ECUACIONESLic. Karen Klever Montero

Definición Una ecuación es una igualdad matemática

 entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y los valores desconocidos son las variables cuya magnitud pueda ser establecida a través de las restantes ecuaciones de un sistema, o bien mediante otros procesos.  Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar.

RepresentacionesLas ecuaciones se representan como la

igualdad entre dos expresiones algebraicas, son ejemplo de ecuaciones las siguientes:

3x – 1 = 9 + x

12 – y = 24

5x = 12

8x/3 = 16

x2 + 2x = 24

Clases de ecuacionesEcuación polinómica: es una igualdad entre dos

polinomios. Ej: 3x – 1 = 9 + x

Ecuación lineal o de primer grado: es aquella cuya incógnita tiene por exponente el número uno. Ej:

ax + b = 0; 12 – y = 24; 5x – 9 = 11

Ecuación cuadrática o de segundo grado: es aquella cuya incógnita está elevada al exponente dos. Ej:

ax2 + bx +c =0; x2 + 2x = 24; 3x2 + 2x -1 = 0; x2 = 25

Solución de una ecuación Se llama solución de una ecuación a cualquier valor

individual de dichas variables que la satisfaga.

Resolver una ecuación es encontrar su dominio solución, que es el conjunto de valores de las incógnitas para los cuales la igualdad se cumple. Por lo general, los problemas matemáticos pueden expresarse en forma de una o más ecuaciones; sin embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una igualdad dada. En ese caso, el conjunto de soluciones de la ecuación será vacío y se dice que la ecuación no es resoluble. De igual modo, puede tener un único valor, o varios, o incluso infinitos valores, siendo cada uno de ellos una solución particular de la ecuación. Si cualquier valor de la incógnita hace cumplir la igualdad (esto es, no existe ningún valor para el cual no se cumpla) la expresión se llama identidad.

Ejemplo 13x – 1 = 9 + x se colocan en el mismo miembro las

incógnitas.3x – 1 – x = 9 se realiza la operación con los términos

semejantes2x – 1 = 9 se pasa el uno para el otro miembro de la

igualdad con la operación contraria2x = 9 + 1 se resuelve la suma2x = 10, luego se despeja la incógnita y el 2 que

multiplica a x, pasa a dividir al 10x = 10/2 se resuelve la división y se obtiene el valor de x

x = 5Comprobación: 3(5) – 1 = 9 + (5)15 – 1 = 14.

Ejemplo 25x – 9 = 11 5x = 11 + 9 se pasa el 9 al otro miembro

con signo contrario

5x = 20 se resolvió la suma

x = 20/5 el 5 que multiplica a la x pasa a dividir al 20

x = 4 se resolvió la división y se tiene el valor de x

Comprobación: 5(4) – 9 = 1120 – 9 = 11

Ejemplo 38x/3 = 16 8x = 16(3) el 3 que está dividiendo pasa a

multiplicar al 168x = 48 se resolvió la multiplicación

x = 48/8 se despeja a x y el 8 que la multiplicaba pasa a dividir

x = 6 se resolvió la división y se obtiene el valor de x

Comprobación: 8(6)/3 = 1648/3 = 16

Otros ejemplos en videohttp://

www.youtube.com/watch?v=wwlHv_9yajo

http://www.youtube.com/watch?v=xeUWLZY4roM

http://www.youtube.com/watch?v=4h2-GpUcqwQ

Solución de problemasPara darle solución a un problema se

deben seguir las cuatro fases:

1. Comprender el enunciado

2. Concebir un plan de solución

3. Ejecutar el plan

4. Vista retrospectiva.

Problema 1La suma de tres números

consecutivos es 702. ¿Cuáles son esos números?

1. Datos: tres números consecutivos y la suma es 702 

Incógnita: cuales son los tres números

2. Los tres números consecutivos se expresan en forma algebraica: x, (x + 1), (x + 2) y como éstos se están sumando, la ecuación se plantea así: x + (x + 1) + (x + 2) = 702

3. x + (x + 1) + (x + 2) = 702Se destruyen los paréntesisx + x + 1 + x + 2 = 702Se suman los términos semejantes3x + 3 = 702Se despeja la incógnita3x = 702 – 33x = 699x = 699/3x = 2334. Respuesta: los números son: 233, 234, 235Ya que 233 + 234 + 235 = 702

Problema 2 En un cine hay 511 personas. ¿Cuál es el

número de hombres y cuál el de mujeres, sabiendo que el de ellas sobrepasa en 17 al de ellos?

1. Datos: número de personas en el cine 511, el número de mujeres sobrepasa en 17 al de los hombresIncógnita: cantidad de hombres y mujeres que entraron al cine.

2. Numero de hombres x, y número de mujeres x + 17, la suma de hombres y mujeres es 511x + (x + 17) = 511

3. x + (x + 17) = 511Se destruyen los paréntesisx + x + 17 = 511Se suman los términos semejantes2x + 17 =511Se despeja la incógnita2x = 511 – 172x = 494x = 494/2x = 247

4. La cantidad de hombres que entraron al cine fue 247 y de mujeres fue 247 + 17= 264.247 + 264 = 511

Problema 3Marta gasta la mitad de su dinero en la

entrada para un concierto, y la quinta parte del mismo, en una hamburguesa. ¿Cuánto tenía si aún le queda $3.600?

1. Datos: gastó la mitad en la entrada, la quinta parte en una hamburguesa y el dinero que le quedó $3.600.Incógnita: el dinero que tenía Marta.

2. El dinero que tenía x, lo que gastó en la entrada x/2, lo que gastó en la hamburguesa x/5 y le quedaron $3.600x – (x/2 + x/5) = 3.600

3. x – (x/2 + x/5) = 3.600 Se destruyen los paréntesisx – x/2 – x/5 = 3.600 Se operan los términos semejantes, como sonfracciones heterogéneas la operación queda:(1 – ½ - 1/5) x = 3.60010 – 5 – 2 x = 3.600 103x/10 = 3.6003x = 3.600 (10)3x = 36.000x = 36.000/3x = 12.000

4. El dinero que tenía Marta era $12.00012.000 – (12.000/2 + 12.000/5) = 3.60012.000 – (6.000 + 2400) = 3.60012.000 – 8.400 = 3.600

ActividadSoluciona las siguientes ecuaciones y

compruébalasa) 6x + 10 = 28b) 3x/5 = 6c) 4x – 15 = 47d) 9x – 63 = 18e) 3x + 5 = 15f) 3x + 4 = x + 6g) 25 – 3x = 5x – 15 h) 4x – 6 + x = -3x + 18

ActividadSoluciona los siguientes problemasa) Al sumarle a un número 60 unidades, se

obtiene el mismo resultado que al multiplicarlo por 5. ¿Cuál es el número?

b) Reparte $6800 entre dos personas de forma que la primera se lleve el triple que la segunda.

c) Un jardín rectangular es 6 metros más largo que ancho. Si su perímetro mide 92 metros, ¿cuáles son las dimensiones del jardín?

d) Un yogur de frutas cuesta $800 más que uno natural. ¿Cuál es el precio de cada uno si he pagado $10.800 por cuatro naturales y seis de frutas?

NotaLas actividades deben realizarlas en el

cuaderno.

Les estaré enviando los talleres evaluativos de ésta temática

Pueden asesorarse con otros documentos ubicados en la red.

Falta la solución de ecuaciones cuadráticas consultarla, deben repasar los casos de factorización