MÉTODOS ANALÍTICOSAPROXIMADOS PARA RESOLVERECUACIONES DIFERENENCIALESPARCIALES UTILIZANDO EL MÉTODODE RITZ, KANTOROVICH Y ELMÉTODO DE GALERKIN.

Marco Antonio Gutiérrez Villegas1, José Ángel Ortega Herrera2 , Minerva del Mar Gutiérrez Armenta3; José Luis Alcántara Nava4,.

Resumen

El objetivo de este trabajo es el de realizar eldesarrollo y aplicación de los métodos variacionalesde Ritz y Kantorovich así como el no variacional deGalerkin, los cuales se pueden utilizar en aproximaciónanalítica en problemas de la ingeniería, se utilizaranen particular para determinar la distribución de latemperatura en un calentador eléctrico con generacióninterna de calor y uniforme.

Estos resultados obtenidos por este medio, se comparancon la solución exacta.

1. Introducción

En general los métodos clásicos para resolver ecuacionesdiferenciales ordinarias así como ecuaciones diferencialesparciales, son: variables separables, factor de integración,exactas, entre otras, para las ecuaciones diferencialesparciales, se tiene el método de variables de Fourier, comola de transformada de Laplace.

Pero numéricamente solo se tienen pocos métodos uno deellos es el método de las diferencias finita, y actualmente elmétodo del elemento finito y por ultimo el método delelemento frontera. Estos dos últimos dan una buenaaproximación numérica.

Los métodos variacionales clásicos de Ritz, Kantorovich sebasan en la minimización de una funcional asociada alproblema dado, que no es otra cosa que la energía total delsistema físico definido; por otra parte, el método novariacional de Galerkin sólo se integra directamente en eldominio, A fin de tomar como ejemplo, consideremos uncalentador eléctrico.

Para esta aplicación, se considera un calentador eléctrico desección transversal rectangular (-a, a)x(-b, b) con una fuentede calor interna uniforme (constante) de g w/m3 cuyasfronteras mantenidas a la temperatura cero. El propósito es ladeterminación de la distribución de temperatura.

Para esto se ha considerado la ecuación diferencial que gobierna el fenómeno de transferencia de calor del calentador en la región:

[-a, a]x[-b, b]=R

Sujeto a las condiciones de frontera S:T = 0 en x = ± a y y= ± b( 1a) representa en forma de operadores diferenciales se tiene:

b<y<b-y a<x<a-en 01

y

T

x

T 2

2

2

2

=++ gk∂

∂

∂

∂ (1ª)

Ren 2

k

gTLT −=∇= (1)

Bajo la condición de frontera:

Si multiplicamos a (1) por T tenemos:

de donde se tiene:

la funcional para la ecuación (1) se expresa por:

0==S

TBT en S (2)

Tk

gTTTLT −=∇= 2

[ ] dRk

gLTTTI

R

∫

+= ,o sea,

∫ ∫− −

+

∂

∂+

∂

∂=

b

b

a

adxdy

k

g

y

T

x

TI T

2

2

2

2

(3)

Donde su primera variación viene dada por:

∫ ∫− −=

+

∂

∂+

∂

∂=

b

b

a

adxdy

k

g

y

T

x

TI 0T

2

2

2

2

δδ (4)

distribuyendo el operador de integración se tienen tres integrales:

A= ∫ ∫− −

∂

∂

∂

∂b

b

a

adxdy

x

T

xT δ B= ∫ ∫− −

∂

∂

∂

∂b

b

a

adxdy

y

T

yT δ C=∫ ∫− −

b

b

a

adxdy

k

gT δ

Realizando integración por partes en la variable x para A se tiene:

dxx

T

xdv

∂

∂

∂

∂= así xT

x

Tv =

∂

∂=

Tu δ= así ( ) xTTdx

dT

dx

d

dx

du δδδ =

==

A= ( ) ( )∫ ∫− −

−

−

b

b

a

a

xx

a

ax dydxTTTT δδ

Donde el primer término de estas integrales vale cero por las condiciones de frontera:

A= ( )∫ ∫− −

−b

b

a

a

xx dxdyTT δ (5)

Usando la identidad:

( ) ( )2

2

1xxx TTT δδ = (6)

Sustituida en la ecuación anterior se tiene:

A= ( ) dxdyTb

b

a

a

x∫ ∫− −

−

2

1 2δ (6a)

A= ( )[ ]dxdyT

b

b

a

a

x 2

1 2

∫ ∫− −

− δ (6b)

Realizando un procedimiento análogo y usando propiedades de integración iterada [6] se

tiene algo similar para la integral B:

B= ( ) dxdyT

b

b

a

a

y∫ ∫− −

− 2

2

1δ (7)

B= ( )[ ]dxdyT

b

b

a

a

y∫ ∫− −

− 2

1 2δ (8)

Realizando la suma de las tres integrales e igualando a cero

=I δ ( )[ ]dxdyT

b

b

a

a

x 2

1 2

∫ ∫− −

− δ ( )[ ]dxdyT

b

b

a

a

y∫ ∫− −

− 2

1 2δ

+ ∫ ∫− −

b

b

a

a

dxdyTk

g =0 (9)

0 2

y

T

x

T

b

b-

a

a-

22

=

−

∂

∂+

∂

∂= ∫ ∫ dydxT

k

gI δδ (10)

De donde la funcional I[T] que hay que minimizar es:

[ ] ∫ ∫− −

−

∂

∂+

∂

∂=

b

b

a

a

dxdyTk

g

y

T

x

TTI

222

( 11)

es bien conocido el hecho que las soluciones de la ecuación (1) bajo las condiciones de

frontera (2), son los puntos críticos de la funcional Energía (11) por lo que resolver (1)

bajo (2), es determinar los puntos críticos de ella.

A fin de determinar los puntos críticos de (11) se selecciona una forma aproximada para la

variable dependiente, T(x, y), que satisfaga las condiciones de frontera, por medio de los

métodos de Ritz, Kantorovich y Galerkin. Abordaremos primeramente el método de Ritz

2. Método de Ritz.

En este método se selecciona una solución aproximada T(x, y) la cual depende de N

parámetros y tiene la forma de una sucesión ( ){ }yxn ,ϕ convergente de funciones:

∑=

=N

n

n yxyxT0

n ),(a),( ϕ (12)

Donde ϕn(x, y) para todos los valores de n satisfagan las condiciones de frontera. Si ϕn(x,

y) se considera además como un producto de una función de x y de una función y

solamente:

)()(),( yYxXyx nnn =ϕ (13)

entonces Xn(x) y Yn(y) serán formuladas de tal forma que Xn(x) satisfaga solamente las

condiciones de frontera en la dirección x y Yn(y) solamente las condiciones de frontera en

la dirección y, por lo que la ecuación (3) se expresa por:

∑=

=N

n

n yxXyxT1

nn )(Y )(a),( (14)

aplicando el método de Ritz, se considera la función T(x, y), de tal manera que satisface las

condiciones de frontera del problema. Para este caso se puede emplear alguna de las

siguientes series:

1.- ....)aaa)()((),( 2

2

2

10

2222 +++−−= yxybxayxT

2.- ...)()(a))((a),( 22222

1

2222

0 +−−+−−= ybxaybxayxT

3.- ( )

= ∑

∞

= b

ynsin

a

xmsinayxT

nm

mn

ππ

1,

,

4.- ( ) ( ) BxeybAyxT −−= 22,

Ambas series satisfacen las condiciones de frontera, del problema. Considerándola serie (1)

truncada en el primer término donde está 0a , para él cálculo de la primera aproximación de

Ritz:

0

2222 ))((),( aybxayxT −−= (15)

Y sustituyéndola en la ecuación (1.9) e integrando se obtiene el coeficiente ao

)(8

5220

ba

k

g

a+

= (16)

por lo tanto, el perfil de primer orden de Ritz basado en la formulación variacional se

expresa por:

( )( )

( )( )2222

228

5, ybxa

bak

gyxT −−

+= (17)

3. Método de Kantorovich.

En método anterior se construyó el perfil de Ritz para elcalentador eléctrico, especificando las funciones Xn(x) yYn(y) en las direcciones x y y. Sin embargo, en muchosproblemas físicos se conoce el comportamiento delproblema T(x, y) en una dirección; es decir, en la direccióny, se puede predecir con mayor precisión que en la otradirección.

Para el mismo caso, el perfil de Ritz puede generalizarseespecificando las funciones Yn(y), pero dejando sinespecificar la función Xn(x), para considerar concondiciones de frontera en la dirección x. Este procedimientoconstituye la base del Método de Kantorovich.

Aplicando ahora el método de Kantorovich, se obtiene una solución analítica aproximada

del problema anterior.

Suponiendo que la temperatura en la dirección y, es una parábola, mientras que en x, es

X(x) es desconocida, por lo tanto:

)()(),( 22xXybyxT −= (18)

La cual satisface las condiciones de frontera del problema en la dirección y, y se considera

como una primera aproximación. Como en el caso anterior, sólo que ahora la función

desconocida es Y(y).

)()(),( 22yYxayxT −= (19)

Cuando se quiere más precisión en los cálculos puede usar alguna de las siguientes

funciones.

)()....1)((),( 222yYxxxayxT

n+++−= (20)

)()....1)((),( 222xXyyyayxT

n+++−= (21)

Retornando a la solución de problema por el método de Kantorovich, tomando la ecuación

(19).

( ) )()(, 22xuybyxT −= (22)

( ) ( )xuyb

x

yxT′−=

∂

∂)(

, 22 (23)

( ) ( )xyu

y

yxT2

,−=

∂

∂ (24)

Sustituyendo estos valores en la ecuación (9), se obtiene:

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )∫ ∫− −

−−−+′−=a

a

b

b

dydxxuybgk

xyuxuybI 222222 2 2 (25)

integrando con respecto a y se tiene:

( )[ ] ( ) ( )∫−

−+=

a

a

xubk

gxubxubI 32325

3

8

3

8

15

16 (26)

ahora usando las ecuaciones de Euler-Lagrange:

( ) ( )

0=

′∂

∂+

∂

∂−

xu

F

dx

d

xu

F (27)

donde F está dada como:

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )xuybgk

xyuxuybF 222222 22 −−−+′−= (28)

usando (410) en (11) y simplificando:

( ) ( )

−=−′′

22 4

5

2

5

kb

gxu

bxu (29)

Esta ecuación diferencial puede ser resuelta por dos métodos diferentes, coeficientes

indeterminados y variación de parámetros.

( )

−=

b

a

a

x

k

gxu

2

5cosh

2

5cosh

12

(30)

Sustituyendo (13) en la ecuación (5) se tiene:

( ) ( )22

2

5cosh

2

5cosh

12

, yb

b

a

a

x

k

gyxT −

−= (31)

Para tener una mejor exactitud en la solución utilice:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xuybxuybyxT 2

222

1

22, −+−= (32)

Realizando un procedimiento análogo al anterior se llega a la siguiente solución:

( ) ++

−−=

k

g

b

x

b

a

k

g

ybyxT2

1

2

5cosh

2

5cosh2

),( 22

( ) 16

1

1215

21632cosh

1215

21632cosh16

2

2

22

k

g

b

x

b

a

k

g

yb +

−− (33)

También se puede realizar este cálculo utilizando la siguiente función:

[ ])()()(),( 2

2

1

22 xXyxXybyxT +−= (34)

4. Método de Galerkin.

A diferencia del Método de Ritz y Kantorovich, los cuales requieren necesariamente la

formulación equivalencia variacional, de la ecuación diferencial que gobierna el fenómeno,

así como sus condiciones de frontera.

El Método de Galerkin considera el siguiente problema:

( )[ ] Ren 0=rTL (35)

( )[ ] ( )ss rfrTB = en la frontera de S ( 36 )

Donde L es el operador diferencial lineal

[ ]

+∆+∇=

kTTTLei

1 ,,

22 , donde la función

Ψ0(r) satisface la parte no homogénea de las condiciones de frontera (36) y la función φj(r),

satisface la parte homogénea.

[ ] ( )srfB =Ψ 0

j=1,2,...., n

[ ] 0=jB φ

El método de Galerkin para la determinación de los coeficientes Cj es la dada por:

[ ] 0)( )( =∫ dvrrTL i

R

n φϖ

(37)

0)( )()(1

0 =

+Ψ∫ ∑

=

dvrrCrL i

n

j

j φφ (38)

Resolver el mismo problema por el método de Galerkin.

01

2

2

2

2

=+∂

∂+

∂

∂g

ky

T

x

T en axa <<− , byb <<−

Sujeto a las condiciones de frontera:

0=T para ax ±= y by ±=

Se parte de la siguiente forma integral:

0 ),(1

2

2

2

2

=

++∫ ∫

=

−= −=

dxdyyxgkdy

Td

dx

Tdi

bx

ax

b

by

φ

ϖϖ

(39)

Donde:

),(),( 111 yxCyxT φ=ϖ

Y

( )( )2222

1 ),( ybxayx −−=φ

Resolviendo las ecuaciones nos queda:

( )( )2222

228

5),( ybxa

bayxT k

g

−−

+= (40)

La solución exacta está dada por la siguiente ecuación:

( ) ( )

( )∑∞

=

−−

−=

03

222

cosh

cosh*cosh)1(2

2),(

n a

bn

a

bnb

y

n

nB

BB

Ba

xa

k

gyxT (41)

Donde:

( )2

12 π+=

nB n

A fin de comparar los resultados obtenidos mediante la solución numérica de estos métodos

presentamos la siguiente tabla.

Tabla de comparación de los métodos analíticos variacionales.

Caso; x = 0, y = 0, a = b

Valor % Error

Solución Exacta 0.293 0 %

Ritz 0.3125 6.655290 %

Kantorovich 0.3029854 3.339727 %

Galerkin 0.3125 6.65290 %

100*% v

v

c

X

XX −=Ε

REFERENCIAS

[1] M. Necati Ozisik, Boundary Valued Problems of Heat Conduction, Dover Publications, INC,2002, pp 301-311,338-345

[2] Marco Antonio Gutiérrez Villegas, J.A. Ortega Herrera, A. Díaz Vargas, J Gutiérrez Villegas, JesúsGutiérrez Villegas , Método de Kantorovich para resolver la ecuación de calor en estado transitorio,congreso nacional de Física Guadalajara; Jalisco, México,Del 17-21 de octubre 2005

[3] A. Díaz Vargas, M. A. Gutiérrez Villegas, J. A. Ortega Herrera, S. Alcántara Montes, J. Gutiérrez Villegas, I.I. Gutiérrez Villegas, J. N. Gutiérrez Villegas, Gabriel Villa y Rabasa, Método de Kantorovich en la soluciónde la ecuación de calor en estado transitorio y su desarrollo experimental, 20 congreso internacional deingeniería, Querétaro, Qro, México, 26 al 28 de abril de 2006

[4] M. A. Gutiérrez Villegas, J.A. Ortega Herrera, A. Díaz Vargas, H. Terrés Peña, Métodos variacionalesaplicadas a la transferencia de calor, 1 er Congreso de ingenierías mecánica, eléctrica, electrónica yMecatrónica, México D. F. ,, 26 al 28 de abril del 2006

[5] George F. Simmons, John S. Robertson, Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas, Segundaedición, McGraw-Hill, 1993, pp 528-540

[6] M. Necati Ozisik,Boundary Valued problems of Heat conduction, Dover publications, Inc, pp 338-345

FIN