Ecuaciones de Primer Grado
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I. Ecuaciones de Primer Grado1) 3x 2 = x + 8
2)
3) 7x [(x + 4) (2x + 1)] = 10
4)
5)
6)
7)
8) (x + 2)2 x = 2x2 (x - 2)29) (x + 6)2 + 12 = x2 + 3x + 1
10) (x + 5)(x - 3) = x2 + x + 1
11) (x - 4)(x - 3) = x2 + 2x + 8
12) (x + 3)(x2 3x + 9) = 91
13) (x + 5)(x2 5x + 25) (x - 3)(x2 + 3x + 9) = 49x
14) (x - 4)(x2 + 4x + 16) = 936
15) (x + 8)(x2 + 8x + 64) x3 = 2x
II. Ecuaciones de Segundo Grado
1) 36x2 1 = 0
2) 25x2 4 = 0
3) 2x2 + 3x = 0
4) 6x2 + 2x = 0
5) x2 + 13x + 42 = 0
6) x2 + 12x + 32 = 0
7) x2 + 15x + 54 = 0
8) 3x2 10x + 3 = 0
9) 2x2 + 17x + 24 = 0
III. Calcular el discriminante de cada ecuacin siguiente:1) x2 + 3x + 2 = 0
2) 3x2 + x 4 = 0
3) 5x2 + x 6 = 0
IV. Resolver las siguientes ecuaciones, empleando la frmula general:
1) 2x2 5x + 2 = 0
2) 5x2 + 4x 1 = 0
3) 9x2 + 6x + 1 = 0
4) 25x2 10x + 1 = 0
I. Ecuaciones de Primer Grado
1) 3x 1 = 4x + 4
2)
3) 5x + (2x + 3) = 7x (5 - x)
4)
5)
6)
7) (x + 2)2 = 32 + (x - 2)28) (x + 3)2 = (x + 2)2 + 17
9) (x - 5)2 + 4 = x2 7x
10) (x + 4)(x + 5) = (x + 2)(x + 6)11) (x + 6)(x + 1) = (x + 2)(x + 3)
12) (x + 5)(x 5) x2 = -2x + 25
13) (x - 2)(x2 + 2x + 4) x3 = 8x
II. Ecuaciones de Segundo Grado
1) 4x2 25 = 0
2) 16x2 36 = 0
3) 7x2 5x = 0
4) 4x2 3x = 0
5) 9x2 10x = 0
III. Calcular el discriminante de cada una de la ecuaciones siguientes:
1) 5x2 + x 4 = 0
2) 7x2 5x 2 = 0
3) 5x2 6x + 1 = 0
4) x2 + 20x 21 = 0
IV. Resolver las siguientes ecuaciones, empleando la frmula general:
1) 4x2 12x + 9 = 0
2) 5x2 12x + 4 = 0
3) 6x2 + 13x + 6 = 0
4) 2x2 + 17x + 21 = 0
POTENCIACIN CON EXPONENTE NATURAL: En la operacin que consiste en repetir un nmero llamado base, tantas veces como factor, como lo indica otro nmero llamado exponente; al resultado se denomina potencia.
I. LEYES DE EXPONENTES: 1.- PRODUCTO DE BASES IGUALES
2.-COCIENTE DE BASES IGUALES
; A ( 03.-PRODUCTO DE BASES DIFERENTES E IGUAL EXPONENTE
4.-COCIENTE DE BASES DIFERENTES E IGUAL EDXPONENTE
5.- POTENCIA DE POTENCIA
7.- EXPONENETE NEGATIVO:
8.- EXPONENTE NEGATIVO DE UN COCIENTE
9.- EXPONENTE CERO O NULO
Ao = ( ; A ( 0 10.- RAIZ DE UNA POTENCIA
11.-PRODUCTO DE RADICALES HOMOGNEOS
12.- COCIENTE DE RADICALES HOMOGNEOS
; B ( 0
13.- POTENCIA DE UN RADICAL
14.- RADICAL DE RADICAL
II. EJERCICIOS:1. Efectuar:
15 veces
2. Halle el valor de:
E =
3. Calcule:
A =
4. Simplifique:
180 veces.
17 veces5. Simplificar:
E =
6. Simplifique: x =
a) 5
b) 5/3
c) 5/2
d) 5/6
e) 1
7. Calcular el valor de:
A =
a) 1/4
b) 4
c) 1/2
d) 2
e) 8
8. Simplifique:
45 veces
44 veces a) x-2
b) x5
c) x8
d) x9
e) x
9. Opere: B =
a) 4
b) 6
c) 9
d) 16
e) 27
10.
12 vecesa) 15
b) 37
c) 51
d) 67
e) 83
11. Hallar el valor de: A =
a) 2
b) 4
c) 0.5
d) 0.25
e) 3
12. Indique el exponente de x. en
a) 10/3
b) 5/9
c) 10/9
d) 4/3
e) 8/9
13. Efectuar: P =
a) 2
b) 2/3
c) 1.5
d) 3/2
e) 5/2
14. Determinar el valor de A =
a) 2
b) 1/4
c) 1/8
d) 8
e) 4
15. Reducir: E =
a) x
b) x2
c) x3
d) x4
e) 1
16. Calcular: S =
a) 16
b) 4
c) 2
d) 64
e) 3217. Reducir: E =
a) 1
b) 9
c) 27
d) 81
e) 24318. Calcular: S =
a) 6/5
b) 5/6
c) 3/8
d) 8/3
e) 7
1. Calcular: S =
a) 15
b) 25
c) 3/5
d) 225
e) 5/3
2. Efectuar: X =
a) 6
b) -6
c) 1
d) 2
e) 3
3. Reducir: M =
a) 1
b) x
c) x2
d) 0
e) xn4. Efectuar: P =
a) x9
b) x10
c) x20 d) x28 e) x305. Calcular: S = + +
a) 9
b) 10
c) 11 d) 12 e) 136. Efectuar:
a) 16
b) 17
c) 18 d) 19 e) 20
7. Reducir:
a) 1/6
b) 1/3
c) 1 d) 2 e) 3
8. Efectuar:
a) 2
b) 4
c) 1 d) 6 e) 8
9. Calcular n ; n =
a) 1
b) 4
c) 6 d) 1/2 e) 2
10. Calcular: P =
a) 5,01
b) 5,06
c) 4 d) 4,8 e) 7,2
11. Calcular : ; siendo a a = b 2ba) 1
b) 2
c) 4 d) 0 e) -2
12. Calcular :
a) 16
b) 8
c) 4 d) 2 e) 64
13. Efectuar:
a) a
b) a2
c) a3 d) 1 e) 0
14. Efectuar: 0,32 . 1000 . 0,16 . 2-5 . 10-4a) 0,0016
b)0,00016
c)0,01 d) 1 e) 0
15. Reducir : K =
a) 10
b) -10
c) 1/10 d) -102 e) -0,1
16. Efectuar: M =
a) 1
b) 2
c) 5 d) 225 e) 125
17. Simplificar: W =
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4 e) 5
18. Simplificar: W =
a) 11
b) 12
c) 1 d) 132 e) 2
19. Simplificar: P =
a) 2
b) 4
c) d) 1/2 e)
20. Dar el equivalente de E =
a) x
b)
c) d)
e)
21. Simplificar: P =
a) 2
b) 4
c) 1/2 d) 1/4 e)
22. Simplificar: R =
a) 1
b) 3
c) 9 d) 27 e) 6
23. Simplificar R =
a) 1
b) 2
c) d)
e) 3
24. Simplificar P =
a) xn
b) x-n
c) 1 d) x
e) 1/x
25. Hallar el exponente final de x en: M =
a)
b)
c) d)
e)
26. Indica el exponente de dos Luego de simplificar, E =
a) 2
b) 4
c) 16 d) 1
e) 8
27. Simplificar: A =
a) x7
b) x5
c) x4 d) x11
e) x1028. Hallar el valor de:
a) 1/4
b) 4
c) 24 d) 32
e) 64
29. Hallar el valor de:
a)
b)
c) d)
e)
30. Reducir:
a) 5136
b) 5190
c) 5214
d) 5218
e) 522431. Reducir: P =
a) 1
b) 2
c) 2
d) 4
e) 8
32. Si: 2x = 3, calcular : E = 4x + 8x + 16xa) 117
b) 197
c) 211
d) 241
e) N.A.
33. Simplificar: M =
a) 1/4
b) 1/2
c) 1
d) 2
e) 4
I) Adicin y sustraccin de expresiones algebraicas:
1. 2x2 + 3x2 7x2 + 10x22. 2xy + 4xy 5xy 10xy
3. 5x3y2 + 3y2x3 + 11x3y2 25y2x34.
5. Asociar correctamente:
a) (4x3y2) (9xy3)()36x4y6b) (18xy4) (2x3y2)()36x6y5c) (12x3y4) (3x3y)()36x4y56. Reducir los trminos semejantes: (2 + c)x4 + x4 + (c 4)x9-c + 3x4a) 7x4
b) 8x4
c) 9x4d) 10x4
e) N.A.
7. Reducir los trminos semejantes: (a + 1)xayb + (b + 1)x3y4 + 2x3y4a) 5x3y4
b) 3x3y4
c) 7x3y4d) 6x3y4
e) N.A.
8. Reducir:
a) a
b) 2b - c
c) a + b
d) a + b + c
e) N.A.II) Multiplicacin y Divisin de expresiones algebraicas1. Si de: P(x) = 4x2 y Q(x) = 2x 3 Se obtiene: P(x).Q(x) = mxn + axb; n > b. Calcular: a) 4
b) 20
c) 5
d) 2
e) -42. Si: P(x) = 2x3 - 3x + 5x5 + 3 y Q(x) = 7x5
Calcular: P(x).Q(x). Dar como respuesta la suma de coeficientes.
a) 47
b) 14
c) 0
d) -21
e) 49
3. Dado: P(x) = x + 4 y Q(x) = x 3, Adems: x2 + x = 12.Hallar: P(x).Q(x)
a) 24
b) 0
c) 12
d) -12
e) -24
4. Si: P.Q es homogneo. Donde: P(x; y) = 3x2y3 ; Q(x;y) = xm+3y - 2x3yn+1
Hallar: m - n
a) 2
b) -3
c) 0
d) -2
e) 3
5. Si luego de multiplicar: P(x) = x + 1 y Q(x) = x + 2a.Se obtiene un polinomio cuya suma de coeficientes es 10. Calcular: Q(1)
a) 2
b) 5
c) 4
d) -2
e) -5
6. Al dividir: 12x3y entre 4xy Se obtiene: mxn. Hallar:
a) 2
b) 1
c) 3
d) 4
e) 5
7. Luego de dividir: -36x3y2z4 entre 3x2yz3 Se obtiene: mxnypzq,Calcular:
a) 12
b) -4
c) 3
d) -2
e) 1
8. Luego de dividir: 16x3 + 8x2 entre 2x. Calcular la suma de coeficientes del cociente.
a) 4
b) 8
c) 2
d) 12
e) 24
9. Simplificar:
a) x2y + x4y7
b) 0
c) 4x2y
d) x4y7
e) x2y
10. Reducir:
a) x4 + x6 + x
b) 1
c) 3x4d) 4x4
e) 8x6III) En las siguientes divisiones hallar el cociente:
1.
a) x 2
b) x + 3
c) x + 4
d) x + 1
e) x
2.
a) 4x + 1
b) 2
c) x + 7
d) x + 5
e) x 7
3.
a) 2
b) 1
c) 0
d) 3
e) 5
IV) Hallar el residuo en las siguientes divisiones:
4.
a) 3
b) 5
c) -3
d) -5
e) 1
5.
a) 3
b) 7
c) 0
d) 1
e) -1
6.
a) 5x
b) 4
c) 2x
d) x
e) 0
7.
a) 0
b) 1
c) 2x
d) x + 1
e) 7
8.
a) x + 1
b) 0
c) x - 1
d) x
e) 2x + 1
9.
a) 2x2 1
b) x2 2
c) 3x2 + 1
d) 3x2 1
e) 0
I) Adicin y sustraccin de expresiones algebraicas:
1. a3b4c5 + 2b3c4a5 + 3c3a4b5 7b3c4a5 + 2a3b4c5 10c3a4b52. 2x3y4a2 + 5a2x3y4 3x2y4a3 + x3a4y2 + 7x2y4a3 x3y2a43.
4.
5. Reducir los trminos semejantes: (a + b)xa+b + axa+b + bxa+b + 4x4a) 12x4
b) 16x4
c) 17x4d) 20x4
e) N.A.
6. Al reducir los trminos semejantes: mxm + nxn + pxp + qxq + x7queda:
a) 29x7
b) 30x7
c) 28x7d) 26x7
e) N.A.
II) Multiplicacin y Divisin de expresiones algebraicas:
1. Si: P(x; y) = -4x3y3; Q(x; y) = 6x4y2 y M(x; y) = -3xy. Calcular: P . Q; Q . M y P . M, Luego indicar el valor de verdad de cada proposicin:
I)
Coeficiente (Q.M) < Coeficiente (P.Q)
II)G.A. (P . M) > G.A. (Q . M)
III)El mayor G.A. que se obtiene es 12.
a) FFF
b) VFF
c) FVV
d) FFV
e) FVF2. Si: P(x; y) = -3ax2yb y Q(x; y) = 2bxay4 son semejantes.
Hallar el coeficiente de P(x; y) . Q(x; y)
a) -48
b) -6
c) 2
d) -4
e) -8
3. En la siguiente multiplicacin de monomios: axay2 . mx3yb = 10x5y6
Determinar: a + m + b
a) 5
b) 2
c) 4
d) 11
e) 10
4. Si: , Calcular: m + n p
a) 6
b) 7
c) 9
d) 3
e) 1
5. Simplificar:
a) x2y
b) 3x2y
c) -2x2y
d) x2y
e) xy26. Reducir:
a) x4y2
b) 0
c) xy2d) 2x3y2
e) 1
7. Simplificar:
a) 1
b) 3x2y4
c) 3xy2d) xy2
e) xy
8. El producto de: (x + y) (xn - xy + ym) es un polinomio homogneo. Hallar el N de trminos que posee dicho polinomio.
a) 6
b) 4
c) 3
d) 5
e) 12
9. Si: P(x) es idntico a M(x)
Donde:P(x) = -9x(3x + 2 - 4x2)
M(x) = mx2 + nx + qx3
Hallar: m + n + q
a) -9
b) -8
c) 7
d) 9
e) 0
10. Calcular el cociente en: . Dar por respuesta GR(x) + GR(y) de este cociente.
a) 12
b) 7
c) 3
d) 14
e) 6
11. Si de: se obtiene un cociente. Calcular el grado.
a) 7
b) 5
c) 4
d) 3
e) 2
12. Reducir:
a) x2 + y4
b) x2 + x4
c) x2d) x4
e) 0
13. Reducir: , Si: x3y2 = 3
a) 3
b) 1
c) 27
d) 9
e) 15
14. Hallar el valor de: , Si: x2 + x4 + x3 = 1
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
15. Calcular el valor de: , Si: x2 = 2 y x4 = 4
a) 50
b) 44
c) 14
d) 64
e) 94
16. Luego de dividir: 20x5y3 entre 5x2y Se obtiene: mxnypCalcular:
a) 3
b) 1
c) 2
d) 4
e) 6
17. En la divisin de: 48x7y10z12 entre 12x3y5z8 Se obtiene: axbyczd.Hallar:
a) 5
b) 10
c) 16
d) 4
e) 8
18. Si: , Calcular:
a) 24
b) 72
c) 26
d) 14
e) 28
19. En la divisin: calcular la suma de coeficientes del cociente.
a) 6
b) 9
c) 3
d) 15
e) 8
20. En la divisin: , Luego de obtener el cociente. Calcular: GR(x) GR(y)
a) 2
b) -10
c) 10
d) 12
e) 14
21. Al dividir: se obtiene un polinomio homogneo. Calcular el grado de homogeneidad.
a) 5
b) 7
c) 2
d) 8
e) 12
22. Simplificar:
a) 13x3y7
b) 7x3y7
c) 6x3y7d) 1
e) 0
23. Simplificar:
a) 3x5y3
b) 0
c) -2x5y3d) 1
e) 2
24. Reducir:
a) 3
b) 1
c) 2
d) 15
e) 5
25. Simplificar:
a) 1
b) 0
c) 2
d) x7 + x3
e) x7 x326. Reducir:
a) 5x2 6y3
b) 2x2 + 2y3
c) -3x2 + 8y3d) 1
e) 0
27. Reducir:
a) 1
b) 5x3 9x6
c) 2
d) x3
e) x628. Simplificar: , Si: x7y3z9 = 2
a) 2
b) 4
c) 8
d) 16
e) 1
29. Hallar el valor de: , Si: x17y23z8 = 4
a) 52
b) 4
c) 1
d) 13
e) 2
30. Calcular el valor de: , Si: 7x6 + 8x2 = 6x7a) x3
b) 2
c) x2d) 1
e) 0
31. En la siguiente divisin: , Indicar el trmino independiente del resto.
a) 0
b) 7
c) 1
d) 2
e) -1
32. Indicar si la siguiente divisin: Es exacta o inexacta. Si es inexacta indicar el residuo.
a) Es exacta
b) 5
c) 2
d) -1
e) 1
33. En la siguiente divisin: , Indicar la suma de coeficientes del cociente.
a) -1
b) 0
c) 2
d) 1
e) 3
34. En la siguiente divisin: , Sealar el mayor coeficiente del cociente.
a) 1
b) 3
c) 2
d) -1
e) -3
35. Hallar b en la siguiente divisin exacta:
a) 15
b) 3
c) 7
d) 12
e) -7
36. Hallar el cociente:
a) x 1
b) x + 2
c) x - 3
d) x 4
e) 0
PRODUCTOS NOTABLES.Son aquellos productos que se pueden determinar directamente, sin necesidad de efectuar la operacin de multiplicacin siendo los ms importantes:1. CUADRADO DE UN BINOMIO
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2(a b)2 = a2 2ab + b2
Observacin: (a b)2 = (b a)23. DIFERENCIA DE CUADRADOS
(a + b)(a b) = a2 b24. PRODUCTO DE BINOMIOS CON TRMINO COMN (Identidad de Stevin)
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + a.b
5. CUBO DE UN BINOMIO
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3(a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3
6. SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS
(a + b) (a2 ab + b2) = a3 + b3( a b) (a2 + ab + b2) = a3 b37. CUADRADO DE UN TRIMONIO
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)
8. CUBO DE UN TRINOMIO
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b) (b + c) (a + c)
Ejercicios: 1. Aplicando en productos notables reducir en cada caso:
A) (x + 5)2 + (2x 1)2 6x2
B) (x + 1)3 3x(x + 1)
C)
2. Desarrollar:
A) (x + 7) (x + 4)
B) (a + 7) (a 2)
3. Reducir:
E = (x a) (x + a) (x2 + a2)(x4 + a4)(x8 + a8) + a16
4. Reducir:
E = (x + a) (x a) (x2 + ax + a2)(x2 ax + a2) + a85. Reducir:
E = (a + b+ c) (a + b c) (a b + c)(a b c)
6. Reducir:
E = (a + b c)2 + (a + b c)2 (a b + c)2 (a b c)2
7. Reducir:
E = (x2 + 5x +5)2 (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4)
8. Reducir:
E = (x 3) (x 5) (x + 2) (x + 4) (x2 x 13)2 + 50
9. Si: a3 b3 = 36 y (a b)3 = 27. Calcular: N = a . b
10. Si: a + b = 5,ab = 2. Calcular:
A) a2 + b2
B) a3 + b3
C) a4 + b411. Si: x + = 3.Calcular:
A) x2 +
B) x3 +
C) x4 +
12.Sabiendo a + b = 11; ab = 20 .Calcular: a) 11
b) 10
c) 9
d) 8
e) 7
13.Dar el valor mas simple de: a) 5
b) 10
c) 25
d) 1
e) 15
14.Si: . Hallar el valor de: W = (5a + 3b)2 - (5a - 3b)2a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
15.Si: x + y = 3
xy = 1
Indicar el valor de: (x - y)2a) 2
b) 4
c) 5
d) 7
e) 1
16.Si: . Calcular: a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
e) 8
17.Si: . Dar el valor de: a) 5
b) 7
c) 25
d) 13
e) 10
18.Simplificar:
a) 1
b) 0.2
c) 0.4
d) 0.5
e) 219.Simplificar: a) 1
b) 2
c) 3
d) 0
e) 420.Reducir:A = (x + y)(x2 + y2)(x4 + y4)(x8 + y8)(x - y) + y16a) x
b) 2x2
c) x4d) x16
e) x8
1.Reducir la siguiente expresin: K = (m - n2)(m + n2)(m2 + n4)(m4 + n8) - m8a) n16
b) n8
c) -n8d) -n16
e) 0
2.Sabiendo que: x2 + 5x + 3 = 0. Hallar: K = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 6
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
3.Reducir la siguiente expresin:
a) x2 + 5x - 5
d) x2 - 5x - 5
b) x2 + 5x + 5
e) N.A.
c) x2 - 5x + 5
4.Reducir: S = (x + 2)2 + (x - 2)2 - (x + 4)2 - (x - 5)(x - 3)
a) 0
b) -23
c) 3
d) 6
e) 5
5.Hallar el valor de: P = x(x - 1)(x + 2)(x - 3) + 5 para x = 1
a) 5
b) 1
c) 0
d) -3
e) -1
6.Calcular el valor numrico de:A = (a + 1)2 + (b + 1)2 + 2ab 1 para: y
a) 37
b) 45
c) 49d) 53
e) 567. Efecta: 3(a 2b) 2(a 2b)(a + 2b) + (3b + a)(3b a) (3b 2a)28. Simplificar:E =
9. Si x + y = 5; xy = 3. Calcular: E = +
1. (x 3) (x2 + 3x + 9) =
2. (x + 4) (x2 4x + 16) =
3. (x3 + 33) =
4. (27x3 - 1) =
5. (8y3 - 2) =
6. (y2 - 3) (y4 + 3y2 + 9) =
7. (4y2 - 1) (16y4 + 4y2 + 1) =
8. (y3 - x) (y6 + xy3 + x2) =
9. ( - ) ( + + )
10. ( - 1) ( + + 1) =
I. Resolver :
11. E = (- ) ( + + )
a) 6
b) 4
c) 10
d) 6
e) 2
12. E = (2 + ) (4 - 2 + )
a) 0
b) 4
c) 16
d) 8
e) N.A.
13. E = (1 + y) (1 y + y2) y3a) 1
b) 2
c) 3
d) y
e) y214. E = (3 - ) ( + 3 + 9) 23
a) 1
b) 2
c) 2
d) 1
e) 0
15. E = (+) (-+)- 14
a) 1
b) 0
c) 2
d) 1
e) 29
TALLER I
PARA TU CASA
TALLER II
exponente
Base
PARA TU CASA
TALLER III
PARA TU CASA
TALLER IV
PARA TU CASA
TALLER V
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