Editorial

EDICIÓN Nº 50 DE ABACOM

En esta edición

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pág Reflexiones El Aula como un Encuentro de Cultura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

FISICOM Desde las Pirámides a los Agujeros

Negros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Tips Matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

¡A Jugar … A Jugar! . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Concurso Desafío a tu Ingenio . . . . . . . . . . . . . 5

Hashi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

Problemas con Historia

El Último Teorema de Fermat . . . . . .6

La Broma de Fermat . . . . . . . . . . . . . 6

Andrew Wiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

Pierre de Fermat . . . . . . . . . . . . . . .. .7

Homero Simpson refuta el Último

Teorema de Fermat .. . . . . . . . . . . . . 8

Tríos Pitagóricos . . . . . . . . . . . . . . .. .8

Anécdotas de la Ciencia . . . . . . . . . . . . . 8

ABAQUIM Un Nuevo Colesterol:

El Oxiesterol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Ciencia Entrete Poesía y Mnemotecnia . . . . . . . . . . 10 ¿Sabías que? . . . . . . . . . . . . . . . . .10

Una Teoría Complicada . . . . . . . . . .11

Humor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

Sonriendo Con – Ciencia . . . . . . . . .11

Noticias ¡Ingeniería en un Click! . . . . . . . . . .12

Congreso Escolar de Ciencia y

Tecnología Explora Conicyt . . . . . .12

XXVI Olimpíada Nacional de Ma -

temática 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

ABACOM Boletín Matemático … y tam-bién físico (FISICOM) … y también quí-mico (ABAQUIM) ... llega a su edición Nº 50 en 13 años de vida.

ABACOM, como su nombre lo indica, pretende ir desde los inicios de las ciencias (ábaco) hasta los adelantos actuales (computador), mostrando a los estudiantes las maravillas, tanto de la naturaleza como los descubrimientos que ha logrado el ser humano, que cada día nos sorprenden más.

Pretendemos ser un apoyo y un comple-mento al estudio del alumnado de esta re-gión austral, así como mostrar el lado in-teresante de las ciencias: sus aplicaciones, las biografías de quienes forjaron estos

conocimientos, y también la parte más en-tretenida: juegos, desafíos, poemas y hu-mor.

A través de temas interesantes relacionados con las ciencias, creemos que motivaremos a nuestra juventud a desarrollar su creativi-dad y así tener un mejor rendimiento en sus estudios.

En estas 50 ediciones hemos tratado de incentivar a los jóvenes para que muestren sus aptitudes y talentos, tanto en Matemáti-cas como en otras Ciencias, lo que se logra con mucho esfuerzo y dedicación, así como Albert Einstein dijera: “El genio se hace con un 1% de talento, y un 99% de traba-jo”.

Nº 50 Año 13

Julio 2014

J U L I O 2 0 1 4

2

Eduardo Carrasco Henríquez Profesor del Matemáticas del Centro de Docencia de

CCBB Facultad de Ciencias de la Ingeniería UACh

REFLEXIONES

Muchas personas creen que la matemática es universal y que todas

las culturas, incluso las extraterrestres, tendrían la misma matemá-

tica. Entonces vamos al aula y hacemos vivir la matemática sin

preocuparnos del hecho que sus nociones portan ideas de la cultura

que las creó, que a veces son distintas y opuestas a la cultura de los

estudiantes.

Por ejemplo, la resta es una operación que tiene una carga cultural

importante. En Grecia la palabra usada para resta1, fue la misma

con que el escultor se refería a quitar piedra: aphairéò. Así, restar

es quitar, metáfora que es muy útil y usada en el aula. Pero ella

también porta restricciones al pensamiento. Responder la pregunta

¿cuántas manzanas tengo, si de las 5 que tenía me quitan 7? Es

fácil, todos hemos tenido manzanas en la mano, me queda ninguna

(0 manzanas). Además de ser una pregunta rara, ¿cómo me pueden

quitar más manzanas de las que tengo? Así en Grecia y en nuestras

aulas, la resta no da sentido a los números negativos. Números que

Grecia no descubrió y que en Europa, Viète (1540 – 1603), gran

matemático, describía como números falsos pues no se puede tener

menos que nada.

Por contrapartida, China nombró a la resta con la palabra “oponer”

que refería a enfrentar ejércitos1. Podían enfrentarse 5 soldados

amigos con 7 enemigos y quedaban 2 enemigos. De igual si 7 sol-

dado amigos enfrentan a 5 enemigos y sobrevivían 2 amigos. En-

tonces, basados en una cultura que en el ying/yang entendía al

mundo desde el equilibrio entre complementarios, los negativos no

revistieron un problema y se usaban para resolver ecuaciones desde

mucho antes que Europa.

Así la resta en Grecia y occidente, entendida como quitar, no per-

mite “tener” menos que nada, y alrededor del 1600, cuando se ha-

cían inevitables, les llamaron números negativos (un nombre que parece bullying a esos números). En cambio para China, con una

resta que es equilibrar, no hubo problema en tener números carga-

dos a un lado u otro, y ahí los que para nosotros son negativos, se

llamaron número rojos. Color que simboliza la buena suerte, la

animación, el progreso y la belleza, todo lo positivo2.

Otro ejemplo, es la idea de tiempo (t). En matemática se entiende

como una distancia y se recorre en ambos sentidos y siempre fluye

a igual velocidad. Sin embargo nuestros estudiantes comprenden al

tiempo de muchos modos: Como algo que se tiene (oro) pues siem-

pre escuchamos frases como “profesor deme más tiempo para la

tarea” o “chicos apúrense que les queda poco tiempo” o

“necesitamos comprar más tiempo”. O un tiempo que es marca

para cambiar, (“ya va siendo hora que sientes cabeza, hijo”). Pero

además, sabemos que el tiempo corre cuando estamos entreteni-dos3. Así, el tiempo es una noción de muchos significados, de los

cuales el matemático (tiempo como una distancia que corre igual)

es el menos usado fuera de los espacios científicos.

Entonces si en el aula usamos el tiempo en una gráfica o modela-

ción, representándolo como una línea, es decir distancia, sin clarifi-

car como lo entendemos no sabemos que entienden los estudiantes.

Es como el conquistador español, que destruye los monumentos a

los dioses indígenas (noción errada para él), y los reemplaza por

iglesias y cruces (noción correcta para él). Y, creyendo que cuando

los indígenas le rezaban a Dios, habían aprendido a ser católicos.

Sin embargo, para ellos Dios era su dios con nuevo nombre, la igle-

sia eran sus piedras reconfiguradas y hoy por hoy Latinoamérica

tiene una religiosidad media pagana, media católica, que García

Márquez rescata muy bien con su realismo mágico.

Por lo tanto si no dialogamos con aquello que saben nuestros estu-

diantes, no sabremos que entendimientos construirán.

1 Lizcano, E. (2006). Metáforas que nos Piensan. Ediciones Bajo

Cero y Traficantes de Sueños. 2 Valero, A. (2012). Principios de Color y Holopintura. España:

Club Universitario. 3 Carrasco, E. (2006). Visualizando lo que Varía. Interpretación y

Construcción de Gráficas de Variación en el Tiempo. México: Te-

sis de Maestría no Publicada, Cicata.

EL AULA COMO UN

ENCUENTRO DE CULTURA

Publicación destinada a Estudiantes y Profesores de Enseñan-za Media. Proyecto auspiciado por la Facultad de Ciencias de la Ingeniería UACh.

Director: Juan Leiva V. Redacción Periodística: Julio Morales M. Web Master: Edinson Contreras R. Colaboradores: Sebastián Acevedo A., Eduardo Carrasco

H., M. Gricelda Iturra L., Julio Oliva Z. Centro de Docencia de CCBB Facultad de Ciencias de la Ingeniería UACh. Casilla 567 Valdivia Fono 632221828 Fax 632293730 abacom@uach.cl www.uach.cl/abacom

Impreso en IMPRENTA AMÉRICA

3

ABACOM Boletín Matemático

Pensemos en la Gran Pirámide de Guiza en Egipto. Las puntas se

llaman vértices (V) y la pirámide tiene 5 de éstas. Los bordes son

las aristas (A) y en la pirámide hay 8. Finalmente la pirámide tiene

5 caras (C). Si hacemos la operación V – A + C (# de vértices me-

nos # de aristas más # de caras) el resultado es 2. Este cálculo

parece irrelevante pues podríamos haber hecho cualquier otra

operación con estos tres números. Lo sorprendente aparece

cuando hacemos el mismo cálculo para otros cuerpos geométri-

cos, como por ejemplo un cubo. En el caso del cubo V = 8, A =

12, C = 6 y nuevamente V – A + C = 2 . ¡El mismo 2 que para la

pirámide! Esto puede parecer una coincidencia, pero si hacemos

el mismo cálculo para cualquier cuerpo geométrico que, sin cor-

tar ni pegar pueda ser deformado en una esfera, el resultado

siempre será 2. Este resultado es conocido como la fórmula de

Euler y es un caso particular de un teorema mucho más general

en Matemática. La propiedad que describimos en las líneas pre-

vias acerca de la fórmula de Euler es una propiedad asociada a la

estructura global de superficies que se pueden deformar suave-

mente en esferas como lo son por ejemplo un elipsoide, la super-

ficie de un huevo o la superficie de una manzana. ¿Podemos

encontrar en una región pequeña de la superficie alguna propie-

dad que nos permita intuir el resultado global? No, pero en cada

punto de una superficie hay una cantidad llamada curvatura esca-

lar que denotaremos como R, que nos dice qué tan curvada está

la superficie. Por ejemplo sobre una esfera perfecta la curvatura

es constante en cada punto e inversamente proporcional al radio

de la esfera. Para superficies más complicadas la curvatura variará

de punto a punto, pero Carl Friedrich Gauss y Pierre Osain Bon-

net mostraron que si subdividimos la superficie en regiones muy

pequeñas (infinitesimalmente pequeñas), multiplicamos el área de

esas regiones por la curvatura y finalmente sumamos todos esos

productos, obtendremos entonces un número que no depende

de cómo ha sido deformada la superficie. Este es el Teorema de

Gauss-Bonnet que se expresa matemáticamente de la forma:

donde S es la superficie y χ – llamada característica de la superfi-

cie – es 2 para la esfera o superficies que son deformables en una

esfera.

Hasta ahora hemos pensado en dos dimensiones solamente ¿Qué

tiene que ver todo esto con agujeros negros? Albert Einstein

nos enseñó que el Universo debe ser pensado como una

“superficie” en cuatro dimensiones. En tales superficies también

existe una curvatura escalar en cada punto y nos podemos pre-

guntar entonces si la misma suma que consideramos antes entre-

ga también un resultado que no depende de qué tan deformado

está el Universo. Nuevamente, la respuesta es no, en cuatro di-

mensiones la integral de la curvatura escalar depende de qué tan

curvada está la superficie, pero esta integral tiene un significado

muy importante para nuestro Universo. A partir de este objeto es

posible encontrar las Ecuaciones de Einstein que nos dicen cómo

se deformará el Universo ante la presencia de materia y energía.

Estas ecuaciones permiten predecir los caminos que siguen los

planetas alrededor del Sol y se usan para estudiar la evolución del

Universo mismo en un área de la Física llamada Cosmología. Esta

relación entre las Ecuaciones de Einstein y el Teorema de Gauss-

Bonnet, le permitió a Stephen Hawking, al comienzo de la déca-

da de los 70’s, demostrar que todos los agujeros negros del Uni-

verso (dentro de ciertas hipótesis técnicas razonables) deben te-

ner la forma de una esfera ya sea perfecta o deformada. Esto im-

plica por ejemplo que no hay agujeros negros con forma de toro

(cámara de neumáticos).

Podría ocurrir que, a escala muy pequeña, el Universo tuviese más

de cuatro dimensiones. Por otra parte la Teoría de Cuerdas re-

quiere la existencia de tales dimensiones extra. Debido a que el

resultado de Hawking, dentro de sus hipótesis, asume que el Uni-

verso tiene cuatro dimensiones es natural entonces preguntarse si

esta propiedad de los agujeros negros es particular de la dimen-

sión o si es un resultado que sigue siendo verdadero al formular

una teoría de gravitación en más dimensiones. Recientemente, se

construyó un ejemplo concreto de un agujero negro en cinco

dimensiones que sí tiene la forma de un toro, lo cual ha dado un

gran impulso a toda un área de investigación en la física gravita-

cional que estudia cómo generar soluciones complicadas a las

Ecuaciones de Einstein. Esta historia muestra que hay aún mucho

por explorar en el estudio de los agujeros negros en diversas di-

mensiones y es un ejemplo particular más de cómo continuamen-

te la Matemática y la Física se hablan.

* Académico del Instituto de Ciencias Físicas y Matemáticas

Universidad Austral de Chile http://goo.gl/IY03UX

Desde las Pirámides a los Agujeros Negros

FF II SS II OO MM CC

Dr. Julio Oliva Zapata *

4 SR dS

J U L I O 2 0 1 4

4

POTENCIA DE UN PUNTOPOTENCIA DE UN PUNTO

RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIARESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA

Cuando se hab la de potenc ia, se piensa en la conocida opera-

ción de elevar un número (base) a o tro (exponente) .

Pero, en Geometr ía , e l concepto de potencia t iene otra acep-

ción.

Si P es un punto en e l plano y tenemos una c ircunferencia,

entonces para cualquier l ínea recta que pase por P y corte a

la circunferencia en dos puntos A , B, se cumplirá que e l

producto PA·PB es constante, independientemente de la po-

sición de la l ínea recta. El valor de dicha constante se deno-

mina la potencia del punto P respecto de la circunferencia.

Se dan dos casos:

Aplicación :

La figura 1 muestra la sección

transversa l de un túnel c ircular

per forado a través de una col ina,

que cont iene un camino de 12

m. de ancho, con al tura máxima de

10 m.

¿Cuál será el radio de la sección

transversa l?

Solución :

En f igura 2 , ap licando la potencia

del punto medio de l camino (P) se

cumple que:

es decir :

de donde: x = 3 ,6 .

Así e l diámetro de la sección

transversa l es de 13,6 m. y por

tanto :

el radio es 6 ,8 m.

Tips

MATEMÁTICOS

Juan Leiva Vivar

El punto es inter ior a

la circunferencia:

PA×PB = PC×PD

El punto es exter ior a

la circunferencia:

PM×PN = PQ×PR

AB

PA×PB = PC×PD

6 6 =10x

¡A JUGAR,

...A JUGAR! Julio Morales Muñoz

Portátil o de Bolsillo:

Juegos Matemáticos aquí

y en la Quebrada del Ají

Dejamos los juegos de mesa en la casa para dar un paseo. En la Región de Los Ríos los panoramas abundan y más de un domingo nuestras familias de-ciden salir a dar una vuelta. En ese instante donde se frecuentan actividades que no son de nuestro agrado es justamente donde la estadía puede ser más ame-na. Siguiendo la línea de los juegos matemáticos vamos a conversar sobre tres nuevos juegos que se pueden llevar a cualquier parte. El primero es el Cubo Rubik, un rom-pecabezas mecánico tridimensional que inventó el escultor y profesor de arquitec-tura Erno Rubik en 1974. Hasta el 2009 se han vendido más de 350 millones de cubos en todo el mundo. El juego con-siste en que cada una de las seis caras está cubierta por nueve pegatinas de seis colores, para resolver el rompecabezas se debe desordenar el cubo mezclan-do los colores y luego cada cara debe volver a formar un solo color. El segundo juego es Sudoku, un juego inventado por el matemático suizo Leonhard Euler quien creó un sistema de probabilidades para representar una serie de números sin repetir, en el siglo XVIII. El objetivo del juego es rellenar cuadrículas de 9 x 9 celdas divi-dida en subcuadrículas de 3 x 3 con las cifras del 1 al 9 partiendo de números ya propuestos como base. Además las reglas dicen que cada columna, fila y subcuadrícula debe contener los 9 números una sola vez. Este juego se puede encontrar en tiendas de libros, pero actualmente hay aplicaciones para tablet, celulares y computadores1. Un consejo: no te confíes porque los niveles aumentan en dificultad. Por último, el tercer juego es 2048, un puzle matemá-tico virtual que muchos afirman pueden comprender en unos minutos y para luego no lograr abandonarlo2. El juego fue creado por el ingeniero de interfase Ga-briele Cirulli y se basa en una tabla de 16 espacios que comienza con un par de cuadrados con el núme-ro 2 inscrito. La idea es chocar ambos lo que dará como resultado un cuadrado con valor 4 y así hasta llegar a la cima del juego en el número 2048. La invi-tación es a intentarlo. Tres nuevos juegos, todos portátiles, el último virtual. En el próximo número seguiremos en el mundo vir-tual o la quinta dimensión como le llaman algunos teóricos para comprender juegos que eventualmente nos trasladan a la Matrix. Ahora, a seguir el conejo… 1 http://www.sudoku-online.org/ 2 http://gabrielecirulli.github.io/2048/

FIGURA 1

FIGURA 2

5

ABACOM Boletín Matemático

RESOLUCIÓN PROBLEMAS EDICIÓN Nº 49

Envía tus soluciones de Problemas y Hashi

(indicando Nombre, Colegio y Curso) a

ABACOM Boletín Matemático

Casilla: 567 Valdivia Fax: (63) 2293730

email: abacom@uach.cl

Recepción de soluciones hasta:

4 de Septiembre de 2014

rsoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcurso

Se deben unir los círculos con líneas verticales u horizontales, sin que éstas se crucen y sin que ningún círculo, o un grupo de ellos, quede aislado. La cantidad de líneas asociada a un círculo debe coincidir con el número indicado en él. Entre dos círculos el número máximo de líneas que los unen debe ser dos.

EDICIÓN Nº 50

APM2 2 25 (10 ) x x 3,75.x

APM DMQ

y APM DMQ

Problema 1:

Los Triángulos en el Cuadrado Usando Teorema de Pitágoras en

, que es rectángulo, tenemos:

, es decir:

Se cumple que , ya

que son ángulos con lados perpendi-

culares, por tanto los triángulos

son semejantes (pues

además del ángulo citado, ambos tienen

un ángulo recto) y así los lados corres-

pondientes son proporcionales.

De allí se obtiene que:

Así: el área del triángulo APM es

y el área del triángulo DMQ es

Problema 2:

Pelando Papas Como Pedro trabaja 16 minutos más que Jorge, pela 16x5 = 80 papas

en el tiempo extra. El tiempo que ambos están pelando papas juntos

pelan 13 por minuto (8 Jorge y 5 Pedro).

Por lo tanto, 80 papas las pela Pedro en 16 minutos, y de las restan-

tes, que son 520, se ocupan entre ambos a razón de 13 por minuto, lo

que hace un total de 40 minutos. Eso quiere decir que, en ese lapso,

Pedro pela 200 y Jorge 320.

En resumen: Pedro pela 280 y Jorge 320.

x

y

5 10 – x

5

Sebastián Acevedo Álvarez

SOLUCIÓN EDICIÓN Nº 49

5 3,75 56,6

5 5

xy

y y

25 3,75= 9,375 cm

2

x

25 6,6= 16,6 cm .

2

x

PROBLEMAS EDICIÓN Nº 50

Problema 1: El Gordo y el Flaco Juan Delgado

es muy flaco y

su amigo Pe-

dro Barriga es

muy gordo.

Ambos llevan

cinturones

ajustados a su

cintura. Si los

dos alargan el

cinturón en la misma longitud, abrochándolo un par de

agujeros más afuera, el cinturón se separará de sus cin-

turas (se supone que el contorno de la cintura de ambos

es una circunferencia).

¿En cuál de ellos el cinturón se separará más? ¿Por

qué?

Problema 2: Producto Máximo

Entre todos los pares de números reales que suman

268 (que son infinitos), ¿cuál es el par cuyo pro-

ducto es máximo? ¿Por qué?

Juan Leiva Vivar

6

J U L I O 2 0 1 4

El Último Teorema de Fermat es uno de los teoremas más famosos de la historia de la matemá-tica. Fue planteado en 1637 por Pierre de Fermat y sólo pudo ser demostrado en 1995 por An-drew Wiles. Los intentos de demostración, durante tres siglos y medio, permitieron el desarrollo de muchas teorías matemáticas, entre ellas la Teoría Algebraica de Números.

Este teorema tiene un enunciado muy

fácil de entender por cualquier persona,

pero para comprender su demostración

se requiere de conocimientos muy espe-

cializados. Esta demostración, que se

logró después de más de tres siglos,

desde que fuese propuesto, fue publica-

da en un artículo de más de 100 páginas

por el matemático británico Andrew

Wiles.

El enunciado de este teorema, que aho-

ra ha pasado a llamarse Teorema de

Fermat – Wiles, es el siguiente:

El primer intento de para probar la con-

jetura de Fermat lo hizo Leonhard Eu-

ler, quien en 1735 probó el caso n = 3.

En 1770 se encontró un error en esta

demostración, pero traba-

jos anteriores del propio

Euler permitieron corregir-

la.

El siguiente paso lo logró

la matemática francesa So-

phie Germain, quien a

fines del siglo XVIII, logró

probar el teorema para un

caso especial, en el que n

es un número primo tal que

2n + 1 también lo es.

En 1825, Adrien Marie Legendre ex-

tendió la demostración de Euler para n

= 5 y en 1939, Gabriel Lamé lo hizo

para n = 7.

Posteriormente muchos hicieron inten-

tos y lograron algunos avances, entre

ellos se cuentan: Ernst Kummer y Pe-

ter Gustav Dirichlet, pero no fue hasta

finales del siglo XX que se pudo tener

la demostración definitiva. Fue el britá-

nico Andrew Wiles el autor de esta ha-

zaña, no sin algunos contratiempos. En

1993 creyó tener la demostración termi-

nada y en una serie de conferencias la

expuso en el Instituto Isaac Newton de

Cambridge, pero al poco tiempo se des-

cubrió un sutil error en este trabajo.

Durante un año de dura tarea, y con la

ayuda del también matemático Richard

Taylor logró reparar el error y final-

mente publicar en 1995 la prueba defi-

nitiva del Teorema de Fermat – Wiles.

Problemas con Historia

En un ejemplar del libro Arithmetica de Dio-

fanto, en la página donde se trata el problema

de encontrar tríos pitagóricos (es decir escribir

un número al cuadrado como la suma de los

cuadrados de otros dos), Fermat escribió, en

un margen, lo siguiente:

“Es imposible descomponer un cubo en dos

cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados,

y en general, una potencia cualquiera,

aparte del cuadrado, en dos potencias del

mismo exponente. He encontrado una de-

mostración realmente admirable, pero el

margen del libro es muy pequeño para

ponerla”.

La mayoría de los matemáticos de la época, y

de épocas posteriores, creyeron que Fermat

tenía esa “admirable de-

mostración”, porque él era

muy dado a ese tipo de afir-

maciones y siempre que

decía que tenía una demos-

tración, pero no la daba, al

final alguien acababa ha-

llándola. Y tampoco suce-

dió nunca que dijera que

tenía una demostración y la

afirmación resultara ser

falsa. Pero a pesar de eso,

parece ser que en esta opor-

tunidad, Fermat le jugó una

broma a toda la sociedad

matemática.

La Broma de FermatLa Broma de Fermat

n n nx + y = z

Si n es un número entero mayor

que 2, no existen números ente-

ros positivos x, y, z que cumplan

la igualdad:

7

ABACOM Boletín Matemático

ANDREW WILES

“ ...tenía diez años de edad y un día, curioseando en la bibliote-ca pública local, encontré un libro sobre matemáticas que ha-blaba de la historia de un famoso problema matemático, y yo, con diez años de edad, pude entenderlo. Desde ese momento traté de resolverlo yo mismo; era un gran desafío, un problema tan bonito, … este problema era el Último Teorema de Fermat ”.

Así comenzó Andrew Wiles su camino por el mundo de las matemáti-cas, que lo llevaron a ser uno de los matemáticos más brillantes del siglo XX. Wiles nació el 11 de Abril de 1953 en Cambridge, Inglaterra. Inició sus estudios en la Universidad de Oxford y el Doctorado en Matemáticas lo obtuvo en la Universidad de Cambridge en 1980. En su trabajo de tesis no abordó la demostración del Último Teorema de Fermat, pues sabía que podría pasarse años sin obtener nada, pero una vez doctorado reinició el ataque al problema que lo había cautivado desde la niñez. En 1986, siendo profesor en la Universidad de Princeton, en Estados Unidos, inició su trabajo en forma secreta, no quería comunicarle a sus colegas en qué estaba empeñado, pues todos creerían que sería una pérdida de tiempo. Sólo su esposa, Nada Canaan, sabía qué hacía su esposo en el altillo de su casa, al volver del trabajo. De igual forma asis-tía diariamente a la universidad donde trabajaba, dictando sus cursos en forma normal. Pero tan arduo trabajo y dedicación dieron los frutos cuando en 1995 logró lo que tantos matemáticos habían intentado sin éxito: la demos-tración del Último Teorema de Fermat. Fue galardonado con muchos reconocimientos debido a su hazaña, entre otros el Premio Fermat (1995), Premio Wolf (1995/1996), Meda-lla Royal (1996), Premio Pitágoras (2004) y el Premio Shaw (2005). En el año 2000, Wiles fue nombrado Caballero Comandante de la Or-den del Imperio Británico, por la Reina Isabel. Desde entonces pasó a ser Sir Andrew Wiles. Respecto a su logro Wiles afirmó: “ ...no hay otro problema que vaya a significar lo mismo para mí. Tuve este raro privilegio de ser capaz de alcanzar, en mi edad adulta, lo que había sido el sueño de mi infancia. Sé que es un raro privilegio pero, si se puede hacer, es más gratificante que ninguna otra cosa que uno pue-da imaginarse”.

El artículo donde Wiles demuestra el Último Teorema de Fermat, fue publicado en 1995 en el número 142 de la revista científica Annals of Mathematics con el nombre Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem. La portada del artículo es la que se reproduce a continuación:

PIERRE DE FERMAT

En ABACOM

Nº 36 se puede

ver gran parte

de la vida y

obra de este

matemático

aficionado, abo-

gado de profe-

sión y que fue

un jurista desta-

cado. Pero le

apasionaba la

matemática y

dedicó mucho

tiempo a su

estudio logran-

do resultados importantes, pero que no fueron

publicados, sino que se conocieron después de

su muerte por la correspondencia que mantenía

con matemáticos famosos de la época y también

gracias a uno de sus hijos que recopiló parte de

sus creaciones. Además de no publicar sus des-

cubrimientos, tampoco mostraba las demostra-

ciones de ellos, aunque casi todas las afirmacio-

nes que él hacía, resultaban verdaderas y fueron

probadas por otros matemáticos. Así fue como

siempre se pensó que la conjetura de su último

teorema era verdadera hasta que después de más

de tres siglos pudo ser demostrada.

J U L I O 2 0 1 4

8

HOMERO SIMPSON REFUTA EL

ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT

Hace un tiempo atrás, un episodio de la serie Los Simpsons causó

revuelo en el mundo matemático. Aparecía Homero junto a la

igualdad siguiente:

es decir se estaba mostrando un trío de números que cumple la

igualdad , con n > 2,

con lo que el Último Teorema de Fermat sería falso.

Pero esto no fue más que una broma que hiciera uno de los guionis-

tas de esta serie, David X. Cohen, que es Licenciado en Física y

Master en Computación.

Si se usa una calculadora para obtener el valor de ambos miembros

de esta igualdad, se obtiene 2,541210259x1039 en cada uno de

ellos. Sin embargo la

igualdad no es verda-

dera, pues la calcula-

dora sólo muestra 10

dígitos significativos,

siendo ambos núme-

ros de 40 cifras.

Además se ve que no

puede ser verdad, ya

que el resultado del

lado izquierdo es un

número impar, mien-

tras que el del lado

derecho es par.

12 12 121782 +1841 = 1922 ,

n n nx + y = z

TRÍOS PITAGÓRICOSTRÍOS PITAGÓRICOS

En el enunciado del Teorema de Fermat –Wiles, se afirma que, para n entero mayor que 2, no existen números enteros positivos x, y, z que cumplan:

Pero, … ¿qué ocurre para n entero menor o igual que 2?, es decir para n = 1 y n = 2 .

Bueno, para n = 1, es trivial, pues claramente existen infinitos tríos de números enteros po-sitivos x, y, z , que cumplen:

Para n = 2, se trata de hallar tríos pitagóricos, es decir números enteros positivos x, y, z que cumplen el Teorema de Pitágoras:

o sea se puede construir un triángulo rectán-gulo de catetos x e y , y de hipotenusa z.

Existen infinitos Tríos Pitagóricos, por ejem-plo: si m y n son enteros positivos, con m > n , entonces

determina un trío pitagórico. Por ejemplo: si m = 6 y n = 4 resulta el trío x = 20, y = 48, z = 52, que cumple:

x + y = zn n n

x + y = z2 2 2

x + y = z1 1 1

x = m - n , y = mn, z = m + n2 2 2 22

+ =2 2 220 48 52

George Bernard Dantzig

(1914 – 2005) fue un destacado

estadístico estadounidense, crea-

dor del Método Simplex, herra-

mienta fundamental en la Pro-

gramación Lineal.

En 1939, mientras estudiaba el

doctorado en Estadística en la

Universidad de Berkeley, en

California, en una oportunidad

llegó atrasado a una de las cla-

ses. En la pizarra vio escritos

dos problemas y pensó que se

trataba de una tarea que el pro-

fesor había dado y como él ha-

bía llegado tarde, no hizo ningu-na consulta al respecto, sino que

se limitó a copiarlos y después

en su casa comenzó a resolver-

los, lo que le costó bastante,

pero al fin lo logró.

A los días fue a la oficina del

profesor para entregarle la reso-

lución de los problemas, discul-

pándose por la tardanza en en-

tregarlos. El profesor no enten-

dió mucho de que se trataba y,

como estaba concentrado en su

trabajo, le dijo que lo dejara

sobre su escritorio junto a una ruma de papeles.

Grande fue la sorpresa, cuando

a las semanas, el profesor lo

felicitó, ya que lo que estaba escrito en la pizarra no era una

tarea sino los enunciados de dos

teoremas estadísticos complejos

que aún no habían sido demos-

trados por nadie. La resolución

de estos dos problemas le sirvió

a Dantzig para presentarla como

su tesis de doctorado.

ANÉCDOTAS DE LA CIENCIA

¡QUE TAREA MÁS DIFÍCIL!

9

ABACOM Boletín Matemático

La dieta humana se basa,

principalmente, en pro-

ductos de origen animal

como la leche, el huevo y

la carne. Estos alimentos

están compuestos, entre

otros, de sustancias lipídi-

cas, y una de ellas es el

colesterol. Debido a su

composición química, el

colesterol se presenta co-

mo una molécula muy

propensa a la oxidación,

es así como a través de

una serie de reacciones con el oxígeno llega a convertirse

en uno de sus derivados, los oxiesteroles (OE).

La oxidación del colesterol es un proceso en el cual partici-

pa el oxígeno y se lleva a cabo por dos vías: la enzimática

y la no enzimática. Ambos procesos conducen a la for-

mación de un gran número de derivados, entre los cuales,

los denominados oxiesteroles se caracterizan por poseer

una o varias funciones de tipo alcohol, cetona, peróxido y/

o epóxido.

Estas dos vías difieren, principalmente, por su mecanismo

y se asocian al lugar donde se produce cada una de ellas.

La vía enzimática ocurre en el interior de nuestro organis-

mo, transformando el colesterol interno en OE. En cam-

bio, la vía no enzimática ocurre directamente sobre los

alimentos. Frente a esta información, nacen las siguientes

interrogantes: ¿Cuáles son los factores que posibilitan la

formación de oxiesteroles en los alimentos? ¿Los oxieste-

roles formados en los alimentos son perjudiciales para

nuestra salud?

Los factores que influyen en la formación de oxiesteroles

en productos alimenticios son múltiples, pero los más

importantes, además de la presencia de O2 son: tempera-

tura, radiaciones, agentes fotosensibilizantes, iones como

metales de transición, tiempo de almacenamiento, pH y

concentración de colesterol que presenta el alimento.

Los OE tienen función fisiológica, sin embargo, un exceso

de ellos es de alto riesgo para el organismo, ya que se ha

comprobado que distintos tipos inhiben la síntesis molecu-

lar del colesterol, por lo que este se acumula

en la membrana celular alterando su fluidez y

produciendo la muerte de la célula. Inhiben la

síntesis del ADN, interfiriendo en la división

celular, también alteran la homeostasis del

calcio. Otros efectos atribuibles a la acción de

los OE en el organismo se relacionan con efec-

tos mutagénicos y pro carcinógenos. De esta

gran gama de efectos, la aterogénesis es una

de las más importantes, ya que produce placas

de ateromas en las arterias lo que lleva consi-

go una probabilidad de generar enfermedades

cardiovasculares, como taquicardias, infartos,

arritmias y cardiopatías.

Frente a esta información y debido a la pre-

sencia de cantidades relativamente altas de OE en alimen-

tos de consumo habitual es muy importante considerar la

prevención de su formación durante la elaboración, proce-

samiento, almacenamiento o preparación culinaria.

En diferentes investigaciones científicas se ha estudiado la

formación de OE, principalmente de productos lácteos y

cárneos. Aquellos productos que requieren de altas tem-

peraturas para su elaboración tienen altos contenidos de

OE, como es el caso de un tipo de mantequilla clarificada

llamada ghee (259 μg/g). Este producto, tiene alto con-

tenido de colesterol oxidado, porque en su preparación es

sometido a altas temperaturas para obtener su consisten-

cia característica. En cambio, los otros derivados de la

leche muestra una cantidad mucho menor (1,1 μg/g), ya

que para evitar la oxidación del colesterol se le adicionan

antioxidantes.

Considerando la información de diferentes estudios cientí-

ficos, el producto carneo con mayor cantidad de OE es el

pavo comercial que tiene 23,7 μg/g. El pavo es la carne

con menor cantidad de grasa, pero requiere altas tempe-

raturas (190,55ºC) y un largo tiempo de cocción, lo que

provoca que sea más propenso a la oxidación. La carne de

ternera presenta un bajo nivel (0,1 μg/g), esto debido a

que su cocción es mucho menor que la del pavo.

Por otro lado se sabe que las grasas utilizadas en procesos

de frituras sufren una serie de cambios oxidativos, debido

al efecto combinado de las altas temperaturas y de la pre-

sencia de oxígeno. Se ha observado formación de OE cre-

ciente con el tiempo de calentamiento, cuando se utiliza

temperaturas entre 135°C y 165°C. Existen diferentes

trabajos científicos en que se ha observado que los OE

formados durante la fritura pueden absorberse en los ali-

mentos. Así se observó que el nivel de OE presente en

papas fritas es cuatro veces superior al que se encuentra

en su medio de fritura.

De acuerdo a lo descrito previamente la formación de

oxiesteroles en los alimentos es motivo de preocupación,

por lo cual se busca desarrollar procedimientos que impi-

dan su formación. Una forma de inhibir la formación de

oxiesteroles es a través de la acción de los antioxidantes

los cuales están dirigidos para prevenir o retrasar la oxida-

ción de los ácidos grasos.

A B A Q U I M

Un Nuevo Colesterol: El Oxiesterol (OE) M. Gricelda Iturra Lara

Cerdo Carne rica en Colesterol

Carne asada a tem- peraturas muy altas

Carne procesada

Alimentos con pre-sencia de oxiestero-les

Colesterol

Oxiesterol

HO

HO

OH

J U L I O 2 0 1 4

10

¿Sabías que?...¿Sabías que?...

… el Metro se puede definir como la distancia reco-rrida por la luz en el vacío en 1/299.792.458 seg. (aproximadamente 0,000000003335640952 seg.), medidos por un reloj de cesio.

?????

… el Angstrom es una unidad de longitud que equi-vale a 10-10 metros y su símbolo es una A con un pequeño círculo encima de ella (Å). Su nombre se debe al físico sueco Anders Jonas Ångström (1814 – 1874) quien fue el primero en medir longitudes de onda y determinar los límites del espectro visi-ble.

?????

… la Electricidad que sale de las centrales produc-toras, se emite a unos 50.000 voltios o más. Esta electricidad se transporta por cables usando las grandes torres metálicas que se pueden ver en el campo. De ahí, usando normalmente diversos transformadores, es reducida hasta los 220 voltios de la electricidad que llega a nuestros hogares.

?????

… el ingeniero y mecánico escocés James Watt (1736 – 1819) inventó la máquina de vapor y defi-nió una unidad para medir su potencia: el Caballo de Vapor. Por aquel entonces, en las minas se utili-zaban caballos para extraer agua y otros materia-les. Para poder vender sus máquinas a los ingenie-ros de minas, Watt midió el trabajo que realizaba un caballo típico durante un período grande de tiempo y luego calibró sus máquinas de acuerdo con ello. Así, pudo decirle a su clientela que una máquina de un caballo de vapor reemplazaría a un caballo.

?????

… el ozono es un gas que nos protege de las radia-ciones negativas del Sol. Está formado por 3 áto-mos de oxígeno: O3. Es de color azul, de penetran-te olor y venenoso. Fue descubierto definitivamen-te en 1840 por el químico Christian Schönbein (1799 – 1868) que le dio el nombre de ozono, que en griego significa "yo huelo". El ozono se encuen-tra principalmente en la estratosfera formando la llamada capa de ozono y es tan importante para la vida que existen acuerdos internacionales que im-piden la fabricación de ciertos productos químicos que dañan esta capa.

?????

POESÍA Y MNEMOTECNIA

La mnemotecnia (o nemotecnia) es un

procedimiento de asociación mental

para facilitar el recuerdo de algo.

En Matemáticas es muy usada para

recordar ciertas fórmulas. Por ejemplo en Trigonometría se usa la

expresión: COCA COCA HIP HIP, para recordar la definición de las

razones trigonométricas de un ángulo en un triángulo rectángulo: CO

es Cateto Opuesto, CA es Cateto Adyecente y HIP es Hipotenusa.

Las definiciones de las funciones trigonométricas seno, coseno y tan-

gente se obtienen juntando las sílabas 1ª con la última para el seno

CO HIP (cateto opuesto dividido por hipotenusa), la 2ª con la penúl-

tima para el coseno CA HIP (cateto adyacente dividido por hipotenu-

sa) y las centrales para la tangente CO CA (cateto opuesto dividido

por cateto adyacente).

También la frase TODAS SIN TACOS permite recordar los signos

de las funciones trigonométricas para ángulos ubicados en los dife-

rente cuadrantes en 1er cuadrante todas son positivas (TODAS), en 2º

cuadrante lo es el seno (SIN), en el 3º es positiva la tangente (TA) y

en el 4º, el coseno (COS).

Es común usar un poema para recordar algo, por ejemplo cifras deci-

males de algún número irracional, como π ó e.

A continuación un poema que permite recordar las primeras 77 cifras

decimales del número π, que son:

π = 3,14159265358979323846264338327950288419

716939937510 582097494459230781640628620 (El número de letras de cada palabra corresponde a la corres-

pondiente cifra decimal. Las palabras con 10 letras corres-

ponden a la cifra 0).

Ves a Dios y sabes realmente lo oculto,

magia con magia, tremenda maravilla,

cálculo laborioso con no más misterio:

Este número es mágico.

Sólo ves los primeros,

mas no quieras registrar todos.

Suponiendo su infinito, infinita cosa

y maravilla sientes y tienes.

Admiradlo con sencillez increíble,

más respeto total y lentamente surge

eminente la formidable infinitud,

sentida como grandiosa.

Esta gran cifra simboliza la paz,

comuniones comunes, justicia y cariño.

Cada provechoso pueblo

es buscador tozudo de maravillas.

π

11

ABACOM Boletín Matemático

Sonriendo

Con - Ciencia

H U M O RH U M O RH U M O R

UNA TEORÍA COMPLICADA

La Teoría de la Relatividad General, que Albert Einstein (1879 –

1955) publicó en 1916, ha sido y es una de las teorías más influ-yentes de todos los tiempos. Esta teoría es bastante compleja.

El Físico y Astrónomo inglés Arthur Eddington (1882 – 1944) de-fendió esta teoría y se encargó de difundirla ante la sociedad científica anglosajona.

En los años 30, un entrevistador comentó a Eddington que se de-cía que él era una de las tres personas del mundo que entendía la Teoría de la Relatividad General. Eddington se extrañó y cuando el entrevistador le preguntó los motivos, el físico aclaró que esta-ba intentando averiguar quien sería la tercera persona.

Un Físico que transitaba por la carretera fue

detenido por un policía, quien le pasó un parte

por exceso de velocidad.

Cuando se presentó ante el juez, argumentó:

“Sr. Juez, en verdad yo vi el letrero con un nú-

mero 100 en un círculo, pero no se indicaban

las unidades. Si nada se dice en contrario se

supone que se debe usar el sistema MKS, don-

de la longitud se mide en metros, la masa en

kilógramos y el tiempo en segundos. Por tanto

la velocidad es medida en metros/segundos (m/

s). Yo asumí eso y por tanto pensé que la velo-

cidad máxima permitida era de 100 m/s, lo que

corresponde a 360 km/h. Como el policía mi-

dió mi velocidad en 166 km/h, yo realmente

iba a menos de la mitad de lo permitido”.

De más está decir que, de todas formas, debió

pagar la multa correspondiente.

Un Estadístico se propone llevar a cabo un ex-

perimento sobre los efectos del alcohol. Para

ello, el primer día bebe diez vasos de Coca-

Cola con vino, y se emborracha. A los tres

días, bebe otros diez vasos de Coca-Cola con

pisco, y se vuelve a emborrachar. Repitió el

experimento, sucesivamente, con ron, con

coñac y con whisky. Finalmente publica un

artículo donde afirma que lo que embriaga es

la Coca-Cola, ya que es único producto común

en los diferentes combinados.

Evolución de un Problema de Matemáticas:

1980: Un agricultor que siembra papas, gasta

por cada kilo $50. Si las vende con el 40% de

ganancia, ¿a qué precio vende el kilo de papas?

2000: Un agricultor que siembra papas, gasta

por cada kilo $50. Si las vende con el 40% de

ganancia, que es $20, ¿a qué precio vende el

kilo de papas?

2014: Un agricultor que siembra papas, gasta

por cada kilo $50. Si las vende con el 40% de

ganancia, que es $20, entonces el precio de

venta del kilo de papas es $70. Subraya la pala-

bra papas y comenta el precio de ellas con tus

compañeros.

Albert Einstein y Arthur Eddington

52 127,6

Te Telurio

8 16

O Oxígeno

95 243

Am Americio

...ERES EL QUÍMICO

MÁS ROMÁNTICO ...

12

J U L I O 2 0 1 4

iciasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNo

Julio Morales Muñoz, Periodista y Comunicador Social

¡Ingeniería en un click! La Facultad de Ciencias de la Ingeniería de la Universidad Austral de Chile invita a todos los estudiantes de Enseñan-za Media del país a participar del 2º concurso fotográfico escolar “Capta la Ingeniería”.

El objetivo del concurso es cono-cer los aportes que han realizado la Ingeniería y la Arquitectura en nuestro país. Por otra parte, los escolares ganado-res y sus profeso-res patrocinantes recibirán premios que van desde $50

mil a $150 mil pesos. Cabe señalar que “las fotografías podrán ser de espacios, lugares, objetos, actos y situaciones de su barrio, comunidad o ciudad que logren plasmar aquellos aportes. Las obras se deben enviar al mail captalaingenieria@gmail.com hasta el 22 de Agosto” señala-ron los organizadores. Bases y más información en: http://ingenieria.uach.cl/2-concurso-fotografico-escolar-capta-la-ingenieria-abre-su-convocatoria/

En Los Ríos hay nuevo Congreso Escolar de Ciencia y Tecnología EXPLORA CONICYT 2014 “En tu día hay un mundo por explorar: Vida, Ciencia y Tec-nología” es el lema del XI Congreso Regional Escolar que se realizará el 24, 25 y 26 de Septiembre. Las postulacio-nes son hasta el 29 de Agosto del presente año. En esta oportunidad el evento se realizará en el Centro de Ferias del Parque Saval y pueden participar estudiantes entre 5º de Educación Básica y 3º de Educación Media. El equipo de trabajo debe estar integrado por mínimo 2 estudiantes, 1 docente vincu-lado formalmente al establecimiento educacional y podrán con-tar con un asesor/a científico/a. Respecto de las fechas, hasta las 18 horas del 29 de Agosto se aceptarán los trabajos. Además al menos dos proyectos ganado-res por región, a nivel país, asistirán al XV Congreso Nacional Escolar de Ciencia y Tecnología EXPLORA CONICYT que se realiza-rá en la Región Metropolitana. Para descargar las bases y formularios, visitar: www.explora.cl/rios

La Olimpíada de Matemática tiene como objetivo descubrir jóvenes talentosos que cursan estudios de Enseñanza Media y Básica, para ofrecerles la oportunidad de ampliar sus horizontes científicos y cultura-les.

La participación se lleva a cabo en dos niveles: Nivel Mayor: Estudiantes nacidos

el año 1998 o inferior. Nivel Menor: Estudiantes nacidos

el año 1999 o superior. Pueden participar todos los estable-cimientos de Enseñanza Media del país, rindiendo la Prueba Nacional el día 23 de Agosto en las sedes regionales.

En la Región de los Ríos esta prueba se rinde en la Universidad Austral de Chile, siendo la encargada regional la profesora María Isabel del Río. Aquellos alumnos que obtengan los mejores puntajes, llegan a la Final Nacional que se realizará los días 23, 24 y 25 de Octubre en Santiago. Inscripciones y más información, incluyendo pruebas de años anterio-res, se pueden encontrar en: http://www.olimpiadadematematica.cl/

Como un ejemplo de preguntas que se hacen en la Prueba Nacional, a con-tinuación un problema planteado para el Nivel Mayor, con su solución:

XXIV OLIMPÍADA NACIONAL DE MATEMÁTICA

Nivel Mayor

Prueba de Clasificación 25 de Agosto de 2012

Problema 3: La figura muestra al triángulo ABC, rectángulo en

C, su circunferencia circunscrita y semicircunfe-

rencias construidas sobre los dos catetos.

Demuestre que la suma de las áreas de las regiones

sombreadas es

Solución:

Como se tiene que AB es un diámetro de la circunferencia

circunscrita. El área sombreada es igual a la suma de las áreas de los dos

semicírculos sobre los catetos, más el área del triángulo, menos el área del

semicírculo sobre la hipotenusa.

Área sombreada

Usando el Teorema de Pitágoras, vemos que el paréntesis de arriba se anula

y así se obtiene el resultado pedido.

1.

2AC CB

90ºACB

2 2 21

8 8 2 8

AC CB AC CB AB

2 2 2 1( )

8 2

AC CB AB AC CB