Los model os desarrollados se conocen como correlaciones de flujo multifasico y contienen, en general, un soporte analitico y un componente empirico - gnificos -. Ademas requieren conocer los cambios en Jas propiedades fisicas de los fluidos en funci6n de presion y temperatura - correlaciones PVT - y la predicci6n de la variaci6n de temperatura en la direccion de flujo.

A continuacion se desarrolla el planteamiento fisico a resolver y se introduce a los modelos ­soluci6n, que se describen luego.

2.3 ECUACION GENERAL DE GRADIENTE DE PRESION.

Se asume un tramo de tuberia con un perfil como el senalado en la Figura 12 y se plantean las diferentes formas de energia que acompanan el flujo entre los puntos 1 y 2:

Punto I Punto2

I . !

I F I

I

I

"I a u

VI I I i

PlY! I I I I

rnv 2 I __I I

2& I I

!

,-+

mghl ~

hi 2& '

(Calor Arndido

I aI Fluido)

q

h2 --:.;

_~-w (Trabajo sobre ei F1uido)-

U2

P2V2

2 mV2

2&

nm 2g,

f

Figura 12. Esquema General de un Tramo de Tuberia a Traves del cual se Presenta Flujo Bifasico.

31

Energja Interna (u). Estado energetico relacionado con su estructura material y su estado de rotacion, traslacion, y vibracion molecular interna

Energia Cinetica (Ek) . AI tener una velocidad, el fluido posee energia cinetica de la forma definida:

(48)

Energia Potencial de forma:

Ep = mg h (49) gc

donde h se mide a partir de un nivel de referencia y este se establece en forma arbitraria.

. Energja de Presion de la forma : PV (SO)

representa la energia de expansion 0 compresion y tambien se conoce como la Enegia Intema de Flujo.

AI acudir a la primera Ley de la Termodimimica, se plantea: I1Er =q-w (Sl )

La expresion (S1) establece que el cambio total de energia es equivalente a Ia energia que cruza el sistema en forma de calor y trabajo. AI introducir en la expresion (S1) las formas energeticas definidas en las ecuaciones (48), (49), Y (SO), se liega a:

La expresion anterior se puede reescribir como:

(S2)

El termino L\(PV) dellado izquierdo de la ecuacion (S2) se puede desarrollar como:

t,.{PV) =PtJ..V + V!:J..P (S3)

Se acude, ademas, ados relaciones termodinamicas conocidas:

l1u=TM-PtJ..V

T!:J..S =tJ..Q+mwj

32

AI relacionar las expresiones anteriores se obtiene una ecuaci6n para el cambio de Energia Intema ~u, a saber:

/),.u =~Q +mwj - p~V (54)

EI termino mwf en la ecuaci6n (54) responde por todos los factores que generan irreversibilidades en el proceso, tales como : perdidas fricci6nales con paredes, deslizamiento y efectos fricci6nales entre las fases, efectos de viscosidad, efectos de tensi6n interfaciales, etc.

El reemplazo de las ecuaciones (53) y (54) en la ecuaci6n (52) se obtiene:

~Q+mwJ-P~V +P~V + VM+~~(v2) + mg ~(h) = q-w (55) 2gc gc

AI considerar que al sistema no ingresa ni sale calor y ademas el fluido no realiza ni se realiza trabajo sobre el, se puede asumir, entonces que: ~Q = ~w =0

La ecuaci6n (55) asume la siguiente forma simplificada: m~(v 2 ) mg

VM+ +-tlh+mwJ=O 2gc ' g c

dividiendo por la masa, m, en la ecuaci6n anterior, se observa: VM ~(V 2 ) g --+--+- M+wj = 0

m 2gc gc

la ecuaci6n anterior tambien se reescribe como: M ~(V 2 ) g .-+--+-M+wf=O (56)P 2gc gc .,

bajo la suposici6n de flujo gas - liquido, los fluidos experimentan un cambio de densidad (p)

al pasar de P I a P2 y por 10 tanto se toma un valor promedio (p) para el tramo considerado,

el que a su vez se establece muy pequeno, es decir :

La ecuaci6n (56) se reescribe como:

(57)

33

AJ considerar una direccion de flujo general, ~l , la cual forma un angulo respecto a la

horizontal e, Figura 13 , entonces:

tJ.h = tJ./sen() (58)

~I

Figura 13. Representacion de la Direccion General de Flujo por Medio del Angulo e que Forma con la Horizontal.

AJ lIevar la ecuacion (58) a la (57) y dividir por ~l, se obtiene:

(59)

La ecuacion (59) se conoce como Ecuacion General de Gradiente y establece que, en forma de gradiente, las perdidas de presion en tuberia se presentan debido al cambio en velocidad, cambio en elevacion y al efecto de friccion, es decir

Gradiente de Perdidas Totales = Gradiente Velocidad + Gradiente Elevaci6n + Gradiente de Fricci6n.

Para situaciones particulares, la ecuacion (63) se simplifi-ca, a saber:

No Existe Flujo. En este caso se anulan los componentes de friccion y cambio de velocidad y la ecuacion (59) solo considera el efecto del cambio en la elevacion :

g- g­- t1P = - P M sen () = - p M

gc gc

(60)

La ecuacion (60) se identifica como la ecuacion fundamental de la hidrostatica.

34

EI Flujo es Horizontal. Para esta situacion, el angulo de inclinacion e es igual a cero y el cambio de elevacion no interviene en la ecuacion.

_/).p = (P. _ P) = P~(V2) + fJ wf (61') I 22Mgc

Si ademas se desprecia eJ efecto del cambio en la energia cinetica, permanece el componente de friccion como responsabJe de las perdidas de presion total.

EI Flujo es Vertical. En este caso intervienen los tres efectos y la longitud del tramo ~I coincide con la longitud ~H, y si adem as se considera que el factor gc es numericamente igual a g, entonces:

(62)

A diferencia del flujo monofasico, en flujo multifasico no se tienen ecuaciones analiticas de procedimiento sencillo para calcular la presion. En este caso se han publicado numerosas correlaciones basadas en operaciones de campo y experimentales, las cuales asumen la forma de curvas generalizadas de presion en funcion de la distancia y se conocen como Curvas de Gradiente 6 ecuaciones serni-empiricas conocidas como Correlaciones de Flujo Generalizadas; ambas contienen ia limitaci6n inherente de que se aplican, con mejores resultados, a las condiciones de flujo utilizadas en el estudio experimental que les dio ongen.

2.4. FLUJO MUL TIFAsICO VERTICAL.

Los diferentes modelos 0 correlaciones propuestas para re~olver la ecuacion de flujo general (62) y hallar la relaci6n entre caida de presion y caudal, para una situacjon particular dada, se suelen dividir en (\2) :

/

• Modelos Homogeneos. Fueron los primeros trabajos propuestos como solucion y su caracteristica fundamental es que las fases liquida y gaseosa fluyen a igual velocidad en forma de una mezcla homogenea.

• Correlaciones Empiricas Generalizadas. Se caracterizan porque la fase gaseosa debido a su mayor movilidad y menor viscosidad presenta mayor velocidad que la liquida y en forma adicional el gas resbala y se desliza en el liquido. Consideran ademas los diferentes distribuciones geometricas de las fases en la tuberia en funcion de presion y temperatura. Tienen una fuerte componente empirico en la forma final de su modelo. Los mas importantes son: Hagedorn and Brown, Orkiszewski, Beggs and Brill, Aziz y Govier, Hassan and Kabir.

35

• Modelos Mecanisticos. Estas nuevas propuestas intentan expltcar el fen6meno de flujo con nuevos modelamientos fisicos y matematicos, evitando utilizar resultados empiricos de campo y 6 de laboratorios particulares. Enfatizan en la predicci6n y modelamiento de los diferentes patrones de flujo y el Hold-up Iiquido (HI) . Una vez se logra un mapa confiable de los patrones de flujo en la tuberia estos modelos se concent~an en los fundamentos mecanicos de cada regimen de flujo en particular (12)

2.4.1 Correlacion de Hagedorn and Brown /' Se presenta a continuaci6n uno de los principales metodos empleados en el modelamiento de fJujo multifasico vertical en tuberias y que se constituye en uno de los preferidos desde el punto de vista del tratamiento academico no solo porque conlieva un alto desarrollo analitico sin6 porque a partir de el se han planteado !!lodelos mas recientes y se conoce como la correlaci6n de flujo generalizada de Hagedorn y Brown (9)

AJ retomar la ecuaci6n (62) se observa

EI gradiente de fricci6n no tiene forma definida y aparece como el principal inconveniente para hallar .1.PT. Este termino ha sido obtenido en forma distinta por los autores y es la esencia de los diferentes model os .

EI termino correspondiente al cambio de velocidad tiene efecto pequeno sobre las perdidas totales y frecuentemente se ignora, excepto para condiciones de flujo en los cuales Ja velocidad es muy alta, valores de RGL altos - 6 condiciones de flujo pr6ximos a condiciones de superficie.

Hagedorn and Brown utilizan la ecuaci6n de Darcy Weisbach (45) para obtener las perdidas en fricci6n 6 gradiente de fricci6n SegUn la ecuaci6n (62), el termino de fricci6n debe tener la siguiente forma: •

wf Presion (63)

IlH Densidad x Longitud

AJ comparar con la expresi6n (45), la expresi6n (63) toma la forma: wf f uv2

(64)PIlH = 2g cd

Ademas, se sabe que la velocidad ( v) es equivalente a

v = !L = 4(q) (65)A 1rd 2

36

Por 10 tanto : 2

v 2 =q 16 (66) ,. 2 d 4

AI reemplazar la ecuaci6n (66) en la (64) se obtiene:

wi = luq 216 (67)M-l ,.2 2gcd 5

Se puede, ahora, reemplazar la ecuaci6n (67) en la (62) y se abtiene:

_ _11P = 1+ ~(v2 ) + /"q 28 (68) pM! 2g cMl ,.2d Sgc

los auto res, ademas, establecen:

p = pm V Vm q = qm fu = fm

2V m

donde pm, Vm, qm, y fm significan densidad, velocidad, caudal y factor de fricci6n de la mezcla respectivamente.

La ecuaci6n (68) se reescribe como:

(69)

EI caudal de la mezcia, qm , se puede expresar, en terminos de la definici6n (M):

Masa M ezcia M " d "" d )' 'd M = = asa asocla a a un oarnl e IqUi o . Vo/umen Liquido

vo/umcn Lif/UidO ) ( Nfasa Mezcla J'

(Vo/umen Mezcla tiempo VO!;':/llen Liquido = q, M

qm = '1' 1 iempo vo/um Mezcla~- I Pm

( Masa Mezcla /

(70)

37

c

AI reemplazar la ecuaci6n (70) en la (69 y utilizar unidades practicas, se obtiene:

(71)

La expresi6n (71) se conoce como la ecuaci6n general de Hagedorn and Brown para flujo multifasico vertical, y en ella intervienen:

2.9652 X 1011

,~H = longitud, pies, ~P caida de Presion, Lbf / pie2

pm densidad de Mezcla, Ibm/pies3

M masa asociada a un barrilliquido, IbmfBbl ql = caudal Liquido, en Bbls/d d = diametro en pies fm = factor friccion mezcla

Para utilizar la expresi6n (71) se requiere tener la forma de hallar cada una de las variables contenidas, y considerando los siguientes panlmetros de producci6n.

Parametros de Produccion.

RGL Relacion Gas - Liquido de Produccion 0 Instantanea, PCN/ BN.

RGL = qg = Callda/Gas- Pr odllcido (72) q, Cauda/Liquido producido(AguayAceite)

GOR Relacion Gas - Petroleo GOR = qg = CaudaldeGasProducido (73)

qa Caudal de Aceite Producido

RAP = Relacion Agua - Petroleo RAP = qw = Caudal Agua (74)

qo Caudal de Aceite

. fw = Flujo Fraccional 0 Corte de Agua j, = qw = Caudal de Agua (75)

W q, Caudal Uquido

fo = Flujo Fraccional de Aceite J. =qo =Caudal de Aceite (76)

a ql Caudal Uquido

38

Se puede deducir, en forma facil , que:

RAP (77)fw = RAP+l

RAP=~ (78)1- fw

RGL = GOR (79)RAP+ 1

r -1-/ __1_ (80)JO- w- RAP+l

AJ aplicar la ecuaci6n (71) a condiciones de flujo en el pozo, el metodo requiere obtener las variables de flujo involucradas en funci6n de panimetros de producci6n medidos en superficie 6 calculados. Veamos, entonces, el procedimiento:

J 1 '"' Informaci6n conocida: , Variables de producci6n : caudal Iiquido (ql), caudal de gas ( qg ), relaci6n gas-Iiquido,

RGL, relaci6n agua - petr61eo.(RAP) :

. Propiedades de los fluidos : graved ad especifica del gas (Yg) , gravedad especifica del aceite (yo) , graved ad especifica de! agua (Yw), relaci6n gas en soluci6n (Rs), factor volumetrico del aceite (Bo), factor volumetrico del agua (Bw), factor de compresibilidad del gas (z), tensi6n interfacial del aceite (V'o), tensi6n interfacial del agua (V'w).

Qtros: temperatura a condiciones norm ales y gradiente geotermico: Ten, Gt

• Obtencion de M M = Masa de Mezcla asociada a un barril de liquido . M =Masa de Aceite + Masa de Agua + Masa de gas .

/bs/ ) 1 Rb.PM ( IBbi =3 50yo +350y w +O.0764y g RGL (81)RAP + 1 RAP+ 1

A continuaci6n se presentan otras variables de flujo, las cuales no aparecen explicitos en las expresi6n (71) pero se requieren obtenerlas a condiciones del pozo, como paso previo para hallar las variables restantes Pm, Vm, fm.. Las variables con super-gui6n significan a condiciones de flujo promedias, en el pozo.

39

• Densidad Liquida (pd

La densidad liquida (PL) a condiciones de pozo se halla como : (82)

donde Po Y Pw significan densidades del aceite y agua a condicion{is promedios de flujo -

O.0764y ~ R , G2.4 yo + - - ­

.E....!L.. = 5.6 15 E o Bo

al reemplazar las dos expresiones anteriores en la ecuaci6n (82), se obtiene:

O.0764y ~ R~ j- (Ib~ ) _ 62.4 Yo + 5.61 5 - 1 62.4y~ RA P

PI 3 - --- +---~- (83) pie Bo RA P+ ! B" RI1P +l

r • Tension Interfacial Liquida (V,) a Condiciones del Pozo.

I RAP V' == V' --+ V' . --- (84)

I 0 RAP~ , ~' RAP+i

• Viscosidad Liquida (U,) a Condiciones del Pozo.

! -- RAP U I = [Jo + U w - - - (85)

RA/) + 1 RAP + 1

• Densidad del Gas (Pg) a Condiciones del Pozo.

(86)

• Caudalliquido ((fd a Condiciones de Flujo en el Pozo.

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