Ecuaciones Diferenciales.ppt

8/18/2019 Ecuaciones Diferenciales.ppt

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FACULTAD DE CIENCIAS

PERIODO 2015-II

ECUACIONES DIFERENCIALES


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JOSE EDUARDO TORRES VEGACoronel EP ( R )

Diplomado en Ciencia y TecnologíaIngeniero Elecr!nico CIP"ae#ro en Admini#raci!n

E$pero en %ogí#icaDiplomado en Seg&ridad y Sal&d Oc&pacional

Docene Uni'er#iario a ni'el pre grado y po# grado

Con#&lor en Ser'icio# de Telecom&nicacione#E#&dio# Te!rico# de Radiacione# o Ioniane#

PRESETADO POR*

EFACULTAD DE CIENCIAS


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Semana Contenidos o temas Sesión

Semana 1

Ecuaciones diferenciales ordinarias. Orden ygrado. Ecuaciones diferenciales de variableseparable.

1

Ecuaciones diferenciales homogéneas y exactas.

2

Semana 2

Ecuaciones diferenciales Lineales y de Bernoulli.

Ecuación de Riccati y de lairaut.

!

Semana

!plicaciones geométricas. "rayectoriasortogonales.

5

#ecaimiento radiactivo$ temperaturas y circuitosRL y L

"

Semana !

%rimera %r&ctica ali'cada.

#

Ecuaciones diferenciales lineales de ordensuperior( homogéneas y no homogéneas concoe'cientes constantes. )aturale*a de las raicesdel polinomio auxiliar.

$

Semana 5

+étodo de los coe'cientes indeterminados. %

+étodo de los operadores diferenciales. %ropiedadesabreviadas y !plicaciones.

10

Semana "

Ecuación de Euler. !plicaciones.

11

A&'i(a(iones de e()a(iones di*e+en(ia'es,i.+a(iones me(/ni(as

12



4/61

Semana #

i.+a(iones 'i.+es no amo+ti)adas amo+ti)adas A&'i(a(iones

1

,egunda %r&ctica ali'cada.

1!

Semana $

,olución de ecuaciones diferenciales mediante series depotencias de orden - y .

15

Ecuación de Legendre y su solución.

1"

Semana %

%olinomio de Legendre y aplicaciones.

1#

+étodo de /robenius. "eoremas y aplicaciones.

1$

Semana 10

Ecuación de Bessel. ,olución de la ecuación de Bessel.

1% "ercera %r&ctica ali'cada.

20

Semana 11

"ransformada de Laplace. /uncionescontinuas por tramos y de orden exponencial.

21

%ropiedades de la transformada de Laplace y!plicaciones.

22

Semana 12

"ransformada de Laplace de funciones

elementales( "ransformada de Escalón unitario$ delta de#irac$ "ransformada de la derivada de una función.

2

"ransformada de las integrales. "eorema de la división. 2!

Semana 1

"ransformada de la inversa de Laplace( %ropiedades.+étodos de c&lculo.

25

uarta pr&ctica cali'cada

2"

Semana 1!

!plicaciones de la transformada deLaplace a las Ecuaciones #iferenciales homogéneas

2#

!plicaciones de la transformada deLaplace a las Ecuaciones #iferenciales no homogéneas

2$

Semana 15

E3A4EN FINAL

15



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SU4ARIO

ILIO6RAF7A-. Ed0in 1reys*ing. +atem&ticas !van*adas para 2ngenier3a 4 5ol. 2. Editorial Limusa -67.. +urray ,peegel. Ecuaciones #iferenciales !plicadas 4 Edic. %rentice 8all 8ispanoamericana

,.!. -679.:. Ed0ards;%enny. Ecuaciones #iferenciales Elementales 4 Editorial %rentice 8all

8ispanoamericana ,.!. -67ercicios de Ecuaciones #iferenciales Ordinarias 4 Editorial +ir.-677.

?. ,.L. Ross. 2ntroducción a las Ecuaciones #iferenciales 4 "ercera Edición 4 -66: 4 Editorial +c@ra0 8ill.


6/61

A) PROLE4A DE ALOR INICIAL DE N-9SI4O ORDEN O),2,"E E) RE,OL5ERL! E#O L2)E!L(

,AE"! ! L!, N CONDICIONES INICIALES:

RE,OL5ERLO O),2,"E E) E)O)"R!R A)! /A)2C) DFG #E/2)2#! E) A)2)"ER5!LO 2 HAE O)"2E)E ! FI$ #O)#E ,E A+%LE) L! EA!2C) D L!,O)#22O)E, 2)22!LE,.

E)"O)E, ,2 an: x ;


7/61

CO4PRUEE HAE Y = :e. X e–. X – : X E, L! K)2! ,OLA2C) #E(

SOLUCI8N,

L! E# E, L2)E!L$ LO, OE/22E)"E, D G X G ,O) "O#O, /A)2O)E,O)"2)A!,$ D A. X G M - E, #2,"2)"O #E I E) A!LHA2ER 2)"ER5!LO HAEO)"E)@! X M I. L! ,OLA2C) %RO%AE,"! A+%LE L! E#O D E, K)2! E) I.

CO4PRUEE HAE y = cx 2 + x + 3 E, ,OLA2C) #EL %52(

SOLUCI8N,

E) "O#! L! RE"! RE!L. E,"E %52 "2E)E 2)/2)2"!, ,OLA2O)E,. OB,ER5EHAE EL OE/22E)"E #E L! #ER25!#! a2: x ; = x 2 +N, !L"! ,E 8!E ERO E)

x = 0 D E,E %A)"O )EE,!R2!+E)"E "2E)E HAE E,"!R 2)LA2#O E) I %ORHAE LO 2+%O)E) L!, O)#22O)E, 2)22!LE,.

1)0(',4)0(,124" ===− y y x y y

1)0(,3)0(,6222 =′==+′−′′ y y y y y x



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PROLE4AS DE ALORES EN LAFRONTERA

,E LL!+! PROBLEMA DE VALOR EN LAFRONTERA :PVF; D ! L!, RE,"R22O)E, ,EO)OE) O+O CONDICIONES DECONTORNO O CONDICIONES EN LA

FRONTERA.)O"!( L!, O)#22O)E, #E O)"OR)O%AE#E) ,ER "!+B2) ,OBRE L!, #ER25!#!,.

Resolver:

sujeta a :



9/61

,i x = c1 (os ! ? c2 sin ! es solución de

,upongamos el %5/

,i x IG M I$ entonces c- M I$ y x t G M c sen 9t.,i x π;G M I$ obtenemos I M I independientemente de c.

#e modo Pue tenemos in@nitas so')(iones.

,i

tenemos Pue c- M I$ c M I( x(t) M I, so')(ión ni(a.

,i

tenemos Pue c- M I$ y - M I contradicciónG. No Ba so')(ión.

016" =+ x x

02

,0)0(,016 = ==+′′ π x x x x

08

,0)0(,016 =

==+′′ π x x x x

12

,0)0(,016 =

==+′′ π x x x x



10/61

La siguiente E#O lineal de orden n(

se dice Pue es n! "!#!g$n%a.

si g x G M I la ecuación es "!#!g$n%a.

Entonces para resolver una ecuación no homogénea tendremosPue resolver también la ecuación homogénea asociada.

O&e+ado+es Di*e+en(ia'es(,i Dy M dy/dx. Entonces al s3mbolo D se le llamar& !&%'a!'

*%'%nca . %or tanto$ de'niremos como operador diferencialde nQésimo orden u operador polinominal como(



11/61

)()()()(01

1

1

xa D xa D xa D xa L n

n

n

n

++++= −−

))(())(()}()({ x g L x f L x g x f L β α β α +=+

EL O%ER!#OR #2/ERE)2!L L E, A)OPERADOR LINEAL,

E)"O)E, ,E %AE#E E,R2B2R L!, E#OsO+O(

L(y ) = y L(y ) = g ( x )

PRINCIPIO DE SUPERPOSICI8N(ec&acione#,omog-nea#)*

,2 y 1< y 2< = 1< 2< =< - , ,O) O),"!)"E, !RB2"R!R2!,$ "!+B2) E, A)!,OLA2C) E) EL 2)"ER5!LO. E>emplo( Las funciones y - M x $ y = x ln xson ambas soluciones en (! ∞) de

Luego y = x x ln x también es una solución en I$ ∞G.

0423 =+′−′′′ y y x y x

Nota,:A; y(x) = cy 1:; tam.in es so')(ión si y 1:; es )naso')(ión:; Una ED 'inea' Bomonea siem&+e &osee 'a so')(iónt+iia' y(x) > 0



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DEPENDENCIA E INDEPENDENCIALINEAL

An con>unto de funciones ! - x G$ ! x G$ $ ! n x G es 'inea'mentede&endiente en un intervalo I$ si existen ciertas constantes c-$ c$$ cn n! !a/ na/ tales Pue(

c-! - x G c! x G cn ! n x G M I

,i el con>unto no es linealmente dependiente$ entonces es'inea'mente inde&endiente.

En ot"as #ala$"as, s% el con&'nto es l%nealente %nde#end%ente c'ando: c-! - x G c! x G cn ! n x G M I$ entoncesnecesa"%aente c- M c M M c

n

M I.

E>emplo(

Las funciones ! - M cos x $ ! M sin x $ ! : M sec x $ ! 9 M tan x sonlinealmente dependientes en el intervalo Qπ;$ π;G porPue c-cos x c sin x c: sec x c9 tan x M I$ con c- M c M -$ c: M Q-$

c9 M -.FACULTAD DE CIENCIAS


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CRITERIO PARA SOLUCIONES LINEAL4ENTEINDEPENDIENTES

CONUNTO FUNDA4ENTAL DESOLUCIONES

"EORE+!( ,ean y - x G$ y x G$ $ y n

x G soluciones de una E#homogénea de nQésimo orden en un intervalo I. Este con>unto desoluciones es linealmente independiente si y sólo si y -$ y $ $ y nG≠ I para todo x en el intervalo.

ualPuier con>unto y - x G$ y x G$ $ y n x G de n soluciones linealmenteindependientes de una E# homogénea de nQésimo orden se llamac!n1n! *na#%na % /!c!n%/.

E3ISTENCIA DE UN CONUNTO FUNDA4ENTAL "EORE+!( Existe un con>unto fundamental de soluciones para unaE# lineal homogénea de orden n en un intervalo I

SOLUCI8N 6ENERAL :ECUACIONESGO4O69NEAS;,ea y - x G$ y x G$ $ y n x G un con>unto fundamental de soluciones denuestra E# lineal homogénea en un intervalo I. Entonces lasolución general es y M c- y - x G c y x G cn y n x G donde c% sonconstantes arbitrarias.



14/61

Las funciones y - M e: x $ y M eQ: x son soluciones de y S 4 6 y MI en Q∞$ ∞GObserve Pue(

para todo x. Luego son independientes. !s3 Pue y = c- y - c y

es la solución general.%or e>emplo$ la función y M 9 sinh: x G Q ?e: x es una solución.

Observemos Pue(

Las funciones y - = e x $ y M e x $ y : M e: x son soluciones de y TTT 4


15/61

para todo valor real de x . y > c1% x ? c2 %2 x ? c% x es la solución general en :- < ;

02

94

32),,(6

32

32

32

32 ≠== x x x x

x x x

x x x

x x xe

eee

eee

eee

eeeW

SOLUCI8N 6ENERAL :E()a(iones noBomoneas;,ea y & cualPuier solución particular de una E#O no homogénea enun intervalo I. D sea y 1: x ;< y 2: x ;< =unto fundamentalde soluciones de su E#O homogénea asociada$ entonces la solucióngeneral de la ecuación en el intervalo es y= cy + c2y 2 + + c- y - + y & donde las c = 2.n son constantes arbitrarias.

Entonces( y = c- y - c y c* y * y # = y c y # M *nc4nc!#&%#%na'a + na /!c4n &a'ca'

E>emplo(,i la función y # M Q--;-G 4 U x es una solución particular deEntonces la solución general ser&(

x y y y y 36116 =−′+′′−′′′

xececec y y y x x x pc2

1

12

1133

221 −−++=+=



16/61

Observemos Pue

y #- M +9 x . es una solución particular de

y #. M e. x es una solución particular de

y #: M xe x es una solución particular de

Entonces es una solución de

PRINCIPIO DE SUPERPOSICI8N (ec&acione# no,omog-nea#)*

#adas = E#Oscon % M -$ $ $ *. ,i y #% denota una solución particular de la E#iQésima correspondiente a g% x G$ tenemos Pue

es una solución particular de(

)()()()()( 01)1(

1

)(

x g y xa y xa y xa y xa in

n

n

n =+′+++ −

−

)()()(21

x y x y x y yk p p p p

+++=

)()()()()()()( 2101)1(

1

)( x g x g x g y xa y xa y xa y xa k n

n

n

n +++=+′+++ −

−

824164'3" 2 −+−=+− x x y y y

E"emplo:

xe y y y 224'3" =+−

x x e xe y y y −=+− 24'3"

321 p p p y y y y ++=

)()(

2

)(

2

321

228241643 x g

x x

x g

x

x g

e xee x x y y y −++−+−=+′−′′



17/61

REDUCCI8N DEORDEN

,abemos Pue la solución general de es yM c- y - c y -.

,i consideramos Pue y - x G denota una solución conocida no trivialG. En este efecto$ sila solución y es linealmente independiente$ podemos establecer Pue y xG = '(x) y -xG.Entonces, es con-en%ente encontrar una tal ' x G$ como alternativa de '%cc4n %!'%n.

E>emplo(

#ada y - M e x solución de y S 4 y M I$ hallar la segunda solución y por el método dereducción de orden.

5!c4n,i y(x) M '(x)e x , entonces

Pue sustituyendo en la E#O(

omo e x ≠ I, nuestra E#O se convierte en(

!hora VreduciremosV el orden de la E# gracias al cambio( = 'T

Pue integrando por separación de variables y deshaciendo el cambio$ nos proporciona(

,e ha obtenido la segunda solución y por el método de reducción de orden(

!l tener a y - M e x como primera solución de y S 4 y M I. ,i tomamos c M I$ c- = Qpara nuestra segunda solución$ tenemos y = e+x . Observe Pue e x , e+x G ≠ I para todo

x $ de modo Pue las soluciones son independientes.

0)()()( 012 =+′+′′ y xa y xa y xa

ueueue yueue y x x x x x ′′+′+=′′′+=′ 2,0)'2"(" =+=− uue y y x

0'2" =+ uu02' =+ ww

uecw x

′== −21 2

2

12/1 cecu x

+−=

−

x x x ecec

e xu y 21

2)( +−== −



18/61

CASO 6ENERAL

,2 ,E E,R2BE L! E#O E) L! FORMA E5T6NDAR

,E! Y - X G A)! ,OLA2C) O)O2#! #E L! E#O E Y - X G ≠ I %!R! "O#O X E)

EL 2)"ER5!LO.,2 #E/2)2+O, Y(X) = (X)Y -(X G$ "E)E+O,(

u yu y yu yu y yu y ′′+′′+′′=′′′+′=′ 11111 2,

0)2(][ 111cero

111 =′+′+′′++′+′′=+′+′′ u Py yu yQy y P yuQy y P y

0)2( 111 =′+′+′′ u Py yu y

0)2( 111 =+′+′ w Py yw y 0)2( 111 =+′+ w Py ydxdw

y

#i$idiendo entre y 1w

y multiplicando por dx : Pdxdx

y

y

w

dw −=′

+1

12 c Pdxdx y

y

w

dw+−=

′+ ∫ ∫ ∫

1

12

empleando el cam%io w = u&. ∫ +−= c Pdxwy ||ln 21 ∫ −= Pdxecwy 121Luego 22

1

1 cdx y

ecu

Pdx

+= ∫ ∫ −

"omando c- M -$ c M I$ obtenemos ∫ ∫ −

= dx x y

e x y y

dx x P

)()(

21

)(

12



19/61

La función y -= x es una solución de 8allar la solucióngeneral en I$ ∞G.

5!c4n,

La forma est&ndar es(

#ando los pasos anteriores$ demuestre Pue(

La solución general es(

La ecuación diferencial ayW by M I se resuelve ya sea mediante separación devariables o mediante la ayuda de un factor integrante. ,e observa Pue sidespe>amos yW de la ecuación diferencial ayW by M I se obtiene yW M =y$ donde= es una constante. Lo Pue nos revela la Vnaturale*aV de la solución( la Xnicafunción elemental no trivial cuya derivada es una mXltiplo de si misma es lafunción exponencial$ yxG M emx.

Lo Pue resta ser& determinar el valor de m...

04'3"2 =+− y xy y x

0432 =+′−′′

x y

x y

x xdx x

e x y

xdx

ln24

/32

2 == ∫ ∫

x xc xc y ln222

1 +=



20/61

ECUACIOES .O"OG/EAS



21/61

ECUACIONES LINEALESGO4O69NEAS CON COEFICIENTES

CONSTANTES

0012)1(

1)( =+′+′′+++ −− ya ya ya ya ya

nn

nn

0)( 2

=++ cbmamemx

donde ai son constantes! an ≠ .

ECUACI8N O POLINO4IO

AU3ILIAR ,'ara n = 2!

i pro%amos y(x) = emx ,

o%tenemos la ecuación auxiliar:



22/61

Las dos ra3ces del polinomio auxiliar son(

0)$. 4 9ac Y I( "eales y d%st%ntas, 0 ≠ , .

)$. 4 9ac M I( "eales e %g'ales, 0 = , = +$/(a).

1)$. 4 9ac Z I( co#le&as con&'gadas,

7a/! , Ra8c%/ '%a%/ y /na/

La solución general es

7a/! 2, Ra8c%/ '%a%/ '%&%a/

aacbbm 2/)4( 21 −+−=

aacbbm 2/)4( 22 −−−= β α β α imim −=+= 21 ,

xm xmecec y 21

21 +=

La solución general xme y 11 =

%ara obtener la segunda soluciónutili*amos el método de reducción deorden$ recordando Pue 0 = = +$/ (a).

∫ ∫ === xm xm xm xm

xm xedxedx

e

ee y 11

1

1

1

2

2

2

xm xm xecec y 11 21 +=



23/61

Escribimos $ una solución general es

Asando la fórmula de Euler(

β α β α imim −=+= 21 , xi xi eC eC y )(2

)(1

β α β α −+ +=

7a/! 3, Ra8c%/ c!#&%1a/ c!n1gaa/

xi xe xi β β β sincos += xi xe xi β β β sincos −=−

xee xi xi β β β cos2=+ − xiee xi xi β β β sin2=− −

omo es solución general$ tomando 2- = 2 M - y 2- M -$ 2 M Q- $ tenemos dos soluciones(

!s3$ eα x

cos β x y eα x

sen β x son un con>unto fundamental de soluciones yla solución general es

xi xi eC eC y )(2)(

1β α β α −+ +=

xeeee y x xi xi x β α β β α cos2)(1 =+= −

xieeee y x xi xi x β α β β α sin2)(2 =−= −



24/61

Ec&aci!n di0erencial ordinaria de 1do Orden

y= f(x! y! y)

2er Ca#o

*= f(x! y) +alta y

,eemplazar $ = y - $= y 1er rden

/(x) = 0 (x) 'rimera solucin 1er rden

* = (x)[ olucin original! con dos constantes de integracin



25/61

*= f(y! y) +alta x

,eemplazar $ = y - $= y iene 3 $aria%les

/(x) = 0 (x) 'rimera solucin

1er rden con dos $aria%les

* = (x)[ olucin original! con dos constantes de integracin

1do Ca#o

,eemplazar:

/aria%le independiente= y

/aria%le dependiente= $



26/61

Ec&aci!n di0erencial lineal de 1do Orden

iene la forma :

y33 4 p($)y34 5($)y 6 g($)

Teorema de S&perpo#ici!n



27/61

,eemplazando:

=

olucin general

Con7&no 8&ndamenal de Sol&cione# (C8S)

4on"unto +undamental de oluciones



28/61

E"emplo:

* 5 y =

62 4os x! 7 en x8 4+

6 9 en x! 4os x8 4+

6 en x! 2 en x8 No 4+

6 93 4os x! 2 4os x8 No 4+

Con7&no 8&ndamenal de Sol&cione# Típico

Es el con"unto fundamental donde las funciones ;ue lo conforman tienen

coeficiente 1



29/61

oluciones:

4+

olucin


30/61

9ron#:iano

El >rons?iano de n funciones! se define como el determinante de un

sistema formado por n filas y m columnas! ;ue permite determinar si las

funciones in$olucradas son o no linealmente independientes

E"emplo:

6 en x! 4os x8

en x 4os x! son linealmente independientes y el con"unto 6senx! cosx8\es un con"unto fundamental de solucin



31/61

Teorema de E$i#encia y Unicidad de la #ol&ci!n de &na ec&aci!ndi0erencial lineal

* 5 p(x) y 5 ;(x) y = g(x)

E"emplo:

#etermine el inter$alo de $alidez de la solucin:

*(1) = 3- y= 9



32/61

Idenidad de A;el

e utiliza para la o%tencin de la 2da solucin linealmente independiente de

la ecuacin diferencial lineal

#ese el caso de:

* 5 p(x) y5 ;(x) y = - la ;ue tiene por con"unto fundamental de solucin

(4+) a:

2ra #ol&ci!n*

Eliminando ;(x)! se o%tiene:



33/61

,eemplazando! tendremos:


34/61

olucin


35/61

Ec&aci!n Di0erencial .omog-nea de coe0iciene# con#ane#

iene la forma: ay33 4 ;y34 cy6=

uponiendo:

,eemplazando:

Ecuacin caracterstica



36/61

2er Ca#o

reales y diferentes

olucin


37/61

>er Ca#o

eorema:

i la solucin de la ecuacin diferencial y5 p(x) y5 ;(x) = ! es la funcin

comple"a y = u(x) 5 i $(x) donde u % son funciones de $aria%le real!\entonces u(x) y $(x) son soluciones linealmente independientes de la

ecuacin diferencial.

olucin


38/61

Ec&aci!n Di0erencial o .omog-nea

* 5 p(x) y5 ;(x) y = g(x)

olucin:

a. Cétodo de coeficientes indeterminados

%. Cétodo de $ariacin de parDmetros



39/61

1. "-odo de lo# coe0iciene# indeerminado#ir$e para encontrar la solucin particular de una ecuacin no

homogénea de coeficientes constantes! donde g(x) se restringe a

formas detalladas en el siguiente cuadro



40/61

E"emplo

:

* 5 y9 12y =

'ro%ando en s = ! se tiene



41/61

,eemplazando en la ecuacin lineal no homogénea! se tiene:



42/61

2. "-odo de la 'ariaci!n de par?mero#

uponiendo:



43/61

,esumiendo:

,egla de 4ramer:



44/61

Entonces:

E"emplo:

Encontrar la solucin general de : y 5 y = ec x



45/61

* 5 y =



46/61

Resolver

5!c4n,

4 - M I$ M -$ Q- y - M e x , y M eQ x , !(x) M -; x, y e x $ e+x G M Q

Luego

x y y 1

" =−

∫

−−

=−

−=′ x

x

t x

dt

t

eu

xeu

0

11

2

1,

2

)/1(

∫ −=−−=′ x

x

t x

dt t

eu

xeu

022 2

1,

2

)/1(

∫ ∫ −

−

−= x

x

x

x

t x

t x

p dt t

eedt t

ee y

0 02

1

2

1

∫ ∫ −−

−+=+= x

x

x

x

t x

t x x

pc dt t

eedt

t

eeec y y y

0 02

1

2

11



47/61

5!c4n, – 9 9 = I$ M cero dobleG

y - M e x , y = xe x $

omo ! x G M x -Ge x , entonces(

xe x y y y 2)1(4'4" +=+−

022

),( 4222

2222 ≠=

+= x

x x x

x x x x e

e xee

xee xeeW

x

x x

x x

x x

x

e xe xe

eW xe x

xee x

xeW 4

22

2

24

22

2

1 )1()1(2

0,)1(

2)1(

0+=

+=+−=

+=

1)1(

,)1(

4

4

22

4

4

1 +=+−=′−−=+−=′ xe

e xu x x

e

xe xu

x

x

x

x



48/61

Luego'- M Q-;:G x : – U x $ ' M U x x

x x x x p e xe x xe x xe x x x

222322223

2

1

6

1

2

1

2

1

3

1 +=

++

−−=

x x x x pc e xe x xecec y y y

222322

21

2

1

6

1 +++=+=

1, 22

1 +=′−−=′ xu x xu

,ecordemos ;ue: )()()()( 2211 x y xu x y xu y p +=

y - M e x , y = xe x



49/61

Resolver

5!c4n,

y S 6 y M -;9G csc : x 6 M I$ M :%$ Q:%

y - = cos : x $ y = sin : x $ !(x) M -;9G csc( : x)

omo

x y y 3csc36"4 =+

33cos33sin3

3sin3cos)3sin,3(cos =

−=

x x

x x x xW

x

x

x x

xW

x x

xW

3sin

3cos

4

1

3csc4/13sin3

03cos,

4

1

3cos33csc4/1

3sin021 =−

=−==



50/61

12

111 −==′ W

W

u x sen

x

W

W u

3

3cos

12

122 ==′

,12/11 xu −= |3|ln36/12 x senu −=

|3|ln)3(36

13cos

12

1 x sen x sen x x y p +−=

|3|ln)3(36

13cos12

133cos 21 x sen x sen x x x senc xc y y y pc +−+=+=

Entonces



51/61

aG

bG

cG

03'5"2 =−− y y y3,1/2,)3)(12(352 21

2 =−=−+=−− mmmmmm x x ecec y 3

2

2/

1 += −

025'10" =+− y y y 5,)5(2510 2122 ==−=+− mmmmm

x x xecec y 525

1 +=

07'4" =++ y y yimimmm 32,32,074 21

2 −−=+−==++)33cos(,3,2 21

2 x senc xce y x +==−= −β α

,esol$er



52/61

Resolver

5!c4n,

2)0(',1)0(,017'4"4 =−==++ y y y y y

,017442 =++ mm im 21/21 ±−=

)2sin2cos( 212/ xc xce y x += −

,1)0( −= y ,11 −=c ,2)0(' e = y 3/42 =c



53/61

%ara la primera ecuación (

%ara la segunda ecuación (

omo

Luego

,0

2

=+′′ yk y 0 ,02 >=−′′ k yk y

)cosh()(1/21 kxee y kxkx =+= −

)sinh()(1/22 kxee y kxkx =−= −

,esol$er las ecuaciones:



54/61

Resolver

5!c4n,

%rimero se obtiene la solución y c de la ecuación homogéneaasociada. %ara hallar y #., como el lado derecho de la E# es unpolinomio$ se establece(

A 7 Ax 93 4 Ax – 3x – 2 = x – : x <

6322'4" 2 +−=−+ x x y y y

,2 C Bx Ax y p ++= ,2' B Ax y p += A y p 2"=

6242,328,22 =−+−=−=− C B A B A A

9,5/2,1 −=−=−= C B A 92

52

−−−= x x y p



55/61

8allar una solución particular de

5!c4n,%robemos y # = A cos(1x) 3 sen1x)

"ras sustituir$

Luego

)3(2'" x sen y y y =+−

)3sin(2)3sin()83()3cos()38( x x B A x B A =−+−−16/73,6/73 −== B A

)3(73

16)3cos(73

6 x sen x y p −=



56/61

Resolver

5!c4n,

%robemos "ras sustituir$

Luego

x xe x y y y

26543'2" +−=−−

x xc ecec y

321 +=

−

x x p EeCxe B Ax y

22 +++=

x

x x

xe x

e E C Cxe B A Ax

2

22

654

)32(3323

+−=

−+−−−−

4/3,2,23/9,4/3 −=−==−= E C B A

x x

p e xe x y 22

3

4

29

23

3

4

−−+−= x x x e x xecec y 2321

3

42

9

23

3

4

+−+−+= −

olucin homogénea

'ensando en el principio de superposicin:



57/61

#eterminar una y # de

5!c4n,%robemos( y # = Ae x

"ras sustituir( I M 7e x :c!n1%'a nc!''%ca;

%robemos como alternativa( y # = Axe x.

"ras sustituir( Q: Ae x M 7e x

Entonces( A = Q7;:$ y # M ]7;:G xe x

xe y y y 84'5" =+−

El pro%lema estD en ;ue la funcin complementaria es:* la suposicin ya estD presente en yc.

x x

c ecec y

4

21 +=


ECUACIONES DE ORDEN


58/61

ECUACIONES DE ORDENSUPERIOR

#ada la E#O(

La ecuación asociada

Es la %cac4n axa' .



59/61

%ara las E#s de nQésimo orden de la forma

tomamos y # M '- y - ' y 'n y n, donde y % $ % M -$ $$ n, son la familia de soluciones independientes Pueforman y c. !s3(

Hue nos lleva a las ecuaciones solución '* T M * ; con * M -$ $

$ n. #onde ^ es el 0rons=iano de la y_s y ^= es eldeterminante Pue se obtiene de sustituir en ^ la =Qésimacolumna por I$ I$...$ fxGG.

)()()()( 01)1(

1)( x f y x P y x P y x P y nn

n =+′+++ −−

02211 =′++′+′ nnu yu yu y

02211 =′′++′′+′ nnu yu yu y

)()1(

2)1(

21)1(

1 x f u yu yu y nn

nnn =′++′+′ −−−

uposiciones

para simplificar la E#:


R l 043 ′′′′′


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Resolver5!c4n,

043 =−′′+′′′ y y y

2223

)2)(1()44)(1(43 +−=++−=−+ mmmmmmm232 −== mm

x x x xececec y

23

221

−− ++=

Resolver

5!c4n,

02 2

2

4

4

=++ ydx yd

dx yd

0)1(12 2224 =+=++ mmm

immimm −==== 4231 , ixixixix xeC xeC eC eC y

−− +++= 4321 x xc x xc xc xc sincossincos 4321 +++=



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6RACIAS POR SU ATENCI8N


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