ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIALINEAL DE ORDEN SUPERIOR

ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIALINEAL DE ORDEN SUPERIOR

Recordemos que una ecuación diferencial ordinaria es aquella que depende solode una variable independiente en nuestro caso la variable es x, la ecuación es Lineal si las funciones que depende la variable dependiente y sus derivadas son de grado uno, además como hay la derivada enésima se dice que la ecuación esde orden superior o de orden n

𝑎𝑛 𝑥𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛+𝑎𝑛−1 𝑥

𝑑𝑛−1𝑦

𝑑𝑥𝑛−1. . . . . +𝑎1 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑎0 𝑥 𝑦 =g(x)

La siguiente expresión representa una ecuación diferencial ordinaria lineal de orden n

Todas los coeficientes de la variable dependiente y de sus derivadas son funciones que solo dependen de la variable independiente

𝑎𝑛 𝑥𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛+𝑎𝑛−1 𝑥

𝑑𝑛−1𝑦

𝑑𝑥𝑛−1. . . . . +𝑎1 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑎0 𝑥 𝑦 =g(x)

𝑎𝑛 𝑥𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛+𝑎𝑛−1 𝑥

𝑑𝑛−1𝑦

𝑑𝑥𝑛−1. . . . . +𝑎1 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑎0 𝑥 𝑦 =g(x)

ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIALINEAL DE ORDEN SUPERIOR

Cuando el término independiente 𝑔 𝑥 es igual a cero se dice que la EDO lineales una ecuación homogénea

EDO lineal de orden superior homogénea

𝑎𝑛 𝑥𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛+𝑎𝑛−1 𝑥

𝑑𝑛−1𝑦

𝑑𝑥𝑛−1. . . . . +𝑎1 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑎0 𝑥 𝑦 = 0

𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑑7𝑦

𝑑𝑥7+

𝑥 + 3

2𝑥 − 1

𝑑4𝑦

𝑑𝑥4+𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑥2𝑦 = 0

Por ejemplo

EDO lineal de séptimo orden homogénea

ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIALINEAL DE ORDEN SUPERIOR

Solución de una EDO lineal de orden superior homogénea

𝑎𝑛 𝑥𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛+𝑎𝑛−1 𝑥

𝑑𝑛−1𝑦

𝑑𝑥𝑛−1. . . . . +𝑎1 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑎0 𝑥 𝑦 = 0

La solución de una EDO lineal homogénea de orden n es igual a la combinación lineal de n funciones linealmente independientes

𝑦𝐻 = 𝑐1𝑦1 + 𝑐2𝑦2+. . . . . +𝑐𝑛−1𝑦𝑛−1 + 𝑐𝑛𝑦𝑛

Donde: 𝑦1 , 𝑦2 , . . . . . 𝑦𝑛−1, 𝑦𝑛 son funciones linealmente independientes

ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIALINEAL DE ORDEN SUPERIOR

Cuando el término independiente 𝑔 𝑥 es diferente de cero se dice que la EDO lineal es una ecuación no homogénea

𝑎𝑛 𝑥𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛+𝑎𝑛−1 𝑥

𝑑𝑛−1𝑦

𝑑𝑥𝑛−1. . . . . +𝑎1 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥)

EDO lineal de orden superior no homogénea

𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑑7𝑦

𝑑𝑥7+

𝑥 + 3

2𝑥 − 1

𝑑4𝑦

𝑑𝑥4+𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑥2𝑦 = tan(𝑥 + 3)

Por ejemplo

EDO lineal de séptimo orden no homogénea

ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIALINEAL DE ORDEN SUPERIOR

Cuando los coeficientes de la variable dependiente y de sus derivadas son funcionesdiferentes de una constante se dice que la ecuación es una EDO lineal con Coeficientes variables

EDO lineal de orden superior con coeficientes variables

𝑎𝑛 𝑥𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛+𝑎𝑛−1 𝑥

𝑑𝑛−1𝑦

𝑑𝑥𝑛−1. . . . . +𝑎1 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥)

Cuando los coeficientes de la variable dependiente y de sus derivadas son funciones constantes se dice que la ecuación es una EDO lineal con coeficientes constantes

EDO lineal de orden superior con coeficientes constantes

𝑎𝑛𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛+ 𝑎𝑛−1

𝑑𝑛−1𝑦

𝑑𝑥𝑛−1. . . . . +𝑎1

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑎0 𝑦 = 𝑔(𝑥)

Corina Villarroel RobalinoDOCENTE