Geometría Analítica – Ecuación de la RECTA GUIA con soluciones adjuntas – Tratar de hacer los ejercicios sola y luego ver la ayuda Resolver:

1) Ubica los puntos (2,5) y (-8,3) en el Sistema de Coordenadas Cartesianas. 2) Calcula la distancia entre ambos puntos, 3) Calcular el Punto Medio del trazo que une a los anteriores puntos. 4) Calcula la Pendiente de la recta que contiene a los siguientes puntos: (2,6) y

(1,4) 5) Determina si el siguiente trío es o no colineal: (-2,6), (-1,3) y (0,0). 6) Encuentra la ecuación de la recta que contiene los siguientes puntos: (3,6) y (-

4,5) 7) Encuentra la ecuación de la recta que contiene el punto (2,3) y posee por

pendiente m=2. 8) Escribe la ecuación principal de la recta con: m=-5 ; n= 2. 9) Grafica la recta a partir de la ecuación principal: y=(-2/5)x + 1 10) Determina la ecuación de la recta a partir del gráfico:

11) Escribe de la forma general la ecuación: y=2x+3 12) Encuentra la ecuaciñon de la recta con A=3; B=-2 y que pasa por el punto (2,6) 13) Determina si el punto (2,-5) pertenece o no a la recta: y= (-7/2)x + 2 14) Son o no paralelas las rectas: y=3x – 7 ; 3x-2y+6=0 15) Determina si son perpendiculares o no: y=(2/3)x + 1 ; 3x – 2y – 6 = 0 16) Encuentra la ecuación principal de la recta que tiene la misma pendiente que la

recta que contiene los puntos (-3,4) y (2,-5) y que contiene el punto medio del segmento que tiene por extremos los puntos (6,7) y (2,-1).

Soluciones:

Resolver:

1) Ubica los puntos (2,5) y (-8,3) en el Sistema de Coordenadas Cartesianas.

2) Calcula la distancia entre ambos puntos, Distancia entre dos puntos [ (x1,y1) y (x2,y2) ] =

( ) ( ) ( ) ( ) 10421035)8(22121 222222 =+=−+−−=−+− yyxx Usamos obviamente que: [ (x1,y1) y (x2,y2) ] = [ (2,5) y (-8,3) ] 3) Calcular el Punto Medio del trazo que une a los anteriores puntos. Punto Medio entre dos puntos [ (x1,y1) y (x2,y2) ] =

( )4,32

35,

2

82

2

21,

2

21 −=

+−+=

++ yyxx

Usamos obviamente que: [ (x1,y1) y (x2,y2) ] = [ (2,5) y (-8,3) ] 4) Calcula la Pendiente de la recta que contiene a los siguientes puntos: (2,6) y

(1,4)

Pendiente = m = 21

2

21

64

12

12 =−−=

−−=

−−=

∆∆

xx

yy

X

Y

5) Determina si el siguiente trío es o no colineal: (-2,6), (-1,3) y (0,0) Miremos los puntos en el Sistema de Coordenadas ….

Habrá que ver la distancia de a pares de puntos y luego ver sin las distancias simples suman el total ….

A = (-2,6) B = (-1,3) C = (0,0)

dAB = 1091)36())1(2( 22 =+=−+−−−

dBC= 1091)03()01( 22 =+=−+−−

dAC= 10210440364)06()02( 22 =•==+=−+−−

Efectivamente: dAB + dBC = dAC Son colineales …. 6) Encuentra la ecuación de la recta que contiene los siguientes puntos:

(3,6) y (-4,5) Usamos: (x1,y1) = (3,6) (x2,y2) = (-4,5)

Ecuación de la recta por dos puntos:

)1(12

121 xx

xx

yyyy −

−−=−

Entonces

397

3427

7__

)3)(7/1(6

3)(7/1(6

)3(34

656

=−−=−

−=−−−−=−

−−−

−=−

xy

xy

pornbdoMultiplica

xy

xy

xy

Ó -x + 7y = 39 7) Encuentra la ecuación de la recta que contiene el punto (2,3) y posee por

pendiente m=2. Usamos (x1,y1) = (2,3) y-y1=m(x-x1) y-3 = 2(x-2) y-3 = 2x -4 y-2x = -1 8) Escribe la ecuación principal de la recta con: m= -5 ; n= 2. y = mx + n y = -5x + 2 y + 5x = 2 9) Grafica la recta a partir de la ecuación principal: y=(-2/5)x + 1 Una recta queda determinada por dos puntos. NO es necesario más que 2 puntos. Se hace una TABLA de puntos y luego se grafican.

X Y 5 (-2/5) 5 +1 = -2+1 = - 1 10 (-2/5)10 + 1 = - 4 + 1 = - 3

Abreviadamente, dejando lo significativo para graficar

X Y 5 - 1 10 - 3

10) Determina la ecuación de la recta a partir del gráfico:

La recta pasa por los puntos: (4,0) y (0,6), luego la recta se puede obtener de la fórmula de la recta que pasa por dos puntos:

146

24__

2464

4__

64

6

)4(4

6

)4(40

060

)1(12

121

=+

=+

+−=

−−=

−−−=−

−−−=−

xy

pordividiendo

xy

porndomultiplica

xy

xy

xy

xxxx

yyyy

¿Qué puedes concluir mirando esta ecuación y el gráfico anterior? 11) Escribe de la forma general la ecuación: y=2x+3

Forma General de la Ecuación de la RECTA: Ax + By + C = 0; arreglando la anterior

-2x + y – 3 = 0 Acá: A = -2 ; B = 1 ; C = -3 12) Encuentra la ecuación de la recta con A=3; B= -2 y que pasa por el punto (2,6)

La Ecuación General es: Ax + By + C = 0 ; sustituyendo: 3x -2y + C = 0 Pero (2,6) pertenece a la recta, entonces debe cumplir la ecuación anterior: 3(2) – 2(6) + C = 0 6 -12 + C = 0 -6 + C = 0 C = 6 Entonces, la ecuación general de la RECTA es: 3x -2y + 6 = 0

13) Determina si el punto (2,-5) pertenece o no a la recta: y = (-7/2)x + 2 Si el punto perteneciera a la recta, debería cumplir la ecuación, veamos: (-5) ¿=? (-7/2) 2 + 2 (-5) ¿=? -7 + 2 (-5) = (-5) Sí, el punto cumple la ecuación, por tanto: El punto pertenece a la recta.

14) Son o no paralelas las rectas: y=3x – 7 ; 3x-2y+6=0 La primera ecuación está de la forma y= mx + n, de donde m1 = 3 La segunda ecuación, hay que trabajarla: 3x – 2y + 6 = 0 3x+6 = 2y 2y = 3x + 6 y = (3/2)x + 3 m2= 3/2 No son paralelas, porque las pendientes debiesen ser IGUALES!

15) Determina si son perpendiculares o no: i) y=(2/3)x + 1 ; ii) 3x – 2y – 6 = 0

i) y = (2/3)x +1

m1 = 2/3 ii) 3x – 2y – 6 = 0; aquí hay que despejar a la forma “Principal”

3x – 6 = 2y 2y = 3x – 6 y = (3/2)x -6/2 y = (3/2)x – 3 m2 = 3/2 Veamos: m1 x m2 = (2/3) x (3/2) = 1 NO son perpendiculares pues m1 x m2 debió ser ( - 1 ) para que lo fueran.

16) EJERCICIO PROPUESTO : Encuentra la ecuación principal de la recta que tiene la misma pendiente que la recta que contiene los puntos (-3,4) y (2,-5) y que contiene el punto medio del segmento que tiene por extremos los puntos (6,7) y (2,-1).

Este es un ejercicio un poco más largo, no creo que algo así vaya en la prueba, pero te ayuda a generar un protocolo de resolución. La otra gracia es que te ayuda a pensar en la senda de lugares geométricos ….