Ecuacion lineal

INSTITUCIÓN EDUCATIVA N° 1170 “JOSÉ DE LA RIVA AGÜERO Y OSMA

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REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

Para reducir términos semejantes con el mismo signo se suman los coeficientes de todos los términos y se antepone, al coeficiente total, el mismo signo que se comparten y a continuación se escribe la parte literal.

Reducir: 1. x + 2x

S o l u c i ó n: El signo común a todos los términos es + Los coeficientes de los términos son 1 y 2 La parte literal es x. Por lo tanto (1 + 2) x = 3x 2. 8a + 9a

S o l u c i ó n: El signo común a todos los términos es el +. Los coeficientes de los términos son 8 y 9. La parte literal en todos los términos es a. Y 8 + 9 = 17; Por lo tanto 8a + 9a = 17a. 3. -b - 5b.

Solución: El signo común a todos los términos es el -. Los coeficientes de los términos son 1 y 5. La parte literal en todos los términos es b. Y 1 + 5 = 6; Por lo tanto -b - 5b = -6b. 4. -8m - m

Solución: El signo común a todos los términos es el -. Los coeficientes de los términos son 8 y 1. La parte literal en todos los términos es m.

Y 8 + 1 = 9; Por lo tanto -8m - m = -9m. 5. 4 ax + 5 ax

S o l u c i ó n:

El signo común a todos los términos es el +. Los coeficientes de los términos son 4 y 5. La parte literal en todos los términos es ax. Y 4 + 5 = 9 Por lo tanto 4 ax + 5 ax = 9 ax

6. 6ax+ 1 + 8 a x + 1

Solución: El signo común a todos los términos es el +. Los coeficientes de los términos son 6 y 8. La parte literal en todos los términos es a x+ 1

Y 6 + 8 = 14 Por lo tanto 6ax+ 1 + 8 a x + 1 = 14 a x+ 1 7. - 3 ax-2 – ax-2

Solución: El signo común a todos los términos es el -. Los coeficientes de los términos son 3 y 1. La parte literal en todos los términos es a x - 2 Y 3 + 1 = 4 Por lo tanto -3 ax - 2 - a x – 2 = - 4 a x - 2


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ECUACIONES DE PRIMER GRADO O ECUACIONES LINEALES

Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras.

x + 1 = 2 x = 1

Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual .

Los términos son los sumandos que forman los miembros.

Las i ncógni tas son las letras que aparecen en la ecuación. Las soluciones son los valores que deben tomar las letras para que

la igualdad sea cier ta.

Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita Al resolver una ecuación, es necesario aplicar las propiedades de las operaciones y algunas de las propiedades de la igualdad en el conjunto de los números reales (R), entre las que destacamos las siguientes

a) Propiedad aditiva: “ Si a los miembros de una igualdad se suma un mismo número real, la igualdad se mantiene”

b) Propiedad multiplicativa: “ Si los dos miembros de una igualdad se multiplican por un mismo número real, la igualdad se mantiene”

Observación: Entre las ecuaciones de primer grado con una incógnita, podemos distinguir las siguientes:

Con solución : 3x – 7 7

3x

Sin solución : 0 4x

Con infinitas soluciones ( indeterminado): 0 0x

Ejemplos:


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1. x+ 4 = 7

a) Agrupar las variable y los números separados por el signo “=” x = 7 – 4

b) Solucionar: x= 3

2. 3x – 8 = 16 / +8 (Sumamos el opuesto aditivo de –8)

3x –8 + 8 = 16 + 8 3x + 0 = 24 (propiedad del neutro aditivo)

3x = 24 / 1

3 (multiplicamos por el inverso multiplicativo de 3)

1 1

3 243 3

x (propiedad del elemento inverso)

1 8x (propiedad del elemento neutro multiplicativo)

x = 8 La raíz de la ecuación es 8

3. 2x – 8 = x + 6

a) Agrupar las variable y los números separados por el signo “=” 2x – x = 6 + 8

b) Solucionar: x = 14

4. 7 · (x + 1) – 4 · (x + 3) = x – 9

a) Quitar paréntesis realizando las operaciones correspondientes:

7x + 7 – 4x – 12 = x – 9

b) Agrupar los términos con la x en un miembro de la ecuación y los

términos sin la x en el otro (recuerda que al pasar un término de un miembro a otro de la ecuación cambia su signo):

7x – 4x – x = – 9 – 7 + 12

c) Operar:

2x = –4

d) Despejar la x:

22

4

x

e) Comprobar la solución: para lo que se sustituye el valor obtenido en la ecuación de partida:

7 · (–2 + 1) – 4 · (–2 + 3) = –2 – 9 7 · (–1) – 4 · (1) = –11 –11 = –11

Recuerda que cualquier número o variable pasa al otro lado del signo igual con signo cambiado.


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Aplicaciones de las ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Ejemplo: La suma de las edades de A y B es 84 años, y B es 8 años menos que A. Hallar ambas edades. Solución:

Sea x = edad de A.

Como B tiene 8 años menos que A; x – 8 = edad de B.

La suma de ambas edades es 84 años; luego tenemos la ecuación:

x + x − 8 = 84

Resolviendo esta ecuación con la calculadora, tenemos x = 46, la cual representa la edad de A.

La edad de B será x − 8 = 46 − 8 = 38 años.

Nota la verificación de los resultados es importante, porque permite percatarse si se satisfacen las condiciones iniciales del problema. En este caso las condiciones iniciales será que la suma de las edades de A y B son 84, como efectivamente es, pues;

46 + 38 = 84. Ejemplo: Pague $87 por un libro, un traje y un sombrero. El sombrero costo $5 más que el libro y $20 menos que el

traje. ¿Cuánto pague por cada artículo? Solución: No está de más decir que la asignación de la letra “x” tiene mucho que ver en la simplicidad de la resolución del problema.

Sea x=precio del libro. Como el sombrero costo $5 más que el libro:

x + 5 = precio del sombrero

El sombrero costo $20 menos que el traje; luego, el traje costo $20 más que el sombrero; x + 5 + 20 = x + 25 = precio del traje.

Como todo costo $87; la suma de los precios del libro, del sombrero y el traje tiene que ser igual a $87: de aquí tenemos la ecuación, x + x + 5 + x + 25 = 87

Usando cualquier método para encontrar el valor buscado, tenemos que x=19, $19 precio del libro.

X+5=19+5=24, $24 precio del sombrero y x+25=19+25=44, $44 precio del traje. Chequeando el resultado con las condiciones iniciales; 19+24+44=87.


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REFUERZO ECUACIONES DE PRIMER GRADO

1.- Indica el número que falta en estas expresiones:

a) 24 + __ = 36 b) 15 – __ = 9 c) 12: ___ = 4

d) __ · 4 = 35

2.- Encuentra un número que al sustituir la letra se verifique la igualdad:

a) x + 2 = 6 b) a – 2 = 8 c) 5 + x = 7 d) 4 + x = 10 – 2

3.- Halla el valor de las letras de las siguientes ecuaciones:

a) x – 5 = 4 b) 2 – x = – 4 c) x + 10 = 0 d) t – 3 = 1

4.- Resuelve la siguiente ecuación.

2x + 8 = x + 25 + 8

5.- Haz lo mismo del ejercicio anterior con estos otros ejercicios:

a) 3x + 23 = 2x + 59

b) x + 12 = 17

c) 2x – 4 = x + 9

d) 5x – 10 = 4x – 12

6.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 2

103

x b) 3x – 4 = 24 – x c)

52 20 2

2

x

7.- Plantea ecuaciones correspondientes a las siguientes condiciones:

a) El doble de x es cuatro

b) El triple de x es 3

c) Si a x se le suma 2 se obtiene 4

d) Si a x le restamos 5 se obtiene 6

8.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 5x + 2 = x + 10

b) 1 + 3x = 2x + 7

c) 2 + 7x = 4 – 3x

d) x – 18 = 2x – 3

e) – 5 – 2x = 3 – 8x – 2


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9.- Resuelve las siguientes ecuaciones quitando para ello el paréntesis antes:

a) 3(x – 7) = 5(x – 1) – 4

b) 5(2 – x) + 3(x + 6) = 10 – 4(6 + 2x)

c) 3x + 8 – 5x – 5 = 2(x + 6) – 7x

d) 10(x – 2) = 1

10.- Si x es un número expresa simbólicamente:

a) Su doble.

b) Su mitad mas su doble.

c) Su cuádruplo.

d) El siguiente a x.

e) El número anterior a x.

f) Los dos números que le siguen a x.

g) El doble del siguiente de x.

11.- Resuelve estas otras ecuaciones:

a) 2 42

xx

b) 2(x – 5) –10 = x – 5

c) 3(x – 6) – 10 = 2(x – 5) – 4

d) 5(x – 2) – 6 (x – 1) = 3(2x – 4)

12.-Resuelve estas ecuaciones pequeñas con denominadores:

a) 2

4 14 2

x x b) 5 3

4

x

13.- El doble de la edad de Lucía más 25 años es igual a la edad de su abuelo que es

51 años. ¿Qué edad tiene Lucía?

14.- Los tres lados de un triángulo equilátero vienen expresados en metros. Si su

perímetro es 27 metros, halla la longitud de cada lado.

15.- Javier tiene 30 años menos que su padre y éste tiene 4 veces los años de

Javier. Averigua la edad de cada uno.

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