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    FACULTAD DE CIENCIAS

    PERIODO 2015-II

    ECUACIONES DIFERENCIALES

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     JOSE EDUARDO TORRES VEGACoronel EP ( R )

    Diplomado en Ciencia y TecnologíaIngeniero Elecr!nico CIP"ae#ro en Admini#raci!n

    E$pero en %ogí#icaDiplomado en Seg&ridad y Sal&d Oc&pacional

    Docene Uni'er#iario a ni'el pre grado y po# grado

    Con#&lor en Ser'icio# de Telecom&nicacione#E#&dio# Te!rico# de Radiacione# o Ioniane#

    PRESETADO POR*

    EFACULTAD DE CIENCIAS

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    Semana Contenidos o temas Sesión 

    Semana 1

    Ecuaciones diferenciales ordinarias. Orden ygrado. Ecuaciones diferenciales de variableseparable.

     1

    Ecuaciones diferenciales homogéneas y exactas.  

    Semana 2

    Ecuaciones diferenciales Lineales y de Bernoulli.  

     Ecuación de Riccati y de lairaut.

     

    !

     

    Semana

    !plicaciones geométricas. "rayectoriasortogonales.

     

    5

    #ecaimiento radiactivo$ temperaturas y circuitosRL y L

     

    "

     

    Semana !

     %rimera %r&ctica ali'cada.

     #

    Ecuaciones diferenciales lineales de ordensuperior( homogéneas y no homogéneas concoe'cientes constantes. )aturale*a de las raicesdel polinomio auxiliar.

     

    $

     

    Semana 5

    +étodo de los coe'cientes indeterminados.  %

    +étodo de los operadores diferenciales. %ropiedadesabreviadas y !plicaciones.

    10

    Semana "

     Ecuación de Euler. !plicaciones.

     11

    A&'i(a(iones de e()a(iones di*e+en(ia'es,i.+a(iones me(/ni(as

     12

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    Semana #

    i.+a(iones 'i.+es no amo+ti)adas amo+ti)adas A&'i(a(iones

     1

     ,egunda %r&ctica ali'cada.

     1!

     

    Semana $

    ,olución de ecuaciones diferenciales mediante series depotencias de orden - y .

     15 

    Ecuación de Legendre y su solución.

     1"

     

    Semana %

     

    %olinomio de Legendre y aplicaciones.

     1#

     +étodo de /robenius. "eoremas y aplicaciones.

     1$

     

    Semana 10

     Ecuación de Bessel. ,olución de la ecuación de Bessel.

     

    1% "ercera %r&ctica ali'cada.

     20

     

    Semana 11

     "ransformada de Laplace. /uncionescontinuas por tramos y de orden exponencial.

     21

    %ropiedades de la transformada de Laplace y!plicaciones.

     22

     

    Semana 12

     "ransformada de Laplace de funciones

    elementales( "ransformada de Escalón unitario$ delta de#irac$ "ransformada de la derivada de una función.

     

    2

     "ransformada de las integrales. "eorema de la división.  2!

     

    Semana 1

     "ransformada de la inversa de Laplace( %ropiedades.+étodos de c&lculo.

     25

     uarta pr&ctica cali'cada

     2"

     

    Semana 1!

    !plicaciones de la transformada deLaplace a las Ecuaciones #iferenciales homogéneas

     2#

     !plicaciones de la transformada deLaplace a las Ecuaciones #iferenciales no homogéneas

     2$

     

    Semana 15

     

    E3A4EN FINAL 

    15

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    SU4ARIO

    ILIO6RAF7A-. Ed0in 1reys*ing. +atem&ticas !van*adas para 2ngenier3a 4 5ol. 2. Editorial Limusa -67.. +urray ,peegel. Ecuaciones #iferenciales !plicadas 4 Edic. %rentice 8all 8ispanoamericana

    ,.!. -679.:. Ed0ards;%enny. Ecuaciones #iferenciales Elementales 4 Editorial %rentice 8all

    8ispanoamericana ,.!. -67ercicios de Ecuaciones #iferenciales Ordinarias 4 Editorial +ir.-677.

    ?. ,.L. Ross. 2ntroducción a las Ecuaciones #iferenciales 4 "ercera Edición 4 -66: 4 Editorial +c@ra0 8ill.

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    A) PROLE4A DE ALOR INICIAL DE N-9SI4O ORDEN O),2,"E E) RE,OL5ERL! E#O L2)E!L(

    ,AE"! ! L!, N CONDICIONES INICIALES:

    RE,OL5ERLO O),2,"E E) E)O)"R!R A)! /A)2C) DFG #E/2)2#! E) A)2)"ER5!LO 2 HAE O)"2E)E ! FI$ #O)#E ,E A+%LE) L! EA!2C) D L!,O)#22O)E, 2)22!LE,.

    E)"O)E, ,2 an: x ;

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    CO4PRUEE HAE Y = :e. X   e–. X  – : X E, L! K)2! ,OLA2C) #E(

    SOLUCI8N,

    L! E# E, L2)E!L$ LO, OE/22E)"E, D G X G  ,O) "O#O, /A)2O)E,O)"2)A!,$ D  A. X G M - E, #2,"2)"O #E I E) A!LHA2ER 2)"ER5!LO HAEO)"E)@! X M I. L! ,OLA2C) %RO%AE,"! A+%LE L! E#O D E, K)2! E) I.

    CO4PRUEE HAE y = cx 2 + x + 3 E, ,OLA2C) #EL %52(

    SOLUCI8N,

    E) "O#! L! RE"! RE!L. E,"E %52 "2E)E 2)/2)2"!, ,OLA2O)E,. OB,ER5EHAE EL OE/22E)"E #E L! #ER25!#! a2: x ; = x 2 +N, !L"! ,E 8!E ERO E)

     x = 0  D E,E %A)"O )EE,!R2!+E)"E "2E)E HAE E,"!R 2)LA2#O E) I %ORHAE LO 2+%O)E) L!, O)#22O)E, 2)22!LE,.

    1)0(',4)0(,124"   ===−   y y x y y

    1)0(,3)0(,6222 =′==+′−′′   y y y y y x

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    PROLE4AS DE ALORES EN LAFRONTERA

    ,E LL!+! PROBLEMA DE VALOR EN LAFRONTERA :PVF; D ! L!, RE,"R22O)E, ,EO)OE) O+O CONDICIONES DECONTORNO O CONDICIONES EN LA

    FRONTERA.)O"!( L!, O)#22O)E, #E O)"OR)O%AE#E) ,ER "!+B2) ,OBRE L!, #ER25!#!,.

    Resolver:

    sujeta a :

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    ,i  x = c1 (os !  ? c2 sin ! es solución de 

    ,upongamos el %5/

    ,i x IG M I$ entonces c- M I$ y  x t G M c sen 9t.,i  x π;G M I$ obtenemos I M I independientemente de c.

    #e modo Pue tenemos in@nitas so')(iones.

    ,i

    tenemos Pue c- M I$ c M I( x(t) M I, so')(ión ni(a.

    ,i

    tenemos Pue c- M I$ y - M I contradicciónG. No Ba so')(ión.

    016"   =+   x x

    02

    ,0)0(,016   =   ==+′′   π  x x x x

    08

    ,0)0(,016   =  

     ==+′′   π  x x x x

    12

    ,0)0(,016   = 

     

     ==+′′   π  x x x x

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    La siguiente E#O lineal de orden n(

    se dice Pue es n! "!#!g$n%a.  

    si g x G M I la ecuación es "!#!g$n%a.

    Entonces para resolver una ecuación no homogénea tendremosPue resolver también la ecuación homogénea asociada.

    O&e+ado+es Di*e+en(ia'es(,i Dy  M dy/dx. Entonces al  s3mbolo D se le llamar& !&%'a!'

    *%'%nca . %or tanto$ de'niremos como operador diferencialde nQésimo orden u operador polinominal como(

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    )()()()(01

    1

    1

      xa D xa D xa D xa L  n

    n

    n

    n

      ++++=   −−

     

    ))(())(()}()({   x g  L x  f   L x g  x  f   L   β α β α    +=+

    EL O%ER!#OR #2/ERE)2!L L E, A)OPERADOR LINEAL,

    E)"O)E, ,E %AE#E E,R2B2R L!, E#OsO+O(

    L(y ) =  y L(y ) = g ( x )

    PRINCIPIO DE SUPERPOSICI8N(ec&acione#,omog-nea#)*

    ,2  y 1< y 2< = 1< 2< =< - ,  ,O) O),"!)"E, !RB2"R!R2!,$ "!+B2) E, A)!,OLA2C) E) EL 2)"ER5!LO. E>emplo( Las funciones  y - M x $ y  = x   ln xson ambas soluciones en (! ∞) de

    Luego y = x   x  ln x también es una solución en I$ ∞G.

    0423 =+′−′′′   y y x y x

    Nota,:A; y(x) = cy 1:; tam.in es so')(ión si y 1:; es )naso')(ión:; Una ED 'inea' Bomonea siem&+e &osee 'a so')(iónt+iia' y(x) > 0

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    DEPENDENCIA E INDEPENDENCIALINEAL

    An con>unto de funciones ! - x G$ !  x G$ $  ! n x G  es 'inea'mentede&endiente en un intervalo I$ si existen ciertas constantes c-$ c$$ cn n! !a/ na/ tales Pue(

    c-! - x G  c!  x G  cn ! n x G M I

    ,i el con>unto no es linealmente dependiente$ entonces es'inea'mente inde&endiente.

    En ot"as #ala$"as, s% el con&'nto es l%nealente %nde#end%ente c'ando: c-! - x G   c!  x G   cn ! n x G M I$ entoncesnecesa"%aente c- M c M M c

    n

     M I.

    E>emplo(

    Las funciones ! - M cos x $ !  M sin  x $ ! : M sec  x $ ! 9 M tan  x sonlinealmente dependientes en el intervalo Qπ;$ π;G porPue c-cos x  c sin  x  c: sec  x  c9 tan  x M I$ con c- M c M -$ c: M Q-$ 

    c9 M -.FACULTAD DE CIENCIAS

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    CRITERIO PARA SOLUCIONES LINEAL4ENTEINDEPENDIENTES

    CONUNTO FUNDA4ENTAL DESOLUCIONES

     "EORE+!( ,ean  y - x G$  y  x G$ $  y n

     x G soluciones de una E#homogénea de nQésimo orden en un intervalo I. Este con>unto desoluciones es linealmente independiente si y sólo si   y -$ y $ $ y nG≠ I para todo x  en el intervalo.

    ualPuier con>unto y - x G$ y  x G$ $ y n x G de n soluciones linealmenteindependientes de una E# homogénea de nQésimo orden se llamac!n1n! *na#%na % /!c!n%/.

    E3ISTENCIA DE UN CONUNTO FUNDA4ENTAL "EORE+!( Existe un con>unto fundamental de soluciones para unaE# lineal homogénea de orden n en un intervalo I

    SOLUCI8N 6ENERAL :ECUACIONESGO4O69NEAS;,ea y - x G$ y  x G$ $ y n x G un con>unto fundamental de soluciones denuestra E# lineal homogénea en un intervalo I. Entonces lasolución general es y  M c- y - x G  c y  x G  cn y n x G donde c% sonconstantes arbitrarias.

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    Las funciones y - M e: x $ y  M eQ: x  son soluciones de y S 4 6 y MI  en Q∞$ ∞GObserve Pue(

    para todo x. Luego son independientes. !s3 Pue y = c- y -  c y  

    es la solución general.%or e>emplo$ la función y  M 9 sinh: x G Q ?e: x es una solución.

    Observemos Pue(

    Las funciones  y - = e x $ y  M e x  $ y : M e: x  son soluciones de y TTT 4 

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    para todo valor real de  x . y  > c1% x  ? c2 %2 x  ? c% x es la solución general en :-  < ;

    02

    94

    32),,(6

    32

    32

    32

    32 ≠==   x x x x

     x x x

     x x x

     x x xe

    eee

    eee

    eee

    eeeW 

    SOLUCI8N 6ENERAL :E()a(iones noBomoneas;,ea y  & cualPuier solución particular de una E#O no homogénea enun intervalo I. D sea y 1: x ;< y 2: x ;< =unto fundamentalde soluciones de su E#O homogénea asociada$ entonces la solucióngeneral de la ecuación en el intervalo es y= cy  + c2y 2 + + c- y -  + y  & donde las c  = 2.n son constantes arbitrarias.

    Entonces(  y =  c- y -  c y     c*  y *     y  # = y c  y  # M *nc4nc!#&%#%na'a + na /!c4n &a'ca' 

    E>emplo(,i la función y  # M Q--;-G 4 U x es una solución particular deEntonces la solución general ser&(

     x y y y y 36116   =−′+′′−′′′

     xececec y y y   x x x pc2

    1

    12

    1133

    221   −−++=+=

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    Observemos Pue

     y  #- M +9 x . es una solución particular de

     y  #. M e. x  es una solución particular de

     y  #: M xe x  es una solución particular de

    Entonces es una solución de

    PRINCIPIO DE SUPERPOSICI8N (ec&acione# no,omog-nea#)*

    #adas = E#Oscon % M -$ $ $  *. ,i  y  #% denota una solución particular de la E#iQésima correspondiente a g% x G$ tenemos Pue

    es una solución particular de(

     

    )()()()()( 01)1(

    1

    )(

     x g  y xa y xa y xa y xa in

    n

    n

    n   =+′+++  −

    −  

    )()()(21

     x y x y x y yk  p p p p

      +++=  

    )()()()()()()( 2101)1(

    1

    )(  x g  x g  x g  y xa y xa y xa y xa k n

    n

    n

    n   +++=+′+++  −

    −  

    824164'3"   2 −+−=+−   x x y y y

    E"emplo:

     xe y y y   224'3"   =+−

     x x e xe y y y   −=+−   24'3"

    321   p p p  y y y y   ++=

      )()(

    2

    )(

    2

    321

    228241643 x g 

     x x

     x g 

     x

     x g 

    e xee x x y y y   −++−+−=+′−′′

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    REDUCCI8N DEORDEN

    ,abemos Pue la solución general de es yM  c- y -  c y -.

    ,i consideramos Pue y - x G denota una solución conocida no trivialG. En este efecto$ sila solución y  es linealmente independiente$ podemos establecer Pue y xG = '(x) y -xG.Entonces, es con-en%ente encontrar una tal ' x G$ como alternativa de '%cc4n %!'%n.

    E>emplo(

    #ada y - M e x   solución de y S 4 y M I$ hallar la segunda solución  y  por el método dereducción de orden.

    5!c4n,i y(x) M '(x)e x , entonces

    Pue sustituyendo en la E#O(

    omo e x ≠ I, nuestra E#O se convierte en(

    !hora VreduciremosV el orden de la E# gracias al cambio( = 'T

    Pue integrando por separación de variables y deshaciendo el cambio$ nos proporciona(

    ,e ha obtenido la segunda solución y  por el método de reducción de orden(

    !l tener a  y - M e x   como primera solución de y S 4 y M I. ,i tomamos c M I$ c- = Qpara nuestra segunda solución$ tenemos y  = e+x . Observe Pue  e x , e+x G ≠ I para todo

     x $ de modo Pue las soluciones son independientes.

    0)()()( 012   =+′+′′   y xa y xa y xa

    ueueue yueue y   x x x x x ′′+′+=′′′+=′   2,0)'2"("   =+=−   uue y y   x

    0'2"   =+   uu02'   =+   ww

    uecw  x

    ′==  −21   2

    2

    12/1   cecu   x

    +−=

      −

     x x x ecec

    e xu y 21

    2)(   +−==   −

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    CASO 6ENERAL

    ,2 ,E E,R2BE L! E#O E) L! FORMA E5T6NDAR 

    ,E! Y - X G A)! ,OLA2C) O)O2#! #E L! E#O E Y - X G ≠ I %!R! "O#O X  E)

    EL 2)"ER5!LO.,2 #E/2)2+O, Y(X) = (X)Y -(X G$ "E)E+O,(

    u yu y yu yu y yu y   ′′+′′+′′=′′′+′=′ 11111 2,

    0)2(][ 111cero

    111   =′+′+′′++′+′′=+′+′′   u Py yu yQy y P  yuQy y P  y

    0)2( 111   =′+′+′′   u Py yu y

    0)2( 111   =+′+′   w Py yw y 0)2( 111   =+′+   w Py ydxdw

     y

    #i$idiendo entre y 1w  

    y multiplicando por dx :  Pdxdx

     y

     y

    w

    dw −=′

    +1

    12   c Pdxdx y

     y

    w

    dw+−=

    ′+ ∫ ∫ ∫ 

    1

    12

    empleando el cam%io w = u&. ∫    +−=   c Pdxwy   ||ln   21 ∫ −=   Pdxecwy 121Luego 22

    1

    1   cdx y

    ecu

     Pdx

    += ∫   ∫ −

     "omando c- M -$ c M I$ obtenemos   ∫   ∫ −

    =   dx x y

    e x y y

    dx x P 

    )()(

    21

    )(

    12

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    19/61

    La función y -= x  es una solución de 8allar la solucióngeneral en I$ ∞G.

    5!c4n,

    La forma est&ndar es(

    #ando los pasos anteriores$ demuestre Pue(

    La solución general es(

    La ecuación diferencial ayW by M I se resuelve ya sea mediante separación devariables o mediante la ayuda de un factor integrante. ,e observa Pue sidespe>amos yW de la ecuación diferencial ayW by M I se obtiene yW M =y$ donde= es una constante. Lo Pue nos revela la Vnaturale*aV de la solución( la Xnicafunción elemental no trivial cuya derivada es una mXltiplo de si misma es lafunción exponencial$ yxG M emx.

    Lo Pue resta ser& determinar el valor de m...

     

    04'3"2 =+−   y xy y x

    0432  =+′−′′

     x y

     x y

     x xdx x

    e x y

     xdx

    ln24

    /32

    2   == ∫   ∫ 

     x xc xc y   ln222

    1   +=

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    20/61

    ECUACIOES .O"OG/EAS

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    21/61

    ECUACIONES LINEALESGO4O69NEAS CON COEFICIENTES

    CONSTANTES

    0012)1(

    1)( =+′+′′+++   −−   ya ya ya ya ya

      nn

    nn  

    0)(  2

    =++   cbmamemx

    donde ai   son constantes! an ≠ .

    ECUACI8N O POLINO4IO

    AU3ILIAR ,'ara n = 2! 

    i pro%amos y(x) = emx ,

    o%tenemos la ecuación auxiliar:

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    22/61

    Las dos ra3ces del polinomio auxiliar son(

    0)$. 4 9ac Y I( "eales y d%st%ntas, 0 ≠  , .

    )$. 4 9ac M I( "eales e %g'ales, 0 = , = +$/(a).

    1)$. 4 9ac Z I( co#le&as con&'gadas,

     

    7a/! , Ra8c%/ '%a%/ y /na/

    La solución general es

    7a/! 2, Ra8c%/ '%a%/ '%&%a/

    aacbbm 2/)4( 21   −+−=

    aacbbm 2/)4( 22   −−−= β α β α    imim   −=+=   21   ,

     xm xmecec y   21

    21  +=

    La solución general xme y   11 =

    %ara obtener la segunda soluciónutili*amos el método de reducción deorden$ recordando Pue 0 = = +$/ (a). 

    ∫ ∫    ===   xm xm xm xm

     xm xedxedx

    e

    ee y 11

    1

    1

    1

    2

    2

    2

     xm xm  xecec y   11 21   +=

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    23/61

    Escribimos   $ una solución general es

    Asando la fórmula de Euler(

    β α β α    imim   −=+=   21   ,  xi xi eC eC  y )(2

    )(1

    β α β α    −+ +=

    7a/! 3, Ra8c%/ c!#&%1a/ c!n1gaa/

     xi xe  xi β β β  sincos   +=   xi xe   xi β β β  sincos   −=−

     xee   xi xi β β β  cos2=+   −  xiee  xi xi β β β  sin2=−   −

    omo es solución general$ tomando 2- = 2 M - y 2- M -$ 2 M Q- $ tenemos dos soluciones(

    !s3$ eα  x

    cos β  x y  eα  x  

    sen β  x son un con>unto fundamental de soluciones yla solución general es

     xi xi eC eC  y )(2)(

    1β α β α    −+ +=

     xeeee y   x xi xi x β α β β α  cos2)(1   =+=  −

     xieeee y   x xi xi x β α β β α  sin2)(2   =−=  −

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    24/61

    Ec&aci!n di0erencial ordinaria de 1do Orden

    y= f(x! y! y)

    2er Ca#o

    *= f(x! y) +alta y

    ,eemplazar $ = y - $= y 1er rden

    /(x) = 0 (x) 'rimera solucin 1er rden

    * = (x)[ olucin original! con dos constantes de integracin

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    25/61

    *= f(y! y) +alta x

    ,eemplazar $ = y - $= y iene 3 $aria%les

    /(x) = 0 (x) 'rimera solucin

    1er rden con dos $aria%les

    * = (x)[ olucin original! con dos constantes de integracin

    1do Ca#o

    ,eemplazar:

    /aria%le independiente= y

    /aria%le dependiente= $

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    26/61

    Ec&aci!n di0erencial lineal de 1do Orden

    iene la forma :

    y33 4 p($)y34 5($)y 6 g($)

    Teorema de S&perpo#ici!n

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    27/61

    ,eemplazando:

    =

    olucin general

    Con7&no 8&ndamenal de Sol&cione# (C8S)

    4on"unto +undamental de oluciones

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    28/61

    E"emplo:

    * 5 y =

    62 4os x! 7 en x8 4+

    6 9 en x! 4os x8 4+

    6 en x! 2 en x8 No 4+

    6 93 4os x! 2 4os x8 No 4+

    Con7&no 8&ndamenal de Sol&cione# Típico

    Es el con"unto fundamental donde las funciones ;ue lo conforman tienen

    coeficiente 1

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    29/61

    oluciones:

    4+

    olucin

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    30/61

    9ron#:iano

    El >rons?iano de n funciones! se define como el determinante de un

    sistema formado por n filas y m columnas! ;ue permite determinar si las

    funciones in$olucradas son o no linealmente independientes

    E"emplo:

    6 en x! 4os x8

    en x 4os x! son linealmente independientes y el con"unto 6senx! cosx8\es un con"unto fundamental de solucin

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    31/61

    Teorema de E$i#encia y Unicidad de la #ol&ci!n de &na ec&aci!ndi0erencial lineal

    * 5 p(x) y 5 ;(x) y = g(x)

    E"emplo:

    #etermine el inter$alo de $alidez de la solucin:

    *(1) = 3- y= 9

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    32/61

    Idenidad de A;el

    e utiliza para la o%tencin de la 2da solucin linealmente independiente de

    la ecuacin diferencial lineal

    #ese el caso de:

    * 5 p(x) y5 ;(x) y = - la ;ue tiene por con"unto fundamental de solucin

    (4+) a:

    2ra #ol&ci!n*

    Eliminando ;(x)! se o%tiene:

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    33/61

    ,eemplazando! tendremos:

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    34/61

    olucin

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    35/61

    Ec&aci!n Di0erencial .omog-nea de coe0iciene# con#ane#

    iene la forma: ay33 4 ;y34 cy6=

    uponiendo:

    ,eemplazando:

    Ecuacin caracterstica

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    36/61

    2er Ca#o

    reales y diferentes

    olucin

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    37/61

    >er Ca#o

    eorema:

    i la solucin de la ecuacin diferencial y5 p(x) y5 ;(x) = ! es la funcin

    comple"a y = u(x) 5 i $(x) donde u % son funciones de $aria%le real!\entonces u(x) y $(x) son soluciones linealmente independientes de la

    ecuacin diferencial.

    olucin

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    38/61

    Ec&aci!n Di0erencial o .omog-nea

    * 5 p(x) y5 ;(x) y = g(x)

    olucin:

    a. Cétodo de coeficientes indeterminados

    %. Cétodo de $ariacin de parDmetros

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    39/61

    1. "-odo de lo# coe0iciene# indeerminado#ir$e para encontrar la solucin particular de una ecuacin no

    homogénea de coeficientes constantes! donde g(x) se restringe a

    formas detalladas en el siguiente cuadro

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    40/61

    E"emplo

    :

    * 5 y9 12y =

    'ro%ando en s = ! se tiene

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    41/61

    ,eemplazando en la ecuacin lineal no homogénea! se tiene:

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    42/61

    2. "-odo de la 'ariaci!n de par?mero#

    uponiendo:

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    43/61

    ,esumiendo:

    ,egla de 4ramer:

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    44/61

    Entonces:

    E"emplo:

    Encontrar la solucin general de : y 5 y = ec x

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    45/61

    * 5 y =

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    46/61

    Resolver

    5!c4n,

     4 - M I$  M -$ Q- y - M e x , y  M eQ x , !(x) M -; x, y  e x $ e+x G M Q

    Luego

     x y y  1

    "   =−

    ∫ 

    −−

    =−

    −=′  x

     x

    t  x

    dt 

    eu

     xeu

    0

    11

    2

    1,

    2

    )/1(

    ∫ −=−−=′  x

     x

    t  x

    dt t 

    eu

     xeu

    022 2

    1,

    2

    )/1(

    ∫ ∫ −

    −=  x

     x

     x

     x

    t  x

    t  x

     p   dt t 

    eedt t 

    ee y

    0 02

    1

    2

    1

    ∫ ∫ −−

    −+=+=  x

     x

     x

     x

    t  x

    t  x x

     pc   dt t 

    eedt 

    eeec y y y

    0 02

    1

    2

    11

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    47/61

    5!c4n, – 9 9 = I$  M cero dobleG

     y - M e x , y  = xe x $

    omo !  x G M  x -Ge x , entonces(

     xe x y y y   2)1(4'4"   +=+−

    022

    ),(   4222

    2222 ≠=

    +=   x

     x x x

     x x x x e

    e xee

     xee xeeW 

     x

     x x

     x x

     x x

     x

    e xe xe

    eW  xe x

     xee x

     xeW    4

    22

    2

    24

    22

    2

    1   )1()1(2

    0,)1(

    2)1(

    0+=

    +=+−=

    +=

    1)1(

    ,)1(

    4

    4

    22

    4

    4

    1   +=+−=′−−=+−=′   xe

    e xu x x

    e

     xe xu

     x

     x

     x

     x

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    48/61

     Luego'- M Q-;:G x : – U x $ ' M U x   x 

     x x x x p   e xe x xe x xe x x x

      222322223

    2

    1

    6

    1

    2

    1

    2

    1

    3

    1 +=  

      ++ 

       −−=

     x x x x pc   e xe x xecec y y y

      222322

    21

    2

    1

    6

    1 +++=+=

    1, 22

    1   +=′−−=′   xu x xu

    ,ecordemos ;ue: )()()()( 2211   x y xu x y xu y p   +=

     y - M e x , y  = xe x 

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    49/61

    Resolver

    5!c4n,

     y S  6 y M -;9G csc : x   6 M I$  M :%$ Q:%

     y - = cos : x $ y  = sin : x $ !(x) M -;9G csc( : x)

    omo

     x y y   3csc36"4   =+

    33cos33sin3

    3sin3cos)3sin,3(cos   =

    −=

     x x

     x x x xW 

     x

     x

     x x

     xW 

     x x

     xW 

    3sin

    3cos

    4

    1

    3csc4/13sin3

    03cos,

    4

    1

    3cos33csc4/1

    3sin021   =−

    =−==

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    50/61

    12

    111   −==′ W 

    u  x sen

     x

    W u

    3

    3cos

    12

    122   ==′

    ,12/11   xu   −= |3|ln36/12   x senu   −=

    |3|ln)3(36

    13cos

    12

    1 x sen x sen x x y p   +−=

    |3|ln)3(36

    13cos12

    133cos 21   x sen x sen x x x senc xc y y y  pc   +−+=+=

    Entonces

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    51/61

    aG

    bG 

    cG 

    03'5"2   =−−   y y y3,1/2,)3)(12(352 21

    2 =−=−+=−−   mmmmmm x x ecec y 3

    2

    2/

    1  +=   −

    025'10"   =+−   y y y 5,)5(2510 2122 ==−=+−   mmmmm

     x x  xecec y   525

    1   +=

    07'4"   =++   y y yimimmm 32,32,074 21

    2 −−=+−==++)33cos(,3,2 21

    2  x senc xce y   x +==−=   −β α 

    ,esol$er 

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    52/61

    Resolver

    5!c4n,

    2)0(',1)0(,017'4"4   =−==++   y y y y y

    ,017442 =++   mm   im 21/21   ±−=

    )2sin2cos( 212/  xc xce y   x +=   −

    ,1)0(   −= y ,11   −=c   ,2)0(' e   = y 3/42 =c

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    53/61

    %ara la primera ecuación (

    %ara la segunda ecuación (

    omo

    Luego

     

    ,0

    2

    =+′′   yk  y  0 ,02 >=−′′   k  yk  y

    )cosh()(1/21   kxee y  kxkx =+=   −

    )sinh()(1/22   kxee y  kxkx =−=   −

    ,esol$er las ecuaciones:

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    54/61

    Resolver

    5!c4n,

    %rimero se obtiene la solución y c de la ecuación homogéneaasociada. %ara hallar y  #., como el lado derecho de la E# es unpolinomio$ se establece(

     A 7 Ax  93 4  Ax  – 3x – 2 =  x  – : x <

    6322'4"   2 +−=−+   x x y y y

    ,2 C  Bx Ax y p   ++=   ,2'   B Ax y p   +=   A y p   2"=

    6242,328,22   =−+−=−=−   C  B A B A A

    9,5/2,1   −=−=−=   C  B A  92

    52

    −−−=   x x y p

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    55/61

    8allar una solución particular de

    5!c4n,%robemos y  # = A cos(1x) 3 sen1x)

     "ras sustituir$

    Luego

    )3(2'"   x sen y y y   =+−

    )3sin(2)3sin()83()3cos()38(   x x B A x B A   =−+−−16/73,6/73   −==   B A

    )3(73

    16)3cos(73

    6 x sen x y p   −=

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    56/61

    Resolver

    5!c4n,

    %robemos "ras sustituir$

    Luego

     x xe x y y y

    26543'2"   +−=−−

     x xc   ecec y

      321   +=

      −

     x x p   EeCxe B Ax y

      22 +++=

     x

     x x

     xe x

    e E C Cxe B A Ax

    2

    22

    654

    )32(3323

    +−=

    −+−−−−

    4/3,2,23/9,4/3   −=−==−=   E C  B A

     x x

     p   e xe x y  22

    3

    4

    29

    23

    3

    4

    −−+−= x x x e x xecec y   2321

    3

    42

    9

    23

    3

    4  

      +−+−+=   −

    olucin homogénea

    'ensando en el principio de superposicin:

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    57/61

    #eterminar una y  # de

    5!c4n,%robemos( y  # = Ae x 

     "ras sustituir( I M 7e x  :c!n1%'a nc!''%ca; 

    %robemos como alternativa( y  # = Axe x.

     "ras sustituir( Q: Ae x  M 7e x  

    Entonces(  A = Q7;:$  y  # M ]7;:G xe x 

     

     xe y y y   84'5"   =+−

    El pro%lema estD en ;ue la funcin complementaria es:* la suposicin ya estD presente en yc.

     x x

    c   ecec y

      4

    21   +=

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    ECUACIONES DE ORDEN

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    58/61

    ECUACIONES DE ORDENSUPERIOR

    #ada la E#O( 

    La ecuación asociada

     

    Es la %cac4n axa' .

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    59/61

    %ara las E#s de nQésimo orden de la forma

     

    tomamos y  # M '- y -  ' y    'n y n, donde y % $ % M -$ $$ n, son la familia de soluciones independientes Pueforman y c. !s3(

     

    Hue nos lleva a las ecuaciones solución '* T M  * ;  con * M -$ $

    $ n.  #onde ^ es el 0rons=iano de la y_s y ^= es eldeterminante Pue se obtiene de sustituir en ^ la =Qésimacolumna por I$ I$...$ fxGG.

    )()()()( 01)1(

    1)(  x f   y x P  y x P  y x P  y   nn

    n =+′+++   −−  

    02211   =′++′+′ nnu yu yu y  

     

    02211   =′′++′′+′ nnu yu yu y

    )()1(

    2)1(

    21)1(

    1   x f u yu yu y nn

    nnn =′++′+′   −−−

    uposiciones

    para simplificar la E#:

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    R l 043 ′′′′′

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    60/61

    Resolver5!c4n,

    043   =−′′+′′′   y y y

    2223

    )2)(1()44)(1(43   +−=++−=−+   mmmmmmm232   −== mm

     x x x xececec y

    23

    221

    −− ++=

    Resolver

    5!c4n,

    02 2

    2

    4

    4

    =++   ydx yd 

    dx yd 

    0)1(12   2224 =+=++   mmm

    immimm   −==== 4231 , ixixixix xeC  xeC eC eC  y

      −− +++= 4321 x xc x xc xc xc sincossincos 4321   +++=

    FACULTAD DE CIENCIAS

  • 8/18/2019 Ecuaciones Diferenciales.ppt

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    6RACIAS POR SU ATENCI8N

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