Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Dario Sanchez 2005

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Jos Daro Snchez Hernndez

Bogot -Colombia. Octubre del 2005 [email protected] [email protected]

El objeto de estas notas es brindar al lector un modelo de aprendizaje. A continuacinencontrar ms de cien resultados bsicos, entre los cuales se hallan definiciones, teoremas,corolarios y algunos ejemplos, es posible que encuentre la manera de volver a redactar algunos,por favor hgalo, de forma que los pueda recordar despus. Para las demostraciones esindispensable el uso de una biblioteca con un buen nmero de textos de EcuacionesDiferenciales Ordinarias, en esta forma el estudiante utiliza tcticas de investigacin y emplearla biblioteca. Luego encontrar resultados en donde se ha dado una posible demostracin, lacual se supone es correcta, sin descartar la posibilidad de que haya algunos errores; el lectordeber revisarlas analizando cual de los resultados bsicos se ha utilizado en la prueba.

1. RESULTADOS BASICOS1.Sea un subconjunto del espacio , donde es el conjunto de losH d I dnmeros reales y es un espacio euclidiano -dimensional. Un punto deI 8d I > B > d B B B B I se denotar por y ; salvo mencin " # 8en contra, se adoptar la normal | | > B l>l lBlmaxdonde denota una norma en .lBl I2.Sea una funcin continua y sea un intervalo (es decir, un0 I MHconjunto conexo de ). Una funcin diferenciable se llamad M I: solucin de una ecuacin .B.> 0 > D " en el intervalo , siM 3 M > > > MEl grfico de en est contenido en , y: : H 33 > 0 > > > M..>: : , para todo .3.La ecuacin se llama de primer orden " ecuacin diferencial ordinariay es denotada por B 0 > B #w 4.Sea y, donde es una funcin continua en elH M d 0 > B 1 > 1 intervalo es una solucin de en si y slo si M B 1 > M > - 1 = .=w >

> ':!

siendo un punto en y es una constante.> M -!5.Sea , . Para todo , la funcin definidaH : d 0 > B $B - d d d# #$ - por

Daro Snchez H. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 2

es una solucin de en :-$

w #$ > B $B M d> - > -! > - !La funcin constante tambin es solucin de esta ecuacin.:6.Ntese que una ecuacin diferencial posee en general una infinidad desoluciones.7.Bajo hiptesis generales sobre , por ejemplo, si y son continuas0 0 `0`Ben , se prueba que para cada existe una nica solucin deH H : > B ! ! " > > B en un intervalo que contiene a y tal que . Una tal solucin! ! !:: se llamar solucin del problema de valores iniciales > B! ! para laecuacin . Este problema es tambin conocido como " problema deCauchy y ser denotado B 0 > B B > B #w ! ! #La ecuacin es equivalente a la ecuacin integral siguiente B > B 0 = B = .= $ ' ! >>!Esto es, una funcin continua cuyo grfico est contenido en : H M Iy , es solucin de si y slo si es solucin de .> M $ #! :8.La ecuacin o la ecuacin permiten la siguiente interpretacin " #geomtrica

La funcin define en un . Esto es, asocia a cada0 H campo de direccionespunto una recta > B 6 B 0 > B > >B 0 7 de pendiente 0 > B > B que pasa por " #La ecuacin o permite considerar el problema de hallar (si existen) las curvas, pasando por , cuyas rectas tangentes en cada > B! !punto coinciden con las dadas por un campo de direcciones.9.Una funcin se llama en relativamente0 d I IH H lipschitziana a la segunda variable, o simplemente , si existe unalipschitzianaconstante tal que5 l0 > B 0 > C l 5lB Cl para todos A se le llama constante de Lipschitz de . > B > C 5 0H 0 > BSi es una funcin que admite derivada parcial en relacin a la segunda variable, , con en , y es unH 0 lH 0l 5 B > B # # >H H H


conjunto conexo, para todo , entonces es > 0 lipschitziana en y es suH 5constante de Lipschitz. En efecto, l0 > B 0 > C l lH 0 > B " C lB Cl 5lB Cl

./=31?+6.+. ./6 @+69 l> > l + F B lB B l , 0l Q+ ! , ! . Si | en , entonces H existeuna nica solucin de .B 0 > B B > Bw ! ! en , donde = .M + ,Q min13.Sea una funcin continua y lipschitziana en = . Entonces,0 + , IHpara todo existe una nica solucin del problema de Cauchy > B ! ! H # M + , en . 0 Si se retira la hiptesis de que sea lipschitziana an se tieneexistencia de soluciones.14.Teorema de Arzel: Sea un espacio mtrico compacto. Sea una \ . familia equicontinua de funciones continuas. Esto es, para todo: \ d% $ $ : : % ! ! .B C l B C l existe tal que entonces , para todo : Q !. Si es uniformemente acotada (esto es, existe tal quel l Q : : : para todo ), entonces toda sucesin de elementos de 8tiene una subsucesin uniformemente convergente en . \:8515.Teorema de Peano: Sea una funcin continua en como en el0 M FH + ,teorema de Picard. Si en , el problema de Cauchy l0 l Q #H tiene por lomenos una solucin en , donde M + ,Q min16.Sea un abierto en y una funcin continua. SiH Hd I 0 IG 0l Q GH H H H es un conjunto tal que | en , donde con! !.3=> G ` ! ! > B H ! ! !, entonces existe tal que, para todo punto deG , existe una solucin de B 0 > B B > Bw ! ! en .M > > l> > l ! !


GSi es un conjunto compacto contenido en el interior de otrocompacto , las hiptesis del resultado de arriba, se satisfacen paraH!Q l0lsup en .H!17.Sea un conjunto abierto en y sea una funcinH Hd I 0 Icontinua y localmente lipschitziana. Para todo punto existe una > B ! ! Hvecindad tal queZ M > F B ! ! B 0 > B B > Bw ! ! tiene una nica solucin en . Adems el grfico de esta solucin estM > !contenido en .Z18.Sea una funcin continua en un conjunto abierto .0 d IHSupongamos que para todo existe una nica solucin de > B ! ! H B 0 > B B > Bw ! ! definida en un abierto . Por ejemplo, si es localmenteM M > 0 !lipschitziana esta condicin se satisface. Entonces, para todo > B ! ! Hexiste una nica solucin = de definida en un intervalo: : > > B! ! M > B A > B A > B ! ! ! ! ! !, , con la propiedad de que toda solucin B l ! ! M< : Una solucin definida por el resultado 18 se llama : solucin mximade la ecuacin ; al intervalo se le llama de ! !M > B intervalo mximoexistencia de esta solucin. B 0 > BEn general, se llama de a toda solucin solucin mxima w :definida en un intervalo , denominado de , tal que siM intervalo mximo :< : < es otra solucin en el intervalo con y , entonces .N N M l M NMEn otras palabras, es mxima si no admite ninguna extensin < < < : que tambien es solucin de B 0 > B w 0Si es una funcin continua en un abierto se prueba que todaHsolucin de se puede extender a una solucin mxima.B 0 > Bw 0Si es continua en un abierto se muestra que en general existe unaHinfinidad de soluciones mximas por un punto.19.Sea una funcin continua en un abierto de es una solucin0 d IHmxima nica de definida en entonces B 0 > B A A 1 > > >w :tiende a cuando . Esto es, para todo compacto existe una` >pA O H Hvecindad de tal que para .Z A 1 > O > Z 1 > >pANo es verdad, en general, que exista el lmite de cuando . Considerar por ejemplo, con . Sin embargo, esB > ! A ! 0w -9=>> #acotada en , este lmite existe.H20.Sean espacios euclidiamos y sea un subconjunto deI I I" # 7 Hd I I I I I 0 I 3 " # 7 donde . Sean , " # 7 3 3Hfunciones continuas. Una familia donde cada , M I: : : :" # 7 3 33 " # 7 M I es una funcin diferenciable de un intervalo en se3llama solucin de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias


%

0 > B B B 0 > B B B 0 > B B B

.B.> " " # 7.B.> # " # 7

.B.> 7 " # 7

"

#

7

en el intervalo , siM 3 > M > > > > > > para todo , : : : : H" # 7 33 3 " # 7 para todo ,..> 3 " # 7

:3 0 > > > >: : :para todo .> M % El sistema , denotado abreviadamente por & B 0 > B B B 3 " # 73w 3 " # 7es equivalente a la ecuacin diferencial ordinaria # B 0 > B wdonde .0 0 0 0 I I I " # 7 " 7H % MUna familia de funciones es solucin de en si y slo: : :" # 7 si es solucin de en .: : : : M I # M" # 7 21. Dados tales queProblema de Cauchy: > B B B! "! #! 7! > B B B! "! #! 7! pertenece a , encontrar una solucinH % M >: : :" # 7 ! de en un intervalo que contiene a tal que :3 ! 3! > B 3, para todo .Abreviadamente se escribe B 0 > B B B B > B '3w 3 " # 7 3 ! 3! Este problema es equivalente al problema de Cauchy B 0 > B B > B (w ! ! para la ecuacin , donde . # B B B B! "! #! 7! 0 #Teniendo en cuenta que la funcin en es respectivamente, continua lipschitziana con constante de Lipschitz , diferenciable con relacin a laOsegunda variable, etc, si y slo si cada una de las de tambin es del0 %3 mismo tipo, tenemos que todos los teoremas de existencia, unicidad ysoluciones mximas son validas para las soluciones de . %22.Sea un abierto de , donde es un espacio euclidiano yH d I I70 I M IH : V una funcin continua. Una funcin , de clase ,7definida en un intervalo , se llama solucin de la ecuacin diferencialMordinaria de orden 7 . B.> w ww 7"

77 0 > B B B B )

en siM 3 > M > > > > para todo , : : : H" # 7 33 > Mpara todo , ...> w ww 7"

77: > 0 > > > >: : :

)La ecuacin tambin se denota por B 0 > B B B B * 7 w ww 7"


y es equivalente al sistema B B 3 " # 7 "B 0 > B B B "!3w 3"7w " # 7 ) Si una funcin es solucin de entonces es: : : : : w ww 7"solucin de ; tambin, si es una solucin de , "! "!: : : :" # $ 7entonces es una solucin de esto es, es de clase y: : : V ) " 7 satisface y de 22. 3 3323. : Dado un punto encontrarProblema de Cauchy > B B B ! ! !! " 7"! Huna solucin de definida en un intervalo que contiene al punto y: ) M >!satisface a .: : : > B > B > B! ! !! !! w w 7" 7"! Abreviadamente se escribe B 0 > B B B B B > B 7 w ww 7" 3 7"! ! Este problema es equivalente al siguiente problema de Cauchy parasistemas de ecuaciones B B B > B 3 " # 7 "B 0 > B B B3w 3"3" 3 ! !7w " # 724.Considrese ahora un espacio complejo -dimensional ; ser8 I A Idenotado por complejos . denotarA A A A A J " # 8 3 simultneamente a los reales y a los complejos . Si es und Hsubconjunto de y denotando una funcin continua,J I 0 IHdefinimos la solucin de la ecuacin compleja .A.> 0 > A " Esto es, una funcin definida en un intervalo si (resp , un: M J d abierto de , si ), se llama una de en si es unaM J " M :solucin funcin de clase en (resp., holomorfa en ) yV" M M 3 > M > > para todo , : H 33 > M 0 > > para todo , , donde denota la derivada compleja...> .>.: :De forma totalmente anloga al caso real se define el problema deCauchy A 0 > A A > A #w ! ! para la ecuacin " "Una forma de abordar el problema de Peano es considerar la ecuacin como el siguiente sistema de ecuaciones reales en :H d d d8 8 B 1 > B C C 2 > B C $wwdonde , siendo y funcionesA B 3C 0 > B 3C 1 > B C 32 > B C 1 2 reales: la parte real de y la parte imaginaria. La funcin es1 0 2 3: # (solucin de si y solamente si es solucin de . " $# (25.Sea por ejemplo , donde , esA A A B 3C 3 > / A w > !- - " : -solucin pasando por . Tenemos ! A! : " " > / > 3 > B 3C-> ! !cos sin


/ > B / > C 3/ > C / > B > > > >! ! ! !cos sin cos sin" " " "Aqu ,# " " > / > B > C > ! !cos sin .( " " > / > B > C > ! !sin cos26.Sea un espacio Euclidiano -dimensional real o complejo, con laI 8norma o . Sean un intervalo ylBl lB l B B B B d Msup 3 " 8 3 + , M34 4 funciones continuas en , con valores reales o complejos,3 4 " # 8 8. Consideremos un sistema de ecuaciones de la forma B + > B , > 3 " # 8 "3w

4"

834 4 3

o equivalentemente, la ecuacin B E > B , > #w donde es una matriz cuyos elementos son yE > + > 8 8 + > 34 34, > , > , > 3 3 es el vector cuyas coordenadas son . " # M I , > !El sistema o el sistema en se llaman lineales; si se 3llaman lineales homogneas.27.Teorema:Para todo existe una nica > B M I! ! solucin: : : > > > B # M > B! ! ! ! de (de 26), definida en , tal que .Sea , soluciones de la ecuacin homogenea: < B E > B $w + + , Si son constantes arbitrarias, reales o complejas, segn el caso,entonces es solucin de .# : M > ! ! Si, para algn , entonces .! !: : MIConsideremos el espacio de las funciones continuasC C : M I como espacio vectorial dotado de las operaciones de suma defunciones y producto por una constante, real o complejo segn el caso,por una funcin. 3 + $ La parte , muestra que el conjunto de las soluciones de forman un subespacio vectorial de (sobre los reales o complejos segnCel caso) 33 I Si representamos por la aplicacin de sobre dada porX =X : : X= = = = M, para todo , es un isomorfismo de espaciosvectoriales. Esta ltima afirmacin se sigue de la parte , lo cual implica ,que el ncleo de es . En particular X = ! I 8dim dim28.El conjunto de todas las soluciones de (de 27) constituye un $espacio vectorial de dimensin igual a la dimensin de . Ms an, paraIcada , la aplicacin que a asocia la solucin , que= M B I > = B! !: pasa por es un isomorfismo de sobre . En particular, si = B I! @ @ I > = @ > = @" 8 " " 8 8forman una base de , entonces : : : : forman una base de esto es, toda solucin de se expresa como $ combinacin lineal nica de .: : :" # 8


> = I I > = B > = BLa aplicacin definida por es unF F : ! !isomorfismo que tiene las siguientes propiedades: + = = M la identidad.F , > = = ? > ? F F F - > = = > .F F "29.Considrese las ecuaciones matriciales lineales siguientes: \ E > \ %w \ E > \ F > &w en , donde es el espacio de las matrices con lneas yM I I \ B 885 85 34 5 l\l lB l columnas, de elementos reales o complejos, con la norma .sup 34Estamos considerando , donde son funcionesF > , > , 85 34 34continuas. La ecuacin matricial lineal se llama . % lineal homognea & "Por ser equivalente a un sistema del tipo del numeral 26 en I I #85 y por tanto del tipo del mismo numeral, el resultado del numeral 27 se aplica en este caso para garantizar la existencia yunicidad, en , de las soluciones en que pasa por .M & > \ M I ! ! 85Esto tambin se sigue de la observacin:Si es solucin de si y slo si, para todo , la -sima5 " > & 3 4 5 4F columna de es solucin de la ecuacinF F4 B E > B , >w 4 donde es la -sima columna de ., > 4 F >4 > 8 8Una matriz de orden cuyas columnas forman una base deF soluciones de del numeral 27 se llama de . $ $matriz fundamental 5 8 >Basndose en lo anterior, para , tenemos que una matriz es unaF matriz fundamental de si y slo si es una solucin de y, para $ > %Falgn , es no singular.> M >! !F > % Por sustitucin directa se verifica que si es una solucin de F entonces para toda -matriz , es tambin solucin de8 8 G > > GG F % \ E > \ .w30.Sean y soluciones de del numeral anterior, , siendo F G F > > % 5 8una matriz fundamental. Existe una nica matriz de orden tal queG 8 8para todo ,> M G F > > GG > es no singular si y slo si es una matriz fundamental.G 31. + 8 " E > + > B + > B > / En el caso , y es una matrizw + = .=F ' >!>fundamental. De aqu, .: > > B B /! ! ! + = .=' >!> , > 8 8Frmula de Liouville: Sea una matriz cuyas columnas sonFsoluciones de . Entonces es solucin de la ecuacin " > >: Fdet traza B E > B w En particular por + det detF F > > / ! >


Si no es una matriz fundamental las ecuaciones y sonF > trivialmente satisfechas pues . La expresin es llamadaF > ! frnula de Liouville. - E > M d Sea definida en y peridica de perodo , esto es,7E > E > > d $ 7 F, para todo . Sea una matriz fundamental de delnumeral 29. Existe no singular tal que .G > > GF 7 F 32. Si es una matriz fundamental de entonces laF > $ B E > B wsolucin de tal que es dada por: : > > B # > > B B! ! ! ! ! ! .: F F F '> > B > > B = , = .=! ! ! !" ">>!33.Consideremos ahora la ecuacin homognea , donde es\ E\ Ewuna matriz real o compleja de orden . Sea la matriz fundamental8 8 >F de tal que la identidad .\ E\ ! Mw F Es claro del teorema del numeral 27, que est definida para todo F > d34. 3 > E > ! MF F Fw 33 > = d > = > = Para todo F F F 333 > >F F" 3@ > d La serie converge para en , uniformemente en cada

5!

E >5x5 5 F

intervalo compacto. / " ELa matriz definida por , se llama E F exponencial de la matriz / Se sigue que siendo la convergencia uniforme en cada>E

5!

E >5x

5 5intervalo compacto. Tambin para todo .> = d / / / >= E >E =E35.Se introduce la notacin para designar a laE .3+1 E E E " # 8matriz

,E E ! !! E ! ! ! E

"

#

8donde los son bloques cuadrados, y se tiene:E3 + / .3+1 / / / E> E > E > E >" # 7 , E M 3@ Si , entonces segn del numeral 34, se " "" tiene que ./ / > > > >

>M > " cos sinsin cos" "" " - E Si es una matriz nilpotente, esto es, existe un nmero enteropositivo tal que entonces .< E ! / M E> E > < " x< >E F >E " 33 EF FE > Si entonces para todo y ./ F F/ / / />E >E >E >F > EF


Trabajando con exponenciales de matrices es natural recordar losiguiente: No es verdad en general que . Tambin no es/ / / EF E Fverdad, en general, que sea una solucin de la ecuacin/' >!> E = .=\ E > \w .37.Sea una matriz compleja resp real , si es un valor propio (resp.E -valor propio real) de y es un vector propio correspondiente, entoncesE @: > / @ \ E\-> w es una solucin de la ecuacin compleja (resp.real) Si la matriz compleja (resp. real ) de orden tiene valores propios E 8 8- - -" # 8 " # 8 @ @ @ y son vectores linealmente independientes, conE@ @ Z > 3 3 " # 83 3 3- , entonces la matriz , cuya columna -sima, es :3 3 > w > @ / \ E\-3 es una matriz fundamental de . En particular:e .>E " Z > Z ! E 3 @ @ 3@Si es una matriz real, es un valor propio, y un- " " #vector propio correspondiente a entonces es un vector- @ @ 3@" #propio correspondiente a .- " 3 > / @ > / @ y son soluciones linealmente independientes de: : - -> >soluciones de la ecuacin con considerada como matriz\ E\ Ewcompleja. Luego son soluciones: : : : : :" #" "# #3 > > > > > > reales de como ecuacin real.\ E\w38. Consideremos ahora sistemas reales de la forma con B + B + BB + B + B + + + + ! ""w "" " "# ##w #" " ## # "" ## "# #"o equivalentemente ecuaciones del tipo con y\ E\ E + ++ +

w "" "##" ##

detE !. Este sistema se llama simple. Distinguimos los siguientes casos. + E Los valores propios de son reales y distintos. Necesariamente- -" #- -" # !. , 3 Los valores propios son complejos conjugados: - ""- - " "# " 3 ! . - ! Los valores propios son reales e iguales - - -" #39.Caso Sean vectores propios correspondientes a los valores + @ @" #propios . Denotemos por las lneas generadas por estos- -" # " # I Ivectores. Un resultado anterior garantiza que toda solucin de \ E\wpuede ser escrita en la forma : > - / @ - / @" " # #> >- -" # !Caso a nodo estable " # "- -Toda solucin tiende a cero cuando excepto la solucin nula, toda>psolucin tiende a infinito cuando . Si la tangente a la>p - !"solucin tiende a una linea cuando . De hecho, si I >p >p"- / -- / -

># "# #

#>

" "> "# "

-- / p! ! - - , pues - -


En la figura a esta ilustrado el comportamiento de las soluciones. Las"flechas indican el sentido del recorrido con creciente.> !Caso a nodo inestable . La discusin anloga al caso # # "- -anterior, cambiando el sentido de las flechas. Ver la figura a# ! Caso a punto de silla $ # "- -

Las soluciones que pasan por los puntos de ( )I - ! I - !" # # # permanecen en estas lneas y tienden para cuando . Si! >p >p - - ! >p " # las soluciones tienden para cuando .La componente siguiendo resp. tiende para (resp. ) cuandoI I ! " # >p >p I I !. Cuando la componente siguiendo (resp. ) tienden a # "(resp. ). Ver la figura a . $ , \ E\Caso . Toda solucin de puede ser escrita en la formaw : : : > - > - >" " $ #donde : " " : " "" " # # " #> > > / > @ > @ > / > @ > @ cos sin sin cosEscribimos , . Tenemos- A - A" #3 3cos sin : 3 " " " " > / A > A > @ A > A > @ > " #cos cos sin sin sin cos cos sin

/ A > @ A > @ > " #3 " "cos sin , !Caso ; centro . Todas las soluciones, excepto la solucin nula," son elipses. Ver la figura .,"


, ! !Caso ; Foco estable . Toda solucin tiende para envolviendo al# origen cuando . Esto es, y el ngulo entre y ,>p l > lp! A > > I: " : "tiende para o montamente, segn sea negativo o positivo. Ver "la figura para el caso , !# " , ! !Caso ; Foco inestable . Toda solucin tiende para envolviendo$ al origen cuando . Ver la figura >p ,$. -Caso nodo impropio . Distinguimos dos casos Caso El ncleo de es bidimensional. En otros trminos, tiene- E M" - -vectores propios linealmente independientes. Por un resultado@ @" #anterior toda solucin de puede ser escrita en la forma\ E\w : > / - @ - @-> " # #"Todas soluciones, excepto la solucin nula, son semirectas. Ver la figura-"

J31 -"Caso . El ncleo de es unidimensional. Sea un generador- E M I @# "-de y un vector no colineal con . La matriz en la base es deI A @ E @A"la forma - . ! !pues . Los valores propios de la matriz son ,E@ @ EA A @ - . - .luego .- .Definiendo y , se tiene . Por@ @ @ A E@ @ E@ @ @" # " " # # " - -sustitucin directa se verifica que : > / - >- @ - @ -> " # " # #es solucin de por \ E\ ! - @ - @w " " # #:


Las soluciones que pasan por salvo la solucin nula, sonI - !" # semirectas. Si la tangente a la solucin tiende a cuando ,- ! I >p # "pues .- /- >- / ">#

>

" # >-"-#

-- p!

Si resp. toda solucin tiende a cuando resp. - . Ver- ! ! ! >p la figura -#.40. Sean dos sistemas lineales en o . + B EB , C FC I dw w 8 8Anotemos por las soluciones de que para : B > C + , > !pasando por . Es claro que B C > B / B > C / C: E >F + ,El sistema se dice del sistema si existe un conjugado linealmenteisomorfismo lineal tal que para todo y G I I B I > dG > B > GB G + , :


< G/ / Gentonces para todo o equivalentemente,>E >Fpara todo B I G > B G/ B / GB > GB: E >FPor consiguiente es conjugado lineal a . Recprocamente tambin es + ,verdadero42. + , E F G es conjugado lineal a si y slo si es similar a . Ms an , es una conjugacin lineal de y si y slo si cumple que . + , G GE FGEn particular, la relacin de conjugacin lineal es una relacin deequivalencia entre sistemas lineales.43.Sea una matriz compleja. Existe una matriz compleja , noE 8 8 Gsingular, tal que donde cada es de laG EG N .3+1 N N N N" " # 5 3 forma donde es una matriz nilpotente dada porN M I I - - " "I E

! " ! !! ! " ! ! ! ! "! ! ! !

"

y es un valor propio de . La suma de los-

rdenes de los bloques de la forma es igual a la multiplicidad de N - -como raz del polinomio caractersco de . La matriz es nica, salvo elE Norden de los bloques .N344.Sea una matriz real. Existe una matriz real , no singular, tal queE GG EG N .3+1 N N N N N" " # 5 3 donde cada es de la forma o-N 3 E " - "con valor propio real y valor propio complejo de .La suma de los ordenes de los bloques de la forma es igual alN "doble de la multiplicidad de como raz del polinomio caracterstico " 3de . La matriz es nica, salvo el orden de los bloques y el signoE N N3de la parte imaginaria de las races."


45.Un sistema en o se llama si todos losB EB/ I dw 8 8 hiperblicovalores propios de tienen parte real no nula. El nmero de valoresE =propios, contando sus multiplicidades, que tiene parte real negativa, sellama .ndice tipico de estabilidad del sistema EEsta definicin depende apenas de la clase de similaridad de , oequivalentemente de la clase de conjugacin lineal del sistema.46.Si , se define como el mximo subespacio de , invariante! = 8 I I=por donde tiene todos sus valores propios con parte real negativa.E ElI= ISe define anlogamente como el mximo subespacio invariante por8E Eldonde los valores propios de tienen parte real positiva.I8 5 ! 5 8 I ! I I I II !Si resp. defnase resp. = 8 = 8En cualquier caso se llama subespacio de y se llamaI B EB I= w 8establesubespacio .inestable47.Sea un sistema lineal hiperblico. Anotemos por B EB > B / Bw >E: una solucin que pasa por para . EntoncesB > ! " I I I I I B EB y son invariantes por el sistema , esto es,= 8 = 8 wpara todo , para todo , y , es elB I 3 = 8 > B I > d I =3 3 =: dimndice de estabilidad de .B EBw # ! V/ l E 5 " Dado > tal que B l 5/ lBl B I > ! para y : > =. , l > B l O/ lBl B I > ! para y : .> 8 B I > !Para todo y 8 + l > B l / lBlw >"O : .Para todo y B I > != , l > B l / lBlw >"O : .48.La desigualdad significa que todas las soluciones quel > B l 5/ lBl: >.pasan por puntos de tienden a , cuando .I ! >p = l > B l / lBlLa desigualdad implica que estas mismas soluciones,: "O >.excepto la solucin nula, se apartan de exponencialmente cuando!>p . Anlogas condiciones, cambiando por , son validas paraI8


B B B B I 3 = 8Sea con , = 8 3 3: : : : > B > B > B > B I >= 8 3 3con para todo . Consecuentemente,: > B > ! B I B Bes acotado para , si y slo si . Si y son no nulas la8 = 8componente de tiende a resp. a cuando y tiende a: > B ! >p ! >p resp. a cuando Ver la figura de arriba.49.Supngase que es continua en un abierto de y que, a travs0 d IHde cada punto , pasa una nica solucin de > B > > B ! ! ! !H : : B 0 > B B > Bw ! ! definida en su intervalo mximo . LaM > B A > B A > B ! ! ! ! ! !solucin depende continuamente y tambin diferenciablemente: si es diferenciable de las variables .0 > > B! ! > > B Tambin se tiene dependencia en relacin a las variables de ! ! -las soluciones de una familia de ecuaciones del tipo B 0 > B B > Bw ! ! -dependiendo de un parmetro en un espacio euclidiano tal que, para- Adada fijo la ecuacin posee una nica solucin- -B 0 > B B > Bw ! ! : : - > > B ! ! definida en un intervalo mximoM > B A > B A > B 0 ! ! ! ! ! !- - - . En este caso, est definida en unabierto en H Ad I 50.Problemas de continuidad y diferenciabilidad de las soluciones de laecuacin se pueden reducir a problemas deB 0 > B B > Bw ! ! continuidad y diferenciabilidad de las soluciones de la ecuacinB 0 > B B > Bw ! ! - . > > B Tambin problemas de dependencia en relacin a de las ! ! -soluciones de la ecuacin se pueden reducir aB 0 > B B > Bw ! ! -problemas relacionados con las soluciones del ecuacin B 0 > B w B > B ! !, sin parmetros adicionales.51. Recordemos que una funcin definida en un espacioA \ d -topolgico , con valores en la recta completa , se dice\ d d -semicontinua inferiormente resp. superiormente en si, para todo B \!, A B + A B Z B ! ! ! !resp. existe una vecindad de tal que, para todo


B Z A B , A B + A B! ! resp. . La funcin es continua en si y slo siA es semicontinua superior e inferiormente. A \Se dice que es semicontinua inferiormente resp. superiormente en si es semicontinua inferiormente resp. superiormente en todo punto B!de \ AEl lector interesado puede probar fcilmente que es semicontinuasuperiormente resp. inferiormente en si y slo si para todo \ < dA B B > Bw ! ! -tiene una nica solucin , definida en su intervalo mximo: : - > > B ! ! A A A A > B A A ! ! - . Entonces resp. es semicontinuainferiormente resp. superiormente es , y es continua en H : D > > B > B > A > B A > B ! ! ! ! ! ! ! !- - H - - y .53.Sea una sucesin equicontinua y uniformemente acotada de :8funciones reales y continuas en un espacio mtrico compacto .\Supongamos que toda subsucesin uniformente convergente, de estasucesin, tiene el mismo lmite . Entonces es uniformemente: : 8convergente para .:54.Sea una sucesin de funciones continuas en un abierto de0 I8 H Hd I 0 0 tal que converge para , uniformemente en cada parte8 !compacta de . Sea una sucesin de puntos de que convergeH H > B8 8para . Supongamos que > B! ! B 0 > B B > B 8 ! " # w 8 8 8 tiene una nica solucin mxima en su intervalo mximo:8M A 8 A 8 + , M A ! A !8 ! . Sea . Entonces existe8 8 + , 8 8 M + , l l! ! ! 8 8 !+, +, tal que para y uniformemente.: :Ver la figura en el caso 0 0 a88 !

55.Lema de Gronwall: Sea funciones continuas no negativas en ? @ + ,tales que, para , satisfacen a !


? > @ = ? = .= > + , ' +>entonces .? > / ' +>@ = .=En particular, si entonces . ! ? !56.Sea una constante de Lipschitz de . Entonces, para5 0> M> B M> C ! ! ! ! , tenemos l > > B > > C l / lB C l: : ! ! ! ! ! !5l>> l! l0 l Q >Si , satisface una condicin de Lipschiz relativamente a . Pues: ! |: : : ' > = l l 0 ? ? .?l l> =lQ>=57. Sea continua en un abierto de , con continua en .0 d I H 0H A H#Entonces para fijo, la solucin = de- : : - > > B ! ! ,B 0 > B B > Bw ! ! -es nica y admite derivada parcial con relacin a . Ms an, laH B$ !:aplicacin es continua en su dominio > > B H > > B ! ! $ ! !- : - D > > B > B A > B > A > B ! ! ! ! ! ! ! !- - H - -y B > H > > B / > > B $ ! ! 5 ! !``B: - -:!5para todo es solucin de" 5 Idim B N > B B > / w ! 5 donde, .N > N > > B H 0 > > > B ! ! # ! !- : -58.Sea una funcin continua en , donde es un abierto0 + , O O convexo de . Si admite derivada parcial en relacin a la segundaI 0variable, , continua en , entonces existe una funcinH 0 + , O# 0 + , O O IIs continua, tal que_ " 0 > B B H 0 > B > B + , Os # . # 0 > B 0 > B 0 > B B B Bs# " " # # " 0En las mismas hiptesis del resultado 57 supngase que esdiferenciable relativamente a y que es continua en , entonces - H :H 0$tambin es diferenciable relativamente a y es continua- : : -H / ` `% 5 5en . Adems es solucin deD B > > > B `` ! !:-5 - B N > B , > B > !w ! donde , > F > / F > H 0 > > > B 5 $ ! !: - 0 d I Sea una funcin continua en , un abierto en , dondeH H A `I 0A ` son espacios euclidianos cualesquiera. Si es diferenciable enrelacin a la segunda y tercera variables y respectivamente, yB H 0- #H 0$ son continuas en , entonces, para y fijos,H - . B 0 > B B > B w ! ! - .tiene una nica solucin , la cual es diferenciable: : - . > > B ! !relativamente a . Las derivadas > B H H H H H H H! " $ % " $ " %- : : : : :tambin son continuas en .D


59.Sea una funcin continua en un abierto ,0 > B d I - . H A `con derivadas parciales de orden relativas a las coordenadas de 7 B- - . tambin continuas. Entonces, para y fijos, B 0 > B B > Bw ! ! - .tiene una nica solucin . La solucin esta definida en: : - . : > > B ! !un abierto

D > > B > B A > B > A > B ! ! ! ! ! ! ! !- . - . H - . - . y de , en el cual admite, todas las derivadas parciales continuas de lad Hforma `

`> ` B ` B ` `

+3 " # " #8 63 " 6

! !" #" # " 6

" " " " "

:- -

con . "4 4 7 3 "60. Sea una funcin continua en un abierto de tal que la0 d IHecuacin tenga todas las soluciones nicas. SupongamosB 0 > Bw que est definida para todo . Esto es .: :> > ! B > ! A ! B ! !Un resultado anterior implica que para todo nmero existe X ! X$ $tal que la solucin est definida para siempre que: > ! B ! > X| . Ms an uniformemente , cuando enB B l > ! B p > ! B BpB ! ! !$ : : ! X .Si es posible sustituir por en la afirmacin anterior decimos que laX solucin de es .: B 0 > Bw estable en el sentido de Lyapunov > ! BUna solucin se dice si para: ! estable en el sentido de Lyapunov todo existe tal que para todo la solucin % $ $ % $ : ! lB B l > ! B! de est definida en y satisface a B 0 > B ! l > ! B > ! B l w ! : : %> ! l > ! B > ! B lp! >p Badems satisface a cuando para : : : !tal que , se dice .lB B l > ! B! !$ : asintticamente estable61.Si es una matriz cuyos valores propios tienen parte realE 8 8negativa y es una solucin de . Entonces existen : .\ E\ 5 !wtales que | : > l 5/ a> ! >.Demostracin: Sean los valores propios distintos de , cada- - -" # 5 Euno de multiplicidad respectivamente ( puede suponerse7 7 7 E" # 5en forma cannica de Jordan), observndose que 7 7 7 8" # 5Entonces , donde .: > / U > 1

7 " 7 " 3-3

3 3

Ahora, se sabe que para , ! lim

>>

7 "l/ U > l ! 3 lo cual implica que existe tal que53 | , / U l 5 a> d > 7 " 3 3Sea un nmero tal que y . . . - ! ! V/max

" 3 5 3


Ahora l/ U > l lU > ll/ l lU > l// / / 7 " V/6 >

- - -. . .

3 3 3> > V/ 6 >7 " 7 " 7 "3 3 3 > > > 3

3 lU > l/ - .Como parte real de entoncesV/ ! a3 " # 5 V/ - .3 l/ U > l/ 7 " 3 V/ >

-.

3> 7 "3 > 3

3 lU > l/ 5 a> d - .por consiguiente l/ U > l 5 / a> d- .3 3> >7 " 3 se sigue que l > l 5 / 5/ a> d:

3"

53 > >. .

donde .5 5 5 5" # 5Si no est en la forma cannica de Jordan entonces, existe tal queE XXEX F E X FX" ", si est en la forma cannica de Jordan. Entonces y si es una solucin de entonces es solucin: G : > \ E\ > X >w "de . Sea tal que , entoncesC FC Q mXm Qw |: : : > l lXX > l llX lllX > l Q5/" " >.o sea | : > l 5 / a> dw >.

62.Sea una matriz cuyos valores propios tienen parte realE 8 8negativa. Sea definida en un abierto 1 > B > d lBl , d IH, tal que | , donde cuando .1 > B l B llBl B ! B ! # #Entonces la solucin no nula de es asintticamenteB EB 1 > Bw estable.Demostracin: Por el numeral 61 de arriba, existen constantes . ! 5 "tales que . Sea y , comol/ l 5/ l !>E > w w. % . % cuando l1 >B llBl

! lBl !?8309/

entonces, existe tal que$ ! lBl l1 > B l lBl $ %w5Sea una solucin de tal que .: : $ > ! B B EB 1 > B l ! ! B B l ! ! !wEntonces, por la continuidad de existe un tal que: > ! B > !! " .l > ! B l a> ! > : $ ! "Se sigue que | , ,1 > > l l > l a> ! > : :%w5 "Sea el extremo superior del intervalo mximo de en A > ! B !: H $Entonces, en tenemos de ! A .l1 > > ! B l l > ! B l : :! !5%wAhora, : : : ' > / ! / 1 = = .= > ! A E> >= E!> por consiguiente l > l l ! l5/ 5/ l1 = = l.=: : : ' > >=!>. .


l ! l5/ 5/ / l = l.= l ! l5/ / / l = l.=: : : % : ' ' > > = > > w =! !> >5. . . . . .%wpara todo . Se sigue que > ! A a> ! A / l > l 5l ! l / l = l.=. .> w =!

>: : % : 'Sea : . : / % 5l ! l > / l > l = .> wSe sigue del lema de Growall, que / l > l 5l ! l/ a> ! A . %> > : : wobteniendose que | .: : > l 5l ! l/ a> ! A > . %wSea, y entonces% $ ! " 5 5min $ % | .: $ : $ ! l l ! l "Supongamos que , entoncesA =$ : : $ $ $lim lim lim

>A >A >A> > A

w w wl > l 5l ! l/ / / . % . % . %

se sigue que . Luego, . Adems, si$ $ A .l ! l l > l a> !: $ : % "Adems, . Luego es asintticamente estable.lim

>l > l ! B > !:

63.Sea una solucin de: > > B! ! B 0 > B B > B w ! ! Sea , entonces , se sigue queD B > > B D B > > B: : ! ! ! !w w w D 0 > B 0 > > > B 0 > D > > B 0 > > > B w ! ! ! ! ! ! : : :Si es solucin de , entonces: > > C ! ! D > > C B > > C > > B ! ! ! ! ! ! !: :es solucin de . Recprocamente, si es solucin de entoncesD > > D ! ! : : > > D B D > > D > > B! ! ! ! ! ! !es solucin de . Ahora, supongamos que es solucin estable de , es decir,: > > B ! ! . a ! b ! lC B l l > > C > > B % $ $ : : %! ! ! ! ! !Entonces, sea :% $ ! b ! |C B l l > > C > > B l ! ! ! ! !$ : : % !Sea tal que y consideremos la solucin de de D lD l D > > D ! ! ! !$ entonces : : > > D B D > > D > > B! ! ! ! ! ! !es solucin de entonces, D > > D > > D B > > B ! ! ! ! ! ! !: :lo que implica que | | |D > > D > > D B > > B l ! ! ! ! ! ! !: : %pues lD B B l lD l ! ! ! ! $Recprocamente, supongamos que la solucin de es estable,D > ! sea , entonces, existe tal que% $ ! !


| .D l lD > > D l ! ! !$ % Sea tal que , y consideremos la solucin de C lC B l > > C ! ! ! ! !$ : entonces es solucin de D > > C B > > C > > B ! ! ! ! ! ! !: :adems |: : % > > C > > B l lD > > C B l ! ! ! ! ! ! !pues lC B l ! ! $ 0 > B 0 B G 0 ! ! H0 ESi es de clase y tiene todos sus valores " !propios de parte real negativa, entonces la solucin de esB 0 Bw asintoticamate estable.64.Una forma cuadrtica del vector es una funcin\ [ \ A B B

34"

834 3 4

donde son nmeros reales. La forma cuadrtica se dice definidaA A34 43positiva si , \ ! [ \ ! Consideremos B 0 B 0 ! ! w Una es una forma cuadrtica definida positivafuncin de Lyapunov [ \ y tal que si es solucin de , entonces: > ! B ..>[ > ! B [ > ! B : :donde . !65.Si existe una funcin de Lyapunov para[ B 0 B 0 ! !w entonces la solucin es asintticamente estable.: > !Demostracin: Sea , derivando obtenemosh : > [ > ! B! h : : hw ..> ! ! > [ > ! B [ > ! B > [ G B [ B G" es una elipsoide. Demostremos, que est definida para .: > ! B > !!Supongamos que es un punto interior del elipsoide, es decir,B![ B G 7 > ! B ! # !. Sea el extremo superior del intervalo mximo de ,:si y como es un compacto contenido en el dominio de7 [ G# " 0 ! > > 7 , entonces existe un tal que para todo , y % %#: > ! B [ G 7 ! #" . Esto es, si entonces la solucin deja alelipsoide, y sea el primer valor de , para el cual el punto atraviesa la> >wfrontera, entonces para se tiene .! > > > ! B [ Gw "!: Entonces, como es decreciente en esta formah > G > ! Gh h wlo es absurdo. Luego po 7 #Si , entonces como , se sigue que .h h h > ! > > w w >>hh w Luego h h > ! / >o lo que es lo mismo .[ > ! B [ B / : ! ! >


Como es cuadrtica, entonces tales que[ b / . . /lBl [ B lBl# # as que |. : : / > ! B l [ > ! B [ B / lB l /! ! ! !# > # > se sigue que |: : > ! B l l > ! B l /! !# # >/. lo cual garantiza la estabilidad asinttica.

66.Sea el sistema lineal , donde tiene los valores propios con\ E\ Ewparte real negativa. Entonces la solucin es asintticamenteB > ! estable.Demostracin: Sean soluciones tales que: : :" # 8 > > > .:3 3 ! / 3 " # 8Entonces forma una base de soluciones. Sea entonces una > >\: :3 solucin tal que se sigue que: !\ \ B B B" # 8 : : >\ B >

3"

83 3

Ahora formemos [ \ l \ l . B B . ' '! ! # 3 4

34"

83 4: 7 7 : 7 : 7 7

Como | entonces la integral es convergente.: 53 > > l 5/ !5Es obvio que es una forma cuadrtica definida positiva. Ahora[ \ [ >\ l >\ . l >\ l . l ?\ l .? ' ' ': : 7 : 7 : 7 7 :! ! > # # #|

Se sigue que ..> >!

#[ >\ lBl :ahora | | . /\ [ \ l\l l\l [ \# # # " /Se recibe que .. ".> >![ >\ [ !\ : :/La conclusin se sigue del numeral 65.

67.Consideremos el sistema \ E\ 1 \w donde uniformemente. Si existe un valor propio de 1 ! ! ! E l1 \ ll\l \p!con parte real positiva, entonces la solucin no es estable.\ > ! Demostracin: Supongamos que est en forma cannica de Jordan, yaEque si no, existe una matriz tal que si est en formaX XEX F"cannica. Entonces sea en esta forma] X\ = ] X\ X E\ 1 \ XE\ X1 \ XEX ] X1 X ] " "o sea


] F] 1 ] donde 1 ] X1 X ] "Entonces, tiene las mismas propiedades de en efecto:1 ] 1 " 1 ! ! uniformemente, pues # !lim

]!l1 ] ll] l

l1 ] l lX1 X ] l mXml1 X ] l mXml1 X ] lmX m mXmmX ml1 X ] ll] l l] l l] l mXml] l lX ] l " " " " " ""

Entonces lim lim lim

l] l! l] l!l1 ] l mXmmX ml1 X ] l l1 X ] ll] l lX ] l lX ] l

"lX ] l!

mXmmX m !" " "" ""Adems, de se sigue que] X\ mXm l] l l\l mX ml] l" "Demostremos ahora que no es estable, entonces no es] > ! B > ! estable, en efecto; ,b a b ! ! !% $ $ % ! ! ] l] l l] > ! ] l Sea tal que sea tambin y consideramos\ l\ l ]! ! !$ \ > !\ ] > ! ] ! !Entonces, de se sigue que , y por consiguientel\ l l] l ! ! mXm$ % | .] > ! ] l ! %Ahora l\ > !\ lmXm l] > ! ] l ! !" %Se sigue que , de donde se sigue que no esl\ > !\ l \ > ! ! mXm% "estable. As, que podemos suponer, en forma cannica de Jordan.EAdems para mayor simplicidad, supondremos que los valores propios deE E E 5E !! Eson reales, o de la forma donde tiene -valores " # "propios con parte real positiva y el restoE#Como uniformemente, sea , tal quel1 \ ll\l

! ! b !% $ l\l l1 \ l l\l$ % Supongamos que es estable, entonces\ > ! |b ! \ l l > !\ l ( ( : $! ! para todo se sigue que si entonces .> ! l\ l l1 > l l > l! ( : % : Supongamos que . Sean: : : : : > > > > >" 5 5" 8 ] > l > l ^ > l > l

3"

5 83 3# #

35": :

Es claro que . Ahora derivandol > l ] > ^ >: # # # #] > ] > # > > # > > 1 > w w

3" 3"

5 53 3 3 3 33: : : - : :

# > # > 1 > 3" 3"

5 53 3 33

#- : : :Sea , tal que entonces5 5 - ! a3 " 53


#] > ] > # ] > # l > ll1 > lw #3"

53 3 5 : :

Como |1 > l l1 > l l > l3 : : % :se sigue que #] > ] > #] > # l > l l > l # ] > # l > l5] > w # #

3"

535 % : : 5 % :

Pero , as l > l ] > ^ > ] > ^ > l > l ] > ^ >: : # # # #y por consiguiente #] > ] > # ] > # 5 ] > ^ > ] > w #5 %de donde .] > ] > 5 ] > ^ >w # 5 %Ahora #^ > ^ > # C > # > 1 > w

35" 45"

8 83 4 4 43: : : . : :4

# > # > 1 > 45" 45"

8 84 4 44

#. : :

Sea tal que se sigue que. . .4 ! a4 5 " 8 #^ > ^ > # > # l > ll1 > l w #

45" 45"

8 84 4 4. : : :

# ^ > # ] > ^ > l] > l . %#45"

84

# ^ > # ] > ^ > ^ > 8 5. %# se sigue que ^ > ^ > 8 5 ] > ^ > 8 5 ] > ^ >w . % %Ahora ] > ^ > ] > 5 ] > ^ > 8 5 ] > ^ > w w 5 % % ] > ] > ^ > ] > ^ >5 %( 5 %( %( Tomamos entonces % ] > ^ > ] > ^ >5 5(# #w w Luego ] > ^ > ] ! ^ ! / 5# >

68.Sea un subconjunto abierto del espacio euclidiano . Un? I d8campo vectorial de clase , en es una aplicacin G 3 5 \ I5 ? ?de clase .G5 M MUna aplicacin diferenciable en un intervalo se llama : ? curvaintegral de un campo si para todo ,\ > M : :w ..> > > \ >: \ MUna curva integral de es una solucin en de la ecuacin diferencial B \ Bw > > \ > B \ BLa ecuacin (o ) permite la siguiente: :w w..> :interpretacin geomtrica


: es una curva integral de si el vector velocidad en cada punto \ >coincide con el valor del campo en .\ >: B \ B >La ecuacin es llamada (independiente de ) y esw autnomaconsiderada definida en el subconjunto abierto de .H ? d d I : Los teoremas de existencia y unicidad garantizan, para cada , la?existencia de una nica curva integral de tal que : :> : \ ! : : definida en el intervalo maximal . A la curva seM : A : A : > : :le llama pasando por .curva integral de \ :69.Una aplicacin donde se llama: W ? W ? > : : > M: flujo generado por .\\ B B d \ > B # B">Ben . El flujo de es dado por cuyo dominio? :es si si y si .W > B > B ! > B ! > d ! " "B B\ B EB E 8 8 \ , donde es una matriz . El flujo del campo es: W ? > B / B d \>E . En este caso, el dominio es y es llamado campolineal B 0 > B dToda ecuacin en puede ser considerada como elw 8" Hsistema autnomo , en ..B .>.= .= 0 = B " H70.Sea un campo vectorial de clase . Si es una curva\ I G > :? : 5integral de , pasando por , definida en el intervalo mximoB \ B \ :w M : A : A : A : lA : l > : y, (resp. entonces tiende:a cuando (resp. ). Esto es, para todo compacto` > A : > A :? O Z Z O A : A : ?, existe una vecindad de (resp. de tal que : > : O > Z para . I \ M : dBajo las mismas hiptesis si y es acotado, entonces ? para todo .: B \ B M + ,Si es una solucin de en el intervalo entonces para: w todo , es una solucin de en- d > > - B \ B< : wN + - , - M N . En particular si es el intervalo mximo de entonces :es el intervalo mximo de .< B \ BSean soluciones de definidas en sus intervalos mximos: :" # w M + , M + , > >" " " # # # " " # y respectivamente. Si entonces: :: :" # # " " # " # > > - - > > + + - , , -, donde y , . B \ B MSea una solucin de definida en el intervalo mximo . Si: w : : : : > > > > M d > - > >" # " # para entonces y para todo , dedonde .- > ># "


71. Si es una solucin mxima de en , se verifica una nica: B \ B Mw de las siguientes alternativas + es uno a uno: , M d y es constante: - M d ! > > y es peridica, esto es, existe un tal que ,: 7 : 7 :para todo , y si | .> d > > > > l : : 7 " # " # \ :Un punto singular de un campo vectorial es un punto tal que\ : ! : > : > . Si es un punto singular entonces , - ,:satisface la ecuacin . Recprocamente, si para todo ,B \ B > dw : > : : \ entonces es un punto singular de pues, =! > > \ > \ :: : ..>: : \ \ : ! :Un punto es llamado de si , o sea, si no espunto regular una singularidad de .\72. Sea el intervalo mximo de una solucin de de . Si M B \ B M d: w entonces es un homeomorfismo sobre su imagen, esto es,: ? M : :" M M es continua. M d O dSi y es biunvoca entonces para cada compacto, | es un: : Ohomeomorfismo sobre su imagen. Pero en general, no es verdad que :sea un homeomorfismo de sobre .d d: B 0 > B En el caso general, la solucinw : : > > B > >" # ! " #no implica que sea peridica. Considrese por ejemplo la ecuacin: >B >B B ! " B >B B ! "w w . Una solucin de es dada por : : : : : > / " " > > #> ## y y sin embargo, .73.Sea el flujo generado por un campo vectorial de clase: ? > : \ IG I d > M : M > : M : >5 8? : abierto. Entonces para todo y para todo , . En particular, la solucin= M > : = > : = > :: : : : general de es dada por .B \ B > > : > > :w ! ! : : B > MB Sea . Entonces es abierto en y W ? W ? : W ?> > > >definida por es un difeomorfismo de clase de : : W> >5 B > B G sobre .W> d M B d B Cuando y para todo entonces y el conjunto? ? W ?8 > de los difeomorfismos es un grupo con la aplicacin: ? ?> composicin de aplicaciones. ste es llamado grupo a un parmetro dedifeomorfismos en generado por el campo .? \ \ : E : E 8 8 , donde es una matriz . Tenemos: : :> >=E> >= E >E =E : / : : / : / / : : : :>= > = >E =E / /En este caso, no obstante el campo no es acotadoW> 8 d74.El conjunto , esto es la imagen de la curva integral# :: > : > M: de por el punto es llamado de por el punto .\ : \ :rbita


; ; ; > : > ; > > : . En efecto, si y y# # # # : : :: ; : : " M : > M ; " . \En otros trminos dos rbitas de coinciden o son disyuntas. Esto es ?queda descompuesto en una unin disyunta de curvas diferenciables,pudiendo cada uno ser: + d Imgenes biunvocas de un intervalo de . , Un punto - Difeomorfas a un crculo. \El conjunto abierto provisto de la composicin en rbitas de es?llamado de espacio de fase \Las rbitas son orientadas en el sentido de las curvas integrales delcampo , los puntos singulares son provistos de la orientacin natural.\75.Los campos lineales en donde los cuales\ B E8 8B d E ! # detdefinen sistemas autonomos simples , tienen su espacio de fasecompletamente descritos en el numeral 39. \ d \Describamos ahora el espacio de fase de un campo en , donde tiene un nmero finito de puntos singulares. Sean estos+ + +" # 8puntos, denotemos con y . En cada intervalo + + + + ! 8" 3 3" 3 ! " # 8 " \, tiene signo constante. Si ste es positivo paraB + + > B 3 3" , es estrictamente creciente en su intervalo mximo:M B A B A B + > A B + 3" 3 y tiende para si , y para cuando> A B 3 " A B A B 3 8 adems si se tiene y si

De hecho supongamos que , entonces y por lo tanto3 " + > B3 : A > B en caso contrario . Por otro lado si: : > B , + > 8 8 >p

3 8, tenemos para que

con : : > B > B> > 8 8 8" 88 8"8 8" \ > B > > > :por el teorema del valor medio, se tiene una contradiccin, pues si\ > B \ , ! 8 : 8y el trmino de la izquierda converge para Anlogamente para los!dems casos. Ver la figura. \ \ \ d \ B C B \ B C C BSea en = dado por , . La " # # " # $?curva integral de por el punto es\ : + ,


: > : / + / , /> > $>+ +% %$ $Aqu para todo .M : d : d | , cuando , si y slo si . En caso contrario : > : l > + ! + !: : > : ! > > : ! > , cuando . cuando si y slo si ,+%#en caso contrario cuando El espacio de fase sel > : l > : ilustra en

la figura; compare con la silla para el campo .] B C B C 76.Sean campos vectoriales definidos en los abiertos de .\ \ I" # " #? ?Se dice que es (resp. -\ G" B > B \ \W W" # ", sus dominios. Decimos que es \ conjugado topolgicamente(resp. - ) a si existe un homeomorfismo (resp. unG \< #diferenciablemente


difeomorfismos) tal que , para todo2 2 > B > 2 B? ? : :" # " # > B W" M B M 2 B M MEsta definicin implica que donde y representan los" # " # intervalos mximos de y . De hecho, si por la: :" # 3 3 3M A A 3 " # definicin, . Si , tenemos , por otro ladoM M A A A" # " " #: ? : :" " # "" > B ` > A > 2 B 2 > B si . Por lo tanto tiende para` A A A A A A?# # " " # # " luego . Si tambin pues . Anlogamente para .A G 2El homeomorfismo (resp. -difeomorfismo) es llamado < conjugacintopolgica (resp. -diferenciable) entre y .G \ \< " #La relacin de conjugacin es una relacin de equivalencia entre camposvectoriales definidos en abiertos de .ISe dice que dos campos lineales son si existelinealmente equivalentesun isomorfismo lineal tal que , donde y son2 2 > : > 2 : : : : :" # " #los flujos de los campos lineales y donde y \ B E B \ B E B E E" " # # " # son matrices reales. En este caso, lo cual:" E > E > E > > / : 2 / : / 2 :" " "se tiene si y slo si .2E E 2" "Si dos campos lineales, son linealmente equivalentes, entonces ellos sonG-diferenciablemente equivalentes.78. Sean un campo el cual define un foco estable en y un campo\ d \" ##que define un foco nodo estable en .d#

Se puede mostrar que son topolgicamente equivalentes pero no sondiferenciablemente equivalentes. Pues si tomamos como siendo un2difeomorfismo de ste no puede llevar rbitas de en rbitas de d \ \# " #porque cuando una rbita de tiende para el origen su tangente queda\"indefinida, lo cual no sucede en el nodo. 2 De acuerdo con la definicin, un homeomorfismo es una? ?" #conjugacin entre y si , por composicin, transforma las curvas\ \ 2" #integrales de en las de .\ \" #Se tiene la conmutatividad del siguiente diagrama


Es claro que si es una conjugacin topolgica o diferenciable entre y2 \"\ 2 \ \ # " #, aplica las rbitas de en las rbitas de preservando laorientacin de cada rbita. Tambin, preserva puntos singulares y2rbitas peridicas. \ \ \ B E B \ B E BSean y los campos lineales , donde" # " " # # E 3 " #! !3 3

33

"" " real, . Todas sus rbitas son peridicas, excepto! \ # \ # : Las del campo tienen perodos y las de , . Si " " # # " #" 1 " 1 " "estos campos no pueden ser conjugados topolgicamente.79.Sea un difeomorfismo de clase . Entonces es una2 G < " 2? ?" #


Por otro lado, si y no es punto singular de , entonces se puede: : \?encontrar una seccin transversal a que pasa por .\ : : \Si no es una singularidad de entonces existe por lo menos una , Dseccin transversal a tal que .\ : D82.Teorema del Flujo Tubular: Sea un punto ni singular de y: \ G ; \l para todo , la curva integral de est definida,: Zbiunvocamente en N ; ; ; % 7 % 7 , ; ; ; > ; l es el nico punto donde intersecta a . En0 : 7 D : DN;particular si y slo si ; Z ; !D 7 - Z G H ; Z es de clase y es sobreyectiva, para todo . Ms0 D 05 ;an, si y slo si , para algn .H @ ! @ \ ; d0 ; 84.Sean un subconjunto abierto del espacio euclidiano y? I d8\ I G " 5 ? un campo vectorial de clase .5Sea la curva integral de pasando por , definida en su: : > > : \ :HIJintervalo mximo . Si resp. ,M : A : A : A : A : y cuando A : ; b > > > ; 8 ? :8 8 8 : ; b > > > ; 8 resp. y cuando ? : 8 8 8es llamado conjunto -lmite resp. -lmite de .A :


85.Sea el campo que la silla en , entonces \ d > : / :#!

! >: - -" #

- - # " " ! : I A : : !. Si y Si y : I A : ! : # Si y , .: I : I A : : " # > :Si es peridica, de perodo , entonces: 7 A : > : ! > : # : 7 :

De hecho, implica que . Defnase la; ; > :# :: ;sucesin . Se tiene y .> > 8 > > > 8 > ;8 ; 8 8 ; ;7 : : 7 : \ dSea un campo tal que el espacio de fase es y las rbitas son#espirales exteriores e interiores al crculo de radio . EntoncesG "

# : ! G si es interior a : si es exterior a # : G: para todo cuya rbita A : G : ! #: : \ A : : > :Si es un punto singular de , pues . :A ; A : ; \ : para todo pertenece a la rbita de por el punto . Esto#:se sigue del hecho que en estas condiciones, para: : > ; > - :algn . Podemos, por lo tanto, definir el - conjunto -lmite de una rbitaA# #como siendo cualquiera. Anlogamente se define el conjuntoA : : #-lmite de . > > : \ :Si denota la curva integral de por el punto entonces< : > : A >. Se sigue que el -lmite de es igual al -lmite de


y recprocamente, el -lmite de es el -lmite de . Por este motivo,A >: > ! : > > !rbita positiva (resp. negativa) de por el punto . Si (rep. ) es\ : : :# # compacto en , entonces (resp. ) no es vaco, compacto, convexo? A : : e invariante por (esto es, implica ).\ ; A : > ; A : > M; : > ; > dEn las condiciones del teorema est definida para todo , esto: es, si M ; d ; A: Demostracin: Supngase que entonces A ; > ; `

>A ; lim

: ?esto significa que compacto tal que , enaO bZ Z A ; > ; O :particular, como es compacto, se tiene , pero A : > ; A : ; A: :por hiptesis, entonces como es invariante por se sigue queA : :: : :> ; A: > ; A : > ; A: po. De y obtenemos una contradiccin, por tanto .A ;

87.En lo que sigue se supone que es un subconjunto abierto de y ? d \#un campo vectorial de clase en .G < "< ?Teorema de Poincar Bendixson:Sea una curva integral de: : > > :\ > ! > > !definida para todo tal que est contenido en un# :: subconjunto compacto de . Suponga que el campo posee unO \?nmero finito de singularidades en . Se tienen las siguientesOalternativas: + A : A : Si contiene solamente puntos regulares entonces es unarbita cerrada. , A : A : Si contiene puntos regulares y singulares entonces consistede un conjunto de rbitas, cada una de las cuales tiende a uno de esospuntos singulares cuando .> - A : A : Si no contiene puntos regulares entonces es un puntosingular.En las hiptesis del teorema de Poincar Bendixson toda cuva integralconsiderada estar definida para todo , dado que la cerradura de la> !rbita correspondiente es un conjunto compacto.88. Si , siendo un seccin transversal a y una: A \ > D # D # : rbita de , entonces puede ser expresado como lmite de una\ :sucesin de puntos de .# D


\Conviene observar que una seccin transversal a tiene dimensinDuno pues se est considerando el campo en . Luego, localmente \ d# Des una imagen difeomorfa de un intervalo de la recta.89.Sea una seccin transversal a contenida en . Si es una rbitaD ? #\de y entonces intersecta a en una\ : > : > !# D # : D! sucesin montona : : : " # 890.Se es una seccin transversal a y entonces intersecta aD ? D\ : A : mximo en un punto. A: \ A: Se , siendo una rbita cerrada de entonces # # # : \ A: ASea y una rbita de , . Si contiene puntos? # # # regulares entonces es una rbita cerrada.A : A # #

2. RESULTADOS PROBADOS1.Bajo las hiptesis del teorema de Peano, se define la familia defunciones de la siguiente forma: Sea :: 5 5 > > > > > > ! " # 7 !una particin de con norma > > ! ! .l l > > 5 ! " # 7 "5 max 5" 5En defina . Si se define en ,> > > > > > 0 > B > > > ! " 5 5 ! ! ! 5: : :5 5 5 5 7 l > B l , > > > 0 > >y, entonces se toma : : :5 5 5 ! 5 ! 5 5para . Este proceso define como una funcin continua y> > > 5 5" :5seccionalmente lineal. Demuestre el teorema de Peano obteniendo unasolucin de funciones de la familia arriba definida.SOLUCION: Sea dada en el teorema de Peano tal queQ , m0> Bm Q a> B HSea . Construyamos una sucesin de funciones que sean + ,Qmin soluciones aproximadas del problema B > 0 > B > B > Bw ! ! como sigue: Para fijo, sean8 > > 5 ! " # 85 ! 58definamos ahora as:8 :8 ! ! > B


, si : :8 ! ! ! ! ! ! " > B > > 0 > > > > > . . . . . . . , si : : :8 8 5 5 5 8 5 5 5" > > > > 0 > > > > > : :8 ! ! 8 ! as definida en , adems > > m > B m , En efecto; : : :8 8 5 5 5 8 5 > > > > 0 > >pero as: : :8 5 8 5" 5 5" 5" 8 5" > > > > 0 > > : : : :8 8 5" 5 5" 5" 8 5" 5 5 8 5 > > > > 0 > > > > 0 > >Ahora : : :8 5" 8 5# 5" 5# 5# 8 5# > > > > 0 > >o sea que: : : :8 8 5# 5" 5# 5# 8 5# 5 5" 5" 8 5" > > > > 0 > > > > 0 > > > > 0 > > 5 5 8 5:Anlogamente se tiene : : :8 5# 8 5$ 5# 5$ 5$ 8 5$ > > > > 0 > >o sea que: : : :8 8 5$ 5# 5$ 5$ 5$ 5" 5# 5# 5# > > > > 0 > > > > 0 > > . > > 0 > > > > 0 > > 5 5" 5" 5" 5 5 8 5: :As se continua hasta llegar a : : :8 ! 3" 3 3 8 3 5 5 8 5

3!

5" > B > > 0 > > > > 0 > >Ntese que : :8 5 ! 3" 3 3 8 3

3!

5" > B > > 0 > >Por consiguiente tenemos : : :8 ! 3" 3 3 8 3 5 5 8 5

3!

5" > B > > 0 > > > > 0 > >Tomando normas y aplicando la desigualdad triangular se llega a:m > B m l> > lm0 > > m l> > lm0 > > m : : :8 ! 3" 3 3 8 3 5 5 8 5

3!

5" Veamos ante todo que para todo m0 > > m Q 5 5 8 5:en efecto, para se tiene , por que por hiptesis5 ! m0 > > m Q ! 8 !: > B 5! H. Supongamos que es verdadero para , es decir m0 > > m Q 5 8 5:y vemoslo para , para lo cual basta con ver que5 " > > > > 5 8 5 5" 8 5": H : Hpero : :8 5 ! 3" 3 3 8 3

3!

5" > B > > 0 > >entonces , porque estamos suponiendo quem > B m ,:8 5 ! > > 5 8 5: H, as


: :8 5" ! 3" 3 3 8 33!

5 > B > > 0 > >m > B m > > m0 > > m Q R Q ,

3 !

8: : 8 5" ! 3" 3 3 8 33!

5

8 85

As que en tenemos m > B m > > Q > > Q > Q > Q >Q > Q :8 ! 3" 3 5 ! 5 5

3!

5" > > Q Q , ! y adems si : :8w 5 8 5 5 5" > 0 > > > > > "sea si si =?

: :8

8w

8 ! " 8! " 8

> #> 0 > > > > > >! > > > >entonces tenemos m > m m > m m0 > > m #Q? : :8 88w : : ?8 8 8>

> ' > 0 > > > .> $!

Luegom > > m m 0 > > > .>m m0 > > m m > m.>: : : ? : ?8 8 8 8 8w > >

> > ' ' w w $Ql> >l %w O sea que la sucesin es equicontinua y uniformemente acotada > :8 en . Por el teorema de Arcel existe una subsucesin digamos> > ! ! > > : : 8 ! !5 unifomemente convergente a una funcin lmite en .De y " $ si ? : :8 5 8 5 8 5 5" > 0 > > 0 > > > > >Luego como es uniformemente continua en o sea dado ,0 > B ! H %existe tal que$ | implica B C B C l l0 B C 0 B C l &w w w w$ %de si se tiene % > > >5 5" m > > m $Ql> >l $Q !: :8 5 8 5 8 cuando por lo tanto, si es suficientemente grande se tiene:8 8 m > > m l> >l : :8 5 8 5# #8 $ $ as | > > > > l l> >l m > > m 5 8 5 5 8 5 8: : : : $maxo sea por & m0 > > 0 > > m 5 8 5 8: : %Luego uniformemente en . Tambin? 8 ! ! > ! > > 0 > > 0 > 0 > :85uniformemente en . De tomando se tiene> > $ 8 8 ! ! 5 0 B 0 > > .> ' >>! :o sea que es una solucin del problema en : > > ! !

2.Sea una sucesin de funciones continuas en0 0 " #


H > B > > > + lB B l , ! ! !tal que uniformemente en . Sea una solucin de0 08 8H : B 0 > B B > Bw 8 8 8 en donde y tal que .> > + 8 " # > > B B! ! 8 ! 8 !Pruebe que existe una sucesin uniformemente: : :8" 8# 84 convergente en y que para cualquier sucesin en estas> > +! !condiciones, el lmite es solucin de: : > >lim

585

en B 0 > B B > B > > +w ! ! ! ! bEn particular, si posee una nica solucin en , entonces b : > > > +! !: : > >lim

8 8 uniformemente.

SOLUCION: Debemos colocarnos en las hiptesis del teorema de Arzel, asdividimos la prueba en las siguientes partes: M La familia de funciones es uniformemente acotada:8 MM La familia de funciones es equicontinua.:8 MMM El lmite de la sucesin cumple con b MZ El caso particular. M 0 0 Sabemos que cada una de las funciones es continua en , as es8 8Huniformemente continua y acotada por consiguiente, entonces talbQ !8que en . Por otra parte uniformemente en , por lol0 l Q 0 08 8 8H Htanto dado , existe tal que si , o sea que% % ! R ! 8 R m0 0m 8m0 m m0m m0 m m0m a0 8 R8 8 8% %, lo cual es lo mismo que con ,pero es continua en que es compacto, por lo tanto existe tal que0 QH m0m Q m0 m Q 8 R R 8, as para y finito pero grande sea% Q m0 m 3 " # Rmax 3 el cual existe por ser un conjunto finito. Sitomamos se obtiene que , en estaQ Q Q m0 m Q a0max 8 8%forma la familia de funciones es uniformemente acotada.08Ahora, sea la familia de soluciones de la familia de ecuaciones :8 B 0 > B B > Bw 8 8 8 dadas por la hiptesis, veamos que son tambin uniformementeacotadas. Dado que las funciones son continuas, se puede pensar en la:8siguiente ecuacin integral : : :8w 8 8 8 8 8 > 0 > > > B ' ' > >> >8w 88 8: := .= 0 = = .=Por el teorema fundamental del clculo se tiene : : :8 8 8 8>

> ' > > 0 = = .=8

Tomando la norma se llega a m > > m m 0 = = .=m l m0 = = m.=l Ql> > l: : : :8 8 8 8 8 8 8 8> >

> > ' ' 8 8

o sea m > m mB m m > > m Ql> > l Q+: : :8 8 8 8 8 8 as, m > m mB m Q+:8 8


Pero se sabe de la hiptesis que cuando , es decir dadoB B > >8 ! !% % ! R ! mB B m 8 R l> > l R, existe tal que si ( o si ) esto8 ! !implica que para de aqumB m mB m 8 R8 ! % mB m mB m mB m mB m mB m mB m Q8 ! " # 8 ! "% %maxPor consiguiente m > m Q Q+ a> > > + a8:8 " ! ! esto nos lleva a concluir que la familia es uniformemente acotada. :8 MM Sabemos que es una familia de funciones continuas y:8diferenciables por ser soluciones de la familia de ecuaciones B 0 > B B > Bw 8 8 8 , apliquemos el teorema del valor medio as : : : 0 08 8 " " "8w > > l> > l > >Tomando norma, se tiene. m > > m m ml> > l m0 ml> > l Ql> > l: : : 0 0 : 08 8 " " 8 8 " "8w Ahora dado , existe tal que si entonces% $ $ ! l> > l %Q "m > > m Ql> > l : : %8 8 " " Esta ltima implicacin es verdadera para todo as que la familia es:8equicontinua. MMM Como la familia es equicontinua y uniformemente acotada:8 resultado bsico 53 se sigue del teorema de Arzel la existencia de unasubsucesin converge uniformemente para una: : : :8" 8# 8$ 85 funcin , as .: : : > > >lim

585

Estamos con todas las hiptesis necesarias para justificar la siguienteafirmacin lim lim lim lim

2! 2!>2 >

2 2"

8 88 8: : > 2 > : :

> 2 > lim lim lim lim2! 2!

"2 28 88 8

>2 >: : : :8 8 > >lim lim lim lim

8 8 82!>2 > . >

2 .> .> .>.

8.: : :8 8 8 : :

luego es una funcin diferenciable.: >Veamos pues que es una solucin de la ecuacin: > B 0 > B B > Bw ! ! En efecto;: : : : :w . . ..> .> .>5 5 585 85 85 85 7 > > > > 0 > >lim lim lim "

0 > > 0 > >lim lim5 5

85 85 7 : : " La igualdad se sigue, debido al hecho de ser uniforme la convergencia.Ahora, veamos que en efecto,: > B ! ! : : : : 7 > > > >! 85 ! 85 85 85 855 5 5 5 5lim lim lim lim lim B B Blim lim lim

5 5 585 ! !


Finalmente veamos que si la ecuacin tiene unaB 0 > B B > Bw ! ! nica solucin, , en efecto si esto no se tiene, existira un lim

8 8: : % !

tal que para todo , existe una subsucesin de tal que5 ! : :85 8 m m : : %85 pero tiene una subsucesin teorema de Arzel tal que : :85 85 4 lim

4 85: :4

lo cual sera contradictorio, ya que no se estara de acuerdo con y se llegara a una proposicin contradictoria.po

3. Aproximaciones sucesiones Con las hiptesis y notaciones delteorema de Peano, probar que la siguiente sucesin, llamada :8sucesin de aproximaciones sucesivas, est bien definida, para> > > ! ! : H ' > B B 0 = = .= 8 ! " #:: :! !8" ! 8>>! + 0 Si es lipschitziana, se tiene un resultado donde se afirma que lasucesin es convergente. Verifique que para la funcin , no 0:8lipschitziana, dada por

0 > B ! > ! B #> > B #> ! B > > "#> B !

#

%B>

#

la sucesin de aproximaciones, para no es convergente.> B !! ! , 8 " > B ! 0En el caso , sea y sea una funcin continua tal que! ! si y 0 > B 0 > B B B 0 > ! ! a> ! + " # " #Pruebe que las aproximaciones sucesivas convergen para una solucin de .B 0 > B B ! !w SOLUCION:La sucesin esta bien definida, debe ser continua, lo cual 0se tiene por las hiptesis del teorema de Peano entonces basta probarque esta en donde = donde Sea: H H 8" , > M F + ,Q min F > B l> > l mB B m Ql> > l ! ! !entonces demostremos que el grfico de esta en . Claramente F F Hes acotado y tambin vemos inductivamente que tiene su > B F ! !grfico en . Por definicin de , tiene su grfico en y por loF F > B F:! ! tanto en , ahora supongamos esto verdadero para , es decir,H 8 : :8 ! 8">

> ' > B 0 = = .=!

tiene su grfico en y vemoslo para F 8 " |m > B m m 0 = = .=m m0 = = m.= Ql> > l: : :8" ! 8 8 !> >

> > ' ' ! !

as obtenemos lo deseado.Veamos ahora la parte . + + Demostremos que la funcin


0 > B ! > ! B #> > B #> ! B > > "#> B !

#

%B>

#

no es lipschitziana por que en el intervalo , se tiene que! B > > "# 0 >B 0 >C % CBBC BC > BC >

#> #> % %B> >%Centonces , basta tomar bien pequeo. m m Q >0 >B 0 BCBC >% Calculemos ahora la sucesin de aproximaciones de en efecto0 > B :! > ! :" ! !

> > # ' '> 0 = ! .= #=.= > :# ! !

> ># #%== ' ' > 0 = = .= #= .= >#

:$ ! !> ># # ' '> 0 = = .= #=.= >

:% ! !> ># #%=

= ' ' > 0 = = .= #= .= ># En general obtenemos por recurrencia : :#8 #8"# !

> ' > > 0 = = .= : :#8" #8## !

> ' > > 0 = = .=demostremos que se tiene para 8 ": : :# 8" " #8" #8! ! !

> > ># # ' ' ' > > 0 = = .= 0 = = .= #= .= >: : :# 8" #8# #8"! ! !

> > ># #%== ' ' ' > > 0 = = .= 0 = = .= #= .= >#

Ahora bien no existe ya que la sucesin tiene dos puntoslim8 8

: >de acumulacin, a saber y .> ># # ', > 0 = = .= Veamos en primer lugar que es una: :8 8"!>sucesin montona creciente para cada , en efecto > ! + > !:! ahora , entonces por la monotona de la integral se0 > ! 0 > > ! :!tiene : : :" ! !!

> ' > 0 > > .> ! >supongamos que , entonces veamos que .: : : :8" 8 8 8" > > > >De la hiptesis del enunciado del problema y de se tiene: :8" 8 > > 0 > > 0 > > : :8" 8Por la monotona de la integral se tiene ' ' ! !> >8" 80 = = .= 0 = = .=: :As y para cada luego es una sucesin: : :8 8" 8 > > a8 > ! + montona, por otra parte se sabe que es uniformemente continua en yHse tiene entonces m0 > B m Q a > B Has m > m m 0 = = .=m l m0 = = m.=l Ql> >l Q: : : 8 8" 8" !> >

> > ' ' ! !


esto se tiene para todo as tenemos que es una sucesin: :8 8 uniformemente acotada y para cada es montona creciente entonces la>sucesin converge puntualmente a una funcin o sea: > lim

8 8: : > >

Es conocido un teorema de Arzel que dice: Sea una sucesin de0 8funciones integrables que tiende para una funcin puntualmente en0+ , 0 0 en un conjunto compacto . Si es uniformemente acotada y 8integrable en entonces se tiene+ , .lim lim

8 8+ + +, , ,

8 8' ' ' 0 B .B 0 B .B 0 B .BPor consiguiente estamos bajo las hiptesis de este teorema as, lim lim lim

8 8 88 8" 8"! !> >: : : ' ' > 0 = = .= 0 = = .=

0 = = .= 0 = = .= >' ' ! !> >8 8"lim : : :as : : :w > 0 > > ! !

4.Sea dada por . Considere la ecuacin0 B C d d 0 B C lBl #diferencial .C.B 0 B C C ! ! " D una solucin # Es ella la nica solucin? $ #En caso de que la respuesta de sea negativa se contradice elteorema de Picard?SOLUCION: Una solucin es , puesto que " C B ! aB , C B 0 B ! ! C ! !w # La solucin no es nica ya que si si C B

B !! B !

B%# es otra solucin distinta de la dada en en efecto " .C.B #B C lCl C ! ! $ 0 B C No se contradice el teorema de Picard puesto que no eslipschitziana en una vecindad de , en efecto; ! ! 0 B C 0 B C lCl lC l lCllC llCl lC l podemos tomar , asC ! C ! 0 B C 0 B C CClCl lC l para cualquier dado si se toma entoncesQ ! ! C C " "% %Qmin # C C C C " " "#Q #Q Q As, | | .0 B C 0 B C QlC C l CClCl lC l| |

5.Sea la ecuacin dada por.C.B # 0 B C d d


si si 0 B C B C ! !

! B C ! ! BCB C# #

Muestre que la ecuacin admite solucin para la condicin.C.B 0 B C inicial C B C ! !SOLUCION: Para tal fin observemos que es acotada en el plano, dado0 B C que para se tiene que as , B C ! ! B C ! B C ! aB ! aC !#o sea B C #BC ! aB ! aC !# #o equivalentemente B C #BC aB ! aC !# #por lo tanto , as aB d aC d l0 B C l BCB C # #" "# # adems 0 ! ! ! "#por consiguiente l0 B C l a B C d "# #0 ! ! es continua en toda parte salvo en el origen por que es el cociente de funciones continuas con denominador no nulo.0 admite derivada parcial con respecto a la segunda variable `0`C

B B CB C # ## # #

y es continua en todo punto distinto de ya que el cociente de dos ! !funciones continuas con denominador no nulo y por consiguiente es0lipschitziana en una vecindad cerrada del punto . B C !! !As la ecuacin con admite solucin nica en todo.C.B ! ! 0 B C C B C punto distinto de puesto que se tienen las hiptesis del teorema de ! !Ricard en una vecindad de . B C! !

6.Dada una forma decimos que ella es B C Q B C .B R B C .Cexacta en si existe tal queY Y d 1 Y d # `1 `1`B `C Q B C R B C es decir, ..1 B C B CPruebe lo siguiente caso particular del lema de Poincar : Si y son Q Rde clase en un rectngulo entonces es exacta si y slo si .G V " `Q `R`C `BSOLUCION: Si es exacta entonces B C Q B C .B R B C .Cb1 Y Y d d Q R G

# " tal que se tenga . Pero y son de clase entonces podemos derivar ` ``C `B `C `B `C `B

`1 `1`Q BC `R BC las hiptesis implican entonces ` 1 ` 1`C`B `B`C `C `B`Q `R

# #

Recprocamente, supongamos que se tiene entonces veamos que B C Q B C .B R B C .C es exacta. Debemos hallar una funcin


1 Y Y d d

# , en efecto, basta tomar1 B C Q B C .B R B C .C R B C .C Q B C .B ' ' ' ' B C BC B C B CBC BC B C BC! !! ! ! ! ! !! !y se tiene lo deseado, o se cumple , ya que `1`B `B` B C BC

BC BC! Q B C .B R B C .C ' ' ! ! !!

Q B C .B R B C .C Q B C .C` ``B `B `BB C BC BCBC BC BC

! !`R BC' ' ' ! ! ! !!

Q B C .C Q B C Q B C Q B C Q B C ! ! !BCBC `Q BC`C' !Ahora, en forma anloga tenemos `1`C `C` B C B C

B C BC! R B C .C Q B C .B ' ' ! ! !!

R B C .C Q B C .B R B C Q B C .B` ` ``C `C `CB C B C B CB C BC BC

! !' ' ' ! ! ! !! . R B C .B R B C R B C R B C R B C ! ! !B CBC `R BC`B' !

7.Sean y funciones continuas.Q R Y Y d d #Sea una forma exacta (es,decir tal B C Q B C .B R B C .C b1 Y dG"que ) y considere las ecuaciones./1 B C ! " Q B C R B C C ! # wsupngase que tal que . Muestre que1 Y d .1 3 C B # B C B dSi es una solucin de con entonces# 1 B C B -98=> 33 C B G 1 B C B -98=>Recprocamente, si es de clase tal que "entonces es una solucin de .C B # SOLUCION: Si es solucin de con 3 C B Q B C R B C C ! B C B dwentonces Q B C B .B R B C B .C ! por hiptesis de exactitud existe (puede suponerse conexo) talY 1 Y dG"que , , Q B C B R B C B `1 BC B `1 BC B`B `C Seleccionando un punto podemos afirmar que+ Y .1 + C + " C + C + ! w w`1 `1`B `Cesto implica que constante , por ser conexo y de clase1 + C + G Y 1 G 1 B C B G" se tiene que .


33 Y Dado que se ha supuesto conexo se tiene .1.B .B. 1 B C B G !o sea `1 `1 `1 `1`B `C `B `C w.B .C ! C !basta tomar ya que as`1 `1`B `C Q B C R B C . 1 .Q B C B R B C B C B ! w

8.En las mismas hiptesis del problema 7, mostrar que si R B C ! ! !entonces la ecuacin con una condicin inicialQ B C R B C C ! wC B C C B G ! ! ", admite una nica solucin de clase , para algnintervalo de definicin suficientemente pequeo. En otras palabras b !%tal que es una solucin entonces , adems: % % : B B d C ! !C B G es de clase ".SOLUCION: Se sabe que . Sea tal que , B C d 1 d d d 1 B C G! ! ! !#aqu tambin se sabe que el1 B C Q B C R B Cw ! ! ! ! ! !


33 # Derivando se tiene " 2 1 ! 2 2 1D B C D Centonces 2 2 2 1 2 D C D C C"1 1

1B B

C 333 5 C D 0 2 C D C C Sea , derivando parcialmente con se tiene`5 `5`C `C 1B C C B C

1 0 2 0 33 0 0, por se tiene entonces CB

`5`C 1 10 1 1 0 N 01 !B C B C

B B

en una vecindad de digamos entonces es independiente de B C Z 5 C! ! wen . Sea en , entonces Z Z 5 C D J D Z Z d 0 B C J 1 B Cw w para algn intervalo que contiene a y .M 1 B C J G M ! ! "

10.Usando el resultado del problema 9 anterior, para mostrar que siR B C ! 1 B C " B C ! ! ! ! y es una integral regular de en entoncescualquier otra integral de tiene la propiedad de que0 B C " 0 B C J 1 B C B C J M d en una vecindad de para alguna de! !clase G".SOLUCION: Si y es una integral regular de R B C ! 1 B C " ! !Q B C R B C C ! w , entonces para cualquier otra integral de , "bJ M d 0 B C J 1 B C B C tal que en una vecindad de . Ya hemos! !mostrado en un problema anterior que la ecuacin Q B C R B C C ! wtiene una nica solucin en una vecindad de entoncesZ B C ! ! 0 B C B 0 B C B C B !B C w 1 B C B 1 B C B C B !B C w entonces C B 0 1 0 1 !w 0 BC B 1 BC B0 BC B 1 B C C B B BC C BC B en , por el problema 9 de clase tal queZ bJ M d G " 0 B C J 1 B C

11.Sean funciones continuas, reales o complejas en un+ + +! " 8" intervalo . La siguiente ecuacinM + . B . B . B.> .> .>8" 8# !

8 8" 8#8 8" 8# + > + > + > B

es llamada ecuacin lineal de orden . Considrese 8 G G Md8 8 o el espacio vectorial de las funciones reales o complejas deG M8 clase en . Probar que el conjunto de soluciones de forman unG M 8 espacio vectorial de de dimensin .G 88SOLUCION: Consideremos la siguiente notacin clsica para . B . B.>

5"

885 .>

88

85

85 + > " se hace ahora la siguiente sustitucin B B" .B.> .># .B" B


.B.> $ . B##

.># B .B.> .>8 . B8"

8"8" B

y por consiguiente tenemos .B.> ! " " # 8" 88 + B + B + Bobteniendo as el siguente sistema lineal B E > B #w donde

E >

! " ! !! ! " ! ! ! ! "

+ > + > + > + >

! " # 8"

Sea una solucin de , entonces: > " . > . >.>

5"

885 .>

8 85

8 85: : + >

Haciendo uso de la sustitucin se obtiene el siguiente vector \ > > > > : : :w 8" Se afirma que es una solucin de en efecto\ > # \ > > > >w w ww 8 : : : y

! " ! !! ! " ! ! ! ! "

+ > + > + > + >

>>

>

! " # 8"

w

8"

::

:

>>

+ > + > > + >

::

: : :

www

! " 8"w 8"

Recprocamente, supongamos que \ > > > > : : :" # 8es una solucin de ; esto es # \ > E > \ >w o sea

: ::

:

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:

"w

#w

8w

! " # 8"

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8

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! " ! !! ! " ! ! ! ! "

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as : :"w # > &

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Dario Sanchez 2005

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