7/31/2019 Ecuaciones Del Plano en El Espacio

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Ecuaciones del plano en el espacio.

Un plano en el espacio est determinado por dos vectores de direccin y un punto. Tambin se puedenobtener las ecuaciones de un plano a partir de tres puntos no alineados, sin mas que construir dosvectores de direccin, a partir de los puntos.

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Hallar las distintas ecuaciones del plano que pasa por los puntos A=(1,2,3) B=(0,-1,1) yC=(-2,1,-2)

1. Ecuacin Vectorial

, hallemos los vectores de direccin del plano u=(-1,-3,-2) [AB] y v=(-3,-1,-5)[AC], tomamos un punto A=P y sustituyendo se tiene que (x,y,z)=(1,2,3)+l(-1,-3,-2)+m(-3,-1,-5)

2. Ecuacin paramtrica

Si consideramos la ecuacin componente a componente se tiene la ecuacin paramtricax=1-l-3my=2-3l-mz=3-2l-5m

3. Ecuacin general.

Se deduce de la ecuacin =>15(x-1)+6(y-2)+z-3-9(z-3)-2(x-1)-5(y-1)=0 13x-13+y-2-8z+24=013x+y-8z+9=0

Ejemplo 2.

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Problema 1:

Hallar la ecuacin del plano que pasa por el punto (1, 2, 3) y es paralelo al plano 3x - 2y + 4z -5 = 0.

El vector 3 i - 2 j + 4 k es perpendicular al plano dado y al que queremos calcular. El vector queva desde el punto (x, y, z) al punto (1, 2, 3) es (x - 1) i + (y - 2) j + (z - 3) k . El producto escalar deestos dos vectores es igual a cero y es la ecuacin del plano:

(3 i - 2 j + 4 k)[(x - 1) i + (y - 2) j + (z - 3) k] = 0

3x - 2y + 4z = 11

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Problema 2:

Hallar la ecuacin del plano que pasa por los puntos (1, 2, 3) y (3, -2, 1) y es perpendicular alplano 3x - 2y + 4z - 5 = 0.

Necesitamos un vector perpendicular al plano que nos piden. Este vector lo podemos calcularmultiplicando vectorialmente el vector 3 i - 2 j + 4 k y el vector formado por los puntos que nosdan 2 i - 4 j - 2 k.

El producto vectorial de los dos vectores es -20 i - 14 j + 8 k

Calculemos el vector formado por la unin de los puntos (x, y, z) y cualquiera de los dos quetenemos, por ejemplo, (1, 2, 3). Este vector ser: [(x - 1) i + (y - 2) j + (z - 3) k]

El producto escalar de estos dos vectores es 20x + 14y - 8z = 24

Problema 3:

Hallar la ecuacin del plano que pasa por los puntos (1, 2, 3), (3, -2, 1) y (5, 0, -4).

Necesitamos un vector perpendicular al plano que nos piden. Este vector lo podemos calcularmultiplicando vectorialmente los vectores que se forman al unir el primer punto con el segundo,2i - 4 j - 2 k y el primer punto con el tercero 4 i - 2 j - 7k (valdra cualquier otra combinacin) .

El producto vectorial de los dos vectores es 24 i + 6 j + 12 k

Calculemos el vector formado por la unin de los puntos (x, y, z) y cualquiera de los tres quetenemos, por ejemplo, (1, 2, 3). Este vector ser: [(x - 1) i + (y - 2) j + (z - 3) k]

El producto escalar de estos dos vectores es 4x + y + 2z = 12

Problema 4:

Hallar la distancia del punto (1, 2, 3) al plano 3x - 2y + 5z = 10.

Cogemos un punto cualquiera en el plano. Es muy fcil: hacemos x = 0, y = 0 y lo sustituimosen la ecuacin del plano. Entonces z = 2. Ya tenemos un punto en el plano (0, 0, 2).

Calculamos el vector que une el punto (1, 2, 3) con (0, 0, 2). Este vector ser: i + 2 j + k.

Calculemos el producto escalar del vector ( i + 2 j + k)(3 i - 2 j + 5 k)/raiz 38 = 2.raiz 38/19.

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