Madrid, Spain

E-mail address : Cesar Ruiz@mat.ucm.es