Matemtica IV

Ejercicios Propuestos de la Semana 1

Temas: Ecuaciones diferenciales de variable separable. Ecuaciones diferenciales homogneas y exactas.

I ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Introduccin.

Las leyes que gobiernan los fenmenos de la naturaleza se expresan habitualmente en forma de

ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones del movimiento de los cuerpos (la segunda ley de Newton) es

una ecuacin diferencial de segundo orden, como lo es la ecuacin que describe los sistemas oscilantes,

la propagacin de las ondas, la transmisin del calor, la difusin, el movimiento de partculas

subatmicas, etc.

Def inic in.

Una ecuacin diferencial es una ecuacin en la que aparecen derivadas o diferenciales. Si una ecuacin

contiene solo derivadas de una funcin de una variable, entonces se dice que es ordinaria.

Una ecuacin diferencial parcial contiene derivadas parciales. En este captulo se desarrollan algunos

mtodos para resolver los tipos bsicos de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Clasificacin de las ecuaciones diferenciales:

Las ecuaciones diferenciales (ED) se pueden clasificar segn las siguientes caractersticas:

A) Segn el tipo B) Segn el orden C) Segn el grado D) Segn su linealidad

A) Segn el tipo

Una ED puede ser ordinaria (EDO) o parcial (EDP). Una EDO es aquella que slo contiene derivadas

ordinarias (derivadas de una o varias funciones de una sola variable independiente).

Una EDP, en cambio, contiene derivadas parciales (derivadas de una o varias funciones de dos o ms

variables independientes).

B) Segn el orden

El orden de una ecuacin diferencial lo determina el orden de la ms alta derivada presente en ella

Ejemplos:

1) 3

3

dx

yd - 5x

2

2

dx

yd + 6

dx

dy - 7 y = 0 Orden: 3

2) 5

5

dt

id +10

4

4

dt

id + 3t

2

3

dt

id - 5t

2

2

2

dt

id + 6

dt

di - 7i = 0 Orden: 5

3) 6 dt

dv - 7v = 15t

2 + 3t + 10 Orden: 1

C) Segn el grado

Lo da el exponente de la mxima derivada contenida en una ED.

Ejemplos:

1) 3

3

dx

yd - 5x

2

2

dx

yd + 6

dx

dy - 7 y = 0 ED de grado: 1

2) 6

53

5( )d v

dt - 7v = 15t

2 + 3t + 10 ED de grado: 3

3) 10x2 y- 5y- 7y = 9x ED de grado: 1

D) Segn su linealidad.

Una ecuacin diferencial es lineal si presenta la siguiente forma:

()

+ 1()

1

1+ . . . . + 1()

+ 0() = ( )

Con las siguientes caractersticas:

La variable dependiente y todas sus derivadas tienen como exponente la unidad.

Los coeficientes o son constantes o solo dependen de x

Si no cumple con estas caractersticas se dice que la ED es No Lineal

Ejemplos:

Solucin de una EDO.

Solucin de una ED: una funcin f(x), definida en algn intervalo I, es solucin de una ecuacin

diferencial en dicho intervalo, si al sustituirla en la ED la reduce a una identidad.

Ejemplo:

Indicar si la ecuacin

Es solucin de la siguiente ecuacin diferencial:

Solucin

Las soluciones de las ecuaciones diferenciales pueden ser explcitas o implcitas. Una ED tiene,

generalmente, un nmero infinito de soluciones o ms bien una familia n-paramtrica de soluciones. El

nmero de parmetros n, depende del orden de la ED. Cuando se dan valores especficos a los

parmetros arbitrarios, es decir, cuando se asignan valores numricos a los parmetros, se obtiene una

solucin particular de la ED.

Ejemplo:

1. Resolver

Problemas propuestos

1. Determinar el orden de las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) ed y

dx

xdy

dxx

x2

2 sen b)

d y

dx

d y

dx

y

3

3

42

2

5

0

c) x y dx x dy3 2 0 d) x y x y3 3 0,,

e) d y

dx

dy

dx

dy

dxy

2

2

2

0

f) x y y y,, ,

3 40

g) y y x, cos h) d y

dx

dy

dx

3

3

651

2. Verificar si las funciones dadas son soluciones de las ED indicadas:

a) yx

xxy y x

sen; cos

,

b) y cee

y y ex

xx 2

32;

,

c) y e e dt ce y y ex tx

x x x

. ;,

2

0

2

d) y xt

tdt xy y x x

x

.sen

; sen,

0

e) y x cy y x y 1 02 2; ,

3. Hallar la ED conociendo la solucin general dada:

a) y c x c c 1 2 3sen

b) y cx bx d 2 ln

c) y c e c ex x 12

23

d) y Ae CBx

II Ecuaciones Diferen ciales de variables separables .

Una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden de la forma:

y = F(x, y)

se dice de Variables Separables si es posible factorizar F(x, y) en la forma:

F(x, y) = f(x) g(y)

Ejemplo:

Resolver la siguiente ecuacin diferencial

2 2; (0) 2y xy x y y

Solucin

2 . Resolver:

2 21 1 . 0x y y x y

3 . Resolver y encontrar la solucin implcita de la siguiente ED:

(xy 2x 4y 8) (xy 3x y 3) 0dy dx

Problemas Propuestos

Resolver las ED en variables separables:

1.- e ydx dyx 0

2.- cos ydx x dy 1 02

3.- y x dy xdx2 21 arcsen

4.- e ydx e ydyx xtg sen 1 02

5.- xdy ydx xy xdx cos 0

6.- y e dx ye e dyx x y2 0 ln

7.- dy

dxy x 2 0sen

8.- xy y y, 3

9.- xy x dx x y x y dy 2 2 2 2 1 0

10.- y y xey xy22

0, ln

11.- 1 2 1 2 12 2 y dx y y x dy

12.- ex

y

dx

dy

y x3 2

20

III: ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGNEAS

Existen algunas ecuaciones diferenciales que al hacer un cambio de variable adecuado se reducen a

ecuaciones en variables separables, como el caso anterior.

Antes de estudiar las ecuaciones diferenciales homogneas es necesario definir lo que es una funcin

homognea.

Sea la funcin Z = (x, y), se dice que es homognea de grado "n" si se verifica que:

f( tx, ty)= t f( x, y)

siendo "n" un nmero real. En muchos casos se puede identificar el grado de homogeneidad de la

funcin, analizando el grado de cada trmino:

Ejemplo:

Verificar si la funcin f(x, y) = x2 2xy + y2, es homognea.

f( tx, ty)= (tx)2 2(tx)(ty) + (ty)2

f( tx, ty)= t2x

2 2t2xy + t2y2

f( tx, ty)= t2(x

2 2xy + y2)

f( tx, ty)= t2 f(x,y)

entonces, la funcin f es homognea de grado 2.

Ejemplo:

Dada la funcin homognea: f(x, y) = x2 2xy + y2, verificar que

yxnfy

fy

x

fx ,

La funcin f es homognea de grado 2, entonces:

22 222222 yxyxyxyyxx

2222 222222 yxyxyxyxyx

2222 22242 yxyxyxyx

Ejemplos:

1. Resolver la siguiente ED:

2 2 2( y )dx xydy 0x x y

Definicin de

funcin homognea

2. Resolver la siguiente ED:

Solucin

Problemas Propuestos

Resolver las siguientes E.D. homogneas y reducibles a homogneas.

01.- 2(2x2+y

2)dx-xydy=0 02.- xydx+(x

2-y

2)dy=0

03.- x2y

,=4x

2+7xy+2y

2 04.- x x y y dx xydy2 2 2 0

05.- 1 1

02x

y

xe dx

e

x ydy

yx

yx

06.- (2y4+x

4)dx-xy

3dy = 0

07.- yy

x

x y

x

, 1

2

2 2

2 08.- (2x-y-6)dx+(x+2y+7)dy=0

09.- (3x+5y+6)dx-(x-7y-2)dy=0 10.- ,

1 4 3 15

2 7

x y

y x y

11.- yx y

x y

,

8 25

7 16 140 12.- x(2x

2+3y

2-7)dx-y(3x

2+2y

2-8)dy=0

13.- (tgx-ctgy+3)sec2xdx-(3tgx+ctgy+1)cosec

2ydy=0

Lic. Jhonny Prez Armijo