Ecuaciones diferencias
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Definiciones Básicas
El problema que deseamos enfrentar, es encontrar de alguna manera una
función y = f(x) que satisfaga una ecuación
F (x, y, y´, y´´,…, y(n)
) = 0
Donde y(n)
denota la n-ésima derivada de y con respecto a x.
Teniendo en cuanta que desde el punto de vista de la notación
y´=
= F(x,y,y´)
y´´=
= F(x,y,y´,y´´)
y´´´=
= F(x,y,y´,y´´,y´´´)
yIV
=
= F(x,y,y´,y´´,y´´´, y
IV)
yV=
= F(x,y,y´,y´´,y´´´, y
IV, y
V)
. .
. .
. .
Y(n-1)
=
= F(x,y,y´,y´´,y´´´, …,y
(n-1))
Y(n)
=
= F(x,y,y´,y´´,y´´´, …,y
(n-1),y
(n))
ECUACIONES
DIFERENCIALES
Universidad Nacional Experimental “Francisco de Miranda”
Área de Tecnología
Programa Ingeniería
U.C. Matemática IV
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Por lo tanto, una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas
de una función desconocida de una o más variables.
Es una ecuación de la forma F (x, y, y´, y´´´,…, y(n)
) = 0
donde y = f(x) es una función real de una variable
*El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden
que figura en la ecuación.
EJEMPLOS:
(y´)2 + xy´ - y = 0
Ecuación de primer orden
= x
2 + y puede escribirse x
2 + y – y´ = 0
y adopta la forma F(x, y, y´) = 0
Ecuación diferencial ordinaria de primer orden
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– 4
+ 12r = 0 puede escribirse r´´ -4r´ +12r =0
y adopta la forma F(t,r,r´,r´´) = 0
Ecuacion diferencial ordinaria de segundo orden
Y´´´ - x2 (y´´)
5 + 4xy = x
x
Ecuación diferencial ordinaria de tercer orden
Una ecuación diferencial ordinaria lineal es aquella lineal en la
variable dependiente y en todas sus derivadas. La forma general de la
ecuación diferencial lineal de orden n es
P= (x)
+ P1 (x)
+…+ Pn-1
+ Pn(x) y = q(x)
donde P1(x), r= p, 1, 2,… , n y q(x) son funciones sólo de x.
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EJEMPLOS:
y´´ - 2y´ + y = 0
x3
– x
2
+ 3x
+ 5y = e
x
x
+
+ xy = senx
*Una ecuación que no es lineal se dice no
lineal.