Ecuaciones y Tablas Cálculo de LC _3da Evaluación_ Rev1

Universidad Tecnolgica Nacional Facultad Regional Mendoza Ctedra: Control Estadstico de Procesos

2012 Ing. Graciela Lpez -- JTP

1

ECUACIONES Y TABLAS (3 EVALUACIN)

Z = x = P(error tipo I) ; = P(error tipo II)

Potencia = 1 - = Prob. de rechazar correctam. Ho

Cp = LSE - LIE 6s

2dRS =

=

3

,

3min LSELIEpkC

T= 0,5(LSE+LIE)

La fraccin de la banda de las especificaciones: P = (1 / Cp) 100%

Intervalo de confianza para Cp

=S/C4 si n>25 C4 = 4(n-1)/(4n-3) Herramientas estadsticas para la mejora continua

Diagramas:

- La carta de verificacin. - El diagrama de Pareto. - El diagrama de causa-efecto. - Histograma. - Diagrama de dispersin o correlacin

Recta de regresin

- pendiente

- ordenada origen

Coeficiente de correlacin lineal Pearson

1616

21,2/

21,2/1

nSLIELSEC

nSLIELSE n

pn

xbay . +=

( )( )( )

=

n

xx

n

xyyx

bi

i

iiii

22

xbya =

yx

yxCr

),(=

=

=

n

iii yyxx

nyxC

1))((1),(



2

- Grficas de control. - Diseo de experimentos

Experimento Unidad Experimental Variables de respuesta Factores controlables Factores no controlables o de ruido Factores estudiados Niveles y Tratamientos Error aleatorio Error experimental

1. Experimentos con un solo factor

Modelo estadstico

Teora General

Anlisis de Varianza ANOVA

Notacin de puntos

representa la j-esima observacin en el tratamiento i.

Suma de las observaciones del tratamiento i=

Media de las observaciones del i-esimo tratamiento=

Suma total de las N mediciones =

Media global o promedio de todas las observaciones=

Descomposicin de la variabilidad total: Una medida de la variabilidad total presente en las observaciones de la tabla es la suma total de cuadrados dada por

Se suma y resta dentro del parntesis la media del tratamiento i ( )

Desarrollando los cuadrados

Donde el primer componente es la suma de los

==== koH ...: 21jH 11 :

ijiijY ++=

ijY

.iY

.iY..Y

..Y

( )=

=

=

k

i

in

j ijTYYSC

1 1

2..

( )= =

+=

k

i

n

jiiijT

i

YYYYSC

1 1

2

.. ..

( ) ( ) = = =

+=k

i

k

i

in

jiYijYYiYinTSC

1 1 1

2.

2...

TRATSC



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cuadrados de los tratamientos ( ) y el segundo es la suma de cuadrados del error ( )

Suma total de cuadrados del error

Como hay en total N observaciones, SCT tiene N -1 grados de libertad. Como hay k tratamientos o niveles del factor de inters (A, B, C, D), SCTRAT tiene k -1 grados de libertad Mientras que SCE tiene N k grados de libertad.

Las sumas de los cuadrados divididas entre sus respectivos grados de libertad se llaman cuadrados medios.

Cuando la hiptesis nula es verdadera, ambos cuadrados medios estiman la varianza 2 Con base en este hecho se construye el estadstico de prueba como sigue: se sabe que SCTRAT y SCE son independientes, por lo que Y son dos variables aleatorias independientes con distribucin ji-cuadrada con N k y k 1 grados de libertad, respectivamente. Estadstico de prueba

Sigue una distribucin F con k 1 grados de libertad en el numerador y N k grados de libertad en el denominador. Si Fo es grande, se debe rechazar la hiptesis nula, es decir que se rechaza que los tratamientos sean todos iguales.

En cambio si Fo es pequeo se confirma la validez de la hiptesis nula. Es decir que elegido un determinado , si el valor P es ms pequeo que l, se rechaza la hiptesis nula.

Si por el contrario se rechaza la hiptesis nula es necesario investigar cuales tratamientos resultaron diferentes o cuales provocaron la diferencia.

Mtodo de la diferencia mnima significativa LSD Este mtodo se basa en probar la igualdad de todos los posibles pares de medias con la hiptesis

Para toda ij . Para k tratamientos se tienen k(k-1)/2 pares de medias.

Si todos los tratamientos tienen el mismo nmero de rplicas, la cantidad LSD se reduce a:

La validez de los resultados obtenidos en cualquier anlisis de varianza queda supeditado a que los supuestos del modelo se cumplan.

Estos supuestos sobre Y se traducen en supuestos sobre el trmino error () en el modelo. Es una prctica comn, si se elige la forma grfica, utilizar la muestra de residuos (diferencia entre la respuesta observada y la respuesta predicha por el modelo en cada prueba experimental) para comprobar los supuestos del modelo.

ESC

ETRATT SCSCSC +=

1=

kSCCM TRATTRAT

kNSCCM EE

=

2/ESC2/TRATSC

E

TRATo CM

CMF =

LSDnn

CMtYYji

ekNji =

+

11,2/.. f

neCMkNtLSD /2).,2/( =



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Los residuos, eij, se definen como la diferencia entre la respuesta observada Yij y la respuesta predicha

por el modelo , lo cual permite hacer un diagnostico ms directo de la calidad del modelo, ya que su magnitud seala que tan bien se ajusta el modelo a los datos del problema.

Recordemos el modelo en el que se basa el diseo completamente aleatorizado (DCA)

Donde Yij es el j-eimo dato en el tratamiento i; es la media global, es el efecto del tratamiento i y representa el error asociado con la observacin

El residuo asociado de la observacin Yij , est dado por

Prueba de Shapiro-Wilks para normalidad

Los pasos para la prueba de Shappiro-Wilks son:

1) Se ordenan los datos de menor a mayor, por X1, X2, Xn 2) De la tabla correspondiente se obtienen los coeficientes a1, a2,ak, donde k es igual a n/2 y donde n es el nmero total de mediciones 3) se calcula el estadstico W definido como

4) Si el estadstico W es mayor que su valor crtico al nivel seleccionado de la tabla de Shappiro-Wilks, se rechaza la normalidad de los datos.

Prueba de Barlett para homogeneidad de varianzas

Supongamos que se tienen k poblaciones o tratamientos independientes, cada una con distribucin normal, donde las varianzas son desconocidas. Se quiere probar la hiptesis de igualdad de varianzas dada por:

para algn i distinto de algn j

El estadstico de prueba para la hiptesis planteada es donde

k tratamientos

ijiijY ++=

i ij

.iijij YYe =

2

1)())1((2)1(

1

=

+

=

k

iiXinXia

SnW

2222

21 ...: ==== koH

22: jiAH

c

qo 3026,22

=

=

=

k

iiip SnSkNq

1

210

210 log)1(log)(

+= =

k

ii kNnk

c1

11 )()1()1(311

kN

SnS

k

iii

p

=

=1

2

2)1(

ijY



5

Muestreo para aceptacin por atributos Distintos planes de muestreo ..

Puntos importantes de CO que siguen distribucin binomial

Diseo CO

Se aplica procedimiento a nomograma o tabla militar estudiado.

Muestreo para aceptacin por variables

Estadstico

Diseo plan Supongamos que sean y los puntos de inters de la curva OC. Del monograma correspondiente obtenemos el valor de k y de n

Se compara ZLIEk se toman decisiones de acuerdo al resultado

Mtodo M

Se siguen los pasos convenientes y se toman decisiones. Para dos lmites especificados

Se toman decisiones.

Aplicacin de la regla militar STD 414

Se aplica tabla y procedimiento estudiado

P(

=

=

c

d

dnd ppdnd

n

01 )1()(1

=

=

c

d

dnd ppdnd

n

022 )1()(

NnNpPAOQ a )( =

LIExZLIE

=

),( 2 p )1,( 1 p

36,0249

509,11

2)1(1

=

=

n

nk

s

LIExZ LIE

=

s

xLSEZLSE

=

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