172. Ecuaciones y sistemas

Ecuaciones y sistemas

E S Q U E M A D E L A U N I D A D

5.1. Inecuaciones con una incgnitapgina 48

5.2. Inecuaciones con dos incgnitaspgina 51

1.1. Concepto de polinomiopgina 33

1.2. Operaciones con polinomiospgina 33

1.3. Teorema del restopgina 36

1.4. Descomposicin factorialpgina 36

2.1. Concepto de fraccin algebraicapgina 38

2.2. Simplificacin de fraccionesalgebraicas

pgina 38

2.3. Operaciones con fraccionesalgebraicas

pgina 39

4.2. Ecuaciones racionalespgina 44

4.1. Ecuaciones polinmicaspgina 41

4.3. Ecuaciones irracionalespgina 44

4.4. Ecuaciones exponencialesy logartmicas

pgina 46

6.1. Sistemas de ecuaciones linealespgina 52

6.2. Sistemas de ecuaciones no lineales

pgina 54

7.1. Sistemas de inecuaciones linealespgina 55

7.2. Sistemas de inecuaciones no lineales

pgina 55

7. Sistemas de inecuacionespgina 55

1. Polinomiospgina 33

3. Igualdades, identidades y ecuaciones

pgina 40

4. Ecuaciones con una incgnitapgina 41

2. Fracciones algebraicaspgina 38

5. Inecuacionespgina 48

6. Sistemas de ecuacionespgina 52

0B1MTSOL.02 22/7/08 09:51 Pgina 17

18 Aritmtica y lgebra

S O L U C I O N E S D E L A S A C T I V I D A D E S D E L L I B R O D E L A L U M N O

Cuestiones previas (pgina 32)

1. Cul es la ecuacin general de la recta que pasa por lospuntos (1, 3) y (5, 1)?

x 2y 7 0

2. Qu podras afirmar acerca de los siguientes pares derectas?

a) r1: 2x 4y 10 0s1: x 2y 5 0b) r2: 2x 4y 10 0s2: 4x 8y 5 0c) r3: 2x 3y 10 0s3: x 2y 5 0a) Son dos rectas que coinciden. Es decir, es una nica recta.

b) Son dos rectas paralelas. Es decir, no se cortan en ningnpunto.

c) Las rectas se cortan en el punto (5, 0).

3. Escribe, en forma de intervalo, el conjunto de valores queverifican x 4.

(, 4)

4. Escribe, en forma de intervalo, el conjunto de nmeros {x x 4}.

(, 4]

Actividades (pginas 34/54)

Realiza las siguientes divisiones:

a) (4x4 12x3 7x 5) : (3x2 6x)

b) (7x5 4x4 3x3 12x2 5) : (x3 2x)

a) c(x) 4

3 x2

4

3 x

8

3, r(x) 9x 5

b) c(x) 7x2 4x 17, r(x) 20x2 34x 5

Realiza las siguientes divisiones utilizando la regla de Ruffini:

a) (x3 2x2 3x 5) (x 2)

b) (7x3 2x2 5x 10) (x 2)

c) (6x3 2x 3) (x 5)

a) c(x) x2 3, r(x) 1

b) c(x) 7x2 12x 19, r(x) 28

c) c(x) 6x2 30x 152, r(x) 757

Dados p(x) x 1

3, q(x) x4 3x2 3x 1,

y s(x) 3x2 5x 2, calcula:

a) p(x) q(x) s(x)

b) p(x) s(x)

c) q(x) s(x)

d) q(x) s(x)

e) s(x) p(x)

f) q(x) p(x)

a) p(x) q(x) s(x) x 1

3 x4 3x2 3x 1 3x2

5x 2 x4 3x 1

3

0

3

2

1

b) p(x) s(x) 3x3 5x2 2x x2 5

3

x

2

3

3x3 4x2 1

3

1 x

2

3

c) q(x) s(x) 3x6 5x5 2x4 9x4 15x3 6x2 9x3 15x2 6x 3x2 5x 2 3x6 5x5 7x4 24x3 12x2 x 2

d) x4 5x3\3 3x2 /3 3x 1x4 5x3/3 2x2/3 x2/3 5x/9 58/27

x4 5x3/3 11x2/3 3xx4 5x3/3 25x2/9 10x/9

x4 5x3\3 58x2/9 17x/9 1x4 5x3\3 58x2/9 290x/27 116/27

x4 5x3\3 58x2/9 239x/27 143/27

e) 3x2 5x 23x2 x 3x 6

3x2 6x 23x2 6x 2

3x2 6x 0

f) x4 1/3 x2 3x2 3x 1x4 1/3 x3 x3 1/3 x2

x4 1/3 x3 3x2 3x 1 28/9x 109/27

x4 1/3 x3 1/9x2

x4 1/3 x3 28/9x2 3x 1x4 1/3 x 3 28/9x2 28/27x

x4 1/3 x 3 28/9x2109/27x 1x4 1/3 x 3 28/9x2109/27x 109/81

x4 1/3 x 3 28/9x2109/27x 190/81

Factoriza los siguientes polinomios:

a) t(x) 2x2 x 1

b) p(x) x3 9x2 27x 27

c) q(x) x3 x2 21x 45

d) s(x) 9x3 9x2 x 1

a) t(x) 2x2 x 1 (x 1/2)(x 1)

b) p(x) x3 9x2 27x 27 (x 3)3

c) q(x) x3 x2 21x 45 (x 3)2 (x 5)

d) s(x) 9x3 9x2 x 1 9(x 1)(x 1/3)(x 1/3)

Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

a) c)

b) x3

x3

4

x24

x

4x

a)

x

x

5

3

b) x3

x3

4

x24

x

4x

x (x

x

(x

2

)(x

2

)22)

x

x

2

2

c)

2(

x

x

2

1)

2(x 1) 2(x 2)(x 1/2)

2(x 2)(x 1/2)(x 2)

2(2x3 5x2 x 2)

2x3 x2 8x 4

(x 3)(x 1)(x 5)(x 3)(x 1)(x 3)

x3 3x2 13x 15

x3 x2 9x 9

2(2x3 5x2 x 2)

2x3 x2 8x 4

x3 3x2 13x 15

x3 x2 9x 9

5

4

x 1/3

x 1/3

3x2 5x 2

0B1MTSOL.02 28/7/08 16:11 Pgina 18

Dadas las fracciones algebraicas a(x) x2

2x

4

x

1

3 y

b(x) x2

5

x 6, calcula a(x) b(x), a(x) b(x), a(x) b(x)

y a(x) b(x).

a(x) b(x) (x

2x

3)

(x

1

1)

(x 3)

5

(x 2)

x3 2

2

x

x2

2

5

7

x 6

a(x) b(x) (x

2x

3)

(x

1

1)

(x 3)

5

(x 2)

a(x) b(x) (x

2x

3)

(x

1

1)

(x 3)

5

(x 2)

a(x) : b(x) (x

2x

3)

(x

1

1) :

(x 3)

5

(x 2)

2x2

5

x

5x

5

2

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x4 7x2 13 0 c) x3 4x 0

b) x3 9x2 15x 25 0 d) x3 4x 0

a) 72 4 1 13 0, la ecuacin no tiene solucin.

b) Se descompone el polinomio y se obtiene:

(x 1)(x 5)2 0

Por lo que las soluciones son x 1 y x 5.

c) Factorizando: x(x 2)(x 2) 0, por lo que las solucio-nes son x 0, x 2 y x 2.

d) Factorizando: x(x2 4) 0, por lo que la solucin es x 0.

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x3 3x2 9x 5 0

b) x3 9x 0

c) x4 4x2 0

d) x3 3x2 2x 6 0

a) Se descompone el polinomio: (x 1)2 (x 5) 0, por loque las soluciones son x 1 y x 5.

b) Factorizando: x(x 3)(x 3) 0, por lo que las solucionesson x 0, x 3 y x 3.

c) Factorizando: x2(x2 4) 0, por lo que la solucin es x 0.

d) Se descompone el polinomio: (x 3)x 2x 2 0,por lo que las soluciones son x 3, x 2 y x 2.

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x4 5x2 4 0

b) 9x4 6x2 1 0

c) x4 5x2 20 0

a) x2 5

2

3 x2 4 o x2 1, por lo que las soluciones son:

x 2, x 2 , x 1, x 1

b) x2 , por lo que las soluciones son: x ,x 13

c) 52 4 1 20 0, por lo que no tiene solucin.

13

13

618

9

8

7

(2x 1)(x 3)(x 2)

5 (x 3)(x 1)

10x 5x4 5x3 x2 21x 18

(2x 1) 5(x 3)2 (x 2)(x 1)

2x2 10x 3x3 2x2 5x 6

(2x 1)(x 2) 5(x 1)

(x 3)(x 2)(x 1)

(2x 1)(x 2) 5(x 1)

(x 3)(x 2)(x 1)

6 Resuelve las siguientes ecuaciones racionales:

a) x 5 6

x c)

6

x

x2

4

1

x

x

1

2

x

x

2

b) x

2

x

1

x2

4

1 d)

x24

x

1

x

4

1

x22

5

1

a) Se reduce a comn denominador y se obtiene:

x2 5x 6 0, y sus soluciones son x 2 y x 3.

b) Se reduce a comn denominador y se obtiene:

2x(x 1) 4 2x2 2x 4 0 y se obtiene para x dosvalores, 2 y 1.x 1 anula el denominador de la ecuacin racional, porlo que la solucin es x 2.

c) Se reduce a comn denominador, se ordenan los trminos:

2x2 5x 3 0 y se obtiene para x dos valores, 3 y 1/2.Ambas soluciones son vlidas.

d) Se reduce a comn denominador y se obtiene:

4x 4x 4 25 que es una igualdad imposible. Por tanto,la ecuacin no tiene solucin.

Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales:

a) 3 2x 3 2x d) x 1 x 2 25b)

3

9x 8 2x e) 2x 3 1 xc) x 6 x 6 f) 3x 2 x 1 3a) 2x 3 2x 3

Elevando al cuadrado y reagrupando trminos, se obtiene2x2 7x 3 0, cuyas soluciones son x 3 y x 1/2. Soloes vlida la solucin x 3.

b) Se reduce a comn ndice y se obtiene:

(9x 8)2 8x3 8x3 81x2 144x 64 0Se factoriza la ecuacin y se obtienen las soluciones x 8

y x 17

16

33. Para la ecuacin irracional inicial solo son

vlidas las soluciones x 8 y x 17

16

33

c) Separamos los radicales, y elevando al cuadrado y reagru-pando trminos se obtiene:

12x 30 x 5

2 x

2

4

5

d) Elevando al cuadrado se obtiene:

x2 2x 1 x2 25 x 13

e) 2x 3 x 1Elevando al cuadrado y reagrupando trminos, se obtienex2 4x 4 0, cuya solucin es x 2.

f) Separamos los radicales, y elevando al cuadrado y reagru-

pando trminos se obtiene: x 5 3x 1.Volvemos a elevar al cuadrado y se obtiene la ecuacin x2 19x 34 0, cuyas soluciones son x 17 y x 2.Solo verifica la ecuacin irracional inicial x 2.

Resuelve estas ecuaciones exponenciales y logartmicas:

3x 3 x 2

Hacemos 3x a, y nos queda:

a a

1 2 a2 2a 1 0 a 1 3x 1 x 0

10 x 10 x 1 3 10 x 2 11 300

Hacemos 10x a, y nos queda:

a 1

a

0

1

3

0

a

0 11 300 (100 10 3)

1

a

00 11 300

a 104 10x 104 x 4

13

12

11

10

192. Ecuaciones y sistemas

0B1MTSOL.02 22/7/08 09:51 Pgina 19

2 3 9

x 3

x 2

x 9

20