Ecuaciones e inecuaciones de Primer Grado con una incógnita

Sea P (x)=0 una ecuación polinómica , con P(x) un polinomio, resolver la misma es encontrar los ceros o raíces de P(x), es decir, los valores de x que anulan dicho polinomio.X se llama incógnita de la ecuación. El conjunto de raíces de P(x) se llama conjunto solución.Ejemplos:

a) 3x-12 = 0 ⇒ x = 12:3 ⇒ x = 4b) 330)3).(3(092 −=∧=⇒=−+⇒=− xxxxx

Grado de una ecuación

El grado de P(x) se llama grado de la ecuación polinómica.Así por ejemplo tenemos:

grado segundo deecuación una es 035xgradoprimer deecuación una es 052

2 =−+=−x

x

Ecuación polinómica de Primer grado con una incógnita

Toda ecuación que se pueda escribir de la forma : 0)a siendo ( 0 ≠=+ baxse llama ecuación polinómica de primer grado con una incógnita.

Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes cuando admiten el mismo conjunto solución.

Propiedades

1) Si a ambos miembros de una ecuación se les suma un mismo polinomio P(x), se obtiene otra ecuación equivalente a la dada.

2) Si se multiplican ambos miembros de una ecuación por una constante se obtiene una ecuación equivalente a la dada.

Interpretación gráficaLa gráfica de una función polinómica de primer grado es una recta no paralela al eje OX.En consecuencia : Una ecuación polinómica de primer grado tiene una y solo una raíz.

Inecuaciones polinómicas de primer grado

Sea )(xP < 0 o P(x)> 0 se denominan inecuaciones.Para resolver las mismas se debe tener en cuenta las siguientes leyes.a) a < b ⇒ a + c < b + cb) a < b ⇒ a . c < b . c , si c> 0

Observación:a) si el número es positivo, la desigualdad conserva el sentido.b) Si el número es negativo, la desigualdad cambia el sentido.

Estas propiedades se extienden a las relaciones de : ≥ y ≤.

Por ejemplo: 3 x – 6 > 0Se le suma 6 a ambos miembros 3 x > 6

Se divide por 3 ambos miembros x > 2Por lo tanto el conjunto solución es el siguiente : { }2/ >ℜ∈= xxS

Ecuaciones polinómicas de segundo grado

Una ecuación polinómica tiene la forma : P ( x) = 0 ,siendo P ( x ) un polinomio.Si en particular, P(x) es un polinomio de segundo grado tenemos una ecuación de segundo grado.

siendocbxax ,02 =++ 0≠a2ax es el término cuadrático o de segundo grado.

bx es el término lineal o de primer grado.c es el término independiente.

Resolver una ecuación polinómica significa encontrar los valores de x que anulan el polinomio.Estos valores se llaman raíces de la ecuación o ceros del polinomio.Si a es una raíz del polinomio se verifica que P(a) = 0.

Resolución de ecuaciones incompletas:

Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando falta el término lineal, el término independiente o ambos.Es evidente que no puede faltar el término cuadrático pues en este caso no sería una ecuación de segundo grado.Entonces debe ser 0≠a .Sean los siguientes casos:

1) b = 0 y c = 0 La ecuación se transforma en 02 =axSi se divide por a ambos miembros se obtiene 02 =x , por lo tanto el conjunto solución es x=0

2) b = 0 y 0≠c La ecuación se transforma en 02 =+ cax . Se despeja x.

acx

cax

−=

−=

2

2

acx −±=2,1

Se obtiene dos raíces que pueden ser ambas reales o complejas . En ambos casos son Números opuestos.

3) 0≠b y c = 0 La ecuación se transforma en 02 =+ bxax Se saca factor común x : x ( a x + b ) = 0 Si un producto de dos factores es cero entonces debe ser necesariamente cero uno de los factores.

Entonces :

ab

xab

x

baxbax

oxx

−=⇒−=

−==+

=⇒=

2

1

0

00

donde 1x y 2x son las raíces de la ecuación.

Resolución de ecuaciones completas.

Para resolver una ecuación de segundo grado completa se usan distintos procedimientos.1)Factorizar el polinomio, es decir, transformarlo en un producto igual a cero. Las raíces se obtienen igualando a cero cada uno de los factores.

2)Aplicar la fórmula que permite hallar las raíces en función de sus coeficientes.

3)Hallar gráficamente las raíces.

En el primer caso se puede dar que :

a)El trinomio es cuadrado perfecto Por ejemplo : 0962 =+− xx Se verifica que hay dos términos que son cuadrados perfectos y uno que es el doble producto de las bases. Al comprobar se concluye que la ecuación es un trinomio cuadrado perfecto, por lo tanto se puede expresar como : ( ) 03 2 =−x 0)3( =−⇒ x 3=⇒ x b)El trinomio no es cuadrado perfecto.En este caso se utiliza el procedimiento de completar cuadrados. Por ejemplo: 0342 =++ xx Se considera el coeficiente del término lineal que en este caso es 4, se lo divide

entre dos y se lo eleva al cuadrado , resultando en el ejemplo : 424 2

=

, este número obtenido se lo

suma y resta a la ecuación, para poder obtener de allí un trinomio cuadrado perfecto:

034)44( 2 =+−++

perfectocuadradotrinomio

xx

Factorizando el trinomio : 01)2( 2 =−+x La expresión obtenida es una diferencia de cuadrados donde (x+2) y 1 son las bases, por lo tanto esa diferencia de cuadrados se puede expresar como : (x+2+1) . (x+2-1) =0 (x+3) . (x+1) = 0 Si el producto es cero, necesariamente uno de los factores es ceros , por lo tanto : x+3 = 0 ⇒ x = -3 y x+1= 0 ⇒ x = -1Por lo tanto, los valores obtenidos son las raíces de la ecuación.

En el segundo caso la fórmula que se utiliza es la siguiente:

a

acbbx2

42

2,1−±−=

Se puede conocer por anticipado la naturaleza de las raíces, sin resolver la ecuación teniendo en cuenta el discriminante .Simbólicamente: ∆ .Cuyo valor es : 4acbΔ 2 −=

1) Si ∆ > 0 las raíces son reales y distintas.2) Si ∆ = 0 las raíces son reales y coincidentes.3) Si ∆ < 0 las raíces son complejos conjugados.

En el tercer caso : La ecuación 02 =++ cbxax tiene dos raíces 1x y 2x .Las raíces de la ecuación son los valores que anulan al polinomio , es decir , los valores de x para los cuales y = 0 y esos puntos son los puntos de intersección de la parábola con el eje x. En consecuencia para resolver gráficamente una ecuación de segundo grado se construye la parábola y se determinan los puntos de intersección de la misma con el eje OX.

Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas

El conjunto de dos ecuaciones P(x,y) = 0 y Q(x,y) = 0 se llama sistema de dos ecuaciones cn dos incógnitas. Si ambas ecuaciones son de primer grado , se dice que es un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Para indicar que forman un sistema , se abarcan con una llave.

Resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas significa hallar el conjunto de raíces comunes.

Métodos de resolución

1) Sustitución

Sea el sistema

−=−=+

53244

yxyx

Despejamos y en la primera ecuación.44 +−= xy (1)

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación: 2x-3y=-52x-3(-4x+4)=-5

Hemos obtenido por sustitución una ecuación de primer grado con una incógnita.Resolvemos la ecuación obtenida.

21147

12514512122

=

=

+−=−=−+

x

x

xxx

Reemplazamos el valor de x en la igualdad(1)

421.4

44

+−=

+−=

y

xy

Resolvemos : y = - 2 + 4 2=y

S=

2,

21

2) Igualación

Sea el sistema

−=+−=+

53512

yxyx

Despejamos x en ambas ecuaciones .

De la primera : 2

1 yx −−= (1)

De la segunda: 5

35 yx −−= (2)

Igualamos los dos valores de x.

2

1 y−− =

535 y−−

Hemos obtenido por igualación una ecuación de primer grado con na incógnita.Resolvemos la ecuación obtenida:

551065

61055

−=+−=+−

−−=−−

yyy

yy

Reemplazamos el valor de y en la igualdad (1) o en la (2).

21 yx −−=

Resolvemos:

22

512

)5(1

=

+−=

−−−=

x

x

x

S= ( ){ }5,2 −

3) Suma o Resta

Sea el sistema:

−=−−=+

7342

yxyx

Es fácil ver que puede eliminarse la incógnita x sumando miembro a miembro

-3y-

734 2

=

−=−−=+

yxyx

Obtenemos una ecuación de primer grado en yResolvemos: y=3Reemplazamos y en la primera ecuación ( o en la segunda)

264

43.2

−=−=

=+

xxx

4) Determinante

Sea el sistema:

−=−=+

53244

yxyx

141.2)3.(432

14−=−−=

−=∆

71).5()3.(435

14−=−−−=

−−=∆ X

284.2)5.(452

44−=−−=

−=∆ Y

x 147

−−=

21=x

1428

−−=y 2=y

Simbólicamente:

Sea el sistema:

=+=+

222

111

cybxacybxa

22

11

baba

=∆ 22

11

bcbc

X =∆22

11

caca

Y =∆

Si :a) 0≠∆ el sistema es compatible determinado. El sistema tiene solución única.

S

∆

∆∆

∆= yx ,

b) 0 0 ,0 =∆=∆=∆ yx y el sistema es indeterminado. El sistema admite infinitas soluciones.c) 0 0 ,0 ≠∆∨≠∆=∆ yx el sistema es incompatible. El sistema no admite solución.

5) Método gráfico

Sea el sistema :

+−==

⇒

=−+=−

92

0902

xyxy

yxyx

La solución es el punto de intersección de las dos rectas que representan cada ecuación del sistema y dicho punto es: P(3,6). Por lo consiguiente el conjunto solución es: S={(3,6)}.