Ecuaciones_2013

Matemtica Bsica Ecuaciones

Ing. Victor Yujra Ccuno 1

ECUACIONES

1 INTRODUCCIONUna ecuacin es aquella igualdad de dos expresiones algebraicas a las que llamaremos primer ysegundo miembro.Algunas propiedades de las ecuaciones son: Si se suma, resta, multiplica o divide una cantidad independiente de las variables a un miembro,

se har la misma operacin con la misma cantidad al otro miembro. Si se multiplica o se divide a ambos miembros una expresin que contenga la variable, la

ecuacin resultante puede tener una o ms races las cuales habr que identificar. Si se eleva a una misma potencia a los dos miembros, la obtenida no es equivalente a la primera

puesto que se generan soluciones extraas. El valor o valores que tomara una variable en una ecuacin se llamaran races de la ecuacin.

2 ECUACIN LINEAL O DE PRIMER GRADO2.1 CON UNA VARIABLE:

Esta denotado por: 0=+ bax siendo baya ,;0 constantes arbitrarias.

La solucin est dada por:a

bx

= ; lo cual es una solucin finita y nica.

Esta solucin tomara el nombre de Raz de la Ecuacin Lineal.Por ejemplo: Si se tiene una ecuacin ( ) 073397 =++= xxxxxf , entonces su raz ser1, ya que para 1=x la ecuacin se cumple.

2.1.1 PROBLEMASResolver las siguientes ecuaciones de primer grado con una variable:

1. xxxx 73397 =

2. 93

14513

27

312 = xxxx

3.3

12273127 = xxx

4. 2=+a

bxb

xa

5.23735

5258

+

+=

++

x

x

x

x

6.x

x

x

x

x =

++

+ 422

26 2

7. ( ) ( ) ( ) 81222 233 =+ xxxx8. ( )( ) ( ) ( )2534325 xxxx =++9. ( ) ( ) ( ) 020352743 =+++ axaxxa10. ( ) ( ) ( )( ) ( )222 1123612513 =+++ xxxxx



2.2 CON DOS VARIABLES:

Si el sistema tiene dos ecuaciones como321

321

bybxbayaxa

=+

=+, entonces puede resolverlos con los

mtodos siguientes:1. METODO DE REDUCCION O ELIMINACION: Las ecuaciones se suman para eliminar

una de las variables y encontrar su equivalencia.2. METODO DE CRAMER: Consiste en trabajar con determinantes de tal forma que:

23

23

bbaa

x =31

31

bbaa

y =21

21

bbaa

S =

para que finalmente se obtenga los valores de las variables mediante

Sx

x

=

Syy

=

3. METODO GRAFICO: Una ecuacin de primer grado puede ser graficado en un planocartesiano XY como una recta. Para encontrar la solucin, se hace la grfica de las dosecuaciones en el plano cartesiano XY y las coordenadas del punto de interseccin de estasdos rectas viene a ser la solucin del sistema

2.2.1 PROBLEMASResolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con dos variables:

1.9351323

=

=+

yxyx

2.1446

1323=+

=+

nm

nm

3.923

2=

=

yxyx

4.07560434

=++

=++

yxyx

5.93112

=

=+

yxyx

6.16.07.03.054.02.05.0

=

=+

baba

7.6615

3264=+

=

yxyx

8.9243361622

=

=+

yxyx

9.

61743

064

=

=+

yx

yx

10.( )( ) 5/37

3/24=+

=+

yxyx

11.( )( ) 8513/18

537/12=

=+

yxyx

12.4

23

37

22

13

1

=

=

+

yx

yx

13.

( )

( ) 15

313

254

2425523

=

+

+

=

y

yxyxyx



2.3 CON TRES VARIABLES:

Si el sistema tiene ecuaciones como

4321

4321

4321

czcycxcbzbybxbazayaxa

=++

=++

=++

, entonces puede resolverlos con los

mtodos siguientes:1. METODO DE REDUCCION O ELIMINACION: Las ecuaciones se suman para

eliminar una de las variables y encontrar su equivalencia.2. METODO DE CRAMER: Consiste en trabajar con determinantes de tal forma que:

324

324

324

ccc

bbbaaa

x =

341

341

341

ccc

bbbaaa

y =

421

421

421

ccc

bbbaaa

z =

321

321

321

ccc

bbbaaa

S =

para que finalmente se obtenga los valores de las variables mediante

Sx

x

=

Syy

=

Sz

z

=

2.3.1 PROBLEMASResolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con tres variables:

1.6774

9265423

=+

=+

=++

zyxzyxzyx

2.942

=+

=+

=+

xz

zyyx

3.1101199111221432172337

=+

=

=+

zyxzyxzyx

4.13542

151442

=+

=

=+

zyxzxy

zyx

5. ( )

( ) 432/32

13

675

=

+

+

=

+

=

+

+

x

zyxzyx

xz

yxyx

6.

103354201434132

=+

=+

=+

xz

zy

yx



7.

671232216721

=+

=+

=+

zx

zy

yx

PROBLEMAS

1. Encontrar el valor de x y y en

=

=

7y9- x85y7- x6

Solucin:1er Paso: Multiplicamos las 2 ecuaciones por un nmero (resultado del m.c.m. entre ellos), paraigualar el valor numrico de los coeficientes de la incgnita x en las 2 ecuaciones.

=

=

3) x(7.....y9- x84) x(5.....y7- x6

=

=

21y27- x2420y28- x24

2do Paso: Restamos las 2 ecuaciones para eliminar las incgnitas "x"; luego resolvemos laecuacin.

1y1y

21y27 x24-20y28- x24

=

=

+=+

=

3er Paso: Reemplazamos el valor encontrado de la incognita y", en cualquiera de las 2 ecuacionesdel sistema para obtener el valor de la incgnita x"; o bien se calcula est incgnita repitiendo lospasos anteriores.

2x12 x675 x657- x657(1)- x65y7- x6

==

+====

Por ltimo; los valores de x y y que cumplen esta condicin son 1y2x ==

2. Encontrar el valor de x y y en

=

=+

13y- x39y2x

Solucin:

1er Paso: Se despeja la incgnita "x" de una de las ecuaciones dadas.y2-9 x9y2x ==+

2do Paso: Reemplazamos la incgnita "x", en la otra ecuacin dada; para obtener el valor de laincgnita "y".



2=y

3er Paso: Reemplazamos la incgnita "y", en la 1ra expresin obtenida; para obtener el valor de laincgnita "x".

( ) 4922929 === yx5=x

Por ltimo; los valores de x y y que cumplen esta condicin son 2y5x ==

2.4 PROBLEMAS QUE SE RESULVEN USANDO VARIABLES Y ECUACIONESEn las matemticas como en las otras ciencias, existe una gran cantidad de problemas que seresuelven usando ecuaciones de primer grado con una o mas incgnitas. Esta o estas incgnitassern las variables que representaremos por letras. Luego se tiene que traducir algebraicamente lascondiciones del problema obtenindose la ecuacin de primer grado con una incgnita o msincgnitas.Por ejemplo: La longitud de una habitacin es el triple de su ancho. Si aumentamos 2 metros alancho y disminuimos 5 metros a su longitud, el rea de la habitacin es la misma. Calcular lasdimensiones de la habitacin.Solucin:Como la longitud de la habitacin es el triple de su ancho definimos que el ancho es x, entoncesla longitud ser 3x. Aqu nos detenemos un momento y afirmamos que el rea de la habitacin es:

( )( )xxrea 3.= . Continuemos: si aumentamos 2 metros al ancho (es decir x+2) y disminuimos 5metros a la longitud (es decir 53 x ), el rea ser la misma (es decir ( )( ) reaxx =+ 5.2 )Como el rea no cambia entonces: ( )( ) ( )( )5.23. +== xxxxrea , y esta es una ecuacin de primergrado.Si resolvemos esta ecuacin encontraremos que el ancho es 10 metros y la longitud es 30 metros.

2.4.1.1 PROBLEMAS1. Un granjero gana un jornal de S/. 20.00, pero los das que no trabaja solo le pagan S/. 5.00.

Si al cabo de 30 das cobra S/. 270.00. Cuntos das no trabajo?.2. Un alambre de 21 m. Se divide en dos partes, de tal modo que la longitud de una de ellas es

las tres cuartas partes de la longitud de la otra. Hallar la longitud de cada parte.3. Encontrar tres nmeros consecutivos tal que la suma sea igual a 21.4. Encontrar tres nmeros pares consecutivos cuya suma sea igual a 36.5. hace ocho aos un hombre tenia 7 veces la edad de su hijo, pero ahora tiene solo 3 veces la

edad de su hijo. Hallar las edades actuales de ambos.6. Si 1/5 de la edad de Juan se aumenta en un cuarto la edad que tenia hace 10 aos, entonces

la suma es igual a 1/3 de la edad que tendr dentro de 10 aos. Calcular la edad actual deJuan.

( )

714y14y

14y72713y713y72713yy62713yy29313y x3

==

===

===



7. Alfonso puede caminar cierta distancia en 20 minutos y Marco puede caminar la mismadistancia en 30 minutos. Si Alfonso parte 5 minutos despus que Marco, cunto tiempohabr estado caminando B antes que lo alcance Alfonso.

8. Jaimito tiene cierta cantidad de dinero. Si se compra 10 lpices le quedarn 10 soles; sicompra 4 cuadernos le quedaran 20 soles; y si compra 4 lpices y 3 cuadernos le quedaran10 soles. Cunto dinero tiene?

9. Una suma de dinero se reparti en cantidades iguales entre cierto numero de nios. Sihubiera habido dos nios mas cada uno habra recibido 1 sol menos; si hubiera habido dosnios menos, cada uno habra recibido 2 soles ms. Hallar el nmero de nios y la cantidadrecibida por cada uno.

10. Si el ancho de un terreno rectangular se aumenta 10 metros y su longitud disminuye 10metros, entonces el rea aumenta 400 m2. Si el ancho disminuye 5 metros y la longitudaumenta 10 metros, entonces el rea disminuye 50 m2. Calcular las dimensiones del terreno.

11. Un burro recorre cierta distancia con velocidad constante. Si esa velocidad se aumenta en 2Km. por hora, entonces el viaje requiere 1 hora menos; si la velocidad disminuye en 2 Km.por hora, entonces el viaje requiere 1 horas mas. Calcular la distancia recorrida y lavelocidad del burro.

12. Marcos puede limpiar un establo en 4 horas y Juana puede hacerlo en 12 horas. Juanaempieza el trabajo pero cierto tiempo despus lo reemplaza Marcos, necesitando para todo eltrabajo un total de 6 horas. Cuanto tiempo trabajo Juana.

Como resolveras este problema?

Dado el sistema:1232

223=

+=+

ayxayx

. Determinar el valor de a para que x valga el doble de y.

Es una ecuacin de primer grado con una, dos o tres incgnitas?

3 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCGNITAUna ecuacin de segundo grado esta denotado por: 02 =++ cbxax , siendo a diferente de cero ydonde a, b y c son constantes. Tambin se le conoce como funcin cuadrtica de x.La resolucin de una funcin cuadrtica consiste en hallar sus races. Esta la podemos hacermediante factorizacin (mtodo del aspa) o usando la formula cuadrtica.

La formula es:a

acbbx

242

= , lo cual tendr dos races: 21 xyx .

Siendoa

acbbx

242

1+

=

a

acbbx

242

2

=

TEOREMA 1: En la ecuacin de segundo grado 02 =++ cbxax con 0a , la suma de las raceses

abxx =+ 21 y el producto es a

cxx =21.

Si a la ecuacin 02 =++ cbxax con 0a , lo dividimos por a obtendremos 02 =++a

cx

a

bx con

0a ; si los valores hallados en el teorema 1 los reemplazamos en la ecuacin de segundo gradoobtendremos: ( ) ( ) 0. 21212 =++ cxxxxxx .En la formula cuadrtica, la expresin acb 42 se llama el discriminante ( ) de la ecuacin. Estediscriminante puede ser mayor, igual o menor que cero.



Si 0> , las races son reales y diferentes. Si 0= , las races son reales e iguales. Si 0



1. 4,32. 2/3,6/5

3. 2,2

4. 51,51 +

5. 22,22 +V. Resolver los siguientes problemas:

1. Hallar el valor de k para que para que el producto de la races de la ecuacin( ) 0252 2 =+ kxxk sea 6.

2. Hallar el valor de k para que para que la suma de la races de la ecuacin( ) 0121122 2 =++ xkkx sea 7.

3. Hallar los valores de a y b en la ecuacin: ( ) 031322 =+++ baxbax si ambasraces valen cero.

4. Hallar el valor de k y armar la ecuacin si se sabe que la suma de la races de laecuacin: ( ) 0121122 2 =++ xkkx es 8.

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