Ecuaciones Diferenciales Para Ingeniería y Ciencias - Yunus a. Cengel

Ecuaciones diferenciales ingeniera y ciencias

para

Ecuaciones diferenciales ingeniera y ciencias

YUNUS A. ENGELUniversity of Nevada, Reno

WILLIAM J. PALM IIIUniversity of Rhode Island

Revisin tcnica

Natella AntonyanDepartamento de Fsica y Matemticas

Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey

Campus Ciudad de Mxico

Amado Salvador Granados AguilarDepartamento de Matemticas

Facultad de Qumica

Universidad Nacional Autnoma de Mxico

Edmundo Palacios PastranaDepartamento de Fsica y Matemticas

Universidad Iberoamericana

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Director General Mxico: Miguel ngel Toledo CastellanosEditor sponsor: Pablo E. Roig VzquezCoordinadora editorial: Marcela I. Rocha MartnezEditora de desarrollo: Karen Estrada ArriagaSupervisor de produccin: Zeferino Garca Garca

Traduccin: Sergio Sarmiento Ortega

ECUACIONES DIFERENCIALESPARA INGENIERA Y CIENCIAS

Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra,por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS 2014, respecto a la primera edicin en espaol por:McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES S.A. DE C.V.

Edificio Punta Santa FeProlongacin Paseo de la Reforma 1015, Torre A,Pisos 16 y 17, Colonia Desarrollo Santa FeDelegacin lvaro ObregnC.P. 01376, Mxico, D.F.Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736

ISBN: 978-607-15-0989-5

Translated from the first edition of Differential equations for engineers and scientists, by engel, Yunus A., and William J. Palm III, Copyright 2013, by The McGraw-Hill Companies Inc. All rights reserved. 978-0-07-338590-7.

1234567890 2356789014

Impreso en Mxico Printed in Mexico

CONTENIDO

Prefacio ix

Captulo 1Introduccin a las ecuaciones diferenciales 1

1-1 Las ecuaciones diferenciales en las ciencias y en la ingeniera 2

1-2 Cmo surgen las ecuaciones diferenciales? 31-3 Breve repaso de conceptos bsicos 9

Variables dependientes e independientes 9

Funciones continuas y discontinuas 10

Derivadas y diferenciales 10

Integracin 12

1-4 Clasiicacin de las ecuaciones diferenciales 141-5 Soluciones de ecuaciones diferenciales 171-6 Resolucin de ecuaciones diferenciales por

integracin directa 201-7 Introduccin a mtodos de computadora 25

Gracacin de soluciones 26

Integracin simblica 27

Funciones especiales de las matemticas 28

Integracin numrica 29

Consideraciones para solucionar una ecuacin diferencial

por computadora 31

1-8 Resumen 32 Problemas 33

Captulo 2Ecuaciones diferenciales de primer orden 39

2-1 Descripcin general de las ecuaciones diferenciales de primer orden 40

2-2 Ecuaciones lineales de primer orden 41Factor de integracin 41

Caso especial: Ecuaciones con coecientes constantes y

lado derecho constante 43

Existencia y unicidad de las soluciones 44

2-3 Aplicaciones de ecuaciones lineales de primer orden 47Estimacin del tiempo de respuesta con la constante de

tiempo 49

2-4 Ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden 57

2-5 Ecuaciones separables de primer orden 58

Trayectorias ortogonales y ecuaciones diferenciales 66

Transformacin de ecuaciones no separables

en separables 66

Ecuaciones diferenciales homogneas 67

2-6 Ecuaciones diferenciales exactas de primer orden 70Denicin de una ecuacin diferencial exacta 71

Solucin alternativa: mtodo de agrupamiento 74

Factores de integracin 75

2-7 Mtodos gricos 752-8 Planteamiento sistemtico para resolver ecuaciones

de primer orden 782-9 Mtodos de computadora para ecuaciones

de primer orden 79Cmo obtener soluciones de forma cerrada 79

Cmo generar grcas de contorno 81

Cmo obtener grcas de campo de direcciones 82


Captulo 3Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden 91

3-1 Introduccin a las ecuaciones lineales de segundo orden 92

3-2 Independencia lineal y el wronskiano de funciones 97El wronskiano de dos funciones 98

Independencia lineal y el wronskiano

de n funciones 100

3-3 Teora de las ecuaciones homogneas 1023-4 Reduccin de orden 1103-5 Ecuaciones homogneas con coeicientes

constantes 112Caso 1: Races reales y desiguales (m1 Z m2) 113Caso 2: Races reales e iguales (m1 5 m2) 116Caso 3: Races complejas (m1,2 5 a ; ib) 117

3-6 Teora de las ecuaciones lineales no homogneas 122

3-7 Ecuaciones no homogneas: el mtodo de coeicientes indeterminados 125Discusin 1 128

Discusin 2 128

3-8 Ecuaciones no homogneas: el mtodo de variacin de parmetros 135

3-9 Ecuacin de Euler 138

Mtodo alterno de solucin 140

Caso 1: Races reales y desiguales (r1 Z r2) 141Caso 2: Races reales e iguales (r1 5 r2 5 r) 141Caso 3: Races complejas (r1,2 5 a 6 ib) 141

3-10 Aplicaciones de ecuaciones lineales de segundo orden con coeicientes constantes 145Vibraciones mecnicas 145

Ecuacin diferencial de vibraciones mecnicas 146

Caso 1: c2 2 4 mk . 0 (movimiento sobreamortiguado) 154Caso 2: c2 2 4 mk 5 0 (movimiento crticamente amortiguado) 154Caso 3: c 2 2 4 mk # 0 (movimiento subamortiguado u oscilatorio) 155

Discusin 157

Circuitos elctricos 158

3-11 Mtodos de computadora para ecuaciones lineales de segundo orden 161Vibraciones forzadas amortiguadas con

entrada derivada 162


Captulo 4Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior 177

4-1 Introduccin a las ecuaciones lineales de orden superior 178

4-2 Teora de las ecuaciones homogneas 1814-3 Reduccin de orden 1834-4 Ecuaciones homogneas con coeicientes

constantes 184Cmo encontrar las races de ecuaciones

polinomiales 185

Caso especial: Races reales enteras 185

Cmo construir la solucin general 186

Caso 1: Races reales y distintas 186

Caso 2: Races repetidas 187

Caso 3: Races complejas 187

4-5 Teora de las ecuaciones no homogneas 1924-6 Ecuaciones no homogneas: el mtodo

de coeicientes indeterminados 1934-7 Ecuaciones no homogneas: el mtodo de variacin

de parmetros 1954-8 Ecuacin de Euler 1994-9 Mtodos de computadora para ecuaciones

de orden superior 2014-10 Resumen 204 Problemas 205

Captulo 5Ecuaciones diferenciales lineales: coecientes variables 209

5-1 Repaso de series de potencias 210Cmo desplazar el ndice de sumatoria 212

Convergencia de series de potencias 214

Derivadas de series de potencias 217

5-2 Introduccin a las soluciones por series de potencias 219

5-3 Puntos ordinarios contra singulares 2265-4 Soluciones por serie de potencias alrededor de un

punto ordinario 2315-5 Ecuacin de Legendre y polinomios

de Legendre 238Polinomios de Legendre 240

5-6 Soluciones por serie alrededor de un punto singular regular 243

5-7 Ecuacin de Bessel y funciones de Bessel 261Funcin gamma 270

Propiedades de las funciones de Bessel 272

Funciones de Bessel modicadas 273

5-8 Mtodos de computadora 275Soluciones con MuPAD* 275Soluciones con Maple 277

Soluciones con Mathematica 279


Captulo 6Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales: metodologa escalar 287

6-1 Descripcin general de sistemas de ecuaciones diferenciales 288Sistemas que contienen derivadas de orden superior 289

Clasicacin de sistemas de ecuaciones 291

6-2 Origen de sistemas de ecuaciones diferenciales 2936-3 Mtodo de eliminacin 295

Mtodo de eliminacin para sistemas

no homogneos 299

6-4 Mtodo de valores caractersticos 301Trminos no homogneos que son soluciones de

la ecuacin homognea relacionada 306

Modos 308

6-5 Mtodos de computadora 3126-6 Resumen 314 Problemas 314

*MuPAD es una marca registrada de Sciface Software GmbH & Co.

vi

CONTENIDO

Captulo 7Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales: mtodo de matrices 319

7-1 Repaso de matrices 320Propiedades de las matrices 322

7-2 Modelos en forma matricial 3297-3 Valores caractersticos y vectores

caractersticos 334Operaciones con renglones 335

Sistemas homogneos 341

Independencia lineal de vectores 343

Valores caractersticos y vectores caractersticos 346

Caso especial: Matriz A con un factor comn 352

7-4 Teora de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 355Teora de sistemas lineales homogneos 357

Teora de sistemas lineales no homogneos 361

7-5 Sistemas lineales homogneos con coeicientes constantes 362Caso 1: Valores caractersticos reales y distintos 364

Caso 2: Valores caractersticos complejos 367

Caso 3: Valores caractersticos repetidos 372

Discusin 3757-6 Sistemas lineales no homogneos 380

Mtodo de coecientes indeterminados 380

Variacin de parmetros 383

Sistemas no homogneos de problemas

de valor inicial 386

7-7 Formas cannicas y matriz de transicin 389Diagonalizacin 389

Matriz de transicin 396

7-8 Mtodos computacionales 4007-9 Resumen 406 Problemas 408

Captulo 8Transformada de Laplace 419

8-1 Transformadas de Laplace de funciones 4208-2 Existencia de transformadas de Laplace 4238-3 Propiedades bsicas de la transformada

de Laplace 425Propiedad 1: Linealidad de la transformada

de Laplace 426

Propiedad 2: Propiedad de translacin

(o corrimiento) 427

Propiedad 3: Transformada de Laplace de t nf (t) 427Propiedad 4: Transformada de Laplace de f (t)@t 428

Propiedad 5: Transformada de Laplace de 0 t0 f(t) dt 429Propiedad 6: Cambio de escala 429

8-4 Transformadas de Laplace de funciones escalonadas, peridicas y de impulso 430Funcin de escaln unitario 430

Funciones peridicas 434

Funciones de impulso 436

8-5 Transformadas de Laplace de derivadas y ecuaciones diferenciales 438Transformada de Laplace y ecuaciones diferenciales 440

8-6 Transformada inversa de Laplace 442Cmo completar polinomios cuadrticos al cuadrado 444

8-7 Fracciones parciales 445Determinacin de constantes arbitrarias 447

8-8 Teorema de convolucin 4498-9 Resolucin de ecuaciones diferenciales

por transformada de Laplace 451Solucin con condiciones generales en la frontera 455

Funciones de transferencia 456

8-10 Resolucin de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales por transformada de Laplace 457Funciones de transferencia de sistemas

de ecuaciones 460

Matriz de transicin 461

Matriz de funciones de transferencia 462

Forma matricial del teorema de convolucin 463

8-11 Mtodos de transformada de Laplace con ayuda de computadora 465

8-12 Resumen 473 Perspectiva histrica 474 Problemas 475

Captulo 9Resolucin nmerica de ecuaciones diferenciales 483

9-1 Integracin numrica 484Mtodo de franjas rectangulares 485

Regla trapezoidal 488

Regla de Simpson 490

9-2 Solucin numrica de ecuaciones diferenciales 493Caso 1: f 5 f (x) 493Caso 2: f 5 f (x, y) 495

9-3 Mtodo de Euler 4969-4 Errores en mtodos numricos 499

Error de discretizacin 500

Error de redondeo 501

Control del error 502

9-5 Mtodo de Euler mejorado 504Caso especial: f 5 f (x) 507

vii

CONTENIDO

9-6 Mtodos de la serie de Taylor 5089-7 Mtodo de Runge-Kutta 511

Caso especial: f 5 f (x) 514Runge-Kutta Fehlberg 514

9-8 Mtodos de pasos mltiples y predictores-correctores 515Mtodos predictores-correctores 517

9-9 Sistemas de ecuaciones de primer orden 522Mtodo de Euler 523

Mtodo clsico de Runge-Kutta 523

Mtodo predictor-corrector de Adams-Moulton 524

9-10 Soluciones numricas con programas comerciales 527

Programas de resolucin MATLAB ODE 527

Ecuaciones diferenciales de orden superior 534

Soluciones numricas con Maple 537

Soluciones numricas con Mathematica 538Soluciones numricas con MuPAD 538

9-11 Resumen 540 Perspectiva histrica 542 Problemas 542

ndice analtico 551

viii

CONTENIDO

*MATLAB es una marca registrada de The MathWorks, Inc.**Maple es una marca registrada de Waterloo Maple, Inc.Mathematica es una marca registrada de Wolfram Research, Inc.

PREFACIO

Desde hace tiempo, las ecuaciones diferenciales han sido una parte esencial del programa de estudio de la mayora de las disciplinas en ciencias fsicas e ingeniera en todo el mundo. Los cienticos y los ingenieros a menudo estu-dian sistemas que experimentan variaciones, y las ecuaciones diferenciales les per-miten estudiar dichos cambios en las variables claves de un sistema y obtener una comprensin ms profunda de los fenmenos fsicos subyacentes. Este libro tiene el propsito de servir como libro de texto para un primer curso sobre ecuaciones di-ferenciales, principalmente para estudiantes de ciencias e ingeniera. Es el resultado de los apuntes de clase desarrollados por el primer autor durante aos de ensear ecuaciones diferenciales a estudiantes de ingeniera en la Universidad de Nevada, en Reno; y de tareas hechas en computadora y ejemplos de ingeniera desarrollados por el segundo autor mientras imparta cursos en la Universidad de Rhode Island. El texto cubre los temas convencionales sobre ecuaciones diferenciales ordinarias, con un acervo de aplicaciones tomadas de la ingeniera y de las ciencias.

Enfoque pedaggico Este libro est concebido como una introduccin amistosa a las ecuaciones diferenciales en las ciencias y la ingeniera. Se apoya ms en la intuicin que en el rigor. Se enfatizan los argumentos conceptuales con el objetivo de desarrollar un entendimiento intuitivo del tema de que se trata. El texto intenta ser sencillo y comprensible, y fomenta el pensamiento creativo. Los autores consi-deran que los documentos legales tales como los contratos de arrendamiento, que son para gente comn, deberan redactarse en espaol ordinario en vez de escribirse en un lenguaje legal preciso que est ms all de la comprensin de la mayora de las personas y que necesita la traduccin de un abogado. De modo similar, un libro de texto sobre ecuaciones diferenciales debe escribirse para que el estudiante lo lea y lo comprenda. Los profesores no necesitan libros de texto; los alumnos s. Es co-mn que los estudiantes hojeen un libro de texto de matemticas solo cuando tratan de encontrar un ejemplo similar al problema que se les ha asignado. A menudo se dice que los conceptos matemticos se deben explicar en lenguaje ordinario para que dejen una impresin duradera. Debemos ser capaces de explicar a los alumnos que resolver una ecuacin diferencial es bsicamente una integracin, y que esta es bsicamente una sumatoria, en vez de usar un lenguaje abstracto en aras de la precisin y el rigor. El material del texto se introduce a un nivel que un alumno promedio puede seguir cmodamente. Se dirige a los estudiantes, no por encima de ellos; de hecho, es autodidctico. Esto permite que el profesor ocupe el tiempo de clase en forma ms productiva. Los temas estn ordenados de tal manera que luyen bien en un orden lgico, y cada uno motiva a abordar el siguiente. Se ha tratado, por todos los medios, de hacer que este sea un texto de matemticas legible, y de fomentar el aprendizaje y la comprensin. El propsito de todo este proyecto ha sido ofrecer un libro introductorio de ecuaciones diferenciales que los estudiantes lean con inters y entusiasmo en vez de un texto que se usa como gua de referencia para resolver problemas.

ORGANIZACINDESCRIPCIN DE CAPTULOS

El captulo 1 comienza con una introduccin a las ecuaciones diferenciales y su clasiicacin. Luego demostramos cmo surgen las ecuaciones diferen-

xPREFACIO

ciales en las ciencias y cmo se modelan los problemas en las ciencias y en la ingeniera. Concluimos este captulo explicando cmo resolver ecuaciones diferenciales por integracin directa.

En el captulo 2 explicamos las ecuaciones diferenciales de primer orden y las tcnicas de resolucin correspondientes. Al inal de este captulo, presentamos un procedimiento paso a paso para resolver una ecuacin diferencial dada.

El captulo 3 trata principalmente de ecuaciones diferenciales lineales de se-gundo orden con coeicientes constantes, que son el tipo de ecuaciones que se encuentran ms frecuentemente en las ciencias y la ingeniera. Adems expli-camos la ecuacin de Euler, ya que se puede transformar en una ecuacin dife-rencial con coeicientes constantes. El mtodo de coeicientes indeterminados para resolver ecuaciones no homogneas se desarrolla de manera intuitiva.

Las discusiones se extienden a las ecuaciones lineales de orden superior en el captulo 4.

En el captulo 5, consideramos las ecuaciones diferenciales lineales de segun-do orden con coeicientes variables y su solucin por serie de potencias. En este captulo, desarrollamos los polinomios de Legendre y las funciones de Bessel como soluciones para ciertas ecuaciones diferenciales, y explicamos sus caractersticas.

En el captulo 6, explicamos la resolucin de sistemas de ecuaciones diferen-ciales lineales usando un mtodo escalar.

El captulo 7 introduce los mtodos matriciales para resolver conjuntos de ecuaciones.

En el captulo 8, introducimos las transformadas de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuaciones diferenciales.

Finalmente, en el captulo 9, presentamos las soluciones numricas de ecuacio-nes diferenciales usando diversas tcnicas.

CARACTERSTICASUso de las computadoras Los principales softwares que se usan actualmente para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias son MATLAB (con The Symbo-lic Math ToolboxTM,1 que contiene MuPAD), MapleTM y Mathematica.2 Usando uno de estos paquetes, los estudiantes pueden resolver ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales o en la frontera especiicadas en forma simblica (siempre y cuando sean de forma estndar), y numricamente, para obtener la solucin en for-ma tabular y grica. Los alumnos pueden experimentar y plantear preguntas de tipo Qu pasara si...? de forma interactiva, a menudo sin programacin o con una mnima programacin. Al inal de cada captulo hay una seccin que muestra cmo usar estos softwares para resolver los problemas que se tratan en cada captulo.

Ilustraciones Las iguras son herramientas de aprendizaje importantes que ayu-dan al estudiante a captar la idea. El texto usa eicazmente las gricas en toda su extensin. La mayora de las ilustraciones de este texto no son iguras en el sentido tradicional, sino que sirven como medio para destacar conceptos claves que de otra manera pasaran desapercibidos, o bien como resmenes de ideas principales.

Ejemplos de ciencia e ingeniera Cada captulo contiene numerosos ejemplos resueltos que clariican el material e ilustran el uso de los principios. Para la solu-

1 The Symbolic Math Toolbox es una marca registrada de MathWorks, Inc.2 Los ejemplos de software en este texto son compatibles con las siguientes versiones de software: MATLAB (versin 7.13), Symbolic Math Toolbox (versin 5.7), MuPAD (versin 5.7), Maple (versin 15) y Mathematica (versin 8).

xi

PREFACIO

cin de todos los ejemplos se usa un enfoque congruente y sistemtico, en el cual se da especial atencin a las limitaciones y a las generalizaciones. Hay varios ejemplos que se toman de varias aplicaciones en la ciencia, pero una caracterstica exclusiva del texto es el nmero de ejemplos de ingeniera. s-tos ilustran aplicaciones en diversos campos de la disciplina tales como dinmica newtoniana, transferencia trmica, circuitos y motores elctricos, vibraciones me-cnicas, suspensiones de vehculos e hidrulica.

Resmenes de captulo Se da un resumen detallado y desglosado al inal de cada captulo, para un repaso rpido de conceptos bsicos y relaciones importantes.

Repaso de seccin Al inal de cada seccin, hay un repaso en el cual se presentan problemas relativamente sencillos que cubren los temas que aborda cada seccin. Con los problemas se dan las respuestas, de modo que los estudiantes puedan veri-icar su trabajo de inmediato.

Problemas de in de captulo Los problemas de in de captulo se agrupan por seccin, en el orden en que se han cubierto, para facilitar la seleccin de problemas, tanto para los instructores como para los estudiantes. Los problemas dentro de cada grupo comienzan con preguntas conceptuales, marcadas por una C, para veriicar el nivel de comprensin de los conceptos bsicos por parte de los estudiantes. Los problemas de repaso son de naturaleza ms amplia, y no estn directamente ligados a ninguna seccin especica de un captulo.

RECURSOS EN LNEAVisite www.mhhe.com/cengel para todos los textos de la serie Cengel y para los valiosos recursos disponibles para los estudiantes y los instructores que usan este texto.

AGRADECIMIENTOSMerece un agradecimiento especial Tahsin Engin de la Universidad de Sakarya, por sus valiosas contribuciones en todas las etapas de la produccin de este libro y la preparacin del manual de soluciones. A los autores nos gustara agradecer especialmente a Bill Stenquist, de Mc-Graw-Hill, por todo lo que nos ha ayudado y alentado como nuestro editor durante muchos aos. Adems, queremos agradecer a los siguientes revisores por sus tiles comenta-rios y sugerencias:

Antonio Campo Universidad de Texas en San Antonio

Dr. Harry Hardee Universidad Estatal de Nuevo Mxico

Eleanor Jenkins Universidad Clemson

Allen Plotkin Universidad Estatal de San Diego

David Rubenstein Universidad Estatal de Oklahoma

Scott Strong Escuela de Minera de Colorado

Aleksandra Vinogradov Universidad Estatal de Montana

Ridvan Oz Universidad de Fatih

Y. A. engelW. J. Palm III

CAPTULO

1INTRODUCCIN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

A diferencia de las ecuaciones algebraicas, las ecuaciones diferenciales in-cluyen derivadas de funciones; su estudio exige una buena comprensin del clculo. Por dicha razn le pedimos al estudiante que repase algunos temas importantes (tales como variables dependientes e independientes, fun-ciones continuas y discontinuas, derivadas ordinarias y parciales, diferenciales, incrementos e integrales). Iniciamos este captulo con un anlisis sobre la im-portancia de las ecuaciones diferenciales en la ciencia y en la ingeniera, y el valor de la modelacin matemtica en la resolucin de problemas reales. Luego continuamos con ejemplos acerca de cmo las ecuaciones diferenciales surgen en problemas prcticos, y explicamos sus soluciones. Despus de un breve re-paso de algunos conceptos del clculo, clasiicamos las ecuaciones diferenciales y explicamos las ecuaciones lineales y no lineales, as como las ecuaciones con coeicientes constantes y variables. En seguida mostraremos la metodologa para resolver algunas ecuaciones diferenciales sencillas por integracin directa. Fi-nalmente, mostramos cmo usar algunos software populares para resolver ecua-ciones diferenciales sencillas y para graicar sus soluciones.

OBJETIVOS

Al terminar este captulo usted deber

ser capaz de:

1. Apreciar el valor de las ecuaciones diferenciales y entender cmo stas

surgen en las ciencias y en la

ingeniera.

2. Identicar funciones continuas y discontinuas.

3. Realizar operaciones bsicas de clculo, como la derivacin y la

integracin.

4. Clasicar ecuaciones diferenciales conforme a su orden, linealidad o no,

si sus coecientes son variables o

constantes, o si se trata de

ecuaciones homogneas o no homo-

gneas.

5. Clasicar las soluciones de ecuacio-nes diferenciales como generales,

particulares, singulares, explcitas o

implcitas.

6. Resolver ecuaciones diferenciales simples mediante integracin

directa.

7. Usar un software para resolver ecuaciones diferenciales simples de

primer orden y gracar sus

soluciones.


1-1 j LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN LAS CIENCIAS Y EN LA INGENIERA

Una expresin matemtica con un signo de igual se llama ecuacin. Una ecuacin que incluye las derivadas de una o ms funciones se llama ecuacin diferencial. En otras palabras, una ecuacin diferencial expresa una relacin entre funciones y sus derivadas. El trmino ecuacin diferencial se utiliza desde 1676, cuando Leibniz lo emple por primera vez; desde entonces, los cienticos y los ingenieros han usa-do extensamente las ecuaciones diferenciales para modelar y resolver una amplia gama de problemas prcticos. Probablemente usted se pregunte por qu estudiamos ecuaciones diferenciales. Despus de todo, parece que podramos resolver prcticamente cualquier problema mediante ecuaciones algebraicas. Bueno, bastar con decir que, hasta este punto, usted se enfrent principalmente a problemas cuyo modelo matemtico resultaba en ecuaciones algebraicas. Ahora, est a punto de entrar a un nuevo mundo de problemas ubicados en diversos campos de la ciencia y la ingeniera, cuyas formu-laciones dan por resultado ecuaciones diferenciales y cuya solucin depende de la resolucin de dichas ecuaciones. La descripcin de la mayora de los problemas cienticos implica relaciones que conectan entre s los cambios en algunas variables claves; usualmente, cuanto menor es el incremento elegido en las variables cambiantes, ms general y exacta ser la descripcin. En el caso lmite de cambios innitesimales o diferenciales en las varia-bles, obtenemos ecuaciones diferenciales que proporcionan formulaciones matem-ticas precisas para los principios fsicos y las leyes fsicas representando la rapidez de los cambios como derivadas. Por tanto, las ecuaciones diferenciales se usan para investigar una amplia variedad de problemas en ciencias e ingeniera, y el estudio de las ecuaciones diferenciales es, desde hace tiempo, parte integral de la formacin de cienticos e ingenieros. El estudio de los fenmenos fsicos implica dos pasos importantes. En el prime-ro se identiican todas las variables que afectan a los fenmenos, se realizan supo-siciones y aproximaciones razonables, y se estudia la interdependencia de dichas variables. Se hace referencia a las leyes fsicas y a los principios fsicos pertinentes, y el problema se formula matemticamente, usualmente en forma de ecuacin di-ferencial. Esta ecuacin en s misma aporta mucha informacin porque muestra el grado de dependencia de algunas variables con respecto a otras, y la importancia relativa de varios trminos. En el segundo paso se resuelve la ecuacin diferencial mediante un mtodo adecuado, y se obtiene la relacin para la funcin desconocida en trminos de las variables independientes (igura 1-1). Muchos procesos que en la naturaleza parecen ocurrir al azar y sin ningn orden estn, en realidad, gobernados por algunas leyes fsicas francamente visibles o que no lo son tanto. Ya sea que las percibamos o no, estas leyes estn ah, rigiendo en forma coherente y predecible lo que parecen ser eventos ordinarios. La mayora de ellas estn bien deinidas y bastante entendidas por los cienticos. Esto permite predecir el desarrollo de un evento antes de que realmente suceda; o estudiar mate-mticamente diversos aspectos de un evento, sin necesitad de realizar experimentos costosos y prolongados. Considere, por ejemplo, la cada libre de una roca desde un acantilado, como se muestra en la igura 1-2. Digamos que nos gustara saber el tiempo que sta tarda en llegar al suelo. Una manera de averiguarlo es, por supuesto, registrar la hora en que se deja caer y la hora del impacto, para despus determinar la diferencia. Otra manera es preparar un modelo matemtico de este proceso usando todas las leyes fsicas aplicables para formular el problema, y resolverlo para encontrar la cantidad que nos interesa (en este caso, el tiempo de cada). Cuanto ms realista sea el modelo matemtico, ms exacto ser el resultado que se obtenga. Como re-

FIGURA 1-1Modelacin matemtica de problemas fsicos.

FIGURA 1-2Cada libre de una roca desde un acantilado.

Identificarvariables

importantes Hacer suposiciones y aproximaciones

razonables

Utilizarla tcnica

de resolucinadecuada

Aplicarlas leyes fsicas

pertinentes

Aplicar condicionesen la fronteray condiciones

iniciales

Problema fsico

Una ecuacin diferencial

Solucin del problema

Suelo

m

h

m

3CAPTULO 1

cordar, en fsica, la cada libre de un cuerpo est regida por la ley de gravedad, y el tiempo de cada se determina como Dt 5 @K J2 , donde h es la distancia vertical y g es la aceleracin gravitacional local. Si se trata de problemas prcticos importantes se pueden obtener resultados muy exactos al usar un modelo matemtico adecuado y realista; por ejemplo, al analizar la respuesta a la temperatura de una papa en un horno tratndola como si tuviera las mismas propiedades trmicas del agua (igura 1-3). La preparacin de tales modelos exige un conocimiento adecuado de los fenmenos naturales involucrados y las leyes pertinentes, as como tener un razonamiento correcto. Es obvio que un modelo no realista dar resultados inexactos y, por tanto, inaceptables. Es frecuente que un analista necesite decidir entre un modelo muy exacto (pero complejo) y uno sencillo (pero no tan exacto). La seleccin correcta es el modelo ms simple depende de la situacin real. La eleccin correcta usualmente es el mo-delo que produzca resultados adecuados. No es difcil preparar modelos sumamente exactos y complejos. Sin embargo, tales modelos no son tan tiles para un analista si son demasiado difciles de resolver. Al menos, el modelo matemtico debe rele-jar la caracterstica esencial del problema fsico que representa. Dicho proceso de cada libre se formula considerando solamente el efecto de la gravedad, sin tener en cuenta la resistencia del aire y la variacin de la aceleracin gravitacional g con la altura. Estas simpliicaciones son muy razonables para la mayora de objetos que caen, y nos permiten obtener una solucin muy sencilla del problema; sin embargo, es obvio que dichas simpliicaciones son inaceptables para objetos que caen cuando experimentan una gran resistencia del aire (por ejemplo, un paracadas). Hay muchos problemas importantes reales que pueden analizarse mediante un modelo matemtico sencillo. Se debe recordar que los resultados obtenidos de un anlisis matemtico no son ms exactos que las suposiciones hechas al simpliicar el problema; por tanto, la solucin obtenida no debe aplicarse a situaciones para las cuales no sean vlidas las suposiciones originales. Una solucin incongruente con la naturaleza observada del problema indica que el modelo matemtico empleado es demasiado burdo. En ese caso, se debe preparar un modelo ms realista mediante la eliminacin de una o ms de las suposiciones cuestionables. Esto dar por resultado una ecuacin con mayor grado de compleji-dad que, por supuesto, ser ms difcil de resolver. Por tanto, cualquier solucin de una ecuacin diferencial debe interpretarse dentro del contexto en que surgi dicha ecuacin.

Repaso de la seccinLos problemas marcados con una C son conceptuales para anlisis1-1C Por qu usamos a menudo ecuaciones diferenciales en vez de ecuaciones algebrai-

cas para modelar problemas importantes reales?

1-2C Describa lo que implica la preparacin de modelos matemticos prcticos para pro-blemas reales.

1-2 j CMO SURGEN LAS ECUACIONES DIFERENCIALES?

Como se mencion antes, las ecuaciones diferenciales surgen al aplicar las leyes y los principios fsicos pertinentes a un problema, mediante la consideracin de cam-bios ininitesimales en las variables de inters. Por tanto, para obtener la ecuacin diferencial rectora para un problema especico se necesita tener un conocimiento adecuado de la naturaleza del problema, las variables que participan, las suposicio-

FIGURA 1-3La modelacin es una poderosa herramienta que proporciona comprensin y simplicidad a costa de perder algo de exactitud.

Horno

Papa

Ideal Real

175C

Agua

4INTRODUCCIN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES nes simpliicadoras adecuadas y tanto las leyes como los principios fsicos aplica-

bles, y hacer un anlisis cuidadoso. Aqu se ilustran algunos ejemplos del procedi-miento para obtener ecuaciones diferenciales en ciertas reas.

EJEMPLO 1-1 Segunda ley del movimiento de Newton

Mediante la segunda ley del movimiento de Newton, obtenga una ecuacin di-ferencial que describe la posicin s de una masa m a lo largo de una lnea recta inuida por una fuerza F que acta en la direccin del movimiento.

Solucin La segunda ley de Newton es una relacin entre cantidades que tie-nen tanto magnitud como direccin y, por tanto, se expresa correctamente en forma vectorial. Sin embargo, cuando hablamos de movimiento en lnea recta en la direccin de la fuerza, como se muestra en la gura 1-4, podemos ex-presarlo en forma escalar usando slo magnitudes, pues la direccin ya est especicada. En este caso, las cantidades en direcciones opuestas se indican mediante signos contrarios.

Recordemos que la velocidad V y la aceleracin a se denen como

Vdsdt

y adVdt

ddt

a dsdt

b d 2sdt2

Entonces, la ecuacin diferencial para la distancia s recorrida se obtiene me-diante la segunda ley de Newton, que es: fuerza 5 masa 3 aceleracin, o

F(t ) ma(t ) m d2s

dt2 (1-1)

Reacomodando se obtiene

d 2sdt 2

F(t )m

(1-2)

que es la ecuacin diferencial deseada. Observe que, por simplicidad, a veces omitimos la notacin que indica explcitamente la dependencia de una funcin incgnita o desconocida con respecto a la variable independiente y escribimos F en vez de F (t ).

Aqu, F (t ) es una funcin dada que describe la variacin de la fuerza con el tiempo.

Como caso especial, considere la cada libre de un cuerpo bajo la inuencia de la gravedad. Sin tener en cuenta la resistencia del aire, la nica fuerza que acta en el cuerpo es la fuerza de gravedad. Tomando la direccin vertical as-cendente como la direccin positiva z, la fuerza gravitacional puede expresarse como F 5 2mg, donde g es la aceleracin gravitacional local que acta hacia abajo (en la direccin z negativa). Entonces, reemplazando z por s y F (t ) por 2mg en la ecuacin 1-2, y simplicando, obtenemos

d 2zdt 2

mg (1-3)

donde z es la distancia vertical desde un nivel de referencia como el suelo. La cada libre de un cuerpo con resistencia del aire se considera en el captulo 2.

EJEMPLO 1-2 Ley de enfriamiento de Newton

Considere una bola pequea de cobre macizo de masa m y radio R, que inicial-mente est a una temperatura de Ti 5 20C. La bola se deja caer en un recipien-te grande, lleno de agua caliente a T0 5 70C, como se muestra en la gura 1-5.

j j j j j j j

j j j j j j j

FIGURA 1-4Esquema para el ejemplo 1-1.

FIGURA 1-5Esquema para el ejemplo 1-2.

F

O s

m

CobreTi

T0 = Constante del agua

Calor

5CAPTULO 1

Como es de esperar, el calor del agua se transere a la bola y la temperatura de sta comienza a elevarse. Se sabe que el calor especco del cobre cerca de la temperatura ambiente interior es c 5 0.39 kJykgC. Es decir, se necesitan 0.39 kJ de energa para elevar 1C la temperatura de 1 kg de cobre. Tambin se sabe que el coeciente de transferencia de calor durante este proceso esh 5 0.02 kWyC 3 m2. Es decir, se transeren 0.02 kJ de calor al cobre por unidad de tiempo por unidad de supercie de la bola y por unidad de diferencia de temperatura entre el agua y la bola. Obtenga una ecuacin diferencial que rija la variacin de la temperatura de la bola en el tiempo t.

Solucin En general, la temperatura de un cuerpo vara con la ubicacin dentro de ste, as como con el tiempo. Pero para objetos metlicos pequeos como el de este caso, la variacin de temperatura con la ubicacin es muy pequea y puede no tomarse en cuenta. En otras palabras, puede suponerse que la tempe-ratura del objeto es la misma en cada punto en un tiempo dado. As, es posible considerar la temperatura de la bola solamente como funcin del tiempo. Obser-ve que esta suposicin no es realista para objetos grandes, en especial cuando estn hechos de materiales que conducen el calor de manera deciente. Sabemos por experiencia que cuando un objeto fro se deja en un ambiente ms tibio aumenta su temperatura de forma gradual y nalmente llega a la del ambiente; por tanto, en cualquier tiempo t, sta estar comprendida entre 20 y 70C, pero no sabemos exactamente en qu valor. La prediccin exacta de la temperatura de la bola, digamos en t 5 30 s necesita la formulacin exacta del problema, la cual se obtiene aplicando la ley de enfriamiento de Newton y el principio de conservacin de la energa.

La ley de enfriamiento de Newton se expresa como

Q 5 hA(T0 2 T ) (1-4)donde

Q 5 rapidez de transferencia de calor a la bola en el tiempo t, A 5 rea supercial de la bola, A 5 4pR2

h 5 coeciente de transferencia de calor entre la bola y el ambiente, T 5 temperatura de la bola en el tiempo t,T0 5 temperatura del ambiente.

El principio de conservacin de la energa establece que la energa no se crea ni se destruye; por tanto, el aumento en el contenido de energa de la bola debe ser igual a la cantidad total del calor que se le transere. Durante un intervalo de tiempo Dt, la temperatura de la bola se elevar en la cantidad DT, donde m es la masa de la bola y c es su calor especco. El calor total transferido a la bola durante Dt es simplemente QDt, ya que Q es la rapidez de transferencia de calor (es decir, calor transferido por unidad de tiempo). As,

Aumento en elcontenido de energa de la bola durante Dt

Transferenciatotal de calor

a la bola durante Dt

o mcDT 5 hA(T0 2 T )Dt. Dividiendo entre Dt, obtenemos

DTDt

hAmc

(T0 T )

Al tomar el lmite como Dt S 0, se obtiene

dTdt

hAmc

(T0 T ) (1-5)

sta es la ecuacin diferencial deseada, ya que describe la variacin de la temperatura con el tiempo. La solucin de tal ecuacin diferencial dar una


funcin para la temperatura de la bola en trminos del tiempo. Esto se resol-ver en el captulo 2. Es importante observar que las ecuaciones diferenciales describen fen-menos fsicos en un intervalo concreto de las variables independientes. As, la solucin de una ecuacin diferencial solo es aplicable dentro de ese intervalo. Por ejemplo, en la ecuacin 1-5 se describe la variacin de la temperatura con respecto al tiempo, solo dentro de la bola de cobre. Por tanto, la solucin que se obtiene para T (t ) se limita al interior de la bola de cobre y no puede usarse para determinar la temperatura en un punto externo. Asimismo, la ecuacin diferencial describe el proceso que comienza cuando la bola se deja caer al agua (t 5 0) y, por tanto, la solucin es aplicable en el intervalo 0 # t , q. La solucin no puede usarse para predecir la temperatura antes de soltar la bola en el agua.

EJEMPLO 1-3 Inters compuesto continuamente

Una persona deposita un monto de dinero A en un banco a una tasa de inters anual de r. Suponiendo que la composicin es instantnea, obtenga una ecua-cin diferencial que rija la variacin de la cantidad de dinero A en el banco con respecto al tiempo t.

Solucin Para colocar las bases para deducir la ecuacin, considere que una persona deposita A0 5 $100 en un banco a una tasa de inters anual de 4%, de modo que r 5 0.04. Suponiendo una composicin anual, el dinero aumentar en $4 durante ese periodo. Si la persona deposita $200 en vez de $100, el dine-ro aumentar en $8. Si deposita el dinero durante dos aos a tasa compuesta cada dos aos, el aumento en el dinero sera nuevamente doble. Por tanto, concluimos que el aumento en el monto que est en el banco al nal del periodo de composicin es proporcional a la cantidad de dinero A y al periodo de composicin en aos. La constante de proporcionalidad es la tasa anual de inters r. Por tanto, DA 5 rADt.

o DADt

rA

Tomando el lmite Dt S 0, obtenemos la ecuacin diferencial que describe el cambio en la cantidad de dinero en el banco con respecto al tiempo como resultado del inters compuesto continuamente:

dAdt

rA (1-6)

Aqu, r es la tasa de inters anual expresada como nmero decimal, y t es el tiempo en aos. Como ver en el captulo 2, la solucin de esta ecuacin dife-rencial es A A0 ert (1-7)

donde A0 es la cantidad depositada en el tiempo t 5 0.

EJEMPLO 1-4 Ley de absorcin de Lambert

Se sabe que cuando la luz o cualquier otra radiacin pasa a travs de un me-dio, parte de ella es absorbida por ste. Cuanto ms lejos viaja la luz en el medio, ms de ella se absorbe. Llamando E a la energa radiante de un rayo de luz, obtenga la ecuacin diferencial que describa el debilitamiento de la luz con la distancia s.

j j j j j j j j

j j j j j j j j j

7CAPTULO 1

Solucin Se observa que cuando la luz o cualquier otra radiacin pasa a travs de un medio homogneo, se absorbe una fraccin constante de la radiacin por unidad de longitud en la direccin de la propagacin, como se ilustra en la gura 1-6 para la luz que penetra en un lago. ste es otro modo de decir que la absorcin de la radiacin por unidad de longitud es proporcional a la magnitud de la radiacin. As, siguiendo el razonamiento en el ejemplo 1-3, la ecuacin diferencial que rige el proceso de absorcin puede expresarse como

dEds

aE (1-8)

donde a es la fraccin de radiacin absorbida por unidad de longitud, deno-minada coeciente de absorcin y tiene la unidad metro21. La variable inde-pendiente s es la distancia en la direccin de propagacin, y E es la energa radiante del rayo en cuestin. Por analoga con el ejemplo 1-3, la solucin de esta ecuacin diferencial es E E0 e as (1-9)

donde E0 es la energa radiante del rayo en s 5 0. Los detalles de la solucin se presentarn en el captulo 2.

EJEMPLO 1-5 Una reaccin qumica

Los qumicos y los ingenieros deben ser capaces de predecir los cambios en la concentracin qumica de una reaccin. Un modelo que se usa para muchos procesos de un solo reactivo es:

Rapidez de cambio de la concentracin qumica 5 dCdt

kC n

donde C es la concentracin qumica y k es la constante de rapidez. El orden de la reaccin es el valor del exponente n. Los siguientes datos describen la reaccin de primer orden que combina bromuro de terbutilo y agua para produ-cir alcohol tert-butlico y bromuro de hidrgeno:

(CH3 ) 3CBr H2O S (CH3 ) 3COH HBrPor datos experimentales, el valor de k se estim como k 5 0.0537yh. Determi-ne la concentracin despus de 2 h si C(0) 5 0.1 molyL.

Solucin Usando n 5 1 y k 5 0.0537 en la ecuacin diferencial, tenemos

dCdt

0.0537C

Esta ecuacin tiene la misma forma que la ecuacin (1-8) y, por analoga, po-demos deducir que la solucin es C(t) 5 C(0) e2kt o C(t) 5 0.1 e20.0537t.

Sustituyendo t 5 2 h en esta ecuacin obtenemos C(2) 5 0.1 e2(0.0537)2 5 0.0892 molyL.

EJEMPLO 1-6 Un circuito RC

En la gura 1-7 se muestra un circuito con una resistencia y un capacitor. El voltaje de batera V es constante y el capacitor est inicialmente descargado. Al inicio, el interruptor est cerrado en el punto B. En t 5 0, el interruptor se mueve repentinamente del punto B al punto A. Obtenga el modelo de ecuacin diferencial para el voltaje del capacitor v1 en funcin del tiempo.

j j j j j j j j

j j j j j j j j j

FIGURA 1-6La absorcin de radiacin de luz al propagarse a travs de un lago.

FIGURA 1-7Un circuito RC con un voltaje de batera.

1m 10Lago

9

8.1

2m

3m

s

72.9

81

0

90a = 0.1

100 unidades

Rayo deradiacin

BVi

v1C

RA

+


Solucin La relacin voltaje-corriente para un capacitor establece que el vol-taje v1(t) es la integral en el tiempo de la corriente i(t) dividida entre la capaci-tancia C, ms el voltaje inicial, que en este caso es cero. Entonces,

v1(t )1C

t

0i(t )dt

Tomando la derivada de ambos lados obtenemos

dv1dt

1C

i

Por la relacin voltaje-corriente de la resistencia, obtenemos

iV v1

R

Al sustituir esto en la primera ecuacin y al reacomodarla se obtiene

RCdv1dt

v1 V (1-10)

Esta es una ecuacin diferencial ordinaria lineal de primer orden cuya solucin puede hallarse usando los mtodos del captulo 2.

EJEMPLO 1-7 Flujo a travs de un oricio

En la gura 1-8 se muestra un contenedor de lquido con lados verticales y un rea inferior A. El lquido se alimenta por la parte superior con un ujo volu-mtrico qvi. Accidentalmente se perfora un agujero en la pared del tanque, y el lquido se derrama por ste. Obtenga el modelo de ecuacin diferencial de la altura de lquido h.

Solucin Alrededor de 1640, Torricelli descubri que el ujo a travs de un oricio es proporcional a la raz cuadrada de la diferencia de presiones. Median-te el principio de conservacin de la masa con una densidad de masa lquida r, vemos que la rapidez de cambio de la masa lquida en el tanque, rAh1, debe ser igual a la diferencia entre el ujo msico de entrada qmi y el ujo msico de salida qmo. Es decir,

d(rAh1 )dt

qmi qmo

Observe que qmi 5 rqvi y h1 5 h 1 L de modo que dh1ydt 5 dhydt. Por tanto,

rAdhdt

rqvi qmo

Como la presin atmosfrica pa rodea el tanque, la cada de presin a travs del oricio es rgh, y entonces, por el principio de Torricelli, tenemos

qmo k1rghdonde k es una constante de proporcionalidad. Por tanto, el modelo es

rAdhdt

rqvi k1rgh (1-11)Como ver ms adelante en este captulo, sta se llama ecuacin no lineal por-que la variable dependiente h aparece dentro de la raz cuadrada. Su solucin se explica en la seccin 1-6.

j j j j j j j j j

FIGURA 1-8Un contenedor de lquido con un oriicio.

h1

ra

qvi

h

LA

9CAPTULO 1

Repaso de seccin1-3C Qu necesitamos saber para obtener una ecuacin diferencial precisa para un pro-

blema dado?

1-4C Por qu a menudo debemos usar suposiciones simpliicadoras cuando deducimos ecuaciones diferenciales?

1-5 Imagine que un paracadas cae en el aire a una velocidad constante de V0. Mediante la segunda ley del movimiento de Newton, obtenga una ecuacin diferencial que describa la posicin z del paracadas relativa al nivel del suelo en funcin del tiempo. Considere la direccin ascendente como positiva.

(Respuesta: d2Z

dt2 5 z0 5 0 con una condicin inicial de z9(0) 5 V(0) 5 2V0).

1-6 Una persona deposita una cantidad A en un banco con una tasa anual r compuesta de forma continua y, al mismo tiempo, retira dinero de la cuenta a una tasa constante a. Obtenga una ecuacin diferencial que describa la cantidad de dinero A(t) que est en el banco como una funcin del tiempo.

(Respuesta: dAdt 5 rA 2 a).

1-3 j BREVE REPASO DE CONCEPTOS BSICOS*El estudio de las ecuaciones diferenciales exige una buena comprensin de los con-ceptos fundamentales del clculo; en esta seccin repasaremos algunos de esos conceptos al grado necesario. Usted puede consultar cualquier libro de clculo para obtener explicaciones exhaustivas.

Variables dependientes e independientesEn general, una ecuacin puede tener una o ms variables. Como el nombre lo in-dica, una variable es una cantidad que puede tomar distintos valores durante un es-tudio. Una cantidad cuyo valor permanece ijo durante un anlisis recibe el nombre de constante; usualmente stas se representan con las primeras letras del alfabeto, como a, b, c y d, y las variables se representan con las ltimas letras, como t, x, y o z. Una variable cuyo valor puede cambiarse arbitrariamente se llama variable independiente o argumento; pero si su valor depende del de otras variables y, por tanto, no puede cambiarse de manera independiente se llama variable dependiente o funcin (igura 1-9). Una variable dependiente y que depende de una variable x, usualmente se es-cribe como y(x) para mayor claridad. Sin embargo, esta notacin se vuelve muy incmoda y estorbosa cuando y se repite varias veces en una misma expresin. En tales casos es deseable representar y(x) simplemente como y cuando es claro que y es funcin de x. Esta simpliicacin en la notacin mejora el aspecto y la legibilidad de las ecuaciones. El valor de y en un nmero ijo a se representa por y(a). Durante un estudio, usualmente restringimos el dominio de una variable para que solo tome valores que estn comprendidos entre dos nmeros concretos. El conjunto de valores que una variable puede tomar entre dos nmeros especicos constituye el intervalo de dicha variable. Un intervalo consiste en un conjunto de nmeros mayores que un nmero especiicado y menores que otro. Se dice que un intervalo es cerrado si incluye los nmeros terminales o extremos; de otro modo, se dice que es abierto. Por ejemplo, si limitamos el radio r en la ecuacin P 5 2pr para que tome valores comprendidos entre r1 5 3 y r2 5 7.5, incluyendo los n-meros de los extremos, decimos que el intervalo de r es de 3 a 7.5 y lo expresamos

* Esta seccin se incluye como recordatorio para los estudiantes. Puede omitirse sin perder la continuidad.

FIGURA 1-9El valor de una variable dependiente depende del valor de la variable independiente.

Funcin y (x) 5 x2 1 1

Variableindependiente

x

Variabledependiente

y

122.58

257.25

65

10

INTRODUCCIN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES como 3 # r # 7.5; el cual es un intervalo cerrado, ya que incluye los nmeros

extremos del intervalo.

Funciones continuas y discontinuasAl estudiar y caracterizar funciones, un concepto de gran importancia es la conti-nuidad. Se dice que una funcin y es continua en un nmero a si: 1) la funcin est deinida en ese nmero (es decir, y (a) tiene un valor inito), 2) el lmite lmxSa y (x) existe, y 3) este lmite es igual al valor de la funcin en a. Es decir, una funcin y es continua en a si

lmxSa

y(x ) y(a ) (1-12)

Si una funcin no es continua en a, entonces se dice que es discontinua en a o que tiene una discontinuidad en a. Se dice que una funcin es continua en un intervalo cerrado si es continua en cada nmero de ese intervalo. Se dice que una funcin es discontinua en un intervalo cerrado aun cuando sea discontinua en un solo nmero dentro de ese intervalo. Es posible imaginar las funciones continuas como funciones que pueden grai-carse sin levantar el lpiz del papel. Las funciones discontinuas usualmente tienen saltos repentinos, o tienden al ininito en algn nmero dentro del intervalo. En la igura 1-10 se muestra la grica de una funcin que es discontinua en tres puntos a, b y c. Observe que esta funcin es continua en cualquier intervalo que carezca de estos tres nmeros.

Derivadas y diferencialesExplicaremos brevemente las derivadas y las diferenciales, ya que son fundamenta-les para las ecuaciones diferenciales. La derivada de una funcin y (x) en un punto es equivalente a la pendiente de la recta tangente a la grica de la funcin en ese punto, y se deine como (igura 1-11).

y (x ) lmxS0

y(x Dx ) y(x )Dx

(1-13)

Se dice que una funcin es diferenciable en x si existe este lmite y que una funcin es diferenciable en un intervalo cerrado si es diferenciable en cada nmero dentro de tal intervalo. Que una funcin sea continua no es ninguna garanta de su diferencia-bilidad. Una funcin no es diferenciable cuando experimenta un cambio repentino en su pendiente (una esquina). Por ejemplo, la funcin graicada en la igura 1-12 no es diferenciable en a, ya que su pendiente en a cuando nos acercamos a sta desde la izquierda, es diferente de su pendiente en a cuando nos acercamos a ella desde la derecha. En la deinicin dada, Dx representa un cambio (pequeo) en la variable inde-pendiente x, y se llama incremento de x. El cambio correspondiente en la funcin y se llama incremento de y, y se representa como Dy. Esto se expresa como

Dy 5 y (x 1 Dx) 2 y (x) (1-14)

Mediante la notacin de incrementos, la derivada de una funcin tambin puede expresarse como

y (x ) lmxS0

y(x Dx ) y(x )Dx

lmxS0

DyDx

(1-15)

Por tanto, la derivada de una funcin puede visualizarse como la razn del in-cremento Dy con respecto del incremento Dx de la variable independiente para Dx

FIGURA 1-10Una funcin que tiene discontinuidades en a, b y c.

FIGURA 1-11La derivada de una funcin en un punto especico representa la pendiente de la funcin en dicho punto.

FIGURA 1-12Una funcin que tiene dos pendientes en un punto no es diferenciable (no tiene derivada) en ese punto.

y

xcba

y

y (x)

y (x)

y (x + Dx)

xx

Lneatangente

x + Dx

Dx

Dy

y

y (x)

xa

La pendientede y al acercarse

a a desdela izquierda

La pendiente de y al acercarse

a a desde la derecha

11

CAPTULO 1

muy pequeo. Observe que Dy (y por tanto y9(x)) ser cero si la funcin no cambia con x. El incremento Dx de la variable independiente x tambin se representa como dx, y se llama diferencial de la variable independiente. Entonces, la diferencial dy de la variable dependiente se deine como

dy y(x ) x y(x )dx (1-16)Observe que el incremento Dx y la diferencial dx de la variable independiente x son idnticos. Pero ste no es el caso para la variable dependiente y, a menos que sea una funcin lineal de x (es decir, una lnea recta). El incremento Dy representa el cambio real en la funcin y correspondiente a un cambio Dx en x; mientras que la diferencial dy constituye la cantidad en que se eleva la recta tangente (o disminuye si dy es negativo) cuando x cambia de x a x 1 Dx, como se ilustra en la igura 1-13. Asimismo, observe que cuando Dx es pequeo, entonces Dy < dy, y dy puede usar-se como aproximacin al cambio exacto Dy. Esta observacin es la base del popular mtodo numrico para resolver ecuaciones diferenciales conocido como mtodo de diferencias nitas. La experiencia demuestra que, con algo de cuidado, se pueden obtener resultados muy precisos de esta manera. Para dx Z 0, la ecuacin 1-16 puede reescribirse como

y(x ) dydx

(1-17)

que es otra notacin que se usa comnmente para la derivada en trminos de dife-renciales. Esta notacin se le debe a Leibniz, quien la usaba en su trabajo a inales del siglo xvii. Al derivar una funcin complicada como

y(x ) (2x2 3x ) 3 5 (1-18)es muy conveniente deinir una nueva variable como u 5 2x2 2 3x, de modo que y 5 y (u) o y 5 y [u (x)]. La derivada de una funcin compuesta como sta se de-termina fcilmente aplicando la regla de la cadena, que se expresa as: si y 5 y (u) y u 5 u (x) y existen tanto dyydu como duydx, entonces la derivada de la funcin compuesta y con respecto a x est dada por

dydx

dydu

dudx

(1-19)

En nuestro caso, y 5 u3 1 5 y u 5 2x2 2 3x, de tal forma que al aplicar de la regla de la cadena resulta en (igura 1-14)

dydx

dydu

dudx

(3u2 ) (4x 3) 3(2x2 3x ) 2(4x 3) (1-20)

La mayora de los problemas reales tienen cantidades que cambian con el tiempo t, y sus primeras derivadas con respecto al tiempo representan la rapidez de cambio de dichas cantidades. Por ejemplo, si N(t) representa la poblacin de una colonia bacteriana en un tiempo especico, entonces la primera derivada N9 5 dNydt re-presenta la rapidez de cambio de la poblacin, o sea, la cantidad en que aumenta o disminuye la poblacin por unidad de tiempo. Si la derivada de la primera derivada de una funcin y existe, se llama segunda derivada de y, y se representa as: y0. De modo similar, la derivada de la segunda derivada de y se llama tercera derivada de y, y se representa como y-. En general, la derivada de la (n 2 1)sima derivada de y se llama n-sima derivada de y, y se representa como y(n). Las derivadas de orden ms alto tambin se representan usan-do la notacin diferencial

FIGURA 1-14Una manera de encontrar la derivada de una funcin y que depende de u y que, a la vez, depende de x aplicando la regla de la cadena.

FIGURA 1-13Representacin grica del incremento Dy y la diferencial dy de una funcin y(x).

Solucin:

Encuentre:

y = u3 + 5 y u = 2x2 3x

= ?dydx

Dado:

=

= (3u2) (4x 3)= 3(2x2 3x)2 (4x 3)

dydx

dydu

dudx

y

dx = x

xx x + x

ydy

y (x)

12

INTRODUCCIN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

yd 2ydx2

,

yd3ydx3

,p

, y(n)dnydxn

(1-21)

Aqu, n es un nmero entero positivo y se llama orden de la derivada. El orden n no debe confundirse con el grado de una derivada. Por ejemplo, y- es la derivada de tercer orden de y, pero (y9)3 es el tercer grado de la primera derivada de y. El orden de una derivada se indicar con nmeros romanos, como yIV, o por un superndice encerrado entre parntesis, como y9, y0, y(n22) y y(n). Observe que la primera derivada de una funcin representa la pendiente o la rapidez de cambio de la funcin con respecto a la variable independiente, y la segunda derivada representa la rapidez de cambio de la pendiente de la funcin con respecto a la variable independiente. Cuando una funcin y depende de dos o ms variables independientes (como x y t), algunas veces conviene examinar la dependencia de la funcin respecto a una sola de las variables. Esto se hace tomando la derivada de la funcin con respecto a esa variable mientras las otras variables se mantienen constantes. Tales derivadas se llaman derivadas parciales. Las primeras derivadas parciales de la funcin y (x, t) respecto a x y t se representan como yx y yt, respectivamente, y se deinen como

yx(x, t ) lmxS0

y(x Dx, t ) y(x, t )Dx

'y'x

(1-22)

y yt(x, t ) lmtS0

y(x, t Dt ) y(x, t )Dt

'y't

(1-23)

siempre y cuando existan los lmites. Observe que, al buscar yx, tratamos a x como constante y diferenciamos y con respecto a x. Del mismo modo, al buscar yt, trata-mos t como constante y diferenciamos y con respecto a t. En este caso, la diferencial dy de la variable dependiente y (x,t) se deine como

dy yx dx yt dt'y'x

dx'y't

dt (1-24)

donde dx y dt son las respectivas diferenciales de las variables independientes x y t, (igura 1-15). En este texto, usualmente consideraremos funciones que solo dependen de una variable y, por tanto, trataremos principalmente con derivadas ordinarias.

IntegracinLa integracin puede considerarse como el proceso inverso de la derivacin (igura 1-16). La integracin se usa comnmente para resolver ecuaciones diferenciales, ya que solucionar una ecuacin diferencial es esencialmente el proceso de encontrar y9(x)dx cuando la derivada y9(x) es dada. La integral de esta derivada se expresa como

y(x )dx

dy y(x ) C (1-25)

ya que y9(x) dx 5 dy (ecuacin 1-16) y la integral de la diferencial de esta funcin es simplemente la funcin misma (ms una constante, por supuesto). En la ecua-cin 1-25, x es la variable de integracin y C es una constante arbitraria llamada constante de integracin. La derivada de y (x) 1 C es y9(x) sin importar cul sea el valor de la constante C. Por tanto, dos funciones que diieren por una constante tienen la misma deriva-da, y siempre agregamos una constante C durante la integracin para recuperar la

FIGURA 1-15Representacin grica de la derivada parcial (0yy0x).

FIGURA 1-16La derivacin y la integracin son procesos inversos, esta ltima puede veriicarse derivando la integral.

= 6x + 2 = y

y = 6x + 2

ydx = 3x2 + 2x + CI =

dIdx

Derivada de la integral:

Integral de la funcin:

Funcin dada:

E

y

t

t

x

'y'x( (

13

CAPTULO 1

constante que se pierde en la derivacin. La integral en la ecuacin 1-25 se llama integral indeinida, ya que el valor de la constante arbitraria C es indeinido. La integral en la ecuacin 1-25 puede extenderse a derivadas de orden superior (igura 1-17). Por ejemplo,

y(x )dx y(x ) C (1-26)

Esto puede comprobarse deiniendo una nueva variable u (x) 5 y9(x), derivndola para obtener u9(x) 5 y0(x) y luego aplicando la ecuacin 1-25. Generalizando,

y(n)(x )dx y(n 1)(x ) C (1-27)

Por tanto, el orden de una derivada disminuye en uno cada vez que se integra. En esta seccin hemos repasado brevemente algunos conceptos importantes de clculo para asentar las bases para las ecuaciones diferenciales. Se le invita a leer ms por su cuenta para tener una mayor comprensin de estos conceptos y as dominarlos. La experiencia del autor es que la mayora de las diicultades que los estudiantes encuentran al estudiar las ecuaciones diferenciales se deben a una for-macin deiciente en clculo. Por ejemplo, la ecuacin

xdxx2

2C (1-28)

es correcta, al igual que la siguiente ecuacin para una funcin y(x):

ydyy2

2C (1-29)

Pero la ecuacin

ydxy2

2C (1-30)

NO es correcta. Si lo fuera, no necesitaramos ninguna tabla de integrales. Sim-plemente tomaramos el cuadrado de la funcin dada, lo dividiramos entre dos y le agregaramos una constante arbitraria para obtener su integral. Sin embargo, muchos estudiantes no comprenden esto antes de cometer algunos errores graves.

Repaso de la seccin1-7C Qu es una variable? Cmo se distingue una variable dependiente de una indepen-

diente en un problema?

1-8C Cmo se identiican las funciones discontinuas?

1-9C Cul es la diferencia entre derivadas parciales y derivadas ordinarias?

1-10C Cul es la diferencia entre el grado y el orden de una derivada?

1-11C Examine una funcin f (x) y su derivada dfydx. Esta derivada puede determinarse al evaluar dxydf y tomar su valor inverso?

1-12 Determine los intervalos en los que las siguientes funciones son continuas:

a) x 2 b) (x 1) ln x

c) 1x

d) ex

x2 1

(Respuestas: a) continua para todas las x, b) continua para todas las x positivas, c) continua para todas las x salvo x 5 0, d) continua para todas las x salvo x 5 61).

FIGURA 1-17Algunas integrales indeinidas que incluyen diferenciales y derivadas.

dy = y + C#

ydx = y + C#

ydx = y + C#

ydx = y + C#

y(n)dx = y(n1) + C#

14

INTRODUCCIN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 1-13 Determine la derivada de las siguientes funciones:

a) x ln 2x b) e 3x sen x

c) (x2 1) 3eln x d) sen2(x1x)(Respuestas: a) ln(2x) 1 1, b) 2e23x(3 sen x 2 cos x), c) (x2 2 1)2(7x2 2 1),

d ) 31x

2sen(2x1x )).

1-14 Realice las siguientes integraciones:

a) 3x2 e 3x sen 5x 4dxb)

5

1

ln 3x5x

dx

(Respuestas: a) x3

3e 3x

3cos 5x

5 C, b) 4 ln 3 2 4 1 10 ln 5).

1-4 j CLASIFICACIN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Una ecuacin diferencial que solo contenga derivadas ordinarias de una o ms variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se llama ecuacin diferencial ordinaria, y una ecuacin diferencial que incluye derivadas parciales con respecto a dos o ms variables independientes se llama ecuacin diferencial parcial (igura 1-18). En consecuencia, los problemas que incluyen una sola variable independiente resultan en ecuaciones diferenciales ordinarias; y los problemas que incluyen dos o ms variables independientes, dan por resultado ecuaciones diferenciales parciales. Como en este texto limitaremos nuestras ex-plicaciones a ecuaciones diferenciales ordinarias, los problemas que intentaremos resolver estn automticamente limitados a ecuaciones como

y 3x2y 4y xex 2 (1-31)

que incluye una sola variable independiente. Aqu y es la variable dependiente (la funcin incgnita), y x es la variable independiente. Una ecuacin diferencial puede incluir distintas derivadas de varios rdenes de una funcin incgnita. El orden de la derivada ms alta en una ecuacin diferencial es el orden de la ecuacin. Por ejemplo, el orden de y- 1 ( y0)6 5 4x5 es 3, ya que no contiene derivadas de cuarto orden o de orden superior. Se dice que una ecuacin diferencial est en forma estndar o normalizada si el coeiciente de su derivada de orden superior es 1. Por ejemplo, la ecuacin dife-rencial en la ecuacin 1-31 est en forma estndar, ya que el coeiciente de y- (que es la derivada de orden ms alto en esa ecuacin) es 1. Una ecuacin diferencial puede ponerse en forma estndar dividiendo la ecuacin entre el coeiciente de la derivada de orden ms alto. Usted recordar, por lgebra, que la ecuacin 3x 2 5 5 0 es mucho ms fcil de resolver que la ecuacin x4 1 3x 2 5 5 0, porque la primera es lineal y la segunda no lo es. Esto tambin aplica en las ecuaciones diferenciales. Por tanto, antes de comenzar a resolver una ecuacin diferencial, usualmente veriicamos primero la linealidad. Se dice que una ecuacin diferencial es lineal si la variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado y sus coeicientes solo dependen de la va-riable independiente. En otras palabras, una ecuacin diferencial es lineal si puede escribirse en una forma que no incluya lo siguiente:

FIGURA 1-18Una ecuacin diferencial ordinaria y una parcial.

b) Una ecuacin diferencial parcial:

= 2x2 + 6

a) Una ecuacin diferencial ordinaria:

2d2u

dx2dudx

= 2x2 + et 2'2v

'x2'v

't

15

CAPTULO 1

(1) Ninguna potencia de la variable dependiente ni de sus derivadas (tales como y3 o (y0)2).

(2) Ningn producto de la variable dependiente ni de sus derivadas (tales como yy9 o y9y-).

(3) Ninguna otra funcin no lineal de la variable dependiente (tales como sen y o ey)

De otra manera, es no lineal.

Una ecuacin diferencial lineal puede contener lo siguiente:

(1) Potencias o funciones no lineales de la variable independiente (tales como x2 y cos x).

(2) Productos de una variable dependiente (o de sus derivadas) y funciones de una variable independiente (tales como x3y9, x4y o e22x y0) (vea la igura 1-19).

As, vemos que el modelo de un circuito RC, como en la ecuacin (1-10), es lineal:

RCdv1dt

v1 V (1-10)

El modelo de la cafetera que escurre (ecuacin 1-11) es no lineal porque la variable dependiente h se eleva a la potencia 1y2 debido a que est dentro de la raz cuadrada.

rAdhdt

rqvi k2rgh (1-11)Una ecuacin diferencial lineal de orden n puede expresarse en la forma ms ge-neral como y (n) f1(x )y (n 1) p fn 1(x )y fn(x )y R(x ) (1-32)

Una ecuacin diferencial que no puede plantearse de esta forma es no lineal. Se dice que una ecuacin diferencial lineal en y tambin es homognea si R(x) 5 0 para todas las x que se consideran. De otra manera, es no homognea (igura 1-20). Es decir, cada trmino en una ecuacin homognea lineal contiene la varia-ble dependiente o una de sus derivadas despus de simpliicar todo factor comn de tal ecuacin. El trmino R(x) se conoce como trmino no homogneo. Una ecuacin lineal homognea de orden n puede expresarse en la forma general como y (n) f1(x )y(n 1) p fn 1(x )y fn(x )y 0 (1-33)El trmino homogneo tambin se usa con otro signiicado: para describir una clase especial de ecuacin diferencial de primer orden, lo cual se explica en el captulo 2.

EJEMPLO 1-8 Clasicacin de ecuaciones diferenciales

Determine el orden de las siete ecuaciones diferenciales siguientes e indique si son lineales o no. Tambin especique cules ecuaciones lineales son ho-mogneas.

1. y 3y 02. y 3y 2x 53. y 3yy 04. y 2 1y 2 2 3y 55. y 3x4y 06. y 3xy4 e 2x

7. y y sen y 0.2

FIGURA 1-19Una ecuacin diferencial que es a) no lineal y b) lineal. Al decidir sobre la linealidad, solo revisamos la variable dependiente.

FIGURA 1-20Una ecuacin diferencial no homognea y su ecuacin homognea relacionada.

3(y)2 4yy + e2xy = 6x2a) Una ecuacin no lineal:

3x2y 4xy + e2xy = 6x2b) Una ecuacin lineal:

Potencia ProductoOtra

funcinno lineal

b) Su ecuacin homognea relacionada:

a) Una ecuacin lineal no homognea:

y + 3y 8x2y = 0

No cero

Cero

y + 3y 8x2y = 6e2x 5

j j j j j j j j j

16


Solucin Al examinar cuidadosamente las ecuaciones anteriores, llegamos a la siguiente conclusin:

1. Segundo orden, lineal, homognea.2. Segundo orden, lineal, no homognea.3. Segundo orden, no lineal.4. Tercer orden, no lineal.5. Segundo orden, lineal, homognea.6. Segundo orden, no lineal.7. Tercer orden, no lineal.

Las ecuaciones diferenciales tambin se clasiican por la naturaleza de los coei-cientes de la variable dependiente y sus derivadas. Se dice que una ecuacin di-ferencial tiene coeicientes constantes si los coeicientes de todos los trminos que incluyen la variable dependiente o sus derivadas son constantes. Se dice que esa ecuacin tiene coeicientes variables (igura 1-21) si cualquiera de los trmi-nos con la variable dependiente o sus derivadas incluyen la variable independiente como coeiciente despus de despejar todos los factores comunes. Todas las ecua-ciones diferenciales del ejemplo 1-8 salvo la (5) y la (6) tienen coeicientes constantes. Las ecuaciones diferenciales ordinarias se caracterizan por tener una sola va-riable independiente. La mayora de las ecuaciones diferenciales que estudiaremos tendrn tambin una sola variable dependiente o funcin incgnita. Sin embargo, algunas veces hay dos o ms funciones incgnitas en dos o ms ecuaciones diferen-ciales acopladas. Tales ecuaciones se llaman sistemas de ecuaciones diferenciales y usualmente se resuelven usando lgebra lineal; por ejemplo,

z 2y 2z sen x 0y 3y 5z 0

es un sistema de dos ecuaciones diferenciales en dos funciones incgnitas, z y y, con x como variable independiente.

Repaso de la seccin1-15C Cul es la diferencia entre una ecuacin algebraica y una ecuacin diferencial?

1-16C Cul es la diferencia entre una ecuacin diferencial ordinaria y una ecuacin dife-rencial parcial?

1-17C Cmo se determina el orden de una ecuacin diferencial?

1-18C Cmo se distingue una ecuacin diferencial lineal de una no lineal?

1-19 Determine el orden de cada una de las ecuaciones diferenciales siguientes, ya sean lineales o no lineales, o que tengan coeicientes constantes o variables.

a) y 3y 8x b) y 3xyy 0

c) y x4y y 0 d) y 2exy 0

e) xy 2xyy 3xy 5x3

(Respuestas: a) tercer orden, lineal, coecientes constantes; b) segundo orden, no lineal, coecientes variables; c) segundo orden, lineal, coecientes variables; d ) se-gundo orden, lineal, coecientes variables; e) tercer orden, no lineal, coecientes variables).

FIGURA 1-21Una ecuacin diferencial con a) coeicien-tes constantes y b) coeicientes variables.

b) Con coeficientes variables:

a) Con coeficientes constantes:

y 6x2y y = xe2x

Variables

y + 6y 2y = xe2x

Constantes

2x 1

17

CAPTULO 1

1-5 j SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALESResolver una ecuacin diferencial puede ser tan simple como hacer una o ms in-tegraciones; pero las ecuaciones diferenciales sencillas son la excepcin ms que la regla. No hay un solo mtodo general de resolucin que sea aplicable a todas las ecuaciones diferenciales. Hay diferentes tcnicas de resolucin, y cada una aplica a distintas clases de ecuaciones diferenciales. A veces, para resolver una ecuacin diferencial es necesario usar dos o ms tcnicas, as como ingenio y dominio de los mtodos de resolucin. Algunas ecuaciones diferenciales pueden resolverse me-diante el uso de algunos trucos, mientras que otras simplemente no pueden solucio-narse en forma analtica. En lgebra, usualmente buscamos valores discretos que satisfagan una ecuacin algebraica (tal como x2 2 7x 1 10 5 0). Sin embargo, tratndose de ecuaciones diferenciales, buscamos funciones que satisfagan la ecuacin en un intervalo espe-ciicado. Por ejemplo, solo dos nmeros satisfacen la ecuacin algebraica x2 2 7x 1 10 5 0, los cuales son 2 y 5. Pero la funcin e7x satisface la ecuacin diferencial y9 2 7y 5 0 para cualquier valor de x (igura 1-22). Considere la ecuacin algebraica x3 2 6x2 1 11x 2 6 5 0. Obviamente, x = 1 satisface esta ecuacin y, por tanto, es su solucin. Sin embargo, no es la nica solu-cin a esta ecuacin. Por sustitucin directa podemos comprobar que x 5 2 y x 5 3 tambin satisfacen esta ecuacin; por tanto, tambin son soluciones, pero son las nicas para esta ecuacin. Por tanto, decimos que el conjunto 1, 2 y 3 forman el conjunto solucin de esta ecuacin algebraica. La misma lnea de razonamiento tambin se aplica a las ecuaciones diferen-ciales. Usualmente, las ecuaciones diferenciales tienen soluciones mltiples que contienen por lo menos una constante arbitraria. Cualquier funcin que satisfaga la ecuacin diferencial en un intervalo se llama solucin de esa ecuacin diferencial. Una solucin que incluya una o ms constantes arbitrarias representa una familia de funciones que satisfacen la ecuacin diferencial y se llama solucin general o solucin completa si cada solucin de la ecuacin puede obtenerse de ella como caso especial. Una solucin que puede conseguirse a partir de una solucin general mediante la asignacin de valores especicos a las constantes arbitrarias se llama solucin particular o solucin especica. Una solucin que no puede obtenerse a partir de la solucin general asignando valores especicos a las constantes arbitra-rias se llama solucin singular. En lgebra aprendimos que un nmero es una solucin de una ecuacin algebrai-ca si satisface la ecuacin. Por ejemplo, x1 5 2 es una solucin de la ecuacin x

3 2 8 5 0 porque al sustituir la x por 2, el resultado es idntico a cero. Del mismo modo, una funcin es una solucin de una ecuacin diferencial si dicha funcin satisface la ecuacin diferencial. En otras palabras, una funcin solucin da una identidad cuando se sustituye en una ecuacin diferencial.

EJEMPLO 1-9 Solucin de una ecuacin diferencial

Compruebe que y1 5 3e22x es una solucin de la ecuacin diferencial y0 2 4 y

5 0.

Solucin La funcin dada es una solucin de la ecuacin diferencial anterior si al restar 4 veces la funcin misma de su segunda derivada resulta cero. La primera y segunda derivadas de y1 5 3e

22x son y91 5 26e22x y y01 5 12e

22x.Entonces tenemos y0 2 4 y 5 12e22x 2 4(3e22x) 5 0. Por tanto, y1 es una so-

lucin de la ecuacin diferencial.

FIGURA 1-22A diferencia de las ecuaciones algebraicas, las soluciones de las ecuaciones diferenciales usualmente son funciones en vez de valores discretos.

b) Una ecuacin diferencial:

Solucin: y = 2 y y = 5

Solucin: y = e7x

a) Una ecuacin algebraica:

y 7y = 0

y2 7y + 10 = 0

j j j j j j

18


EJEMPLO 1-10 Solucin general de una ecuacin diferencial

Compruebe que y1 5 Cxe2x 1 2 x 2 3 es una solucin de la ecuacin diferencial

y0 2 4 y9 1 4 y 5 8 x 2 20, sin importar cul sea el valor de la constante arbi-traria C.

Solucin La primera y segunda derivadas de y1 5 Cxe2x 1 2 x 2 3 son

y1 C 1e2x 2xe2x 2 2 Ce2x 2Cxe2x 2y y1 2Ce2x 2C 1e2x 2xe2x 2 4Ce2x 4Cxe2xEntonces tenemos

8x 204Ce2x 4Cxe2x 4Ce2x 8Cxe2x 8 4Cxe2x 8x 12

y 4y 4y (4Ce2x 4Cxe2x ) 4(Ce2x 2Cxe2x 2) 4(Cxe2x 2x 3)

Por tanto, y1 es una solucin de la ecuacin diferencial independientemente del valor de la constante C. sta es una solucin general porque incluye una constante arbitraria.

Reexamine la ecuacin diferencial que describe la elevacin de temperatura de una bola de cobre con el tiempo cuando se le deja caer en agua caliente a una tempera-tura T0 (ecuacin 1-5). Como usted ver en el captulo 2, la solucin general de esta ecuacin diferencial es

T(t ) T0 (T0 C )e hAt/mc (1-34)donde C es una constante arbitraria. Es posible comprobar por sustitucin directa que esta solucin satisface la ecuacin 1-5 para cualquier valor de la constante C. En otras palabras, dicha ecuacin, como cualquier otra ecuacin diferencial, tiene un nmero ininito de soluciones, ya que la constante arbitraria C puede tener un nmero ininito de valores. Sin embargo, esto no es sorprendente porque la ecua-cin diferencial y su solucin general no incluyen la temperatura inicial Ti y, como usted esperara, la temperatura de la bola en un tiempo especiicado t ciertamente depender de Ti. Para t 5 0, la ecuacin 1-34 da C 5 T(0) 5 Ti, ya que T(0) indica la temperatura de la bola en t 5 0, que es la temperatura inicial. Sustituyendo, la solucin resulta en T(t ) T0 (T0 Ti)e hAt/mc (1-35) En la igura 1-23 se graican las curvas de la solucin para un valor constante de hAymc y para diferentes valores de Ti, formando una familia de curvas que no se intersecan. Observe que cada curva corresponde a un valor especico de Ti, el cual es el eje de temperatura (o la lnea t 5 0). Por tanto, una vez que se especiica la temperatura inicial Ti, la solucin de la ecuacin diferencial es obtenida. La res-puesta que nos interesa es la que interseca el eje T en el valor Ti especiicado. Este ejemplo comprueba que, aunque un problema bien planteado usualmente tiene una solucin nica, la ecuacin diferencial que describe ese problema puede tener un nmero ininito de soluciones. Esto se debe a que una ecuacin diferencial es una relacin entre los cambios en las variables dependientes e independientes, y no tiene informacin relacionada con los valores de una funcin ni de sus derivadas para algunos valores ijos de la variable independiente. En consecuencia, muchos problemas diferentes relacionados con los mismos fe-nmenos fsicos tienen la misma ecuacin diferencial. Por ejemplo, la ecuacin 1-35 es la ecuacin diferencial para el calentamiento (o incluso enfriamiento) de una bola slida en un entorno a T0, sin importar la temperatura inicial de la bola slida.

j j j j j j

19

CAPTULO 1

De aqu se desprende que para obtener una solucin nica a un problema, nece-sitamos especiicar ms que solo la ecuacin diferencial rectora. Debemos especi-icar algunas condiciones (tales como el valor de la funcin o el de sus derivadas para algn valor de la variable independiente) de modo que al forzar la solucin para satisfacer estas condiciones se obtenga como resultado una solucin nica. Pero, como la ecuacin diferencial no tiene lugar para la informacin adicional ni para las condiciones necesarias, debemos proporcionarlas por separado. stas se llaman condiciones iniciales si todas ellas se especiican para el mismo valor de la variable independiente; y condiciones en la frontera si se especiican para dos o ms valores de la variable independiente. Una ecuacin diferencial acompaada de un conjunto de condiciones iniciales se conoce como problema con valores iniciales, mientras que una ecuacin diferencial acompaada de condiciones en la frontera se conoce como problema con valores en la frontera (igura 1-24).

EJEMPLO 1-11 Cada libre de un cuerpo

Cuando la resistencia del aire es despreciable, la cada libre de un cuerpo est regida por la ley de gravedad. Considere un objeto que inicialmente est a una altura z 5 h y se deja caer libremente en el tiempo cero, como se muestra en la gura 1-25. Escriba la formulacin matemtica de este problema, y determine si es un problema de valores iniciales o de valores en la frontera.

Solucin La formulacin matemtica de un problema implica escribir la ecua-cin diferencial rectora y las condiciones en la frontera o condiciones iniciales adecuadas. La ecuacin diferencial para este problema se determin en el ejemplo 1-1 (ecuacin 1-3) como

d 2zdt 2

g

donde z es la distancia vertical a partir de un nivel de referencia como el suelo, y g es la aceleracin de la gravedad. En el tiempo t 5 0, el objeto se especica como estacionario (velocidad V0 5 0) con altura h. As, las condiciones iniciales para este problema pueden expresarse como

z(0) h

V(0) dzdt

`t 0

0 (1-36)

sta es la formulacin completa del problema y, como ver usted en la siguien-te seccin, da por resultado una solucin nica para la funcin incgnita z.

Este problema se reconoce fcilmente como uno de valores iniciales, ya que ambas condiciones se especican para el mismo valor de la variable indepen-diente, t 5 0.

j j j j j j j j j

FIGURA 1-23Curvas de solucin para la temperatura como funcin del tiempo basadas en la ecuacin 1-35. a) Comportamiento de la solucin para hAymc ijo con cuatro diferentes valores de la temperatura inicial Ti; b) comportamiento de la solucin para una temperatura inicial ija Ti con cuatro valores diferentes de hAymc.

FIGURA 1-24Problemas con valores iniciales y valores en la frontera.

FIGURA 1-25Ilustracin para el ejemplo 1-11.

a)t

0

T0

T(t)Ti creciente

b)t

0

T0

T(t)

Ti

hA/mc creciente

b) Un problema con valores en la frontera:

a) Un problema con valores iniciales:

y 3y + y = 2xe4x

y 3y + y = 2xe4x

y(2) = 5y(2) = 3

y(2) = 5y(8) = 3

Suelo

m

z

0

h

m

20


Pero, si la velocidad (o la posicin) se especicara en un tiempo diferente (como t 5 15 s), mientras la posicin se determinara en t 5 0, sera un problema de valores en la frontera.

Al resolver una ecuacin diferencial, es muy conveniente obtener una solucin de forma cerrada, que sea una expresin analtica para la funcin incgnita en trmi-nos de la variable independiente (como y 5 y(x)). Numerosas ecuaciones diferen-ciales de inters prctico tienen soluciones de forma cerrada y de fcil obtencin, como usted ver en el siguiente captulo. Pero la mayora de las ecuaciones dife-renciales no pueden resolverse mediante ninguno de los mtodos conocidos y, por tanto, se necesita realizar un tratamiento de aproximacin. Tales problemas pueden solucionarse con exactitud razonable usando un mtodo numrico adecuado, como se explica en el captulo 9. Cuando se emplea un mtodo numrico, la solucin se obtiene en puntos discretos y no como una funcin continua en todo el dominio Observe que cualquier relacin que satisfaga la ecuacin diferencial y solo inclu-ya la funcin incgnita y las variables independientes (sin derivadas) es una solucin de la ecuacin. Si la funcin incgnita nada ms puede expresarse en trminos de la variable independiente, se dice que la solucin es explcita; en caso contrario, la solucin es implcita. La relacin g(x, y) 5 0 deine y implcitamente como funcin de x. Por ejemplo, una solucin tal como y 5 3x2 1 cos x 1 5 es una solucin expl-cita; pero y 5 e2xy 1 3xy2 1 5 es implcita, ya que en este caso no podemos expresar y explcitamente en trminos de x solamente.

Repaso de la seccin1-20C Qu son las condiciones en la frontera? Cul es su valor en la solucin de las

ecuaciones diferenciales?

1-21C Cundo se trata de un problema con valores iniciales y cundo, de uno con valores en la frontera?

Compruebe que las funciones siguientes son soluciones de la ecuacin diferencial dada en cada uno de los siguientes problemas

1-22 , , y y2 2x 1y1 5xy 0

1-23 , , y y2 5e 3xy1 e 3xy 3y 0

1-24 , , y y2 3e 2xy1 e2xy 4y 0

1-25 , , y y2 2/xy1 1/x3x2y 5xy 3y 0

1-6 j RESOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR INTEGRACIN DIRECTA

Dado que las ecuaciones diferenciales incluyen derivadas y cada integracin re-duce el orden de una derivada en una unidad, es natural considerar que la integra-cin directa es un mtodo prometedor para resolver ecuaciones diferenciales. Sin embargo, la resolucin de ecuaciones diferenciales por integracin directa es una excepcin ms que la regla, ya que, en la prctica, la mayora de las ecuaciones diferenciales no pueden solucionarse de esta manera. Algunas ecuaciones diferenciales importantes son lineales, tienen un solo trmi-no con derivadas, y no poseen trminos con la funcin incgnita como un factor. Tales ecuaciones diferenciales pueden resolverse por integracin directa, suponien-do (por supuesto) que las integrales puedan resolverse. Algunas otras, incluyendo

21

CAPTULO 1

ciertas no lineales, pueden ponerse en esa forma y tambin pueden resolverse por integracin directa. Por ejemplo, la ecuacin diferencial

y x2e 6x 0 (1-37)puede solucionarse por integracin directa, ya que tiene un solo trmino con una derivada de y, y no tiene trminos con y. Pero la ecuacin diferencial

y 3xy x2e 6x 0 (1-38)no puede resolverse por integracin directa pues tiene un trmino con la funcin incgnita y. Al resolver una ecuacin diferencial por integracin directa, todos los trminos de sta se integran uno a uno aplicando las reglas de integracin, y se agrega una constante de integracin. Cada vez que se integra la ecuacin, el orden de la deri-vada se reduce en uno, y se introduce una nueva constante de integracin. As, una ecuacin diferencial de orden n (como en este caso) se resuelve mediante n integra-ciones sucesivas, y la solucin incluye n constantes de integracin.

EJEMPLO 1-12 Solucin por integracin directa

Determine si las siguientes ecuaciones pueden resolverse por integracin di-recta, y obtenga la solucin de las que puedan solucionarse.

a) y 5y 3 0b) y 6x2 0c) 2yy 4 0

Solucin a) Esta ecuacin diferencial no puede resolverse por integracin di-recta, ya que el segundo trmino incluye la funcin incgnita y. Si intentse-mos solucionarla por integracin directa, obtendramos

y 5

y dx 3x C1

que no tiene derivadas. De modo que tiene la apariencia de una solucin, pero a cambio de esto incluye la integral de la funcin incgnita, que tampoco se conoce; por tanto, sta no es una solucin real. Al integrar, simplemente con-vertimos la ecuacin diferencial en una ecuacin integral (gura 1-26).

b) Esta ecuacin es lineal e incluye un solo trmino con derivadas y no tiene nin-guno con la funcin incgnita y como factor; por tanto, puede resolverse por integracin directa. Integrando una vez obtenemos y9 2 2x3 5 C1. Integrando nuevamente obtenemos y 2 0.5x4 5 C1x 1 C2 o y 5 0.5x4 1 C1x 1 C2, que es la solucin deseada de la ecuacin diferencial.

c) Esta ecuacin diferencial es no lineal y parece que no puede resolverse por integracin directa. Pero una revisin cuidadosa revela que el trmino 2yy9 es la derivada de y2. Por tanto, la integral del primer trmino es y2, ya que la integracin es simplemente lo contrario de la derivacin. As, cada trmino de esta ecuacin puede integrarse, obteniendo y2 4x C1 o y ; 4x C1, que es la solucin deseada.

EJEMPLO 1-13 Cada libre de un cuerpo

Un atrevido paracaidista equipado salta desde la cspide de un edicio de 100 m en una ubicacin donde la aceleracin gravitacional es g 5 9.8 mys2. El paracadas se abre 3 s despus del salto. Despreciando la resistencia del aire, determine la altura del individuo cuando se abre el paracadas.

FIGURA 1-26Algunas ecuaciones diferenciales pueden solucionarse integrando repetidamente cada trmino hasta que la ecuacin no tenga derivadas.

b) Una ecuacin no integrable:

a) Una ecuacin integrable:

y + y = 12x

y = 12xIntegrando,

Integrando,

y = 6x2 + C1y = 2x3 + C1x + C2

Solucin

Ecuacinintegral

ydx = 6x2 + C1y + #

j j j j j j j j j

j j j j j j j

22


Solucin ste es un proceso de cada libre bajo la inuencia de la gravedad, y el problema puede resolverse fcilmente usando las frmulas adecuadas de la fsica. Pero lo vamos a resolver usando ecuaciones diferenciales para compro-bar la solucin de una ecuacin diferencial y la aplicacin de las condiciones de frontera o iniciales. Esto tambin nos ayudar a obtener una comprensin ms profunda de esas relaciones fsicas.

La funcin que queremos encontrar en este problema es la distancia vertical z como una funcin de la variable independiente t (tiempo). Tomamos el suelo como el nivel de referencia y medimos z desde el nivel del suelo, como se muestra en la gura 1-27. La ecuacin diferencial rectora para este problema se determin en el ejemplo 1-1 como (ecuacin 1-3)

d 2zdt2

g

que es una ecuacin diferencial lineal no homognea de segundo orden. Una revisin rpida de dicha ecuacin revela que tiene un solo trmino con deriva-das y ningn trmino contiene la funcin incgnita z como factor. Por tanto, puede resolverse por integracin directa. Como la ecuacin diferencial es de segundo orden, la solucin se obtendr mediante dos integraciones sucesivas, lo cual introducir

Ecuaciones Diferenciales Para Ingeniería y Ciencias - Yunus a. Cengel

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